Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty

Wstęp do analizy i algebry - II. Funkcje: podstawowe własności i przegląd funkcji elementarnych I. Funkcje - definicja, dziedzina, przeciwdziedzina, wykres, funkcje w ekonomii Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami. Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej skomplikowanej analizy. Definicja 1. Funkcją f prowadzącą ze zbioru X = w zbiór Y = (notacja: f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty funkcji f. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f. Zbiór f(x) = {y Y : x X : f(x) = y} to zbiór wartości funkcji f. Elementy tego zbioru to wartości funkcji f. Najczęściej będziemy się zajmować funkcjami rzeczywistymi (czyli o dziedzinie i przeciwdziedzinie zawartej w R), ewentualnie funkcjami o dziedzinach w C lub R n, ale znamy również zupełnie inne funkcje. Przykłady Funkcje na zbiorze ludzi (matka), ciągi. Przykłady Nie są funkcjami f(x) = 1 x ; X = Y = R, f(x) = y x2 + y 2 = 1, X = Y = [ 1, 1], funkcja na zbiorze ludzi (rodzeństwo). Przykłady Podstawowe przykłady ekonomiczne: funkcja kosztu od wielkości produkcji, funkcja popytu od ceny, funkcja podaży od ceny, funkcja produkcji w zależności od nakładów, funkcja użyteczności w zależności od nakładów lub od wyboru koszyka, funkcja zysku od wielkości inwestycji. Należy pamiętać, że nawet funkcja rzeczywista nie składa się tylko z przepisu czyli wzoru obliczenia wartości funkcji w każdym punkcie dziedziny, ale też z samej dziedziny. Definicja 2. Mówimy, że funkcja f jest równa funkcji g jeśli D f = D g i x Df f(x) = g(x). Przykład f(x) = x2 4x x, g(x) = x 4. Jeśli, wspominając o funkcji, nic nie mówimy o dziedzinie, to zakładamy, że jest ona maksymalna możliwa. Dlatego czasem mówimy o zawężeniu funkcji do jakiegoś zbioru (jeśli chcemy, by dziedzina funkcji została sztucznie zmniejszona). Definicja 3. Niech f : X Y i A X. Wtedy f A : A Y taka, że a A f A (a) = f(a) nazywana jest zawężeniem funkcji f do zbioru A. Definicja 4. em funkcji f nazywamy zbiór par (x, y) X Y, takich, że f(x) = y. Oznaczamy go przez graphf. Definicja 5. Miejscem zerowym lub pierwiastkiem funkcji f nazywamy każdy x X taki, że f(x) = 0. Przez najbliższe kilka podrozdziałów (jeśli nie będzie zaznaczone, że jest inaczej) zajmiemy się przykładami funkcji rzeczywistych i ich własnościami. Domyślnie, aż do sekcji XII włącznie, słowo funkcja oznacza funkcję rzeczywistą. II. Wielomiany, funkcje potęgowe i funkcje wielomianopodobne, równania i nierówności wielomianowe Podstawowe informacje o wielomianach - do powtórki (w pliku - wstępne informacje o funkcjach elementarnych). Uwaga! Wielomiany pierwszego stopnia (czyli funkcje postaci f(x) = ax + b) są często w szkole i literaturze ekonomicznej nazywane liniowymi. Również podczas wykładu, na opisanie zależności reprezentowane takimi funkcjami często będziemy używać słowa 1

2 liniowe. Jednak ściśle, funkcjami liniowymi są tylko te, dla których b = 0 (pojęciem odwzorowania liniowego szczegółowo zajmiemy się na algebrze). Matematycznie prawidłową nazwą są funkcje afiniczne (czyli takie, które od liniowych różnią się dodaniem pewnej stałej). Jednym z najprostszych wielomianów jest tzw. identyczność na liczbach rzeczywistych, czyli funkcja dana wzorem f(x) = x. Jej definicję możemy uogólnić na funkcje o dowolnych dziedzinach. Definicja 6. Niech X będzie dowolnym zbiorem (niekoniecznie podzbiorem R). Wtedy funkcję f : X X, taką, że x X f(x) = x nazywamy identycznością na zbiorze X i oznaczamy przez id X lub I X. Definicja 7. Funkcją potęgową zmiennej x nazywamy funkcję postaci f(x) = x a, gdzie a R. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których a Q. Przypominam, że x a = 1 i x 1 x a a = a x. Dlatego funkcja potęgowa może być zakamuflowana jako ułamek albo pierwiastek. Funkcje potęgowe, dla których a N są po prostu jednomianami, więc mają dziedzinę rzeczywistą. Dla innych funkcji potęgowych, trzeba dopasować dziedzinę do wykładnika. Jeśli a jest liczbą ujemną, to z dziedziny musimy usunąć 0. Jeśli zaś a = p jest ułamkiem q nieskracalnym oraz q jest parzyste, to liczby ujemne też nie należą do dziedziny. Na koniec tego podrozdziału dodamy pewną niestandardową, lecz wygodną definicję, której nie znajdzie się w podręcznikach, ale dla wygody będziemy jej używać na wykładzie. Definicja 8. Funkcją wielomianopodobną zmiennej x nazywamy dowolną skończoną sumę funkcji postaci f(x) = a r x r, gdzie r R i a r R. Innymi słowy, funkcja wielomianopodobna to funkcja różniąca się od wielomianu tym, że zmienna występuje w niej w potęgach niekoniecznie naturalnych. Ma wiele własności podobnych do wielomianu, ale należy uważać na jej dziedzinę i dostosować ją do jej składowych funkcji potęgowych. III. Parzystość/nieparzystość, monotoniczność funkcji Pojęcie parzystości i nieparzystości funkcji jest znane ze szkoły - proszę sobie przypomnieć definicję i jak się parzystość/nieparzystość sprawdza, a także jak rozpoznać funkcję parzystą/nieparzystą po wykresie. Definicja 9. Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową (lub injekcją), jeśli nie przyjmuje nigdy tej samej wartości dla dwu różnych argumentów, czyli a,b X (a = b f(a) = f(b)). Przykłady f(x) = 2x + 1, f(x) = x 2. Definicja 10. Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f(a) < f(b). Funkcja f jest malejąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f(a) > f(b). Jeśli w powyższych zdaniach mamy do czynienia tylko ze słabymi nierównościami między f(a) i f(b), to mówimy o funkcjach słabo rosnących/malejących lub niemalejących/nierosnących. Jeśli funkcja jest rosnąca lub malejąca w zbiorze A, to mówimy, że jest monotoniczna w tym zbiorze. Domyślnie, jeśli nie mówimy w jakim zbiorze funkcja jest rosnąca/malejąca, zakładamy, że jest ona rosnąca/malejąca w całej swojej dziedzinie. Przykład f(x) = x 3, f(x) = x 2. Uwaga! To, że funkcja jest rosnąca/malejąca w zbiorze A i jest rosnąca/malejąca w zbiorze B nie oznacza, że jest rosnąca/malejąca w zbiorze A B! Przykład f(x) = x 3 3x.

Pożytki z funkcji rosnących/malejących: rozwiązywanie nierówności. Jeśli po obu stronach nierówności występuje funkcja rosnąca w dziedzinie tej nierówności, możemy ją pominąć. Jeśli taka funkcja jest malejąca - jej pominięcie wymaga zmiany kierunku nierówności. Podobnie postępujemy, gdy chcemy na obu stronach nierówności wykonać tę samą operację - co jest dozwolone (z ewentualną zmianą kierunku nierówności), jeśli ta operacja jest funkcją monotoniczną. Przykład x 2 < 4 dla x > 0 i x < 0. IV. Funkcje wykładnicze Przykład Rozwój populacji, fałszywa hipoteza Malthusa. VI. Funkcje okresowe, funkcje trygonometryczne Przykłady zjawisk okresowych: sezonowe zmiany w handlu żywnością, cykle ekonomiczne. Należy sobie przypomnieć definicje funkcji okresowych oraz okresu funkcji. Z zakresu funkcji trygonometrycznych powinny być znane pojęcia: miara łukowa, sinus, kosinus, tangens, kotangens (jako funkcje rzeczywiste, niezależne od intuicji geometrycznej). Powinni Państwo znać: wykresy tych funkcji na osi rzeczywistej, dziedziny funkcji, zbiory wartości, podstawowe własności (monotoniczność, parzystość/nieparzystość, różnowartościowość, okresowość, okres), wartości funkcji w punktach 0, π, π, π, π, π, wzory redukcyjne i wszelkie szkolne wzory trgonometryczne. 2 3 4 6 Ponadto powinni Państwo umieć rozwiązywać równania i nierówności trygonometryczne. VII. Działania na funkcjach, funkcje odwrotne, funkcje popytu i podaży Na funkcjach, jak na liczbach można wykonywać działania arytmetyczne. Definicja 11. Niech f : X R i g : X R, α R, zaś oznacza jedno z działań +,,. Wtedy definiujemy funkcje: a)α f : X R, (α f)(x) = α f(x). b)f g : X R, (f g)(x) = f(x) g(x). Dodatkowo, jeśli g(x) = 0 x A, to definiujemy: c) f : X A R, f f(x) (x) =. g g g(x) Dodatkowo, na funkcjach możemy przeprowadzić jeszcze jedno działanie: składanie. Definicja 12. Niech f : X Y i g : Y Z. Wtedy funkcja h : X Z dana wzorem h(x) = g(f(x)) nazywa