WYKŁAD VI ivii VI.4. Plastyczność i wytrzymałość ośrodka porowatego rozdrobnionego.

Transkrypt

1 WYKŁAD VI VII VI.4. Plastyczność wytrzymałość ośrodka porowatego rozdrobnonego. IV.4. Plastyczność wytrzymałość jako cechy reologczne ośrodka gruntowego. Poprzedno omówone zostały dwe cechy model reologcznych mających swoje zastosowane w modelowanu procesów odnesonych do ośrodka gruntowego: sprężystość lepkość. Obydwe cechy opsują zachowane sę cała stałego lub ceczy, ne nakładając na ne żadnych ogranczeń. Pojęce plastycznośc wąże sę z wprowadzene ogranczena na cechę sprężystośc ośrodka. Zgodne z pracą [Ksela nnych, 98] można wyobrazć sobe cało neogranczene lepke, tzn. take, którego prędkość odkształcena zależy w określony sposób od wartośc obcążena, która to wartość może być dowolna. Ne można na pewno wyobrazć sobe cała posadającego neogranczoną sprężystość tzn. takego, którego odkształcena są odwracalne pod dzałanem każdego obcążena. Wg. Ksela [Ksel nn, 966], pojęce plastycznośc można określć w sposób następujący: Jeżel cało zachowuje sę naczej w jednym przedzale obcążeń nż w nnym, sąsednm, mówmy, że pomędzy tym przedzałam przebega granca plastycznośc. Zarówno przed, jak po przekroczenu grancy plastycznośc zachowane sę cała pod obcążenem opsywane jest zespołam cech sprężystych lepkch. Jednakże przed przekroczenem grancy plastycznośc zespół cech sprężysto-lepkch opsujący rozważane cało jest nny nż zespół opsujący to samo cało po przekroczenu grancy plastycznośc. Zgodne z defncją [Ksela nnych, 966], ośrodek gruntowy może posadać klka granc sprężystośc. [Tan, 954] proponował dla nektórych typów łów aż trzy grance plastycznośc. Jednakże każde cało poddane dzałanu nadmernych dla nego obcążeń ulega znszczenu, rozpada sę na oddzelne, nezłączone ze sobą częśc. Istneje węc granca, zwana grancą wytrzymałośc materału, której ne można przekroczyć, aby prowadzone przez nas rozważana dotyczyły tego samego cała. Podsumowując można stwerdzć, że stneją dwe cechy reologczne materału, które opsują zachowane sę tego cała pod dzałanem szeroko rozumanego obcążena: sprężystość lepkość. Istneją dwe nne cechy ogranczające stosowane dwóch cech poprzednch: granca plastycznośc granca wytrzymałośc. Granca plastycznośc bywa pojmowana neraz umowne, gdy zmana własnośc materału ne odbywa sę skokowo, lecz stopnowo [Gryczmańsk, 995]. Wg. [Olszaka nnych, 965, 966 ], [Renera, 958, 96a, 96b] [Ksela, 966, 967, 969, 98 ], grance plastycznośc należy traktować jako grancę, a ne cechę reologczną. Traktując grancę plastycznośc jako grancę, stan uplastycznena traktować będzemy jako stan reologczny po przekroczenu tej grancy plastycznośc. Inaczej ma sę sprawa z grancą wytrzymałośc. Otóż przekroczene tej grancy powoduje sytuację, w której ne mamy już do czynena z tym samym całem, jake poprzedno modelowalśmy. W technce rozróżnamy wytrzymałość materału wytrzymałość konstrukcj. Wytrzymałość materału to obcążene w określony sposób przyłożone do próbk, tj. bryły o określonych kształtach wymarach, które rejestrujemy w momence znszczenapróbk. Natomast wytrzymałość konstrukcj jest obcążenem, pod wpływem którego ulegają znszczenu pewne elementy konstrukcj, co unemożlwa jej dalsze wykorzystane. W przypadku typowych materałów budowlanych, jak na przykład stal, drewno, beton, tworzywa sztuczne z punktu wdzena wytrzymałoścmamy na myśl określony przypadek wytrzymałoścowy, dla którego ową wytrzymałość określamy. Mamy węc wytrzymałość na ścskane, rozcągane, zgnane, ścnane, skręcane. W mechance gruntów przyjmowano, że mamy czynena tylko z jednym przypadkem wytrzymałoścowym wytrzymałoścą na ścnane. W laboratorum zjawsko ścnana gruntu możemy zaobserwować w aparace bezpośrednego ścnana lub w aparace trójosowego ścskana. W tym drugm możemy obserwować proces odkształcene naprężena. Obserwując proces odkształcana sę próbk pod wpływem wzrastającego obcążena ponowego możemy stwerdzć, że próbk nektórych gruntów ulegają przy pewnej welkośc obcążena znszczenu rozpadają sę na dwe częśc. W nnych próbkach ne obserwujemy rozpadu próbk. Próbka przyjmuje kształt beczk, na powerzchnktórej czasem, choć ne zawsze, można zaobserwować rysy sugerujące proces ścęca próbk. W obydwu przypadkach mamy do czynena w

2 faze końcowej dośwadczena z przekroczenem grancy wytrzymałośc gruntu, co zgodne jest z defncją Rener a [] pojęca wytrzymałośc: wytrzymałość jest to zdolność materału do przecwstawana sę znszczenu lub neogranczonym odkształcenom. W mejsce pojęca wytrzymałość używa sę w mechance gruntów nnych pojęć: nośność w przypadku zagadneń dotyczących traktowana gruntu jako podłoża budowlanego lub stateczność w przypadku skarp lub nasypów. Ne można w pełn znaleźć analog pomędzy utratą statecznośc lub nośnośc w gruntach (Ksel []) a znszczenem elementu lub całej konstrukcj. Konstrukcja po znszczenu ne może pełnć swoch poprzednch funkcj. Jest bezużyteczna. W grunce jest naczej - w obszarze uplastycznena powstaje nowa struktura szkeletu gruntowego. Tworzy sę nowy materał, ale zdolny do pracy to zgodne ze swom przeznaczenem. Nawet rozdzelene sę skarpy podczas osuwsku, nszcząc kształt perwotny skarpy, powoduje utworzene nowego kształtu, który pełn swoją rolę w zmenonych warunkach. Ksel, w swojej pracy [Ksel, 967], zwraca uwagą na umowność pojęca plastycznośc w mechance, a w szczególnośc w mechance gruntów. Trudnośc w określenu przejśca do stanu plastycznego gruntu wynkają mędzy nnym z faktu, że na odkształcena postacowe gruntu wpływa konsoldacja gruntu lepkość szkeletu gruntowego. Wpływ tych zjawsk dotyczących szkeletu ma wększe znaczene w przypadku gruntów spostych nż w przypadku gruntów sypkch. Obydwa zjawska: lepke płynęce szkeletu konsoldacja, jak pokazano to w poprzednm rozdzale, są procesam neodwracalnym. Obydwa procesy zachodzą przed osągnęcem przez grunt stanu uplastycznena podczas osągnęca tego stanu. Ne można, węc jak to sę czyn w odnesen do nnych materałów, oprzeć sę tylko na defncj neodwracalnośc zjawska funkcj dyssypacj. Stad wynka koneczność nnego potraktowana tego zjawska w gruntach. Stąd] wynka równeż wprowadzone przez [Sokołowskego, 958] [Kravtchenkę, Sblle a, 96,964], [Dembckego, 964,966] w mechance gruntów pojęce stanu grancznego. Pojęce stanu grancznego najlepej wyjaśnć, korzystając z konstrukcj kół Mohr a dla naprężeń. Na rysunku 4.6 przedstawono obwednę kół grancznych Mohr a. Rys 4.6. Obwedna kół grancznych Mohra. Poszczególne koła Mohr a przedstawają kolejne stany, przy których następuje ścęce próbk gruntu. Obwedna tych kół obrazuje stany naprężeń grancznych, jake mogą występować w badanym grunce. Zasadnczym czynnkem charakteryzującym stan granczny jest granczny opór ścnana. Opór ścnana zależy w gruntach od welu czynnków. W swojej pracy [Taylor, 948],sklasyfkował omówł szczegółowo wele z tych czynnków. Nektóre z tych czynnków maja stotny wpływ na opór ścnana tylko gruntów spostych, nne mają znaczene zarówno w przypadku gruntów spostych,jak sypkch. Ponżej omówmy w skróce podstawowe czynnk wpływające na opór ścnana gruntów. Czynnk geologczne.

