Dominacja stochastyczna a użyteczność

Transkrypt

1 Domncj stochstyczn użyteczność Jonn Dys 16 lpc 21 Streszczene W ponższej prcy bdny jest zwązek pomędzy domncją stochstyczną użytecznoścą konsument. Zostne wykzne, że porządek częścowy wyznczony przez domncję perwszego rzędu jest równowżny porządkow wyznczonemu przez preferencje. Prc powstł w oprcu o rtykuł Josef Hdr Wllm Russel, Rules for Orderng Uncertn Prospects. 1 Wprowdzene Rozwój teor oczekwnej użytecznośc był newątplwe krokem mlowym w rozwżnch n temt wyboru konsument w wrunkch ryzyk. W klsycznej już dzś prcy Theory of Gmes nd Economc Behvour, John von Neumnn Oskr Morgenstern zproponowl ksjomty, które według nch pownny spełnć rcjonlne spójne wybory konsument. Formlnej rzecz ujmując, określl on pożądne włsnośc relcj preferencj n zborze loter, czy też losowych wypłt, nstępne, dl relcj spełnjącej wszystke postulowne ksjomty, udowodnl fundmentlne twerdzene o stnenu funkcj użytecznośc, o wrtoścch w zborze lczb rzeczywstych. Stło sę jsne, że znjąc funkcję użytecznośc decydent, możemy określć jego wybór dl dowolnej sytucj decyzyjnej, przed jką zostne on postwony. Szybko jednk stło sę jsne, że określene dokłdnej postc funkcj użytecznośc, czy choćby klsy, do której nleży, jest zdnem trudnym, o le w ogóle możlwym do zrelzown. Zczęto węc bdć, przy jkch wrunkch możn przewdzeć wybór konsument, ne znjąc jego funkcj użytecznośc. Perwsze pomysły n rozwązne tego zgdnen, operły sę n dobrze znnych mernkch sttystycznych: wrtośc oczekwnej wrncj zmennych losowych, opsujących wypłty w probleme decyzyjnym. Szybko jednk okzuje sę, że metod porównywn dwóch perwszych momentów dzł tylko dl pewnych wąskch kls funkcj użytecznośc, bądź określonych rozkłdów. W ogólnośc jednk, jko, że użyteczność jest funkcją wszystkch momentów zmennej losowej, porównne wrtośc oczekwnej wrncj ne wystrczy do jednozncznego określen wyboru konsument. 1

2 Josef Hdr Wllm Russell zproponowl podejśce lterntywne, oprte n nowym wówczs pojęcu domncj stochstycznej. Koncepcj domncj stochstycznej perwszego rzędu określ częścowy porządek n przestrzen zmennych losowych, określjących wypłty decydent. Porównywne są ze sobą welkośc dystrybunt zmennych w kżdym punkce. Pomysł ten njlepej możn wytłumczyć z pomocą ogonów dystrybunt. Znlzujmy sytucję, w której prwdopodobeństwo tego, że X jest wększe od pewnej ustlonej wrtośc jest zwsze wększe (nezleżne od wyboru wrtośc) nż nlogczne prwdopodobeństwo dl Y. Ozncz to, że decydent częścej będze wygrywł co njmnej t, gdy zdecyduje sę wybrć wrnt X, nż gdy wyberze Y. Jeśl t zleżność zchodz dl wszystkch pozomów t, to decydent z kżdym rzem mksymlzując swoje sznse n dużą wygrną, wyberze X. Ne gorzej jest jednk ze strtm: po przeksztłcenu nerównośc wążącej ogony n tką wążącą dystrybunty, okże sę, że powyżej opsn zleżność mplkuje, ż prwdopodobeństwo wygrn mnej nż ustlon welkość t jest zwsze mnejsze dl zmennej X nż dl Y. Decydent, chcąc mnmlzowć sznse n młe wygrne, ponowne będze preferowł X wobec Y. Hdr Russell n drodze tych obserwcj, postwl hpotezę, że stojąc przed wyborem mędzy loterą zdomnowną domnującą, decydent mksymlzujący swą użyteczność będze zwsze wyberł tę osttną, gdyż oferuje on wększe prwdopodobeństwo wysokch wypłt mnejsze prwdopodobeństwo strt. Okzło sę równeż, że jeśl ne wdomo, czy mędzy zmennym stneje domncj stochstyczn perwszego rzędu, możn neco zmenć to złożene, przy wykorzystnu słbszej włsnośc domncj stochstycznej drugego rzędu. W nnejszej prcy przytoczę obserwcje Hdr Russell, jk równeż wększość dowodów postulownych twerdzeń, tkże krótko omówę ch nterpretcję. Główną treść prcy zostł przedstwon w kolejnych trzech rozdzłch. W perwszym przedstwm ogólną koncepcję domncj stochstycznej perwszego rzędu motywcję z ną stojącą. Nstępne dw prezentuje formlny dowód twerdzeń, wążących domncję z wyborm decydent, dl przypdku cągłego dyskretnego. W czwrtym rozdzle znleźć możn sformułowne podobnych włsnośc, tym rzem dl domncj stochstycznej drugego rzędu. Po formlnej nlze nstępują przykłdy zstosown obu twerdzeń dl rbtrlne dobrnych dnych. Ostteczne, zborę njwżnejsze wnosk w podsumownu. 2 Domncj stochstyczn I rzędu 2.1 Motywcj Bezpośredną motywcją stojącą z koncepcją domncj stochstycznej był prost włsność preferencj, określonych przez von Neumnn Morgenstern, któr wynkł z tzw. ksjomtu nezleżnośc. Włsność t jest nstępując: jeśl jest relcją preferencj spełnjącą kjomtykę teor oczekwnej użytecznośc dl pewnych zmenych losowych X Y, to dl β > α > zchodz: βx + (1 β)y αx + (1 αy ). (1) 2

