1.7. PROSTE ROZCIĄGANIE

Transkrypt

1 .7. ROST ROZCIĄGI.7.. Hpoteza płakch przekrojów (BROULLI GO) Do wyznaczana odkztałceń w prętach będzemy częto wykorzytywać założene prazczające, zwane hpotezą płakch przekrojów (hpotezą BROULLI GO). Zgodne z tą hpotezą przekrój płak protopadły do o podłżnej przed odkztałcenem pręta (w konfgracj początkowej) pozotaje płakm protopadłym do o podłżnej po jego odkztałcen (w konfgracj końcowej). W wel przypadkach wytrzymałoścowych hpoteza ta zotała potwerdzona dośwadczalne. Jedyne w przypadk prętów, których przekroje legają paczen (deplanacj), ktkjącym pofałdowanem płazczyzny przekroj po odkztałcen, hpoteza Bernoll ego trac ważność. Warto też podkreślć, że od wykorzytywanego w klaycznej teor belek BROULLIGO-ULR założena o protopadłośc przekroj odkztałconego do o belk odchodz ę w teor belek TIMOSHKI..7.. Stan naprężena odkztałcena przy protym rozcągan rote rozcągane wytępje wówcza, gdy obcążene zewnętrzne redkje ę do wektora ły podłżnej, którego kernek pokrywa ę z główną, centralną oą przekroj O. Rozważmy pręt o dłgośc l, tałym przekroj, obcążony łą kponą (ry. ). Ry. Z rynk tego wynka, że jedyną łą przekrojową w takm pręce jet ła podłżna. Zatem jet on poddany protem rozcągan. rzy jemnej wartośc ły podłżnej pręt będze poddany protem śckan. Stan naprężeń odkztałceń w rozważanym pręce przy jego protym rozcągan wyznaczymy przyjmjąc natępjące założena prazczające: () tan naprężeń jet jednooowy, czyl macerz naprężeń (..6) przyjmje potać

2 () wpływ ły maowej jet pomjalny 0 0 j () [ ] g g g 0 () y z () oe Cy Cz ą oam głównym, centralnym przekroj, czyl S S 0, I 0 () y z yz (v) pełnona jet hpoteza płakch przekrojów BROULLI GO (v) pełnona jet hpoteza D SIT-VT Strona fzyczna odtawając () do równań fzycznych (.5.) otrzymjemy ε ν ε y ε z νε ε ε ε ε ε y y z z yz ε zy 0 (4) gdze jet modłem prężytośc podłżnej (modłem YOUG), natomat ν wpółczynnkem oona. Z powyżzych relacj wynka, że macerz odkztałceń ma natępjącą potać: [ ε ] j ε νε νε (5) Czyl tan odkztałceń w przy protym rozcągan jet trójoowy (przetrzenny). Z zależnośc (4) wynka, że ν ε y z (6) ε ε ε Zatem wpółczynnk (lczba) OISSO wyraża tonek odkztałcena poprzecznego do odkztałcena podłżnego przy jednooowym tane naprężena. Oznacza to, że wydłżen pręta (w kernk przyłożonej ły) towarzyzy krócene jego wymarów w kernkach porzecznych

3 Strona tatyczna Korzytając z hpotezy płakch przekrojów przedtawamy odkztałcene podłżne pręta w potac ε a + by cz (7) + gdze a, b, c tałe, które należy wyznaczyć. Z prawa HOOK (4) wynka, że ε (8) odtawając (7) do 8) otrzymjemy Z wag na tan naprężena w pręce (ry. ) ( a + by cz) + (9) Ry. zależnośc (..55), (równana równowag elementarnego wycnka pręta) przyjmją potać gdze z wag na (9) d zd yd d zd 0 yd 0 [ ( a + by + cz) d a d + b yd + c zd] ( a + by + cz) zd a zd + b yzd + c ( a + by + cz) yd a yd + b y d + c [ z d] [ zyd] (0) ()

