Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpiecze Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Zasosowanie modeli klasy ARCH do opisu własnoci szeregu sóp zwrou indeksu WIG Wsp Sporód rónych rodzajów ryzyka wyspujcego na rynkach finansowych, najwicej uwagi, jak do ej pory, powicono ryzyku rynkowemu zwizanemu ze zmianami cen insrumenów finansowych (por. Jajuga (999)). Cech charakerysyczn nowoczesnego zarzdzania ym ryzykiem sało si wykorzysywanie coraz bardziej wyrafinowanych meod maemaycznych, w ym przede wszyskim procesów sochasycznych, za pomoc kórych opisuje si bd o zmiany cen insrumenów finansowych, bd ich sopy zwrou. Modele e wykorzysuje si naspnie midzy innymi w zagadnieniach zwizanych z analiz porfelow, z wycen opcji, czy pomiarem ryzyka rynkowego meod Value a Risk (por. Gourieroux (997), Tsay (00), Pionek (00)). O porzebie skuecznego modelowania zmian cen lub sóp zwrou oraz wakoci zagadnienia wiadczy moe przyznanie 8. padziernika 003 nagrody Nobla w zakresie ekonomii współwórcom podsaw nowoczesnej analizy szeregów czasowych Roberowi Engle'owi oraz Clivowi W. J. Grangerowi. Celem pracy jes pokazanie jak wiele nowych pomysłów wniesiono do zaproponowanego przez Engle'a w 98 roku najprosszego modelu zmiennej w czasie wariancji - modelu ARCH (Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy) - oraz zaprezenowanie przydanoci prezenowanych rozwiza do opisu własnoci szeregów sóp zwrou z indeksu WIG. W dalszej czci pracy przedsawione zosały kolejno, najczciej rozparywane uogólnienia klasycznego (najprosszego) modelu ARCH. Niniejsza praca w aden sposób nie preenduje do opisania całego bogacwa klasy modeli zapoczkowanej przez Engle'a. Waro zaznaczy, e rozparywana bd jedynie jednorównaniowe modele opisujce warunkow wariancj pojedynczego insrumenu, umoliwiajce opis charakerysycznych efeków obserwowanych w szeregach sóp zwrou. Kolejnym nauralnym rozszerzeniem ej koncepcji jes opis warunkowej macierzy kowariancji dla wikszej liczby analizowanych równoczenie insrumenów (Mulivariae GARCH Models) (por. Gourieroux (997)). Prezenacja jednak, choby bardzo ogólna, rozwiza w ym zakresie wykracza poza ramy niniejszej pracy.
W czci empirycznej przedsawiono wykorzysanie modelu AR-FIAPARCH do opisu własnoci szeregu sóp zwrou z indeksu WIG. Wybrany zosał indeks cen akcji, gdy włanie w szeregach sóp zwrou z akcji wyspuje najwicej obserwowanych (koniecznych do modelowania) efeków.. Własnoci finansowych szeregów czasowych sóp zwrou Sandardowe (najprossze) modele zakładaj, e procesem kszałujcym zmiany cen akcji, walu, czy owarów jes geomeryczny proces Browna ze sałymi w czasie paramerami dryfu (rendu) i zmiennoci (por. Pionek (00)). Model en zakłada, e rozkład sóp zwrou jes rozkładem normalnym, a poszczególne sopy zwrou pochodz z rozkładów idenycznych i niezalenych. W wielu pracach (por. Box, Jenkins (986), Bollerslev (986), Tsay (00), Pionek (00), Pionek (003)) przedsawiono wyniki bada empirycznych dla rónych finansowych szeregów czasowych, kóre przecz ym załoeniom. Badania e wykazały wyspowanie w szeregach sóp zwrou: efeku skupiania (gromadzenia) zmiennoci (volailiy clusering), co oznacza, e zarówno małe, jak i due zmiany kursu naspuj seriami, a ym samym oznacza niesało wariancji sóp zwrou w czasie, efeku lepokurozy i grubych ogonów rozkładów sóp zwrou, co oznacza, e prawdopodobieswo wyspienia duych, nieypowych zmian kursu (due co do waroci bezwzgldnej sopy zwrou) jes wiksze ni gdyby sopy zwrou pochodziły z rozkładu normalnego, efeku skonoci rozkładów sóp zwrou (najczciej obserwuje si rozkłady prawosronnie skone, lecz nie jes o reguł), efeku auokorelacji sóp zwrou, szczególnie w okresach o małej zmiennoci, efeku dwigni - efeku ujemnego skorelowania poziomu kursów i poziomu zmiennoci sóp zwrou, czyli asymerycznego wpływu informacji pozyywnych i negaywnych na poziom przyszłej wariancji, efeku długiej pamici w szeregach zmiennoci (wariancji), czyli isonie znaczcych współczynników wysokich rzdów auokorelacji kwadraów sóp zwrou. Rysunki -4 prezenuj niekóre opisywane własnoci na podsawie szeregu dziennych, prosych sóp zwrou z indeksu WIG z okresu od 03-0-994 (dzie wprowadzenie piciosesyjnego ygodnia na GPW) do 9-03-003 (por. Pionek (003)). W ogólnoci wariancja moe w ogóle nie isnie.
