WYKŁAD V. IV.3. Modele konsolidacji ośrodka porowatego. ( ) 2 = ], J t G e Τ

Transkrypt

1 WYKŁAD V IV.. Modee konodacj ośrodka porowatego. W poprzednm rozdzae przyjęśmy założene, że zkeet gruntowy jet całem neodkztałcanym, a jeże dopuzczamy jakeś odkztałcena fazy tałej, to ą to tyko zmany objętoścowe. Da całego ośrodka uważa ę, że odkztałcene poega na zmane porowatośc ośrodka, która zaeży od ścśwośc zkeetu gruntowego ceczy ub gazu wypełnającego jego pory. W odneenu do zkeetu gruntowego ub kały tej można toować jednakże różne modee reoogczne. Itneje nekończene wee teoretyczne poprawnych mode opujących właścwośc mechanczne ośrodków prężytych, epko-prężytych czy też prężyto-epko-patycznych. O tym, którego z tych mode naeży użyć do opu właścwośc ntereującego na materału, decydują wynk badań aboratoryjnych w połączenu z możwoścą właścwej w marę dokładnej nterpretacj tych wynków przez wybrany mode reoogczny. W wękzośc wypadków zdarza ę tak, że m bardzej kompkowany jet mode teoretyczny ośrodka, tym epej za jego pomocą można opać wynk dośwadczeń, ecz ze wzgędu na woją kompkowaną naturę mode tak mnej ę nadaje do konkretnych obczeń prognotycznych. Jeże zkeet ośrodka traktuje ę jako jednorodne cało jednofazowe, to proce naprężeneodkztałcene opywany jet najczęścej równanem kontytutywnym cała Botzmanna [Fung, 969]. Najogónejzym prawem wążącym odkztałcena naprężena w teor epko-prężytośc ośrodków jednorodnych zotropowych ą dwa zwązk: t J ( η) ϑj = J ( O) τ j ( t) + τ j ( t η) dη, η o t I( η) γ o = I( O) o( t) + o( t η) dη. η o (.) Funkcja pełzana odkztałceń potacowych J(t) funkcja pełzana odkztałceń objętoścowych I(t), użyte w powyżzych wzorach, jednoznaczne defnują cechy reoogczne przyjętego modeu ośrodka. Dewator naprężena τ naprężene średne tworzą tenor naprężena Cauchy ego : j j = τ j + mδj, a dewator odkztałcena ϑ j odkztałcene średne γ o pozwaają uzykać tenor nfntyzymanego odkztałcena ej = ϑj + γ oδj. W wyrażenach tych użyto dety Kronecker aδ j. W najprotzych modeach trukturanych zakładano, że prawo objętośc jet prężyte, a węc I(t)=K o, gdze K o jet modułem ścśwośc objętoścowej. Funkcje pełzana odkztałceń potacowych da najprotzych mode reoogcznych, których reprezentacje mechanczne można utworzyć z tłumków prężyn wg Bauera nnych [978], mają potać: cecz Newtona: t J ( t) =, η cecz Maxwea: t J ( t) = G( + ), Τ t cało Voghta: J( t) G[ e = ], ( ) t Τ [ ( ) ] J t G e Τ =, Τ cało Zenera: gdze: m

2 4 4 η[ K + G + G] η =, =, G 4 G ( K + G ) η =, G przy czym: G, G, G ą to moduły odkztałcena poprzecznego, η - jet wpółczynnkem epkośc potacowej. Jak wdać, nawet prote modee reoogczne mają potać kompkowaną. W procee wyboru reoogcznego równana tanu da rozpatrywanego materału do głou dochodz komprom mędzy dobrym dopaowanem ę do opywanej rzeczywtośc w ka makrokopowej a prototą modeu. Datego naeży zwrócć zczegóną uwagę na mode cała prężytego. Przytłaczająca wękzość praktyczne używanych mode reoogcznych poada op cechy prężytośc po odpowednch przejścach grancznych, czy po wyemnowanu opu nnych włanośc, prowadza je do modeu Hooke a - cała deane prężytego. Dzałem mechank, gdze powyżze modee znaazły totne zatoowana, jet mechanka gruntów kał. Op reoog gruntów kał czytenk znajdze w pracach Kea [Kea, 977], [Kea nnych, 976], [Dembckego, 97, 98b],. W pracach tych pokazano, że oprócz prób przedtawena zachowana ę gruntu ub kały w potac modeu reoogcznego cała cągłego tnały próby przedtawena modeu opującego zachowane ę takego ośrodka z uwzgędnenem włanośc fazy tałej cekłej ub gazowej w ka porów. W nazych dazych rozważanach zajmemy ę tego typu zwązkam fzycznym da opu pełnejzego oddzaływana przepływu ftracyjnego na odkztałcena ośrodka dwufazowego złożonego ze prężytego zkeetu łabo ścśwej ceczy. Równana tego modeu zotały podane po raz perwzy przez Bota, Wa w 97 [Bot, W,97], a natępne uzczegółowone przez Bota [Bot, 95, 94a, 94b, 954], a natępne wyprowadzone z podtawowych praw termodynamk proceów neodwracanych przy uwzgędnenu twerdzena Onagera w 956 [De Groot, Mazur, 965]. IV... Mode poroprężytośc Bota - Darcy ego. IV... Założena wtępne. Zakładamy wtępne, że ośrodek kłada ę z porowatego cała tałego tworzącego w przetrzen ośrodek cągły. Formułując woja teorę M.A. Bot przyjął, że pełna ona natępujące podtawowe założena: ośrodek jet dwufazowy. Składa ę ze prężytego porowatego zkeetu oraz łabo ścśwej ceczy newtonowkej wypełnającej pory zkeetu; ośrodek porowaty jet całem jednorodnym, zotropowym; deformacje zkeetu ą małe, węc można pomnąć nenowe człony tenora odkztałcena ε, węc: j ε j u u j = + ; (.) x j x naprężena j w zkeece ośrodka porowatego odnoć będzemy do całkowtej powerzchn przekroju VER, mmo że w rzeczywtośc naeżałoby tę powerzchnę pomnejzyć o poe zajęte przez pory (naprężene rozmyte). W odneenu do ceczy wprowadzmy pojęce naprężena porowego ceczy, zwązanego z cśnenem efektywnym ceczy zwązkem: = fp, (.)

