METODA BLANCHARDA-KAHNA ROZWIĄZYWANIA MODELI DSGE NA PRZYKŁADZIE PODSTAWOWEGO MODELU NOWEJ SZKOŁY KEYNESOWSKIEJ

STUDIA OECONOMICA POSNANIENSIA 2015, vol. 3, no. 2 Karolina Sobczak Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informayki i Gospodarki Elekronicznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej karolina.sobczak@ue.poznan.pl METODA BLANCHARDA-KAHNA ROZWIĄZYWANIA MODELI DSGE NA PRZYKŁADZIE PODSTAWOWEGO MODELU NOWEJ SZKOŁY KEYNESOWSKIEJ Sreszczenie: W opinii wielu ekonomisów sochasyczne dynamiczne modele równowagi ogólnej (dynamic sochasic general equlibrium, DSGE) są głównym kierunkiem badań we współczesnej eorii ekonomii [Gali 2008; Baranowski i in. 2013]. Trudno jednak narafić na prace wprowadzające do meodologii modeli DSGE. Dlaego chcemy zaproponować omówienie podsaw modeli DSGE, kóre pozwoli uzupełnić ę lukę. W ym celu posłużymy się podsawowym modelem nowej szkoły keynesowskiej, w kórym zakłada się zróżnicowanie dóbr, konkurencję monopolisyczną oraz inercję cen [Calvo 1983]. Rozwiązanie układu równań modelu DSGE jes dokonywane za pomocą meod numerycznych. Jedną z pierwszych echnik sosowanych do rozwiązywania ekonomicznych liniowych modeli racjonalnych oczekiwań była meoda Blancharda-Kahna [Blanchard i Kahn 1980]. Używa się w niej log-liniowej aproksymacji warunków pierwszego rzędu wynikających z wyjściowego problemu opymalizacji [Sims 2002], aby złożony układ nieliniowy przekszałcić w układ liniowy. Meoda Blancharda- -Kahna opiera się na rachunku macierzowym i określa własności macierzy układu równań modelu gwaranujące isnienie oraz sabilność rozwiązania. Problem warości własnych macierzy przekłada się na problem doboru odpowiednich warości srukuralnych paramerów modelu oraz ich kombinacji. Słowa kluczowe: log-linearyzacja, meoda Blancharda-Kahna, modele DSGE, nowa szkoła keynesowska. Klasyfikacja JEL: C62, C68, E12, E52. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 70 2015-07-10 11:45:20

Meoda Blancharda-Kahna rozwiązywania modeli DSGE 71 THE BLANCHARD-KAHN METHOD OF SOLVING DSGE MODELS A CASE OF THE BASIC NEW KEYNESIAN MODEL Absrac: In he opinion of many economiss, DSGE (dynamic sochasic general equilibrium) models can be viewed as a leading sream of modern macroeconomic heory [Galí 2008; Baranowski e al., 2013]. However, i is difficul o find any works which inroduce DSGE mehodology, especially for readers who are no familiar wih he issue. In he Polish lieraure here are no inroducory conribuions. Therefore, we would like o presen an overview of he fundamenals of DSGE models o fill his gap. To his end we use he basic New Keynesian model, which assumes produc differeniaion, monopolisic compeiion and saggered price seing [Calvo 1983]. Solving he equaions of he DSGE model sysem is achieved by means of numerical mehods. One of he firs echniques proposed for solving linear raional expecaions models originaes from Blanchard and Kahn [Blanchard, Kahn, 1980]. The mehod uses he log-linear approximaion of opimal condiions for he iniial opimizaion problem underlying he model [Sims 2002]. I is based on marix calculus and deermines he properies of he eigenvalues of he sysem marices. The problem of he eigenvalues ranslaes ino he problem of selecing appropriae values for he srucural parameers of he model or heir combinaions. This mehod makes i possible o deermine if here exiss a locally unique sable soluion o he sysem. Keywords: Blanchard-Kahn mehod, DSGE models, log-linearizaion, New Keynesian economics. Wsęp W opinii wielu ekonomisów sochasyczne dynamiczne modele równowagi ogólnej (dynamic sochasic general equlibrium, DSGE) sanowią główny kierunek we współczesnej eorii ekonomii [Galí 2008]. Ich konsrukcja jes wynikiem połączenia podsaw eorii realnego cyklu koniunkuralnego (Real Business Cycle, RBC) z meodologicznymi aspekami mikroekonomii oraz podejść sosowanych w saysyce. Naomias w warswie pojęciowej meodologia ych modeli czerpie z akich rendów ekonomicznych, jak nowa szkoła keynesowska, nowa makroekonomia gospodarki owarej czy nowa ekonomia insyucjonalna. Ze względu na wciąż pogłębiające się zaineresowanie modelami DSGE świaowa lieraura z zakresu ich meodologii modeli jes dość obszerna i wciąż SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 71 2015-07-10 11:45:20

