Autoreferat. Wydziaª Fizyki i Chemii Uniwersytetu Šódzkiego,

Transkrypt

1 Autoreferat. Imi i nazwisko: Zbigniew Walczak 2. Posiadane dyplomy, stopnie naukowe: magister zyki w zakresie zyki teoretycznej Wydziaª Matematyki, Fizyki i Chemii Uniwersytetu Šódzkiego, 993 O q-deformacji równa«hamiltona doktor nauk zycznych w zakresie zyki Wydziaª Fizyki i Chemii Uniwersytetu Šódzkiego, 998 Niealgebraiczne podej±cie do problemu quasi-dokªadnej rozwi zywalno±ci 3. Informacje o dotychczasowym zatrudnieniu w jednostkach naukowych: Wydziaª Fizyki i Chemii Uniwersytetu Šódzkiego, Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Šódzkiego, od 2007 roku 4. Wskazanie osi gni cia wynikaj cego z art. 6 ust. 2 ustawy z dnia 4 marca 2003 r. o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki (Dz. U. nr 65, poz. 595 ze zm.): Jako prac habilitacyjn przedstawiam jednotematyczny cykl pi ciu publikacji [, 2, 3, 4, 5] zatytuªowany Teorioinformacyjne podej±cie do problemu klasycznych i kwantowych korelacji obecnych w mieszanych stanach kwantowych Z. Walczak, Total correlations and mutual information, Physics Letters A 373 (2009), 88. Z. Walczak, Comment on Quantum correlation without classical correlations, Physical Review Letters 04 (200), Z. Walczak, Information-theoretic approach to the problem of detection of genuine multipartite classical correlations, Physics Letters A 374 (200), M. Okrasa, Z. Walczak, Quantum discord and multipartite correlations, Europhysics Letters 96 (20), M. Okrasa, Z. Walczak, On two-qubit states ordering with quantum discords, Europhysics Letters 98 (202),

2 Wprowadzenie W kwantowej teorii informacji od ponad dwóch dekad prowadzone s intensywne badania teoretyczne i eksperymentalne dotycz ce klasycznych i kwantowych korelacji obecnych w dwuskªadnikowych i wieloskªadnikowych ukªadach kwantowych (patrz artykuªy przegl dowe [6, 7, 8]). Przez niemal dwadzie±cia lat w tej dziedzinie bada«dominowaª paradygmat Wernera [9], oparty na dychotomii mi dzy spl taniem a separowalno±ci, w którym jedynym rodzajem korelacji kwantowych jest spl tanie kwantowe [6]. Jednak»e stopniowo staªo si jasne,»e paradygmat Wernera jest zbyt ograniczony i wymaga zmiany, poniewa» okazaªo si, wbrew powszechnej intuicji,»e pewnego rodzaju nieklasyczne korelacje s obecne równie» w separowalnych stanach mieszanych [0,, 2, 3, 4, 5, 6]. Pierwsze kroki w kierunku zmiany paradygmatu Wernera zostaªy poczynione przez Olliviera i urka [7], którzy wprowadzili do kwantowej teorii informacji poj cie dysonansu kwantowego (ang. quantum discord) jako miary nieklasycznych korelacji obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych. Niezale»nie od Olliviera i urka, w podobny sposób do zmiany paradygmatu Wernera podeszli Henderson i Vedral [8] badaj c problem wspóªistnienia klasycznych i kwantowych korelacji obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych. Zainteresowanie paradygmatem Olliviera urka gwaªtownie wzrosªo po tym, jak odkryto [9, 20],»e dysonans kwantowy mo»e by odpowiedzialny za niezwykª efektywno± obliczeniow algorytmu KnillaLaammea [0]. Badaj c ewolucj unitarn ukªadów zªo»onych pokazano,»e je±li pocz tkowo dwa podukªady s w stanie o zerowym dysonansie kwantowym, to wówczas dynamika podukªadu jest caªkowicie dodatnia [2, 22]. Odkryto równie»,»e losowo wybrany stan kwantowy ma w ogólno±ci niezerowy dysonans kwantowy, a dowolnie maªe zaburzenie stanu o zerowym dysonansie kwantowym powoduje generowanie dysonansu kwantowego [23]. Ponadto pokazano,»e stanów kwantowych o niezerowym dysonansie nie mo»na lokalnie rozgªasza [24]. Warto podkre±li, i» pomimo tego,»e w przypadku czystych stanów spl tanych korelacje kwantowe ograniczaj si jedynie do spl tania kwantowego 2, to w przypadku mieszanych stanów spl tanych nie ma prostej zale»no±ci mi dzy spl taniem kwantowym a dysonansem kwantowym 3 [25, 26, 27, 28, 29]. Pokazano te»,»e dynamika dysonansu kwantowego jest zdecydowanie odmienna od dynamiki spl tania kwantowego [30, 3, 32, 33, 34, 35, 36]. Niedawno podano operacyjn interpretacj dysonansu kwantowego [37, 38], jak równie» dokonano znacznego post pu w zrozumieniu relacji ª cz cych dysonans kwantowy z Do 2008 roku artykuª [7] byª cytowany 29 razy, a od 2008 roku 505 razy (wedªug bazy Web of Science). 2 W tym przypadku dysonans kwantowy jest równy spl taniu kwantowemu. 3 W ogólno±ci dysonans kwantowy nie musi by wi kszy od spl tania kwantowego. 2

3 nieodwracalno±ci spl tania kwantowego [39], destylowalnym spl taniem kwantowym [40] i rozproszonym spl taniem kwantowym [4, 42, 43]. Wykazano równie»,»e dysonans kwantowy, podobnie jak spl tanie kwantowe, nie jest monogamiczny [44, 45] i»e, podobnie jak w przypadku spl tania kwantowego, mo»liwe jest wprowadzenie poj cia ±wiadka dysonansu kwantowego [46, 47]. Niestety, wyznaczenie dysonansu kwantowego wymaga na ogóª zastosowania skomplikowanej procedury optymalizacyjnej, dlatego analityczn posta dysonansu kwantowego znamy jedynie w przypadku dwuqubitowych stanów diagonalnych w bazie Bella [25], siedmioparametrowej klasy dwuqubitowych stanów X [26], dwumodowych stanów Gaussa [48, 49], dwuqubitowych stanów o niezerowych równolegªych wektorach Blocha [50], dwuquditowych stanów Wernera [5] i dwuquditowych stanów izotropowych [5]. Z tego powodu Daki, Vedral i Brukner [52] wprowadzili do kwantowej teorii informacji poj cie geometrycznego dysonansu kwantowego (ang. geometric measure of quantum discord albo quantum discord) jako alternatywnej wobec dysonansu kwantowego miary korelacji kwantowych obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych. Dzi ki temu,»e wyznaczenie geometrycznego dysonansu kwantowego wymaga zastosowania prostszej procedury optymalizacyjnej ni» byªo to w przypadku dysonansu kwantowego, znamy analityczn posta geometrycznego dysonansu kwantowego w przypadku dowolnych dwuqubitowych stanów kwantowych [52], jak równie» w przypadku dowolnych stanów kwantowych ukªadu zªo»onego z qubitu i quditu [53, 54]. Podobnie jak dysonans kwantowy, geometryczny dysonans kwantowy staª si przedmiotem intensywnych bada«[8]. W szczególno±ci sprawdzono [52], czy geometryczny dysonans kwantowy mo»e by odpowiedzialny za niezwykª efektywno± algorytmu KnillaLaammea [0]. Zbadano równie» dynamik geometrycznego dysonansu kwantowego [55, 56, 57, 58, 59, 60] oraz zale»no±ci pomi dzy geometrycznym dysonansem kwantowym a innymi miarami nieklasycznych korelacji [6, 27, 62, 63, 64]. Celem przedstawionego cyklu prac [, 2, 3, 4, 5] jest analiza teorioinformacyjnych aspektów klasycznych i kwantowych korelacji obecnych w dwuskªadnikowych i wieloskªadnikowych stanach kwantowych. 2 Korelacje kwantowe bez korelacji klasycznych W pracy [65] pokazano,»e w ukªadzie zªo»onym z nieparzystej liczby qubitów n 3 w stanie ρ 2...n = 2 ( W W + W W ), gdzie W = n ( ) i W = n ( ) obecne s n-skªadnikowe korelacje kwantowe, rozumiane jako spl tanie kwantowe, a ponadto wszystkie kowariancje Cov(X,..., X n ) = (X X ) (X n X n ) dla 3

