Miary splątania kwantowego

Transkrypt

1 kwantowego Michał Kotowski K MISMaP, Uniwersystet Warszawski Studenckie Koło Fizyki UW (SKFiz UW) 24 kwietnia 2010 kwantowego

2 Spis treści 1 2 Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania 3 Rozkład Schmidta 4 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność 5 6 Desery Bibliografia kwantowego

3 Splątanie kwantowe Splątanie kwantowe (quantum entanglement) - najbardziej nieintuicyjne zjawisko kwantowe kwantowego

4 Splątanie kwantowe Splątanie kwantowe (quantum entanglement) - najbardziej nieintuicyjne zjawisko kwantowe występuje w układach wielu (dwóch lub więcej) cząstek kwantowego

5 Splątanie kwantowe Splątanie kwantowe (quantum entanglement) - najbardziej nieintuicyjne zjawisko kwantowe występuje w układach wielu (dwóch lub więcej) cząstek istnienie nielokalnych kwantowych korelacji miedzy podukładami (silniejszych niż jakiekolwiek korelacje klasyczne) kwantowego

6 Splątanie kwantowe Splątanie kwantowe (quantum entanglement) - najbardziej nieintuicyjne zjawisko kwantowe występuje w układach wielu (dwóch lub więcej) cząstek istnienie nielokalnych kwantowych korelacji miedzy podukładami (silniejszych niż jakiekolwiek korelacje klasyczne) lata 30.: paradoks Einsteina-Podolsky ego-rosena, spooky action at a distance kwantowego

7 Splątanie kwantowe odkryte na nowo po kilkudziesięciu latach w kontekście kwantowej teorii informacji kwantowego

8 Splątanie kwantowe odkryte na nowo po kilkudziesięciu latach w kontekście kwantowej teorii informacji zastosowania w kryptografii i komunikacji kwantowej, potencjalnie w komputerach kwantowych... kwantowego

9 Splątanie kwantowe odkryte na nowo po kilkudziesięciu latach w kontekście kwantowej teorii informacji zastosowania w kryptografii i komunikacji kwantowej, potencjalnie w komputerach kwantowych... splątanie jako nowy fizyczny zasób (wykonuje zadania, zużywa sie, nie można go stworzyć za darmo...) kwantowego

10 Splątanie kwantowe odkryte na nowo po kilkudziesięciu latach w kontekście kwantowej teorii informacji zastosowania w kryptografii i komunikacji kwantowej, potencjalnie w komputerach kwantowych... splątanie jako nowy fizyczny zasób (wykonuje zadania, zużywa sie, nie można go stworzyć za darmo...) źródło nowych problemów matematycznych kwantowego

11 Paradoks EPR Alicja i Bob mają parę cząstek w stanie: ψ = 1 2 ( ) kwantowego

12 Paradoks EPR Alicja i Bob mają parę cząstek w stanie: ψ = 1 2 ( ) Jeśli Alicja wykona pomiar spinu i dostanie w wyniku spin, to Bob zawsze otrzyma (i odwrotnie). kwantowego

13 Paradoks EPR Alicja i Bob mają parę cząstek w stanie: ψ = 1 2 ( ) Jeśli Alicja wykona pomiar spinu i dostanie w wyniku spin, to Bob zawsze otrzyma (i odwrotnie). Pomiary spinów są całkowicie antyskorelowane... kwantowego

14 Paradoks EPR Alicja i Bob mają parę cząstek w stanie: ψ = 1 2 ( ) Jeśli Alicja wykona pomiar spinu i dostanie w wyniku spin, to Bob zawsze otrzyma (i odwrotnie). Pomiary spinów są całkowicie antyskorelowane mimo że Alicja i Bob znajdują się na przeciwległych krańach Wszechświata. kwantowego

15 Problemy teorii splątania Które stany są splątane, a które nie? Które stany są bardziej splątane od innych (tytułowe ilościowe miary splątania)? Czy mogą istnieć różne rodzaje splątania? kwantowego

16 Stany czyste Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stan układu N cząstek opisujemy przez wektor z przestrzeni Hilberta ψ H 1... H N (skończenie wymiarowej) (unormowany do 1) W najprostszym przypadku ψ H H (np. dwie cząstki o spinie 1/2) Każdy stan w ustalonej bazie możemy zapisać jako ψ = a ijk... ijk... i,j,k... ψ ψ - operator rzutowy na stan ψ kwantowego