3 Ta grupa czynnków ma znaczene przede wszystkm w odnesenu do gruntów spostych. Do czynnków tych zalczamy: Skład mneralny Hstora powstana pokładu (warstwy) Warunk ruchu wód podzemnych Hstora obcążena Procesy cementacj Jedyne warunk ruchu wód podzemnych mają stotny wpływ na stan granczny zarówno w gruntach spostych, jak sypkch, chocaż mechanzm wpływu jest w obydwu przypadkach odmenny. W gruntach sypkch na stan granczny wpływa przede wszystkm cśnene spływowe zależne od gradentu wysokośc hydraulczne przepływu. W gruntach spostych znaczene ma przede wszystkm wartość cśnena porowego oraz pośredn wpływ wód zwązanych z powerzchną granczna cząstek panującego w nm stanu naprężena wywołanego zarówno dzałanem pola grawtacyjnego obcążena zewnętrznego, jak równeż pola elektrycznego, wywołanego dzałanem nezrównoważonego ładunku elektrycznego cząstek gruntu spostego. Wpływ hstor geologczno-nżynerskej jest ostatno tematem welu publkacj np. [Stróżyk, Izbckego, 3 ], [Izbckego nnych, 976, 995, 3], [Jamołkowskego nnych, 985], [Kotowskego, 998]. Szczególne stotnym czynnkem wynkającym z hstor geologcznej jest proces prekonsoldacj gruntów spostych borących sę z faktu, ze w przeszłośc poddane były wększym naprężenom efektywnym nż obecne, np. na terene Polsk wywołanym dzałanem lądolodów plejstoceńskch. Do nnych czynnków należą procesy wetrzena erozj gruntu. Na własnośc gruntu w zakrese obszaru stanu grancznego mają procesy cementacj gruntu wynkające z wytrącana sę sol z wysoko zmneralzowanej wody gruntowej. Zagadnenem tym zajmowało sę welu badaczy, mędzy nnym [Choma-Moryl, 99], która badała wpływ tego czynnka na przykładze łów poznańskch. Czynnk fzyczne. Czynnk fzyczne określane są przyjętym w mechance gruntów cecham gruntu: gęstość objętoścowa, gęstość właścwa, porowatość, granca plastycznośc, granca płynnośc, stopeń plastycznośc, wskaźnk plastycznośc, wlgotność naturalna, stopeń wlgotnośc, zawartość powetrza, wodoprzepuszczalność. Ne wszystke czynnk fzyczne mają stotny wpływ na stan granczny. Nektóre z nch praktyczne ne wywerają bezpośrednego wpływu. Nektóre z nch są funkcjam nnych. Szczegółowo można zapoznać sę z nm sposobam ch określana w laboratorum w podręcznkach dotyczących Mechank Gruntów. Czynnk mechanczne. Do stotnejszych czynnków mechancznych należą: naprężene efektywne, naprężene neutralne, prędkość odkształcena, maksymalne naprężene styczne, cśnene spływowe, parametry efektywne model reologcznych gruntu.

4 Powyższe czynnk omówone zostaną szczegółowo podczas formułowana model matematycznych opsujących stan granczny gruntu. Wszystke z wymenonych czynnków są funkcjam zmennych przestrzennych czasu. Wywerają one stotny wpływ na opór ścnana gruntu. Czynnk geometryczne. Czynnk geometryczne maja bardzo stotny wpływ na opór ścnana gruntu. Do najstotnejszych zalczamy: welkość cząstek, kształt cząstek, struktura szkeletu gruntowego, porowatość. Szczególne stotneznaczene na welkość oporu ścnana ma kształt cząstek gruntu. W gruntach sypkch ma ono wpływ na zaklnowywane sę poszczególnych zaren gruntu zwększane przez to oporu ścnana. W gruntach spostych oprócz kształtu bardzo stotną rolę odgrywa wzajemne ułożene zaren względem sebe. Przebudowa struktury gruntów spostych, jej przebeg w zależnośc od procesu obcążena jest domnującym czynnkem określającym opór ścnana gruntów spostych. IV.4.. Przebeg procesu ścnana gruntu. Szkelet gruntowy składa sę ze stykających sę ze sobą zaren cząstek szkeletu ośrodka gruntowego. Istnejący przestrzenny układ zaren tworzy określoną strukturę. W przypadku gruntów sypkch schemat funkcjonowana konstrukcj, w której sły przekazywane są z zarna na zarno poprzez styk cało stałe cało stałe, dobrze opsuje układ statyczny zagadnena. Poneważ powerzchna styku zaren jest znaczne mnejsza od przecętnego wymaru charakterystycznego dla zaren można stwerdzć, że naprężena występujące na tych powerzchnach są znaczne wększe od naprężeń średnch wewnątrz zarna. Sły przekazywane z zarna na zarno zazwyczaj ne są normalne do powerzchn, węc stneje naturalna podatność poślzgu jednego zarna po powerzchn drugego, gdy przekroczona jest sła oporu tarca statycznego. Po przekroczenu wartośc grancznej tarca statycznego następuje węc znszczene styku układ statyczny zamena sę na knetyczny. Układ przed przekroczenem sł tarca możemy nazwać układem węzach stykowych. Można by przyjąć, że utrata jednej węz jest początkem procesu ścnana. Jednakże proces ten może sę zatrzymać, jeżel pozostałe styk lub styk pozostałe wraz z powstałym nowym stykam po przemeszczenu zarna mogą zmoblzować wystarczającą słę oporu na przemeszczena proces zostaje zatrzymany. Przyłożene dodatkowego obcążena lub zmana sł dzałających na zarna na skutek procesu fltracj ceczy (zmana cśnena porowego cśnena spływowego fltracj) może prowadzć do całkowtego znszczena stnejącej poprzedno struktury, jeżel sumaryczne sły oporu tarca pomędzy zarnam ne mogą zrównoważyć składowych stycznych do płaszczyzny styków sł wynkających z rozkładu sł wewnątrz ośrodka gruntowego. Tak schemat procesu ścnana zakłada, że proces ścnana jest wynkem przekroczena sł tarca na stykach zaren, natomast zarna są neznszczalne. Znszczenu ulegają jedyne węz mędzy nm. Dla ogranczonego zakresu stanu naprężena take założene jest blske prawdy. W przypadku, gdy welkość obcążeń jest duża naprężena przenoszone przez zarna są blske wytrzymałośc na ścnane materału zaren, proces ścnana polega na nszczenu równeż samych zaren w strefe ścnana gruntu. W gruntach spostych składających sę z cząstek o wymarach rzędu mkronów proces ścnana jest bardzej skomplkowany. Lczne zdjęca uzyskane przez różnych badaczy w mkroskope elektronowym (np. [Grm, 953], [Paszyc- Stępkowska, 964, 966], [Emmrch, 984], [Mtchell, 964]) wskazują, że kształt blaszk łów najczęścej zblżony jest do granastosłupa o wysokośc h znaczne mnejszej od wymarów podstawy d, mającej kształt sześcokąta wypukłego neregularnego. Grm [] podaje następujące welkośc charakterystyczne granastosłupa: Kaolnt d=,3 do 4, m Illt d=, do,3 m Motmorylont d=, do,3 m µ, h=,5 µ m, µ, h=,3 m µ, h=, m µ, µ. Mtchell w swojej prac [Mtchell, 976] twerdz, że lczba cząstek łu w g suchej masy wynos od 4,5 3 do5,5 4. Średna objętość jednej cząstk wynos -3 m 3,stąd lczba cząstek w g masy wynos około n= 4 cząstek łu.