4 bez±ladowych obserwabli X,..., X n s równe zeru. Wedªug autorów pracy [65], je±li dla pewnego wyboru obserwabli X,..., X n kowariancja Cov(X,..., X n ) jest niezerowa, wówczas w n-qubitowym stanie kwantowym s obecne n-skªadnikowe korelacje klasyczne. Ponadto, je±li dla wszystkich mo»liwych wyborów obserwabli kowariancja jest zerowa, wówczas w n-qubitowym stanie kwantowym nie ma n-skªadnikowych korelacji klasycznych. U»ywaj c powy»szego stwierdzenia jako kryterium nieistnienia n-skªadnikowych korelacji klasycznych w n-qubitowym stanie kwantowym doszli oni do bª dnego wniosku,»e w stanie ρ 2...n s obecne jedynie n-skªadnikowe korelacje kwantowe. Jak wiadomo, je±li wyniki pomiarów obserwabli X,..., X n s niezale»ne, wówczas kowariancja Cov(X,..., X n ) = 0. Jednak przeciwne stwierdzenie nie musi by koniecznie prawdziwe zerowanie si kowariancji nie musi implikowa niezale»no±ci wyników pomiarów. Oznacza to,»e kryterium nieistnienia n-skªadnikowych korelacji klasycznych w n-qubitowym stanie kwantowym, które zastosowano w pracy [65] jest kryterium koniecznym nieistnienia takich korelacji, a nie kryterium wystarczaj cym. W pracy [2] pokazaªem,»e w stanie ρ 2...n istniej n-skªadnikowe korelacje klasyczne, pomimo zerowania si wszystkich kowariancji Cov(X,..., X n ). Zaªó»my,»e X = X 2 = = X n = X n = σ z. Prawdopodobie«stwo tego,»e wynik pomiaru obserwabli X i jest równy ± wynosi p(x i = ±) = Tr[ 2 (I ± σ z)ρ i ] = 2, gdzie ρ i = I jest stanem i-tego qubitu. Z drugiej strony, ª czne prawdopodobie«stwo 2 tego,»e wynik pomiaru obserwabli X, X 2,..., X n, X n jest równy,,...,, wynosi p(x =, X 2 =,..., X n =, X n = ) = Tr[2 n (I + σ z ) n ρ 2...n ] = Tr[ 0 0 n ρ 2...n ] = 0. Zatem wyniki pomiarów bez±ladowych obserwabli X = σ z, X 2 = σ z,, X n = σ z, X n = σ z nie s niezale»ne pomimo tego,»e Cov(X,..., X n ) = 0. A to oznacza,»e w przeciwie«stwie do tego, co zostaªo zasugerowane w pracy [65] w n-qubitowym stanie ρ 2...n nie s obecne jedynie n-skªadnikowe korelacje kwantowe, rozumiane jako spl tanie kwantowe. W tym kontek±cie warto wymieni prac [66], w której przedstawiono podej±cie aksjomatyczne do problemu wspóªistnienia korelacji klasycznych i kwantowych w wieloskªadnikowych stanach kwantowych. W ramach tego podej±cia pokazano,»e zerowanie si kowariancji nie mo»e by wyznacznikiem nieistnienia korelacji klasycznych w tego rodzaju stanach, co przemawia na korzy± tego wyboru aksjomatów. 3 Korelacje klasyczne w wieloskªadnikowych stanach kwantowych Praca [65] staªa si punktem wyj±cia do sformuªowania, w j zyku klasycznej teorii informacji, niezawodnego kryterium nieistnienia korelacji klasycznych w wieloskªadnikowych stanach kwantowych [3]. Zauwa»my,»e z punktu widzenia autorów pracy [65] korelacje klasyczne obecne w 4

5 n-qubitowym stanie kwantowym ρ 2...n musz mie zwi zek z pomiarami obserwabli X,..., X n i dlatego ich zdaniem s korelacjami mi dzy zmiennymi losowymi odpowiadaj cymi pomiarom tych obserwabli podobne podej±cie do problemu zdeniowania czym s korelacje klasyczne obecne w stanach kwantowych zostaªo zaprezentowane równie» w pracy [24]. Dla uproszczenia, ale bez straty ogólno±ci, w pracy [3] rozwa»yªem ukªad trzech spinów /2 w stanie ρ ABC, zakªadaj c jednocze±nie,»e mierzone s rzuty spinów A, B i C odpowiednio na kierunki wyznaczone przez wektory jednostkowe a, b i c pomiar rzutu spinu (w jednostkach /2) na kierunek n odpowiada pomiarowi von Neumanna obserwabli S n = n σ, gdzie σ = (σ x, σ y, σ z ). Nast pnie pokazaªem,»e pomiarom obserwabli S a, S b i S c w stanie ρ ABC odpowiadaj binarne zmienne losowe A, B i C przyjmuj ce warto±ci a = {, }, b = {, } i c = {, } o rozkªadach prawdopodobie«stwa p A = [p(a)], p B = [p(b)] i p C = [p(c)], gdzie p(a) = Tr[ 2 (I + as a)ρ A ], p(b) = Tr[ 2 (I + bs b)ρ B ] i p(c) = Tr[ 2 (I + cs c)ρ C ]. W klasycznej teorii informacji miar zale»no±ci dyskretnych zmiennych losowych A i B albo ich redundancji jest informacja wzajemna I(A : B) (równanie (8) w [3]), poniewa» I(A : B) 0, a równo± zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy A i B s niezale»ne [67]. Dlatego zerowanie si informacji wzajemnej mo»na traktowa jako teorioinformacyjne kryterium niezale»no±ci zmiennych losowych innymi sªowy, je±li I(A : B) > 0, wówczas zmienne losowe A i B s skorelowane. Mogªoby si wydawa,»e je±li trzy zmienne losowe s parami niezale»ne, to musz by one koniecznie niezale»ne jednak jak pokazaªem w pracy [3] nie musi tak by, co ilustruje poni»szy przykªad. Rozwa»my trzy spiny /2 w stanie ϱ ABC = ( ). Wyniki pomiarów obserwabli S a, S b i S c, a co za tym idzie zmienne losowe A, B i C, s parami niezale»ne dla wszystkich kierunków a, b i c, poniewa» ϱ AB = ϱ AC = ϱ BC = I I. Niemniej jednak nie s one niezale»ne, poniewa» je±li a = 2 2 b = c = (0, 0, ), wówczas p(a =, b =, c = ) = p(a = )p(b = )p(c = ) =. 4 8 W pracy [3] pokazaªem równie»,»e teorioinformacyjne kryterium niezale»no±ci dwóch zmiennych losowych mo»na w naturalny sposób rozszerzy na przypadek trzech zmiennych losowych, je±li we¹miemy pod uwag fakt,»e informacja wzajemna jest jedynie szczególnym przypadkiem entropii wzgl dnej (równanie (9) w [3]) informacja wzajemna jest entropi wzgl dn ª cznego rozkªadu prawdopodobie«stwa p AB = [p(a, b)] wzgl dem iloczynu rozkªadów prawdopodobie«stwa p A p B, to znaczy I(A : B) = D(p AB p A p B ). W dalszej cz ±ci pracy [3] wyja±niªem, dlaczego z punktu widzenia klasycznej teorii informacji wynika,»e parami niezale»ne zmienne losowe nie musz by koniecznie niezale»ne, to znaczy dlaczego zerowanie si informacji wzajemnych I(A : B), I(A : C) 5