3 Interpretcj jest jsn: decydent chrkteryzujący sę preferencjm typu von Neumnn Morgenstern, będze wyberł te lotere, które dją wększe prwdopodobeństwo uzyskn preferownej wypłty. Skoro zchodz tk nerówność dl dwóch zmennych, cekwym wydje sę pytne, czy podobn zleżność może zchodzć dl wększej lośc zmennych co będze on oznczć dl decydent. Dl uproszczen, przyjmjmy, że elementm loter będą ne zmenne losowe, pewne wypłty które dl wygody będzemy utożsmć z ch użytecznoścm u. Przyjmjmy, że użytecznośc są uszeregowne rosnąco, tj u 1 < u 2 <... < u n. Mmy dne też prwdopodobeństw α wystąpen kolejnych wypłt nnym słowy, mmy zdefnowną loterę n wrtoścch u. Będzemy sę strć skonstruowć nną loterę n tych smych welkoścch, tk, by zpewnć redystrybucję prwdopodobeństw w kerunku wyższych wypłt. Przyjmjmy dl nowej loter prwdopodobeństw β tke, że: { α j > β j, α k < β k dl pewnych wybrnych j, k, tkch, że j < k α = β dl / {j, k} Wówczs netrudno zuwżyć, że bezpośredno z włsnośc 1 wynk, ż: β u > α u Okzuje sę, że welkośc β możn zdefnowć dużo ogólnej. Wystrczy, żeby tworzyć lotere tk, by odpowedno grupowć prwdopodobeństw młych wypłt. Konkretnej, dl kżdego górnego lmtu wypłt r pownen być spełnony nstępujący wrunek: r β r α. Tką włsność będzemy włśne nzywć domncją stochstyczną perwszego rzędu. 2.2 Defncj Przystąpę terz do formlzcj teor. W prcy będzemy bdl włsnośc domncj stochstycznej wyłączne perwszego drugego rzędu. Przytoczę jednk ogólnejszą defncję, dl dowolnego rzędu n cłkowtego dodtnego. Defncj 1. Dystrybuntą n-tego rzędu zmennej losowej X X nzwemy funkcję F (n) X (x) spełnjącą nstępującą rekurencję: F (1) X (x) = F X(x) x F (n) X (x) = F (n 1) X (t)dt 3