17 Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stany mieszane Macierz gęstości ρ B(H 1... H N ) opisuje mieszaninę statystyczną różnych stanów czystych: ρ = ρ, ρ 0 Tr ρ = 1 kwantowego

18 Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stany mieszane Macierz gęstości ρ B(H 1... H N ) opisuje mieszaninę statystyczną różnych stanów czystych: ρ = ρ, ρ 0 Tr ρ = 1 Każda macierz gęstości jest kombinacją wypukłą stanów czystych: ρ = k p i ψ i ψ i i=1 k p i = 1, i=1 ψ i H 1... H N kwantowego

19 Stany mieszane Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stanom czystym odpowiadają operatory rzutowe ρ ψ = ψ ψ kwantowego

20 Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stany mieszane Stanom czystym odpowiadają operatory rzutowe ρ ψ = ψ ψ W ogólnosci macierz gęstości nie jest rzutem na żaden stan czysty kwantowego

21 Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stany mieszane Stanom czystym odpowiadają operatory rzutowe ρ ψ = ψ ψ W ogólnosci macierz gęstości nie jest rzutem na żaden stan czysty Przykłady: (mieszanina stanów 0 i 1 ) ρ = p (1 p) 1 1 ρ = 1 N N i i i=1 (stan maksymalnie mieszany) kwantowego

22 Definicja splątania - stany czyste Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stan ψ H A H B nazywamy separowalnym, jeśli da się zapisać jako ψ = ψ A ψ B kwantowego

23 Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Definicja splątania - stany czyste Stan ψ H A H B nazywamy separowalnym, jeśli da się zapisać jako ψ = ψ A ψ B Stan jest splątany, jesli nie jest separowalny kwantowego

24 Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Definicja splątania - stany czyste Stan ψ H A H B nazywamy separowalnym, jeśli da się zapisać jako ψ = ψ A ψ B Stan jest splątany, jesli nie jest separowalny Przykład: stany Bella (pary EPR) ψ = 1 2 ( 00 ± 11 ) ψ = 1 2 ( 01 ± 10 ) kwantowego

25 Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Definicja splątania - stany czyste Stan ψ H A H B nazywamy separowalnym, jeśli da się zapisać jako ψ = ψ A ψ B Stan jest splątany, jesli nie jest separowalny Przykład: stany Bella (pary EPR) ψ = 1 2 ( 00 ± 11 ) ψ = 1 2 ( 01 ± 10 ) Można je uważać za najbardziej splątane dla układów dwóch cząstek kwantowego

26 Definicja splątania Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Ogólniej, dla układu N cząstek splątanie oznacza, że: ψ ψ 1... ψ N kwantowego

27 Definicja splątania Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Ogólniej, dla układu N cząstek splątanie oznacza, że: ψ ψ 1... ψ N Jak (prosto) rozpoznać, czy dany stan jest splątany? kwantowego

28 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Zaczynamy od układów dwucząstkowych kwantowego

29 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Zaczynamy od układów dwucząstkowych Niech ψ = t ij i j, ψ H A H B (w ustalonej bazie) i,j kwantowego

30 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Zaczynamy od układów dwucząstkowych Niech ψ = t ij i j, ψ H A H B (w ustalonej bazie) i,j Można zawsze znaleźć takie bazy w H A i H B, że ψ ma postać: ψ = λ k k k k (rozkład osobliwy macierzy {t ij } i,j=1,...,n ) kwantowego

31 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Liczby (λ 1, λ 2,..., λ N ) nazywamy wektorem Schmidta kwantowego

32 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Liczby (λ 1, λ 2,..., λ N ) nazywamy wektorem Schmidta Dla stanów separowalnych ψ = ψ A ψ B mamy tylko jeden składnik w rozkładzie, czyli: (λ 1, λ 2,..., λ N ) = (1, 0,..., 0) kwantowego

33 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Liczby (λ 1, λ 2,..., λ N ) nazywamy wektorem Schmidta Dla stanów separowalnych ψ = ψ A ψ B mamy tylko jeden składnik w rozkładzie, czyli: (λ 1, λ 2,..., λ N ) = (1, 0,..., 0) Więcej niż jedno niezerowe λ i oznacza splątanie! kwantowego