6 i I(B : C) jest warunkiem koniecznym, a nie warunkiem wystarczaj cym niezale»no±ci zmiennych losowych A, B i C. Ponadto wyja±niªem, dlaczego z punktu widzenia klasycznej teorii informacji zerowanie si informacji wzajemnych I(C : A, B), I(B : A, C) i I(A : B, C) jest warunkiem koniecznym i wystarczaj cym niezale»no±ci zmiennych losowych A, B i C. Zatem dochodzimy do wniosku,»e (i) w stanie ρ ABC mog by obecne trzyskªadnikowe korelacje klasyczne pomimo tego,»e nie ma w nim dwuskªadnikowych korelacji klasycznych, (ii) stan ρ ABC jest stanem iloczynowym, to znaczy ρ ABC = ρ A ρ B ρ C, wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich mo»liwych kierunków a, b i c wyniki pomiarów obserwabli S a, S b i S c nie s skorelowane wzgl dem dowolnego podziaªu ukªadu zªo»onego ABC na dwa podukªady: A : BC, B : AC albo C : AB, (iii) w stanie ρ ABC nie ma trzyskªadnikowych korelacji klasycznych wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich mo»liwych kierunków a, b i c wyniki pomiarów obserwabli S a, S b i S c nie s skorelowane wzgl dem jakiego± podziaªu ukªadu zªo»onego ABC na dwa podukªady. W tym miejscu warto zauwa»y,»e do podobnych wniosków mo»na doj± stosuj c podej±cie aksjomatyczne [66], które jest zasadniczo odmienne od podej±cia teorioinformacyjnego przedstawionego w pracy [3]. Ponadto warto podkre±li,»e wyniki przedstawione w pracy [3] mo»na uogólni na przypadek ukªadów wieloskªadnikowych. 4 Informacja wzajemna jako miara korelacji W pracy [] przedstawiªem argumenty przemawiaj ce za tym,»e kwantowa informacja wzajemna nie mo»e by uwa»ana za miar caªkowitych korelacji obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych, poniewa» istniej stany, w przypadku których kwantowa informacja wzajemna nie uwzgl dnia wszystkich aspektów caªkowitych korelacji. W pracy [] pokazaªem,»e istniej klasycznie skorelowane stany kwantowe, w przypadku których kwantowa informacja wzajemna nie udziela dobrej odpowiedzi na pytanie, jak silne s caªkowite korelacje obecne w tych stanach. Jako przykªad rozwa»yªem ukªad dwóch qubitów w stanie ρ AB = α ( α), α (0, ) (równanie (5) w []), który jest stanem separowalnym [9], a qubity A i B s w stanie ρ A(B) = α ( α) b d cym mieszank stanów ortogonalnych 0 i, co oznacza,»e w stanie ρ AB s obecne tylko korelacje klasyczne [7]. Zauwa»my,»e korelacje klasyczne obecne w stanie ρ AB, rozumiane jako korelacje mi dzy dwoma ortogonalnymi stanami qubitów A i B, s w istocie rzeczy korelacjami mi dzy binarnymi zmiennymi losowymi A i B odpowiadaj cymi pomiarom von Neumanna obserwabli M A = a a i M B = b b, czyli 6

7 pomiarom stanu qubitu A i B w bazie obliczeniowej je±li wynikiem pomiaru obserwabli M A (M B ) jest a i (b i ), wówczas qubit A (B) jest w stanie i, a z drugiej strony a i (b i ) s warto±ciami zmiennej losowej A(B) o rozkªadzie prawdopodobie«stwa p A(B) = [p A(B) i ], gdzie p A(B) i oznacza prawdopodobie«stwo tego,»e mierz c M A (M B ) otrzymamy a i (b i ) []. A M A ρ AB M B B Nast pnie pokazaªem,»e je±li pomiar obserwabli M A poprzedza pomiar obserwabli M B, to wyniki pomiarów, a co za tym idzie zmienne losowe A i B, s caªkowicie skorelowane, co ilustruje poni»szy diagram, gdzie p B A j i oznacza prawdopodobie«stwo tego,»e mierz c M B otrzymamy b j, pod warunkiem,»e mierz c M A otrzymali±my a i (patrz równania (6) i (7) w []). p A i α α A p B A j i B a 0 b 0 a b p B j α α Z drugiej strony pokazaªem,»e w rozwa»anym przypadku informacja wzajemna I(A : B) (równanie (0) w []) mo»e by dowolnie maªa (co ilustruje poni»szy wykres), pomimo tego,»e zmienne losowe A i B s caªkowicie skorelowane, czyli kwantowa informacja wzajemna (równanie (9) w []), która w tym przypadku jest równa informacji wzajemnej I(A : B), nie udziela dobrej odpowiedzi na pytanie, jak silne s korelacje obecne w stanie ρ AB = α ( α). I A:B Α Dzieje si tak dlatego,»e informacja wzajemna I(A : B) jest równa ±redniej ilo±ci informacji, jak otrzymujemy o wyniku pomiaru obserwabli M B (M A ) poznaj c wynik pomiaru obserwabli M A (M B ), innymi sªowy informacja wzajemna I(A : B) mówi nam, ile caªkowicie skorelowanych bitów przypada, ±rednio rzecz bior c, na jedn par wyników. Z punktu widzenia teorii informacji mo»e by ona dowolnie maªa, pomimo tego,»e zmienne losowe A i B s caªkowicie skorelowane. Wynika to z faktu,»e ±rednia ilo± informacji, jak otrzymujemy poznaj c wynik pomiaru obserwabli M A (M B ) jest równa entropii Shannona H(A) (H(B)), która mo»e by dowolnie maªa, a z drugiej strony I(A : B) Min(H(A), H(B)). 7

8 Zatem w naturalny sposób pojawia si pytanie: co z punktu widzenia klasycznej teorii informacji jest miar siªy korelacji mi dzy zmiennymi losowymi A i B? W przypadku zmiennych losowych A i B o takich samych rozkªadach prawdopodobie«stwa Cover i Thomas [67] zaproponowali nast puj c miar siªy korelacji C(A, B) = I(A : B)/H(A) 4 (równanie () w []). Zauwa»my,»e w rozwa»anym powy»ej przypadku p A = p B i I(A : B) = H(A) [], zatem C(A, B) =, czyli A i B s caªkowicie skorelowane dla wszystkich α (0, ), jak pokazali±my poprzednio w jawny sposób. W dalszej cz ±ci pracy [] uogólniªem mar korelacji CoveraThomasa na przypadek zmiennych losowych o ró»nych rozkªadach prawdopodobie«stwa. W tym celu rozwa»yªem ukªad dwóch qutritów w stanie ρ AB = (równanie (2) w []), w którym nie ma kwantowych korelacji, 3 3 poniewa» jest to stan separowalny [9], a qutrity A i B s w stanach ρ A = i ρ B = , które s mieszank stanów ortogonalnych Zauwa»my,»e korelacje klasyczne obecne w stanie ρ AB s korelacjami pomi dzy tenarnymi zmiennymi losowymi A i B odpowiadaj cymi pomiarom von Neumanna obserwabli M A = a a + a i M B = b b + b Nast pnie pokazaªem,»e w tym przypadku p A p B (patrz równania (3) w []), a siªa korelacji mi dzy zmiennymi losowymi A i B zale»y od wyboru kolejno±ci pomiarów obserwabli M A i M B, co ilustruj poni»sze diagramy. p A i A p B A j i B p B j p B i B p A B j i A p A j a 0 b 0 a b 2 a 2 2 b b 0 a 0 b a b 2 a W szczególno±ci pokazaªem,»e je±li pomiar obserwabli M A poprzedza pomiar obserwabli M B, to miar siªy korelacji mi dzy zmiennymi losowymi A i B jest I(A: B)/H(B), natomiast je±li pomiar obserwabli M B poprzedza pomiar obserwabli M A, to jest ni I(A : B)/H(A), co w rozwa»anym przypadku daje I(A : B)/H(B) i I(A : B)/H(A) = (patrz równania (8) i (22) w []). Bior c pod uwag fakt,»e siªa korelacji pomi dzy zmiennymi losowymi A i B mo»e zale»e od wyboru kolejno±ci pomiarów obserwabli M A i M B, zaproponowaªem nast puj c miar korelacji C(A, B) = I(A : B)/Min(H(A), H(B)) (równanie (23) w []) okre±laj c siª korelacji mi dzy zmiennymi losowymi o dowolnych rozkªadach 4 Miara korelacji CoveraThomasa ma nast puj ce wªasno±ci (i) C(A, B) = C(B, A), (ii) 0 C(A, B), (iii) C(A, B) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A i B s niezale»ne, (iv) C(A, B) = wtedy i tylko wtedy, gdy A i B s caªkowicie skorelowane. 8