72 Karolina Sobczak uzupełniana o nowe pozycje 1. Jednak, ponieważ w eorii ekonomii modele DSGE o wciąż sosunkowo młoda dziedzina, arykuły z ego zakresu prezenują wiedzę wysoce specjalisyczną i rakującą o szczegółowych zagadnieniach. Naomias rudniej narafić na prace wprowadzające do meodologii modeli DSGE, zwłaszcza czyelnika pragnącego dopiero zapoznać się z ą emayką 2. W lieraurze polskiej brak jes w ogóle akich pozycji 3. Dlaego chcemy zaproponować omówienie podsaw modeli DSGE, kóre pozwoli uzupełnić ę lukę 4. W arykule skoncenrujemy się na objaśnieniu prakycznych aspeków pracy z modelami DSGE, a konkrenie na rozwiązywaniu układu równań modelu. Podsawy eoreyczne, zwłaszcza doyczące założeń sosowanych w konsrukcji modeli DSGE, odwołują się do eorii realnego cyklu koniunkuralnego oraz nowej szkoły keynesowskiej 5. Synezę ych zagadnień można odnaleźć m. in. w pracy J. Gali ego [2008] oraz McCandlessa [2008]. Dla naszych celów posłużymy się przykładem, bardzo prosego w swojej klasie, modelu gospodarki zamknięej, sosowanego w analizie poliyki monearnej 6, 1 Jako synezę, ale również przegląd modeli DSGE sosowanych do analizy poliyki monearnej, waro polecić pracę [Galí 2008]. 2 W podręczniku [McCandless 2008] można znaleźć rozdziały poświęcone wprowadzeniu do modeli DSGE. Jednak i w ej pracy zakłada się pewne wsępne zaznajomienie czyelnika z meodologią modeli DSGE. Bardzo pomocną pozycją okazuje się przewodnik [Mancini Griffoli 2007 2008] napisany na porzeby objaśnienia oprogramowania DYNARE, z naciskiem na aspeky echniczne i szczegóły implemenacji różnego ypu procedur maemaycznych używanych przy rozwiązywaniu modeli DSGE. 3 Użyeczne może się okazać zapoznanie z pracą [Grabek, Kłos i Uzig-Lenarczyk 2007]. Prezenowany w niej model jes bardziej złożony. Naomias czyelnik może znaleźć liczne odwołania na ema szczegółowych zagadnień, a akże przejrzyse i wyczerpujące objaśnienie wielu aspeków eoreycznych. 4 Arykuł zosał opracowany na podsawie części I rozdziału rozprawy dokorskiej [Sobczak 2013] p. Effec of nominal convergence crieria on real side of economy in DSGE models przygoowanej w Kaedrze Ekonomii Maemaycznej na Wydziale Informayki i Gospodarki Elekronicznej Uniwersyeu Ekonomicznego w Poznaniu pod kierunkiem profesora Krzyszofa Malagi oraz pod kierunkiem profesora Jeana-Chrisopha Pouineau z Uniwersyeu Rennes 1 w Rennes. 5 Maemayczne podsawy nuru nowej ekonomii keynesowskiej można znaleźć również w [Romer 2014]. 6 Przedsawienie modelu w znacznej mierze opiera się na III rozdziale książki [Galí 2008], w kórej auor określa prezenowany przez siebie model jako podsawowy model nowej szkoły keynesowskiej. Charakerysyczne założenia modelu są bowiem zaczerpnięe z nowej szkoły keynesowskiej. Doyczy o m.in. zróżnicowania dóbr, konkurencji monopolisycznej, inercji cenowej, a akże wpływu poliyki monearnej na realną sferę gospodarki. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 72 2015-07-10 11:45:20

Meoda Blancharda-Kahna rozwiązywania modeli DSGE 73 kóry za Galím [2008] nazywać będziemy podsawowym modelem nowej szkoły keynesowskiej (basic New Keynesian model, BNK). Przed przejściem do zasadniczej części arykułu, kórej celem jes przedsawienie jednej z meod rozwiązywania układu równań modelu DSGE, zaprezenujemy króko podsawy konsrukcji eoreycznej w formie równań wynikających z warunków pierwszego rzędu oraz warunków równowagi ogólnej. Nasępnie omówimy wybraną meodę, o jes meodę Blancharda-Kahna [Blanchard i Kahn 1980]. Sanowi ona przykład jednej z pierwszych echnik numerycznych sosowanych do rozwiązywania ekonomicznych liniowych modeli racjonalnych oczekiwań 7. Ponieważ model jes nieliniowy, dokonujemy log-liniowej aproksymacji warunków pierwszego rzędu wynikających z wyjściowych problemów opymalizacji [Sims 2002]. Dla przeprowadzenia linearyzacji porzebne jes wyznaczenie sanu usalonego (seady sae), wokół kórego rozwijamy warunki konieczne. Dlaego najpierw należy wyznaczyć warości wszyskich zmiennych modelu w sanie usalonym. Na koniec zaprezenujemy podsawy oraz ideę meody Blancharda-Kahna dla porzeb rozwiązania układu równań prosego modelu DSGE. Meoda opiera się na rachunku macierzowym i określa własności macierzy układu gwaranujące isnienie oraz sabilność rozwiązania. Problem warości własnych macierzy przekłada się na problem doboru odpowiednich warości srukuralnych paramerów modelu oraz ich kombinacji. 1. Podsawowy model nowej szkoły keynesowskiej W podsawowym modelu nowej szkoły keynesowskiej zakładamy zróżnicowanie produków (goods differeiaion), konkurencję monopolisyczną (monopolisic compeiion) oraz inercję cen produków (price rigidiy) według schemau [Calvo 1983], kóra polega na ym, że w każdym okresie ylko pewna część producenów ma możliwość zmiany cen swoich produków i usalenia ceny opymalnej. Pozosała część musi przyjąć cenę z poprzedniego okresu. W modelu wysępują czery rodzaje podmioów gospodarczych. Reprezenaywne gospodarswo domowe konsumuje dobro finalne oraz pracuje w firmach produkujących dobra pośrednie. Zakładamy, że akich firm jes nieskończenie wiele, a każda z nich jes monopolisą na rynku określonego owaru, posiadając ym samym siłę rynkową do usalania ceny produkowanego przez 7 O meodach rozwiązywania racjonalnych oczekiwań wspomniano również w pracy [Kucha i Piła 2010]. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 73 2015-07-10 11:45:20

74 Karolina Sobczak siebie dobra. Reprezenaywna firma produkująca dobro finalne worzy je, mając do dyspozycji wiele odmiennych ypów owarów dosarczanych przez firmy pośrednie. Nasępnie na rynku działającym w warunkach konkurencji doskonałej sprzedaje o dobro gospodarswom domowym w posaci koszyka konsumpcyjnego. Czwarym rodzajem podmiou gospodarczego są władze monearne, kóre usalają poziom nominalnej sopy procenowej. 1.1. Konsumenci Reguły, zgodnie z kórymi reprezenaywne gospodarswo domowe podejmuje swoje decyzje odnośnie do bieżących i przyszłych poziomów pracy, konsumpcji oraz oszczędności, wynikają z rozwiązania zadania maksymalizacji zdyskonowanej użyeczności oczekiwanej przez wszyskie okresy życia, a czerpanej z konsumpcji oraz czasu wolnego, przy ograniczeniu budżeowym wysępującym w każdym okresie 8. Mają one dla usalonego okresu nasępującą posać: W γ φ CL, (1) P 1 γ C 1 P βe, (2) R C P 1 gdzie: W płaca nominalna, R nominalna sopa procenowa, C poziom konsumpcji dobra finalnego, P indeks cen owarów, L liczba godzin pracy wykonywanej przez reprezenaywne gospodarswo domowe 9, β (0, 1) czynnik dyskona, φ elasyczność krańcowej nieużyeczności względem pracy, γ > 0 współczynnik względnej awersji do ryzyka. 8 W arykule nie przesawiamy szczegółowo zadań opymalizacyjnych podmioów gospodarczych poszczególnych rodzajów. Zaineresowanego czyelnika odsyłamy do pracy [Galí 2008]. Koncenrujemy się na wynikach ych zadań, kóre wykorzysamy do inerpreacji własności modelu oraz rozwiązania układu jego równań. 9 W dalszej części arykułu zmienną L będziemy uożsamiać z liczbą osób zarudnionych w firmach pośrednich pochodzących z reprezenaywnego gospodarswa domowego i określać jako siłę roboczą lub króko jako pracę. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 74 2015-07-10 11:45:20

