Potr Posmykewcz Wykład z fzyk Wykład 6 6. Zasada zachowaa ładuku Isteją dwa rodzaje ładuków dodate ujeme; ładuk jedomee odpychają sę, a różomee przycągają sę. Podczas elektryzowaa za pomocą tarca, zawsze elektryzują sę oba cała, jedo z ch ładuje sę ładukem dodatm, a druge takm samym co do wartośc, ale przecwym ładukem. Dośwadczale zostało udowodoe, ż ładuek elektryczy jest dyskrety, tz. ładuek dowolego cała składa sę z całkowtej welokrotośc elektryczego ładuku elemetarego e: e =, 6 9 C Elektro (m e = 9, 3 kg) proto (m p =,67 7 kg) są ośkam odpowedo ujemego dodatego ładuku elemetarego. Faraday uogólając dae dośwadczale sformułował jedo z podstawowych praw przyrody prawo zachowaa ładuku: Suma algebracza ładuków elektryczych dowolego układu zamkętego (układu ewymeającego sę ładukam z otoczeem) pozostaje stała bez względu a zjawska zachodzące wewątrz tego układu. W zależośc od tego czy cało posada ośk ładuków (elektroy, joy), czy e, przewodz lub e przewodz prądu elektryczego. Cała dzelą sę w zwązku z tym a przewodk, delektryk półprzewodk. W przewodkach ładuek elektryczy może poruszad sę po całej jego objętośc. Przewodk dzelą sę a dwe grupy: ) przewodk perwszego rodzaju (p. metale) przeoszoe w ch ładuk e powodują reakcj chemczych; ) przewodk drugego rodzaju (p. stopoe sole, roztwory kwasów) przewodzee w ch ładuków (dodatch ujemych joów) prowadz do zma chemczych substacj przewodzącej. Delektryk (p. szkło, plastk) e przewodzą prądu elektryczego; jeżel e jest do ch przyłożoe zewętrze pole elektrycze, to praktycze e zawerają oe swobodych ładuków. Półprzewodk (p. germa, krzem) zajmują
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk pośrede położee mędzy przewodkam delektrykam, przy czym ch przewodzee sle zależy od waruków zewętrzych p. temperatury. Jedostką ładuku elektryczego jest kulomb (C) jest to tak ładuek, który przepływa przez poprzeczy przekrój przewodka w cągu s, gdy w przewodku płye prąd A ( jest to jedostka pochoda, poeważ jest określaa przez jedostk podstawowe). 6. Prawo Coulomba. Prawo oddzaływaa eruchomych ładuków puktowych zostało podae w 785 roku przez Coulomba (wcześej prawo to odkrył Cavedsh, jedak jego praca pozostawała ezaa przez przeszło sto lat). Ładukem puktowym azywamy ładuek skupoy w cele, którego rozmary są zaedbywale małe w porówau z odległoścam do ych aładowaych cał, z którym o oddzaływa. (patrz: pukt materaly) Prawo Coulomba: Sła oddzaływaa F dwóch ładuków puktowych, zajdujących sę w próż jest wprost proporcjoala do ładuków Q Q odwrote proporcjoala do kwadratu odległośc mędzy m: F = k Q Q 6. r gdze k współczyk proporcjoalośc zależy od wyboru układu jedostek. Sła F jest skerowaa wzdłuż prostej łączącej oddzaływujące ładuk (sła cetrala) odpowada przycągau (F<) w przypadku różomeych ładuków odpychau (F>) w przypadku jedomeych ładuków. Prawo Coulomba zapsae w forme wektorowej przyberze postad: F = k Q Q r r r 6. F r F Q > Rysuek 6. Q gdze F - sła dzałająca a ładuek Q pochodząca od ładuku Q, r - promeo wodzący, łączący ładuek Q z ładukem Q, r r (Rysuek 6. Q > Q > ).
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 3 Jeżel oddzaływujące ładuk zajdują sę w jedorodym zotropowym ośrodku to sła wzajemego oddzaływaa ładuków daa jest wzorem: F = k Q Q εr gdze ε jest welkoścą bezwymarową zwaą względą przekaloścą elektryczą ośrodka, wskazującą le razy sła F wzajemego oddzaływaa ładuków w daym ośrodku jest mejsza od sły oddzaływaa tych ładuków w próż: ε = F F 6.3 W układze SI współczyk proporcjoalośc jest rówy: k = 4πε Wtedy prawo Coulomba przyjmuje postad: F = Q Q 4πε r 6.4 Welkośd ε jest fudametalą stałą fzyczą zwaą stałą elektryczą (przekaloścą elektryczą próż). Moża ją oblczyd z łatwej do zapamętaa wartośc k: 4πε = 9. 9 N m /C 6.3 Pole elektrycze atężee pola elektryczego. Jeżel w przestrzeo otaczającą ładuek elektryczy wprowadzd y ładuek, to podzała a ego sła kulombowska; ozacza to, że w przestrze otaczającej ładuk steje pole sł. Zgode ze współczesym poglądam w fzyce, take pole steje reale jest jedym z przejawów mater. Pole to jest odpowedzale za oddzaływae mędzy cząstkam. W daym przypadku, pole elektrycze jest pośredkem oddzaływaa ładuków elektryczych. W celu zalezea zbadaa dośwadczale pola elektryczego wykorzystuje sę tzw. ładuek próby q. Jest to ładuek puktowy, a tyle mały, że e zakłóca swom dzałaem badaego pola. Jeżel do badaego pola wprowadzd ładuek a) ładuek q jest dodat b) ładuek q jest ujemy Rysuek 6.
