rof. dr hab. inż. JROSŁW RZEWŁÓCKI pok. 364 Konsutacje: do ustaenia Literatura: - ranicki Cz.: Zadania z mechaniki budowi. T.1, str. int. WILiŚ G. - Chudzikiewicz.: Statka budowi. Część I i II. - Koendowicz T.: echanika budowi da architektów. -rzewłócki J., Górski J.: odstaw mechaniki budowi. - rak S., Szuborski K.: echanika konstrukcji. http://www.pg.gda.p/ Wdział rchitektur Katedr Katedra Technicznch odstaw rojektowania rchitektonicznego Strona internetowa 1
Warunki zaiczenia semestr II (cz. 1) W zajęciach mogą uczestniczć jednie Osob znajdujące się na Listach Studenckich. Obecność na wszstkich wkładach i ćwiczeniach jest obowiązkowa i będzie sprawdzana. Zaiczenie ćwiczeń audtorjnch w II semestrze uzskuje się na podstawie wników dwóch kookwiów pisemnch. oszczegóne kookwia oceniane są w skai punktowej 0 50 pkt. W sumie z kookwiów można uzskać 0 100 pkt. rzewiduje się możiwość popraw każdego kookwium w czasie sesji podstawowej ub poprawkowej (do uzgodnienia ze starostą roku). Wnik tego kookwium jest wiążąc. Na wszstkie kookwia naeż prznieść: dokument tożsamości (ze zdjęciem), kika pojednczch kartek papieru formatu 4, kakuator (korzstanie z komórki ub pożczanie kakuatora od innej Osob nie będzie możiwe). odstawę ocen ćwiczeń stanowi iość punktów zdobtch na dwóch kookwiach. Ocena końcowa przjmowana jest zgodnie z tabeą. Suma punktów z kookwiów ocena 55-6 3 63-71 3+ 7-80 4 81-87 4+ 88-94 5 95-100 5+ Osob, które uzskają z kookwiów z semestrów II i III sumę 150 punktów mogą bć zwonione z egzaminu, któr odbędzie się po sem. III, uzskując ocenę dobr. ożiwe jest uzskanie dodatkowch punktów za aktwność na zajęciach. ROGR WYKŁDÓW: SE. II 15 GODZ. 1-. Wprowadzenie do przedmiotu, eement konstrukcjne. 3-4. Statka eementarna: skaar i wektor, zasad statki, moment statczn sił wzgędem punktu, para sił, redukcja płaskiego układu sił, warunki równowagi. 5. Oddziałwania na konstrukcje, siła skupiona, obciążenie ciągłe, moment skupion. 6. Schemat układów prętowch, węzł, podpor. 7. odstawowe założenia teorii konstrukcji. 8. Sił wewnętrzne (przekrojowe) w układach prętowch statcznie wznaczanch, związki międz siłami wewnętrznmi i obciążeniem. 9. eki proste: beka swobodnie-podparta, beka wspornikowa, beka swobodnie-podparta ze wspornikiem. 10. Układ ramowe: beki załamane, układ trójprzegubowe.
11. Układ łukowe: sił wewnętrzne w prętach zakrzwionch, inia ciśnień. 1. Kratownice, metoda równoważenia węzłów, metoda przekrojów. 13. Układ złożone (beki ciągłe przegubowe, układ ramowe i kratowe, ramowo-kratowe). 14. Obciążenia zmienne (użtkowe): inie wpłwu, obciążanie inii wpłwu, ekstremane obciążanie inii wpłwu. 15. Obwiednie sił wewnętrznch, kombinacja obciążeń. an ćwiczeń w semestrze II 30 godz. Statka eementarna godz. Reakcje beek prostch 3 godz. Sił wewnętrzne beek prostch 5 godz. eka ciągła przegubowa godz. eki załamane godz. Kookwium nr 1 godz. Ram trójprzegubowe godz. Układ łukowe 1 godz. Kratownice 3 godz. Układ kratowo-ramowe 1 godz. Linie wpłwu 1 godz. Ekstremane obciążenie inii wpłwu, obwiednie godz. Kookwium nr godz. Funkcja i forma konstrukcji budowanej Obiekt wzniesione w Starożtności, budowe renesansu ub baroku powstał w wniku intuicji, technicznej sprawności i doświadczenia ówczesnch twórców. Obiekt okreśała funkcja i forma. W czasach, w którch bł wznoszone, nie istniała nauka o konstrukcjach. Roa konstrukcji, choć uświadamiana jednie intuicjnie, bła jednak zawsze niezwke ważna. Konstrukcje i proces technoogiczne towarzszące budownictwu zaczęł wraźnie determinować architekturę budowi. Tak więc roa konstrukcji stała się równie ważna, jak jej funkcja i forma architektoniczna. Hagia Sofia 3
Sears Tower Chicago 443 m iramida Cheopsa 147 m (137 m) anteon w Rzmie Kopuła o średnic 44 m Haa Superdome Luizjana, rozpiętość 5 m ost na Tbrze Rzm, rozpiętość przęsła 33 m ost kashi-kaiko, rozpiętość przęsła 1999 m urj Dubai - 88 m Japonia budnek mieszkan o wsokości czterech kiometrów, 800 kondgnacji, pół miiona osób. Roa teorii konstrukcji Gwałtown rozwój nauki zmusza do jej podziału na wąskie specjaności, gdż stało się niemożiwe dogłębne poznanie wieu dziedzin wiedz przez jednego człowieka. Nastąpił również podział ró w procesie projektowania budowi, w któr z reguł są zaangażowani zarówno architekci, jak i inżnierowie-konstruktorz. Nowoczesne projektowanie wmaga opanowania podstaw dscpin technicznch niezbędnch do zrozumienia roi i prac konstrukcji, a więc: mechaniki teoretcznej, mechaniki budowi i wtrzmałości materiałów, obejmującch tzw. teorię konstrukcji. 4
Savadori.: Konstrukcja jest da architekta tm, czm adwokat da pozwanego złem koniecznm. Nie da się jej jednak uniknąć, bo działają prawa prawa przrod, którm musi podegać. rojektowanie konstrukcji Każda budowa inżnierska musi spełniać szereg warunków jak np. wzgęd estetczne, ekspoatacjne, techniczne, ekonomiczne, itp. Do najistotniejszch naeż jednak zaiczć bezpieczeństwo, zarówno w okresie wznoszenia budowi, jak i późniejszej ekspoatacji. Tę część budowi, która zapewnia jej bezpieczeństwo, i która tworz jej nośn szkieet nazwam konstrukcją. rzkładowo, konstrukcję mostu koejowego stanowią staowe ub żebetowe dźwigar, natomiast podkład ub szn koejowe do niej nie naeżą. odobnie konstrukcję stropu może stanowić płta żebetowa, a nie spoczwająca na niej podłoga ub tnk. Znajomość mechaniki teoretcznej, mechaniki budowi oraz wtrzmałości materiałów pozwaa na zaprojektowanie bezpiecznej konstrukcji. odstawowe zadanie konstrukcji nośnch stosowanch w budownictwie poega na bezpiecznm przenoszeniu wszekiego rodzaju obciążeń działającch na budowe i przekazwanie ich na fundament. Ocenę prac konstrukcji budowanch, w różnch warunkach, inżnier przeprowadza na podstawie statcznej i dnamicznej anaiz konstrukcji. etod anaiz: obiczeniowa tworzenie modei matematcznch na drodze uogónień praw zaobserwowanch w doświadczeniach, doświadczana modee ub rzeczwista konstrukcja. 5