4 oneważ (patrz rozdz..) zatem d, yzd I yz, yd S, d a z z y d I, zd as yd as zd S ( + bsz + csy ) ( y + biyz + ciy ) ( + bi + ci ) z z y z d I zy y () () Uwzględnając założene (), prowadzamy powyżze zależnośc do otatecznej potac d a zd ci yd bi y z (4) odtawając relacje (4) do równań (0) dotajemy natępjące wartośc pozkwanych tałych a, b 0, c 0 (5) Wykorzytjąc powyżze tałe we wzorze (9) otrzymjemy formłę określającą naprężene normalne w pręce przy protym rozcągan (6) oneważ w rozważanym przypadk ( ), zaś pozotałe naprężena ą równe zer, to przy założen () równana równowag (..) ą pełnone tożamoścowo. Uwzględnene tałych (6) we wzorze (7) pozwala otrzymać zależność określającą odkztałcene pręta rozcąganego, czyl ε (7) gdze nazywamy ztywnoścą pręta przy rozcągan. Z powyżzego wzor wynka, że równeż odkztałcene pręta poddanego protem rozcągan jet tałe. Zatem równana nerozdzelnośc (.4.7) ą pełnone tożamoścowo.

5 Strona geometryczna W cel określena przemezczeń pręta przy protym rozcągan (ry. ) wykorzytamy równana geometryczne (.4.). Ry. Z równań tych wynka, że w przypadk macerzy odkztałceń (5) równana te przyjmją potać v,, y, y w + v, z, ν (8) + w v + w 0, z,, z, y Całkjąc perwze trzy z powyżzych równań, otrzymjemy v w, d + c d c c + + y v, ydy + cy ν dy cy c + ν + z w, zdz + cz ν dz + cz + c ν y z (9) gdze c, c, c ą tałym całkowana. oneważ w mejc twerdzena pręta y z y z 0 wzytke trzy kładowe wektora przemezczena ą równe zer (warnk brzegowe w przemezczenach), zatem z (9) wynka, że w konekwencj dotajemy Z powyżzych zależnośc wynka, że ( 0 ) c 0, v( 0) c 0, w( 0) c 0 y z (0) y z, ν () ( ) v( y ) ν, w( z)

6 v v w w 0 (), y, z,, z,, y zatem równana (8) ą pełnone tożamoścowo. oneważ z naprężena (6), odkztałcena (7) przemezczena () pełnają wzytke równana warnk brzegowe, zatem otrzymane rozwązane zagadnena protego rozcągana jet ścłe (dokładne). Z wzor () wynka, ż przemezczene ( ) dowolnego przekroj pręta rozcąganego obcążonego łą kponą jet fnkcją lnową, przy czym przemezczene końca pręta l równe jet jego wydłżen l wyno ( ) l l ( l) ma () ależy podkreślć, że z wag na założene o pełnen zaady de Sant-Venanta wzory (6), (7), () () pozotają ważne równeż w przypadk nnego, tatyczne równoważnego obcążena pręta. W przypadk pręta o zmennym pol przekroj poprzecznego ( ), obcążonego obcążenem cągłym p ( ), [ / m], rozłożonym w poób dowolny po jego dłgośc (ry. 4) Ry. 4 równane (8) przyjmje natępjącą potać: Całkjąc powyżze równane, dotajemy gdze c jet tałą całkowana. ( ) ( ) ( ), (4) ( ) d + c d + ( ), (5) c