3 gdze f okreśa porowatość objętoścową ośrodka porowatego. Jet ono równeż odneone do całkowtej powerzchn przekroju VER; porowatość ośrodka f uważa ę za wekość tałą,która mama charakter tatytyczny; do opu proceów przyjmemy układ odneena Euera. IV... Równana cągłośc przepływu ośrodka dwufazowego. Nech jet protopadłoścenną przetrzeną o nekończene małych krawędzach dx, dy, dz wypełnoną ośrodkem dwufazowym złożonym: z porowatego zkeetu prężytego ceczy wypełnającej jego pory. Okreśmy przez S powerzchnę ścany eementu przetrzennego, a wektor n jet jednotkowym wektorem normanym do powerzchn S, kerowanym na zewnątrz eementu. Przez v v oznaczać będzemy odpowedno wektory prędkośc ftracj ceczy r zkeetu ośrodka, a v = v v okreśa kładowe wzgędnej prędkośc przepływu ftracyjnego ceczy przez ośrodek porowaty. Jeże ρ ρ oznaczają koejno gętość właścwą zkeetu ceczy, to możemy okreść wekość gętośc zkeetu ρ ceczy ρ, odneone każda z nch do objętośc całkowtej obzaru. Oznaczając przez f porowatość objętoścową, możemy obczyć te gętośc: ρ = ( f ) ρ ρ = fρ. Przez ρ oznaczać będzemy gętość ośrodka dwufazowego równą, co do wartośc ume: przepływającej przez ścanę S: f ρ ρ = ρ + ρ. Wartość ρ oznaczać będze gętość ceczy ρ = A, gdze A f oznacza porowatość powerzchnową. Przepływ may całkowtej (zkeetu ceczy) przez ścanę o powerzchn S jet równy: ρv nds + ρ ( v v ) nds + d =. (.4) S S Stąd korzytając z twerdzena Gaua Otrogradzkego równane cągłośc przepływu ośrodka dwufazowego złożonego z ceczy zkeetu ma potać: D ρ + ρε = r [ ρ v ], D t ρ t ɺ, (.5) gdze D oznacza pochodną maową wyrażoną wzorem: D = + v t x, (.6) a εɺ oznacza prędkość zmany dyatacj zkeetu równa co do wartośc, Możemy natępne obczyć przepływ ceczy przez powerzchnę S. Wyraz ę on wzorem: v. ρv nds + ρ ( v v ) nds + d =. (.7) S S ρ t Stąd dotajemy równane cągłośc przepływu fazy cekłej w potac: r D ρ + ρ ( ɺ θ ɺ ε ) = ( ρ v ), (.8),

4 gdze r D r D t x. jet pochodna maową wyrażoną wzorem = + ( v v ) Zakładając, że faza tała jet neruchoma ( v = ), a przez pory przeącza ę ścśwa cecz, równane cągłośc przepływu ma en tyko w odneenu do fazy cekłej ośrodka prowadza ę do potac: ( ρ ) dv( ρv) = t. (.9) aką potać równana cągłośc uzykaśmy w poprzednm podrozdzae IV...4 wzór Błąd! Ne można odnaeźć źródła odwołana. da modeu hydrodynamcznego przepływu ftracyjnego. Wdać węc, że w przejścu grancznym dotajemy poprzedno wyprowadzone równana cągłośc przepływu. IV... Równana ruchu fazy tałej cekłej. Aby uzykać równana równowag da fazy tałej cekłej ośrodka dwufazowego, wprowadzmy dodatkowe defncje założena wprowadzone przez Bota [Bot, 956a, 956b]: energę knetyczną ośrodka dwufazowego możemy wyrazć wzorem: z warunkam: ρ ρ ρ (.) K = ( v v + v v + v v ) d ρ + ρ = ρ > ; ρ + ρ = ρ > ; ρ <, gdze ρ jet nowym parametrem o wymarze gętośc okreśającym dynamczne przężene pomędzy dwoma fazam ośrodka; funkcja dyypacj jet formą kwadratową zaeżną od prędkośc wzgędnej przepływu ftracyjnego, którą można wyrazć w natępujący poób: W, (.) = bv v d r r d gdze b jet wpółczynnkem oporu ftracyjnego pełnającym warunek b>; korzytając z równana (.) można okreść objętoścowe ły wewnętrzne wynkające z oporu epkego przepływającej ceczy przez pory ośrodka. Sły dzałające na zkeet ośrodka wynozą: M W r = = bv d v (.) d na cecz M W r = = bv d v, (.) d kładowe okanego wektora pędu zkeetu ceczy można obczyć ze wzoru: ( ρ ρ ), (.4) P = v + v d