Meoda Blancharda-Kahna rozwiązywania modeli DSGE 75 Reguły (1) i (2) określają, ile czasu gospodarswo domowe przeznaczy na pracę oraz ile chce przeznaczyć na konsumpcję, a ile zaoszczędzić w formie zakupu obligacji ze sopą zwrou R. Decyzje konsumenów zależą od przewidywanych przez nich przyszłych poziomów płac nominalnych, cen oraz sóp procenowych. Na konsumpcję dobra finalnego składają się wszyskie dobra pośrednie, kórych jes nieskończenie wiele. Zakładamy, że poziom konsumpcji dobra finalnego jes określony przez nasępujący indeks, nazywany agregaem Dixia- -Sigliza [Dixi i Sigliz 1977]: σ 1 σ 1 σ 1 () σ 0 C C i di, (3) gdzie: C (i) ilość i-ego dobra pośredniego, σ > 1 oznacza elasyczność subsyucji pomiędzy dobrami. Równanie (3) określa srukurę popyu, o znaczy jaką ilość każdego z dóbr pośrednich powinien zakupić producen dobra finalnego, kóry oferuje konsumenom swój owar w posaci koszyka konsumpcyjnego. Rozwiązaniem zadania problemu maksymalizacji zysku, osiąganego przez producena dobra finalnego działającego w warunkach konkurencji doskonałej, jes funkcja popyu na i-e dobro pośrednie: oraz indeks cen posaci: P () i C () i P σ C 1 1 1σ 1σ () 0 P P i di, (5) gdzie P (i) nominalna cena i-ego dobra pośredniego. 1.2. Firmy Zakładamy, że na rynku dóbr pośrednich działa nieskończenie wiele firm, z kórych każda produkuje odmienny rodzaj dobra pośredniego. Produkcja i-ej firmy pośredniej jes opisana funkcją produkcji: (4) SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 75 2015-07-10 11:45:20

76 Karolina Sobczak 1 () AL() i α Y i gdzie: α (0, 1), (1 α) elasyczność produkcji względem pracy., (6) Zmienna egzogeniczna A oznacza posęp echnologiczny. Zakładamy, że jes on opisany przez nasępujący sochasyczny proces auoregresji pierwszego rzędu 10 : a a 2 a a a ρ a 1 ε, ε ~ iid... N(0, σ ), (7) gdzie a = ln A. Rozwiązaniem zadania maksymalizacji zysku producena i-ego dobra pośredniego jes reguła decyzyjna posaci: W (1 αal ) ( i) α, (8) P() i zgodnie z kórą firma zarudnia siłę roboczą, dopóki płaca realna nie przewyższa krańcowej wydajności pracy. Jednym z kluczowych założeń modeli DSGE jes założenie o konkurencji monopolisycznej, kóre pozwala wprowadzić do modelu zróżnicowanie dóbr (goods differeniaion) oraz inercję cen (price rigidiy). Wszyskie firmy produkujące dobra pośrednie mogą usalać ceny swoich produków. Jednak w danym okresie ylko część (1 θ) 100% z ych firm może zmienić ceny, ponieważ dla pozosałej grupy firm θ 100% pociąga o za sobą zby duże koszy (θ ). Taki rodzaj inercji cen jes zgodny ze schemaem Calvo [Calvo 1983]. 10 W lieraurze DSGE przyjmuje się zazwyczaj, że zmienne egzogeniczne opisane są przez procesy auoregresji. Dla porzeb symulacji sosuje się najczęściej auoregresję pierwszego rzędu. Przy esymacji modeli DSGE są używane procesy różnego ypu: auoregresji z większą liczbą opóźnień, procesy MA (moving average), a akże procesy ARMA w przypadku, gdy niekóre zmienne egzogeniczne są skorelowane, na przykład zmienne oznaczające posęp echnologiczny dla gospodarki krajowej oraz dla gospodarki zagranicznej. Innowacje mają zawsze warość oczekiwaną równą 0 i niezerową wariancję. Sandardowo przyjmuje się również normalność rozkładu innowacji. Opisywanie zmiennych egzogenicznych za pomocą procesów sochasycznych jes podsawową cechą modeli sochasycznych, w kórych podmioy gospodarcze podejmują swoje decyzje bez znajomości warości i dynamiki przyszłych zaburzeń, znając jedynie rozkład ych zakłóceń. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 76 2015-07-10 11:45:21

Meoda Blancharda-Kahna rozwiązywania modeli DSGE 77 Reguła usalania cen przez firmy pośrednie wynika z rozwiązania ich zadań maksymalizacji srumienia oczekiwanych przyszłych zysków ych firm, z uwzględnieniem możliwości, że część z nich w niekórych okresach w przyszłości nie będzie mogło zmienić swoich cen. Reguła ma posać: k 1γ σ1 E * ( βθ) Y kpk MCkΠ1, k k0 μ 1 k 1γ σ1 E( βθ) Y kp k k0 P P, (9) gdzie: P * cena opymalna, MC +k realny kosz marginalny w okresie + k dla firmy, kóra osanio zmieniała swoją cenę w okresie, Π 1,+k sopa inflacji w ciągu k kolejnych okresów, począwszy od osaniej zmiany ceny w okresie 1. Współczynnik μ = σ/(σ 1) można inerpreować jako opymalny narzu na kosz marginalny w warunkach braku ograniczeń na częsość zmian cen. 1.3. Poliyka monearna W modelu BNK (basic New Keynesian model) zakładamy, że władze monearne usalają poziom nominalnej sopy procenowej na podsawie reguły uwzględniającej inflację oraz lukę produkcyjną: gdzie: 1 Π φ φ π y v R Y e, (10) β v v 2 v v v ρ v 1 ε, ε ~ iid... N(0, σ ). (11) Tego ypu regułę usalania sopy procenowej nazywa się regułą Taylora [Taylor 1993]. Paramery φ π i φ y oznaczają miary wpływu sopy inflacji oraz luki produkcyjnej na sopę procenową. Ich warości są przyjmowane przez władze monearne. Luka produkcyjna jes określona przez sosunek poziomu produkcji do jego poziomu Y n, kóry wysępowałby przy cenach płynnych, nazywanego SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 77 2015-07-10 11:45:21