się złożeniem funkcji f i g. Oznaczamy h = g f. f jest nazywana funkcją wewnętrzną, a g funkcją zewnętrzną takiego złożenia. Przykład Podatki. Przykład Składanie i rozkładanie różnych funkcji. Uwaga! Składanie funkcji nie jest przemienne! Definicja 13. Funkcję f : X Y nazywamy surjekcją, jeśli przeciwdziedzina tej funkcji jest równa zbiorowi wartości tj. y Y x X : f(x) = y. Przykłady f(x) = 2x+1, g(x) = 2 x. Surjekcjami na R są zawsze wielomiany nieparzystego stopnia. Zazwyczaj łatwo poprawić funkcję tak, by była surjekcją - wystarczy zmniejszyć jej zbiór wartości (np. g(x) = 2 x jest surjekcją na jako funkcja g : R R + ). Definicja 14. Funkcję f : X Y nazywamy wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją, jeśli jest injekcją i surjekcją. Bijekcjami na swojej dziedzinie i zbiorze wartości są wszystkie funkcje monotoniczne np. funkcje wykładnicze. Funkcje trygonometryczne są bijekcjami dopiero po zawężeniu dziedziny i przeciwdziedziny. Definicja 15. Dla bijekcji f : X Y definiujemy jej funkcję odwrotną f 1 : Y X następująco: f 1 (y) = x, gdzie x jest takie, że f(x) = y. Jest to jedyna funkcja taka, że f f 1 = id Y, f 1 f = id X. Każdą funkcję, która posiada funkcję odwrotną nazywamy odwracalną. 3

4 y wzajemnie odwrotnych funkcji rzeczywistych są symetryczne względem prostej y = x. Przykład f(x) = 3x + 2. Przykład Funkcje popytu i podaży - wykresy walrasowskie i marshallowskie. Twierdzenie 1. (Zasada buta i skarpetki) Jeśli funkcje f : X Y i g : Y Z są odwracalne, to (g f) 1 = f 1 g 1. Twierdzenie 2. Jeśli funkcja f : X Y jest funkcją rosnącą (malejącą) i odwracalną, to f 1 : Y X również jest funkcją rosnącą (malejącą). VIII. Funkcje logarytmiczne Funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej jest funkcja logarytmiczna. Powinni państwo sobie przypomnieć wszystko o definicji, wykresie i własnościach (różnowartościowość, monotoniczność, dziedzina, zbiór wartości) funkcji logarytmicznej. Ponadto wzory związane z logarytmami (logarytm iloczynu, logarytm potęgi, wartość logarytmu w 1 i w a) oraz rozwiązywanie równań i nierówności logarytmicznych. Szczególną funkcją logarytmiczną jest ln x. ln, czyli logarytm naturalny, jest to logarytm, którego podstawą jest tzw. liczba Eulera - liczba niewymierna (tak jak π), oznaczana przez e 2, 72. Wkrótce poznamy ciekawe - zarówno z punktu widzenia zarówno matematyki, jak i zastosowań, własności tej liczby, oraz funkcji e x i ln x. Przykład Po jakim czasie dana suma zostanie zgromadzona na lokacie? Równania i nierówności logarytmiczne rozwiązujemy, korzystając z własności monotoniczności i różnowartościowości funkcji. IX. Funkcje cyklometryczne Generalnie, funkcje trygonometryczne nie są odwracalne: skoro są okresowe, nie mogą być różnowartościowe. Dlatego, zanim skonstruujemy funkcje odwrotne do nich, musimy zawęzić ich dziedziny. Funkcją odwrotną do sin [ π/2,π/2] jest arcsin : [ 1, 1] [ π, π ]. Wartość można obliczyć arcsin x = y sin y = x y [ π, π]. Na przykład arcsin( 1) = π, bo sin( π) = 1, arcsin 1 = π, bo sin π = 1. 2 6 6 2 Funkcją odwrotną do cos [0,π] jest arccos : [ 1, 1] [0, π]. Wartość można obliczyć arccos x = y cos y = x y [0, π]. Na przykład arccos( 1) = π, bo cos π = 1, arccos 1 = π, bo cos π = 1. 2 3 3 2 Funkcją odwrotną do tg ( π/2,π/2) jest arctg : R ( π, π ). Wartość można obliczyć arctg x = y tg y = x y ( π, π). Na przykład arctg( 1) = π, bo tg( π) = 1, 4 4 arctg 3 = π, bo tg π = 3. 3 3 Warto zwrócić uwagę, że arctg, choć jest funkcją stale rosnącą, to jest ograniczony od góry tj. istnieje liczba, która jest większa od każdej z wartości przyjmowanych przez arctg. Funkcją odwrotną do ctg (0,π) jest arcctg : R (0, π). Wartość można obliczyć arcctg x = y ctg y = x y (0, π). Na przykład arcctg( 1) = 3π, bo ctg 3π = 1, 4 4 arcctg 3 = π, bo ctg π = 3. 6 6 Własności funkcji cyklometrycznych Dziedzina: Dla funkcji arctg i arcctg dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a dziedziną arcsin i arccos jest zbiór [ 1, 1].