Niezbdne sało si wic poszukiwanie modeli bardziej skomplikowanych ni model geomerycznego ruchu Browna, kóre lepiej opisywałyby własnoci szeregów sóp zwrou (uwzgldniałyby przynajmniej niekóre z wymienionych powyej efeków). Rys.. Efek gromadzenia zmiennoci dla indeksu WIG Rys.. Efek grubych ogonów rozkładu sóp zwrou indeksu WIG Rys. 3. Auokorelacja sóp zwrou dla indeksu WIG ródło : obliczenia własne. Rys. 4. Auokorelacj kwadraów sóp zwrou dla indeksu WIG. Model ogólny Rozparywany w dalszej czci pracy model w czasie dyskrenym opisujcy szereg czasowy prosych sóp zwrou dany jes równaniem (por. Pionek (00)): X X r = = µ + ε = µ + h z, () X gdzie X - cena w chwili, µ - warunkowa waro oczekiwana sopy zwrou w chwili ( E [ r I ] µ = ), h - warunkowa wariancja sopy zwrou w chwili ( var [ ] h = r I ), z - niezalene reszy modelu o zerowej redniej i jednoskowej wariancji ( z = iid D(0,) ), I - informacja dospna w chwili -.
Model en zapisuje si równie w posaci: r I ~ D( µ, h ). () Resz modelu ε mona uosamia z łczna miar informacji docierajcej do rynku w chwili. Dobre wiadomoci ( ε > 0 ) skukuj poencjalnie wzrosem ceny insrumenu (dodania waroc sopy zwrou), naomias złe wiadomoci ( ε < 0 ), o poencjalny spadek ceny w kolejnym podokresie. Waro na 3 obszary: ε okrela wag informacji (por. Engle, Ng (993)). Zagadnienia zwizane z modelowaniem szeregów sóp zwrou ( r ), podzieli mona wybór posaci funkcji gsoci sandaryzowanych resz modelu ( z ), modelowanie warunkowej waroci oczekiwanej procesu ( µ ), modelowanie warunkowej wariancji procesu ( h ). Wszyskie 3 zagadnienia naley rozparywa łcznie, gdy wzajemnie wpływaj na siebie i wspólnie deerminuj własnoci osaecznego modelu... Sandaryzowane reszy modelu W podsawowej wersji zaproponowanej przez Engle a i Bollersleva (por. Bollerslev, Engle, Nelson (994)) modele heeroskedasyczne cechowały si normalnym warunkowym rozkładem składnika losowego. Okazało si jednak, e rzeczywise reszy modelu posiadaj rozkład warunkowy o grubszych ogonach ni rozkład normalny. Zaproponowano wic szereg innowacji w ym zakresie. Najczciej wykorzysuje si naspujce rozkłady: normalny, uogólniony rozkład błdu (General Error Disribuion, GED), skony oraz symeryczny rozkład -Sudena oraz waroci eksremalnych. Rozkłady e maj cech, i moliwe jes przeskalowanie ich do rozkładów o zerowej redniej i jednoskowej wariancji, co pozwala inerpreowa µ jako warunkow waro oczekiwan, a h jako warunkow wariancj. Rozkład -Sudena oraz rozkład GED s rozkładami, dla kórych w zalenoci od przyjej liczby sopni swobody moliwe jes uzyskanie rozkładów o grubszych ogonach ni rozkład normalny. Naley zaznaczy, i w niniejszej pracy przyjmuje si, e liczba sopni swobody jes sałym paramerem, kórego waro naley wyesymowa. Rozwaa si jednak ju propozycje, by liczba sopni swobody opisywana była dodakowym procesem, co skukuje pojciem warunkowej lepokurozy rozkładów. Oczywicie naley uwzgldni równie wpływ parameru µ.
