MODEL TENDENCJI ROZWOJOWEJ Model endencji rozwojowej o konsrukcja eoreczna (równanie lub układ równań) opisująca kszałowanie się określonego zjawiska jako funkcji: zmiennej czasowej wahań okresowch (sezonowe krókookresowe do 1 roku, ckliczne - długookresowe) wahań przpadkowch (nieregularnch). Czli na zmienność zjawiska w czasie ma wpłw: endencja rozwojowa (rend) wahania pu okresowego wahania pu przpadkowego (losowego). Te rz części rzeba zidenfikować, a poem złożć razem w model: addwn (jeśli ampliuda wahań jes sała) Y F( ) G( ) ( ) muliplikawn (jeśli ampliuda wahań rośnie lub maleje regularnie) gdzie: Y - poziom badanego zjawiska F() funkcja rendu G() funkcja wahań okresowch () - składnik losow o rozkładzie normalnm, E()=0, V()=cons Y F( ) G( ) ( )
METODY DEKOMPOZYCJI SZEREGU CZASOWEGO Meod mechaniczne: meod naiwne meoda średniej ruchomej (wgładzanie danch linią łamaną) wgładzanie wkładnicze pros model wgładzania wkładniczego model liniow Browna, Hola model Winersa Meod analiczne (funkcje analiczne) Meod naiwne opare na założeniu braku zmian w zachowaniu cznników oddziałwującch na zmienną prognozowaną umożliwiają prognozowanie na jeden okres naprzód (niska jakość sosowane w przpadku niedużch wahań przpadkowch 1 gdzie: -1 - warość zmiennej prognozowanej w momencie (-1) - warość zmiennej prognozowanej wznaczona na momen prognoz)
Średnia ruchoma (wgładzanie danch linią łamaną) Wrównanie (wgładzanie) przebiegu szeregu czasowego polega na zasąpieniu pierwonch warości zmiennej średnimi armecznmi Średnia ruchoma: mając szereg czasow 1, 2,..., n, przjmujem długość kroku k = 3, lub 5, lub 7 id. i liczm... k 1 k k / 20,5 a nasępnie k / 21,5 2... k k 1 id. Gd k jes liczbą parzsą o uzskujem zw. średnie scenrowane (zwkle gd informacje liczbowe doczą kwarałów) np. k=4 3 1 2 1 2 3 4 4 1 2 5
Wgładzanie wkładnicze Model jes sosowan w przpadku wsępowania wahań przpadkowch oraz sałego poziomu zmiennej prognozowanej Dla dowolnego momenu operaorem wrównania rzędu pierwszego dla szeregu jes wrażenie: S ( 1) S1 0 1 - sała wgładzania, jej warość jes wznaczana ekspermenalnie, ab minimalizowała średni błąd dopasowania model liniow Browna - wgładzona warość zmiennej prognozowanej na momen - warość zmiennej na momen model liniow Hola S1 1 2 S2 70 (1 ) S 1 0 1 Model jes sosowan w przpadku wsępowania wahań przpadkowch oraz rendu Dla dowolnego momenu operaorem wrównania rzędu pierwszego dla szeregu jes wrażenie: S k F ( F F F k S (1 ) ( F 1 1 ) (1 ) S, β paramer modelu o warościach [0; 1] wznaczane ekspermenalnie, ab uzskać minimaln średni błąd prognoz 1 S 1 ) F S - wgładzona warość zmiennej prognozowanej na momen - wgładzona warość przrosu rendu na okres
Meod analiczne Funkcja liniowa Funkcja poęgowa Funkcja wkładnicza Funkcja logisczna 1 e Wielomian I rzędu 2 Paramer srukuralne funkcji oszacowwane MNK