Zbiór wartości: Dla funkcji arcsin zbiorem wartości jest [ π, π ], dla funkcji arccos zbiorem wartości jest [0, π], dla arctg zbiorem wartości jest ( π, π ), dla arcctg zbiorem wartości jest (0, π). Funkcje arcsin i arctg są nieparzyste. Funkcje arcsin i arctg są rosnące, a arccos i arcctg są malejące w swojej dziedzinie. Wszystkie te funkcje są różnowartościowe (więc są bijekcjami na swój obraz) i odwracalne. Dodatkowo, zachodzą równości (w dziedzinie odpowiednich funkcji): arcsin x + arccos x = π 2 ; arctg x + arcctg x = π 2. X. Dziedzina-podsumowanie Wszystkie powyżej przedstawione funkcje rzeczywiste są tzw. funkcjami elementarnymi. Dużą część kursu analizy przeznaczymy na metody badania zachowania się różnych funkcji (najczęściej powstających przez odpowiednie działania na funkcjach elementarnych). Prawie zawsze (a przynajmniej, jeśli nie jest powiedziane inaczej), takie badanie musi być poprzedzone obliczeniem dziedziny odpowiedniej funkcji. Podsumujmy zatem, na co musimy zwracać uwagę, przy badaniu dziedziny: Ułamki (mogą być zakamuflowane jako funkcje potęgowe ujemnych stopni). Pierwiastki lub funkcje potęgowe o parzystych mianownikach wykładników. Funkcje trygonometryczne (tangens i kotangens). Funkcje logarytmiczne. Funkcje cyklometryczne. Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Przykład f(x) = arcsin ln(1 x) x+1. XI. Wklęsłość i wypukłość funkcji Kolejna, bardzo istotna w modelowaniu matematycznym zagadnień ekonomicznych własność to wypukłość/wklęsłość. Definicja 16. Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f(αx 1 + (1 α)x 2 ) < αf(x 1 ) + (1 α)f(x 2 ). Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f(αx 1 + (1 α)x 2 ) > αf(x 1 ) + (1 α)f(x 2 ). Jeśli w powyższych definicjach mamy do czynienia ze słabymi nierównościami, mówimy o słabej wypukłości/wklęsłości. Interpretacja geometryczna: funkcja jest wypukła, jeśli odcinek łączący dwa punkty wykresu funkcji przebiega nad tym wykresem. Oczywiście, jeśli funkcja jest wklęsła, to odcinek łączący dwa punkty wykresu funkcji przebiega pod tym wykresem. Można sobie wyobrazić próbę nalania płynu (od góry) do naczyń w tych kształtach: z kieliszka wklęsłego płyn się zawsze wyleje... Przykłady f(x) = x 2 - wypukła w całej dziedzinie. f(x) = x - wklęsła w całej dziedzinie, f(x) = x 3 - wklęsła w [, 0], wypukła w [0, + ]. Interpretacja związana z monotonicznością: Jeśli funkcja jest rosnąca i wypukła, to znaczy, że rośnie coraz szybciej, jeśli jest rosnąca i wklęsła, to rośnie coraz wolniej, jeśli jest malejąca i wypukła to maleje coraz wolniej, a jeśli jest malejąca i wklęsła to maleje coraz szybciej. Funkcje elementarne i wklęsłość/wypukłość: Jeśli funkcja f jest wypukła, to funkcja f jest wklęsła. Wielomiany i funkcje wymierne nie są zazwyczaj wklęsłe ani wypukłe w całej dziedzinie (jedynie przedziałami), choć czasem się to zdarza (x 2 ). 5