Ocena negatwna zmiana projektu (zwiększenie wmiarów, zastosowanie epszego materiału ub inn schemat statczn konstrukcji), w przpadku konstrukcji istniejącej jej modfikacja ub zmiana zakresu obciążeń ekspoatacjnch. Ocena poztwna akceptacja projektu, ewentuana reaizacja projektu ub zezwoenie na ekspoatowanie anaizowanej istniejącej i jkonstrukcji. k Na wszstkich etapach projektowania ogromn wpłw ma ekonomia (koszt konstrukcji, jej projektowania i wkonania) ROCES ROJEKTOWNI KONSTRUKCJI Założenia wstępne wbór rodzaju i rozmiarów konstrukcji, projekt architektoniczn, kształtowanie (wstępne okreśenie kształtu konstrukcji), wstępne wmiarowanie eementów konstrukcjnch, założenia ekonomiczne. Obiczenia okreśenie rodzaju i wiekości obciążeń, ustaenie schematów statcznch, obiczanie sił wewnętrznch i przemieszczeń, wmiarowanie poszczegónch eementów (werfikacja wstępnch wmiarów), optmaizacja konstrukcji, projektowanie szczegółów, sporządzanie opisu technicznego i rsunków, kosztors. 6
Zadania mechaniki budowi ustaenie schematu statcznego projektowanej konstrukcji oraz obiczenie si wewnętrznch i przemieszczeń (deformacji). Następnie na ich podstawie, wkorzstując wzor wtrzmałości materiałów, można dobrać wmiar poszczegónch eementów konstrukcjnch oraz zaprojektować ich szczegół, np. połączenia. ozostałe faz projektowania są przedmiotem innch dscpin naukowch oraz norm, czi odpowiednich przepisów budowanch prawo budowane. rojektant (konstruktor) jest odpowiedzian za prawidłowość rozwiązania konstrukcjnego. Wg Kodeksu Hammurabiego (179 1750 p.n.e., abion): Jeżei budownicz wbudował dom, a dzieła swego nie wkonał trwae i dom, któr wbudował, zawaił się i zabije właściciea domu, budownicz ten poniesie karę śmierci, a jeżei zabił przez to sna właściciea domu, będzie zabit sn tego budowniczego. FIZYK Termodnamika Eektromagnetzm echanika Newtona Fizka atomowa echanika budowi Kinematka echanika teoretczna (ogóna) Dnamika inne Kinetka STTYK 7
echanika teoretczna - badanie ciał ideanie sztwnch. echanika budowi - opisuje ciała odkształcane. Opracowane w mechanice budowi metod umożiwiają wznaczanie sił wewnętrznch w konstrukcjach. Wtrzmałość materiałów - wmiarowanie poszczegónch eementów konstrukcjnch (wkorzstuje anaizę teoretczną oraz badania doświadczane. ECHNIK UDOWLI ELEENTY KONSTRUKCYJNE W ogónm przpadku, każda budowa składa się z połączonch ze sobą części o różnch kształtach i wmiarach. rzkładowo, dach i strop budnku opierają się na ścianach ub słupach, które z koei są posadowione na fundamentach. W każdej budowi mogą wstępować różne eement, takie jak beki, układ kratowe, ramowe i inne. Nośne szkieet tch części nazwają się eementami konstrukcjnmi. KONSTRUKCJE SYWNE Eement, którch wmiar we wszstkich trzech kierunkach w przestrzeni są iczbami tego samego rzędu, nazwają się maswnmi. stopa fundamentowa mur oporow 8
KONSTRUKCJE OWIERZCHNIOWE Eement, którch jeden wmiar, zwan grubością, jest zdecdowanie mniejsz od pozostałch, nazwają się konstrukcjami powierzchniowmi. Tarcza płta powłoka cindrczna KONSTRUKCJE RĘTOWE Eement, którego jeden wmiar zwan długością jest wieokrotnie większ od pozostałch dwóch wmiarów, nazwa się prętem. eka stropowa 1 a łta stropowa b a/b> ręt rozciągan ręt ściskan (słup) ręt jako eement kratownic Konstrukcje składające się włącznie z prętów noszą nazwę układów prętowch. Jeżei wszstkie pręt układu i wszstkie obciążające sił eżą w jednej płaszczźnie, to konstrukcja nazwa się płaskim układem prętowm. Rodzaje układów prętowch: beki, ram, łuki, kratownice. eka Rama Kratownica Łuk 9
Konstrukcja szkieetowa Konstrukcja szkieetowa 10
STTYK odstawowe pojęcia i zasad ODELE CIŁ RZECZYWISTYCH unkt materian ciało o rozmiarach znikomo małch w porównaniu z rozmiarami obszaru, w którm się znajduje; punkt materian obdarzon jest masą. ojęcie nie do przjęcia przez fizkę ae stosowane przez mechanikę do badania ruchu cz spocznku ciał rzeczwistch. Komin unkt materian h/4 3h/4 Zastosowanie w dnamice Skasfikowanie danego ciała jako punktu jest wzgędne. udnek mieszkan jako punkt w stosunku do obszaru widzianego z samootu ecącego na znacznej wsokości. udnek mieszkan z pozcji obserwatora idącego uicą. Układ punktów materianch unkt materiane Continuum materiane obszar zajęt przez ciało jest wpełnion materią w sposób ciągł. 11
Ciało doskonae sztwne (nieodkształcane) ciało, którego punkt nie zmieniają wzajemnch odegłości pod wpłwem działającch na nie sił. rak ugięcia rak ugięcia ojęcie nie do przjęcia przez teorię wtrzmałości materiałów ae przbiżenie dopuszczane da ceów statki. Rachunek wektorow podstawowe definicje Skaar wiekość fizczna całkowicie scharakterzowana jedną iczbą (np. temperatura, ciśnienie, masa, poe, energia ). Wektor obiekt geometrczn w matematce eementarnej; graficznie przedstawian jako odcinek, na którm wróżniono początek i koniec,, a (np. siła, prędkość, przspieszenie ). a 1
Wektor na płaszczźnie j i = i + j = + =, cos = = cos = sin Współrzędne wektora nie uegną zmianie jeżei przesuniem równoegłe siłę (zmienim położenie punktu początkowego). Wznaczanie współrzędnch wektora: 1 = i + j = ( 1) i + ( 1) j j i 1 ZSDY STTYKI Zasada 1. Działanie dwóch sił i Q, przłożonch w jednm punkcie, można zastąpić siłą wpadkową W przłożoną do tego samego punktu. Wpadkowa W jest sumą wektorową W = + Q. Siłę W można przedstawić jako wektor będąc przekątną równoegłoboku zbudowanego na wektorach W i Q. Q Zasada. Dwie sił przłożone do ciała sztwnego równoważą się tko wted, gd mają tę samą inię działania, te same wartości iczbowe = = Q= Q i przeciwne zwrot = Q. Q Zasada 3. Działanie układu sił przłożonch do ciała sztwnego nie uegnie zmianie, gd do tego układu doda się ub odejmie układ sił równoważącch się. Z zasad tej wnika istotn wniosek, iż każdą siłę działającą na ciało można dowonie przesuwać wzdłuż jej inii działania. Zasada 4. Każdemu działaniu towarzsz przeciwdziałanie, eżące na tej samej prostej, równe co do wartości i o przeciwnm zwrocie. Zasada ta jest równoważna trzeciemu prawu Newtona. G R 13
Zasada 5. Każde ciało nieswobodne można mśowo oswobodzić z więzów, zastępując ich działanie reakcjami, a następnie rozpatrwać to ciało jako swobodne, znajdujące się pod działaniem sił cznnch i biernch. R 1 R Sił bierne Q Q Siła cznna Zasada 6. Zasada zesztwnienia. Równowaga sił działającch na ciało odkształcane nie zostanie naruszona przez zesztwnienie tego ciała. Na tej podstawie można stwierdzić, że warunki równowagi, jakie muszą spełniać sił działające na ciało sztwne obowiązuje również da ciała odkształcanego. Zasada pozwaa rozwiązwać zagadnienia dotczące równowagi ciał uegającch odkształceniom. W mechanice budowi (ciała odkształcane) możem wkorzstać pojęcia mechaniki teoretcznej (ciała nieodkształcane). = 0 OENT STTYCZNY SIŁY WZGLĘDE UNKTU a oment statczn powoduje: obrót i zginanie = a 14