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 4 próby, to podzała a ego sła kulombowska F róża w różych puktach pola, która zgode z prawem Coulomba będze proporcjoala do ładuku q. Dlatego welkośd F/q e będze zależała od ładuku próbego będze charakteryzowad pole w pukce, w którym zajduje sę ładuek próby. Welkośd ta azywa sę atężeem pola elektryczego. Natężeem E pola elektryczego w daym pukce azywamy welkośd fzyczą, określoą słą jaka, dzała a jedostkowy ładuek dodat umeszczoy w tym pukce pola: E = F q 6.5 Natężee pola elektryczego. Keruek atężea pola elektryczego pokrywa sę z kerukem sły dzałającej a dodat ładuek. Wdad, że jedostką atężea pola elektryczego jest N/C = V/m. Natężee pola elektryczego pochodzące od ładuku puktowego q w pukce P odległym o r jest rówe E = Q r, 6.6 4πε r r co wyka ze wzoru 6. (Rysuek 6.). Pole elektrycze moża przedstawd grafcze za pomocą l sł pola. Le sł pola prowadz sę w tak sposób, że w każdym pukce są oe stycze do wektora atężea pola elektryczego (Rysuek 6.3). Aby scharakteryzowad wartośd atężea pola, le prowadz sę tak, aby gęstośd l była proporcjoala do wartośc pola; ym słowy, m wększa E Rysuek 6.3 Rysuek 6.3 wartośd pola elektryczego w daym obszarze tym węcej l przechodz przez jedostkową powerzchę. Rysuek 6.4 przedstawa układ l dla klku ajprostszych kofguracj. E a) Le pola elektrostatyczego - ładuek puktowy. b) Le pola elektrostatyczego - dwa ładuk różomee. Rysuek 6.4 c) Le pola elektrostatyczego - dwa ładuk jedomee.
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 5 Z lam sł pola elektryczego zwązae jest ścśle pojęce strumea pola elektryczego. Strumeem pola elektryczego azywamy wyrażee określoe wzorem: dφ E = E da = EdA = E da = E da cosφ 6.7 gdze da jest eskooczee małym polem powerzch, E jest składową atężea pola elektryczego prostopadłą do tej a. E A są rówoległe ϕ =, strumeń Φ E = E A = EA powerzch, a da = da określa wektor prostopadły do tej powerzch rówy wartośc jej pola powerzch (- wersor prostopadły do powerzch da) (Rysuek 6.5). Tak węc, aby oblczyd wartośd strumea pola elektryczego ależy a przykład pomożyd pole powerzch przez wartośd składowej atężea pola elektryczego prostopadłej do pla powerzch. Dla dowolej powerzch A, strumeo atężea pola elektryczego przez tę powerzchę day jest wyrażeem: b. E A tworzą kąt ϕ, Φ E = E A = EAcosφ Φ E = E da = EdA = E da = E da cosφ 6.8 6.8 gdze całkę lczymy po dowolej powerzch A. Dla zamkętych powerzch zwrot wersora wybera sę a zewątrz tej powerzch. 6.4 Zasada superpozycj pól. Pole dpola. c. E A tworzą kąt ϕ = 9, Φ E = E A = EAcos9 = Rysuek 6.5 Nech będze day układ eruchomych ładuków puktowych Q, Q,...,Q. Oblczmy atężee pola elektryczego w dowolym pukce przestrze. Dośwadczee pokazuje, że do sł kulombowskch stosuje sę zasada ezależośc dzałaa sł, tz. wypadkowa sła F dzałająca a ładuek próby q jest rówa sume F sł pochodzących od każdego ładuku z osoba: F = = F 6.9 Zgode z 6.5 F = q E F = q E, gdze E atężee pola wypadkowego, a E atężee pola wytwarzaego przez ładuek q. Podstawając powyższe do.7 otrzymujemy:
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 6 E E 6. Rówae 6. przedstawa zasadę superpozycj (akładaa) pól elektryczych: Natężee wypadkowego pola elektryczego E wytworzoego przez układ ładuków jest rówe sume wektorowej atężeń pól wytwarzaych przez poszczególe ładuk z osoba. Zasada superpozycj pozwala oblczyd atężea pól pochodzące od dowolego układu ładuków. Dpolem elektryczym azywamy układ dwu jedakowych co do wartośc, ale różomeych ładuków oddaloych od sebe a -Q E B odległośd l. Elektryczym mometem dpolowym azywamy wyrażee: p Q l 6. l l +Q E r r B E + gdze l jest wektorem, którego długośd jest rówa odległośc mędzy ładukam, a zwrot wektora jest od ładuku ujemego do dodatego (Rysuek 6.6). Korzystając z zasady superpozycj wykaż, że jeżel odległośc r r są dużo wększe od l to atężea pola elektryczego w puktach A B wyoszą odpowedo: A E E A E + Rysuek.4 Rysuek 6.6 E A p 6. 3 4 r E B p 6.3 4 r 3 ' 6.5 Twerdzee Gaussa. Oblczea atężea pola elektryczego układu ładuków moża w zaczym stopu uproścd, jeżel zastosowad twerdzee Gaussa. Zgode z wyrażeem 6.8 strumeo pola elektryczego przez sferyczą powerzchę o promeu r, której środek zajduje sę w puktowym ładuku Q day jest wyrażeem (Rysuek 6.7):
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 7 q Φ E = E da = 4πr = q 6.4 4πε ε Te sam wyk otrzymamy oczywśce, gdy promeo czaszy będze wyosł e r, a 4r. Otrzymay wyk jest róweż prawdzwy dla powerzch zamkętej o dowolym kształce. Rzeczywśce, jeżel otoczyd sferę dowolą zamkętą powerzchą, to strumeo przechodzący przez sferę przejdze róweż przez te powerzchę (Rysuek 6.8). W przypadku ogólym dla powerzch zamkętej o dowolym kształce zawerającej w sobe ładuków, atężee E wytworzoe przez wszystke ładuk, zgode z zasadą superpozycj 6., jest rówe sume atężeo E wytwarzaych przez poszczególe ładuk: E. Dlatego: E E E da E da EdA 6.5 S S S Rysuek 6.7 Zgode z 6.4 każda z całek stojąca za zakem sumy jest rówa Q /ε. w rezultace: Rysuek 6.8 EdA EdA E Q S S 6.6 Wyrażee.4 wyraża twerdzee Gaussa dla pola elektryczego w próż: Strumeń pola elektryczego w próż przez dowolą powerzchę zamkętą jest rówy algebraczej sume ładuków zawartych wewątrz tej powerzch podzeloej przez ε: Φ E = E da = Q zawarte ε Twerdzee Gaussa. Korzystając z twerdzea Gaussa pokaż, że:
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 8. Natężee pola elektryczego od eskooczoej, rówomere aładowaej płaszczyzy wyos: E σ/ ε 6.7. Natężee pola elektryczego wewątrz dwu eskooczoych rówoległych płaszczyz aładowaych przecwym ładukam wyos: ε E σ/ 6.8 gdze σ =q/a jest gęstoścą powerzchową ładuku, czyl ładukem przypadającym a jedostkę powerzch. 6.6 Cyrkulacja wektora pola elektryczego. Jeżel w polu elektryczym ładuku puktowego Q z puktu do puktu wzdłuż dowolego toru przesuwad y ładuek q (Rysuek 6.9), to sła przyłożoa do tego ładuku będze wykoywad pracę. Praca ta a eskooczee małym (elemetarym) odcku będze rówa: Poeważ dlcosα dr, to Qq dw Fdlcosα 4ππ r Qq dw dr. 4ππ r dlcosα dr q r F r Praca wykoaa przy przemeszczeu ładuku q z położea r do puktu wyese: W r r dw Qq 4 r r dr r Qq 4 r Qq r 6.9 Q Rysuek 6.9 jak wdad e zależy od kształtu toru, po którym przemeszcza sę ładuek, a jedye od położea puktu początkowego koocowego. W rezultace pole wytworzoe przez ładuek Q azywamy potecjalym, a sły dzałające w tym polu azywają sę zachowawczym. Z rówaa 6.9 wyka, że praca wykoaa przy przemeszczeu ładuku w zewętrzym polu po dowolym torze zamkętym (koturze) L będze rówa zero: L dw 6.
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 9 Jeżel jako ładuek przeoszoy w zewętrzym polu wząd dodat ładuek jedostkowy, to elemetara praca sł pola a drodze dl będze rówa Edl = E l dl, gdze E l = Ecosα jest rzutem wektora E a keruek elemetarego przemeszczea. W rezultace wzór.8 moża przepsad w postac E dl L L E dl l 6. Całkę we wzorze.9 azywamy cyrkulacją wektora atężea pola elektryczego E. Tak, węc cyrkulacja wektora atężea pola elektryczego po dowolej drodze zamkętej jest zawsze rówa zero; le pola elektryczego muszą byd zawsze zamkęte. Pommo, ż pole to często azywamy krócej polem elektryczym, musmy pamętad, że jest oo wytworzoe przez ładuk stacjoare (eruchome). W przypadku pola wytworzoego przez ładuk będące w ruchu sytuacja ulega zamae (patrz Wykład 9). 6.7 Potecjał pola elektryczego. Cało zajdujące sę w potecjalym polu sł (pole elektrostatycze jest polem potecjalym) posada eergę potecjalą. Kosztem tej eerg wykoywaa jest praca przez sły pola (patrz semestr I). Lub ym słowy; sły zachowawcze wykoując pracę powodują zmejszee eerg potecjalej układu. Dlatego pracę (6.9) sł pola elektryczego moża przedstawd w postac różcy eerg potecjalych jake posada ładuek puktowy q w początkowym koocowym pukce pola wytworzoego przez ładuek Q (Rysuek 6.9): W Qq Qq U U 4π r 4π r 6. Z powyższego wyka, że eerga potecjala ładuku q w polu ładuku Q jest rówa: Qq 4π r U C, która podobe jak w mechace e jest określoa jedozacze, a tylko z dokładoścą do stałej całkowaa C. Jeżel przyjąd, że po oddaleu ładuku a eskooczoośd ( r ) jego
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk eerga będze wyosła zero, to C = eerga potecjala ładuku q zajdującego sę w polu ładuku Q w odległośc r od ego wyese: Qq 6.3 4π r U Elektrostatycza eerga potecjala dwu ładuków puktowych. Dla ładuków jedomeych Qq > eerga potecjala ch oddzaływaa (odpychaa) jest dodata, dla ładuków różomeych Qq < eerga potecjala ch oddzaływaa (odpychaa) jest ujema. Jeżel pole jest wytworzoe przez układ ładuków puktowych Q, Q,...,Q, (uwzględając zasadę superpozycj pól (6.), to eerga potecjala U ładuku q zajdującego sę w tym polu jest rówa sume jego eerg potecjalych U, wytworzoych przez poszczególe ładuk: U U q Q 4ε r 6.4 Ze wzorów 6.3 6.4 wyka, że stosuek U/q e zależy od ładuku q przez to jest cechą charakterystyczą samego pola elektryczego, którą azywamy potecjałem: : V = U 6.5 q Potecjał elektryczy. Potecjał φ w dowolym pukce pola elektryczego jest to taka welkośd fzycza, której wartośd jest rówa eerg potecjalej jedostkowego, dodatego ładuku umeszczoego w tym pukce. Z rówaa 6.3 6.5 wyka, że potecjał pola wytworzoego przez ładuek puktowy Q jest rówy: Q V 6.6 4π r Praca wykoaa przy przemeszczeu ładuku q z puktu do puktu (rówaa 6., 6.4) może byd przedstawoa w postac:
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk W V U U q( V ) 6.7 jak wdad, jest rówa loczyow przeoszoego ładuku różcy potecjałów w pukce początkowym koocowym. Praca sł pola przy przemeszczeu ładuku q może byd róweż zapsaa w postac W qedl Porówując wzory 6.7 6.8 otrzymujemy wyrażee: 6.8 V V = E dl 6.9 Zwązek mędzy różcą potecjałów a atężeem pole elektryczego. gdze całkowae moża prowadzd po dowolej krzywej łączącej pukty. Jeżel przemeszczad ładuek q z dowolego puktu pola poza grace pola, tz. w eskooczoośd, gdze z założea potecjał jest rówy zero, to praca sł pola, zgode z 6.7 będze rówa: lub W q V V = W q 6.3 Iterpretacja potecjału w daym pukce. W rezultace wdad, że potecjał w daym pukce jest rówy pracy jaką wykoują sły pola przy przemeszczeu jedostkowego, dodatego ładuku z tego puktu do eskooczoośc. Praca ta jest rówa pracy wykoaej przez sły zewętrze (rówoważące sły pola) przy przemeszczeu jedostkowego, dodatego ładuku z eskooczoośc do daego mejsca pola. Jedostką potecjału jest volt (V). Z 6.3 wdad, że V = J/C. 6.8 Natężee jako gradet potecjału.