5 . (.5) P = ( ρ v + ρ v ) d Prawo zachowana pędu fazy tałej ośrodka można wyrazć wzorem: S D P jn jds + b( v v ) d + ( ρ ρ ) X d = d, (.6) gdze jn j oznacza naprężena w zkeece dzałające na powerzchnę S, a przez X - ły cężkośc na jednotkę may całkowtej. Równane (.7), po wykorzytanu twerdzena Gaua Otrogradzkego, pozwaa na uzykane okanego równana ruchu fazy tałej ośrodka w potac: gdze D r D v D v j, j + X ( ρ ρ) = bv + ρ + ρ, (.7) jet pochodną materaną wyrażona wzorem: D = + v t x. Da fazy cekłej ośrodka prawo zachowana pędu prowadza ę do potac: gdze D n D P nds + b( v v ) d + ρ X d = d, (.8) S jet pochodną materaną wyrażona wzorem: D = + v t x, oznacza naprężena w ceczy dzałające na całkowtą powerzchnę S. Naprężene rozmyte w ceczy równa ę co do wartośc: = pf, (.9) przy czym p oznacza cśnene efektywne w ceczy. Równane (.8) po wykorzytanu twerdzena Gaua - Otrogradzkego pozwaa na uzykane równana ruchu fazy cekłej ośrodka w potac: r D v D v, + X ρ = bv + ρ + ρ. (.) Da przypadku przepływu qua tatycznego można pomnąć człony reprezentujące ły bezwładnośc ceczy zkeetu równana ruchu da każdej z faz można zapać w potac: r j, j + X ( ρ ρ) = bv, (.) + X ρ = bv. (.) r, Sumaryczne równane ruchu da obydwu faz ma w tym przypadku potać:, + + X ρ =. (.) j j,

6 W przypadku, gdy zkeet ośrodka wykazuje ę jedyne ścśwoścą jet w wojej mae neodkztałcany, równane (.) trac en, gdyż zkeet jet neruchomy tenor naprężena reprezentuje tyko część kutą tenora, a równane (.) prowadza ę do potac równana przepływu ftracyjnego Darcy egobłąd! Ne można odnaeźć źródła odwołana. w modeu hydrodynamcznym przepływu, które można zapać w potac: H =. (.4) v k x IV...4. Zwązk kontytutywne cała Bota. Zwązk kontytutywne modeu Bota wyprowadzmy z termodynamk proceów neodwracanych. Probem uzykana zwązków kontytutywnych był tematem pubkacj weu pubkacj, w tym medzy nnym Bota [Bot, 956a ], Strzeeckego [Strzeeck, 979, 6], Derkego [Derk, 964a,964c, 969b, 975], Szefera [Szefer, 98a, 98b], Gazyńkego [Gazyńk, 98], Couy ego [Couy, 995]. Skorzytajmy z perwzego prawa termodynamk, które możemy przedtawć w potac: D Lɺ + Qɺ = ( W + K ), (.5) gdze: przez L okreśamy pracę wykonaną przez ły wewnętrzne, ły cężkośc ły pochodzące od oporu epkego przepływającej ceczy; Q oznacza cepło generowane podcza przepływu ftracyjnego odkztałceń zkeetu ośrodka porowatego; W oznacza energę wewnętrzną; K wyrażaenergę knetyczną. Zapzemy oddzene perwze prawo termodynamk proceów neodwracanych da każdej z faz oddzene, przy czym będzemy używać wkaźnka da fazy tałej ośrodka da fazy cekłej. Moc ł wewnętrznych zkeetu wyraża ę wzorem: Moc ł cężkośc zkeetu ośrodka: ɺ. (.6) A L = ( j + δj ) v n jds L P S ( ρ ρ ) ɺ. (.7) = X v d Moc ł oporu epkego ceczy odneona do zkeetu: ( ) ɺ. (.8) L = b v v d D Poneważ moc jet wekoścą kaarną, węc całkowta moc ł dzałających na zkeet ośrodka wyno: Lɺ = Lɺ + Lɺ + Lɺ. (.9) A P D Prędkość zman cepła w zkeece ośrodka wyraża ę wzorem: gdze ɺ, (.) Q = q d, q ą to kładowe trumena cepła przepływającego przez fazę tałą ośrodka. Pochodna materana energ knetycznej da fazy tałej ośrodka wyno:

7 D K D v D v = ( ρv + ρv ) d Pochodna materana energ wewnętrznej da zkeetu wyno:. (.) DW w ɺ d, (.) = gdze wɺ oznacza prędkość zmany okanej energ wewnętrznej zkeetu. Borąc pod uwagę wzory od (.6) do (.) perwze prawo termodynamk w odneenu do fazy tałej ośrodka można wyrazć wzorem: Dv Dv wɺ + ρv + ρv d =. (.) = X ( ρ ρ ) v b( v v ) v + ( j + δj ) ɺ εj + ( j, j +, ) v q, d. Korzytając z równań (.7) (.), równane (.) można przedtawć w potac zwązku okanego wyrażającego wekość energ wobodnej odneonej do fazy tałej ośrodka: ( ) wɺ = v + + δ ɺ ε q. (.4), j j j, Da ceczy moc ł wewnętrznych w ceczy jet równa: Moc ł cężkośc ceczy: ( ) L ɺ = v v n ds. (.5) A S ɺ, (.6) L p a moc ł oporu epkego w ceczy: = ρ X v d ( ) ɺ. (.7) L = b v v v d D Prędkość zman cepła w ceczy wyno: ɺ, (.8) Q = q d gdze q to kładowe wektora trumena przepływu cepła: Pochodna materana energ knetycznej ceczy K wyno:, k k D v D v = ρv + ρv d k D K. (.9)

8 Pochodna materana energ wewnętrznej ceczy w obzarze można wyrazć wzorem: k D W w ɺ d. (.4) = Korzytając ze wzorów (.5) oraz wzorów od (.5) do (.4), perwze prawo termodynamk da ceczy wyraża ę zwązkem: Dv Dv wɺ + ρv + ρv d =. (.4) = X ρv + b( v v ) v +, ( v v ) + ( ɺ θ ε ) q ɺ, d W powyżzej reacj przez θ ɺ oznaczono prędkość zmany dyatacj ceczy, a przez εɺ prędkość zman dyatacj zkeetu ośrodka. Borąc pod uwagę równane ruchu ceczy (.), równane (.4) można zapać w potac zwązku okanego: ( ɺ ɺ) wɺ = v + θ ε q. (.4),, Można założyć, że prędkość zmany energ wewnętrznej ośrodka dwufazowego wɺ jet równa ume prędkośc zman energ każdej z faz ośrodka wɺ, wɺ, węc: wɺ = wɺ + wɺ. (.4) Oznaczając przez q kładowe prędkośc przepływu cepła ośrodka dwufazowego (zkeet + cecz), można twerdzć, że: q = q + q. (.44) Korzytając z powyżzych zwązków (.4) (.44) oraz z równań (.4) (.4) możemy twerdzć, że zmana energ wewnętrznej ośrodka dwufazowego wyno: w = ɺ ε + θ ɺ q ɺ. (.45) j j, Perwza zaada termodynamk okreśa zwązek pomędzy pracą mechanczną cepłem. Wyraża ona ban energ ne wno ogranczeń na kerunek proceu zmany tanu cała. W zagadnenach mechank kaycznej cał deane ztywnych możemy mówć o wzajemnej zamane energ potencjanej w knetyczną zakładając oczywśce, ze w układze ne ma dyypacj energ generowanej na przykład na kutek wzajemnego tarca czątek. Gdy w układze zaczynają wytępować zmany termczne, mamy do czynena z proceam neodwracanym. W takm przypadku mumy odwołać ę do drugego prawa termodynamk, które nakłada totne ogranczena na proce zman tanu energetycznego układu. Ceem opana zjawk neodwracanych wprowadza ę w termodynamce funkcję zmany tanu zwaną entropą. Aby okreść ogranczene kerunków zman tanu układu, druge prawo termodynamk wprowadza nerówność twerdzającą, że zmana entrop wewnętrznej układu jet zawze dodatna ub równa zeru w przypadku proceu neodwracanego, zwana nerównoścą Cauua Duhema. W mechance ośrodków cągłych wg. Derkego [Derk, 975], De Groota, Mazura [De Groot, Mazur, 965] wprowadza ę funkcję entrop właścwej merzonej na jednotkę objętośc, co można wyrazć wzorem:

9 . (.46) S = d Zdefnujmy entropę właścwą w potac: dq d =, (.47) przy czym: jet temperaturą bezwzgędną, dq jet przyrotem cepła na jednotkę objętośc. różnczka d jet różnczką zupełną. Poneważ w przypadku ogónym cało może wymenać cepło z otoczenem, prędkość zman entrop jet umą prędkośc zman entrop S z wkutek wymany cepła z otoczenem prędkośc zman entrop wewnętrznej, co można zapać równanem: ds ds ds dt dt dt w z = +. (.48) Entropa zwązana z wymaną cepła z otoczenem wyraża ę zwązkem: dsz dq = = dt dt q, d, (.49) co prowadza ę do równana okanego w potac: dz dt = q. (.5), Jak wdać z zaeżnośc (.5), entropa S z może meć wartość dodatną, ujemną, ub równą zeru w zaeżnośc od kerunku przepływającego cepła od jego dywergencj. Inaczej ma ę prawa z entropą wewnętrzną S w. Jej zmana w jednotce objętośc układu mu pełnać nerówność Cauua-Duhema, co w zape okanym można przedtawć w poób natępujący: d w dt. (.5) Jeże korzytamy z defncj entrop, wyrażoną wzorem (.49), prędkość zmany entrop możemy zapać zwązkem: gdze ɺ q = = ɺ, (.5), Sz d zd ɺ z jet prędkoścą zmany entrop okanej, a okreśa temperaturę aboutną ośrodka. Korzytając ze wzoru (.46) oraz równana (.5), zmanę energ wewnętrznej ośrodka możemy wyrazć równanem: wɺ = ɺ ε + θ ɺ + ɺ. (.5) j j z Aby uzykać zwązk kontytutywne, korzytamy z defncj energ wobodnej Hemhotza wyrażającej ę wzorem:

10 F = W S. (.54) Energa wobodna Hemhotz a, podobne jak energa wewnętrzna W, jet funkcją tanu ośrodka. Jeże zmany tanu ośrodka ą nekończene małe, zmanę funkcj tanu F można wyrazć przy pomocy defncj różnczk zupełnej df : df = dw ds Sd. (.55) Proce zotermczny. W przypadku proceów zotermcznych mamy: węc w takm przypadku: d =, (.56) df = dw ds. (.57) raktując różnczkę zupełną funkcj Hemhotza F jako zmanę tej funkcj tanu w czae, co możemy napać w potac: Fɺ = Wɺ Sɺ = Wɺ Sɺ w + Sɺ z (.58) oraz wprowadzając funkcję okaną energ wobodnej Hemhotz a χ pełnającą zwązek: F, (.59) = χd równane (.58) wyraża ę w ka okanej natępująco: ɺ χ = ɺ ε + θ ɺ ɺ. (.6) j j w Stąd dotajemy: = ɺ ε + θɺ ɺ χ ɺ. (.6) w j j Kładąc: χ = χ( εj, θ ), (.6) na podtawe (.6) dotajemy: j ɺ εj + ɺ θ (.6) ε j θ da każdych ɺ ε,. Powyżze równane jet pełnone, gdy: j θ ɺ j = (.64) ε j

11 =. (.65) θ Poneważ funkcja zmany energ wobodnej Hemhotza jet różnczką zupełną, węc: dχ = εj + ɺ θ ε θ j ɺ. (.66) Rozwjając w zereg ayor a funkcję energ wobodnej χ w okocach tanu naturanego znajdujemy: (,) (, ) χ ( εj, θ ) = χ (,) + εj + θ + ε θ j (,) (,) (,) ) χ χ χ + εjε k + εjθ + θθ +. εj ε k εj θ θ θ Poneważ w tane naturanym (neodkztałconym) funkcje: χ (,), (,) oraz (,) zeru, węc z dokładnoścą do małych drugego rzędu możemy zapać: gdze (,) χ βj = ε θ j (,) χ γ = θ θ ( ) j (.67) ą równe χ ε, θ = c ε ε + β ε θ + γθθ, (.68) j jk j k j j c jk (,) χ =, (.69) ε ε j k, (.7). (.7) Korzytając ze zwązków (.64) (.65) uzykamy zwązk kontytutywne cała Bota w przypadku dowonej anzotrop ośrodka dwufazowego: = c ε + β θ, (.7) j jk k j = β ε + γθ. (.7) j j Mmoże ne korzytaśmy z prawa ymetr Onagera, uzykaśmy zwązk kontytutywne pełnające to prawo. W przypadku, gdy na wekość cśnena porowego mają wpływ jedyne odkztałcena objętoścowe ceczy, co powoduje, że βj = βδj,wtedy uzykujemy uprozczoną potać zwązków kontytutywnych Bota: = c ε + βδ θ (.74) j jk k j oraz

12 = βε + γθ. (.75) W przypadku zkeetu zotropowego tenor prężytośc dwóch tałych prężytośc zdefnowanych, przez Bota w potac: ( ) c = Aδ δ + N δ δ + δ δ. (.76) jk j k k j jk c jk można wyrazć przy pomocy Używając oznaczeń wprowadzonych przez Bota, wprowadzmy dwe nowe tałe: β = Q γ = R. (.77) Zwązk kontytutywne po wprowadzonych oznaczeń prowadzają ę do potac zaproponowanej przez Bota [Bot, 956]: ( ) = Nε + Aε + Qθ δ, j j j = Qε + Rθ. (.78) W pracy Bota Wa [Bot, W, 957] znterpretowano tałe wytępujące w zwązkach kontytutywnych (.78) w poób natępujący: N jet modułem odkztałcena potacowego zkeetu, A jet modułem odkztałcena objętoścowego zkeetu wypełnonego ceczą, Q jet wpółczynnkem wpływu odkztałcena objętoścowego ceczy na naprężene w zkeece ub odwrotne - wpółczynnkem wpływu odkztałcena objętoścowego zkeetu na naprężene w ceczy, R jet modułem odkztałcena objętoścowego ceczy wypełnającej pory cała Bota, parametr M wyraża ę poprzez: Q M = A. R Stałe M N Bota odpowadają w przypadku ośrodka prężytego pozbawonego por tałym Lamego λ µ. ake oznaczene tałych Bot przyjął konekwentne toował w wojej pracy Couy [ Couy, 995]. Na podtawe pracy Bota, Wa [Bot, W,957 ] można w takm przypadku wyrazć tałe prężytośc Bota przy pomocy modułu odkztałcena potacowego G wpółczynnka Poona υ : N = G M = υ G ( υ ). (.79) Spoób wyznaczana pozotałych tałych modeu Bota czytenk znajdze w pracy [Fatta, 959]. Proce adabatyczny. Da adabatycznych zman tanu zmana entrop wywołana wymaną cepła z otoczenem jet równa zero, węc: d z dt =. (.8) Korzytając ze wzoru (.8) oraz równana (.5) zmanę energ wewnętrznej ośrodka da proceu adabatycznego możemy wyrazć równanem: w = ɺ ε + θ ɺ ɺ. (.8) j j