4 Defncj 2 (Domncj stochstyczn n-tego rzędu). Powemy, że zmenn losow X domnuje zmenną Y w sense domncj stochstycznej n-tego rzędu, co oznczymy przez X d(n) Y, jeśl zchodz: x R F (n) X (n) (x) F (x). Łtwo możn zobserwowć, ż relcj domncj stochstycznej n-tego rzędu tworzy porządek częścowy n przestrzen zmennych losowych. Ne jest to jednk porządek zupełny, co wyjśn nstępując defncj: Defncj 3 (Neporównywlność zmennych). Powemy, że X, Y są neporównywlne w sense domncj stochstycznej n-tego rzędu, co oznczymy przez X d(n) Y jeśl ne zchodz żdn z zleżnośc: X d(n) Y orz Y d(n) X. 3 Twerdzene o wyborze dl domncj stochstycznej perwszego rzędu Przystąpmy terz do sformułown dowodu tezy sformułownej przez Hdr Russell, o tym, że domncj stochstyczn determnuje wybór wszystkch decydentów o nemlejących funkcjch użytecznośc zchodz też zleżność odwrotn. Monotonczność funkcj użytecznośc jest nejko mnmlnym wymgnem, jk stwją bdcze, tym stotnejsze jest ztem, że wyłączne to wystrczy, by bdć włsnośc domncj perwszego rzędu. 3.1 Przypdek dyskretny Zcznemy od dowodu twerdzen w przypdku dyskretnym. Twerdzene 1. Nech X, Y X będą dyskretnym zmennym losowym n skończonej przestrzen stnów. Wówczs X d(1) Y wtedy tylko wtedy, gdy dl kżdej nemlejącej funkcj użytecznośc u zchodz: Eu(X) Eu(Y ). Prezentuję w tej prcy nny dowód nż orygnlne zproponowny przez Hdr Russel, stąd przytoczę go w cłośc. Ponższy dowód jest oprty n pomyśle Qurk Sposnk z prcy [QuS]. Sformułuję njperw udowodnę lemt pomocnczy, dopero późnej zś przejdzemy do dowodu twerdzen 1. Lemt 1. 1 Jeśl zchodz X d(1) Y, to stneją funkcje u,v, obe nemlejące, tke, że prwdzwy jest ukłd nerównośc: { Eu(X) < Eu(Y ) Ev(X) > Ev(Y ). 1 Ponższy lemt ukzuje mplkcję jedyne w jedną stronę. Implkcj w drugą równeż jest prwdzw, ze względu jednk n czytelność prcy zdecydowłm sę jej ne udowdnć. Dowód ne wprost jest łtwy pozostwm go chętnemu Czytelnkow bądź odsyłm do [QuS] Y 4

5 Dowód lemtu. Oznczmy zbór wrtośc zmennych X Y, odpowedno przez A X A Y, ch (dyskretne) gęstośc prwopodobeństw przez p(x), dl x A x orz q(y) dl y A Y. Nech A = A X A Y. Bez strty ogólnośc możemy złożyć, że elementy zboru A są ustwone w cąg nemlejący: 1 > 2 >... > n. Dodefnujmy gęstośc p q nstępująco: p( ) =, jeśl / A x orz q( ) =, jeśl / A y Dzęk temu zbegow możemy operowć n tych smych wrtoścch dl obu zmennych. Rozptrzmy welkośc: ρ X = 2 p( ) orz rho Y = 2 q( ). Są to lczby rzeczywste, zchodz węc lbo ρ X < ρ Y lbo ρ X ρ Y. Złóżmy n początek, że ρ X < ρ Y. Chcemy udowodnć stnene tkch funkcj u,v, że zchodz Eu(X) < Eu(Y ) orz Ev(X) > Ev(X). Kłdąc u( ) = 2 otrzymujemy: Eu(X) = u( )p( ) = 2 p( ) = ρ X < ρ Y = 2 q( ) = Eu(Y ) Oczywśce, u jest funkcją nemlejącą, węc spełn wrunk lemtu. Poszukmy terz funkcj v, tk, by spełnł on nerówność przecwną, co równowżne możemy zpsć: v( )[p( ) q( )] > Wemy, że: 2 [p( ) q( )] < orz [p( ) q( )] = Pondto, z defncj stochstycznej neporównywl- nośc, stneją m, k tke, że: m [p( ) q( )] > k [p( ) q( )] < Ztem Ev(X) Ev(Y ) możn zpsć nstępująco: Ev(X) Ev(Y ) = m v( )[p( ) q( )] + v( )[p( ) q( )]. >m Ztem możemy zdefnowć v nstępująco: ρ Y ρ X +ɛ m + 2 dl m, czyl m [p( v( ) = ) q( )] 2 dl < m, czyl > m, gdze ɛ jest dowolną lczbą dodtną. Wówczs mmy: Ev(X) Ev(Y ) = ρ Y ρ X + ɛ + 2 [q( ) p( )] = ɛ >. Funkcj v zdefnown jk powyżej jest rosnąc, spełn węc wrunk lemtu. 5