5 Na proces ścnana oprócz stotnych czynnków geometrycznych gruntu, jak konfguracja szkeletu, kształt cząstek charakter kontaktów pomędzy cząstkam ma wpływ rozkład ładunków elektrycznych na powerzchn cząstk, stała delektryczna wody, skład chemczny wody. W przypadku tego typu gruntów szkelet składa sę z płytek tworzących w przestrzen strukturę przypomnającą budowę domku z kart lub układu tal kart, jeżel grupy cząstek sklejają sę wzdłuż płaszczyzn płytek, tworząc klastry (np. w kaolnce) rys 4.7 Rys Przykładowy układ cząstek gruntu spostego (wg.[ksela nnych, 98]). Wg [Paszyc-Stępkowskej, 964] klastry kaolntu mogą tworzyć wększe agregaty mające rozmar cząstek pyłu. Często struktura taka wykazuje cechy anzotropowośc rys4.8 Rys Układ tal kart przykładowy model klastrowy cząstek kaolntu (wg [Ksela, 98]). Woda wypełnająca przestrzene pomędzy płytkam zawera jony swobodne wymenne. Własnośc wody są odmenne w zależnośc od odległośc od powerzchn zaren oraz zależą od wzajemnego ustawena cząstek od sebe. Na wytrzymałość gruntu spostego mają stotny wpływ trzy wskaźnk struktury łu: wskaźnk porowatośc, stopeń orentacj cząstek oraz charakter kontaktów cząstek gruntu. Według Ksela [Ksel nn, 98] stopeń orentacj cząstek wyraża sę wzorem: g r w w w c cn =, (.) c gdze w c oznacza grancę skurczalnośc gruntu (wlgotność, przy której podczas suszena ustają zmany objętośc), a w cn określa grancę skurczalnośc dla rzeczywstego układu cząstek gruntu. W przypadku najbardzej uporządkowanej struktury g r = (struktura stykających sę wększym powerzchnam cząstek gruntu, a w przypadku najbardzej neuporządkowanej g r =. Wdać węc, że m bardzej wzrasta od do stopeń orentacj, tym bardzej mamy do czynena ze strukturą anzotropową ośrodka.

6 Istotnym parametrem charakteryzującym orentację cząstek jest równeż kerunek orentacj cząstek. Dla jednoznacznego określena kerunku orentacj wystarczy znajomość kątów, jake normalna do płaszczyzny tego elementu tworzy z ustalonym w przestrzen ortogonalnym wzajemne współrzędnym w kartezjańskm układze współrzędnych, znajomość trzech kątów φ, φ, φ 3. Wskaźnkem orentacj układu n-elementów względem obranego układu współrzędnych x gdze =,,3, jest wyrażene: n m = ( cos φ 3 + cos φ + cos φ3 ). (.) r Kerunek orentacj ma stotne znaczene w relacj z kerunkem dzałana obcążena. W zależnośc od tej relacj zależy podatność struktury na odkształcena. Rozróżnać będzemy dwa rodzaje kontaktów mędzy płytkam gruntu spostego: styk bezpośredn płytek styk polegający na tym, że pomędzy płytkam znajduję sę warstewka wody adsorbowanej, ścśle zwązana z powerzchną granczną płytk [rys4.8]. Woda ta ma pewne cechy cała stałego posada odmenne własnośc fzyczne w porównanu z wodą zwykłą. W każdym z tych przypadków mamy odmenny charakter oporu przecwko przesunęcu płytek względem sebe. W przypadku kontaktu bezpośrednego płytek będzemy oznaczać ten kontakt jako kontakt M-M (mnerał mnerał) wystap wówczas opór tarca statycznego. W drugm przypadku kontakt będzemy oznaczać M-W (woda mnerał) charakter oporu przecw przesunęcu jest oporem lepkm. Rys.4.9. Styk płytek gruntu spostego a) typ W-M, b) typ M-M(wg. [Ksela nnych, 98]). Wzajemnym oddzaływanem cząstek gruntu spostego zajmował sę [Houwnk, 958], który wykazał, że efekt wzajemnego oddzaływana na sebe dwóch cząstek w strefe wód zwązanych z granczną powerzchną cząstek można przedstawć w postac jednej z dwóch krzywych zobrazowanych rys. 4.3okreslajacym wartość energ wewnętrznej układu jako funkcj wzajemnego położena płytek.

7 Rys.4.3. Rozkład energ wewnętrznej układu płytek mnerałów gruntu spostego w zależnośc od odległośc mędzy nm a) przypadek dwóch położeń równowag, b) przypadek jednego położena równowag (wg.[ksela nnych, 98]). Z wykresów tych wynka, że najbardzej stateczne położene płytek występuje w punkce M, który odpowada stykow M-M, a mnej stateczne w przypadku styku W-M który odpowada punktow N na wykresach. Przejśce ze stanu określanego punktem N do stanu M wymaga przyłożena do cząstk dodatkowego obcążena zewnętrznego, konecznego do pokonana barery potencjału mędzy punktem M N, który welkość określa punkt P. Lczba kontaktów typu M-M może ulegać zmnejszenu, gdy wzrasta welkość cśnena porowego wody. Zagadnenem tym zajmowało sę welu badaczy problem lośc styków oraz ch rodzaju jest w dalszym cągu tematem lcznych publkacj. Zgodne z pracą Ksela [Ksel nn, 98], prawdopodobeństwo przejśca cząstek z położena N do M przy wykorzystanu prawa Boltzmana wynos: P p N M ' U α p = C exp kt, (.3) gdze: C stała, k =,38-6 erg/ K- stała Boltzmana, T- temperatura bezwzględna w stopnach Kelwna, natomast U maksymalna wartość stanu energetycznego cząstek wg rys.4.9. Barerę energetyczną, jaką mus osągnąć energa wewnętrzna układu, aby cząstk mnerału przeszły od stanu N do M, wynos: U p U = U α p, (.4) gdze α jak na rys.4.3. Prawdopodobeństwo przejśca odwrotnego wynos: P p M N ' U + α p = C kt. (.5) Oznaczając przez n ogólną lczbę kontaktów mędzy cząstkam w jednostce objętośc gruntu spostego, a przez n M lczbę kontaktów typu M-M dla stanu równowag pod obcążenem p, możemy zapsać:

8 ( α β ) n M U + + p = + exp n kt. (.6) Zgodne z pracą Ksela [] możlwe wszelke układy kontaktów są jednakowo prawdopodobne, węc: średna wartość p mus zależeć od każdej składowej naprężena efektywnego nezależne od jego kerunku; składowe styczne gdy j ne wpływają na średną wartość p, gdyż, jeśl wskutek ch ef j dzałana sła w pewnym punkce maleje, to zawsze stneje tak kontakt, w którym sła ta rośne. Można, węc zapsać: ef ef ef p = ( ) = = OKT. (.7) 3 Korzystając z powyższego wzoru (.7) zależnośc (.4), możemy zapsać: ef j n M n = + C exp ef ( D ), (.8) gdze: U α + β C = exp, D = kt kt. (.9) ef Welkość naprężena efektywnego jest obcążenem prekonsoldującym, które dzałało na grunt sposty w cągu ubegłej hstor. Powyższe rozważana pokazują, jak skomplkowana jest matera dotycząca fzyk procesów zachodzących w ośrodkach rozdrobnonych, a szczególne w przypadku ośrodków spostych. Do dzsaj ne ma precyzyjnej teor, która w oparcu o mechanzmy w skal cząstek mogłaby określć relacje pomędzy zmanam struktury tego ośrodka, a defnowanym przez nas procesam. Omawając proces konsoldacj gruntu zakładalśmy, że ośrodek jest całem cągłym, zdając sobe sprawę z tego, że przemeszczena objętoścowe postacowe ośrodka rozdrobnonego mogą wązać sę z lokalnąutratą węz pomędzy cząstkam lub zarnam rozpatrywanego ośrodka. Na to, że tak jest rzeczywsty przebeg procesu konsoldacj, wskazuje fakt, że proces ten jest procesem neodwracalnym. Grunt po zdjęcu obcążena ne wraca bowem do swojej poprzednej postac, następuje węc trwała zmana struktury ośrodka. Jedyne w małym przedzale obcążeń możemy mówć o odwracalnośc procesu. Jeżel węc akceptujemy zmenność struktury przed powstanem stanu grancznego, powstaje problem, jak zdefnować stan granczny w grunce. Naszym zdanem, moment tak następuje wtedy, gdy lokalne zmany struktury powodują zmany struktury w obszarze makroskopowym przejśce z jednego stanu równowag ośrodka o określonej strukturze ne powoduje powstana nowej struktury, która potrafłaby przeneść przyłożone do ośrodka obcążene ośrodek zaczyna sę rozwarstwać, a poszczególne jego elementy znajdują sę w stane ruchu. Obserwacje laboratoryjne pokazują, że procesow przemeszczana sę odłamów ośrodka po sobe towarzyszą opory lepke. Ścnane gruntu spostego powoduje zmanę wszystkch czynnków geometrycznych: wskaźnka porowatośc, stopna orentacj cząstek gruntu n n. W procese g charakter kontaktów / tym następuje bardzej równoległe ułożene płytek, a węc wzrost stopna orentacj g r oraz zmena sę lczba kontaktów typu M-M W-M. Znając lczby kontaktów M-M, które charakteryzują sę oporem tarca statycznego oraz lczbę kontaktów W-M odpowedzalnych za opór lepk, można określć całkowty opór ścnana gruntu spostego. Korzystając z pracy [Bowden a Tabora, 954], można określć za [Crawfordem, 959, 96] opór ścnana zależny od lczby kontaktów M-M na powerzchn ścnana A w postac: r M

9 A p τ s = asτ n = nm + τ n = F nm p + n n A ( ) gdze: A n - lczba kontaktów M-M na powerzchn ścęca A, M A n - lczba wszystkch kontaktów na powerzchn ścęca A, p - średna statystyczna sł normalnych do powerzchn kontaktów M-M, τ - granczny opór ścnana na płaszczyźne ścęca, n - naprężene ścskające w płaszczyźne ścęca, n τ F = n - współczynnk tarca statycznego mnerałów, n - naprężene efektywne równe Przyjmując, że ef., (.) n n A M A n n M = (.) oraz korzystając ze zwązku (.) wzór na opór ścnana można zapsać w postac: τ s E = F + + C exp ef ( D ), (.) gdze E = np, pozostałe oznaczena jak we wzorze (.). Opór tarca w kontaktach typu M-M zależy od welkośc naprężeń pochodzących od obcążena zewnętrznego naprężeń wynkających z przycągana sę cząstek w pozycj równowag M (jak pokazano to na wykrese 4.9) na tyle dużych, że wystarczających do pokonana barery potencjału w polu elektrycznym. Ta druga składowa oporu ścnana odpowada pojęcu spójnośc gruntu. Na podstawe prac [Crawford a, 959, 96] można stwerdzć, że tylko szybke ścnane pozwala zachować strukturę gruntu taką, jaka była przed ścnanem. Przy wolnym ścnanu odgrywa ważną rolę proces konsoldacj łu powązany jak wemy, z fltracją wody wolnej w procesach tych następuje powolna przebudowa struktury gruntu spostego. Zagadnenu temu pośwęcone są równeż prace [Bjerruma Smonsa, 96], [Parry ego, 965]. Proces ścnana próbek obserwowany był w welu laboratorach mechank gruntów spostych sypkch. W przypadku gruntów spostych badana prowadzono najczęścej w aparatach trójosowego ścskana. Powstało wele teor pozwalających na ops zjawska określene jego grancznych stanów. Na podstawe nektórych prac dośwadczalnych (np. [Dmtruka Suchnckej, 966] oraz pracy [Renera,958]) można dojść do defncj dwóch oporów ścnana: doraźnego oporu ścnana oraz trwałej wytrzymałośc na ścnane. Uważa sę, że opór ścnana jest nelnową funkcją czasu, a w przypadku obcążeń dynamcznych zależy od lczby n-cykl perodycznego obcążena w postac powtarzającego sę mpulsu lub harmonczne zmennego obcążena (np. fundament pod maszyną),co dla przykładu przedstawoną na rys 4.3.

10 Rys.4.3. Zależność oporu ścnana od czasu dzałana obcążena (wg Ksela []). Funkcja wążąca opór ścnana od prędkośc wzrostu obcążena może być według Ksela [Ksel nn, 969] określona tylko na drodze dośwadczalnej. Z prac eksperymentalnych wynka, że gdy struktura gruntu jest ustablzowana, co ma mejsce w przypadku pasków zagęszczonych lub przekonsoldowanych gruntów spostych, uzyskuje sę opór ścnana najwększy w przypadku dużej prędkośc obcążena. W przypadku, gdy obcążene przykładane jest wolno, to uruchama sę proces nszczena perwszych węz w procese konsoldacj, co wpływa na osłabene struktury gruntu, a w efekce na zdolność tworzena oporu ścnana. Można węc powedzeć, że w takm przypadku będzemy mel do czynena z powolnym zmnejszanem sę oporu ścnana w czase. Ze zjawskem odwrotnym mamy do czynena w przypadku gruntów neustablzowanych, jak np. nezagęszczone lub średno zagęszczone pask lub grunty sposte necałkowce lub normalne skonsoldowane. W takm przypadku proces konsoldacj gruntu może prowadzć do stablzacj struktury, a w efekce obserwujemy wzrost w czase oporu ścnana. IV.4.3. Modele matematyczne stanu grancznego. Modele matematyczne opsujące stany równowag grancznej gruntów skał zostały szczegółowo omówone w welu publkacjach, że wymenę pracę pod redakcją Ksela [Ksel nn, 98], [Szczepańskego, 974], [Sawczuka, Izbckego, 984], [Sawckego A., 994], [Coussy ego, 995], [Łydżby, ], [Lyska, 968, 969],[Dembckego, 964a, 964b, 964c, 965, 966, 97, 98a, 98b], [Gryczmańskego, 983, 995]. W nnejszej monograf ogranczymy sę do najczęścej stosowanych w praktyce nżynerskej, uwzględnająych wpływ płynu ( ceczy lub gazu) wypełnającego pory ośrodka gruntowego jego fltracj przez strukturę utworzoną przez zarna lub cząstk mnerałów na wartośc obcążena grancznego. W modelach tych ne uzyskujemy oceny wartośc odkształceń ośrodka w stane grancznym. Pojęce stanu grancznego odnosć będzemy do wydealzowanego materału, dla którego pomjane są efekty lepko sprężyste rzeczywstego materału tworzącego grunt lub skałę. Zakładamy, że modelowany przez nas ośrodek może płynąć plastyczne w sposób neogranczony. W wększośc zagadneń zwązanych z powstanem w grunce lub skale grancznego stanu równowag uwzględnene rzeczywstej zależnośc naprężene odkształcene jest pod względem matematycznym skomplkowane. Z tego względu wprowadzono zastępczy model wytrzymałoścowy gruntu, lub skały określany jako model cała sztywno-plastycznego. W modelu tym całkowce pomja sę odkształcena lepkosprężyste ośrodka. Przy wprowadzenu takego modelu grunt w przypadku ścnana przy naprężenach mnejszych od pewnej grancznej wartośc τ zachowuje sę jak cało sztywne, ne wykazując gr żadnych odkształceń. Po osągnęcu wartośc grancznej τ gr następuje cągły wzrost odkształcena przy stałym naprężenu. Z chwlą zdjęca obcążena, całkowte odkształcene, jakego doznał grunt od chwl odcążena pozostaje w nm jako odkształcene trwałe. W reolog gruntów stneje szereg model uwzględnających odkształcena lepko-sprężyste ośrodka gruntowego lub skały oraz efekty wzmocnena lub osłabena. Możemy wylczyć klka z nch: a) model materału sprężysto plastycznego, b) modele lepko-sprężysto-plastyczne, c) modele cała nelnowo sprężystego (dla procesów, w których ne występuje odcążene), d) modele cała sprężysto- plastycznego ze wzmocnenem lub osłabenem. IV Model Coulomba Mohra.

