Metoda najmniejszych kwadratów

Transkrypt

1 Własności algebraiczne

2 Model liniowy Zapis modelu zarobki = β 0 + β 1 plec + β 2 wiek + ε Oszacowania wartości współczynników zarobki = b 0 + b 1 plec + b 2 wiek + e

3 Model liniowy Tabela: Oszacowania współczynników zarobki współczynnik błąd oszacowania płeć -96,7781 2, wiek 3, , stała 316,2131 5, Liczba obserwacji Źródło: Obliczenia własne na podstawie BAEL (2000)

4 Model logliniowy Zapis modelu ln(zarobki) = β 0 + β 1 plec + β 2 wiek + ε Oszacowania wartości współczynników ln(zarobki) = b 0 + b 1 plec + b 2 wiek + e

5 Model logliniowy Tabela: Oszacowania współczynników ln(zarobki) współczynnik błąd oszacowania płeć -0, , wiek 0, , stała 5, , Liczba obserwacji Źródło: Obliczenia własne na podstawie BAEL (2000)

6 Własności każdego modelu szacowanego MNK

7 Własności każdego modelu szacowanego MNK 1 wektor reszt jest ortogonalny do macierzy obserwacji

8 Własności każdego modelu szacowanego MNK 1 wektor reszt jest ortogonalny do macierzy obserwacji 2 wektor reszt jest ortogonalny do wektora wartości zmiennej objaśnianej

9 Własności każdego modelu szacowanego MNK 1 wektor reszt jest ortogonalny do macierzy obserwacji 2 wektor reszt jest ortogonalny do wektora wartości zmiennej objaśnianej Własności wyłącznie dla modelu ze stałą

10 Własności każdego modelu szacowanego MNK 1 wektor reszt jest ortogonalny do macierzy obserwacji 2 wektor reszt jest ortogonalny do wektora wartości zmiennej objaśnianej Własności wyłącznie dla modelu ze stałą 3 suma reszt jest równa zero

11 Własności każdego modelu szacowanego MNK 1 wektor reszt jest ortogonalny do macierzy obserwacji 2 wektor reszt jest ortogonalny do wektora wartości zmiennej objaśnianej Własności wyłącznie dla modelu ze stałą 3 suma reszt jest równa zero 4 średnia wartość teoretyczna (dopasowana) jest równa średniej wartości empirycznej

12 Macierz idempotentna Macierz idempotentna M to taka macierz, że M 2 = MM = M

13 Macierz idempotentna Macierz idempotentna M to taka macierz, że M 2 = MM = M W ekonometrii literą M jest oznaczana szczególna macierz idempotentna M = I X (X X ) 1 X

14 Macierz rzutu Macierz Projekcji (rzutu) P = I M = X (X X ) 1 X

15 Macierz rzutu Macierz Projekcji (rzutu) P = I M = X (X X ) 1 X Własności MX = 0

16 Macierz rzutu Macierz Projekcji (rzutu) P = I M = X (X X ) 1 X Własności MX = 0 PX = X

17 Macierz rzutu Macierz Projekcji (rzutu) P = I M = X (X X ) 1 X Własności MX = 0 PX = X MP = PM = 0

18 Rysunek: Rzut wektora y na przestrzeń X x 2 e ŷ x1

19 Analiza wariancji Równość analizy wariancji (yi ȳ) 2 = (ŷ i ȳ) 2 + (y i ŷ i ) 2

20 Analiza wariancji Równość analizy wariancji (yi ȳ) 2 = (ŷ i ȳ) 2 + (y i ŷ i ) 2 Zapis skrócony TSS = ESS + RSS

21 Analiza wariancji Tabela: Dekompozycja Wariancji Wariancja Suma kwadratów Wyjaśniona Resztowa Całkowita Źródło: Obliczenia własne na podstawie BAEL (2000)

22 R 2 = ESS TSS = 1 RSS TSS

23 R 2 = ESS TSS = 1 RSS TSS R 2 (yi ŷ i ) 2 = 1 (yi ȳ) 2 = 1 (yi Xb) 2 (yi ȳ) 2

24 R 2 = ESS TSS = 1 RSS TSS R 2 (yi ŷ i ) 2 = 1 (yi ȳ) 2 = 1 (yi Xb) 2 (yi ȳ) 2 R 2 = 1 n 1 n K (1 R2 )

25 Model A: zarobki = f (płeć, wiek) Model B: zarobki = f (płeć, wiek, wiek 2 )

26 Model A: zarobki = f (płeć, wiek) Model B: zarobki = f (płeć, wiek, wiek 2 ) Tabela: Porównanie modeli Model TSS RSS A B Źródło: Obliczenia własne na podstawie BAEL (2000)

27 Tabela: Skorygowany współczynnik determinacji Model R 2 k R2 A R2 = ( ) = B R2 = ( ) = Źródło: Obliczenia własne na podstawie BAEL (2000)

28 Source SS df MS Number of obs = F( 3, 16158) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = lzarobki Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] _Iplec_ wiek wiek _cons