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk Zajdźmy zależośd mędzy atężeem pola elektryczego, a potecjałem pola. Praca wykoaa podczas przemeszczea jedostkowego, puktowego ładuku z jedego puktu pola do drugego wzdłuż os x, przy założeu, że pukty położoe są eskooczee blsko sebe x x = dx, jest rówa: E x dx. Jedocześe ta praca jest rówa: V V = - dv. Porówując oba wyrażea otrzymujemy: V E x x 6.3 gdze symbol pochodej cząstkowej podkreśla, że lczymy pochodą tylko po x. Powtarzając aalogcze rozważaa dla os y z moża zaleźd wektor E: V V V E j k x y z 6.3 gdze, j, k wersory os x,y,z. Z wyrażea.3 wyka, że atężee pola jest gradetem potecjału wzętym ze zakem mus: E gradv lub E V 6.33 Zak mus wskazuje, że atężee pola jest skerowae w keruku malejącego potecjału. Dla zobrazowaa potecjału pola elektryczego wprowadza sę pojęce powerzch ekwpotecjalych. Są to powerzche posadające we wszystkch mejscach tę samą wartośd potecjału V. Jeżel pole jest wytworzoe przez ładuek puktowy, to potecjał day jest wyrażeem 6.6. Tak węc, powerzcham ekwpotecjalym, w tym wypadku, są kocetrycze sfery. Z drugej stroy, le sł atężea pola są promeam. W rezultace le sł w tym wypadku są prostopadłe do powerzch ekwpotecjalych. Dalsza aalza prowadz do wosku, że le atężea pola są zawsze prostopadłe do powerzch ekwpotecjalych. Rzeczywśce wszystke pukty powerzch ekwpotecjalej mają jedakowy potecjał, dlatego praca przy przemeszczeu ładuku
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 3 wzdłuż dowolej drog po powerzch ekwpotecjalej jest rówa zero; a to ozacza, że sły elektrostatycze są skerowae zawsze prostopadle do powerzch ekwpotecjalej. W rezultace wektor E jest zawsze ormaly (prostopadły) do powerzch ekwpotecjalej. Zając położee l sł atężea pola elektryczego moża arysowad powerzche Rysuek 6. ekwpotecjale, a odwrót zając kształt powerzch ekwpotecjalych moża poprowadzd zawsze le sł pola, a tym samym określd wartośd keruek atężea pola. Dla przykładu a rysuku 6. pokazay jest kształt l atężea pola elektryczego kształt powerzch ekwpotecjalych. Pokaż: Różca potecjałów mędzy dwema eskooczoym aładowaym płaszczyzam wyos: V V σd/ε 6.34 6.9 Rodzaje delektryków. Polaryzacja delektryków. Delektryk, jak każda substacja, składa sę z atomów cząsteczek. Ładuek dodat skupoy jest w jądrach atomów, a ujemy w otoczkach elektroów wokół atomów cząsteczek. Poeważ ładuek dodat wszystkch jąder cząsteczk jest rówy sumaryczemu ładukow elektroów, to cząsteczka jako całośd jest obojęta. Jeżel zamemy dodate ładuk jąder cząsteczk a sumaryczy ładuek +Q, zajdujący sę w środku cężkośc ładuków dodatch, a ładuk wszystkch elektroów sumaryczym ładukem ujemym, zajdującym sę w środku cężkośc ładuków ujemych, to cząsteczk moża rozpatrywad jako dpole elektrycze o momece dpolowym daym wyrażeem 6.. Perwszą grupę delektryków staową substacje (N, H, O, CO, CH 4,...), których cząsteczk mają budowę symetryczą, tz. środk cężkośc ładuków dodatch ujemych pokrywają sę pod eobecośd zewętrzego pola elektryczego, a tym a. Cząsteczk epolare bez pola. Rysuek 6. b. Cząsteczk epolare w polu.