7 W przypadk obcążena równomerne rozłożonego po dłgośc pręta, p ( ) p, ła podłżna jet lnową fnkcją położena, ( ) p( l ). Jeśl ponadto pole przekroj poprzecznego jet tałe, ( ), to wyznaczone ze wzor (5) przemezczene dowolnego przekroj pręta będze równe ( ) ( ) p p ( ) d + c ( l ) d + c ( l ) + c (6) oneważ w mejc twerdzena pręta ( 0 ) 0, zatem c 0, w konekwencj p ( ) ( l ) (7) Z powyżzego wzor wynka, że przemezczene ( ) dowolnego przekroj rozważanego pręta jet fnkcją kwadratową, natomat wydłżene l takego pręta l jego końca) wyno (przemezczene ( ) pl l ( l) ma (8) W przypadk pręta obcążonego cężarem włanym p ρa, gdze jet ρ gętoścą materał pręta [kg/m ], zaś a przypezenem zemkm [m/ ]. ależy podkreślć, że jeżel ła podłżna zmena ę po dłgośc pręta o zmennym przekroj, to wzory (6) (7) przyjmją natępjącą potać: oraz ( ) ( ) (9) ( ) ( ) ε (0) W przypadk pręta o tałym przekroj, kładającego ę z n zepolonych ze obą częśc wykonanych z różnych materałów (ry. 5), przyłożona ła rozkłada ę na wzytke jego częśc n () gdze,,..., n, jet łą przypadającą na -tą część przekroj pręta. Otrzymalśmy w ten poób jedno równane równowag z n newadomym. oneważ lczba newadomych jet wękza od lczby równań, zatem zadane jet n razy wewnętrzne tatyczne newyznaczalne.

8 Ry 5 oneważ wydłżene l,,... n każdej częśc pręta zepolonego jet równe wydłżen całego pręta (warnek nerozdzelnośc), zatem l l,,... n () Wydłżene każdej częśc pręta jet równe gdze natomat l l,,..., n () jet modłem prężytośc podłżnej (YOUG) -tej częśc przekroj pręta, polem jej powerzchn. Wykorzytją warnek () zapjemy powyżzą zależność w potac Wtawając natępne (4) do równana () otrzymjemy,..., n, (4) (5) n odtawając z kole (5) do (4) oraz defnjąc prowadzony modł prężytośc n (6) otrzymjemy wyrażene,,..., n (7)

9 gdze n (8) jet efektywną ztywnoścą pręta rozcąganego pręta zepolonego. Zwązek (7) łączy ły dzałające na każdy z materałów z łą przyłożoną do pręta. oneważ zwązek ten może być wykorzytany w przypadk dowolnych przekrojów złożonych, jet zatem zczególne przydatny przy wymarowan przekrojów, w których lczba tych materałów jet dża. rzedtawony wyżej poób zykana zależnośc (7) nazywa ę metodą ł. Zależność (7) pozwala otrzymać natępjący wzór określający naprężene normalne w każdym z materałów przekroj pręta:,,..., n (9) Jeśl natomat w () względnmy relację (), to otrzymamy l,,..., n (40) l odtawając (40) do równana () dotajemy po przekztałcenach zależność l l (4) która wąże wydłżene pręta zepolonego z przyłożoną do nego łą. owyżzy poób zykana wzor (4) nazywa ę metodą przemezczeń. Jeśl wtawmy powyżzy wzór do (40) otrzymamy ponowne zwązek (7)..7.. Statyczna próba rozcągana pręta W trakce tatycznej próby rozcągana rozcąga ę odpowedno wykonaną próbkę o przekroj okrągłym aż do jej zerwana, rejetrjąc zależność przyrot dłgośc próbk od welkośc ły rozcągającej. róba ta pozwala na określene charakterytyk naprężenowoodkztałcenowej tal, zaś jej wynk w przypadk pręta wykonanego ze tal mękkej przedtawa ry. 6. a rynk tym R oznacza grancę proporcjonalnośc, R H grancę prężytośc, R e grancę platycznośc, R m grancę wytrzymałośc, natomat jet modłem prężytośc podłżnej (modłem Yonga), który wyraża charakterytyczną dla danego materał zależność odkztałcena lnowego ε od naprężena, jake w nm wytępje w zakree odkztałceń prężytych.