Meod analiczne - przkład 1,0 71,0 2,0 70,0 3,0 69,0 4,0 68,0 5,0 64,0 6,0 65,0 7,0 72,0 8,0 78,0 9,0 75,0 10,0 75,0 11,0 75,0 12,0 70,0 13,0 75,0 14,0 75,0 15,0 74,0 16,0 78,0 17,0 86,0 18,0 82,0 19,0 75,0 20,0 73,0 -------------------------------------------------------------------------- Sandard T Parameer Esimae Error Saisic P-Value ----------------------------------------------------------------------------- Inercep 67,36 1,90 35,43 0,0000 Slope 0,59 0,16 3,69 0,0017 ----------------------------------------------------------------------------- Correlaion Coefficien = 0,65586 R-squared = 43,0152 percen R-squared (adjused for d.f.) = 39,8494 percen Sandard Error of Es. = 4,09233 Mean absolue error = 3,05474 Regression Analsis - Exponenial model: Sandard T Parameer Esimae Error Saisic P-Value ----------------------------------------------------------------------------- Inercep 4,21 0,026 164,27 0,0000 Slope 0,008 0,002 3,71 0,0016 ----------------------------------------------------------------------------- Correlaion Coefficien = 0,658582 R-squared = 43,3731 percen R-squared (adjused for d.f.) = 40,2271 percen Sandard Error of Es. = 0,0551879 Mean absolue error = 0,0416653 ˆ 67,36 0, 59 ˆ e (4,210,008 )
Meod prognozowania Prognozowanie na podsawie modelu maemaczno-sascznego o prognozowanie ilościowe Prognozowanie na podsawie modeli niemaemacznch, o zwkle prognozowanie jakościowe Prognoz ilościowe dzielim na: punkowe, gdzie dla zmiennej prognozowanej wznacza się jedną warość dla T>n, przedziałowe, w kórch wznacza się przedział, w kórm znajdzie się rzeczwisa warość zmiennej prognozowanej w prognozowanm okresie T>n. Błąd prognoz Prz wborze modelu prognoscznego należ dążć do osiągnięcia zadowalającego poziomu miernika dokładności Błąd prognoz można zapisać jako B = Y * gdzie Y * o warość prognoz zmiennej Y na okres, wznaczona na podsawie modelu F, a o rzeczwisa warość zmiennej prognozowanej w okresie. Wróżniam dwa p mierników: 1. błąd ex pos 2. błąd ex ane
Mierniki sopnia dopasowania modelu do danch empircznch miar błędów ex pos Błąd przecięn (Mean Error) Średni błąd kwadraow (Mean Square Error) Średni błąd absolun (Mean Absolue Error) ME 1 n MSE MAE 1 n n 1 1 n n 1 ( n 1 ) ( 2 ) Średni błąd względn (Mean Absolue Percenage Error) 100% n MAPE n 1 n liczba resz
1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 wdobcie [] RYSZOLDO 66 Przkład 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 rok r = - 0,96; r 2 = 92,1 % Błąd sandardow resz = 0,30 Średni błąd absolun MAE = 0,24 e 1 0 r = - 0,91 r 2 = 82,1 % 96,8 10,3 Błąd sandardow resz = 14,1 Średni błąd absolun MAE = 10,6 323,1 e 0,3
1914 1916 1918 1920 1922 1924 1926 1928 1930 1932 1934 1936 1938 1940 1942 1944 1946 1948 1950 1952 1954 1956 1958 1960 1962 1964 1966 1968 1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 ropa (s.on) Przkład 45 Wdobcie rop nafowej ze złoża X w laach 1914-2013 40 35 30 25 20 ropa 15 10 5 0 Laa eksploaacji
Meod analiczne: analiza funkcji spadku wdobcia Esmacja paramerów funkcji spadku wdobcia ze złoża q wdajność złoża w momencie ; q p wdajność złoża na począku faz spadku wdobcia; d w współcznnik wkładniczego spadku wdobcia; d H współcznnik harmonicznego spadku; d h współcznnik harmonicznego spadku wdobcia; q e końcowa, ekonomicznie uzasadniona, wdajność złoża; e czas przerwanie eksploaacji ze względów ekonomicznch.