O O. O a = a z a j k r i O i j k = r = r r r O z z Cznnik wwołując obrót nazwa się momentem statcznm sił wzgędem punktu O, zwanego biegunem. Wartość tego momentu jest iocznem sił i odegłości jej inii działania od bieguna O =a. oment sił wzgędem punktu można przedstawić graficznie, jako łuk zakończon strzałką. Z definicji iocznu wektorowego wnika, że moment statczn jest wektorem prostopadłm do płaszczzn, na której położone są wektor r i. b odróżnić wektor reprezentujące sił i moment, te ostatnie oznacza się dwiema strzałkami. Jednostką momentu statcznego w układzie SI jest N m (Niuton metr). Zwrot, a zatem i znak momentu zaeż od przjętego zwrotu osi z. oment jest dodatni, jeżei zwrot jego wektora jest zgodn z osią z. atrząc z dodatniego kierunku osi z na płaszczznę, moment prawoskrętne wwołujące obrót zgodn z ruchem wskazówki zegara uważa się za ujemne. Na płaszczźnie r z =0 i z =0 r r r = = k = k ( r r ) = ka O z r r oment statczn sił wzgędem punktu jest równ zeru wted, gd punkt ten eż na inii działania sił. O = a O = a O = a a O O a a O O a a O O = a O = a O = a a O a O O O O = a = 0 = 0 oment statczn sił wzgędem punktu jest równ zeru wted, gd punkt ten eż na inii działania sił. O O 15
a ( ) R SIŁ Układ dwóch sił równoegłch, o równch wartościach, ecz przeciwnie skierowanch zwrotach nazwa się parą sił. = a+ = a O z O a RÓWNOLEGŁE RZESUNIĘCIE SIŁY a a a REDUKCJ ŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Redukcja dowonego układu sił oznacza zastąpienie go przez układ równoważn i możiwie najprostsz. Układ sił zbieżnch Jeżei inie działania wszstkich sił przechodzą przez jeden wspón punkt, to tworzą tzw. zbieżn układ sił. O 1 3 W 4 O O O 1 5 W n W = i W = W i + W j i= 1 n n W = 1 + +... + n = i, W = 1 + +... + n = i i= 1 i= 1 Układ sił dowonch Jeżei inie działania wszstkich sił działającch na konstrukcję nie przecinają się w jednm punkcie, to tworzą one tzw. dowon układ sił. Stosuje się dwa sposob jego redukcji: do wpadkowej układu sił, do wektora głównego i momentu głównego układu. O a i i. 1 O a k W = R. n = = i i= 1 W R 1 n aii W i = 1 a = r R O O n i i= 1 n O = = i i i= 1 R = aw a 16
Układ sił równoegłch R W=R 1 i n O a i O 0 0 = aw O a n R = O i i= 1 aw a n = = W = 1 i i i= 1 n W R = = 1 n aii i a = i i= 1 WRUNKI RÓWNOWGI Wiatr Śnieg Ciężar własn odciśnienie wwołane wiatrem arcie gruntu Zbieżn układ sił W = 0 Reakcja podłoża n n i i i= 1 i= 1 = 0, = 0 łaski zbieżn układ sił jest w równowadze, gd sum rzutów wszstkich sił na oś i równocześnie na oś są równe zeru. Układ sił dowonch n R = W = i = 0 n i O = ri i = 0 i= 1 i= 1 = 0, = 0, = 0 i i io Dowon płaski układ sił jest w równowadze, gd sum rzutów wszstkich sił na oś i oraz jednocześnie suma ich momentów wzgędem dowonego punktu są równe zeru. = 0, = 0, = 0 = 0, = 0, = 0 C nieprostopadła do C, i C nie eżą na jednej prostej 17
W każdm z wmienionch przpadków można napisać nieskończenie wiee równań równowagi. Jednakże iczba niezaeżnch równań równowagi będzie wnosić: dwa da układu sił zbieżnch na płaszczźnie, trz da układu sił dowonch na płaszczźnie, trz w przpadku układu sił zbieżnch w przestrzeni, sześć w przpadku układu sił dowonch w przestrzeni. Rozwiązując probem związan np. z układem dowonch sił na płaszczźnie, ł ź naeż zastosować ć jedną z trzech wersji układów równań równowagi. Liczba równań potrzebnch w tm przpadku do przeprowadzenia obiczeń nie powinna bć ani mniejsza, ani większa niż trz. Inne równania (nieskończenie wiee), które bez probemu będzie można zapisać, na drodze matematcznch przekształceń da się sprowadzić do któregoś ze standardowch związków. Takie dodatkowe równania mogą bć natomiast wkorzstane do przeprowadzenia kontroi obiczeń. ODDZIŁYWNI N KONSTRUKCJE Na każdą konstrukcję mogą działać bezpośrednio obciążenia mechaniczne ub pośrednio obciążenia związane z deformacją konstrukcji, wnikającą z oddziałwań termicznch, przemieszczenia podpór ub błędów montażowch. Oddziałwania na konstrukcję mogą bć złem koniecznm zarówno da architekta jak i konstruktora. Nie można minimaizować ich znaczenia. ODDZIŁYWNI TERICZNE 0 0 C 100 m 40 0 C 100 m + 3 cm 50 0 C rzegub 50 0 C 40 0 C 100 m Obciążenie ściskające 0 0 C 0 0 C Kimatzowane wnętrza z temperaturą ok. 0 0 C. W ecie słup zewnętrzne mogą rozgrzać się do 50 0 C i wdłużć o 5 7 cm w porównaniu do słupów wewnętrznch. W zimie ich temperatura spada do -10 0 C i kurczą się bardziej niż wewnętrzne. Spękania od obciążeń grawitacjnch i termicznch Staowe obręcze Kopuła aziki Św. iotra w Rzmie udnek firm ubezpieczeniowej Johna Hancocka w Chicago 18
RZEIESZCZENI ODÓR Największm zagrożeniem da obiektów budowanch są kłopot z podłożem i fundamentami. Teatr Narodow w eico Cit OCIĄŻENI Wiatr OCIĄŻENI Ciężar własn Obciążenia boczne Obciążenie śniegiem Obciążenie sejsmiczne OCIĄŻENI W zaeżności od zachowania się w czasie, obciążenia dzieą się na trz zasadnicze grup: obciążenia stałe, np. ciężar własn konstrukcji ub trwałch eementów wkończenia, obciążenia zmienne, np. obciążenie użtkowe, ciężar poruszającego się samochodu, wiatr ub śnieg, obciążenia wjątkowe, np. uderzania w konstrukcję cz wbuch, obciążenia sejsmiczne, obciążenia spowodowane huraganowm wiatrem itp. 19
W zaeżności od sposobu przłożenia, obciążenia dzieą się na zewnętrzne (powierzchniowe) i wewnętrzne (masowe). Sił zewnętrzne są przłożone do powierzchni rozpatrwanej konstrukcji (parcie wiatru, ciężar śniegu). Sił objętościowe zaczepione są w środkach ciężkości każdej cząstki objętości danej konstrukcji i są wnikiem działania np. grawitacji. Z uwagi na okaizację w przestrzeni, obciążenia zmienne dzieą się na: nieruchome punkt zaczepienia jest stał, ecz wartość i kierunek zmieniają się w czasie, ruchome stała wartość, ecz zmienn punkt przłożenia. Obciążenia zmienne dziei się na technoogiczne (zaeżne od funkcji obiektu i sposobu jego użtkowania) i środowiskowe (zaeżne od środowiska, w którm obiekt się znajduje). ogą one bć w całości długotrwałe (np. parcie wod o stałm poziomie jej zwierciadła), w części długotrwałe (np. obciążenia stropów w pomieszczeniach) ub w całości krótkotrwałe (np. obciążenia śniegiem ub wiatrem). SIŁY CZYNNE obciążenia ZEWNETRZNE IERNE reakcje podpór WEWNETRZNE naprężenia Sił skupione Obciążenie ż i ciągłe ł działające na małej rozłożone na okreśonej powierzchni ub powierzchni, traktowanej wzdłuż pewnej inii np. ciężar własn jako punkt beki, ciśnienie hdrostatczne nie zmienne w czasie Statczne nie zmienne w czasie ub bardzo wono zmienne w czasie Dnamiczne zmienne w czasie Obciążeniami zmiennmi w projektowaniu konstrukcji są: obciążenie stropów wnikające z użtkowania pomieszczeń (inaczej obciążenie użtkowe), obciążenie stropów ściankami działowmi, obciążenie śniegiem, obciążenie wiatrem, da niektórch konstrukcji inżnierskich także parcie wod. 0