W przykładzie empirycznym przedsawionym w dalszej czci wykorzysany zosanie symeryczny rozkład -Sudena oraz (zawierajcy si w nim) rozkład normalny. Ze wzgldu na ograniczone rozmiary pracy zrezygnowano z analizy warianu ze skonym rozkładem -Sudena. Poencjalny efek asymerii rozkładu sóp zwrou opisany zosanie przez uwzgldnienie efeku dwigni w warunkowej wariancji. Warunkowy rozkład normalny oraz symeryczny -Sudena zmiennej naspujcymi posaciami funkcji gsoci rozkładu: a) rozkład normalny - N(0,): f N ε = ( ε, h ; θ N ) exp (3) πh h b) rozkład -Sudena -S(0,,) ν + Γ h f (, ; ) S ε h θ S = ν Γ / ( ν ) + π ε ( ν ) z zadane s gdzie θ - wekor paramerów modelu (dla rozkładów -Sudena liczba sopni swobody jes równie paramerem modelu), ν - ilo sopni swobody w rozkładzie -Sudena, z x Γ(z) - funkcja gamma dla parameru z; Γ( z) = x e dx. 0 Naley wyranie podkreli, e powysze posaci rozkładów cechuj si zerow rednia i jednoskow wariancj. h ν + (4).. Modelowanie auokorelacji w szeregach sóp zwrou Efek auokorelacji niskich rzdów szeregów sóp zwrou obserwowany jes szczególnie silnie dla indeksów cen akcji. Znak auokorelacji rzdu pierwszego (w przypadku szeregów sóp zwrou dla indeksów i akcji) jes najczciej dodani. Znaczce auokorelacje rzdów wyszych od pierwszego wyspuj rzadko i najczciej posiadaj znak ujemny (por. Jajuga (000), Tsay (00)). Do opisu obserwowanej auokorelacji szeregów sóp zwrou wykorzysuje si znane procesy z klasy liniowych procesów auoregresji i redniej ruchomej (ARMA). Meodologia a jes na yle znana (por. Box, Jenkins (986)), i porakowana zosanie w sposób bardzo skróowy. W zagadnieniach zwizanych z modelowaniem finansowych szeregów czasowych za pomoc procesów klasy ARMA(p,q) 3, rzadko kiedy sosuje si modele, dla kórych p+q>3. Rzd modelu wyznacza si na podsawie odpowiednich esów, bd na podsawie analizy przebiegu funkcji auokorelacji i auokorelacji czskowej. Zaznaczy naley, i czciej sosuje si modele AR(p). Posługiwanie si modelami auoregresji jes inuicyjnie znacznie 3 Przy załoeniu, e modeluje si równie zmienn w czasie wariancj procesu.
prossze, gdy wykorzysuje si zmienne obserwowalne ( r k ), a nie jak w przypadku modeli redniej ruchomej i mieszanych zmienne nieobserwowalne ( ε k ). Rzadko uywa si równie do opisu własnoci szeregów sóp zwrou modeli zinegrowanych (ARIMA) oraz ułamkowo zinegrowanych (ARFIMA). Najczciej wykorzysuje si wic proces AR(), kórego warunkowa waro oczekiwana dana jes wzorem: [ ] µ = E r I = µ 0 + ϕr, gdzie µ 0, ϕ - paramery modelu..3. Modelowanie szeregów zmiennoci Z punku widzenia niniejszej pracy zdecydowanie najwaniejsze pozosaj modele warunkowej wariancji procesu. To włanie o modele pozwalaj opisa najciekawsze efeky obserwowane w szeregach sóp zwrou. Pierwszym modelem uwzgldniajcym zaleno warunkowej wariancji procesu od jego poprzednich waroci był model ARCH (Auoregressive Condiional Heeroskedasic Model) wprowadzony w 98 roku przez Engla w celu modelowania poziomu inflacji w Wielkiej Bryanii (por. Engle (98)). Okazało si, e model en i kolejne modele ej klasy mog by szczególnie przydane w opisie szeregów sóp zwrou rónych insrumenów finansowych. Model sóp zwrou uwzgldniajcy efek ARCH(q) dany jes naspujcym równaniem warunkowej wariancji: h q = ω + αiε i ω + α( L) ε i=, (6) q gdzie: ω 0, αk 0 k =,,..., q, α q > 0, α( L) = αl + αl +... + αql, a L o operaor przesunicia wsecz (por. np. Box, Jenkins (986)): Lx = x, m L x =. x m Sacjonarnoci w szerszym sensie procesu ε uzyskuje si, gdy q αi = α() <. i= Nierudno wykaza, e w przypadku choby najprosszego modelu ARCH(), kuroza ε (deerminujca równie kuroz r ) dana jes wzorem: Eε kur[ ε ] = = 3+ Eε 3 4 α α, (7)