34 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Liczby (λ 1, λ 2,..., λ N ) nazywamy wektorem Schmidta Dla stanów separowalnych ψ = ψ A ψ B mamy tylko jeden składnik w rozkładzie, czyli: (λ 1, λ 2,..., λ N ) = (1, 0,..., 0) Więcej niż jedno niezerowe λ i oznacza splątanie! Dla stanu maksymalnie splątanego ψ = 1 N N i i i=1 mamy: ( 1 (λ 1,..., λ N ) = N,..., 1 ). N kwantowego

35 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Wektor Schmidta jest niezmienniczy na lokalne unitarne transformacje: ψ U V U V ψ = k λ k U k V k kwantowego

36 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Wektor Schmidta jest niezmienniczy na lokalne unitarne transformacje: ψ U V U V ψ = k λ k U k V k Łatwo go obliczyć kwantowego

37 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Wektor Schmidta jest niezmienniczy na lokalne unitarne transformacje: ψ U V U V ψ = k λ k U k V k Łatwo go obliczyć Nie ma prostego uogólnienia na więcej niż dwa układy kwantowego

38 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Które stany są mniej, a które bardziej splątane? kwantowego

39 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Które stany są mniej, a które bardziej splątane? Intuicja: stan ψ = (1 ɛ) 00 + ɛ 11 jest prawie separowalny... kwantowego

40 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Które stany są mniej, a które bardziej splątane? Intuicja: stan ψ = (1 ɛ) 00 + ɛ 11 jest prawie separowalny... W zastosowaniach (teleportacja stanu kwantowego, protokoły kryptograficzne) potrzebne jest możliwie czyste splątanie kwantowego

41 Aksjomaty Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Czego oczekujemy od dobrej miary splątania E? kwantowego

42 Aksjomaty Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Czego oczekujemy od dobrej miary splątania E? nieujemna, E( ψ ) 0 kwantowego

43 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Aksjomaty Czego oczekujemy od dobrej miary splątania E? nieujemna, E( ψ ) 0 znika dla stanów separowalnych, E( ψ sep ) = 0 kwantowego

44 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Aksjomaty Czego oczekujemy od dobrej miary splątania E? nieujemna, E( ψ ) 0 znika dla stanów separowalnych, E( ψ sep ) = 0 nie wzrasta przy lokalnych operacjach i klasycznej komunikacji, E(Λ( ψ )) E( ψ ) kwantowego

45 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Lokalne operacje i klasyczna komunikacja (LOCC) Typowy protokół komunikacyjny: Alicja i Bob są w odległych laboratoriach, posiadają po jednej cząstce kwantowego

46 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Lokalne operacje i klasyczna komunikacja (LOCC) Typowy protokół komunikacyjny: Alicja i Bob są w odległych laboratoriach, posiadają po jednej cząstce Alicja wykonuje pomiar, przesyła wynik Bobowi (klasycznym kanałem, np. przez telefon) kwantowego

47 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Lokalne operacje i klasyczna komunikacja (LOCC) Typowy protokół komunikacyjny: Alicja i Bob są w odległych laboratoriach, posiadają po jednej cząstce Alicja wykonuje pomiar, przesyła wynik Bobowi (klasycznym kanałem, np. przez telefon) w zależności od wyniku Bob wykonuję jakąś operację, np. ewolucję unitarna kwantowego

48 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Lokalne operacje i klasyczna komunikacja (LOCC) Typowy protokół komunikacyjny: Alicja i Bob są w odległych laboratoriach, posiadają po jednej cząstce Alicja wykonuje pomiar, przesyła wynik Bobowi (klasycznym kanałem, np. przez telefon) w zależności od wyniku Bob wykonuję jakąś operację, np. ewolucję unitarna Bob wykonuje pomiar, przesyła wynik Alicji kwantowego

49 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Lokalne operacje i klasyczna komunikacja (LOCC) Typowy protokół komunikacyjny: Alicja i Bob są w odległych laboratoriach, posiadają po jednej cząstce Alicja wykonuje pomiar, przesyła wynik Bobowi (klasycznym kanałem, np. przez telefon) w zależności od wyniku Bob wykonuję jakąś operację, np. ewolucję unitarna Bob wykonuje pomiar, przesyła wynik Alicji... kwantowego