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 4 samym ch momet dpolowy wyos zero. Cząsteczk takch delektryków azywają sę epolarym (Rysuek 6.). Pod dzałaem zewętrzego pola elektryczego ładuk cząsteczek epolarych ulegają przemeszczeu w przecwe stroy cząsteczka uzyskuje momet dpolowy. Drugą grupę delektryków staową substacje ( H O, NH 3, SO, CO,...), których cząsteczk mają esymetryczą budowę, tz. środk cężkośc ładuków dodatch ujemych e pokrywają sę. W rezultace, cząsteczk te w eobecośc zewętrzego pola a. Cząsteczk polare bez pola. elektryczego posadają już ezerowy momet elektryczy. Cząsteczk takch delektryków azywają sę polarym (Rysuek 6.). Jeżel jedak e ma pola elektryczego, to momety dpolowe cząsteczek polarych, w wyku ruchów ceplych, są zoretowae chaotycze ch wypadkowy momet jest rówy zero. Jeżel delektryk tak umeścd w zewętrzym b. Cząsteczk polare w pola. Rysuek 6. polu, to sły tego pola będą dążyły do ustawea dpol wzdłuż pola. Trzecą grupę delektryków staową substacje (NaCl, KCl, KBr,...), których cząsteczk posadają budowę joową. Kryształy joowe (Rysuek 6.3) są satkam przestrzeym, w węzłach których a przema umeszczoe są joy dodate ujeme. W kryształach tych e moża wydzeld oddzelych cząsteczek, moża jedak kryształy te traktowad jako układ dwu - - - Cl - Na + + + E podsatek ałożoych a sebe. Po przyłożeu do kryształu joowego Rysuek 6.3 zewętrzego pola E astępuje pewa deformacja satk krystalczej lub wzajeme przesuęce podsatek w rezultace tworzy sę ezerowy momet dpolowy. W te sposób, wprowadzee tych trzech grup delektryków w zewętrze pole elektrycze prowadz do powstaa różego od zera, wypadkowego mometu dpolowego lub ym słowam do polaryzacj delektryka.
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 5 6. Wektor polaryzacj. Natężee pola elektryczego w delektryku. Jeżel umeścd delektryk w zewętrzym polu elektrostatyczym, to ulega o polaryzacj, tz. uzyskuje róży od zera momet dpolowy p V p, gdze p - momet dpolowy cząsteczk. W celu loścowego opsaa polaryzacj delektryka wprowadza sę welkośd zwaą wektorem polaryzacj (polaryzacją), określoą jako momet dpolowy jedostk objętośc delektryka: P pv /V p/v 6.35 Z dośwadczea wyka, że dla zdecydowaej wększośc delektryków (oprócz ferroelektryków) polaryzacja P zależy lowo od atężea pola elektryczego E. Jeżel delektryk jest zotropowy, to P κεe 6.36 gdze κ podatośd elektrycza substacj, charakteryzująca własośc delektryka. κ jest welkoścą bezwymarową dla wększośc substacj jej wartośd jest rzędu klku jedostek, chocaż p. dla wody wyos 8. W celu zalezea loścowych prawdłowośc pola w delektryku wprowadźmy w jedorode pole (wytworzoe przez dwe rówoległe, jedorode różomee aładowae, eskooczoe płytk) płytkę z jedorodego delektryka usytuowaą jak a Rysuku 6.4. Pod wpływem pola delektryk ulega polaryzacj, tz. zachodz przesuęce ładuków: dodate przesuwają sę zgode z polem, a ujeme przecwe do keruku pola. W rezultace a prawej ścae delektryka, zwrócoej w keruku ujemej płaszczyzy, pojaw sę admar ładuku dodatego o gęstośc powerzchowej +σ, a a lewej admar ładuku ujemego, o gęstośc powerzchowej -σ. Te e skompesowae ładuk azywamy zwązaym (dukowaym). Poeważ ch gęstośd powerzchowa σ jest mejsza od gęstośc powerzchowej σ ładuków swobodych a płytkach, to e całe pole elektrycze E będze skompesowae: częśd l sł pola będze przechodzd przez delektryk. W rezultace polaryzacja delektryka spowoduje zmejszee w m pola elektryczego. Na zewątrz delektryka E = E.
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 6 W rezultace, pojawee sę ładuków zwązaych prowadz do powstaa dodatkowego pola E, które skerowae jest przecwe ż pole zewętrze E powoduje osłabee tego ostatego. Wypadkowe pole wewątrz delektryka wyese: E ' E E E ' Pole E /ε, dlatego E E /ε 6.37 Oblczmy gęstośd powerzchową ładuków zwązaych σ. Z rówaa 6.35 wyka, że całkowty momet dpolowy płytk będze wyosł p V = PV = PSd, gdze S pole powerzch ścay delektryka, a d jego grubośd. Z drugej stroy całkowty momet dpolowy, zgode z 6. będze rówy loczyow zwązaego ładuku Q = σ S odległośc mędzy m, tz. p V = σ Sd. W te sposób: lub PSd σ Sd σ P tz. gęstośd powerzchowa ładuków zwązaych σ rówa jest polaryzacj P. Podstawając do 6.37 wyrażee 6.36 6.38 otrzymujemy E E skąd atężee wypadkowego pola wewątrz delektryka κe 6.38 E.36 E E/ κ 6.39 Zgode z 6.3 przekalośd delektrycza ośrodka ε wskazuje le razy sła F oddzaływaa dwu ładuków w daym ośrodku jest mejsza od sły F ch oddzaływaa w próż, tz. ε = F /F. Wtedy a. Próża mędzy płytam. d E b. Delektryk mędzy płytam. Rysuek 6.4 E Ze wzorów 6.39 6.4 wyka, że E /ε 6.4
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 7 ε κ 6.4 6. Przesuęce elektrycze. Twerdzee Gaussa dla pola elektryczego w delektryku (Opcjoale). Z powyższych rozważao wyka, że wektor atężea pola elektryczego a gracy dwu delektryków przechodz skokową zmaę, powodując tym samym utrudea podczas wylczeo pól elektryczych. Dlatego okazało sę koeczym wprowadzee, oprócz wektora atężea pola elektryczego, dodatkowo wektora przesuęca elektryczego, który w przypadku zotropowego ośrodka jest rówy D ε εe 6.4 Korzystając ze wzoru 6.4 6.36 otrzymujemy D ε E P 6.43 Jak stwerdzlśmy wcześej, wektor E zależy od własośc delektryka (e jest ε dla powetrza, a e dla delektryka a rysuku 6.4). Wektor D e zależy od własośc delektryka (e zależy od ε); w rezultace opsuje o pole elektrycze wytworzoe przez ładuk swobode. Podobe jak pole E pole D moża przedstawd za pomocą l przesuęca elektryczego. Le wektorae mogą zaczyad sę kooczyd a dowolych ładukach swobodych zwązaych, tymczasem le wektora D tylko a ładukach swobodych. Zgode z powyższym twerdzee Gaussa dla strumea wektora przesuęca elektryczego moża zapsad w postac Φ D ds DdS D Q S S 6.44 gdze uwzględamy tylko ładuk swobode. Rówae 6.44 wyraża twerdzee Gaussa dla pola elektryczego w delektryku: Strumeo wektora elektryczego przesuęca w delektryku przez dowolą powerzchę zamkętą jest rówy sume algebraczej zamkętych wewątrz tej powerzch swobodych ładuków elektryczych.