6 Dowód w przypdku, gdy ρ X > ρ Y przebeg nlogczne - wystrczy w powyższym dowodze zmenć role funkcj p q. Pozostje przypdek, gdy ρ X = ρ Y. Wówczs możn dobrć dowolne r (, 1) tke, że r p( ) r q( ). Istnene tkego r wynk z jednozncznośc współczynnków welomnu. Mjąc już udowodnony lemt, możemy przejść do dowodu twerdzen 1 Dowód twerdzen. Udowodnmy mpkcję w prwą stronę. Przyjmjmy oznczen jk z dowodu lemtu 1. Przypomnjmy, że wrtośc są ustwone w cąg mlejący. Dl ustlonego m sum m p( ) reprezentuje ztem ogon dystrybunty zgodne z defncją domncj stochstycznej perwszego rzędu spełn nerówność: m m p( ) p( ) (2) Chcemy wykzć, że dl kżdej funkcj nemlejącej u zchodz: Eu(X) = u( )p( ) Eu(Y ) = u( )q( ). Równowżne: u( )[p( ) q( )]. (3) Bez strty ogólnośc możemy złożyć, że u( ) > dl kżdego. Jeśl tk ne jest, możemy przesunąć u o dowolną stłą, któr zgwrntuje nm żądną nerówność. 2 Dowód przeprowdzmy ndukcyjne po górnej grncy sumown m. 1. Dl m = 1. Wówczs u( 1 )[p( 1 ) q( 1 )], bo u( ) > orz p( ) q( ) (z (2), dl m = 1). 2. Złóżmy, że nerówność (3) zchodz dl sumown od 1 do m 1. Udowodnmy ją dl sumy od 1 do m. Mmy: m u( )[p( ) q( )] = m 1 u( )[p( ) q( )] + u( m )[p( m ) q( m )]. Z nerównośc (2) po drobnych przeksztłcench wdzmy, że: m 1 p( m ) q( m ) [p( ) q( )]. Ztem, wstwjąc to do (4) otrzymujemy: m m 1 u( )[p( ) q( )] [u( ) u( m )] [p( ) q( )] 2 Zgodne z teorą von Neumnn-Morgenstern, użyteczność krdynln jest nezmenn ze względu n dodtne przeksztłcen fnczne. (4) 6

7 Połóżmy ũ( ) = u( ) u( m ). Wówczs ũ jest monotonczn ũ jest funkcją krdynlnej użytecznośc równowżną z u w sense ksjomtów von Neumnn Morgenstern (gdyż powstł przez dodtne przeksztłcene fnczne u). Ponewż dl funkcj u z złożen ndukcyjnego zchodz nerówność węc zchodz tkże: m 1 m 1 u( )[p( ) q( )], v( )[p( ) q( )]. To z kole n mocy powyższej nerównośc mplkuje: m u( )[p( ) q( )]. Zkończylśmy węc dowód mplkcj w prwą stronę. Udowodnmy mplkcję w lewą stronę. Dowód przeprowdzmy ne wprost. Złóżmy, że dl kżdej funkcj użytecznośc u mmy Eu(X) Eu(Y ), le ne zchodz X d(1) Y. Wówczs lbo X d(1) Y lbo X d(1) Y. 1. Jeśl X d(1) Y, to n mocy lemtu 1 stneją funkcje u, v tke, że Eu(X) < Eu(Y ) Eu(X) > Eu(Y ). Jest to sprzeczne z nszym perwotnym złożenem. Ztem ne może zchodzć X d(1) Y. 2. Jeśl X d(1) Y, to n mocy udowodnonej przed chwlą mplkcj w prwą stronę, zchodz Eu(X) Eu(Y ). Ponowne otrzymujemy sprzeczność. Wnoskujemy ztem, że mus zchodzć X d(1) Y. Dowód twerdzen zostł zkończony. 3.2 Przypdek cągły Udowodnmy terz nlogczne twerdzene dl przypdku cągłego. Okzuje sę, że tez jest prwdzw, jeśl o funkcj użytecznośc złożymy że jest nerosnąc różnczkowln w sposób cągły. Dodtkowo, przyjmemy, że zmenne X, Y orz wszystke funkcje u są określone n przedzle domknętym [, b]. Twerdzene 2. Nech X, Y będą zmennym losowym o wrtoścch n przedzle [, b] o cągłych gęstoścch prwdopodobeństw. Wówczs X d(1) Y wtedy tylko wtedy, gdy dl kżdej nemlejącej kwłkm różnczkowlnej funkcj użytecznośc zchodz: u : [, b] R zchodz: Eu(X) Eu(Y ). 7