50 LOCC - c. d. Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Protokół może wytworzyć klasyczne korelacje pomiędzy układami Alicji i Boba kwantowego

51 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność LOCC - c. d. Protokół może wytworzyć klasyczne korelacje pomiędzy układami Alicji i Boba Miara splątania powinna mierzyć korelacje niemożliwe do odtworzenia klasycznie... kwantowego

52 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność LOCC - c. d. Protokół może wytworzyć klasyczne korelacje pomiędzy układami Alicji i Boba Miara splątania powinna mierzyć korelacje niemożliwe do odtworzenia klasycznie dlatego ma nie wzrastać przy wykonywaniu operacji tylko na jednym podukładzie i przy klasycznej komunikacji (entanglement monotone) kwantowego

53 Częściowy ślad Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Załóżmy, że mamy układ dwóch cząstek ρ na przestrzeni H A H B. kwantowego

54 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Częściowy ślad Załóżmy, że mamy układ dwóch cząstek ρ na przestrzeni H A H B. Operacja częściowego śladu polega na odrzuceniu drugiego układu (interesuje nas tylko opis stanu pierwszego układu): Tr B ρ = i i ρ i, i H B kwantowego

55 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Częściowy ślad Załóżmy, że mamy układ dwóch cząstek ρ na przestrzeni H A H B. Operacja częściowego śladu polega na odrzuceniu drugiego układu (interesuje nas tylko opis stanu pierwszego układu): Tr B ρ = i i ρ i, i H B Np. ρ = ρ A E, E - nieznany stan otoczenia (laboratorium, reszty Wszechświata...) kwantowego

56 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Częściowy ślad Załóżmy, że mamy układ dwóch cząstek ρ na przestrzeni H A H B. Operacja częściowego śladu polega na odrzuceniu drugiego układu (interesuje nas tylko opis stanu pierwszego układu): Tr B ρ = i i ρ i, i H B Np. ρ = ρ A E, E - nieznany stan otoczenia (laboratorium, reszty Wszechświata...) Interesuje nas tylko stan ρ A, więc uśredniamy po możliwych stanach otoczenia. kwantowego

57 Stany EPR Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Dla separowalnego stanu ψ = 00 mamy: Tr B ψ ψ = 0 0 stan czysty (pełna informacja o stanie) kwantowego

58 Stany EPR Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Dla separowalnego stanu ψ = 00 mamy: Tr B ψ ψ = 0 0 stan czysty (pełna informacja o stanie) Dla stanu EPR ψ = 1 2 ( ) Tr B ψ ψ = stan całkowicie mieszany (pełna losowość, brak informacji o stanie) kwantowego

59 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Stany EPR Dla separowalnego stanu ψ = 00 mamy: Tr B ψ ψ = 0 0 stan czysty (pełna informacja o stanie) Dla stanu EPR ψ = 1 2 ( ) Tr B ψ ψ = stan całkowicie mieszany (pełna losowość, brak informacji o stanie) Z punktu widzenia Alicji stan jej cząstki jest całkowicie losowy. kwantowego

60 Entropia Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Best possible knowledge of a whole does not include best possible knowledge of its parts and this is what keeps coming back to haunt us (Erwin Schrödinger, 1935). kwantowego

61 Entropia Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Best possible knowledge of a whole does not include best possible knowledge of its parts and this is what keeps coming back to haunt us (Erwin Schrödinger, 1935). Miarą losowości jest entropia kwantowego

62 Entropia von Neumanna Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Dla dowolnego stanu ρ określamy jego entropię S(ρ) = Tr(ρ log ρ) kwantowego

63 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Dla dowolnego stanu ρ określamy jego entropię S(ρ) = Tr(ρ log ρ) Dla stanu ψ H A H B określamy entropię von Neumanna: S(ψ) = S (Tr B ψ ψ ) kwantowego

64 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Dla dowolnego stanu ρ określamy jego entropię S(ρ) = Tr(ρ log ρ) Dla stanu ψ H A H B określamy entropię von Neumanna: S(ψ) = S (Tr B ψ ψ ) Mamy: S(ψ) = i λ i 2 log λ i 2 λ i - liczby Schmidta kwantowego

65 Entropia von Neumanna Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Nieujemna kwantowego

66 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Nieujemna Znika dla stanów separowalnych kwantowego