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 8 Dla próż D = ε E (ε = ), wtedy strumeo wektora atężea E przez dowolą powerzchę zamkętą będze rówy S ε EdS Q Poeważ źródłem pola E w ośrodku są zarówo ładuk swobode jak zwązae, to twerdzee Gaussa w ajbardzej ogólej postac moża zapsad w postac E ds EdS Q S S Q zw Q gdze Q zw - odpowedo sumy ładuków swobodych zwązaych zawartych wewątrz zamkętej powerzch S. Jedak rówae to e może byd zastosowae do opsaa pola E w delektryku, poeważ wzór te określa własośc ezaego pola E poprzez ładuk zwązae, które z kole, są określoe tym polem. To jeszcze raz udowada celowośd wprowadzea wektora przesuęca. 6. Przewodk w polu elektryczym. Jeżel przewodk umeścd w zewętrzym polu elektryczym lub, jeżel dostarczyd do przewodka pewe ładuek, to a ładuk w przewodku będze dzaład pole elektrycze powodujące przemeszczae sę ładuków. Przemeszczae ładuków będze zachodzd dopóty, dopók e ustal sę sta rówowagowego rozłożea ładuków, dla którego pole elektrycze wewątrz przewodka będze rówe zero. Zachodz to w bardzo krótkm czase (ułamek sekudy). Rzeczywśce, gdyby pole e było rówe zero, to w przewodku powstałby uporządkoway ruch ładuków bez użyca eerg z zewętrzego źródła, co przeczy zasadze zachowaa eerg. W rezultace atężee pola we wszystkch puktach wewątrz przewodka jest rówe zero: E Zerowe atężee pola elektryczego wewątrz przewodka ozacza, że potecjał we wszystkch puktach przewodka jest jedakowy (φ = cost.), a to z kole ozacza, że powerzcha przewodka jest powerzchą ekwpotecjalą. W rezultace atężee pola a zewętrzej powerzch przewodka mus byd prostopadłe w każdym pukce przewodka. Jeżel by tak e było, to pod dzałaem składowej styczej pola E ładuk
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 9 poruszałyby sę po powerzch, co z kole przeczyłoby rówowagowemu rozłożeu ładuków. Jeżel do przewodka dostarczyd pewe ładuek Q, to eskompesowae ładuk mogą zajdowad sę tylko a powerzch przewodka. Wyka to bezpośredo z twerdzea Gaussa, zgode z którym, ładuek Q zajdujący sę wewątrz przewodka w pewej objętośc ograczoej dowolą zamkętą powerzchą jest rówy strumeow atężea pola elektryczego. Poeważ E =, to Φ = Q = (Rysuek 6.5. Zajdźmy zależośd pomędzy atężeem pola E w poblżu powerzch aładowaego przewodka, a gęstoścą powerzchową ładuków a powerzch. W tym celu zastosujmy twerdzee Gaussa do powerzch cyldra o podstawe ds. (jeda z ch ech zajduje sę wewątrz, a druga a zewątrz przewodka) którego oś jest rówoległa do wektora D (Rysuek 6.6). Poeważ pole wewątrz przewodka e steje, to strumeo wektora D przez zamkętą powerzchę cyldra będze rówy tylko strumeow przez zewętrzą podstawę cyldra. Zgode z twerdzeem Gaussa (6.6), strumeo te (EdS) jest rówy sume ładuków razy /ϵ (Q = σda) zawartych wewątrz tej powerzch: EdA = σda/ϵ tz. E = σ/(ε ) 6.45 W te sposób atężee pola elektryczego przy powerzch przewodka jest określoe przez gęstośd powerzchową ładuków. Zależośd 6.45 jest prawdzwa dla przewodka o dowolym kształce. Jeżel do zewętrzego pola wprowadzd obojęty przewodk, to ładuk swobode będą sę przemeszczad tak długo aż ustal sę sta rówowag. Na jedym koocu przewodka zgromadzą sę ładuk ujeme, a a drugm ładuk dodate. Ładuk te, tak jak w przypadku delektryków, azywamy dukowaym. W srae rówowag atężee wewątrz przewodka osąge wartośd rówą zeru, a le a zewątrz przewodka będą prostopadłe do ego. Powerzcha Gaussa wewątrz przewodka (przekrój) Powerzcha przewodka b) Ładuek a powerzch. Rysuek 6.5 E da Przewodk (przekrój) da Rysuek 6.6 σ
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk Poeważ w warukach rówowag wewątrz przewodka e ma ładuków to, jeżel usuąd częśd wętrza przewodka wytworzyd w m wękę, to e spowoduje to zmay kofguracj ładuków, a tym samym e wpłye to a pole elektrycze. W rezultace wewątrz węk e będze pola (Rysuek 6.7). Jeżel astępe tak przewodk z węką uzemd, to potecjał we wszystkch puktach węk będze rówy zero, a to ozacza, że węka będze całkowce zolowaa od wpływu zewętrzych pól elektrostatyczych. Na tym polega elektrostatycze ekraowae cał, p. osłoa czułych przyrządów pomarowych od wpływu zewętrzych pól elektrostatyczych. Zamast jedorodego przewodka, w charakterze ekrau, może byd użyta gęsta metalowa satka, która mówąc awasem jest dobrym ekraem róweż dla zmeych pól elektryczych. Ta własośd ładuków sytuowaa sę a zewętrzej powerzch przewodka jest wykorzystywaa do budowy geeratorów elektrostatyczych, przezaczoych do zberaa dużych ładuków, wytwarzaa tym samym dużych