78 Karolina Sobczak również nauralnym poziomem produkcji, a kóry sanowi odniesienie dla poliyki monearnej: 1.4. Agregacja i równowaga ogólna Y Y. (12) Y Warunki równowagi ogólnej uzyskujemy poprzez jednoczesne uwzględnienie reguł zachowań wszyskich podmioów gospodarczych w formie warunków równowagi cząskowej, a akże reguł opisujących funkcjonowanie rynku. Część z nich przybiera formę makroekonomicznych warunków bilansowych, a w prezenowanym przez nas prosym modelu gospodarki zamknięej sprowadzają się one do warunków równowagi podaży i popyu na produky oraz popyu i podaży siły roboczej. W warunkach równowagi ogólnej posługujemy się zmiennymi zagregowanymi w skali całej gospodarki. Dynamika zagregowanej ceny jes uzależniona od elasyczności subsyucji pomiędzy dobrami, ceny opymalnej usalonej w bieżącym okresie oraz od indeksu cen z przeszłego okresu. Równanie (5) przedsawia syuację, gdy ceny są płynne (flexible prices). Uwzględniając inercję cen, dla zagregowanej ceny inflacja jes kszałowana nasępująco: * 1σ P Π θ(1 θ). (13) P 1 Równowaga popyu i podaży na rynku produków jes opisana równaniem: n 1σ Y () i C (), i i [0,1], (14) a na poziomie zagregowanym, po uwzględnieniu agregacji konsumpcji oraz produku zgodnej z równaniem (3), sprowadza się do: Y C. (15) Naomias równowaga podaży i popyu na siłę roboczą dana jes w posaci: 1 L L () i di, (16) 0 SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 78 2015-07-10 11:45:21

Meoda Blancharda-Kahna rozwiązywania modeli DSGE 79 co oznacza, że podaż siły roboczej w całej gospodarce równoważy popy na pracę pochodzący ze wszyskich firm produkujących dobra pośrednie. Korzysając z posaci funkcji produkcji (6) oraz warunków (4) i (14), relację między zmienną wyrażającą posęp echnologiczny oraz poziomami zagregowanej produkcji i zagregowanej siły roboczej możemy w przybliżeniu przedsawić jako: Y 1 α AL. (17) Realny kosz krańcowy produkcji jes zdefiniowany jako sosunek płacy realnej oraz krańcowej wydajności pracy danej równaniem (8). Po uwzględnieniu zależności, w kórych wysępują zmienne zagregowane, średni realny kosz krańcowy kszałuje się nasępująco: W 1 MC A L 1 α P 1α, (18) a jeśli skorzysamy z reguły decyzyjnej konsumenów (1) oraz posaci zagregowanego produku (17), kosz krańcowy możemy wyrazić również jako: φα 1φ 1 γ 1α 1α MC Y A. (19) 1 α Równanie (19), zasosowane do syuacji, gdy ceny są płynne, pozwala określić relację pomiędzy nauralnym poziomem produku a pozosałymi zmiennymi modelu: gdzie MC = 1/μ. φα γ 1α 1φ 1α 1 n MC Y A, (20) 1 α Powyższa definicja równowagi ogólnej w gospodarce pozwala na sformułowanie układu równań prezenującego cały model w posaci srukuralnej. Do warunków równowagi ogólnej wynikających z zadań opymalizacyjnych podmioów, agregacji oraz warunków funkcjonowania rynków dołączamy regułę sopy procenowej oraz definicję sopy inflacji. Model w posaci srukuralnej przedsawiamy w abeli 1. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 79 2015-07-10 11:45:21

80 Karolina Sobczak Tabela 1. Podsumowanie modelu BNK Reguła usalania cen Dynamika zagregowanej ceny Reguła decyzyjna gospodarsw domowych Realny kosz krańcowy k 1γ σ1 E * ( βθ) Y kp k MC kπ 1 k k0 μ 1 k 1γ σ1 E( βθ) Y kp k k0 P P * 1σ P Π θ(1 θ) P 1 1 R Y P 1σ γ Y 1 P βe 1 φα 1φ 1 γ 1α 1α (21) (22) (23) MC Y A (24) 1 α Reguła sopy procenowej Luka produkcyjna Y Y n Y Nauralny poziom 1 n produku Sopa inflacji Źródło: Obliczenia własne. 1 Π φ φ π y v R Y e (25) β φα γ 1α 1φ 1α (26) MC Y A (27) 1 α Π P (28) P 1 2. Rozwiązanie układu równań modelu BNK Rozwiązanie układu równań prezenowanego modelu polega na sprowadzeniu go do akiej posaci, w kórej każda zmienna endogeniczna w okresie jes wyrażona jako funkcja zmiennych egzogenicznych oraz opóźnionych warości zmiennych endogenicznych 11. W akim przedsawieniu układu 11 W dalszej części arykułu będziemy używać również określenia rozwiązanie modelu jako swego rodzaju skró myślowy, rozumiejąc przez nie rozwiązanie układu równań modelu. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 80 2015-07-10 11:45:22