co oznacza, e gdy ylko α < 3 3, uzyskujemy kuroz bezwarunkowego rozkładu sóp zwrou wiksz od 3. Przyjcie modelu zmiennej w czasie warunkowej wariancji umoliwia wic równie modelowanie grubych ogonów rozkładów. Posa wzoru (6) ukazuje równie, e aki model posiada moliwo opisu efeku auokorelacji kwadraów sóp zwrou, czyli efeku skupiania (gromadzenia) zmiennoci. Wszyskie modele klasy ARCH (w ym ake prezenowane w dalszej czci pracy) umoliwiaj opis efeku skupiania danych oraz (dla odpowiednio dobranych paramerów modelu) efek grubych ogonów rozkładu bezwarunkowego sóp zwrou. Odpowiednie dopasowanie modelu ARCH do danych wymaga czso uwzgldnienia wysokiej waroci rzdu q, co jes niewpliwie wad ego modelu. Niedogodnoci ej pozbawiony jes niewpliwie najpopularniejszy (w zakresie opisu warunkowej wariancji procesu) model GARCH (Generalized ARCH Model) wprowadzony przez Bollersleva w 986 roku. Równanie warunkowej wariancji w modelu GARCH(p,q) dane jes naspujc zalenoci: q p = ω + αiε i + β j j = ω + α( ) ε + β ( ) i= j=, (8) h h L L h gdzie dodakowo: βk 0 k =,,..., p, β p > 0, ( L) β L + β L +... β p p L. β + z warunkiem na sacjonarno procesu q p α + β j = α() + β () <. i i= j= Badania empiryczne dowodz, e model GARCH(p,q) 4 znacznie lepiej dopasowuje si do danych empirycznych ni model ARCH(p). Nie jes o zaskoczeniem, mona bowiem wykaza, e model GARCH(p,q) mona wyrazi jako ARCH( ) : h ω α( L) = + ε = ω + αiε i [ β ()] [ β ( L)] i= Własnoci duej grupy modeli warunkowej wariancji analizuje si włanie poprzez wyraenie ich jako modele ARCH( ). W prakyce niezbdne jes zasosowanie duego, ale skoczonego rzdu modelu ARCH. Model GARCH mona przedsawi równie jako model ARMA(m,p), m=max(p,q): [ α ( L) β ( L)] ε ω [ β ( L)] ν = +, gdzie ν = ε h. (9) Zakłada si, e wszyskie pierwiaski wielomianów α( L) β ( L) = 0 oraz β ( L) = 0 znajduj si poza okrgiem jednoskowym na płaszczynie liczb zespolonych.
Najczciej rozparywany model GARCH(,) dany jes równaniem: [ ( α + β ) L] ε = ω + [ β L] ν. (0) Szczególnym przypadkiem, nie analizowanym w ej pracy jes model IGARCH (Inegraed GARCH), kóry uzyskuje si w przypadku, gdy α + β = (por. Pionek (003)). Warunkowa wariancja modelu GARCH(,) w chwili zaley od informacji (zaburzenia) z chwili - poprzez zaleno ( ) h = f ε = A + αε, gdzie A ω βh f ε = +. Funkcja ( ) jes wygodnym narzdziem umoliwiajcym opis własnoci modeli klasy ARCH. Meoda a wprowadzona zosała przez Pagana i Schwera w 990 roku (por. Pagan, Schwer (990)), a naspnie spopularyzowana przez Engle a i Ng pod nazw krzywej wpływa informacji (News Impac Curve) (por. Engle, Ng (993)). Zarówno dla modeli ARCH, jak i GARCH, krzywa a opisywana jes przez funkcj symeryczn wzgldem ( ε = 0 ) o kszałcie paraboli. Kolejne uogólnienia modelu GARCH w zakresie opisu jedynie skupiania zmiennoci f ε sprowadzaj si do odmiennego zdefiniowania funkcji ( ), kóra nie musi by ju funkcj paraboliczn, lecz nadal jes jednak symeryczna wzgldem osi ε = 0. Ciekawym modelem o powyszych własnociach funkcji wpływu informacji jes zaproponowany przez Higinsa i Ber w 99 roku (por. Higgins, Bera, (99)) model P(G)ARCH (Power (G)ARCH) o posaci: δ q p δ δ δ δ = ω + αi ε i + β j j = ω + α ( ) ε + β ( ) i= j=, () h h L L h dla kórego uzyskuje si naspujc funkcj wpływu informacji: ( ) ( ) δ ε α ε δ h = f = A + () A sała zalena od rzdu modelu. Rys. 5. Krzywa wpływu informacji modelu P(G)ARCH ródło: opracowanie własne. 4 Jes o prawd nawe dla niskich waroci p i q. Wyjkowo rzadko rozwa si modele, dla kórych p+q>3.