9 prawdopodobie«stwa i pokazaªem,»e ma ona takie same wªasno±ci, jak miara korelacji CoveraThomasa. Zatem C(A, B) jest miar siªy korelacji klasycznych obecnych w dowolnym klasycznie skorelowanym stanie kwantowym ρ AB [24], je±li przyjmiemy,»e korelacje klasyczne obecne w tym stanie s korelacjami mi dzy wynikami pomiarów von Neumanna, w bazie obliczeniowej, stanu podukªadów A i B. Warto w tym miejscu zauwa»y,»e C(ρ AB ) = max MA,M B C(A, B) jest miar siªy korelacji klasycznych obecnych w dowolnym dwuskªadnikowym stanie kwantowym ρ AB, gdzie zmienne losowe A i B odpowiadaj pomiarom von Neumana opisanym przez zupeªne zbiory jednowymiarowych operatorów rzutowych {Π A i } i {Π B i }, to znaczy pomiarom von Neumanna obserwabli M A = i a iπ A i i M B = i b iπ B i. 5 Dysonans kwantowy a wieloskªadnikowe korelacje W pracy [4] przedstawiªem systematyczn analiz korelacji kwantowych i klasycznych obecnych w dwuskªadnikowych i wieloskªadnikowych stanach kwantowych w ramach paradygmatu Olliviera urka 5 [7]. Punktem wyj±cia byªo pokazanie,»e zgodnie z tym, co zostaªo zasugerowane w pracy [68] dysonans kwantowy D A(B) (ρ AB ) 6 jest równy minimalnej ilo± korelacji, jaka jest tracona podczas pomiaru von Neumanna bez wyboru M przeprowadzonego A(B) {Π i } na podukªadzie A(B), to znaczy D A (ρ AB ) = inf [I(ρ A(B) {Π i } AB) I(M (ρ A(B) {Π i } AB))], gdzie M {Π A i }(ρ AB ) = i (ΠA i I)ρ AB (Π A i I) i M {Π B i }(ρ AB ) = i (I ΠB i )ρ AB (I Π B i ) (równanie (7) w [4]); pomiar M dla którego osi gane jest inmum nazywany jest { ΠA(B) i } optymalnym pomiarem von Neumanna bez wyboru. W tym kontek±cie w naturalny sposób pojawia si pytanie: jakiego rodzaju korelacje s tracone podczas optymalnego pomiaru von Neumanna bez wyboru? W pracy [4] pokazaªem,»e optymalny pomiar von Neumanna bez wyboru M { ΠA i } nie prowadzi do utraty klasycznych korelacji obecnych w stanie ρ AB, a jedynie do utraty korelacji kwantowych, poniewa» D A (M { ΠA i } (ρ AB)) = 0 i C A (M { ΠA i } (ρ AB)) = C A (ρ AB ) 7 (równanie (2) w [4]), gdzie M { ΠA i } (ρ AB) = i pa Π i A i stanem ukªadu tu» po pomiarze M { ΠA i }. ρ B i (równanie (3) w [4]) jest 5 W paradygmacie Olliviera urka miar caªkowitych korelacji obecnych w stanie ρ AB jest kwantowa informacja wzajemna I(ρ AB ), natomiast dysonans kwantowy D A(B) (ρ AB ) i C A(B) (ρ AB ) = I(ρ AB ) D A(B) (ρ AB ) s niesymetrycznymi miarami korelacji kwantowych i klasycznych obecnych w tym stanie. 6 D A(B) (ρ AB ) = inf {Π A(B) i } [I(ρ AB) J {Π A(B) i } (ρ AB)], gdzie I(ρ AB ) jest kwantow informacj wzajemn stanu ρ AB, a J A(B) {Π i } (ρ AB) jest kwantow informacj wzajemn indukowan przez pomiar von Neumanna, opisany przez zbiór jednowymiarowych operatorów rzutowych {Π A(B) i }, przeprowadzony na podukªadzie A(B) (oznaczenia z pracy [4]). 7 C A(B) (ρ AB ) = sup A(B) {Π i } J {Π A(B) i } (ρ AB) jest miar korelacji klasycznych HendersonaVedrala [8] (oznaczenia z pracy [4]). 9

10 W tym miejscu pojawia si kolejne pytanie: czy w stanie o zerowym dysonansie kwantowym mog by obecne korelacje kwantowe? Na pierwszy rzut oka mogªoby si wydawa,»e pytanie jest retoryczne. Jednak w pracy [4] zwróciªem uwag na fakt, który do tej pory byª pomijany w tym kontek±cie,»e w stanie M { ΠA i } (ρ AB) = i pa i Π A i ρ B i mog by obecne korelacje kwantowe, pomimo tego,»e D A (M { ΠA i } (ρ AB)) = 0, poniewa» zgodnie z klasykacj dwuskªadnikowych stanów kwantowych [24], je±li stany ρ B i komutuj, wówczas w stanie M { ΠA i } (ρ AB) s obecne jedynie korelacje klasyczne, w przeciwnym wypadku stan M { ΠA i } (ρ AB) zawiera zarówno klasyczne, jak i kwantowe korelacje. Zatem w naturalny sposób pojawia si pytanie: ile korelacji kwantowych pozostaªo po przeprowadzeniu optymalnego pomiaru von Neumanna bez wyboru M { ΠA i }? Zauwa»my po pierwsze,»e optymalny pomiar von Neumanna bez wyboru M { ΠB j } nie prowadzi do utraty klasycznych korelacji zawartych w stanie M { ΠA i } (ρ AB), a jedynie do utraty korelacji kwantowych, poniewa» D B (M { ΠB j } (M { Π A i }(ρ AB))) = 0 i C B (M { ΠB j } (M { Π A i }(ρ AB))) = C B (M { ΠA i } (ρ AB)) (równanie (6) w [4]). Ponadto zgodnie z klasykacj dwuskªadnikowych stanów kwantowych [24], stan ukªadu tu» po pomiarze M { ΠB j }8 nie zawiera korelacji kwantowych, a jedynie korelacje klasyczne, które byªy obecne w stanie ρ AB. Zatem dochodzimy do wniosku,»e w stanie M { ΠA i } (ρ AB) byªo dokªadnie tyle korelacji kwantowych, ile zostaªo utraconych podczas optymalnego pomiaru von Neumanna bez wyboru M { ΠB j }, czyli D B(M { ΠA i } (ρ AB)). Zatem w ramach paradygmatu Olliviera urka mo»emy w naturalny sposób wprowadzi miar caªkowitych korelacji kwantowych obecnych w stanie ρ AB jako sum korelacji kwantowych traconych podczas optymalnych pomiarów von Neumanna bez wyboru M { ΠA i } i M { Π B j }, Q(ρ AB) = D A (ρ AB ) + D B (M { ΠA i } (ρ AB)) (równanie (7) w [4]), poniewa» nast puj ce po sobie optymalne pomiary prowadz jedynie do caªkowitej utraty kwantowych korelacji obecnych w stanie ρ AB, nie zmieniaj c przy tym korelacji klasycznych. Zauwa»my,»e miar caªkowitych korelacji kwantowych Q(ρ AB ) mo»na przedstawi w postaci Q(ρ AB ) = I(ρ AB ) C B (M { ΠA i } (ρ AB)) (równanie (8) w [4]), co prowadzi do wniosku,»e w ramach paradygmatu Olliviera urka C(ρ AB ) = C B (M { ΠA i } (ρ AB)) (równanie (9) w [4]) jest miar caªkowitych korelacji klasycznych obecnych w stanie ρ AB. W pracy [4] pokazaªem,»e w ogólnym przypadku dysonans kwantowy D A(B) (ρ AB ) jest nie wi kszy od caªkowitych korelacji kwantowych Q(ρ AB ), podczas gdy miara korelacji klasycznych HendersonaVedrala C A(B) (ρ AB ) jest nie mniejsza od caªkowitych klasycznych korelacji C(ρ AB ). Ponadto udowodniªem,»e Q(ρ AB ) i C(ρ AB ) s symetrycznymi miarami korelacji (patrz równania (2) i (22) w [4]). 8 M { ΠB j } (M { Π A}(ρ AB)) = ij pab ij Π A i Π B j, gdzie pab ij = Tr[( Π A i Π B j )ρ AB] jest i prawdopodobie«stwem otrzymania odpowiednio wyników i oraz j (równanie (5) w [4]). 0