Meoda Blancharda-Kahna rozwiązywania modeli DSGE 81 równań modelu, nazywanym posacią zredukowaną, związki między zmiennymi mają mniej złożony charaker niż w posaci srukuralnej. Rozwiązanie modelu jes orzymywane za pomocą meod numerycznych, a posaci zredukowanej zazwyczaj jawnie się nie specyfikuje. Procedury obliczeniowe są przeprowadzane w wybranych programach kompuerowych 12. Waro jednak na przykładzie prosego modelu poznać ideę oraz sposoby rozwiązywania modeli DSGE. Cenne jes również zrozumienie, do czego są wykorzysywane kolejne posaci modelu oraz jakie własności modelu można na ich podsawie określić. Prezenowany przez nas prosy model nowej szkoły keynesowskiej posłuży nam do objaśnienia wybranej meody rozwiązywania modeli DSGE, o jes meody Blancharda-Kahna. Naszym celem jes nie yle wyczerpujące opisanie meody, wraz ze wszyskimi jej niuansami, zaleami oraz wadami, ile raczej zaprezenowanie, jak jes ona bezpośrednio implemenowana w przypadku prosego modelu BNK, a przez o przybliżenie idei rozwiązywania modeli DSGE. Procedury rozwiązywania modeli DSGE można podzielić na dwie szerokie klasy 13. Jedną sanowią meody perurbacyjne, do kórych należy meoda Blancharda-Kahna. Druga klasa meod o echniki projekcyjne, kóre mają krószą radycję 14. Meody perurbacyjne mają ę zaleę, że są sosunkowo mało wymagające pod względem ilości oraz sopnia złożoności obliczeń. Nadają się więc dla skomplikowanych modeli, z dużą liczbą równań oraz zmiennych anycypacyjnych. Wykorzysują lokalne przybliżenie równań modelu na podsawie rozwinięcia w szereg Taylora wokół punku sanu usalonego (seady sae). Zaem ich sosowanie jes uzasadnione ylko wówczas, gdy warości zmiennych modelu znajdują się w pobliżu swoich warości w sanie usalonym. Dlaego nie można rozważać zby dużych odchyleń zmiennych od sanu usalonego, czyli wprowadzać do modelu zby silnych zaburzeń. W dalszej części arykułu pokażemy, jak zasosować wybraną meodę rozwiązywania modeli DSGE do konkrenego przykładu modelu, o jes podsawowego modelu nowej szkoły keynesowskiej. Przedsawimy kolejne kroki obliczeń niezbędne do skorzysania z ej procedury. 12 Do najczęściej sosowanych programów kompuerowych do rozwiązywania modeli DSGE należą MATLAB oraz DYNARE, wykorzysujący kod źródłowy MATLABA. 13 Szerzej o różnych meodach rozwiązywania dynamicznych modeli równowagi w [Aruoba, Fernández-Villaverde i Rubio-Ramirez 2006]. 14 Szerokie omówienie meod projekcyjnych wraz z ich implemenacją znaleźć można m. in. w pracy [Lim i McNelis 2008]. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 81 2015-07-10 11:45:22

82 Karolina Sobczak 2.1. San usalony Ponieważ meoda Blancharda-Kahna opiera się na liniowo-logarymicznej aproksymacji równań modelu, porzebne jes przekszałcenie układu równań modelu do posaci liniowej za pomocą log-linearyzacji. W wyniku ego przybliżenia wszyskie zmienne modelu zosają wyrażone w posaci procenowych odchyleń od swoich warości w sanie usalonym (seady sae) 15. Dlaego eż pierwszy eap implemenacji procedury obliczeniowej, jaką jes meoda Blancharda-Kahna, sprowadza się do wyznaczenia sanu usalonego. Wyznaczenie sanu usalonego dla zmiennych modelu polega na określeniu rozwiązania saycznego równoważnego z deerminisyczną równowagą długookresową. Zanikają wszelkie źródła nierównowagi w sali mikro oraz makro. Wszyskie podmioy gospodarcze osiągają swoje opimum. Zanikają eż podsawy do arbirażu. Ceny są płynne (flexible prices). Wszyskie szoki z przeszłości zosały zaabsorbowane, a sacjonarne zaburzenia sochasyczne nie mają wpływu na warości zmiennych egzogenicznych. Podsumowując, zmienne modelu nie mają endencji do zmiany swoich warości. Wyznaczenie warości zmiennych w sanie usalonym również można przeprowadzić za pomocą meod numerycznych, zwłaszcza w przypadku bardziej złożonych modeli lub modeli dużej skali. Rozparywany przez nas Tabela 2. San usalony modelu BNK Poziom inflacji Π 1 (29) Średni kosz krańcowy Zagregowany produk Nauralny poziom produku 1 σ 1 MC (30) μ σ 1α Y μ n Y 1α γ(1 α) φα (31) Y (32) Luka produkcyjna Y 1 (33) 1 Nominalna sopa procenowa R (34) Źródło: Obliczenia własne. β 15 Definicję sanu usalonego, nazywanego również równowagą ypu seady sae, podajemy za [Grabek, Kłos i Uzig-Lenarczyk 2007]. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 82 2015-07-10 11:45:22

Meoda Blancharda-Kahna rozwiązywania modeli DSGE 83 model jes sosunkowo prosy, więc san usalony można wyznaczyć analiycznie. Zakładamy jedynie, że poziom sopy inflacji w sanie usalonym wynosi 1, co oznacza że ceny są sałe. Wówczas możemy obliczyć akże warości wszyskich pozosałych zmiennych endogenicznych. Przedsawiamy je w abeli 2. Bez sray ogólności możemy założyć, że indeks cen P = 1. Wówczas warości wszyskich zmiennych w sanie usalonym zdeerminowane są przez warości paramerów α, β, γ, φ oraz σ. 2.2. Log-linearyzacja Jak wspominaliśmy, log-linearyzacja jes niezbędnym eapem obliczeń, kóry jes wykorzysywany między innymi w meodzie Blancharda-Kahna. W każdej meodzie perurbacyjnej, przed rozwiązaniem układu równań modelu, dowolne równanie rozwija się w szereg Taylora wokół punku sanu usalonego. W meodach perurbacyjnych pierwszego rzędu sosuje się linearyzację lub log-linearyzację 16. Zaem układ równań modelu DSGE, kóry w swojej wyjściowej posaci srukuralnej jes zazwyczaj nieliniowy, zosaje przekszałcony w układ liniowy. Taki układ ławiej poddawany jes kolejnym przekszałceniom. Dodakową zaleą log-linearyzacji są możliwości inerpreacji równań uzyskanych po zasosowaniu ej meody. Zamias zmiennych posługujemy się procenowymi odchyleniami zmiennych od ich warości w sanie usalonym. W akiej log-liniowej posaci modelu ławiej jes inerpreować wzajemne powiązanie zmiennych, uzależnienie ich warości od warości paramerów oraz wpływ paramerów na dynamikę zmiennych. Podsawą log-linearyzacji jes wyrażanie wszyskich równań modelu z wykorzysaniem log-liniowych odpowiedników zmiennych: x ln X ln X, (35) gdzie: X poziom zmiennej, X jej warość w sanie usalonym, x odchylenie zmiennej od warości w sanie usalonym. 16 Meoda log-linearyzacji zosała szeroko omówiona m.in. w pracy [Uhlig 1999]. Waro eż polecić zwięzłe, a zarazem wyczerpujące omówienie ej meody, z licznymi przykładami, przedsawione w arykule [Ziez 2008]. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 83 2015-07-10 11:45:23