Wiatr Wiatr OCIĄŻENI CHRKTERYSTYCZNE I OLICZENIOWE Wartość charakterstczną obciążenia (zwana też normową) przjmuje się według odpowiednich norm: N-8/-0001 (obciążenia stałe), N-8/-0003 (obciążenia zmienne technoogiczne i montażowe), N-8/-0004 (obciążenia pojazdami), N-86/-0005 (obciążenia suwnicami pomostowmi, wciągarkami i wciągnikami), N-80/-0010 (obciążenie śniegiem) i N-77/-0011 (obciążenie wiatrem), N-88/-0014 (obciążenie gruntem), N-86/-0015 (obciążenie temperaturą). Wartości charakterstczne ciężarów objętościowch materiałów konstrukcjnch: cegła pełna 19,0 kn/m 3, beton niezbrojon 3 kn/m 3, stropianu 0,45 kn/m 3. Wartości charakterstczne ciężarów pokrć dachowch: bacha fałdowa grubości 1 mm - 0,11 kn/m, dachówka ceramiczna karpiówka - 0,90 kn/m. Wartości charakterstczne obciążenia użtkowego stropów przjmuje się według norm N-8/-0003. Wartości te są zaeżne od rodzaju budnku i przeznaczenia pomieszczenia. Na przkład da: pokojów w budnkach mieszkanch przjmuje się 1,5 kn/m, sa wkładowch, restauracjnch, kinowch, teatranch - 3,0 kn/m, skepów i powierzchni magaznowch - 7,5 kn/m. Obciążenie stropów ściankami działowmi przjmuje się na ogół jako obciążenie zastępcze, rozłożone równo na całej powierzchni stropu i wnoszące około 0,75 kn/m. 1
Wartość charakterstczna obciążenia dachu śniegiem zaeż od geograficznego położenia budnku oraz kształtu i pochenia dachu. Teren oski jest podzieon na czter stref, w zaeżności od wieoetnich średnich opadów śniegu w danch rejonach i najmniejsza wnosi 0,70 kn/m. Największe obciążenie dachów śniegiem jest na terenach górskich. Kształt i nachenie dachu uwzgędnia się, stosując odpowiedni współcznnik (mnożnik), zmniejszając obciążenie prz nacheniu h powżej j30 30. rz nacheniu dachu powżej j60 obciążenia śniegiem nie uwzgędnia się, zakładając, że na takim dachu śnieg się nie utrzmuje. oska stref obciążeń śniegiem gruntu Obciążenie charakterstczne śniegiem gruntu według norm N-EN 1991-1-3:005 Euorokod 1 Obciążenie wiatrem jest obciążeniem działającm prostopade do powierzchni ścian i dachów budnków. Wartość tego obciążenia jest zaeżna od: położenia geograficznego, wsokości, kształtu i rodzaju budnku oraz rodzaju terenu, na którm ma on bć zokaizowan. oska jest podzieona na trz stref wiatrowe. rzeważająca większość powierzchni kraju znajduje się w strefie pierwszej o wartości charakterstcznej parcia wiatru wnoszącej 0,5 kn/m. ozostałe cznniki uwzgędnione są w specjanch współcznnikach głównie zwiększającch wartości podstawowe.
Odchenie pod naporem wiatru Okres wahań budnku ciśnienie ssanie Wiatr Kształt budnku, udnek jako odwrócone wpłw na sąsiada wahadło zegara Efekt statczne działania wiatru rosną do kwadratu wraz z wsokością. udnki o wsokości 450 m muszą znosić obciążenia pięćdziesiąt raz większe niż budnki o wsokości 60 m. WTC (41 m) odchenie wierzchołków od pionu do m, okres wahań 10 s. Obciążenia od wiatru most, wieżowce Obciążenia sejsmiczne specjane fundament, dnamiczn tłumik drgań, upłnnienie gruntu Obciążenia ż i od faowania Rezonans sinik, dzwon, most Wartości obiczeniowe obciążenia ustaa się mnożąc jego wartości charakterstczne przez współcznniki obciążenia (częściowe współcznniki bezpieczeństwa) według zaeżności: F d = F k γ f gdzie: F d wartość obiczeniowa obciążenia, F k wartość charakterstczna obciążenia, γ f współcznnik obciążenia (γ f =0,8 1,4). Wartości γ f <1,0 naeż stosować wówczas, gd zmniejszenie obciążenia powoduje zmniejszenie bezpieczeństwa konstrukcji (np. prz sprawdzaniu konstrukcji na stateczność) W trakcie prac projektowch wszstkie wstępujące obciążenia uwzgędnia się równocześnie, przewidując ich najbardziej niekorzstne zestawienie. 3
SIŁ SKUION Jednostkę sił (SI) 1 N (niuton). Jest to siła, która masie 1 kg nadaje przspieszenie 1 m/s. W praktce, często stosuje się kn (kioniuton) ub N (meganiuton). Siła jest miarą wzajemnego oddziałwania ciał, przejawiającego się wprowadzeniem (utrzmaniem) ich ze stanu spocznku ub zmianą ich ruchu. Siła jest wektorem i jest okreśona poprzez jej wartość, kierunek, zwrot i punkt zaczepienia ub inię działania. b a 0 [N/m ] 0 ab [N] 1 Sił cznne 3 1 3 1 3 (obciążenia) R R Sił bierne (reakcje) OCIĄŻENIE CIĄGŁE iarą wartości obciążenia ciągłego jest iczba jednostek sił przpadająca na jednostkę powierzchni [N/m ], a w przpadku pręta na jednostkę długości [N/m]. Ciężar piasku Ciężar własn beki Jeżei wartość obciążenia ą jest w każdm punkcie jednakowa to obciążenie takie nazwa się równomiernm. ozostałe obciążenia ciągłe nie spełniające tego założenia nazwa się nierównomiernmi. eka stropowa arcie gruntu na mur q a q q= γ γ f Woda 10 cm q=1 kn/m 4
Wpadkowa obciążenia ciągłego i jej inii działania W q() W = q ( ) d O W oment W wpadkowej W wzgędem punktu O: q() d W = W W oment obciążenia ciągłego wzgędem tego samego punktu O: W 1 = q( ) d W p = q( ) d q W=qa O O a a/ a/ W=qa/ q a a/3 a/3 OENT SKUIONY W praktce budowanej obciążenie momentem skupionm wstępuje bardzo rzadko. W zagadnieniach dnamicznch może ono wnikać np. z prac maszn. Obciążenie momentem skupionm jest jednak często wkorzstwane jako eement pomocnicz w obiczeniach przemieszczeń układów prętowch oraz w anaizie układów statcznie niewznaczanch. SCHETY UKŁDÓW RĘTOWYCH Schemat statczn konstrukcji odzwiercieda wzajemn układ eementów nośnch, ich długości, sposób połączenia ze sobą oraz z podłożem a także ich obciążenie. eka Układ prętow Schemat układu prętowego Schemat beki Łuk Schemat łuku Kratownica Schemat kratownic 5
Drewnian dom mieszkan o konstrukcji szkieetowej 1 Konstrukcja hai żebetowej z podciągiem opartm na słupach Konstrukcja hai żebetowej ze stropem opartm na ruszcie 6
eki załamane Rama trójprzegubowa Łuk trójprzegubow Układ złożone 7
rzkład beek swobodnie podpartch wraz z zaznaczonm schematem statcznm. eka swobodnie podparta eka swobodnie podparta eka wspornikowa eka wspornikowa 8
eka podsuwnicowa Słup eka ciągła Rama płaska 9
Łuk Gatewa rch, St. Louis, US. Najwższ na świecie pomnik (19 metr wsokości). Kratownica 30