Model P(G)ARCH umoliwia modelowanie zarówno warunkowej wariancji (model GARCH, δ = ), jak i warunkowego odchylenia sandardowego (model Taylora i Schwera, δ = ) oraz wszyskich rozwiza porednich. W modelu ym niezbdna jes esymacja parameru δ. W zalenoci od waroci parameru δ obserwuje si rón sił wpływu nowych informacji na waro warunkowej wariancji..4. Modelowanie efeku dwigni i skonoci W modelach warunkowej wariancji efeky dwigni i skonoci uzyskuje si poprzez odpowiedni modyfikacj kszału lub połoenia funkcji wpływu informacji. Waro zaznaczy, i asymeria w srukurze zmiennoci generuje ake skono rozkładu sóp zwrou. Isnieje wiele uogólnie modelu GARCH, kóre pozwalaj uwzgldni asymeryczny wpływ dobrych i złych wiadomoci (por. Bollerslev, Engle, Nelson (994)). Poniej zaprezenowane zosan najpopularniejsze propozycje. Take w ym przypadku, rozrónienia własnoci modeli najprociej dokona poprzez analiz funkcji wpływu informacji. Efek asymerycznego wpływu informacji mona uzyska poprzez: przesunicie symerycznej krzywej wpływu informacji ak, by minimum funkcji nie wypadało dla ε = 0, zagwaranowanie minimum funkcji ( ) nachyleniu obu ramion krzywej. f ε dla ε = 0, ale wprowadzenie asymerii w Podsawowym modelem, w kórym opis efek dzwigni uzyskuje si poprzez przesunicie symerycznej krzywej wpływu informacji jes model AGARCH(p,q) (Asymmeric GARCH) okrelony jako: h q = ω + α ε κ + β h i i i j j i= j= p = ω + α( L) ε κ + β ( L) h (3) i κ i Rys. 6. Krzywe wpływu informacji dla modelu AGARCH ródło: opracowanie własne.
Dla κ > 0 uzyskuje si model, w kórym krzywa wpływu informacji przesunia jes w prawo, co pozwala uchwyci silniejszy wpływ informacji złych ni dobrych (o ej samej wanoci) na kolejn waro warunkowej wariancji. Odmiennym podejciem jes wykorzysanie asymerycznej krzywej wpływu informacji, kóra jednak posiada swoje minimum dla ε = 0. W podejciu ym narzuca si warunek, e lewe rami krzywej ma rosn szybciej ni prawe, czyli f ( x) > f ( x) dla x > 0. Najpopularniejszymi rozwizaniami w ym zakresie s modele GJR-GARCH oraz EGARCH (Exponenial GARCH) (por. Bollerslev, Engle, Nelson (994), Pionek (00)). W modelu GJR-GARCH kade z ramion jes opisane przez połówk paraboli o rónym nachyleniu, a w modelu EGARCH ramiona opisuj funkcje wykładnicze. Prakycznie nie wykorzysuje si innych posaci modeli ni dla p=q=. Poniej przedsawione zosały posaci modeli oraz przykładowe kszały funkcji wpływu informacji: Model GJR-GARCH(,) Model EGARCH(,) 5 ( ( ε ) ) < 0 h = ω + α + α I ε + β h (4) I ( p) = ; gdy p = prawda 0; gdy p = falsz ln h = ω + α g( z ) + β ln h (5) ξ ( ) g( z ) = z + z E z efek znaku efek waroci bezwzgldnej Rys. 7. Krzywe wpływu informacji dla modelu GJR-GARCH ródło: opracowanie własne. Rys. 8. Krzywe wpływu informacji dla modelu EGARCH ródło: opracowanie własne. Nie ma jednoznacznej konkluzji, kóry z modeli w sposób najlepszy opisuje efek dwigni w szeregach sóp zwrou. Wydaje si jednak, e modele GJR-GARCH jes modelem 5 Model EGARCH jes modelem, kórego posa zaley od przyjego rozkładu warunkowego błdu modelu, czyli rozkładu z.