84 Karolina Sobczak Wyrażenie (35) można również przedsawić w posaci: x X X ln1 X. Używając ej posaci oraz aproksymacji pierwszego rzędu z rozwinięcia Taylora w ooczeniu punku sanu usalonego X = X, odchylenie wyrażone za pomocą definicji (35) można eż przedsawić jako: x X X, (36) X co pokazuje, że jes ono bliskie odchyleniu procenowemu. Układ równań (21) (28) po log-linearyzacji można przedsawić w posaci podanej w abeli 3. Uwzględnia ona wszyskie reguły decyzyjne wszyskich podmioów gospodarczych wysępujących w modelu, reguły funkcjonowania rynku oraz regułę sopy procenowej usalanej przez władze monearne 17. Tabela 3. Podsumowanie modelu BNK w posaci log-liniowej Nowa keynesowska krzywa Phillipsa a π βe{ π1} κy n Dynamiczne równanie IS y i E π1 r E y1 (37) 1 ( { } ) { } (38) γ Reguła sopy procenowej i ρφππ φyy v (39) a Objaśnienie pojęcia nowej keynesowskiej krzywej Phillipsa (new Keynesian Phillips curve, NKPC) można odnaleźć m. in. w [Gali 2008]. Naomias szczegółowe wyprowadzenie jej posaci z zasad log- -linearyzacji można znaleźć w [Sobczak 2013]. Źródło: Obliczenia własne. W posaci log-liniowej modelu BNK mamy rzy zmienne endogeniczne, spośród kórych dwie, π oraz y, o zmienne anycypacyjne. Dwie zmienne, r n oraz v, o zmienne egzogeniczne. Do modelu wprowadziliśmy nową zmienną r n, oznaczającą nauralny poziom sopy procenowej, o znaczy aki jej poziom, kóry usaliłyby władze monearne, gdyby ceny były płynne. Kszałuje się on nasępująco: 17 Liczba równań modelu redukuje się z ośmiu do rzech, ponieważ na eapie log-linearyzacji omawianego przez nas prosego modelu nowej szkoły keynesowskiej dokonujemy m. in. przekszałceń, kóre pozwalają część równań uwzględnić w pozosałych równaniach modelu. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 84 2015-07-10 11:45:23

Meoda Blancharda-Kahna rozwiązywania modeli DSGE 85 n n n 1 r ργe { y y }. (40) Wykorzysując równanie średniego realnego koszu krańcowego oraz równanie określające jego warość przy cenach płynnych, warunek (40) możemy zapisać w posaci: n ya n gdzie ψ (1 φ) / ( γ(1 α) φ α). n ya r ρ γψ (1 ρ ) a, (41) Dynamiczne równanie IS (38) (dynamic invesmen/saving, DIS) opisuje relację pomiędzy wielkością zagregowanego produku a określoną ex ane realną sopą procenową r i E{ π 1} Nową keynesowską krzywą Phillipsa (37) (New Keynesian Phillips Curve, NKPC) można również przedsawić w posaci: 1 a π βe { π } λmc, (42) gdzie λ(1 θ)(1 βθ)θ / θ oraz Θ (1 α)/(1 α ασ). Paramer λ jes miarą wrażliwości sopy inflacji na zmiany w poziomie realnego koszu krańcowego. W równaniu (37) wprowadzamy paramer κ λγ( φα)/(1 α). Zgodnie z krzywą Phillipsa wzros akywności gospodarczej, skukujący wyższym poziomem produkcji, pociąga za sobą zwiększenie liczby godzin pracy, a przez o podwyższenie płac oraz wyższe koszy krańcowe dla producenów dóbr pośrednich. Reakcją firm, kóre mogą zmienić ceny swoich produków, jes podwyższenie ych cen. Zaem poziom zagregowanej ceny w gospodarce wzrasa, przez co wzrasa również sopa inflacji. Tym samym odchylenia koszu krańcowego od jego poziomu średniego są miarą napięć na rynku pracy. Reguła sopy procenowej po log-linearyzacji przyjmuje posać (39), gdzie i ln(1 + i ) = ln R oznacza nominalną sopę procenową, a paramer ρ = lnβ. Log-linearyzacja o jeden z eapów przekszałceń przeprowadzany w meodzie Blancharda-Kahna, niezbędny z punku widzenia dalszych obliczeń. Jednak jawna specyfikacja przekszałconego liniowego układu równań modelu, akiego jak en, kóry zosał zaprezenowany w abeli 3, nie jes wymagana. Waro jednak zauważyć, że równania modelu BNK w posaci log-liniowej pozwalają na ławiejszą inerpreację zależności pomiędzy zmiennymi oraz określenie wpływu warości paramerów na dynamikę zmiennych. Po drugie, posać a jes nam porzebna do objaśnienia isoy wybranej meody rozwiązywania modeli DSGE, kórą przedsawimy w kolejnym punkcie. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 85 2015-07-10 11:45:23

86 Karolina Sobczak 2.3. Meoda Blancharda-Kahna Model zaprezenowany w abeli 3 ma yle samo równań co zmiennych decyzyjnych. To znaczy, że dany jes w posaci zamknięej. Jes o warunek konieczny isnienia rozwiązania układu równań modelu. Rozwiązanie modelu DSGE polega na sprowadzeniu go do posaci zredukowanej, w kórej każda zmienna endogeniczna jes funkcją zmiennych egzogenicznych oraz opóźnionych warości zmiennych endogenicznych. Jednak zamknięa posać modelu nie gwaranuje, że układ równań modelu posiada rozwiązanie, ani że jes ono sabilne 18. Aby sprowadzić model do posaci zredukowanej, posłużymy się jedną z dosępnych meod rozwiązywania modeli DSGE, o jes meodą Blancharda- -Kahna [Blanchard i Kahn 1980] 19. Jes o jedna z pierwszych echnik zaproponowana do rozwiązywania linowych modeli racjonalnych oczekiwań 20. Wykorzysuje ona log-liniowe przybliżenie warunków opymalności wynikających z wyjściowych problemów opymalizacyjnych podmioów gospodarczych wysępujących w modelu. Meoda Blancharda-Kahna opiera się na rachunku macierzowym, a jej isoa sprowadza się do określenia własności warości własnych pewnych macierzy układu równań modelu DSGE przedsawionego w posaci zredukowanej. Z kolei problem określenia warości własnych przekłada się na problem warości paramerów srukuralnych modelu lub warości kombinacji ych paramerów. Na ej podsawie można swierdzić, czy rozwiązanie modelu isnieje, a jeśli ak, o czy jes ono jednoznacznie określone oraz lokalnie sabilne. Mając układ równań modelu BNK w posaci liniowej (37) (39) danej w abeli 3, możemy go nasępnie przedsawić w posaci równania macierzowego: gdzie: rˆn r n ρ y E y π 1 BT GT rˆ n v Eπ1 ( ), (43) 18 O isnieniu i sabilności rozwiązania układu równań w modelach racjonalnych oczekiwań pisze m.in. Wallusch [2013]. 19 Wybór ej konkrenej meody podykowany jes m.in. jej bezpośrednią implemenacją w oprogramowaniu DYNARE, w kórym sosuje się również inne meody. Meoda Blancharda- -Kahna jes domyślną meodą sosowaną w ym oprogramowaniu. 20 Wyczerpujące objaśnienie meody znaleźć można m.in. w arykule [Sims 2002], a akże w pracy [McCandless 2008]. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 86 2015-07-10 11:45:24