11 Warto podkre±li,»e stosuj c powy»sze podej±cie do problemu korelacji mo»na w prosty sposób wyja±ni wyniki otrzymane w pracach [33, 69]. W dalszej cz ±ci pracy [4] wprowadziªem w naturalny sposób poj cie dysonansu kwantowego D Ak (ρ A ) 9 jako miary kwantowych korelacji obecnych w m-skªadnikowym stanie kwantowym ρ A, co pozwoliªo na przeprowadzenie systematycznej analizy korelacji kwantowych i klasycznych obecnych w wieloskªadnikowych stanach kwantowych. Zauwa»my po pierwsze,»e dysonans kwantowy D Ak (ρ A ) jest równy minimalnej ilo± korelacji, jaka jest tracona podczas pomiaru von Neumanna bez wyboru M, to A {Π k i } znaczy D Ak (ρ A ) = inf A [I(ρ {Π k i } A) I(M A (ρ {Π k i } A)], gdzie M A (ρ {Π k i } A) = i (I Π A k i I)ρ A (I Π A k i I). Ponadto optymalny pomiar von Neumanna bez wyboru M { ΠA k nie prowadzi do utraty klasycznych korelacji obecnych w stanie i } ρ A, a jedynie do utraty korelacji kwantowych [4]. Nast pnie pokazaªem,»e przeprowadzaj c po kolei optymalne pomiary von Neumanna bez wyboru M { ΠA i D A (ρ A ),,..., M } { Π Am i } tracimy kolejno D A2 (M { ΠA i } (ρ A)), D A3 (M { ΠA 2 i 2 } (M { Π A i } (ρ A))),. D Am (M { ΠA m i m } (... (M { Π A i } (ρ A)))) korelacji kwantowych, które mog by obecne w stanach ρ A, M { ΠA i } (ρ A), M { ΠA 2 i 2 } (M { Π A i } (ρ A)),. M { ΠA m i m } (... (M { Π A i } (ρ A))), nie zmieniaj c przy tym korelacji klasycznych [4]. Zatem widzimy,»e w ramach paradygmatu Olliviera urka Q(ρ A ) = D A (ρ A ) + D A2 (M { ΠA i } (ρ A)) + D A3 (M { ΠA 2 i 2 } (M { Π A i } (ρ A))) + 9 D Ak (ρ A ) = inf {Π A k i [I(ρ } A) J A (ρ {Π k i } A)], gdzie I(ρ A ) jest kwantow informacj wzajemn stanu (ρ } A) jest kwantow informacj wzajemn indukowan ρ A (A oznacza A A 2... A m A m ), a J A {Π k i przez pomiar von Neumanna, opisany przez zbiór jednowymiarowych operatorów rzutowych {Π A k przeprowadzony na podukªadzie A k. i },

12 + D Am (M { ΠA m i m } (... (M { Π A i } (ρ A)))) jest miar caªkowitych kwantowych korelacji obecnych w m-skªadnikowym stanie kwantowym ρ A (równanie (35) w [4]). Zauwa»my,»e miar caªkowitych korelacji kwantowych Q(ρ A ) mo»na przedstawi w postaci Q(ρ A ) = I(ρ A ) C Am (M { ΠA m i m } (... (M { Π A i } (ρ A)))) (równanie (36) w [4]), co prowadzi do wniosku,»e w ramach paradygmatu Olliviera urka C(ρ A ) = C Am (M { ΠA m i m } (... (M { Π A i } (ρ A)))) jest miar caªkowitych korelacji klasycznych obecnych w stanie ρ A (równanie (37) w [4]). W pracy [4] pokazaªem,»e w ogólnym przypadku dysonans kwantowy D Ak (ρ A ) jest nie wi kszy od caªkowitych korelacji kwantowych Q(ρ A ) w m-skªadnikowym stanie o zerowym dysonansie kwantowym D Ai (ρ A ) mog by obecne korelacje kwantowe, podczas gdy miara korelacji klasycznych HendersonaVedrala C Ak (ρ A ) 0 jest nie mniejsza od caªkowitych klasycznych korelacji C(ρ A ). Ponadto udowodniªem,»e Q(ρ A ) i C(ρ A ) s symetrycznymi miarami korelacji (patrz równania (38) i (39) w [4]). 6 Porz dkowania stanów kwantowych ze wzgl du na dysonanse kwantowe W pracy [5] zbadaªem problem porz dkowania dwuqubitowych stanów kwantowych diagonalnych w bazie Bella ze wzgl du na dysonans kwantowy i geometryczny dysonans kwantowy. Zauwa»my,»e w ogólno±ci mog istnie dwuskªadnikowe stany kwantowe ρ AB i ρ AB, dla których porz dkowanie stanów ze wzgl du na dysonans kwantowy D A (ρ AB ) odbiega od porz dkowania zadanego przez geometryczny dysonans kwantowy D G A (ρ AB). Innymi sªowy w ogólno±ci mog istnie stany kwantowe ρ AB i ρ AB, dla których nie jest speªniony warunek D A (ρ AB ) ( )D A (ρ AB ) DG A (ρ AB) ( )DA G(ρ AB ) (równanie () w [5]), czyli porz dkowanie stanów ze wzgl du na dysonanse kwantowe jest ªamane. Ostatnio odkryto dwuqubitowe stany kwantowe, dla których porz dkowanie stanów ze wzgl du na dysonanse kwantowe jest ªamane [57], co pokazuje,»e brak jednoznacznego porz dkowania stanów nie jest jedynie cech miar spl tania [70, 7, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80] lecz równie» takich miar korelacji kwantowych, jak dysonanse kwantowe. Zatem w naturalny sposób pojawia si problem znalezienia dwuqubitowych stanów kwantowych, dla których porz dkowanie stanów ze wzgl du na dysonanse kwantowe jest zachowane. 0 C Ak (ρ A ) = sup A J {Π k i } {Π A (ρ k i } A). DA G(ρ AB) = inf χab ρ AB χ AB 2, gdzie inmum jest wzi te po wszystkich stanach o zerowym dysonansie kwantowym, D A (χ AB ) = 0, natomiast jest norm HilbertaSchmidta, A = Tr(A A) (oznaczenia z pracy [5]). 2