10 Ry. 6 ależy podkreślć, że wzytke powyżze grance ą mowne. Jeżel określene wyraźnej grancy prężytośc jet trdnone, to wyznacza ę mowną grancę prężytośc R 0.05% jako wartość naprężena odpowadająca dzałan ły rozcągającej wywołjącej wydłżene trwałe próbk równe 0.05% jej dłgośc początkowej. W przypadk wel materałów granca platycznośc jet trdna do określena, gdyż ne tneje wyraźne przejśce z zakre prężytego do platycznego. Wyznacza ę wtedy mowną grancę platycznośc R 0.%. Jet to wartość naprężena odpowadająca dzałan ły rozcągającej wywołjącej wydłżene trwałe próbk równe 0.% jej dłgośc początkowej. rzedzał wartośc naprężena rozcągającego, przy którym 0 < < RH nazywamy zakreem lnowo-prężytym (protolnowy odcnek wykre; odkztałcene jet proporcjonalne do przyłożonej ły obowązje prawo HOOK ), R < < R zakreem nelnowo prężytym, R < < R prężyto platycznym (materał przechodz w tan platyczny, zaś odkztałcene taje ę neodwracalne), zakreem platycznym. e H > R ależy podkreślć, że charakterytyk mechanczne różnych materałów różną ę od ebe zarówno wartoścam lczbowym parametrów wytrzymałoścowych (tab. ) Tabela. Wytrzymałość wybranych materałów bdowlanych Materał Wytrzymałość na śckane [Ma] R mc Wytrzymałość na rozcągane [Ma] Stal mękka Żelwo Beton zwykły Szkło Ceramka porowata Drewno wzdłż włóken Grant Tworzywa ztczne jak kztałtem krzywych rozcągana (ry. 7). Wyznaczona dośwadczalne (po obróbce tatytycznej wynków pomarowych) wartość naprężeń gwarantjących bezpeczny tan materał w danym pnkce nazywana jet jego R mr e

11 wytrzymałoścą charakterytyczną. Z wag na to, ż w procee projektowana kontrkcj bdowlanych należy względnć różnego rodzaj czynnk przypadkowe, np. nedokładne nformacje o obcążenach kontrkcj, jej geometr czy też błędy technologczne wykonawcze, do oblczeń przyjmowana jet wytrzymałość oblczenowa. Wytrzymałość ta jet lorazem wytrzymałośc charakterytycznej wpółczynnków materałowych pełnających rolę wpółczynnków bezpeczeńtwa. Ry Warnk projektowana prętów rozcąganych (a) Warnek wytrzymałośc ma ma R (4) gdze R oznacza wytrzymałość oblczenową materał pręta (w normach określaną zazwyczaj ymbolem f ). owyżzy warnek można wykorzytać do wyznaczena nośnośc pręta lb pola powerzchn jego przekroj poprzecznego (b) Warnek ztywnośc gdze ldop dopzczalne wydłżene pręta. R ma (4) ma (44) R l l dop (45)

12 rzykłady rzykład. Wyznaczyć zmany dłgośc średncy pręta talowego o chemace tatycznym jak na ry., dłgośc l średncy d, powodowane łą rozcągającą. Sprawdzć naprężena w pręce oraz oblczyć jego nośność. Dane: 0 k, l m, d 0.0m, ν 0., 00Ga, R 00Ma Szkane: l, d,, Rozwązane: Jeśl rozcągany pręt o średncy d dłgośc l wydłży ę o l, to jego odkztałcene podłżne wynee ε l l, czyl l ε l, zaś odkztałcene poprzeczne będze równe ε y ε y d d νε. Zatem średnca takego pręta zmen ę (zmnejzy ę) o d νdε. Krok. Korzytając ze wzor (7) oblczamy odkztałcene podłżne pręta oneważ 9 0 0, 00 0 m, d 0 m m 4 zatem ε Krok. Korzytając ze wzor (4) wyznaczamy odkztałcene poprzeczne pręta ε y ε νε z Krok. Oblczamy zmanę dłgośc pręta l ε l m 0. 64mm Zatem przyłożona ła rozcągająca wydłżyła pręt o 0.064% jego dłgośc początkowej. Krok 4. Oblczamy zmanę grbośc pręta d ν dε m mm Krok 5. Korzytając ze wzor (6) wyznaczamy naprężene w pręce oneważ Zatem warnek wytrzymałośc (4) jet pełnony m 7Ma Ma < R 00Ma Krok 6. Korzytając ze wzor (5) oblczamy nośność pręta