najczciej wykorzysywanym, ze wzgldu na jego wiksz inuicyjno (od np. modelu AGARCH) oraz znacznie ławiejsz aplikacj w zagadnieniach finansowych od modelu EGARCH. Modelem zyskujcym jednak osanio na popularnoci jes model APGARCH 6 (Asymmeric Power GARCH) (por. Ding, Granger, Engle (993)): δ q p δ δ δ δ = ω + αi ε i κi + β j j = ω + α( ) ε κi + β ( ) i= j=, (6) h h L L h kóry łczy w sobie cechy modeli PGARCH i AGARCH. Docenion zale ego modelu jes sosunkowo prosa moliwo uogólnienia go w zakresie opisu długiej pamici w szeregu zmiennoci..5. Modelowanie długiej pamici w szeregach zmiennoci Samo pojcie "pamici modelu" nie jes jednoznaczne, szczególnie w odniesieniu do modeli warunkowej wariancji. Pojcia "pami modelu" uywa si bd o konekcie funkcji auokorelacji kwadraów 7 resz modelu ( ε ), bd w konekcie wpływu zaburzenia z chwili na prognozy warunkowej wariancji w chwilach kolejnych (por. Baillie, Bollerslev, Mikkelsen (996), Ding, Granger (996), Pionek (003)). Podejcia e bywaj rozbiene i model o krókiej pamici w sosunku do auokorelacji kwadraów resz modelu moe by modelem o długiej, lub wrcz nieskoczonej pamici w konekcie wpływu zaburzenia na prognoz warunkowej wariancji (por. Pionek (003)). Dua dowolno okrele i nieprecyzyjne rozrónianie ych dwóch koncepcji prowadzi do wielu niejasnoci i sprzecznoci. Naley wyranie zaznaczy, e emaem ej pracy jes długa pami procesu w znaczeniu isonych współczynników auokorelacji wysokich rzdów kwadraów resz modelu. Wyspowanie ego efeku w szeregu sóp zwrou z indeksu WIG obrazuje Rys. 4. Bardziej precyzyjnie, mówi si o "długiej pamici" szeregów zmiennoci (wariancji) w przypadku, gdy: n, gdzie ρ ( k corr ε, ε ) k k n lim ρk = n = =. (7) Modelem umoliwiajcym w opis długiej pamici w szeregu zmiennoci jes model FIGARCH(p,d,q) (Fracionally Inegraed GARCH) wprowadzony w 996 roku przez Baillie'go, Bollersleva i Mikkelsena. 6 Model en czso okrelany jes równie (roch mylnie) skróem APARCH. 7 Czy ogólnie auokorelacji szeregu { c } ε, gdzie c.
Model FIGARCH opisany jes naspujcym wzorem: [ φ( L)]( L) d ε ω [ β ( L)] ν = +, (8) gdzie d (0,), φ φ φ φ k ( L) L + L +... + k L, a wszyskie pierwiaski φ( L) 0 = oraz β ( L) = 0 le poza okrgiem jednoskowym. Dla ego modelu bezwarunkowa wariancja ε, a ym samym wariancje bezwarunkowa r jes nieskoczona. Ide pomysłu Baillie'go, Bollersleva i Mikkelsena najławiej przeledzi poprzez porównanie wzorów (8) i (9). Szerzej na ema modelu FIGARCH i jego zwizku z modelem GARCH i IGARCH oraz szczegółowo na ema własnoci funkcji auokorelacji kwadraów resz modelu w konekcie modelowania własnoci szeregu sóp zwrou z indeksu WIG znale mona w pracy Pionka (por. Pionek (003)). Funkcja auokorelacji kwadraów resz modelu FIGARCH maleje w sposób hiperboliczny, czyli dla niewielkich rzdów funkcja auokorelacji maleje w sposób szybszy ni dla przypadku wykładniczego, a dla wysokich rzdów maleje bardzo powoli. Takie zachowanie funkcji auokorelacji prowadzi do spełnienia warunku (7) i umoliwia nazwanie modelu FIGARCH modelem o długiej pamici (w konekcie funkcji auokorelacji kwadraów resz modelu). Inuicyjne rakowanie modelu FIGARCH jako modelu o własnociach porednich midzy modelem GARCH i IGARCH jes zawodne. Zarówno model GARCH, jak i IGARCH s modelami o krókiej pamici, a model FIGARCH jes modelem o długiej pamici w sensie definicji danej wzorem (7). W kocowej implemenacji model FIGARCH(p,d,q) przyblia si jako model ARCH(q) bardzo wysokiego rzdu (q zazwyczaj jes wiksze ni 500): h ω [ φ( L)]( L) ω β () β ( L) β () d = + ε + λ( L) ε. (9) W prakyce nie wykorzysuje si bardziej skomplikowanego modelu ni FIGARCH(,d,). Model FIGARCH umoliwia opis skupiania zmiennoci, grubych ogonów bezwarunkowego rozkładu sóp zwrou oraz długiej pamici w szeregu zmiennoci, nie ma jednak moliwoci modelowania efeku dwigni oraz w sposób narzucony opisuje zmiany warunkowej wariancji procesu. Niedogodnoci ych mona pozby si przez połczenie własnoci modelu APGARCH oraz FIGARCH. Dodakowo mona uwzgldni efeku auokorelacji w szeregu r oraz warunkowy rozkład o grubych ogonach. Prowadzi o do modelu AR-FIAPGARCH-(-S). Model en jes modelem łczcym własnoci wczeniej prezenowanych modeli AR, ARCH, GARCH, PARCH, AGARCH, APGARCH, FIGARCH.