8 Ponowne, przed przystąpenem do dowodu, sformułujemy nlog lmtu 1 dl przypdku cągłego. Lemt 2. Nech X, Y są zdefnowne jk wyżej. Jeśl zchodz X d(1) Y, to stneją funkcje u,v, obe nemlejące, tke, że prwdzwy jest ukłd nerównośc: { Eu(X) < Eu(Y ) Ev(X) > Ev(Y ). Dowód lemtu. Dowód lemtu będze nlogczny jk w przypdku dyskretnym, pozwolę sobe węc zstosowć pewne skróty. Nech p(x) q(x) oznczją gęstośc zmennych X Y, f : [, b] R będze tką funkcją nemlejącą, dl której stneją cłk b f(x)p(x) orz b f(x)q(x). Oznczmy te cłk, odpowedno, przez ρ X ρ Y. Złóżmy n początek, że ρ X < ρ Y. Chcemy udowodnć stnene tkch funkcj u,v, że zchodz Eu(X) < Eu(Y ) orz Ev(X) > Ev(X). Kłdąc u(x) = f(x) otrzymujemy, jk poprzedno, perwszą nerówność. Poszukmy terz funkcj v, któr spełn drugą nerówność, którą możemy zpsć: b f(x)[p(x) q(x)] > Z defncj stochstycznej neporównywlnośc, stneją s, t tke, że: s [p(x) q(x)dx] > [p(x) q(x)dx] < b s b t [p(x) q(x)dx] < [p(x) q(x)dx] > Ztem, defnując nlogczne jk w dowodze perwszego lemtu funkcję v nstępująco: ρ Y ρ X + f(x) dl x > s b [p(x) q(x)]+ɛ v(x) = t f(x) dl x s, otrzymujemy kwłkm cągłą różnczkowlną funkcję użytecznośc. Pondto, v(x) jest nemlejąc, węc spełn wrunk lemtu zchodz Ev(x)[p(x) q(x)] > Podobne uzsdnmy przypdek ρ X > ρ Y. Dl ρ X = ρ Y dobermy nną funkcję f. Przystąpmy terz do dowodu twerdzen 2. Dowód zczerpnęty jest z [HRu]. Co zskkujące, jest zrówno krótszy, jk prostszy nż jego dyskretny odpowednk. 8