różc potecjałów (rzędu mloów woltów). Geerator elektrostatyczy, po raz perwszy zbudoway przez amerykaoskego fzyka va de Graaff a, składa sę z przewodka w kształce sfery (Rysuek 6.8), zamocowaego a zolatorach. Ruchoma, wykoaa z materału zolacyjego taśma jest ładowaa przez źródło ładuków za pomocą układu ostrzy. Uzemoa płyta wzmaca proces spływaa ładuków z ostrzy a taśmę. Iy układ ostrzy przekazuje je do powerzchę czaszy metalowej. Pole przesuwa elektroy a lewą stroę zdejmuje ładuk z taśmy Pole jest prostopadłe do powerzch przewodka Rysuek 6.7 Przewodząca czasza Po prawej stroe zostaje wypadkowy ładuek dodat Slk apędzający taśmę Taśma Izolowaa podpora 6. Pojemośd odosoboego przewodka. Rysuek 6.8 Rozważmy odosoboy przewodk, tz. tak, który zajduje sę daleko od ych przewodków, cał ładuków. Jego potecjał, zgode z rówaem 6.6, jest wprost proporcjoaly do ładuku przewodka. Z dośwadczea wadomo, że róże przewodk,
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk które są jedakowo aładowae przyjmują róże potecjały. Dlatego dla odosoboego przewodka moża zapsad: Welkośd Q = C V C = Q V 6.46 azywaa jest pojemoścą odosoboego przewodka. Pojemośd odosoboego przewodka rówa jest takemu ładukow, który przekazay a te przewodk powoduje zwększee jego potecjału o jedostkę (V). Pojemośd przewodka zależy od jego rozmarów kształtu, e zależy od kształtu rozmarów węk wewątrz przewodka. Jest to zwązae z tym, że ładuek admarowy lokalzuje sę a zewętrzej powerzch przewodka. Jedostką pojemośc jest farad (F): F jest to pojemośd takego odosoboego przewodka, którego potecjał zmea sę o V, jeżel wprowadzd a ego ładuek C. Zgode z 6.6, potecjał odosoboej kul o promeu R zajdującej sę w ośrodku jedorodym o przekalośc delektryczej ε jest rówy: V 4π Q εr Korzystając z 6.46 otrzymujemy wzór a pojemośd kul C 4π εr 6.47 Wyka stąd, że pojemośd F posada kula zajdująca sę w próż mająca promeo 9 4π 9 km R C/ tz. 4 razy wększy ż promeo Zem (pojemośd Zem C,7mF ). Ozacza to oczywśce, że farad jest jedostką bardzo dużą w zwązku z tym praktycze używa sę mlfarad -3 F (mf), mkrofarad -6 F (μf), aofarad (F) - 9 F, pkofarad - F (pf). 6.3 Kodesatory. Jak wyka z powyższego paragrafu, aby przewodk posadał dużą pojemośd mus posadad bardzo duże rozmary. W praktyce jedak potrzebe są urządzea, które przy ewelkch rozmarach ewelkch potecjałach względem otaczających cał, byłyby w
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk stae gromadzd duże wartośc ładuków, ym słowy posadałyby dużą pojemośd. Urządzea te oszą azwę kodesatorów. Jeżel do aładowaego przewodka zblżyd e cała, to a ch powerzch powstaą ładuk dukowae (a przewodku), lub dukowae (w delektryku), przy czym ajblżej usytuują sę ładuk mające zak przecwy ż ładuek Q a przewodku. Ładuk te, oczywśce, osłabą pole wytworzoe przez ładuek Q, tz. obżą jego potecjał, a tym samym zwększą jego pojemośd (patrz 6.46). Kodesator składa sę z dwu przewodków (okładek), które są rozdzeloe delektrykem. Aby a pojemośd kodesatora e wpływały otaczające cała, kodesatorom adaje sę tak kształt, aby pole wytworzoe przez zgromadzoy ładuek było zawarte w wąskm obszarze mędzy okładkam kodesatora. Takemu warukow odpowadają p. dwe płaske płytk tak kodesator azywamy płaskm (Rysuek 6.9a). Poeważ pole zawarte jest wewątrz kodesatora, to le sł pola zaczyają sę a jedej okładce, a kooczą a drugej, dlatego ładuk swobode powstające a okładkach są rówe co do modułu mają przecwe zak. Pojemoścą kodesatora azywamy taką welkośd fzyczą, która jest rówa stosukow ładuku Q zgromadzoego a jedej z okładek do różcy potecjałów mędzy jego okładkam: a. Różca potecjałów = V ab b. Rysuek 6.9 Okładka a o powerzch A Okładka b o powerzch A Q C = 6.47 V V Pojemośd kodesatora. Rozważmy pojemośd kodesatora płaskego składającego sę z dwóch rówoległych metalowych płytek a bo powerzch A, oddaloych od sebe a odległośd d posadających ładuk +Q Q (Rysuek 6.9b). Jeżel odległośd mędzy płytkam jest mała w porówau z ch rozmaram lowym, to efekty brzegowe moża zaedbad pole wewątrz kodesatora moża uważad za jedorode. Zgode ze wzorem 6.34, zakładając, że mędzy okładkam zajduje sę delektryk o ε otrzymujemy:
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 3 V σd/ εε V 6.48 Wtedy z rówaa 6.47 otrzymujemy, że pojemośd kodesatora płaskego wyos (Q = σa) εε A C 6.49 d Wdad, że pojemośd kodesatora płaskego jest wprost proporcjoala do ε. Tak jest róweż dla kodesatorów o ych kształtach. Dlatego też wypełee kodesatora ferroelektrykem (delektrykem o dużym ε), zacze zwększa jego pojemośd. Aby zwększyd powerzchę okładek, a tym samym zwększyd pojemośd kodesatorów wykouje sę je w te sposób, że mędzy dwe długe wstęg przewodzącej fol umeszcza sę ceką folę plastkową (delektryk) astępe zwja sę je razem (Rysuek 6.). Przewodk (fola metalowa) Przewodk (fola metalowa) Rysuek 6. Delektryk (warstwa plastku) 6.3. Rówoległe łączee kodesatorów. (Rysuek 6.) Dla rówoległego połączea kodesatorów różca potecjałów a okładkach kodesatorów jest jedakowa rówa. Jeżel pojemośc poszczególych kodesatorów wyoszą C, C,...,C, to zgode z.47 Q Q C VA VB C VA VB A B V A +Q +Q C -Q C -Q V B........... Q C V V, A B +Q C -Q całkowty ładuek bater kodesatorów wyese: Rysuek 6. Q Q C C... C V V A B Całkowta pojemośd takego układu kodesatorów pojemośd ekwwaleta: C Q/ VA VB C C... C C
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 4 tz. jest rówa sume pojemośc poszczególych kodesatorów..3. Szeregowe łączee kodesatorów. (Rysuek 6.) Przy szeregowym połączeu kodesatorów ładuk a wszystkch okładkach są rówe co do wartośc bezwzględej, a różca potecjałów a zacskach takej bater ΔV ΔV gdze dla dowolego z kodesatorów ΔV Q/C V A C C C 3 C V B Z drugej stroy, +Q -Q +Q -Q +Q -Q +Q -Q ΔV Q/C Q /C ΔV ΔV ΔV 3 ΔV w rezultace pojemośd całkowta: Rysuek 6. C C C... C tz. przy szeregowym łączeu kodesatorów sumują sę odwrotośc pojemośc. Wyka stąd, że przy szeregowym łączeu kodesatorów sumarycza pojemośd C jest zawsze mejsza od ajmejszej pojemośc występującej w bater. 6.4 Eerga układu ładuków, aładowaego odosoboego przewodka aładowaego kodesatora. Eerga pola elektrostatyczego.. Eerga układu eruchomych ładuków. Sły elektrostatycze są słam zachowawczym, a w zwązku z tym układ ładuków posada eergę potecjalą. Zajdźmy eergę potecjalą układu dwu eruchomych ładuków puktowychq Q zajdujących sę w odległośc r od sebe. Każdy z tych ładuków zajdując sę w polu drugego posada eergę potecjalą: U, QV
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 5 U QV gdze V V - odpowedo potecjały wytworzoe przez ładuek Q w pukce położea ładuku Q przez ładuek Q w pukce położea ładuku Q. Zgode z.4 Dlatego Q 4ππ r Q 4ππ r V U U U U Q V V Q QV QV Dodając do układu dwu ładuków astępe Q 3, Q 4,... moża zauważyd, że dla eruchomych ładuków ch całkowta potecjala eerga oddzaływaa wyese: U Q V 6.5 gdze V jest potecjałem w mejscu gdze zajduje sę ładuek Q wytworzoym przez wszystke ładuk oprócz -tego.. Eerga aładowaego odosoboego przewodka. Nech będze day odosoboy przewodk posadający ładuek Q, potecjał V pojemośd C. Zwększmy ładuek tego przewodka o dq. W tym celu ależy przeeśd ładuek dq z eskooczoośc a powerzchę przewodka wykoad pracę rówą dw VdQ CVdV. Aby aładowad przewodk od zerowego potecjału do potecjału φ ależy wykoad pracę W CVd CV 6.5 Eerga aładowaego przewodka jest rówa takej pracy, która jest koecza do aładowaa tego przewodka, tz. 6.5 jest jedocześe wyrażeem a eergę aładowaego przewodka: Q U CV QV 6.5 C
Potr Posmykewcz Wykład z fzyk 6 Wzór 6.5 moża otrzymad przypomając sobe, że potecjał przewodka jest wszędze jedakowy. Przyjmując potecjał rówy V z rówaa.5, otrzymujemy: gdze Q Q U V Q QV jest ładukem przewodka.. Eerga aładowaego kodesatora. Jak każdy aładoway przewodk kodesator posada eergę, która zgode z ze wzorem 6.5 jest rówa U = C V = Q V = Q C 6.53 gdze Q ładuek kodesatora, C jego pojemośd, ΔV różca potecjałów mędzy okładkam. Zajdź, że sła przycągaa sę okładek kodesatora płaskego wyos Q F εε S 4. Eerga pola elektrostatyczego. Przekształdmy wzór 6.53, opsujący eergę kodesatora płaskego, podstawając pojemośd kodesatora płaskego (C = εε A/d) różcę potecjałów mędzy okładkam (Δφ = Ed). Otrzymamy wtedy εεe εεe U Sd V 6.54 gdze V = Sd jest objętoścą kodesatora. Wzór 6.54 pokazuje, że eerga kodesatora jest wyrażoa poprzez welkośd charakteryzującą pole atężee E. Wskazuje to, że pole elektrycze posada eergę, że w zwązku z tym moża mówd o eerg pola elektrostatyczego. Take pole posada eergę o gęstośc: εεe ED w U/V 6.55 Wzór.53 określa eergę poprzez ładuk, a wzór.54 poprzez atężee pola E. Powstaje zatem pytae, czy eergę posadają ładuk, czy pole elektrycze? Na gruce elektrostatyk e moża dad a to pytae odpowedz. Okazuje sę jedak, że zmee pola elektrycze mogą sted ezależe od wzbudzających je ładuków elektryczych mogą rozprzestrzead sę w przestrze w postac fal elektromagetyczych przeoszących eergę. To przekoywująco udowada, że ośkem eerg jest pole elektrycze.