13 Aby uzykać zwązk kontytutywne, korzytamy z defncj energ wobodnej Hemhotza wyrażającej ę wzorem: F = W S. (.8) Energa wobodna Hemhotz a, podobne jak energa wewnętrzna W jet funkcją tanu ośrodka. Jeże zmany tanu ośrodka ą nekończene małe, zmanę funkcj tanu F można wyrazć przy pomocy defncj różnczk zupełnej df : df = dw ds Sd. (.8) Poneważ w przypadku proceu adabatycznego: węc w takm przypadku: S ɺ z =, (.84) df = dw Sd S ɺ w. (.85) raktując różnczkę zupełną funkcj Hemhotz a F jako zmanę tej funkcj tanu w czae, co możemy napać w potac: F ɺ = W ɺ S ɺ S ɺ w (.86) oraz wprowadzając funkcję okaną energ wobodnej Hemhotz a χ pełnającą zwązek: F (.87) = χd równane (.85) wyraża ę w ka okanej równanem: ɺ χ = ɺ ε + θɺ ɺ ɺ. (.88) j j w Z tego wynka, że: = ɺ ε + θ ɺ ɺ ɺ χ ɺ. (.89) w j j Kładąc dotajemy : χ = χ( ε, θ, ), (.9) χ χ j ε j θ χ ɺ + ɺ + ɺ, (.9) ε j θ z czego uzykujemy: j j =, (.9) ε j =, (.9) θ

14 =. (.94) emperaturę bezwzgędną możemy przedtawć w forme umy: = + ϑ, (.95) przy czym oznacza temperaturę bezwzgędną tanu naturanego cała na przykład ϑ / <<. 8 K ( ), a ϑ jet przyrotem temperatury zazwyczaj Rozwjając w zereg ayor a funkcję energ wobodnej χ w okocach tanu naturanego znajdujemy: (,, ) (,, ) (,, ) χ ( εj, θ, ϑ ) = χ (,, ) + εj + θ + ϑ ε θ ϑ (,, ) (,, )) (,, )) χ χ χ + [ ε ε + θθ + ϑϑ + j k εj ε k θ θ ϑ ϑ (,, ) (,, ) (,, ) χ χ χ + ε θ + θϑ + ε ϑ] +. j εj θ θ ϑ ε j ϑ j j (.96) Poneważ zakładamy, że w tane naturanym (neodkztałconym) funkcje χ (,, ), j (,, ) ( ) (,, ),, zapać: ą równe zeru, węc z dokładnoścą do małych drugego rzędu możemy C ( ) = c + + a j jk j k χ ε, θ ε ε γθθ ϑϑ + β ε θ + a ε ϑ + a θϑ, j j j j (.97) gdze (,, ) χ βj = ε θ j ( ) c jk (,, ) χ = ε ε j k, (.98), (.99) χ,, γ =, (.) θ θ (,, ) a j =, (.) ε ϑ a a j (,, ) = ϑ ϑ,, = θ ϑ ( ), (.). (.) Przyjęto tutaj założene, że tan naturany wytępuje, gdy cśnene w ceczy naprężena w zkeece ą równe zeru. ake założene w przypadku ceczy jet w zagadnenach przepływu ceczy