9 Dowód. Nech p(x), q(x) oznczją cągłe gęstośc zmennych X Y, P (x), Q(x) odpowdjące m dystrybunty. Chcemmy pokzć, że Eu(X) Eu(Y ). Z defncj wrtośc oczekwnej mmy: b Eu(X) Eu(Y ) = Cłkując przez częśc, mmy: b u(x)[p(x) q(x)]dx. b u(x)[p(x) q(x)]dx = u(x)[p (x) Q(x)]dx b u (x)[p (x) Q(x)]dx Perwszy skłdnk jest równy zeru, gdyż P (b) = Q(b) = 1 P () = Q() = z defncj dystrybunt. Drug człon jest dodtn, gdyż z złożen X d(1) Y mmy P (x) Q(x) orz u (x), bo u jest nemlejąc. Ztem bez trudu otrzymujemy, że: Eu(X) Eu(Y ), co kończy dowód mplkcj w prwo. Dowód przebeg z wykorzystnem lemtu 2 jest bezpośrednm przenesenem dowodu dl przypdku dyskretnego. 4 Domncj stochstyczn drugego rzędu Dzęk domncj stochstycznej perwszego rzędu potrfmy przewdzeć zchown kżdego decydent o rosnącej funkcj użytecznośc. Nestety, włsność t jest n tyle sln, że występuje stosunkowo rzdko. Dl zmennych, które są neporównywlne w sense domncj stochstycznej perwszego rzędu, skutecznym może sę okzć zbdne domncj drugego rzędu. Rezultt będze neco słbszy - zmuszen jesteśmy dodć dodtkowe złożene o funkcj użytecznośc u. Metod domncj drugego rzędu sprwdz sę dl klsy decydentów, chrkteryzujących sę wersją do ryzyk. Behworlne, ozncz to, że mjąc do wyboru wzęce udzłu w loter lub uzyskne średnej wypłty z tej loter bez ponoszen ryzyk, wyborą tą drugą opcję. Mtemtyczne, ozncz to, że jeśl ch funkcj użytecznośc jest dwukrotne różnczkowln, to u (x). Okzuje sę, jk wykzł Hdr Russel, że dl tkej grupy konsumentów możn sformułowć neco słbszą wersję twerdzen 1. Twerdzene to sformułuję od rzu w ogólnośc - ne m potrzeby rozptrywć osobno przypdku dyskretnego cągłego, gdyż po przejścu n dystrybunty utomtyczne otrzymujemy funkcje kwłkm cągłe. Mlcząco zkłdm, że wszystke cłk są cłkm Lebesgue, toteż skończene wele punktów necągłośc ne będze nm przeszkdzć w defncj. 9

10 Tym rzem dowód oper sę wyłączne n cytownej prcy Hdr Russell, pozwolę sobe go ztem omnąć, formułoując tylko twerdzene: Twerdzene 3. Nech X, Y są zmennym losowym o wrtoścch w przedzle [, b], o dystrybuntch, odpowedno P (x) Q(x). Wówczs, jeżel nerówność: P (x)dx Q(x)dx, zchodz dl kżdego t [, b], to dl kżdej nemlejącej funkcj u kwłkm klsy C 2, o nedodtnej drugej pochodnej zchodz Dowód. [HRu]. 5 Przykłdy Eu(X) Eu(Y ). Podm terz dw przykłdy lustrujące wykorzystne powyższych twerdzeń. Njperw poddmy nlze przykłd cągły, w którym z domncj stochstycznej perwszego rzędu będzemy wnoskowć o wyborze decydent. Nstępne, zbdmy przypdek dyskretny, w którym z wyboru decydentów będzemy wnoskowć o domncj stochstycznej drugego rzędu. 5.1 Przykłd 1 Rozwżmy dwe zmenne losowe, określone n przedzle [, 1], reprezentujące dw ryzyk, mędzy którym będze wyberł decydent. Nech X będze zmenną o rozkłdze jednostjnym n tym przedzle - to jest, gęstość X wyrż sę wzorem g X (t) = I [,1] (t), co ozncz, że kżd wypłt z X jest w pewnym sense jednkowo prwdopodobn. Nech Y będze zmenną n tym smym przedzle o gęstośc g Y (t) = ( 2t+2) I [,1] (t). Gęstość funkcj Y jest mlejąc, co ozncz, że m wyższe wrtośc wypłt, tym mnejsze prwdopodobeństwo ch uzyskn. Intucyjne wdć ztem, że mmy do czynen z sytucją, gdy dl ustlonej wrtośc t prwdopodobeństwo wypłty nższej nż t jest zwsze wyższe dl zmennej Y nż nlogczne prwdopodobeństwo dl zmennej X. Istotne, mmy: F Y (t) = F X (t) = 1ds = t dl t [, 1] ( 2s + 2)ds = t 2 + 2t dl t [, 1] F Y (t) F X (t) = t 2 + t = t(t 1) dl t [, 1] 1