Najwższm masztem radiowm na świecie bł maszt w Gąbinie. iał wsokość 646,38 metrów. Wbudowan w 1974 roku służł do nadawania programu I oskiego Radia. rogram bł słszan w całej Europie, frce ółnocnej i dużej części zji (czasami w merce ółnocnej. aszt runął 8 sierpnia 1991 na skutek źe prowadzonch prac konserwatorskich (nie został odbudowan). Konstrukcja mieszana, (ramowo-kratowa) Wiadukt iau, Francja. Jest to most o najwższm piarze na świecie - 341 metrów. Konstrukcje drewniane 31
Konstrukcje staowe Konstrukcje betonowe i żebetowe Konstrukcja szkieetowa 3
Węzeł przegubow Węzeł sztwn Zastrzał Wpełnienie sztwn sztwniejsz najsztwniejsz OŁĄCZENI - WĘZŁY onoitczne połączenia prętów β β Kąt pomiędz łączącmi się w węźe prętami nie uegają zmianie na skutek odkształcenia układu. rzegubowe połączenia prętów oment skupion przłożon w osi przegubu jest zawsze równ zeru. W tradcjnm, rutnowm projektowaniu, węzł traktuje się jako monoitczne i/ub ideanie przegubowe. Rzeczwiste zachowanie się większości połączeń, co potwierdzają iczne badania doświadczane, odbiega znacznie od tch ideanch założeń węzł naeż więc traktować jako podatne. Zachowanie się węzłów opisuje charakterstka giętna, czi zaeżność -φ ( moment działając na węzeł, φ przrost kąta obrotu węzła). ę Węzł sztwne Węzł podatne φ 0 Węzł przegubowe φ 33
Główne źródła odkształcaności węzłów, wpłwające na ich charakterstkę to: - odkształcenia paneu środnika pod wpłwem sił z pasów oraz ścinania, - odkształcenia części składowch węzła i połączeń: śrub, nakładek, bach węzłowch, bach doczołowch. 0 φ φ rzegub wacow rzegub kuist 34
013-0-18 RZYKŁDY OŁĄCZEŃ RZEGUOWCH rzegub łącząc dwa pręt Węzeł kratownic Węzeł kratownic jako przegub RZYKŁDY OŁĄCZEŃ ONOLITYCZNYCH 35
ODORY 36
odpora przegubowo-przesuwna eiminuje przesunięcie w jednm kierunku, a pozwaa na swobodne przesunięcie w kierunku doń prostopadłm oraz na swobodn obrót eementu podpartego. R Reakcja R Gładka podkładka Ściana (słup) odkształcana rzemieszczenie odpora przegubowo-nieprzesuwna pozwaa tko na obrót, nie pozwaa natomiast ani na poziome, ani na pionowe przesunięcie. H R W Reakcja H i R rak przemieszczenia i Sztwne utwierdzenie końca pręta, zwane utwierdzeniem ub zamocowaniem uniemożiwia zarówno przemieszczenie poziome i pionowe, jak i obrót końca pręta. H R Reakcje H, R i 37
odpora przegubowo-przesuwna beki staowej odpora przegubowo-przesuwna beki żebetowej odpora przegubowo-nieprzesuwna beki staowej Utwierdzenie ram wraz ze schematem statcznm 38
Szczegół podparcia ram za pomocą utwierdzenia ODSTWOWE ZŁOŻENI TEORII KONSTRUKCJI 1. Założenie statczności obciążeń. rzjmuje się, że działające na konstrukcję sił wzrastają od wartości zerowej aż do ich ostatecznej wartości w sposób ciągł i nieskończenie powon, co pozwaa na pominięcie sił bezwładności.. Założenie o małch odkształceniach (przemieszczeniach) pozwaa rozwiązwać zagadnienia dotczące równowagi układów uegającm odkształceniom. δ = 0 0 δ=δ v 3. Zasada superpozcji. Zakłada się, że poszczegóne sił działają niezaeżnie od siebie. W wniku tego reakcje podporowe, sił wewnętrzne ub odkształcenia konstrukcji spowodowane łącznm działaniem układu sił są równe sumie odpowiednich wiekości, od działania każdej z tch sił z osobna. 1 1 1 = 1 + Każd układ, da którego zaeżności ż ś międz obciążeniem ż i a siłami i wewnętrznmi są iniowe, nazwam układem iniowm geometrcznie (małe odkształcenia i przemieszczenia). Układ jest iniow fizcznie, jeżei zaeżności międz odkształceniami i obciążeniami (ściśe naprężeniami) są iniowe (rawo Hooke a). Układ iniow geometrcznie i fizcznie nazwam układem iniowm. Liniowość układu jest warunkiem wstarczającm i koniecznm stosowania zasad superpozcji. 39
4. Założenie ciągłości, jednorodności i izotropii materiału. Ciągłość materiału oznacza, że wpełnia on dane ciało w sposób ciągł. ateriał jest jednorodn, jeżei w każdm punkcie danego ciała ma takie same właściwości mechaniczne (wtrzmałość, odkształcaność). ateriał izotropow to taki, w którm właściwości te są jednakowe we wszstkich kierunkach; materiał niespełniając tego założenia nazwa się anizotropowm (np. drewno). Założenie ciągłości pozwaa do opisu zachowania się materiału rachunku różniczkowego i całkowego. odstawowe materiał budowane, takie jak sta i beton, można uznać za ciągłe, jednorodne i izotropowe. 5. Założenie płaskich przekrojów (ernouiego). rzjmuje się, że przekrój płaski, przeprowadzon w sposób mśow w ciee nieodkształconm, może zmienić swe położenie po odkształceniu, ae pozostaje nada płaski. łaskie przekroje 6. Zasada de Saint-Venanta. Zakłada się, że przłożona w danm miejscu siła wpłwa tko w biskim sąsiedztwie na rozkład naprężeń (sił wewnętrzne rozłożone na powierzchni przekroju). / / / / Naprężenia SIŁY WEWNĘTRZNE Sił wewnętrzne (przekrojowe) to jedno z najważniejszch pojęć mechaniki budowi. R Część ewa W Część prawa R W R R N V N V, V, N - składowe sił wewnętrznch moment zginając, V siła poprzeczna, N siła podłużna R R 40
Sił wewnętrzne wstępują w każdm przekroju konstrukcji i są one wpadkowmi. L L Δ L N V L N oment zginając w dowonm przekroju poprzecznm pręta jest równ sumie momentów statcznch wszstkich sił działającch z ewej (prawej) stron rozważanego przekroju, iczonch wzgędem środka ciężkości tego przekroju. oment ten jest dodatni, gd rozciągane są włókna spodu pręta. oment okreśam jako ujemn, jeżei jego działanie powoduje ściskanie przjętch spodów. Δ V Δ + spód rozciągan - spód ściskan Siła podłużna (normana) N w dowonm przekroju poprzecznm pręta jest równa sumie rzutów wszstkich sił działającch z ewej (prawej) stron rozważanego przekroju, na kierunek prostej stcznej do osi pręta, poprowadzonej przez środek ciężkości przekroju. N + Siła podłużna jest dodatnia, jeżei działa Δ na przekrój rozciągająco, i ujemna, gd działa ściskająco. N - Siła poprzeczna V (tnąca T ) w dowonm przekroju poprzecznm pręta jest równa sumie rzutów wszstkich sił działającch z ewej (prawej) stron rozważanego przekroju, na kierunek prostej prostopadłej do osi pręta, poprowadzonej przez środek ciężkości przekroju. Siła poprzeczna jest dodatnia, gd na prawą część pręta działa do gór, a na ewą do dołu. V + Δ T T - Δ N N V Obiczenia sił wewnętrznch można przeprowadzić abo na podstawie definicji, abo wkorzstując warunki równowagi, zapisane da wodrębnionch fragmentów układu. Z definicji 4 3 1 N N = 4 a 1 V V a = 1 3 a 3 = + a 1 a 1 3 a3 1 3 N = 4 N 4 V a 1 V = + 1 3 a = + a a a a3 1 1 3 3 Z warunków równowagi 3 1 4 = N + 4 = 0 N V = V + + = a 1 a a 3 1 3 0 ( ) = + 1 a + 1 3 a 3 a = 0 41