15 łabo ścśwych dopuzczane, choć zdajemy obe prawę z faktu, że właścwze byłoby przyjęce tanu naturanego odpowadającego ytuacj, gdy cśnene w ceczy równe jet cśnenu atmoferycznemu. ake właśne założene przyjął Couy w pracy [Couy, 995] datego uzykał zwązk fzyczne różnące ę co do tałej w odneenu do przyjętego założena. Korzytając ze zwązków (.9) (.9), uzykujemy zwązk kontytutywne cała Bota da przypadku proceu adabatycznego dowonej anzotrop ośrodka dwufazowego: = = c ε + β θ + a ϑ ad ad j jk k j j εj ad ad = = βj ε j + γ θ + aϑ θ = = a jε j + aθ + aϑ ϑ, (.4), (.5). (.6) Mmoże ne korzytaśmy z prawa ymetr Onagera, uzykaśmy zwązk kontytutywne pełnające to prawo. W przypadku, gdy jedyne odkztałcena objętoścowe mają wpływ na wekość ad ad ad cśnena porowego, co powoduję, że β = β δ oraz α = α δ uzykujemy uprozczoną potać zwązków kontytutywnych Bota: = c ε + ( β θ + a ϑ) δ, (.7) ad ad j jk k j j j j j = + + a (.8) ad ad β ε γ θ ϑ równane entrop w potac: = a ε + a θ + a ϑ. (.9) W przypadku zkeetu zotropowego tenor prężytośc c jk można, podobne jak w przypadku proceu zotermcznego, wyrazć przy pomocy dwóch tałych prężytośc, zdefnowanym przez Bota w potac: ( ) c = A δ δ + N δ δ + δ δ. (.) ad ad ad jk j k k j jk Używając oznaczeń wprowadzonych przez Bota wprowadzmy dwe tałe: β = Q γ = R. (.) ad ad ad ad Zwązk kontytutywne po wprowadzonych oznaczeń prowadzają ę do potac: ( ) ad ad ad = N ε + A ε + Q θ + a ϑ δ, j j j ad ad = Q ε + R θ + a ϑ.. (.) Rozważmy natępne en fzyczny nowych tałych materałowych a, a, a. Dokonajmy zwężena perwzego wzoru ze zwązków(.) dotajemy: ( ad ad ) ad = m = N + A ε + Q θ + a ϑ, (.) tąd możemy obczyć wartość naprężena średnego m, które jet równe:

16 = ε + θ + ϑ, (.4) ad ad m K Q a ad ad ad gdze K = M + N jet modułem odkztałcena objętocowego zkeetu ośrodka ad porowatego, natomat Q jet wpółczynnkem wpływu odkztałcena objętoścowego ceczy na naprężena w zkeece w przypadku proceu adabatycznego. Jeże założymy, że jedyną przyczyną powodującą odkztałcena jet temperatura ϑ, to m =, możemy napać wówcza: ε = α ϑ, oraz θ = α ϑ (.5) możemy wywnokować, że: ad ad ( α α ) a = K + Q węc a <, (.6) gdze α jet wpółczynnkem nowej rozzerzanośc cepnej porowatego zkeetu, a α wpółczynnkem okreśającym wpływ rozzerzanośc cepnej zkeetu na dyatację ceczy ub odwrotne, wpływ rozzerzanośc cepnej ceczy na dyatację zkeetu. Uzykany powyżej wzór na wpółczynnk a różn ę od anaogcznego wzoru uzykanego przez O. Couy [Couy, 995]. Według cytowanej pracy wpółczynnk a zaeży jedyne od nowej rozzerzanośc cepnej zkeetu modułu odkztałcena potacowego ad K. W przypadku drugego ze wzorów(.), gdy założymy, że jedyną przyczyną powodującą odkztałcena jet temperatura ϑ, to = możemy twerdzć, że: ε = α ϑ, oraz θ = α ϑ, (.7) uzykujemy węc wartość tałej a w potac: ad ad ( α α ) a = Q + R. (.8) a jet węc równeż wekoścą ujemną zaeży od wprowadzonej już poprzedno tałej α, będącej wpółczynnkem okreśającym wpływ rozzerzanośc objętoścowej zkeetu na dyatację ceczy oraz tałej α, reprezentującej wpółczynnk rozzerzanośc cepnej ceczy. Rozważmy obecne trzece z równań (.9), które możemy zapać w potac: = a ε + a θ + a ϑ. (.9) Wykonajmy operacje różnczkowana po czae: ɺ = aɺ ε a ɺ θ a ϑ ɺ. (.) Jak wadomo, wekość d dt jet marą ośc cepła wytworzonego w jednotce objętośc rozważanego obzaru w procee zmany temperatury, gdy odkztałcene ośrodka konodującego jet tałe (prędkość dyatacj zkeetu ceczy c jet równa zeru). Wekość taka okreśana jet manem V cepła właścwego przy tałej objętośc. Poneważ α a ą ujemne, węc a < a < wyno:

17 a ρc V. (.) Znak równośc w przybżenu wynka z założena, ze temperatura ϑ jet bardzo mała w porównanu z temperaturą. Równane entrop (.) można zapać w potac: ɺ = aɺ ε a ɺ θ + ρc ɺ ϑ (.) V Poneważ ɺ (.) = q, oraz na podtawe prawa przewodnctwa cepnego Fourera: q = λ ϑ, (.4) możemy zapać: ɺ, (.5) = λ ϑ gdze λ jet wpółczynnkem przewodnctwa cepła ośrodka konodującego (wpóne fazy tałej cekłej ośrodka). Uwzgędnając wyrażena (.6) (.8) oraz równane (.), możemy równane entrop zapać w potac równana przewodnctwa cepnego: ϑ ɺ ε ɺ θ ɺ ϑ, (.6) κ P P4 = gdze P ad ad ( K α + Q α ) =, ρc κ V P 4 ad ad ( Q α + R α ) λ = κ =. (.7) ρc κ ρ V c v Równana termodynamk proceów neodwracanych pozwoły węc na okreśene zwązków kontytutywnych da prężytego ośrodka porowatego, którego pory wypełna łabo ścśwa cecz da przypadku proceu adabatycznego w potac: ( ) ad ad ad = N ε + A ε + Q θ + a ϑ δ, j j j ad ad = Q ε + R θ + a ϑ. oraz równana przewodnctwa cepnego w potac: (.8) ϑ Pɺ ε Pɺ 4θ = ɺ ϑ. (.9) κ Zagadnenam równań termomechankośrodków porowatych zajmował ę równeż [Kubk,, 4]. IV...5. Równana poroprężytośc Bota Darcy ego.