6 Funkcje wykładnicze są wypukłe. Funkcje logarytmiczne są wklęsłe, jeśli podstawa logarytmu jest większa od 1, a w przeciwnym wypadku są wypukłe. Funkcje cyklometryczne i trygonometryczne nie są wklęsłe ani wypukłe w całej dziedzinie (jedynie przedziałami). Przykłady Warunek wypukłości pojawia się często w zastosowaniach ekonomicznych. Zazwyczaj, dla funkcji rosnących, zakłada się, że są one wypukłe, jeśli są niekorzystne (np. często funkcja kosztu wydobycia surowców) i wklęsłe, jeśli są korzystne (funkcja przychodu od nakładów - zasada malejących przychodów krańcowych). XII. Rzeczywiste funkcje nieelementarne Najbardziej popularne (i chyba jedyne pojawiające się na tym kursie) funkcje, które nie są ani funkcjami elementarnymi, ani nie powstają za pomocą przedstawionych w podrozdziale VI działań na funkcjach, to tzw. sklejenia funkcji, które polegają na tym, że funkcja jest zdefiniowana różnymi wzorami elementarnymi na różnych przedziałach. Czasem funkcje tego typu są na tyle użyteczne, że uzyskują własne oznaczenie. Przykłady f(x) = x, f(x) = sgn x. XIII. Funkcje wielu zmiennych - przykłady Żeby Państwa nie przyzwyczajać zanadto do myśli, że wszystkie funkcje muszą zależeć od jednej zmiennej, przedstawię kilka przykładów, że tak nie jest. W istocie, nieczęsto się zdarza, by jakiekolwiek zjawisko, ekonomiczne, czy inne, było zależne tylko od jednego bodźca. Dlatego używanie funkcji wielu zmiennych jest często konieczne, by stworzyć właściwy model. Kanoniczny iloczyn skalarny Rozważmy dwa wektory w przestrzeni R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) i y = (y 1, y 2,..., y n ). Odwzorowanie u : R n R n R zdefiniowane wzorem u(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 +... + x n y n nazywamy kanonicznym iloczynem skalarnym. Często używa się innych oznaczeń: u(x, y) =< x, y >= x y, albo po prostu: u(x, y) = xy. Geometryczna interpretacja: Dla wektorów x, y R n można użyć iloczynu skalarnego jako sposobu znajdowania kąta między nimi, gdyż zachodzi zależność < x, y >= x y cos α, gdzie α jest miarą kąta między nimi. Zauważmy, że nie ma znaczenia, w którą stronę ten kąt jest mierzony, gdyż cos jest funkcją parzystą. Najczęściej używa się tej zależności do badania prostopadłości wektorów: dwa wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn wynosi 0. Ekonomiczna interpretacja: Iloczyn skalarny jest często wykorzystywany w ekonomii. Najbardziej trywialna interpretacja, to wartość koszyka dóbr. Załóżmy, że pewien gracz rynkowy posiada następujące zasoby: x 1 jednostek dobra 1, x 2 jednostek dobra 2 itd. (liczby te mogą być ujemne, gdyż uwzględniamy możliwe zadłużenie). Ceny tych dóbr to: y 1 za jednostkę dobra 1, y 2 za jednostkę dobra 2 itd. (ceny mogą być ujemne, jeśli dobro jest niepożądane np. odpady produkcyjne) Wtedy wartość wszystkich zasobów gracza rynkowego (jego koszyka dóbr) wynosi < x, y >. Funkcje produkcji (Cobba-Douglasa) Funkcje Cobba-Douglasa oryginalnie dotyczyły relacji między produkcją, a jej nakładami: kapitałem i pracą. Są one postaci: F (K, L) = ak α L β, gdzie K to nakład kapitału, a L to nakład pracy prowadzące do wyprodukowania F (K, L) jednostek produktu. a, α i β są liczbami rzeczywistymi. Jak widać: F : R + R + R. Obecnie funkcje tej postaci rozważa się w wielu kontekstach, niekoniecznie związanych z nakładami pracy i kapitału oraz produkcją. Często też uogólnia się tę funkcję na więcej niż dwie zmienne. Ciekawostka: czasem do założeń o funkcjach Cobba-Douglasa dokłada się warunek α + β = 1 obrazujący tzw. brak efektu skali (tj. informację o tym, że np. jednoczesne podwojenie nakładów kapitału i nakładów pracy spowoduje podwojenie produkcji). Gdy chcemy dodać działanie efektu skali, możemy założyć α + β < 1 lub α + β > 1.