Wartości sił wewnętrznch, obiczone w tm samm punkcie z obu stron przekroju, muszą bć sobie równe. więc można przeprowadzać obiczenia sił wewnętrznch z dowonej stron przekroju beki. Zazwczaj wbiera się tę stronę, z której wkonanie odpowiednich działań będzie łatwiejsze. ZWIĄZKI IĘDZY SIŁI WEWNĘTRZNYI I OCIĄŻENIE q ( ) φ q() p() + n() p() obciążenie poprzeczne (dodatnie, jeżei działa ku spodowi pręta), n() obciążenie osiowe (dodatnie, jeżei ma zwrot zgodn z osią ). p()δ 1 p() () (+Δ) O n()δ N() N(+Δ) 1 C Δ n() V() V(+Δ) Δ = N( +Δ) N( ) + n( ) Δ = 0 ( ) ( ) ( ) 0 Δ ( +Δ ) ( ) ( ) Δ + ( ) Δ 0 = V +Δ V + p Δ = C = +Δ V Δ + p Δ = ( +Δ ) ( ) N N Δ V +Δ V ( ) ( ) Δ ( +Δ ) ( ) Δ ( ) = n ( ) = p ( ) = V dn d dv d d ( ) ( ) ( ) d = n = p = V ( ) ( ) ( ) W niektórch przpadkach obiczenia łatwiej jest przeprowadzić, przjmując oś skierowaną w stronę przeciwną i wted wrażenia znajdujące się po prawej stronie zaeżności różniczkowch zmienią znaki na przeciwne. dn ( ) = n( ) d dv ( ) = p( ) d d ( ) = V( ) d rzedstawione zaeżności różniczkowe spełniają ważną roę w anaizie układów prętowch i noszą nazwę równań różniczkowch równowagi eementu pręta. Istotne jest zwłaszcza ostatnie z równań, które może służć międz innmi do kontroowania zgodności wkresów sił poprzecznch i momentów zginającch. 4
Graficzna prezentacja sił wewnętrznch jest bardzo ważna, gdż na jej podstawie można uzskać na ogół więcej informacji, niż anaizując nawet najprostsze równanie. Wkres sporządzam, odkładając od osi pręta, w obranej skai, rzędne odpowiednich funkcji. Rsując wkres sił wewnetrznch, przjmuje się konwencję, według której wartości dodatnie momentów N zginającch umieszcza się po stronie spodu pręta, a ujemne po V stronie przeciwnej. Wkres sił poprzecznch rsuje się odwrotnie, czi po stronie spodu odkłada się wartości ujemne. Zerowe sił wewnętrzne oznacza się dwiema pochłmi kreskami. =V V =-q V q=0 V=a =a +b Jeżei wkres sił poprzecznch będzie opisan prostą poziomą, to wkres momentów zginającch jest opisan równaniem prostej nachonej. ochodna funkcji rosnącej jest dodatnia, a maejącej ujemna, zatem moment zginając rośnie w przedziałach, w którch siła poprzeczna jest dodatnia i maeje w przedziałach, w którch jest ujemna. W przpadku działania na układ sił skupionej, w miejscu jej zaczepienia wstąpi nieciągłość na wkresie sił poprzecznch. V =V V =-q q=0 V V=0 =a W przpadku działania na układ momentu skupionego, w miejscu jego zaczepienia wstąpi nieciągłość na wkresie momentów zginającch. Wartości maksmane momentu zginającego mogą również wstąpić w punktach przłożenia sił skupionch, w którch siła poprzeczna jest nieciągła i przecina oś, natomiast wkres momentów jest załaman. V 43
=V V =-q q=const q=const q() V V V =a +b+c V=a+b q=-a Jeżei wkres sił poprzecznej będzie opisan równaniem prostej o współcznniku kierunkowm różnm od zera, to wkres momentów zginającch jest opisan paraboą. Da znaezienia ekstremum dowonej funkcji, przrównuje się jej pochodną do zera, a więc ekstrema momentu zginającego znajdują się w miejscach zerowania się sił poprzecznej. Wkres momentów zginającch jest zakrzwion (załaman) wpukłością w tę stronę, w którą działa obciążenie ciągłe (siła skupiona). Sił wewnętrzne równania różniczkowe równowagi Równania różniczkowe równowagi eementu pręta pozwaają na optczne sprawdzenia wkresów. Obciążenie Wkres V wkres iędz siłami skupionmi stał iniow Ciągłe prostokątne iniow paraboa Ciągłe trójkątne paraboa krzwa 3 0 Siła skupiona skok załamanie oment skupion skok Dodatkowo: Ekstremum momentu wstępuje w punkcie gdzie V=0, W przegubie =0. rzrost sił poprzecznej (podłużnej) międz dwoma punktami osi pręta jest równ minus umownemu pou wkresu obciążenia ciągłego poprzecznego (osiowego) zawartego międz tmi punktami. rzrost momentu zginającego międz dwoma punktami osi pręta jest równ umownemu pou wkresu sił poprzecznej zawartego międz tmi punktami. =40 kn q=10 kn/m =35 kn m 3 m m m m 3 m 10 30 100 45 45 65 40 10 10 V [kn] [kn m] 44
ELKI ROSTE łaski, dowon układ prętow okreśa się jako statcznie wznaczan, jeżei do jego rozwiązania, czi wznaczenia wszstkich reakcji i sił wewnętrznch, wstarczą tko trz równania równowagi. Jednakże jest to tko warunek konieczn, ae niewstarczając, statcznej wznaczaności. Ruch układu echanizm, układ chwiejn ub geometrcznie zmienn ręt odpowiednio podpart i obciążon siłami prostopadłmi ub ukośnmi do jego osi nazwan jest beką. beka swobodnie podparta beka wspornikowa beka swobodnie podparta ze wspornikiem beka swobodnie podparta ze wspornikami 1 eka Vierendeea ELK SWOODNIE ODRT Jeden z najstarszch eementów konstrukcjnch, i najczęściej wstępując w praktce budowanej. s s -rozpiętość w świete ścian Oś beki 0 =1,05 s 0 -rozpiętość obiczeniowa Spękanie Ściskanie Rozciąganie Linia ugięcia ręt zbrojeniowe Część beki zawartą międz podporami nazwa się przęsłem. Zamiast użwać pojęcia długość beki, mówi się, że przęsło ma rozpiętość. 45
ODSTWOWE RZYDKI / / q / / V q/ q/ V 4 q 8 C V / / q q q V KSZTŁTOWNIE ELEK - OTYLIZCJ q q achownica eka żebetowa eka z drewna kejonego 46
rzesunięcie podpór q q 0,07 0,586 0,07 /5,8 /5,8 eka staowa o stałej wsokości q q 0, 0,56 0, /4 / /4 /5 /9 /4 eka żebetowa ożna dać mniej zbrojenia w przęśe eki swobodnie podparte q q eka staowa eka ciągła q Jednakowa wsokość beki ciągłej i swobodnie podpartch 0,56 0,56 eka żebetowa eka wspornikowa 47
UKŁDY ROWE Konstrukcje składające się z prętów prostoiniowch, połączonch ze sobą w węzłach w sposób sztwn ub przegubow, nazwają się ramami. eka załamana Rama trójprzegubowa Sztwność węzła uniemożiwia wzajemn obrót połączonch w nim prętów. ołączenia przegubowe umożiwiają swobodn obrót łączonch prętów. ELKI ZŁNE ekami załamanmi nazwane są układ prętowe podparte na dwóch podporach, przegubowo-przesuwnej i nieprzesuwnej, o prostokątnej siatce prętów ub prętach ukośnch. Słupek Rozpora (rgie) Rama wspornikowa Tak jak w przpadku beek prostch, umiejętne stosowanie równań równowagi prowadzi do niezaeżnego obiczenia koejnch składowch reakcji beek załamanch. 8 kn 8 kn 4 m kn/m C D E 4m 1m m 4 m kn/m C D E H F R R 4 m 1m m = H 4 = 0 H = 8 kn = 4R 8 1 = 0 R = kn F = 4R 8 5 = 0 R = 10 kn Sprawdzenie = R R + 8= 10+ 8= 0 48