13 Okazaªo si jednak,»e ogólne rozwi zanie tego problemu to znaczy znalezienie wszystkich stanów, które nie ªami porz dkowania stanów jest bardzo trudne, nawet w przypadku dwuqubitowych stanów diagonalnych w bazie Bella 2 [8, 25], dla których znamy analityczn posta dysonansu kwantowego D A (ρ AB ) [25] (równanie (6a) w [5]) i geometrycznego dysonansu kwantowego DA G(ρ AB) [52] (równanie (6b) w [5])..0 c c c W pracy [5] pokazaªem,»e je±li stany ρ AB i ρ AB nale» do jednej z dwunastu dwuparametrowych rodzin stanów (odpowiadaj cych dwunastu trójk tom na powy»szym rysunku) c i = 0, c j 0.5, c k + c j, c l = 0, 0.5 c m, c n c l, gdzie i j k i l m n, to wówczas porz dkowanie stanów ze wzgl du na dysonanse kwantowe jest zachowane (równania (5) w [5]). W szczególno±ci pokazaªem,»e je±li ρ AB i ρ AB nale» do dwuparametrowej rodziny stanów: c = 0, c 2 0.5, c 3 + c 2, to porz dkowanie stanów jest zachowane, poniewa» dla danego c 2 oba dysonanse kwantowe s wypukªymi funkcjami c 3 z minimum lokalnym w tym samym punkcie i D A (ρ AB ) D G A (ρ AB) (D A czarna linia, D G A szara linia, na rysunku poni»ej) [5]. 2 Stany diagonalne w bazie Bella maj posta ρ AB = 4 (I I + 3 i= c i σ i σ i ), gdzie σ i s macierzami Pauliego, a wspóªczynniki c i R speªniaj nast puj ce warunki: 0 4 ( c c 2 c 3 ), 0 4 ( c +c 2 +c 3 ), 0 4 (+c c 2 +c 3 ), 0 4 (+c +c 2 c 3 ). Nierówno±ci te opisuj czworo±cian o wierzchoªkach (,, ), (,, ), (,, ) i (,, ) odpowiadaj cych stanom Bella ψ + = 2 ( ), ψ = 2 ( 0 0 ), ϕ + = 2 ( 00 + ), ϕ = 2 ( 00 ) (rysunek powy»ej). 3

14 A, A G c c Zauwa»my,»e w podobny sposób mo»na pokaza,»e porz dkowanie stanów ze wzgl du na dysonanse kwantowe jest zachowane dla pozostaªych rodzin stanów [5]. Ponadto w pracy [5] pokazaªem,»e je±li stany ρ AB i ρ AB nie nale» do jednej z dwunastu dwuparametrowych rodzin stanów wymienionych powy»ej, to wówczas mo»na znale¹ zarówno stany, dla których porz dkowanie stanów jest zachowane, jak i stany, dla których porz dkowanie stanów jest ªamane. Na przykªad w przypadku jednoparametrowej rodziny stanów: c 0, c 2 = c, c 3 = porz dkowanie stanów jest zachowane (lewy rysunek poni»ej), natomiast w przypadku jednoparametrowej rodziny stanów: c = 0.5, c 2 = 0.5, 0 < c 3 porz dkowanie stanów jest ªamane (prawy rysunek poni»ej). G A, A.0 A, A G c c 3 Na szczególn uwag zasªuguje fakt,»e w szczególno±ci mo»na znale¹ pary stanów, dla których porz dkowanie stanów jest ªamane pomimo tego,»e ka»dy z nich nale»y do jednej z dwunastu dwuparametrowych rodzin stanów, dla których porz dkowanie stanów jest zachowane wªa±nie dlatego znalezienie ogólnego rozwi zania problemu porz dkowania stanów diagonalnych w bazie Bella ze wzgl du na dysonanse kwantowe jest bardzo trudne [5]. Na przykªad w przypadku stanów ρ AB i ρ AB, dla których c = 0., c 2 = 0, c 3 = 0.75 i c = 0., c 2 = 0, c 3 = 0.9 porz dkowanie stanów nie jest zachowane, poniewa» D A (ρ AB ) < D A (ρ AB ) a DG A (ρ AB) = DA G(ρ AB ) pomimo tego,»e ρ AB nale»y do rodziny stanów: c 2 = 0, c 3 0.5, c + c 3 podczas gdy ρ AB nale»y do rodziny stanów: c 2 = 0, 0.5 c 3, c c 3 [5]. 4

15 W pracy [5] zauwa»yªem równie»,»e wyniki numerycznego porównania dysonansów kwantowych dla dowolnych dwuqubitowych stanów kwantowych [62, 6] prowadz do wniosku,»e istniej inne stany, poza stanami diagonalnymi w bazie Bella i stanami wskazanymi w pracy [57], dla których porz dkowanie stanów ze wzgl du na dysonanse kwantowe nie jest zachowane. 7 Podsumowanie W jednotematycznym cyklu prac [, 2, 3, 4, 5] rozwin ªem teorioinformacyjne podej±cie do problemu klasycznych i kwantowych korelacji obecnych w dwuskªadnikowych i wieloskªadnikowych mieszanych stanach kwantowych. W szczególno±ci znalazªem odpowiedzi na szereg wa»nych pyta«prowadz cych do lepszego zrozumienia korelacji klasycznych i kwantowych obecnych w mieszanych stanach kwantowych, zarówno w paradygmacie Wernera, jak i w paradygmacie Olliviera urka. Czy z punktu widzenia paradygmatu Wernera w n-qubitowym stanie kwantowym ρ 2...n [65] s obecne jedynie n-qubitowe korelacje kwantowe? W pracy [2] wyja±niªem,»e kryterium nieistnienia n-skªadnikowych korelacji klasycznych w n-qubitowym stanie kwantowym, oparte na zerowaniu si wszystkich kowariancji Cov(X,..., X n ), jest kryterium koniecznym nieistnienia takich korelacji, a nie kryterium wystarczaj cym. Ponadto pokazaªem w jawny sposób,»e w stanie ρ 2...n istniej n-skªadnikowe korelacje klasyczne, pomimo zerowania si wszystkich kowariancji. Czy w ramach paradygmatu Wernera mo»na sformuªowa niezawodne teorioinformacyjne kryterium nieistnienia korelacji klasycznych w wieloskªadnikowych stanach kwantowych? W pracy [] dla uproszczenia, ale bez straty ogólno±ci, przedstawiªem tego rodzaju kryterium dla trzyskªadnikowych stanów kwantowych. W szczególno±ci wyja±niªem dlaczego w trzyskªadnikowym stanie kwantowym mog by obecne trzyskªadnikowe korelacje klasyczne, pomimo tego,»e nie ma w nim dwuskªadnikowych korelacji klasycznych i podaªem jawny przykªad takiego stanu. Czy kwantowa informacja wzajemna uwzgl dnia wszystkie aspekty caªkowitych korelacji obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych? W pracy [] pokazaªem,»e istniej klasycznie skorelowane stany kwantowe, w przypadku których kwantowa informacja wzajemna nie udziela dobrej odpowiedzi na pytanie, jak silne s caªkowite korelacje obecne w tych stanach. W szczególno±ci znalazªem klasycznie skorelowane stany kwantowe, w przypadku których kwantowa informacja wzajemna mo»e by dowolnie maªa, pomimo tego, 5

16 »e caªkowite korelacje obecne w tych stanach s maksymalnie silne. Ponadto zaproponowaªem teorioinformacyjn miar siªy korelacji klasycznych obecnych w klasycznie skorelowanym stanie kwantowym, któr mo»na uogólni na przypadek dowolnych dwuskªadnikowych stanów kwantowych. Ile korelacji klasycznych i kwantowych jest obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych z punktu widzenia paradygmatu Olliviera urka? W pracy [4] pokazaªem w jawny sposób,»e dysonans kwantowy D A(B) (ρ AB ) jest równy ilo±ci korelacji, jaka jest tracona podczas optymalnego pomiaru von Neumanna bez wyboru przeprowadzonego na podukªadzie A(B). Pokazaªem równie»,»e optymalny pomiar von Neumanna bez wyboru nie prowadzi do utraty korelacji klasycznych zawartych w dwuskªadnikowym stanie kwantowym ρ AB. Ponadto wprowadziªem w naturalny sposób miar caªkowitych kwantowych korelacji obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych i pokazaªem,»e dysonans kwantowy jest nie wi kszy od caªkowitych kwantowych korelacji, co oznacza,»e zerowanie si dysonansu kwantowego nie musi implikowa znikania kwantowych korelacji. Nast pnie wprowadziªem miar caªkowitych klasycznych korelacji obecnych w dwuskªadnikowych stanach kwantowych i pokazaªem,»e miara korelacji klasycznych HendersonaVedrala jest nie mniejsza od caªkowitych kwantowych korelacji. Ile korelacji klasycznych i kwantowych jest obecnych w wieloskªadnikowych stanach kwantowych z punktu widzenia paradygmatu Olliviera urka? W pracy [4] uogólniªem w naturalny sposób poj cie dysonansu kwantowego na przypadek ukªadów wieloskªadnikowych. Dzi ki temu mogªem w naturalny sposób wprowadzi miar caªkowitych kwantowych korelacji obecnych w wieloskªadnikowych stanach kwantowych 3, jak równie» miar caªkowitych klasycznych korelacji obecnych w tych stanach. Czy niejednoznaczne porz dkowanie stanów jest jedynie cech miar spl tania kwantowego? W pracy [5] zbadaªem problem porz dkowania dwuqubitowych stanów diagonalnych w bazie Bella ze wzgl du na dysonans kwantowy i geometryczny dysonans kwantowy. W szczególno±ci zidentykowaªem 2 dwuparametrowych rodzin stanów dla których porz dkowanie stanów ze wzgl du na dysonanse kwantowe jest zachowane i pokazaªem,»e w przypadku stanów nale» cych do ró»nych rodzin porz dkowanie stanów mo»e by ªamane, co jest sprzeczne z intuicj i pokazuje,»e znalezienie ogólnego rozwi zania problemu porz dkowania stanów ze wzgl du na dysonanse kwantowe jest niezwykle trudne. 3 Kilka miesi cy pó¹niej Rulli i Sarandy wprowadzili poj cie globalnej miary korelacji kwantowych obecnych w wieloskªadnikowych stanach kwantowych [82]. 6