3. Przekład empiryczny Celem przykładu empirycznego jes zobrazowanie moliwoci wykorzysania modeli z warunkow waroci oczekiwan oraz warunkow wariancj do opisu własnoci szeregu sóp zwrou z indeksu WIG. Prób do bada sanowił szereg prosych, dziennych sóp zwrou z indeksu WIG liczonych według cen zamknicia rynku w kolejnych dniach sesyjnych. Łczna długo szeregu o 03 obserwacji (od 04.0.995 r. do 8.0.003 r.). Esymacji paramerów analizowanych procesów dokonano za pomoc pakieu Laurena i Peersa G@RCH 3.0. napisanego w jzyku Ox Doornika i Oomsa (por. www.egss.ulg.ac.be/garch). Do wyboru opymalnej posaci modelu wykorzysano kryerium Akaike a: LLF (liczba paramerów modelu) AIC = + liczba obserwacji oraz ze wzgldu na fak, e niekóre rozparywane modele zawieraj si w sobie, zasosowano (w pewnych przypadkach) es opary na warociach funkcji wiarygodnoci (Likelihood Raio Tes) dany naspujc saysyk: LRT = ( LLF LLF ), () 0 gdzie: LLF - waro logarymu funkcji najwikszej wiarygodnoci dla modelu z mniejsz liczb resrykcji, LLF 0 - waro logarymu funkcji najwikszej wiarygodnoci dla modelu z wiksz liczb resrykcji. Saysyka LRT ma rozkład rónicy w liczbie resrykcji modeli. (0) χ z iloci sopni swobody równ Rozparywano (przede wszyskim) modele zagniedzone w omówionym we wczeniejszej czci pracy modelu AR()-FIAPGARCH(,d,) z warunkowym symerycznym rozkładem -Sudena. Model aki dany jes naspujcym zesawem równa: r = µ 0 + ϕr + h z δ d δ h = ω + { [ βl] ( φl )( L) }( ε κε ). () z ~ iid -S(0,, ν ) Jes o ogólny model, kóry poencjalnie umoliwia opis wszyskich zaprezenowanych wczeniej efeków wyspujcych w szeregach sóp zwrou. Modele ułamkowe (z dług pamici w szeregach zmiennoci) przybliane były modelem ARCH rzdu q=500. Tabela prezenuje waroci logarymu funkcji najwikszej wiarygodnoci, liczb paramerów modelu oraz waro kryerium AIC dla rozparywanych modeli dla szeregu sóp zwrou indeksu WIG.