67 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Nieujemna Znika dla stanów separowalnych Maksymalna dla stanów typu EPR kwantowego

68 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Nieujemna Znika dla stanów separowalnych Maksymalna dla stanów typu EPR Jest LOCC-monotoniczna kwantowego

69 Destylowalność Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna ma wyraźny sens operacyjny kwantowego

70 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Destylowalność Entropia von Neumanna ma wyraźny sens operacyjny Wyobraźmy sobie, że mamy m kopii dowolnego stanu ψ, ψ... ψ kwantowego

71 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Destylowalność Entropia von Neumanna ma wyraźny sens operacyjny Wyobraźmy sobie, że mamy m kopii dowolnego stanu ψ, ψ... ψ Chcemy za pomocą jakiegoś LOCC-protokołu otrzymać możliwie dużo n stanów EPR (destylacja splątania) ψ m LOCC EPR n kwantowego

72 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Destylowalność Entropia von Neumanna ma wyraźny sens operacyjny Wyobraźmy sobie, że mamy m kopii dowolnego stanu ψ, ψ... ψ Chcemy za pomocą jakiegoś LOCC-protokołu otrzymać możliwie dużo n stanów EPR (destylacja splątania) ψ m LOCC EPR n Okazuje się, że n lim m m = S(ψ)! kwantowego

73 Destylowalność Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna ma wyraźny sens operacyjny Wyobraźmy sobie, że mamy m kopii dowolnego stanu ψ, ψ... ψ Chcemy za pomocą jakiegoś LOCC-protokołu otrzymać możliwie dużo n stanów EPR (destylacja splątania) ψ m LOCC EPR n n Okazuje się, że lim m m = S(ψ)! Stan EPR służy tu jako jednostka zasobu, jakim jest splątanie kwantowego

74 Ułlady wielu cząstek Co z układami więcej niż dwóch cząstek (np. H 1 H 2 H 3 )? kwantowego

75 Ułlady wielu cząstek Co z układami więcej niż dwóch cząstek (np. H 1 H 2 H 3 )? W przeciwieństwie do układów dwóch cząstek nie ma kanonicznego stanu splątanego: GHZ = 1 2 ( ) W = 1 3 ( ) kwantowego

76 Stany GHZ i W Po odrzuceniu którejkolwiek z cząstek (częściowy ślad) stan GHZ staje się separowalny... kwantowego

77 Stany GHZ i W Po odrzuceniu którejkolwiek z cząstek (częściowy ślad) stan GHZ staje się separowalny a stan W pozostaje splątany! kwantowego

78 Stany GHZ i W Po odrzuceniu którejkolwiek z cząstek (częściowy ślad) stan GHZ staje się separowalny a stan W pozostaje splątany! W stanie GHZ cząstki są splątane tylko wszystkie naraz, a w stanie W są splątane parami kwantowego

79 Stany GHZ i W Po odrzuceniu którejkolwiek z cząstek (częściowy ślad) stan GHZ staje się separowalny a stan W pozostaje splątany! W stanie GHZ cząstki są splątane tylko wszystkie naraz, a w stanie W są splątane parami Co z innymi możliwościami? EPR EPR GHZ W + W GHZ... kwantowego

80 Desery Bibliografia Desery Splątanie stanów mieszanych Teoria odwzorowań dodatnich, kryterium Horodeckich Niezmienniki wielomianowe Uogólnione stany koherentne i wiele innych tematów. kwantowego

81 Desery Bibliografia Bibliografia K.Horodecki, M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki Quantum entanglement (arxiv: quant-ph/ ) I. Chuang, M. Nielsen Quantum Computation and Quantum Information kwantowego

82 Desery Bibliografia Bibliografia K.Horodecki, M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki Quantum entanglement (arxiv: quant-ph/ ) I. Chuang, M. Nielsen Quantum Computation and Quantum Information Na deser (niezwiązany z nauką): kwantowego

83 Desery Bibliografia Bibliografia K.Horodecki, M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki Quantum entanglement (arxiv: quant-ph/ ) I. Chuang, M. Nielsen Quantum Computation and Quantum Information Na deser (niezwiązany z nauką): students.mimuw.edu.pl/~mk249019/konkurs-bosch.html kwantowego