11 Dla określena grancznego oporu stosowany był w początkowym okrese mechank gruntów warunek wytrzymałoścowy [Coulomb a, 773] wyrażone wg [Ksela nnych, 969, 98] [Szczepańskego, 974] lnową zależnoścą w postac: gdze: τ - granczny opór ścnana, gr τ = tgφ + c gr n, (.3) n - naprężene normalne panujące w płaszczyźne ścęca (ujemne przy ścskanu), φ - kat tarca wewnętrznego, c - kohezja (spójność). Kąt tarca spójność są stałym materałowym. Ich grafczną prezentację będącą nterpretacją równana przedstawono na rys. 4.3 Przyjmując założene, że zwązek Coulomb a wynka przede wszystkm z procesu tarca, a dośwadczena wykazują, że prawo tarca jest nelnowe [Jaeger, Cook, 969] proponuje dla małych welkośc naprężeń normalnych do powerzchn poślzgu przyjmować lnowe prawo Coulomb a, natomast dla dużych wartośc tych naprężeń prawo nelnowe w postac: τ = µ +, (.4) m gr n c gdze m zawera sę w przedzale / 3 µ. Rys Wzualzacja prawa Coulomb a. Rozwój badań teoretycznych dośwadczalnych prowadzonych przez [Hvorsleva, 937]]doprowadzł do nnej postac prawa Coulomba uwzględnającego cśnene porowe w przestrzenach pomędzy cząstkam lub zarnam gruntu, nazywanego za Kselem prawem Coulomba Hvorslev a: ( ) τ gr = n + tgφ + c, (.5) gdze oznacza naprężene w ceczy wynkające z oddzaływana ceczy na szkelet ośrodka gruntowego. ef Oznaczając przez = + naprężene efektywne normalne na powerzchn poślzgu równane n Coulomb a Hvorsllev a możemy zapsać w postac: ef tg c gr n n τ = φ +. (.6)

12 Wpływ cśnena porowego na odkształcalność skał była tematem welu publkacj, mędzy nnym przez [Bshopa, 959, 96], [Bshop nn, 96], [Hansena, Gbsona, 949], [Skemptona, 96], [Jaegera, 969]. Przykładowo badana [Jaeger a, 969] przeprowadzone na wapenach, dotyczące wpływu wody na deformację próbek na maksymalne cśnene przenoszone przez ne w stane jednoosowego ścskana dobrze obrazuje rys Rys Wpływ naprężena w ceczy wypełnającej pory na proces naprężene odkształcene próbek wapennych wg Jaeger a (wg [Ksela nnych 969]). W przypadku gruntów wzrost naprężena w ceczy może doprowadzć do wzrostu objętośc gruntu, a nawet do upłynnena gruntu. Przecętne wartośc kątów tarca wewnętrznego φ dla różnych gruntów zależą od ch zagęszczena, natomast wartośc kohezj c zależą od wlgotnośc gruntu od stopne prekonsoldacj gruntu. Wpływ zagęszczena gruntu na welkość oporów tarca wewnętrznego przedstawł Ksel w pracy, [Ksel nn, 969 ] co pokazuje rys Rys Zależność oporu tarca wewnętrznego od przemeszczena w przypadku gruntu mało zagęszczonego (kółka zaczernone) gruntu zagęszczonego (kółka nezaczernone) (wg. [Ksela nnych, 98]). Zależność kohezj od wlgotnośc gruntu jest wg [Bjerruma, Smonsa [Włunem,Starzewskm, 97] ) lnowa, co przedstawono na rys ](podajemy za

13 Rys Zależność spójnośc od wlgotnośc gruntów spostychwg [Włuna, Starzewskego, 97]. Jak wdać, wpływ fazy cekłej lub gazowej na proces ścnana w gruntach objawa sę w dwóch nezależnych płaszczyznach: bezpośrednego oddzaływana ceczy na proces odkształcene naprężene poprzez dzałane cśnena w porach ośrodka sł unoszena fltracj oraz ma stotny wpływ na parametry wytrzymałoścowe w grunce. Warunek Mohra Warunek ten wynka bezpośredno z analzy grancznych kół Mohra. Otóż zakłada sę, że stan granczny ośrodka rozdrobnonego lub znszczene porowatych materałów skalnych określa równane obwedn kół Mohra jest zależne od welkośc maksymalnego mnmalnego naprężena głównego. Może być, zgodne z pracą Ksela nnych [], określone zależnoścą: p = F( q) lub F( p, q) =, (.7) gdze p = ( + 3 ) oraz q = ( 3 ) (.8) lub po uwzględnenu naprężena w ceczy : p = ( + 3 ) oraz q = ( 3 ),(.9) przy czym > > 3. Warunek ten w przypadku lnowej funkcj F ( q ) ma następującą postać: q p snφ c cosφ = (.) lub

14 ( 3 ) + ( + 3 ) snφ c cosφ = (.) lub przy założenu dzałana naprężeń efektywnych : ( 3 ) + [ ( + 3 ) + ]sn φ c cos φ =. (.) Przechodząc do konstrukcj lnowej obwedn kół Mohra rys wdzmy, że równane prostej stanowącej lnowe obwedne kół Mohra wyraża sę zwązkem (.). IV Inne warunk stanu grancznego. Rys Warunek Coulomba Mohra. Lnowy warunek Coulomb a zarówno dla przypadku ośrodków nawodnonych, jak równeż ośrodków suchych ne jest jedyną propozycję warunku stanu grancznego w mechance, chocaż w mechance gruntów skał jest najczęścej stosowany do rozwązana konkretnych zagadneń nżynerskch. Przechodząc do szczególnych przypadków nelnowego warunku Mohra, można wyrazć równane opsujące obwednę kół w sposób następujący: ef τ n = a b, (.3) n gdze, a - określa wytrzymałość na rozcągane hydrostatyczne, natomast welkość n a / b ef jest wartoścą naprężeń ścnających, gdy =. Szczególnym przypadkem jest parabolczny warunek stanu grancznego, który wg prac [Jaegera, Cooka, 969], [Parate, 969], dobrze odwzorowuje wynk dośwadczeń dla gruntów skał pod dzałanem dużych naprężeń. Interesująca propozycję warunku stanu grancznego wprowadzł Stroganov, który opublkował szereg prac dośwadczalnych teoretycznych [Stroganov, 958, 96, 965, 967] w zakrese stanów grancznych gruntów. Stroganov [Strogonov, 967] uważa, że zachowane sę gruntu w stane plastycznym opsuje układ nezmennczych zwązków fzycznych:

15 Gpl tg Ψ τ = γ, G pl tgψ + γ = λγ, γ d = χγ, (.4) gdze 3 τ = τ okt = ( ) + ( 33 ) + ( 33 ) + 6( ), (.5) τ naprężene styczne do powerzchn oktaedrycznej w układze głównych os naprężeń okt oraz 3 γ = γ okt = ( + ν ) ( + ν ) 3 = ( γ γ ) ( γ γ 33 ) ( γ 33 γ) ( γ γ 3 γ 3) ok γ odkształcene oktaedryczne w układze głównych os odkształceń (zakłada sę przy tym, że układ głównych os odkształceń pokrywa sę z układem głównych os naprężeń), γ składowe naprężena odkształcena w dowolnym układze kartezjańskm, j j γ naprężene odkształcene średne, γ odkształcene wywołane ścślwoścą szkeletu, d χ ν λ G pl tgψ współczynnk dylatacj, współczynnk Possonna, współczynnk dośwadczalny Straganowa, początkowy moduł plastycznośc, współczynnk tarca wewnętrznego na płaszczyźne oktaedrycznej. W przypadku cała sztywno plastycznego Gpl / warunek Stroganova przechodz w warunek Hubera-Schlechera [Ksel nn, 98]. Z badań Stroganova. wynka, że pask spełnają z dużą dokładnoścą warunek Hubera-Schlechera wyrażony zwązkem: ( p ) n, (.6) τ = + tgψ. (.7) Różnca pomędzy powyższym warunkem stanu grancznego a warunkem Coulomb a Mohr a. polega na tym, że warunek ten jest nezmennczy, węc ne zależy od stanu naprężena. Inaczej ma sę sprawa z warunkem Coulomb a - Mohr a. Porównując obydwa warunk, możemy znaleźć zależność pomędzy kątem ψ ϕ dla różnych przypadków stanu naprężena: dla przypadku osowego ścskana: tgψ = snϕ ; (.8) 3 snϕ dla prostego ścnana:

16 tgψ = snϕ ; (.9) dla przypadku osowego rozcągana tgψ = snϕ 3 + snϕ. (.3) Powyższe formuły pozwalają określć zależność kąta tarca wewnętrznego od stanu naprężena ( ψ ne zależy od stanu naprężena) co zobrazowano na rys Rys Zwązek pomędzy ψ kątem tarca wewnętrznego wg. Stroganowa (f kąt tarca wewnętrznegoϕ, arctgps - arctg(ψ )). a- ścskane osowe, b- proste ścnane, c- rozcągane Do nnych znanych w lteraturze warunków należy wymenć: warunek Msesa- Schlechera, warunek Tresk uogólnony późnej przez Druckera;są one opsane szczegółowo w pracach [Izbckego, 976], [Ksela nn, 98], [Mroza, Drescher a, 97], [Sawczuka, Izbckego, 984]. Do propozycj często cytowanych w lteraturze, choć neznajdujących do dzsaj szerszego zastosowana w praktyce nżynerskej, zalczyć można warunek Msesa Schlechera, który uwzględnając defncje nezmennków stanu naprężena {wzory od Błąd! Ne można odnaleźć źródła odwołana. do Błąd! Ne można odnaleźć źródła odwołana.}, można zapsać w postac: n ' I + α I k =, (.3) 3 ( ) gdze ' I = ( ) + ( 3 ) + ( 3 ) 6 (.3) n oraz α, k, n są stałym dodatnm, przy czym. Grafczne powerzchna granczna jest parabolodą obrotową n-tego stopna o werzchołku w punkce k = = 3 =. W pracy [Ksela nnych, 98] Izbck pokazał, że stneje przejśce granczne, α k dla przypadku płaskego stanu odkształcena c, przy powązanu stałych α z kątem tarca wewnętrznego ϕ spójnoścą :

17 k c =, snϕ = ( α ) ( 3α ) 3 (.33) oraz dla n =, do warunku Coulomba. Podobne dla n = uzyskuje sę warunek parabolczny. W nnejszej monograf ne będzemy zajmować sę szczegółowo złożonym warunkam plastycznośc odsyłając zanteresowanych do bogatej lteratury w tym zakrese, ogranczając sę w wększośc zagadneń do lnowego warunku Coulomba Mohra wpływu fazy cekłej lub gazowej na proces uplastycznena lub utraty wytrzymałośc gruntów lub skał. IV.4.4. Sformułowane zagadnena stanu grancznego. IV Statyka stanu grancznego. Po raz perwszy zagadnenem sformułowana równań stanu grancznego zajął sę [Kötter, 888] dla przypadku zagadnena płaskego ośrodka sypkego. Obejmuje ono: równana równowag w przypadku płaskego stanu odkształcena: + + ρ =, + + ρ =, (.34) gdze ρ ρ są składowym sł masowych warunek stanu grancznego Coulomba który dla przypadku braku spójnośc ma postać: τ = tgϕ gr n. (.35) Brak spójnośc ne ma stotnego wpływu na ogólność przeprowadzonych ponżej przekształceń, gdyż w każdym momence możemy uogólnć rozważana wprowadzając pojęce wstępnego sprężena ośrodka wyrażonego wzorem: pn = c ctgϕ, (.36) węc warunek Coulomb a można wyrazć wzorem: ( p ) τ = + tgϕ. (.37) gr n n W ogólnym przypadku warunek (.37) może meć postać zależnośc: τ gr ( ) = g. (.38) n Wprowadzając welkośc bezwymarowe naprężeń: τ gr n pn τ = ; = ; p = a a a. (.39) Warunek stanu grancznego można przedstawć w postac:

18 τ =, (.4) g ( ) gdze w przypadku warunku grancznego Coulomba mamy: g = tgϕ ( ) (.4) lub z uwzględnenem kohezj: g p tgϕ ( ) = ( + ). (.4) Zgodne z pracą [Ksela nnych, 98] położene ln, wzdłuż których następuje poślzg (ln poślzgu) jest określone zależnoścam kątowym względem naprężeń głównych zależy od welkośc kąta tarca wewnętrznego. Wprowadźmy kąt ψ pomędzy kerunkem naprężena głównego a lnam poślzgu s s. Zgodne z oznaczenam rys możemy kąt ψ wyrazć przy pomocy kąta tarca wewnętrznego ϕ wzorem: Rys Oznaczene kerunków ln poślzgu w stane grancznym(wg. [Ksel nn, 98]). π ϕ ψ =. (.43) 4 W przypadku gruntu dealne spostego, kąt tarca wewnętrznego równa sę zero ψ = π /. Jak wdać kąt tarca wewnętrznego, a zatem kąt pomędzy lnam poślzgu ψ zależy od funkcj g ( ) w dowolnym punkce obszaru można go oblczyć ze wzoru: tg ( ϕ ) dg ( ) = = g d '( ). (.44) Na podstawe wzoru (.44) korzystając z zależnośc trygonometrycznych dla lnowego prawa Coulomba można zapsać: g ' sn ϕ = ; cosϕ = + g ' + g '. (.45) Na podstawe wzorów Błąd! Ne można odnaleźć źródła odwołana. Błąd! Ne można odnaleźć źródła odwołana. możemy zapsać:

19 ( + ) ( ) sn ϕ a =, τ = a ( ) cos ϕ. (.46) A następne zwązk pomędzy naprężenam głównym oraz naprężenam,, τ możemy dla przypadku płaskego stanu naprężena zapsać je w postac: ( ) ( ) ( ) ( ) = = (.47) Podstawając zwązk (.47) do (.46) dostajemy: sn 4, a = ( + ) ϕ ( ) + cos aτ = ϕ ( ) + 4. (.48) Równana stanu grancznego sprowadzają sę do układu równań : + + γ = + + γ = 4 + snϕ + 4 = + 4 cos ϕ a a a ( ) g ( ) (.49) γ γ oznaczają składowe cężaru objętoścowego szkeletu z uwzględnenem wyporu wody gdze Korzystając z zależnośc geometrycznych dla ln poślzgu można wyrazć bezwymarowe naprężena, w zależnośc od naprężena oraz kąta β nachylena naprężena do os x w postac: g ( ) = + [ tgϕ + cos β ] a cosϕ g ( ) = + [ tgϕ cos β ] a cosϕ g ( ) = sn β cosϕ a (.5) Uwzględnając zwązk (.4) w zależnoścach (.45) można je zapsać w postac:

20 a a a g ( ) = + g '( ) + cos β + g ' ( ) g ( ) = + g '( ) cos β + g ' ( ) = g + ' sn β ( ) g ( ) (.5) g '' = Borąc pod uwagę, że dla lnowego równana stanu grancznego ( ) równana równowag nazywane równanam Köttera można przedstawć zgodne z pracą [Ksela nnych, 98] w postac: ( + snϕ cos β ) + snϕ sn β + β β γ ( + p) ϕ β β + ϕ = a snϕ sn β + ( snϕ cos β ) + sn sn cos cos β β γ + ( + p) ϕ β + β + ϕ = a sn cos sn cos Równana Köttera można przedstawć w nnej postac stosując podstawena: (.5) η = χ β; ξ = χ + β (.53) oraz + p χ = ctgϕ ln ; = a cos ϕ a (.54) wyprowadzone przez [Sokołowskego, 958] w przypadku lnowego warunku stanu grancznego (.) w postac: ( + ) ( + ) ( ) ( β ψ ) ( ) ( ) ( ) ( β ψ ) η η cosϕ γ cos β ψ γ sn β ψ + tg ( β ψ ) = = F g cos ξ ξ cosϕ γ sn β ψ γ cos β ψ + tg ( β ψ ) = = F x g cos + (.55) W przypadku, gdy pole sł objętoścowych F jest polem potencjalnym wynkającym z dzałane sły grawtacj sł unoszena fltracj ceczy przez pory ośrodka układ równań stanu grancznego ma postać następującą:

21 cosϕ γ + sn ( β ψ ) γ cos( β ψ ) η η f x + + f x + + tg ( β ψ ) = g cos ( ) ( β ψ ) cosϕ γ + sn ( β ψ ) γ cos( β ψ ) ξ ξ f x + + f x + tg ( β ψ ) = x g cos + ( ) ( β ψ ) (.56) gdze = pf jest naprężenem w ceczy wypełnającej pory, a p oznacza cśnene porowe. Powyższy układ równań równowag obszaru w przypadku statyk stanu grancznego uzupełna równane przepływu fltracyjnego, które wg. pracy [Stlger Szydło, 5] dla przypadku przepływu ustalonego sprowadza sę do postac: = (.57) Mom zdanem postać równana przepływu jest neco bardzej złożona jest sprzężona z układem równań (.56). Uwzględnając wynk poprzednch rozważań z zakresu modelu Bota-Darcy ego równane przepływu fltracyjnego pownno meć postać: C H g + = ɺ λ f R R ( ) ɺ (.58) gdze C,R,H to stałe modelu Bota-Darcy ego, λ ɺ współczynnk prawa płynęca plastycznego. IV Knematyka stanu grancznego. Rozważmy podobne jak w przypadku statyk stanu grancznego model sztywno plastyczny cała suchego. Knematyka stanu grancznego określa zwązek fzyczny wążący tensor naprężena z tensorem prędkośc odkształcena ( j ) j εɺ j : G ɺ ε j = ɺ λ (.59) gdze: λ ɺ oznacza dodatną stałą v v j ɺ ε j = + (.6) j v oznacza składowe prędkośc przemeszczena G ( j ) to potencjał plastycznośc opsany równanem: G c = + + snψ cosψ (.6) j ( ) ( ) ( ) j

22 Jeżel ψ = ϕ wówczas G ( j ) F ( j ) = równane (.6) odpowada stowarzyszonemu z warunkem plastycznośc prawu płynęca. Gdy ψ < ϕ równane (.6) jest nestowarzyszonym prawem płynęca plastycznego, a ψ jest katem dylatacj, określającym zmany objętoścowe ośrodka. Korzystając z prac [Stlger Szydło, 5] [Izbckego Mroza, 976] przedstawmy w skróce metodę rozwązana zagadneń płynęca plastycznego cała sztywno plastycznego metodą charakterystyk. Metoda ta zalcza sę do metod ścsłych rozwązywana zadań nośnośc grancznej. Szczegółowy ops metody z przykładam oblczeń konkretnych zagadneń znajdze czytelnk w pracy [Ksel nn, 98]. W ogólnym przestrzennym quas-statycznym zagadnenu nośnośc grancznej, aby rozwązać problem nośnośc grancznej dysponujemy:. Równanam równowag + = (.6) j, j γ. Warunkem grancznym Mohra ( ) p = F q (.63) gdze p = ( + 3 ) oraz q = ( 3 ) (.64) przy czym > > 3. Warunek ten w przypadku lnowej funkcj f ( q ) ma następującą postać: q p snϕ c cosϕ = (.65) lub ( 3 ) + ( + 3 ) snϕ c cosϕ = (.66) 3. Stowarzyszonym lub nestowarzyszonym prawem płynęca ( j ) G ɺ ε j = λ (.67) gdze: j v v j ɺ ε j = + (.68) j W przypadku stowarzyszonego prawa płynęca G ( j ) F ( j ) =. Podsumujmy, dysponujemy: trzema równanam równowag, równanem stanu grancznego, sześcoma równanam płynęca plastycznego, sześcoma równanam określającym zwązk geometryczne. W sume mamy do dyspozycj 6 równań. Podlczmy newadome: sześć nezależnych składowych stanu naprężena, sześć nezależnych składowych prędkośc stanu odkształcena, trzy składowe prędkośc przemeszczena,

23 stała λ. Z podsumowana jasno wynka, że zagadnene jest statyczne wyznaczalne, gdyż lość równań (6) jest dentyczna z loścą newadomych. Możemy łatwo zredukować lczbę newadomych równań poprze podstawene zwązków geometrycznych (.68) do prawa płynęca (.67). Powyższy układ równań opsuje proces równowag knetycznej stanu grancznego bez uwzględnena cśnena porowego ceczy sł oporu fltracyjnego. W przypadku uwzględnena naprężena w ceczy powyższy układ równań ma dodatkową newadomą, mus, węc być uzupełnony o dodatkowe równane. Poprzedne rozważana prowadzą do wnosku, że równanem tym jest równane przepływu ceczy przez ośrodek porowaty. W ogólnym przypadku zagadnene nośnośc grancznej w przypadku procesu quas - statycznego (z pomnęcem sł bezwładnośc), ale z uwzględnenem sł masowych fltracj ceczy przez ośrodek porowaty sprowadza sę do następującego układu równań:. Równanam równowag ( δ ) γ +, + = ; (.69) j j j. Warunkem grancznym Mohra ( ) p = F q, (.7) gdze p = ( + 3 ) oraz q = ( 3 ),(.7) przy czym > > 3. Warunek ten w przypadku lnowej funkcj f ( q ) ma następującą postać: q p snϕ c cosϕ = (.7) lub ( 3 ) + [ ( + 3 ) + ]sn ϕ c cos ϕ = ; (.73) 3. Stowarzyszonym lub nestowarzyszonym prawem płynęca: ( j ) G ɺ ε j = ɺ λ, (.74) gdze: j v v j ɺ ε j = + ; (.75) j 4. Równanem przepływu ceczy przez ośrodek porowaty w przypadku przepływu lamnarnego: C H + = ɺ ε f R R gdze R,H stałe Bota, a ɺ, (.76) ɺ ε = ɺ ε

24 Układy równań ((.6) do (.68)) oraz ((.69) do (.76)) opsują przypadk zagadnena trójwymarowego którego rozwązane nastręcza stotne trudnośc rozwązana. W lteraturze znane są natomast lczne rozwązana dotyczące płaskego stanu odkształcena zagadneń osowo symetrycznych. IV Twerdzena nośnośc grancznej. Twerdzena dotyczące nośnośc grancznej ch dowody zostały przedstawone przez Izbckego w pracy [Ksela nn, 98]. Do przeprowadzena dowodów zostały przyjęte dwa założena: a) Powerzchna granczna (plastycznośc) jest wypukła b) Wektor prędkośc odkształceń plastycznych jest normalny do tej powerzchn Obydwa założena można przedstawć dla przypadku gładkej powerzchn plastycznośc rys a powerzchn osoblwej złożoną z klku powerzchn analtycznych przecnających Sę wzdłuż krawędz naroży rys.4.39b Rys Powerzchne plastycznośc a) gładka b) osoblwa ( wg [Ksel nn,98]). Zgodne z pracą [Ksel nn,98] warunek wypukłośc normalnośc można przedstawć w przypadku gładkej powerzchn plastycznośc w postac: ( j j ) ( j ) f j (.77) lub w przypadku, gdy powerzchna plastycznośc jest powerzchną osoblwą: ( ) ( j ) k f α j j ɺ λα, ɺ λ >, ɺ λ >, ɺ λk > α = j (.78) Mając na uwadze powyższe założena, można wykazać słuszność następujących twerdzeń: TWIERDZENIE I. Każde pole statyczne dopuszczalne s, spełnające warunk równowag wewnętrznej nenaruszające warunku plastycznośc w obszarze cała, dostarcza dolnej oceny obcążena grancznego.