Nierudno zauway, i uwzgldnienie auoregresji rzdu pierwszego oraz efeku GARCH znacznie wpływa na poprawienie jakoci modelu. Modele klasy Power GARCH nie powoduj poprawy własnoci modelu w sosunku do prosych modeli GARCH. Korzysne jes naomias uwzgldnienie efeku dwigni (modele klasy AGARCH) oraz długiej pamici (FIGARCH). Ze wzgldu na kryerium Akaike a model najbardziej ogólny (AR- FIAPGARCH(,d,)) w minimalny sposób przewysza model AR-FIAGARCH(,d,). Kryerium wykorzysujce jednak es LRT w jednoznaczny sposób (dla warunkowego rozkładu normalnego: LRT=,64, naomias waro kryyczna esu dla poziomu isonoci 0,05 wynosi 3,84) preferuje model prosszy. Kadorazowo odpowiedni model z warunkowym rozkładem -Sudena (o grubszych ogonach ni dla rozkładu normalnego) przewysza model z warunkowym rozkładem normalnym (zakłada si, e modele z warunkowym rozkładem normalnym zawieraj si w analogicznych modelach z warunkowym rozkładem -Sudena, a rónica w liczbie resrykcji wynosi ). Tabela. Uzyskane saysyki poszczególnych modeli rozkład liczba model LLF warunkowy paramer. AIC AR(0)-GARCH(0,0) 589,4-5,8 AR()-GARCH(0,0) 5839,83 3-5,990 AR()-GARCH(0,0) 5839,43 4-5,98 AR()-GARCH(0,) 5959,4 4-5,4065 rozkład normalny N(0,) symer. rozkł. -Sudena -S(0,,v) ródło: obliczenia własne. AR()-GARCH(0,5) 6049,3 8-5,4845 AR()-GARCH(,) 6060,9 5-5,4973 AR()-PGARCH(,) 6060,4 6-5,4965 AR()-AGARCH(,) 6063,4 6-5,4990 AR()-APGARCH(,) 6063,6 7-5,498 AR()-FIGARCH(,d,) 606,66 6-5,4985 AR()-FIPGARCH(,d,) 6064, 7-5,4989 AR()-FIAGARCH(,d,) 6065,76 7-5,5005 AR()-FIAPGARCH(,d,) 6067,08 8-5,5007 AR()-FIGARCH(,d,) 6090,7 7-5,57 AR()-FIPGARCH(,d,) 609,4 8-5,58 AR()-FIAGARCH(,d,) 609,60 8-5,530 AR()-FIAPGARCH(,d,) 609,94 9-5,533
Osaecznie mona przyj, e najlepszym modelem (sporód rozparywanych) opisujcym szereg sóp zwrou z indeksu WIG jes model AR()-FIAGARCH(,d,) z warunkowym rozkładem -Sudena, kóry umoliwia uwzgldnienie wszyskich opisywanych efeków wyspujcych w szeregach sóp zwrou. Paramer δ w modelu ym nie jes esymowany i wynosi, co oznacza, e dla indeksu WIG najlepszym modelem jes model opisujcy warunkowe wariancje. Dla innych insrumenów obserwuje si, i opymalna waro parameru δ zawiera si w przedziale od około,3 do,75 (por. Higgins, Bera (99), Ding, Granger, Engle (993), Tse (998)) i nie mona wedy mówi wpros ani o warunkowym odchyleniu sandardowym, ani o warunkowych wariancjach. Wybrany model, po wyesymowaniu paramerów moe by przydany w prognozowaniu zmiennoci, wycenie opcji, czy pomiarze ryzyka meod Value a Risk Lieraura Baillie R., Bollerslev T., Mikkelsen H. (996). Fracionally Inegraed Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy. Journal of Economerics, 74, s. 3-30. Bollerslev T. (986). Generalized auoregressive condiional heeroskedasiciy. Journal of Economerics, 3, s. 307-37. Bollerslev T., Engle R., Nelson D. (994). ARCH models (w: Engle, MacFadden, Handbook of economerics). Norh-Holland, Amserdam Box G., Jenkins J. (986). Analiza szeregów czasowych. Prognozowanie i serowanie. Paswowe Wydawnicwo Naukowe, Warszawa. Ding Z., Granger C. (996). Modeling volailiy persisence of speculaive reurns: A new approach. Journal of Economerics, 73, s. 85-5. Ding Z., Granger C., R. Engle. (993). A long memory propery of sock marke reurns a new model. Journal of Empirical Finance,, sr. 88-06 Engle R. (98). Auoregressive condiional heeroskedasiciy wih esimaes of he variance of UK inflaion. Economerica, 50, s. 987-008. Engle R., Ng V. (993). Measuring and esing he impac of news on volailiy. Journal of Finance, 48, sr. 749-778 Gourieroux C. (997). ARCH Models and Financial Applicaions, Springer Verlag, New York Higins M., Bera A. (99). A class of nonlinear ARCH models. Inernaional Economic Review, 33, sr. 7-04
Jajuga K. (999). Nowe endencje w zarzdzaniu ryzykiem finansowym, Rynek Terminowy, 3, Peneraor, Kraków Jajuga K. (000). Meody ekonomeryczne i saysyczne a analizie rynku kapiałowego. Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław (pod red.) Pionek K. (00) Modelowanie i prognozowanie zmiennoci insrumenów finansowych. Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu. Wrocław (rozprawa dokorska) Pionek K. (003). Modelowanie długiej pamici w szeregach zmiennoci sóp zwrou. Konferencja Modelowanie Preferencji a Ryzyko. Usro, (w druku) Tsay R. (00). Analysis of Financial Time Series. Wiley and Sons. Chicago Tse Y. (998). The condiional heeroskedasiciy of he yen-dolar exchange rae. Journal of Applied Economerics, 3, sr. 49-55