Równania sił wewnętrznch naeż zapiswać oddzienie da każdego eementu konstrukcji. Równania te będą się zmieniać w węzłach układu oraz w punktach zmian tpu (funkcji) obciążenia. 4 m kn/m C D E 1 8 kn 8 kn 10 kn kn 4 m 1m m C: 0 4 m N 1 V 1 kn/m kn 1 ( ) = 0 N = kn 1 1 ( ) = 0 V = 1 1 1 1 ( ) = 0 ( 1) = = 1 4 m kn/m β 8 kn C β D E 8 kn 10 kn kn 4m 1m m C D: 0 4 m kn/m C kn β β N β β V β ( ) = 0 N = 4 = 8 kn β ( ) ( ) = 0 V = kn β = 0 = 4 = 16 ( β) β 4 m kn/m 3 8 kn γ C D γ E 8 kn 10 kn kn 4 m 1m m D E: 0 1 m N γ γ V γ 3 γ γ 3 3 8 kn E ( ) = 0 N = 0 3 γ 3 ( ) = 0 V = 8 kn 3 γ 3 ( ) = 0 = 8 ( γ) γ 3 3 49
4 m kn/m 8 kn C D E δ 4 δ 8 kn 10 kn kn 4 m 1m m D: 0 4 m 4 4 N δ V δ δ δ δ 8 kn 10 kn ( ) = 0 N = 10 kn 4 δ 4 ( ) = 0 V = 8 kn 4 δ 4 ( ) = 0 = 8 ( δ) δ 4 4 rawidłowość rozwiązania można sprawdzić anaizując np. równowagę wszstkich składowch sił wewnętrznch, działającch na węzeł D. 16 4 8 D 16 D 4 8 16 D 0 4 8 16 0 8 8 V 8 N 10 8 8 D 8 10 8 = 0 8 8= 0 = 0 10 8 = 0 UKŁDY TRÓJRZEGUOWE (trójprzegubowe sstem ramowe) naeżą do najbardziej ubianch przez architektów szkieetowch sstemów konstrukcjnch. Charakterzują się one wjątkowo efektwnm rozkładem sił, co daje duże oszczędności materiału. 50
Układ prętowe nazwane są trójprzegubowmi, jeżei obdwie podpor są wkonane jako przegubowe-nieprzesuwne oraz jeden z węzłów zaprojektowano jako połączenie przegubowe. C C C f H H R R H R H R R H H Ram trójprzegubowe różnią się od beek o osi załamanej przede wszstkim sposobem podparcia. Dwie nieprzesuwne podpor zastępuje się czterema składowmi reakcji. R Odegłość międz podporami i nazwa się rozpiętością ram trójprzegubowej. Cechą charakterstczną układów trójprzegubowch jest wstępowanie na podporach składowch poziomch reakcji nazwanch rozporem. Reakcje poziome wstępują także w przpadku, gd układów obciążonch włącznie siłami pionowmi. Wukładach trójprzegubowch naeż zastosować niestandardowe sposob wznaczania reakcji. Do dspozcji są trz równania równowagi oraz dodatkow warunek zerowania się momentu zginającego w przegubie C =0. Równanie sum momentów można zapisać, anaizując ewą ub prawą stronę układu. Czter niezaeżne równania równowagi umożiwiają obiczenie czterech składowch reakcji. Wznaczenie sił wewnętrznch w przekrojach ram trójprzegubowch przeprowadza się identcznie jak da beek załamanch. Każd przegub musi zostać wkorzstan co najmniej jeden raz. Jeżei zapisuje się równania da obu stron przegubu, to jedno z tch równań zastępuje główne równanie równowagi (zwke sumę momentów wzgędem dowonego punktu). Wukładach trójprzegubowch są czter reakcje. Wkorzstujem trz równania równowagi (dostępne da płaskiego układu sił) oraz dodatkow warunek zerowania się momentu zginającego g w przegubie ( C = 0). Równanie sum momentów można zapisać, anaizując ewą ub prawą stronę układu. Wznaczenie sił wewnętrznch w przekrojach ram trójprzegubowch przeprowadza się identcznie jak da beek załamanch. 51
W układach ramowch, w którch pręt w węzłach łączone są za pomocą przegubów, istotn jest sposób konstrukcji węzłów. Węzeł łącząc przegubowo trz pręt Węzeł łącząc przegubowo dwa pręt m 0 kn C I 1m 4 m H 0 kn C R II R H H 0 kn C β β R III R H ołożenie I ręt z ewej stron węzła C może się swobodnie obrócić, a więc układ jest geometrcznie zmienn. Wznaczenie reakcji i sił wewnętrznch da takiego układu nie jest możiwe. D C ołożenie II = H = 0 H = 0 0 kn H =0 5 0 H =0 5 kn 5kN 5 N [kn] V [kn] 0 [kn m] ołożenie III = 4R = 0 R = 0 0kN 10 10 10 R =0 0 C 0 0 10 N [kn] V [kn] 0 0 [kn m] orównanie wkresów 0kN 0 H =0 5 0 H =0 5 kn 5 N [kn] V [kn] [kn m] 5kN W obdwu przpadkach, różniącch się jednie położeniem przegubu w węźe, inne są reakcje i wkres sił wewnętrznch. naiza rozwiązania pozwaa stwierdzić, że umieszczając odpowiednio przegub C można modeować rozkład sił wewnętrznch w układzie. 5
ŁUKI Dobrze zaprojektowan i wkonan łuk może bć nie tko konstrukcją o wróżniającch się waorach estetcznch, ae także układem bardziej bezpiecznm i ekonomicznm. W łukach, dzięki możiwości wboru ich kształtu, można w znacznm stopniu zmniejszć wiekości momentów zginającch i sił poprzecznch, co pozwaa na epsze wkorzstanie materiału. r eka o osi zakrzwionej Łuk trójprzegubow paraboiczn Konstrukcja magaznu i jego schemat statczn Łuk trójprzegubow kołow Współcześnie łuki są stosowane przede wszstkim w konstrukcjach o dużch rozpiętościach. 53
Odegłość międz podporami, podobnie jak w bekach ub ramach, nazwa się rozpiętością łuku, najwższ punkt kuczem łuku, a jego wsokość mierzoną od poziomu podpór strzałką łuku f. Kształt łuku można zaprojektować według równań dowonch krzwch, np. jako paraboe ub wcinki okręgów. Najczęściej stosowane są łuki, którch osie opisane są paraboami. 4 f = ( ) C q f / / H R C φ q R H oment zginające obicza się tak jak da układów ramowch. Na wartość nie wpłwa krzwizna układu, a jednie położenie obciążenia wzgędem przekroju. H V =f() N t φ N φ N 0 R Obiczanie sił poprzecznch i podłużnch Kąt nachenia stcznej w dowonm punkcie łuku 0 0 N = N cosφ V sinφ 0 0 V = V cosφ + N sinφ V 0 d 4 f = tgφ = d ( ) W V sinφ cosφ 4m 5m =90 kn C f=9m 9m 6m =18 m D γ =90 kn C H γ =54 kn H =54 R =36 kn R =54 kn = 15R 5H 6 90 = 0 R = 54 kn L H 54 kn = C = 9 R 9 H = 0 = 15R + 5H 9 90 = 0 R = 36 kn 6 4 0 H 54 kn C R H = = = = H H = 54 54 = 0 H = H = H = R + R = 54 + 36 90 = 0 54
49 1 = 18 = 9 N 0 H=54 kn ( 18 ) ( 18 ) V 0 R =54 kn H=54 kn R =54 kn d tgφ = = d 9 = 0 N = H = 54 kn = 0 V = R = 54 kn N = 54cosφ 54sinφ =90 kn V = 54cosφ 54sinφ β β β N 0 = R H = 54 54 V 0 0 N = H = 54 kn Nβ = 54cosφ 36sinφ V = 36cosφ 54sinφ β 0 V = R = 54 90 = 36 kn ( ) β = 54 54 90 9 = 36 54+ 810 0 0 [m] [m] tgφ sinφ cosφ N [kn] V [kn] [kn m] 0 0,000 0,894 0,447-7,4-4,1 0 3,0 5,0 1,333 0,800 0,600-75,6-10,8-108 6,0 8,0 0,667 0,555 0,83-74,9 15,0-108 9,0 9,0 0,000 0,000 1,000-54,0 54,0 0 1,0 8,0-0,667-0,555 0,83-64,9 0,0-54 15,0 5,0-1,333-0,800 0,600-61, 1,6 0 =90 kn C 54 4,1 36 11,5 54 7,4 61, 54 1,6 N [kn] V [kn] [kn m] H q C f R / / 4 f = R H ( ) q = R q = 0 R = q = R q = 0 R = = H H = 0 H = H = H L 1 q C R Hf = q = 0 H = 4 f 8 55