13 oneważ R 00Ma 00 0 m 6 Zatem 4 6 R k > 0k rzyłożone obcążene jet mnejze od nośnośc pręta. rzykład. Sporządzć wykrey ły podłżnej, naprężena normalnego, odkztałcena lnowego przemezczena w przypadk pręta o chemace tatycznym obcążen jak na ry.. Ry.. Dane:, l,, Szkane:,, ε, Rozwązane: Wyznaczamy łę podłżną ( ) naprężene normalne ( ) ( ) odkztałcene lnowe ε ( ) przemezczene ( ) ( 0 ) 0, ( l) lb Wykrey ły podłżnej ( ), naprężena ( ), odkztałcena ε ( ) przemezczena ( ) przedtawa ry... Warto zaważyć, że w przypadk obcążena pręta łą kponą, ła podłżna, naprężene l

14 odkztałcene ą fnkcjam tałym, natomat przemezczene fnkcją lnową, przy czym wydłżene pręta jet równe pol powerzchn wykre ły podłżnej, l, podzelonem przez ztywność przekroj na rozcągane,. Ry.. rzykład. Sporządzć wykrey ły podłżnej, naprężena normalnego, odkztałcena lnowego przemezczena w przypadk pręta o chemace tatycznym obcążen jak na ry.. Ry.. Dane: p, l,, Szkane:,, ε, Rozwązane: Wyznaczamy ły podłżne ( ) p( l ) ( 0 ) pl, ( l) 0 naprężena normalne ( ) ( ) p pl l ( l ) ( 0 ), ( ) 0 odkztałcena lnowe ε p pl ( ) ( l ) ε ( 0 ), ε ( l) 0

15 przemezczena (7) p ( ) ( l ) ( 0) 0, ( l) p B l pl Wykrey ł podłżnych ( ), naprężeń normalnych ( ), odkztałceń lnowych ( ) ( ) przedtawa ry.. ε przemezczeń Ry.. Warto zaważyć, że w przypadk obcążena pręta obcążenem cągłym, równomerne rozłożonym po jego dłgośc, ła podłżna, naprężene odkztałcene ą fnkcjam lnowym, natomat przemezczene fnkcją kwadratową, przy czym wydłżene pręta jet równe pol powerzchn wykre ły podłżnej, pl, podzelonem przez ztywność przekroj na rozcągane,. rzykład 4. rzy jakej dłgośc l ma pręt talowy o średncy d chemace tatycznym jak na ry.. ne legne znzczen (zerwan) pod wpływem cężar włanego. Dane: ρ Szkane: l ma Rozwązane: kg / m, a 9.8 m /, d 0.0m, R 00Ma 00 0 m Z przykład wynka, że najbardzej obcążony cężarem włanym pręta jet przekrój w mejc jego twerdzena. Wartość makymalnego naprężena w tym przekroj jet równa (ry..) 6 ma pl ( 0) () oneważ w rozważanym przypadk p ρa, zatem ma pl ρ l a ρ l a () Z warnk wytrzymałośc () wynka, że ma R () odtawając () do () otrzymjemy 6 R lma.6 0 m. 6 km ρ a