25 oraz TWIERDZENIE II. Każde pole knematyczne dopuszczalne, spełnające warunk podparca na brzegu warunek dodatnej mocy obcążeń brzegowych wyznacza knematyczny mnożnk obcążena będący górną oceną obcążena grancznego. W prowadzając współczynnk υ g określający ocenę stanu grancznego można na podstawe powyższych twerdzeń sformułować nerówność: υk υg υs (.79) gdze υ k określa ocenę knematyczną stanu grancznego, a υ s ocenę statyczną stanu grancznego. IV.4.5. Blokowe metody nżynerske określana statecznośc skarp w mechance gruntów. Lczne metody oblczeń przyblżonych stosowanych w praktyce nżynerskej, zakładające stan granczny na pewnych przyjętych powerzchnach poślzgu, prowadz do oceny statecznośc zboczy meszczących sę w zakrese oszacowana górnego dolnego współczynnka statecznośc lub obcążena grancznego. Ocena statecznośc opera sę w tych metodach (różnących sę sposobem przyjmowana kształtu powerzchn poślzgu) na spełnenu warunku równowago sł wzdłuż powerzchn poślzgu bryły osuwającego sę gruntu lub skały [Stlger-Szydło, 5], [Ksel nn, 969, 98],[Włun, ]. Powerzchne poślzgu przyjmowane są w przekroju w postac wycnka koła, spral logarytmcznych, cyklody, prostych łamanych. Przyjęce określonego kształtu ln poślzgu uwarunkowane jest często budową geologczną obszaru zbocza lub skarpy. W metodach tych najczęścej stosuje sę podzał bryły podlegającej osunęcu na blok, co e przekroju reprezentuję pask, analzując równowagę sł zsuwających utrzymujących poszczególne blok. Słam zsuwającym są sły czynne, wustepujące w płaszczyźne poślzgu take jak: cężar gruntu, cśnene spływowe fltracj, obcążene gruntu. Sły utrzymując to: sły tarca wewnętrznego, kohezja, czyl or wynkający ze spójnośc gruntu oraz sły z elementów zabezpeczających skarpy jak np. ścany oporowe, ścank szczelne, pale, geosyntetyk. Z założena przyjmuje sę: hpotezę Coulomba-Mohra, płask stan naprężena odkształcena, brak efektów lepkch, jednakowe przemeszczena wzdłuż powerzchn poślzgu. Określany wskaźnk statecznośc F dla zbocza lub skarpy oblcza sę jako stosunek momentu utrzymującego M z wązanego z wytrzymałoścą na ścnane gruntu lub skały do momentu wywracającego u M (zwązanego z obcążenem). Stosując metody numeryczne możemy poszukwać w stosunku tych dwóch wartośc dla dużej lośc przyjętych powerzchn poślzgu poszukując wartośc najmnejszej F mn. Zbocze, lub skarpę uważa sę za stateczne, jeśl oblczone tą metodą F mn : F mn F, (.8) dop gdze F dop oznacza welkość dopuszczalną wskaźnka statecznośc określona jest odpowednm normam techncznym dla różnego rodzaju konstrukcj geonżynerskch. Najczęścej stosowanym metodam jest metoda Fellenusa metoda Bshopa dla przypadku przyjmowana walcowego kształtu powerzchn poślzgu oraz metoda Janbu dla dowolnego kształtu powerzchn poślzgu.

26 IV Metoda Fellenusa dla przepadku warstwy przepuszczalnej z uwzględnenem fltracj ceczy. Potencjał sł masowych. Rozważmy punkt m o współrzędnych (x,y) znajdujący sę w obszarze fltracj rys. 4.4 Rys Składowe sł unoszena. Przez punkt m przechodz lna prądu oznaczona strzałką określającą kerunek przepływu ceczy. W punkce m wysokość hydraulczna wynos H, a w punkce n odległym o odcnek neskończene mały dl wzdłuż ln prądu występuje strata wysokośc hydraulcznej dh. Gradent hydraulczny na drodze mn wynese: dh = dl (.8) Oznaczmy sę: p s = ρ g p s welkość cśnena spływowego fltracj, styczną do ln prądu, która w punkce m (rys. 4.38) równa (.8) Nech p sx Nech ( f ) os p sy będą rzutam sły masowej p s na ose x y. ρ oznacza wartość bezwzględną sły masowej reprezentującej cężar objętoścowy szkeletu gruntowego z uwzględnenem wyporu równą, co do wartośc: os ( ) ρ = ρ ρ (.83) s Wypadkową słą masową S otrzymaną z dodawana wektora ośrodka wyrazć możemy przy pomocy współrzędnych: p s sły masowej cężaru własnego S = p, S = p (.84) x sx y sy

27 gdze = ( f ) ρos Składowe sł unoszena fltracj można wyrazć wzoram: p p sx sy vx = ρg k vy = ρg k (.85) Wedząc, że składowe wektora prędkośc wyrażają sę przy pomocy składowych gradentu spadku hydraulcznego H: H H Sx = ρg, S y = ρg y (.86) Pokazalśmy poprzedno, ze pole przepływu fltracyjnego jest polem potencjalnym; wemy równeż, że pole grawtacyjne jest równeż polem potencjalnym. Możemy a pror założyć, węc, że suma tych dwóch pól jest równeż polem potencjalnym. Przyjmjmy, że R jest potencjałem tego pola, węc pownny być spełnone zwązk: S x R R =, S y = y (.87) Z perwszego ze zwązków (.86) możemy polczyć: ( ) Sxdx C y (.88) R = + gdze C ( y ) jest to neznana funkcja od y. Korzystając z perwszego ze wzorów (.86) otrzymujemy: H R = ρ g dx + C ( y) (.89) Co pozwala zapsać: R = ρgh + C ( y) (.9) Zróżnczkujmy powyższe wyrażena po y : ( ) R H C y = ρg + y y y (.9) Poneważ R = y S y węc dostajemy: dc ( y) dy = (.9) Co prowadz do zwązku: ( ) y C y = + R (.93)

28 Podstawając wzór (.93) do wzoru (.9) dostajemy postać jawną potencjału: ( ρ gh y) R = + + R (.94) gdze R jest dowolną stałą. Można pokazać, że wyprowadzona postać potencjału (.94) jest taka sama w przypadku zagadnena przestrzennego Powerzchne ekwpotencjalne pola sł masowych można określć z równana: R R = y + ρ gh = const (.95) W szczególnośc nech lna ekwpotencjalna Φ = kh = const przechodz przez punkt m obszaru fltracj rys W punkce przecęca ln Φ = const znamy położene punktu m, możemy, węc oblczyć dla tego punktu wartość R przyjmując oczywśce w dowolny sposób wartość R. Znając powerzchne ekwpotencjalne pola skalarnego R możemy w określć wektor, który jest normalny do tych powerzchn ekwpotencjalnych.. Wartość bezwzględna tego wektora jest równa n jest normalną do powerzchn ekwpotencjalnej. Przykład lczbowy. Przyjmjmy dla uproszczena wartośc postac: R / n, gdze = ρ g =. Wówczas równane(.95) można zapsać w R R = y + H (.96) Rozważmy zadane przedstawone schematyczne na rys przyjmując zarazem, ze pozom odnesena znajduje sę na warstwe neprzepuszczalnej. Rys Schemat zadana. Nech H oznacza pozom wody w zbornku, N punkt, w którym pozom wody styka sę ze zboczem skarpy AD. W punkce N zgodne ze wzorem (.96) funkcja R ma wartość: R R = H (.97) Przyjmując wartość stałą R = H otrzymujemy w punkce N potencjał R równy zeru. W nnych punktach obszaru fltracj potencjał R ma wartość: ( ) R = H y + H (.98)