q q q R = N 0 q H = H V 0 8 f q + 16 f R q N 4 f = 8 f ( ) 8 f V 1 q 1 q 4 f ( ) ( ) = R q H q 0 = 8f = oment zginając jest równ zeru w każdm punkcie łuku. Siła poprzeczna jest pochodną momentów zginającch, a więc też w każdm punkcie łuku jest równa zeru V ()=0. 0 q 0 1 N = H =, V = R q = q q 8f q 1 N cosφ = q q sinφ 8f Konstrukcja, w której wstępują jednie ściskające sił podłużne, jest w pewnm sensie konstrukcją ideaną. W takim przpadku każd punkt przekroju poprzecznego pręta jest jednie ściskan, co pozwaa na bardziej ekonomiczne wkorzstanie materiału. Tę cechę wkorzstwano już w starożtności, wkonując łuki z kińców kamiennch. Rzeczwiste konstrukcje obciążone są jednak w bardziej skompikowan sposób niż obciążenie równomierne (np. obciążenie wiatrem). Te dodatkowe obciążenia powodują, że w łuku zawsze wstąpią moment zginające i sił poprzeczne. Jednakże optmana konstrukcja kształtu łuku prowadzi do zerowania się momentu zginającego od obciążenia ciężarem własnm, które zazwczaj dominuje. LINI CIŚNIENI O konstrukcji, w której obciążenie zewnętrzne jest równoważone tko przez sił podłużne mówi sę, że jest zaprojektowana według inii ciśnienia. Linią ciśnienia da obciążenia równomiernego jest paraboa. rojektując układ konstrukcjn według inii ciśnienia zakłada się, że znane jest obciążenie zewnętrzne q() i naeż wznaczć równanie osi układu w taki sposób, ab wstępował w nim tko sił normane. q [ ] = R q C = R q H = [ ] H f H H R R q [H]=0 [R ] [R ] / / = [ ] H f = 0 C C [ ] q C H = = f 8 f Rozpór jest tm większ im mniejsza jest strzałka łuku f. 56
oment zginając da inii ciśnień musi bć wkażdm punkcie układu równ zeru: ( ) = [ ( )] H = 0 = [ ( ) ] H Równanie inii ciśnienia Da znaezienia inii ciśnienia da danego obciążenia, potrzebna jest znajomość momentu zginającego [()] wznaczonego da odpowiedniej beki swobodnie podpartej. b rozwiązanie bło jednoznaczne naeż znać położenie jeszcze jednego punktu układu (oprócz danego położenia podpór). rzjmując przkładowo, że wsokość łuku w środku rozpiętości wnosi f, otrzmuje się następując dodatkow warunek: ( ) = f H = [ ( ) ] f C f / / q [kn/m] ( ) = q 16 1 q H = [ ( ) ] f = 16 f q [kn/m] ( ) [ ( ) ] 8 f 8 f 3 = = 3 H 3 3 1 1 q 6 6 3 [ ( ) ] = q -C C- C f / / / -C ( ) /4 / [ ( ) ] = [ ( ) ] = ( ) C- ( /) = [ ( ) ] 4 H = f = [ ] 4 f 4 f ( ) f = = = H f ( ) = ( ) 57
ŁUK CIĘGNO Ściskanie Ściskanie Ściskanie Rozciąganie Rozciąganie Rozciąganie Ściskanie Kołow łuk trójprzegubow H r φ C O H R R = R r r = 0 R = = R r r = 0 R = L C = r H r = 0 H = H = 58
W przpadku łuków kołowch wrażenia okreśające sił wewnętrzne wgodniej jest zapisać w funkcji kąta φ. π 0 φ H =/ r φ O R =/ r- ( φ ) = R H = ( r r cosφ ) + r r sinφ = ( 1 cosφ sinφ ) φ r H =/ O R =/ r -r π φ π ( φ ) ( ) = R H r = r = ( 1 cosφ sinφ) + r cosφ Wzor na sił poprzeczną i podłużną da łuku kołowego różnią się od anaogicznch wrażeń da łuku paraboicznego z uwagi na inna definicje kąta φ. π 0 φ 0 0 N = N sinφ V cosφ φ N V V0 N 0 / φ r / O 0 0 N =, V = N ( φ ) = ( sinφ+ cosφ) V ( φ) = ( sinφ cosφ) 0 0 V = N cosφ + V sinφ π φ π V φ r / O / V 0 N 0 0 0 N =, V = N V N ( φ ) = ( sinφ + cosφ) ( φ ) = ( sinφ+ cosφ) 4 3 ( 3 1) 4 3 ( 3 1) ( 3+ 1) 4 4 ( 3+ 1) N V 59
KRTOWNICE Kratownicą nazwa się geometrcznie niezmienn układ prostoiniowch prętów połączonch ze sobą w węzłach za pomocą przegubów. Da uproszczenia rsunków, węzłów kratownic nie oznaczam kółkami. kratownica swobodnie podparta Kratownica wspornikowa kratownica trójprzegubowa krzżuec pas górn kratownica ciągła-przegubowa słupek pas don Kratownica jest szczegónm przpadkiem ram o podatnch węzłach. Różnice pomiędz ramą i krata Kratownica -połączenia przegubowe, - obciążenie w formie sił skupionch przłożone do węzłów (nie można do węzłów przłożć momentów skupionch), - podpor bokujące przesuw, -w prętach wstępuje tko siła podłużna. Rama - dowon rodzaj połączeń: przegubowe i sztwne, - dowone obciążenie przłożone do węzłów ub do eementów, - podpor bokujące przesuw i obrot, -w prętach wstępuje siła podłużna, poprzeczna i moment zginając. ręt kratownic są rozciąganie ub ściskanie, co pozwaa na większą nośność konstrukcji niż prz innch rozwiązaniach, prz takim samm zużciu materiału. Kratownice wkorzstwane są w konstrukcjach o znacznch rozpiętościach. Kratownice trójkątne i trapezowe znajdują zastosowanie głównie jako wiązar dachowe. Kratownice o pasach równoegłch są najczęściej użwane w budownictwie przemsłowm. Kratownice o pasach paraboicznch użwane są głównie jako konstrukcje mostów - najbardziej ekonomiczne. 60
Kratownica drewniana Kratownica staowa Kratownica żebetowa 61
Katastrof i awarie odpora przegubowo-nieprzesuwna kratownic odpora przegubowo-przesuwna kratownic 6
ZŁOŻENI: Osie schodzącch się wwęzłach kratownic prętów przecinają się w jednm punkcie środku przegubu. Obciążenie zewnętrzne działające na kratownice przkładane jest włącznie w węzłach, w postaci sił skupionch. Ciężar własn konstrukcji, zazwczaj niewieki w porównaniu z obciążeniem użtkowm, zastępuje się siłami skupionmi. przłożonmi także wwęzłach. rzegub kratownic nie są ideanmi przegubami pozbawionmi tarcia. Od przegubów wmaga się, ab osie prętów kratownic przechodził przez jeden punkt wznaczając miejsce przegubu. W rzeczwistości jest inaczej (np. połączenia na gwoździe, nit). O połączeniu przegubowm można też mówić w stuacji gd połączenie eementu z węzłem (np.. Z bachą węzłową) ma znacznie mniejszą sztwność na zginanie niż pręt. Sztwność połączeń węzłowch powoduje powstanie w prętach dodatkowch sił. Są one jednak drugorzędne i powodują powstanie niewiekich różnic w porównaniu z siłami obiczonmi prz założeniu ideanch przegubów. W rzeczwistości nie spełnione są warunki obciążenia w formie rzegub kratownic drewnianej sił skupionch bo np. ciężar własn prętów nie jest siłą skupiona tko obciążeniem ciągłm. Jednak, w większości przpadków ciężar własn prętów kratownic sprowadza sie do jednej sił, której kierunek przechodzi przez przegub. 63
NLIZ STTYCZN Równowaga pręta kratownic W S 3 S 4 W=W 1 W=W S 1 W1 S =0, =0, =0 N=W oment zginające w przegubach i pręta z definicji są równe zeru. Gdb w przegubach działał sił poprzeczne, to pręt nie błb w równowadze. ogą więc tam wstąpić jednie sił równoegłe do osi pręta, powodujące wstąpienie sił podłużnch. Sił rozciągające w prętach okreśa sie jako dodatnie. W węźe, w wniku oddziałwania pręta, powstanie siła o tej samej wartości, ecz przeciwnie skierowana. W Równowaga węzła kratownic Wkażdm węźe kratownic wstępuje zbieżn układ sił, któr musi spełniać warunki równowagi: =0, =0. w iczba węzłów kratownic r składowe reakcji podpór p iczba prętów kratownic Liczba równań: w Niewiadome: r + p Kratownica jest statcznie wznaczana, jeżei spełnion jest następując warunek: r+ p w= 0 Kratownica trójkątna jest układem geometrcznie niezmiennm pręt + węzeł Kratownica geometrcznie niezmienna (wewnętrznie) Kratownica geometrcznie zmienna układ chwiejn Węzł sztwne Rama 64