17 Pomimo tego,»e prace wchodz ce w skªad cyklu habilitacyjnego [, 2, 3, 4, 5] zostaªy opublikowane w ci gu kilku ostatnich lat, to byªy cytowane 8 razy (wedªug bazy Web of Science). Wyniki opisane w pracach [2, 4, 5] zostaªy przedstawione w pracy przegl dowej [8]. Natomiast artykuª [5] znalazª si na okªadce Europhysics Letters (stycze«marzec 203). Ponadto prace [2, 5] zostaªy wybrane do presti»owego czasopisma Virtual Journal of Quantum Information. 5. Omówienie pozostaªych osi gni naukowobadawczych Przed doktoratem W pracy [83] opisano q-zdeformowan przestrze«fazow i wyprowadzono, z zasady najmniejszego dziaªania, q-zdeformowane równania Hamiltona. Prace [84, 85, 86] dotyczyªy niealgebraicznego podej±cia do problemu quasidokªadnej rozwi zywalno±ci. W pracy [84] pokazano,»e ortogonalne wielomiany spektralne BenderaDunnea mo»na skonstruowa dla wszystkich modeli quasidokªadnie rozwi zywalnych. Ponadto przedstawiono prosty sposób znajdowania funkcji wagowych stowarzyszonych z tymi wielomianami i pokazano,»e wielomiany BenderaDunnea s wielomianami ortogonalnymi zmiennej dyskretnej, która przyjmuje warto±ci ze sko«czonego zbioru dokªadnie policzalnych poziomów energetycznych rozwa»anego modelu quasi-dokªadnie rozwi zywalnego. W pracy [85] pokazano,»e pewne jednowymiarowe modele quasi-dokªadnie rozwi zywalne tworz dublety modeli dualnych powi zanych ze sob pewn dyskretn transformacj, któr nazwano transformacj antyizospektraln, poniewa» zmienia ona znaki wszystkich dokªadnie policzalnych poziomów energetycznych modeli tworz cy dany dublet. Pokazano równie»,»e dualno± pozwala na znalezienie górnej granicy dokªadnie policzalnej cz ±ci spektrum rozwa»anego modelu quasi-dokªadnie rozwi zywalnego i poci ga za sob istnienie wielomianów tego samego stopnia, które s ortogonalne na dwóch ró»nych przedziaªach, z t sam funkcj wagow wielomiany te s naturalnym uogólnieniem standardowych wielomianów ortogonalnych zwi zanych z modelami dokªadnie rozwi zywalnymi. Po doktoracie W pracy [86] pokazano,»e w przypadku zale»nego od czasu oscylatora anharmonicznego z zaburzeniem szóstego stopnia najprostszy zale»ny od czasu ukªad quasi-dokªadnie rozwi zywalny równania ansatzu Bethego opisuj klasyczny zespolony ukªad dynamiczny typu CalogeroMosera, co oznacza,»e istnieje ±cisªy zwi zek mi dzy kwantowymi modelami quasi-dokªadnie rozwi zywalnymi a klasycznymi modelami dynamicznymi. Ponadto pokazano,»e przy pomocy metody rzutowej Olshanetskyego Perelomova mo»na wykaza podobny zwi zek mi dzy kwantowymi ukªadami quasi- 7

18 dokªadnie rozwi zywalnymi a klasycznymi ukªadami macierzowymi. Prace [87, 88, 89, 90] po±wi cone byªy zagadnieniu destrukcji stanów w mechanice kwantowej. W pracy [87] zaproponowano opis destrukcji cz stek rozró»nialnych i nierozró»nialnych na gruncie mechaniki kwantowej, a nie kwantowej teorii pola. W szczególno±ci zdeniowano kilka rodzajów odwzorowa«nazwanych super±ladami, które zostaªy wykorzystane do opisu procesu destrukcji. Ponadto pokazano,»e poj cie destrukcji stanów mo»e by traktowane jako uzupeªnienie procedury pomiaru podanej przez von Neumanna i Lüdersa. W pracy [88] pokazano na kilku przykªadach,»e proces destrukcji stanów mo»e by pomocny w opisie eksperymentów typu Einsteina PodolskyegoRosena. Natomiast w pracy [89] pokazano,»e procedura destrukcji stanów dla jednego quditu jest operacj kwantow i znaleziono jawn posta operatorów Krausa dla tej operacji kwantowej. W pracy [90] rozwa»ono ukªad dwóch cz stek rozró»nialnych o spinie /2 i przeanalizowano ze wszystkimi szczegóªami proces destrukcji stanów zachodz cy podczas pomiaru rzutu spinu cz stki. Prace [9, 92] dotyczyªy nierelatywistycznej spinowej funkcji korelacji. W pracy [9] rozwa»ono eksperyment typu EinsteinaPodolskyegoRosena i wyznaczono nierelatywistyczn spinow funkcj korelacji dla pary cz stek o dowolnym spinie uwzgl dniaj c rozró»nialno± i nierozró»nialno± cz stek, wzgl dny ruch obserwatorów, sko«czony rozmiar detektorów i odst p czasowy mi dzy pomiarami przeprowadzanymi przez poruszaj cych si obserwatorów. Byªa to pierwsza tak szczegóªowa analiza nierelatywistycznej spinowej funkcji korelacji w eksperymencie typu EinsteinaPodolskyegoRosena. Z kolei praca [92] po±wi cona byªa wyznaczeniu nierelatywistycznej spinowej funkcji korelacji typu EinsteinaPodolskyegoRosena dla dwóch cz stek rozró»nialnych o spinie /2 w stanie trypletowym. W pracach [93, 94, 95] pokazano,»e transformacje Bogoliubova, szeroko stosowane w kwantowej teorii pola, mog by równie» u»yteczne w kwantowej teorii informacji. Pokazano mianowicie,»e problem wyboru rozkªadu na iloczyn tensorowy przestrzeni stanów ukªadu dwóch fermionów, z uwzgl dnieniem pewnej reguªy superwyboru, mo»e by przeanalizowany przy pomocy transformacji Bogoliubova operatorów kreacji i anihilacji. Ponadto pokazano,»e w rozwa»anym przypadku zbie»no± Woottersa nie jest wªa±ciw miar spl tania i znaleziono jawn posta spl tania formowania, która pokazuje,»e spl tanie kwantowe zale»y od wyboru rozkªadu iloczynu tensorowego przestrzeni Hilberta badanego ukªadu. Wykazano równie»,»e zbiór stanów separowalnych nie jest tak liczny, jak w przypadku ukªadu dwóch qubitów i istniej stany, które s separowalne bez wzgl du na wybór rozkªadu iloczynu tensorowego. Prace [96, 97, 98] po±wi cone byªy zagadnieniu ewolucji ukªadu cz stek niestabilnych ze szczególnym uwzgl dnieniem ewolucji spl tania kwantowego w ukªadzie K 0 K0 w kontek±cie testowania nierówno±ci typu BellaCHSH. W pracy [96] przedstawiono opis cz stek niestabilnych w j zyku mechaniki kwantowej 8