16 Zatem dopero pręt o dłgośc wękzej nż.6 km legł by znzczen (zerwał by ę) na ktek przekroczena przez naprężena wytrzymałośc oblczenowej. Warto zaważyć, że gdyby twerdzć rozważany pręt w pnkce B zamat w pnkce, to byłby on śckany. W takm przypadk ła podłżna zmenłaby znak, naprężena normalne byłyby jemne (śckające), natomat dłgość pręta byłaby taka ama. Trdno jednak wyobrazć obe możlwość wykonana łpa o takej dłgośc, gdyż tracłby on tateczność (ległby wyboczen) jż przy znaczne mnejzej dłgośc (patrz rozdz..5). Zatem różnca medzy rozcąganem a śckanem ne polega w przypadk prętów mkłych (o dłgośc znaczne wękzej od ch wymarów poprzecznych) tylko na zmane znak przyłożonej ły. Jedyne w przypadk prętów krępych (o dłgośc newele wękzej od ch wymarów poprzecznych) śckane od rozcągana różn ę jedyne znakem. rzykład 5. Oblczyć reakcje, porządzć wykrey ł podłżnych, naprężeń normalnych, odkztałceń przemezczeń oraz wyznaczyć wymar przekroj w przypadk pręta o chemace tatycznym obcążen jak na ry 5.a. rzekrój pręta ma kztałt kwadrat. Dane: 00 k, l m, 40 Ga, R 400 Ma Szkane: V, V,,, ε, a B, Ry 5. Rozwązane: anomy pnkty charakterytyczne reakcje podporowe (ry. 5.b). Oblczamy pola powerzchn przekrojów pręta Krok. Strona tatyczna C a a a, CB a a a Formłjemy równane równowag ł dzałających na rozważany pręt X V + VB 0 V + VB () Otrzymalśmy jedno równane równowag z dwema newadomym V V B. Zatem lczba newadomych jet wękza od lczby równań, a wec zadane jet tatyczne newyznaczalne. Odrzcamy zatem myślowo podporę B, zatępjąc ją łą newadomą X. Otrzymamy w ten poób pręt tatyczne wyznaczalny obcążony znaną ła łą newadomą X (ry. 5.). Oblczamy ły podłżne (od przyłożonej do pręta ły) (od pozkwanej newadomej oraz porządzamy ch wykrey (ry. 5.). X

17 CB B X 0, X C Ry 5. Krok. Strona geometryczna Oblczamy wydłżene pręta tatyczne wyznaczalnego (ry. 5.). Zgodne z zaadą perpozycj l B l B Sła newadoma X w pręce tatyczne wyznaczalnym (ry. 5.) będze równa reakcj V B w pręce tatyczne newyznaczalnym (ry. 5.b) tylko wtedy, gdy pełnony będze natępjący warnek nerozdzelnośc (cągłośc): Krok. Strona fzyczna B B X B Oblczamy wydłżene pręta od ły zadanej ły newadomej X B l l 0 X V () B l l B X B l l C X C CB X CB l l + 0 a a X l X l Xl a a a () Krok 4. Oblczany reakcje odtawając () do () otrzymjemy Z równana () wynka, że Krok 5. Wyznaczamy ły podłżne l Xl lb 0 X V B a a V VB

18 + X C, CB 0 naprężena normalne odkztałcena lnowe przemezczena C CB C, CB ma CB a a a a a a a C B ε, a CB a a C C εcb ( 0) ( l) 0 l C l a l a l ( l) l l 0 B C CB a l a Wykrey ł podłżnych ( ), naprężeń normalnych ( ), odkztałceń lnowych ( ) ( ) przedtawa ry. 5.. ε przemezczeń Krok 6. Oblczamy wymar przekroj Wymar przekroj oblczamy z warnk ztywnośc a R Ry ma R a 9. 0 m 0.9 cm mm rzykład 6. Oblczyć reakcje, porządzć wykrey ł podłżnych, naprężeń normalnych, odkztałceń przemezczeń w przypadk pręta o chemace tatycznym obcążen jak na ry 6.a. rzekrój pręta ma kztałt kwadrat. Dane:, l,