Meoda Blancharda-Kahna rozwiązywania modeli DSGE 87 oraz: γ 1 βφπ 1 BT Ω, T Ω γκ κ β( γ φy ) G κ (44) a paramer Ω = 1/(γ + φy + κφ π ). Aby bezpośrednio zasosować meodę Blancharda-Kahna, model BNK w posaci równania (43) zapisujemy nasępująco 21 : gdzie: Ey y Eπ 1 Z T ZTGT v rˆ n 1 π ( ), (45) 1 1 κβ( γφy) βφπ 1 ZT B T γβ γκ γ. (46) W przypadku osobliwości macierzy B T (kiedy nie isnieje odwroność ej macierzy) sosuje się dekompozycję macierzy za pomocą uogólnionej meody Schura. W kolejnych krokach obliczeń dokonuje się przekszałceń macierzy Z T, kóre polegają m.in. na jej dekompozycji na macierze zawierające jej odpowiednie warości własne lub wekory własne, a nasępnie na uporządkowaniu elemenów macierzy oraz oddzieleniu sabilnych i niesabilnych warości własnych. Pozwala o określić związek ilości niesabilnych warości własnych macierzy Z T z liczbą zmiennych anycypacyjnych. Zgodnie z warunkiem Blancharda-Kahna (isnienia lokalnie sabilnego i jednoznacznie określonego rozwiązania układu równań modelu danego w posaci (45)) macierz Z T musi mieć dokładnie yle warości własnych większych co do modułu od 1, ile zmiennych anycypacyjnych wysępuje w modelu. W modelu BNK mamy dwie zmienne endogeniczne, kóre nie są usalone z góry. Dlaego należy określić, przy jakich warościach paramerów worzących elemeny macierzy Z T ma ona dokładnie dwie warości własne na zewnąrz koła jednoskowego. W ym celu zapiszmy wielomian charakerysyczny ej macierzy: 21 W przypadku ogólnym, aby móc zasosować meodę Blancharda-Kahna, należy wyodrębnić wekor zmiennych endogenicznych usalonych z góry (predeermined), wekor zmiennych endogenicznych anycypacyjnych (non-predeermined) oraz wekor zmiennych egzogenicznych. W modelu BNK danym równaniem (45) możemy wyróżnić czery zmienne, z kórych dwie o zmienne egzogeniczne, a pozosałe dwie są zmiennymi endogenicznymi, kóre nie są usalone z góry. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 87 2015-07-10 11:45:24

88 Karolina Sobczak κβ( γ φy ) βφπ 1 λ γβ γβ de. (47) γκ γ λ γβ γβ Ma on e same pierwiaski co nasępujący wielomian: wλ ( ) [ κβγ ( φ) γβλ](1 βλ) κβφ ( 1), (48) y a ich wyznaczenie jes równoważne znalezieniu pierwiasków wielomianu: gdzie: 2 2 1 0 pλ ( ) aλ aλ a, (49) ( γκβ( γφy)) γφy κφπ a2 1, a1, a0. (50) γβ γβ Korzysając z kryerium Schura-Cohna 22, orzymujemy warunki konieczne isnienia dwóch pierwiasków wielomianu (49) większych co do warości bezwzględnej od 1: Z nierówności (51) wynika, że: a a0 1, (51) 1 a. (52) 1 0 φ κφ (1 β) γ, (53) co jes zawsze spełnione, gdyż β (0; 1). Naomias z nierówności (52) dosajemy warunek: y π κφ ( 1) (1 βφ ) 0. (54) π y π 22 Sformułowanie wierdzenia Schura-Cohna znajduje się m.in. w pracy [LaSalle 1986]. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 88 2015-07-10 11:45:24

Meoda Blancharda-Kahna rozwiązywania modeli DSGE 89 Problem isnienia lokalnie sabilnego i jednoznacznie określonego rozwiązania modelu BNK sprowadza się więc do wyznaczenia zależności pomiędzy warościami paramerów 23, opisanej nierównością (54). Zauważmy, że dwa paramery znajdujące się w ej nierówności o paramery, kórych warości są konrolowane przez władze monearne usalające posać reguły sopy procenowej (39) w prowadzonej przez siebie poliyce monearnej. Przypomnijmy, że paramery φ π i φ y oznaczają miary wpływu sopy inflacji oraz luki produkcyjnej na sopę procenową. Zaem władze monearne powinny odpowiednio reagować na odchylenia sopy inflacji oraz poziomu luki inflacyjnej od ich warości referencyjnych, określonych jako cele poliyki monearnej, poprzez odpowiednio silną konrolę paramerów φ π i φ y w przyjęej przez siebie regule sopy procenowej. W przypadku permanennego wzrosu inflacji oznacza o akie zwiększenie warości wspomnianych paramerów, aby doprowadzić do wzrosu realnej sopy procenowej, przeciwdziałając w en sposób dalszemu wzrosowi inflacji. Podsumowanie W arykule przedsawiliśmy meodę Blancharda-Kahna rozwiazywania układu równań modeli DSGE na przykładzie prosego modelu nowej szkoły keynesowskiej. Naszym celem było wyjaśnienie podsaw ej meody. Prześledziliśmy wszyskie eapy pracy z modelem DSGE, poczynając od sformułowania założeń o zachowaniu podmioów gospodarczych, poprzez sformułowanie warunków równowagi ogólnej, kończąc na zaprezenowaniu idei zasosowanej meody. W lieraurze, akże polskiej, brak jes pozycji, kóre w przysępny, a zarazem wyczerpujący sposób wprowadzałyby do meodologii modeli DSGE. Na ogół rzeba posiłkować się wiadomościami pochodzącymi z wielu różnych źródeł, co urudnia prześledzenie całego oku rozumowania, kóry doprowadza do uzyskania rozwiązania modelu DSGE. Naomias bezpośrednia implemenacja danej meody w oprogramowaniu kompuerowym, bez zrozumienia jej podsaw, nie powinna być celem samym w sobie. 23 W przypadku bardziej złożonych modeli problem warości własnych macierzy układu równań modelu również przekłada się na problem odpowiednich warości paramerów. Jednak wówczas warunek Blancharda-Kahna może przybrać znacznie bardziej skomplikowaną posać, na ogół nieorzymywaną za pomocą meod analiycznych, lecz uzyskiwaną numerycznie w sosowanym oprogramowaniu i przez o niespecyfikowaną jawnie. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 89 2015-07-10 11:45:25