19 ukªadów otwartych, uwzgl dniaj c reguª superwyboru, która zabrania istnienia superpozycji stanów cz stki i pró»ni. W tym podej±ciu ewolucja ukªadu zadana jest przez rodzin odwzorowa«caªkowicie dodatnich tworz cych jednoparametrow póªgrup dynamiczn. W pracy znaleziono jawn posta operatorów Krausa dla tak okre±lonej ewolucji ukªadu. Pokazano równie»,»e istniej pewne ograniczenia na mo»liw siª dekoherencji. W pracy [97] znaleziono ewolucj czasow ukªadu dwóch nieoddziaªuj cych cz stek niestabilnych (rozró»nialnych i nierozró»nialnych) w dowolnym ukªadzie odniesienia znaj c jedynie operatory Krausa deniuj ce ewolucj cz stek w ukªadzie spoczynkowym. Znaleziono równie» nierelatywistyczn funkcj korelacji EPR dla ukªadu K 0 K0 w stanie singletowym uwzgl dniaj c ªamanie symetrii CP i dekoherencj. Pokazano,»e w tym przypadku statystyka cz stek nie ma wpªywu na otrzymany wynik. W pracy [98] rozwa»ono ewolucj spl tania zespoªu ukªadów dwuskªadnikowych. W szczególno±ci zbadano ewolucj spl tania dla ukªadów K 0 K0 w stanie singletowym z uwzgl dnieniem dekoherencji i ªamania symetrii CP. W pracy [99] pokazano,»e spinowa zredukowana macierz g sto±ci ukªadu dwóch cz stek nierelatywistycznych o dowolnym spinie transformuje si w sposób kowariantny pod wpªywem przeksztaªce«galileusza. Ponadto pokazano jawnie,»e spl tanie kwantowe w takim ukªadzie jest niezmiennikiem transformacji Galileusza. W pracy [00] pokazano jawnie,»e te same oscylacje neutrin otrzymujemy niezale»nie od tego, czy s one tachionami, czy zwykªymi cz stkami masywnymi. W pracy [0] przeprowadzono szczegóªow analiz poprawionego protokoªu rekurencyjnego IBM opisanego w [02]. W szczególno±ci pokazano,»e protokóª ten nie jest w istocie rzeczy protokoªem rekurencyjnym, a nawet gdyby byª, to nie byªby tak efektywny, jaki twierdz autorzy pracy [02]. Ponadto przedstawiono pozbawion bª dów wersj tego protokoªu. Bibliograa [] Z. Walczak, Total correlations and mutual information, Phys. Lett. A 373 (2009), 88. [2] Z. Walczak, Comment on Quantum correlation without classical correlations, Phys. Rev. Lett. 04 (200), [3] Z. Walczak, Information-theoretic approach to the problem of detection of genuine multipartite classical correlations, Phys. Lett. A 374 (200), [4] M. Okrasa, Z. Walczak, Quantum discord and multipartite correlations, EPL 96 (20), [5] M. Okrasa, Z. Walczak, On two-qubit states ordering with quantum discords, EPL 98 (202),

20 [6] R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, K. Horodecki, Quantum entanglement, Rev. Mod. Phys. 8 (2009), 865. [7] O. Gühne, G. Tóth, Entanglement detection, Phys. Rep. 474 (2009),. [8] K. Modi, A. Brodutch, H. Cable, T. Paterek, V. Vedral, The classical-quantum boundary for correlations: Discord and related measures, Rev. Mod. Phys. 84 (202), 655. [9] R. F. Werner, Quantum states with Einstein-Podolsky-Rosen correlations admitting a hidden-variable model, Phys. Rev. A 40 (989), [0] E. Knill, R. Laamme, Power of one bit of quantum information, Phys. Rev. Lett. 8 (998), [] S. L. Braunstein, C. M. Caves, R. Jozsa, N. Linden, S. Popescu, R. Schack, Separability of very noisy mixed states and implications for NMR quantum computing, Phys. Rev. Lett. 83 (999), 054. [2] C. H. Bennett, D. P. DiVincenzo, C. A. Fuchs, T. Mor, E. Rains, P. W. Shor, J. A. Smolin, W. K. Wootters, Quantum nonlocality without entanglement, Phys. Rev. A 59 (999), 070. [3] D. A. Meyer, Sophisticated quantum search without entanglement, Phys. Rev. Lett. 85 (2000), 204. [4] E. Biham, G. Brassard, D. Kenigsberg, T. Mor, Quantum computing without entanglement, Theor. Comput. Sci. 320 (2004), 5. [5] A. Datta, S. T. Flammia, C. M. Caves, Entanglement and the power of one qubit, Phys. Rev. A 72 (2005), [6] A. Datta, G. Vidal, Role of entanglement and correlations in mixed-state quantum computation, Phys. Rev. A 75 (2007), [7] H. Ollivier, W. H. Zurek, Quantum discord: A measure of the quantumness of correlations, Phys. Rev. Lett. 88 (200), [8] L. Henderson, V. Vedral, Classical, quantum and total correlations, J. Phys. A 34 (200), [9] A. Datta, A. Shaji, C. M. Caves, Quantum discord and the power of one qubit, Phys. Rev. Lett. 00 (2008), [20] A. Datta, S. Gharibian, Signatures of nonclassicality in mixed-state quantum computation, Phys. Rev. A 79 (2009),

21 [2] C. A. Rodríguez-Rosario, K. Modi, A. Kuah, A. Shaji, E. C. G. Sudarshan, Completely positive maps and classical correlations, J. Phys. A 4 (2008), [22] A. Shabani, D. A. Lidar, Vanishing quantum discord is necessary and sucient for completely positive maps, Phys. Rev. Lett. 02 (2009), [23] A. Ferraro, L. Aolita, D. Cavalcanti, F. M. Cucchietti, A. Acín, Almost all quantum states have nonclassical correlations, Phys. Rev. A 8 (200), [24] M. Piani, P. Horodecki, R. Horodecki, No-local-broadcasting theorem for multipartite quantum correlations, Phys. Rev. Lett. 00 (2008), [25] S. Luo, Quantum discord for two-qubit systems, Phys. Rev. A 77 (2008), [26] M. Ali, A. R. P. Rau, G. Alber, Quantum discord for two-qubit X states, Phys. Rev. A 8 (200), [27] A. Al-Qasimi, D. F. V. James, Comparison of the attempts of quantum discord and quantum entanglement to capture quantum correlations, Phys. Rev. A 83 (20), [28] F. F. Fanchini, M. C. de Oliveira, L. K. Castelano, M. F. Cornelio, Why the entanglement of formation is not generally monogamic, Phys. Rev. A 87 (203), [29] S. Campbell, Predominance of entanglement of formation over quantum discord under quantum channels, Quant. Inf. Proc. 2 (203), [30] T. Werlang, S. Souza, F. F. Fanchini, C. J. Villas Boas, Robustness of quantum discord to sudden death, Phys. Rev. A 80 (2009), [3] J. Maziero, L. C. Céleri, R. M. Serra, V. Vedral, Classical and quantum correlations under decoherence, Phys. Rev. A 80 (2009), [32] F. F. Fanchini, T. Werlang, C. A. Brasil, L. G. E. Arruda, A. O. Caldeira, Non- Markovian dynamics of quantum discord, Phys. Rev. A 8 (200), [33] J. Maziero, T. Werlang, F. F. Fanchini, L. C. Céleri, R. M. Serra, System-reservoir dynamics of quantum and classical correlations, Phys. Rev. A 8 (200), [34] B. Wang, Z.-Y. Xu, Z.-Q. Chen, M. Feng, Non-Markovian eect on the quantum discord, Phys. Rev. A 8 (200), 040. [35] X. Hu, Y. Gu, Q. Gong, G. Guo, Necessary and sucient condition for Markovian-dissipative-dynamics-induced quantum discord, Phys. Rev. A 84 (20),