19 Szkane: V, V,,, ε B, Ry 6. Rozwązane: anomy pnkty charakterytyczne reakcje podporowe (ry. 6.b). Oblczamy pola powerzchn przekrojów pręta C a a a CD a a a, DB a a, a Krok. Strona tatyczna Formłjemy równane równowag ł dzałających na rozważany pręt (ry. 6.b) X V + l + VB 0 V + VB () l Otrzymalśmy jedno równane równowag z dwema newadomym V V B. Zatem lczba newadomych jet wękza od lczby równań, a wec zadane jet tatyczne newyznaczalne. Odrzcamy zatem myślowo podporę B, zatępjąc ją łą newadomą X. Otrzymamy w ten poób pręt tatyczne wyznaczalny obcążony łą, obcążenem równomerne rozłożonym l łą newadomą X (ry. 6.). Oblczamy ły podłżne (od przyłożonych do pręta obcążeń) porządzamy ch wykrey (ry. 6.). B B X D CD C 0, l, l l l X X (od pozkwanej newadomej oraz

20 Ry 6. Krok. Strona geometryczna Oblczamy wydłżene pręta tatyczne wyznaczalnego (ry. 6.). Zgodne z zaadą perpozycj l B l B Sła newadoma X w pręce tatyczne wyznaczalnym (ry. 6.) będze równa reakcj V B w pręce tatyczne newyznaczalnym (ry. 6.) tylko wtedy, gdy pełnony będze natępjący warnek nerozdzelnośc (cągłośc): Krok. Strona fzyczna B B X B Oblczamy wydłżene pręta od ł zadanych ły newadomej X B l l 0 X V () B l l B X B l l C X C CD X CD DB X DB l l l 5l + + a a a a X l X l X l Xl + + a a a 6a () Krok 4. Oblczany reakcje odtawając () do () otrzymjemy l 5l a Xl + 6a 0 X V B B Z równana () wynka, że 5 7 V VB Krok 5. Wyznaczamy ły podłżne 5

21 X 5 C +, CD + D, B 0 + naprężena normalne C CD B C,, CD B C a a CD a a DB a a odkztałcena lnowe ε przemezczena C D B 7, a ε 9, a B ε 5 44a C CD C CD B ( 0) ( l ) ( l) 0 l C l D 7l 7l a a 7l 7l 8l lc CD + a a a 8l 7 C CD DB D DB a 5 l a ( l) l l l B Wykrey ł podłżnych ( ), naprężeń normalnych ( ), odkztałceń lnowych ( ) ( ) przedtawa ry. 6. ε przemezczeń Ry 6. rzykład 7. Oblczyć ły w prętach kład prętowego jak na ry. 7., przy założen, że belka jet neodkztałcalna. Dane:, l,,

22 Szkane:, Rozwązane: Ry 7. Krok. Strona tatyczna Formłjemy równane równowag ł dzałających rozważany kład (ry. 7.) Ry 7. M l l l 0 + () Otrzymalśmy jedno równane równowag z dwema newadomym. Zatem lczba newadomych jet wękza od lczby równań, czyl zadane jet tatyczne newyznaczalne. Krok. Strona geometryczna a ktek przyłożonego obcążena kład prętowy odkztałc ę, przyjmjąc położene jak na ry 7.. Z rynk tego wynka, że Ry 7. l l l l l l 0 () Krok. Strona fzyczna Oblczamy wydłżene prętów

23 l l l, l () Krok 4. odtawając () do () otrzymjemy l l 0 0 () Krok 5. Rozwązjemy kład równań () () + 0 otrzymjąc pozkwane wartośc ł 4 0.4, rzykład 8. Oblczyć ły w prętach, kład prętowego jak na ry. 8.. Dane:, l,, Szkane:,, Ry 8. Rozwązane: Krok. Strona tatyczna Formłjemy równana równowag ł dzałających rozważany kład (ry. 8.) X Y nα nα 0 ( + ) coα 0 0 () Otrzymalśmy dwa równana równowag z trzema newadomym,. Zatem lczba newadomych jet wękza od lczby równań, czyl zadane jet tatyczne newyznaczalne.