11 Oczywśce F Y (t) = F X (t) dl t / [, 1], węc neostr nerówność zostje zchown. Mmy ztem w ogólnośc F X (t) F Y (t) t, ztem X domnuje Y w sense domncj stochstycznej perwszego rzędu. Z twerdzen 2 wemy, że jest to równowżne sytucj, w której kżdy decydent o rosnącej funkcj użytecznośc będze wyberł X zmst Y. O tym, że stotne tk jest możemy sę przekonć, lcząc wrtość oczekwną obu zmennych: EY = EX = 1 1 sds = 1 2 (2s 2s 2 )ds = 1 3 Ztem EX > EY, skąd wnoskujemy, że decydent mksymlzujący swoją użyteczność będze wyberł X wobec lterntywy Y. 5.2 Przykłd 2 Znlzujmy terz przykłd dzłn domncj stochstycznej drugego rzędu. Nech X będze, ponowne, zmenną losową o rozkłdze jednostjnym n przedzle [, 1], Y - zmenną o rozkłdze dwupunktowym, przy czym P(Y = 1) = P(Y = ) = 1 2. Aby zbdć wybor decydent, przyjmemy - bez strty ogólnośc - że jego funkcj użytecznośc jest unormowne tj. u() = orz u(1) = 1. Pondto, jk w twerdzenu 3, będzemy zkłdć, że funkcj użytecznośc jest kwłkm klsy C 2 wklęsł. Wówczs decydent dl dowolnej funkcj u będze preferowł ryzyko X wobec Y, bowem przy tkej smej wrtośc oczekwnej chrkteryzuje sę mnejszą wrncją. Udowodnmy to formlne. Netrudno wylczyć wrtość oczekwną użytecznośc ze zmennej Y : Eu(Y ) = 1 2 u(1) u() = 1 2 Neco brdzej skomplkown jest welkość Eu(X). Znjąc gęstość X możemy npsć: 1 Eu(X) = u(t)g X (t)dt = u(t)dt R Pondto, z defncj wklęsłośc mmy dl kżdego t [, 1]: u(t) = u(t 1 + (1 t) ) t u(1) + (1 t) u() = t Oczywśce, cłk zchowuje monotonczność, możemy ztem zpsć: 1 1 u(t)dt tdt =

12 Co ostteczne dowodz tego, że: Eu(X) Eu(Y ) Zbdjmy terz kwestę domncj stochstycznej. Dystrybunty zmennych X Y przedstwją sę nstępująco: dl t < F X (t) = 1/2 dl t < 1 1 dl t 1 dl t < F Y (t) = t dl t < 1 1 dl t 1 F X (t) = F Y (t) dl t / [, 1], ztem pozostje zbdć zchowne dystrybunt n przedzle [, 1]. Jest oczywstym, że ne zchodz n F X (t) F Y (t) t, n F X (t) F Y (t) t, ztem X d(1) Y. Jednk dl cłek z dystrybunt mmy dl t [, 1]: F X (s)ds = sds = t2 2 t 2 = t 1 t 2 = F Y (s)ds Zchodz ztem wrunek domncj drugego rzędu X d(2) Y. 6 Podsumowne W porównnu z nnym metodm przewdywn zchowń konsument, metody oprte n domncj stochstycznej perwszego drugego rzędu wyróżnją sę dwem ogromnym zletm. Po perwsze, stwne są brdzo newelke wymgn wobec funkcj użytecznośc. W przecweństwe do metody momentów, ne musmy nc zkłdć o welkoścch pochodnych, tylko neujemność perwszej dl domncj perwszego rzędu orz dodtkowo nedodtność drugej dl domncj drugego rzędu. To czyn tę metodę szczególne wżną zwłszcz dl rozwżń teoretycznych, które zzwyczj chcemy prowdzć n jk njwyższym stopnu ogólnośc. Po druge, wrunk defnujące domncję są koneczne dostteczne. To sprw, że obe strony nlzy zrówno od domncj do preferencj, jk od preferencj do domncj mogą byż przeprowdzne dl kżdego rozkłdu cągłego lub dyskretnego dl kżdej funkcj użytecznośc spełnjącej zdne wrunk. Wemy też, że nespełnene dowolnego wrunku utomtyczne wyklucz prwdzwość twerdzen, co znczne przyspesz ułtw rozwązne problemu. 12

13 Ltertur [HRu] Josef Hdr, Wllm Russell, Rules for Orderng Uncertn Prospects [onlne]. Dostępne w Internece: drp.lse.c.uk [NeMo] John von Neumnn, Oskr Morgenstern Theory of gmes nd economc behvour, Prnceton [QuS] Jmes Qurk, Rubn Sposnk, Admssblty nd Mesurble Utlty Functons, The Revew of Economc Studes, 22 (1962), s