18 Wyprowadzone równana ruchu fazy cekłej tałej ośrodka, równana cągłośc przepływu oraz zwązk kontytutywne pozwaają zapać zborczy układ równań nowej teor konodacj Bota Darcy ego w przypadku proceu zotermcznego w przemezczenach zkeetu funkcj naprężena w ceczy w potac: H D v D v R H D v D v R R, N u + ( M + N ) ε, + X ρ =, + ρ + ρ C + X ρ = ɺ ɺ ε + ρ + ρ, (.) gdze: k Q H = Q + R, C =, M A, f = R (.) k jet wpółczynnkem ftracj Darcy ego. W przypadku, gdy proce traktujemy jako qua-tatyczny, możemy pomnąć ły bezwładnośc Bota układ równań teor konodacj Bota Darcy ego możemy zapać w potac: H N u + ( M + N ) ε, + X ρ =,, R (.) H C + X ρ = ɺ ɺ ε. R R W nektórych przypadkach zakłada ę, że truktura materału podega jedyne bardzo małym odkztałcenom ub jet wręcz neodkztałcana. Wówcza wprowadzając brak odkztałceń potacowych przy wytępowanu cechy ścśwośc ośrodka uzykujemy da przypadku zagadnena jednowymarowego równane konodacj erzaghego [erzagh, 95, 948,954] w potac: c vc = ɺ, (.) x k gdze cvc =, przy czym m vc jet wpółczynnkem zagęzczena ośrodka. ρ gmvc Mode erzaghego opuje proce jednooowej konodacj powodowany wypływem ceczy wynkającą tąd zmaną porowatośc, a ne opuje konodacj wywołanej odkztałcanoścą zkeetu ceczy. eora erzaghego zotała w atach trzydzetych XX weku pozerzona na przypadk trójoowej konodacj przez Gerevanova [Gerevanov, 948] Forna [Forn, 959]. Nazym zdanem użyta przez cytowanych autorów metodyka jet dykuyjna. Proce trójwymarowej konodacj prawdłowo opuje mode poroprężytośc Bota Darcy ego, w którym w przypadku braku wytarczających danych umożwających wyznaczene parametrów modeu można wprowadzć pewne założena uprazczające. Ne prowadzą one jednak w żadnym wypadku do równana konodacj erzaghegoda przypadku trójwymarowego, zaproponowanego przezgerewanowa Forna. Szerzej zagadnene przejśca grancznego z modeu Bota do modeu erzaghego nterpretacj wpółczynnków efektywnych obydwu mode ch reacj omówmy w rozdzae VIII. Układ równań konodacj da przypadku ośrodka, w którym pomjamy odkztałcena potacowe zkeetu, a uwzgędnamy jedyne ścśwość fazy tałej cekłej ośrodka dwufazowego, prowadza ę dorównań uzykanych da modeu hydrodynamcznego przepływu ceczy omówonego w podrozdz. 4.. IV...6. Równana termo-poroprężytośc ośrodka porowatego wypełnonego łabo ścśwą ceczą. Wyprowadzone równana ruchu fazy cekłej tałej ośrodka, równana cągłośc przepływu oraz zwązk kontytutywne da przypadku proceu adabatycznego pozwaają zapać zborczy układ równań nowej teor termo-poropręzytośc w przemezczenach zkeetu funkcj naprężena w ceczy w potac:

19 H D v D v N u M N X P R ad ad C H D v D v + X ρ = ɺ ɺ ε + P ϑ + ρ + ρ, ad ad f R R ϑ Pɺ ε Pɺ 4θ = ɺ ϑ, κ gdze: P ad ad ad ad + ( + ) ε, + ρ = ad, + ϑ, + ρ + ρ ad ad ad ad ad k, (.4) H = Q + R, a C =, (.5) f ad ad ( K α + Q α ) =, ρc κ V P 4 ad ad ( Q α + R α ) = ρc κ ad ad ad ( ) ( α α α ) V κ λ ρ =, (.6) P = a + a = K + Q + R, (.7) ad ad P = a = Q α + R α, ad ad ad K = A + N, (.8) D oraz = + v dt t x, D = + v t x. Jak wdać, układ równań termo-poroprężytośc ośrodka porowatego zawerającego w porach łabo ścśwą cecz kłada ę z pęcu równań, w tym: trzech równań równowag zapanych w przemezczenach, równana przepływu ftracyjnego ceczy przez pory ośrodka z uwzgędnenem poa temperatury, równana przewodnctwa cepnego. Jako newadome wytępują w nch kładowe tanu przemezczena zkeetu c v u, naprężene ceczy temperatura ϑ. Jak wdać, ość równań jet równa ośc newadomych. Zadane z punktu wdzena mechank jet możwe do rozwązana.