90 Karolina Sobczak Waro zauważyć, że zasosowanie meody Blancharda-Kahna nie ylko pozwala uzyskać rozwiązanie modelu BNK, ale również określić jego własności oraz przedsawić wsępne rekomendacje dla zachowania się podmioów decyzyjnych, na przykład władz monearnych. Uzyskany przez nas warunek Blancharda-Kahna określa, jak silna powinna być reakcja poliyki monearnej na odchylenia sopy inflacji oraz poziomu luki produkcyjnej od pewnych założonych warości referencyjnych. Rozwiązanie układu równań modelu pozwala na dalsze jego wykorzysanie. Dla celów analizy eoreycznej można badać funkcje reakcji zmiennych modelu na impuls w posaci zaburzenia egzogenicznego. Z kolei analiza empiryczna pozwala na dopasowanie modelu dla danych rzeczywisej gospodarki oraz formułowanie na ej podsawie prognoz i rekomendacji dla poliyki gospodarczej. Waro zaproponować obszerne omówienie wszyskich eapów pracy z modelami DSGE, aby wyczerpująco wyjaśnić podsawy sosowanych meod, ich ograniczenia oraz możliwości. W ym arykule przedsawiliśmy, jak przygoować model DSGE dla celów analizy eoreycznej, korzysając z meody Blancharda-Kahna rozwiązywania liniowych modeli racjonalnych oczekiwań 24. Opracowania wyjaśniające kolejne eapy pracy, z przykładami prosych modeli DSGE, opisem meod i zasosowaniami, pozwolą na lepsze wykorzysanie ych modeli oraz dalszy rozwój ich meodologii. Bibliografia Aruoba, S.B., Fernández-Villaverde, J., Rubio-Ramirez, J.F., 2006, Comparing Soluion Mehods for Dynamic Equilibrium Economies, Journal of economic Dynamics and Conrol, vol. 30, s. 2477 2508. Baranowski, P., Gałecka-Burdziak, E., Górajski, M., Malaczewski M., Szafrański, G., 2013, Inflacja a mechanizmy akualizacji cen. Sudium dla Polski, Wydawnicwo Uniwersyeu Łódzkiego, Łódź. Blanchard, O., Kahn, C.M., 1980, The Soluion of Linear Difference Models under Raional Expecaions, Economerica, vol. 48, s. 1305 1313. Calvo, G.A., 1983, Saggered Prices in a Uiliy-Maximizing Framework, Journal of Moneary Economics, vol. 12, no. 3, s. 383 98. Dixi, A.K., Sigliz, J.E., 1977, Monopolisic Compeiion and Opimum Produc Diversiy, American Economic Review, vol. 67, no. 3, s. 297 308. 24 Opis kolejnych eapów pracy z modelami DSGE można znaleźć między innymi w pierwszym rozdziale pracy dokorskiej [Sobczak 2013]. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 90 2015-07-10 11:45:25

Meoda Blancharda-Kahna rozwiązywania modeli DSGE 91 Galí, J., 2008, Moneary Policy, Inflaion, and he Business Cycle. An inroducion o he New Keynesian Framework, Princeon Universiy Press, Princeon. Grabek, G., Kłos, B., Uzig-Lenarczyk, G., 2007, SOE-PL Model DSGE małej owarej gospodarki esymowany na danych polskich. Meodologia, specyfikacja, wyniki esymacji i pierwsze zasosowania, Maeriały i Sudia NBP, vol. 217. Kucha, Z., Piła, K., 2010, Zasosowanie modelu realnego cyklu koniunkuralnego Hansena do gospodarki Polski, Gospodarka Narodowa, vol. 21, s. 19 39. LaSalle, J.P., 1986, The Sabiliy and Conrol of Discree Processes, Applied Mahemaical Sciences, vol. 62, Springer-Verlag, New York. Lim, G.C., McNelis, P.D., 2008, Compuaional Macroeconomics for he Open Economy, The MIT Press, Massachuses. Mancini Griffoli, T., 2007 2008, DYNARE User Guide: An Inroducion o he Soluion & Esimaion of DSGE Models, hp://www.dynare.org/documenaion-and- -suppor/user-guide/dynare-userguide-webbea.pdf/view. McCandless, G.T., 2008, The ABCs of RBCs. An Inroducion o Dynamic Macroeconomic Models, Harvard Universiy Press, Harvard. Romer, D., 2014, Makroekonomia dla zaawansowanych, Wydawnicwo Naukowe PWN. Sims, C.A., 2002, Solving Linear Raional Expecaions Models, Compuaional Economics, Sociey for Compuaional Economics, vol. 20, no. 1 2, s. 1 20. Sobczak, K., 2013, Effec of Nominal Convergence on Real Side of Economy in DSGE Models, Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu, Universié de Rennes 1, Poznań. Taylor, J.B., 1993, Discreion versus Policy Rules in Pracice, Carnegie-Rocheser Conferences Series on Public Policy, vol. 39, December, s. 195 214. Uhlig, H., 1999, A Toolki for Analysing Nonlinear Dynamic Sochasic Models Easily, w: Marimon, R., Sco, A. (eds.), Compuaional Mehods for he Sudy of Dynamic Economics, Oxford Universiy Press, Oxford. Wallusch J., 2013, Parząc na Słońce. Nieokreśloność równowagi a polska dezinflacja 1994 2011, Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego w Poznaniu, Poznań. Ziez, J., 2008, A Clarifying Noe on Convering o Log-deviaions from he Seady Sae, Economics Bullein, Access Econ, vol. 3, no. 50, s. 1 15. SOEP 2015-02 - rewizja - Kopia.indd 91 2015-07-10 11:45:25