Esmacja wkładniczej funkcji spadku wdobcia złoża X dla okresu 19522013 q dw qp e gdzie: q wdajność złoża w momencie, q p wdajność złoża na począku faz spadku wdobcia, d w współcznnik wkładniczego spadku wdobcia, Transformacja liniowa modelu regresji: ln(q )=ln(q p ) d w * = 3,2 0,04* (r= -0,99 r 2 =97,9%) d w =0,03957180,04 Reransformacja modelu regresji ln(q p )=3,20464 q p =EXP(3,20464) 25 q 25e 0,04
Wznaczanie wahań okresowch (dobowch, godniowch, miesięcznch, kwaralnch, rocznch, wielolenich) Przez wahania okresowe (sezonowe) należ rozumieć powarzające się z roku na rok w ch samch jednoskach kalendarzowch dość regularne zmian ilościowe. DWIE METODY: meoda wskaźników sezonowości meoda harmoniczna Meoda wskaźników sezonowości Sposób posępowania Wodrębnienie rendu Eliminacja rendu z szeregu czasowego Eliminacja wahań przpadkowch Obliczenie wskaźników sezonowości Wodrębnienie rendu: meod mechaniczne (średnie ruchome), meod analiczne Eliminacja rendu z szeregu czasowego Dla modelu addwnego e ˆ Dla modelu muliplikawnego e ˆ Obliczenie surowch wskaźników sezonowości (weliminowanie rendu) Obliczenie oczszczonch wskaźników sezonowości (weliminowanie wahań losowch)
Najprosszm sposobem wodrębnienia wahań sezonowch jes meoda opara na średnich okresach jednoimiennch. i d Si d Wskaźniki sezonowości oblicza się wg wzoru: gdzie: S i wskaźnik sezonowości dla i-ego podokresu (zwkle w %) i średnia armeczna dla jednoimiennch podokresów d liczba podokresów (podokres miesięczne d=12; kwaralne d=4; półroczne d=2) Suma wskaźników Si powinna bć równa: 1200 dla wskaźników sezonowości miesięcznej, 400 dla sezonowości kwaralnej 200 dla sezonowości półrocznej Wskaźniki spełniające powższe relacje o oczszczone wskaźniki sezonowości. i 1 i Wskaźniki nie spełniające ch relacji o surowe wskaźniki sezonowości. Współcznnik korgując W k : W k d d i1 S i pozwala sprowadzić surowe wskaźniki do oczszczonch wg reguł: S k i W k S i Suma skorgowanch wskaźników spełnia relacje (1200, 400, 200)
DEKOMPOZYCJA SZEREGU CZASOWEGO Y F( ) G( ) ( ) gdzie: Y - poziom badanego zjawiska F() funkcja rendu G() funkcja wahań okresowch (wahania ckliczne C i sezonowe S ) () - składnik losow, przpadkow Y F( ) C( ) S( ) ( ) G() Krok I: wgładzenie szeregu Krok II: wznaczenie cznnika sezonowego, Krok III: oddzielenie rendu i cznnika cklicznego w wgładzonm szeregu Przkład: analiza przewozów pasażerów Źródło: Sarzńska W. Saska prakczna, PWN, 2000
rok kwarał Pasażerowie w s. Wznaczenie cznników sezonowości Wgładzenie szeregu czasowego za pomocą średnich ruchomch Y Średnia ruchoma scenrowana (k=4) 1 1 5,1-2 5,8 - Przkład: analiza przewozów pasażerów Źródło: Sarzńska W. Saska prakczna, PWN, 2000 G( ) ( ) 3 7,5 5,875 (7,5/5,875)=1,277 4 5,2 5,8 (5,2/5,8)=0,897 2 1 4,9 5,7 (4,9/5,7)=0,860 Indwidualne wskaźniki sezonowości (cznnik sezonowoprzpadkow) 2 5,4 5,663 0,954 3 7,1 5,625 1,262 4 5,3 5,538 0,957 3 1 4,5 5,488 0,820 2 5,1 5,437 0,938 3 7,0 - - 4 5,0 - -
kwarał Cznnik sezonowo-przpadkow G( ) ( ) Cznnik sezonow G() 1 0,860 0,820 (0,86+0,82)/2=0,84 2 0,954 0,938 0,95 3 1,277 1,262 1,27 4 0,897 0,938 0,92 rok kwarał Pasażerowie w s. Y Cznnik sezonow G() Liczba pasażerów pozbawiona sezonowości (szereg oczszczon z wahań) Y /G() 1 1 5,1 0,84 6,071 2 5,8 0,95 6,105 3 7,5 1,27 5,906 4 5,2 0,92 5,562 2 1 4,9 0,84 5,833 2 5,4 0,95 5,684 3 7,1 1,27 5,591 4 5,3 0,92 5,761 3 1 4,5 0,84 5,357 2 5,1 0,95 5,368 3 7,0 1,27 5,512 4 5,0 0,92 5,435