24 Ry 8. Π odtawając do równań () co α co, dotajemy 4 + ( ) Krok. Strona geometryczna a ktek przyłożonego obcążena kład prętowy odkztałc ę, przyjmjąc położene jak na ry 8.. Ry 8. Z rynk tego wynka, że l l coα l l 0 () Krok. Strona fzyczna Oblczamy wydłżene prętów (wydłżene pręta jet równe wydłżen pręta ). oneważ l l l l. 44l, zatem coα l l l l, l () Krok 4. odtawając () do () otrzymjemy l l 0 0 () Krok 5. Rozwązjemy kład równań ( ) ()

25 + 0 otrzymjąc pozkwane wartośc ł 0.58, rzykład 9. Oblczyć ły naprężena jake wytępją w pręce o dłgośc l obcążonym łą przekroj jak na ry. 9, a także jego wydłżene. ręt kłada ę z dwóch różnych, zepolonych ze obą materałów, których pola powerzchn modły prężytośc podłżnej ą znane. Dane: l,,, a, Szkane:,,,, l Ry 9 Rozwązane: Oblczamy pola powerzchn częśc kładowych całego przekroj pręta a a a a a a a + a + a 4, a Krok. Oblczamy efektywną ztywność pręta. oneważ w rozważanym przypadk n, zatem wzór (8) przyjmje potać + a + a ( ) a () + odtawając () do wzorów (7) (9) dotajemy Krok. Wykorzytjąc wzór () oblczamy ły w pręce,, () a ( + ),, () a ( + )

26 ( + ) a a a + ( + ) a + (v) kąd wynka, że Jeśl, to, kąd, po wykorzytan równana (7) otrzymjemy, że 4 4. W takm przypadk ła przypadająca na każdą z częśc przekroj pręta jet proporcjonalna do jej pola powerzchn, zaś ch ma jet równa przyłożonej do pręta le. Krok. rzy pomocy wzor () wyznaczmy naprężena w przekroj pręta ( + ) ( + ) a a (v) kąd wynka, że Jeśl, to, kąd, po wykorzytan zwązków (v) otrzymjemy, że takm przypadk naprężene w każdej częśc przekroj pręta jet take amo. 4a. W Krok 4. Oblczamy wydłżene pręta podtawając () do (4) l l l (v) ( ) + a Jeśl, to l l 4a. rzykład 0. Oblczyć promeń zepolonego łpa talowo-betonowego obcążonego łą. Słp kłada ę z rry talowej ( ), wykonanej ze tal S5, wypełnonej betonem ( b ) klay C0/5 (ry. 0). Ry 0

27 Dane: 000 K, b 0Ga, 0Ga, Rb 4.Ma, R 5Ma Szkane: r 9 a + a 0a Rozwązane: Oblczamy pola powerzchn częśc kładowych łpa b ( 9a) 8π a, π ( 0a) πa ( 00 8) 9πa π b Krok. Wykorzytjąc wzór (8) oblczamy efektywną ztywność łpa ( 8 ) bb + b a + 9πa π b + 9 Krok. rzy pomocy wzor (9) wyznaczamy naprężena w przekroj łpa 8π a () b π π ( ) a.4( ) b ( ) a.4( ) a 060a a b b a a 488 a 040 () Krok. Oblczamy wymar a z warnk (4), z którego otrzymjemy: w przypadk beton w przypadk tal b Rb a 0. 0 m. 0cm () a R b R a m 0. 67cm (v) a R rzyjmjemy wartość wękzą, czyl a. 0cm. Wynka tąd, że pozkwany promeń łpa wyno r 0 a cm. Zapewna to pełne wykorzytane wytrzymałośc beton, natomat wytrzymałość tal jet wykorzytana częścowo, gdyż podtawając przyjętą wartość a do wzor (v) dotajemy / m 0. 46R ( 0. 0 ) Oznacza to, że wytrzymałośc tal jet wykorzytana w około 4%.