Miary ryzyka a dualna teoria użyteczności Yaariego

Transkrypt

1 Uniwersytet Wrszwski Wydził Mtemtyki, Informtyki i Mechniki Jonn Dys Nr lbumu: Miry ryzyk duln teori użyteczności Yriego Prc mgistersk n kierunku MATEMATYKA Prc wykonn pod kierunkiem dr hb. Wojciech Otto, prof. UW Wydził Nuk Ekonomicznych Sierpień 21

2 Oświdczenie kierującego prcą Potwierdzm, że niniejsz prc zostł przygotown pod moim kierunkiem i kwlifikuje się do przedstwieni jej w postępowniu o ndnie tytułu zwodowego. Dt Podpis kierującego prcą Oświdczenie utor (utorów) prcy Świdom odpowiedzilności prwnej oświdczm, że niniejsz prc dyplomow zostł npisn przeze mnie smodzielnie i nie zwier treści uzysknych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepismi. Oświdczm również, że przedstwion prc nie był wcześniej przedmiotem procedur związnych z uzyskniem tytułu zwodowego w wyższej uczelni. Oświdczm pondto, że niniejsz wersj prcy jest identyczn z złączoną wersją elektroniczną. Dt Podpis utor (utorów) prcy

3 Streszczenie Celem niniejszej prcy jest przedstwienie miry ryzyk rynkowego, pozostjącej w zgodzie z klsycznymi postultmi teorii ryzyk, jk i dulną teorią użyteczności, sformułowną przez Yri ego. Zostnie zprezentown reguł skłdki ubezpieczeniowej zdefiniown przez Wng. Wykżemy między innymi, że skłdk Wng jest koherentną mirą ryzyk, więc może być efektywnym nrzędziem wyceny w zstosownich finnsowo-ubezpieczeniowych. Wynik ten jest uściśleniem i uporządkowniem rezultów z kilku prc z zkresu teorii ryzyk i ubezpieczeń. Słow kluczowe koherentność, mir ryzyk, duln teori użyteczności, skłdk Wng, komonotoniczność 11.5 Nuki kturilne Dziedzin prcy (kody wg progrmu Socrtes-Ersmus) Klsyfikcj temtyczn 91 Gme theory, economics, socil nd behviorl sciences 91B Mthemticl economics For econometrics 91B3 Risk theory, insurnce Risk mesures in Yri s dul utility theory Tytuł prcy w języku ngielskim

4

5 Spis treści Wprowdzenie Miry ryzyk Formlizcj ryzyk Miry monetrne, koherentne i wypukłe Monotoniczność Domincj stochstyczn Porządek cięci strt Komonotoniczność Definicj Komonotoniczność miry ryzyk Grnice Fréchet Związek z porządkiem cięci strt Teori oczekiwnej użyteczności i teori duln Yriego Rozwój teorii użyteczności Podstwowe ksjomty wyborów decydent Teori oczekiwnej użyteczności Aksjomt niezleżności i jego interpretcj Twierdzenie o reprezentcji Awersj do ryzyk Teori duln Aksjomt niezleżności i jego interpretcj Twierdzenie o reprezentcji Niezleżność komonotoniczność Związek funkcji dulnej z klsyczną funkcją użyteczności Awersj do ryzyk Skłdk Wng Definicj Włsności monetrne Silniejsze włsności monotoniczności Skłdk Wng domincj stochstyczn Skłdk Wng porządek cięci strt Addytywność i podddytywność Addytywność względem wrstw Addytywność dl komonotonicznych ryzyk Dowód podddytywności

6 Podsumownie Bibliogrfi

7 Wprowdzenie Istotą ubezpieczeń jest zrządznie ryzykiem. Ryzyko ubezpieczeniowe, zdefiniowne w 1966 r. przez Komisję do sprw Terminologii Ubezpieczeniowej USA jko niepewność co do dnego zdrzeni w wrunkch co njmniej dwóch możliwości (por. [Śliw2]), towrzyszy nie tylko kżdej dziłlności gospodrczej, le również osobom prywtnym w codziennym życiu. Instytucje ubezpieczeniowe oferują redukcję tej niepewności, przez przejęcie ewentulnych przyszłych strt z określoną stłą opłtę, zwną skłdką sme zś dzięki gregcji dużej liczby polis są w stnie rozproszyć dne ryzyko pomiędzy grupę ubezpieczonych. Aby móc określić wysokość skłdki ubezpieczeniowej, zkłd ubezpieczeń stje przed trudnym zdniem wyceny przyszłych losowych wypłt. Z jkością tej wyceny bezpośrednio związn jest kwesti wielkości kpitłu ubezpieczyciel i jego wypłclności. Formlnie, decyzj zkłdu sprowdz się do wyboru funkcji mierzącej ryzyko, któr wyzncz regułę nliczni skłdki. Wybór ten musi być jednk kceptowlny zrówno w punktu widzeni ubezpieczyciel, jk i ubezpieczonego w przeciwnym wypdku zkup polisy nie dojdzie do skutku. Wybór reguły nliczni skłdki jest ztem problemem stojącym n pogrniczu teorii ryzyk i teorii wyboru konsument. Celem niniejszej prcy jest skonfrontownie finnsowego podejści do mir ryzyk ze stosunkowo nową teorią wyboru konsument w wrunkch ryzyk, zwną dulną teorią użyteczności, sformułowną przez Menhem Yriego w [Y87]. Zsdniczą motywcję stnowi corz większe zinteresownie ekonomistów koncepcjmi lterntywnymi do klsycznej konstrukcji oczekiwnej użyteczności von Neumnn Morgenstern. Jk się okże, przeformułownie złożeń stojących z klsyczną teorią, prowdzi do zsdniczo innej postcji funkcji użyteczności i umożliwi rozdzielenie włsności, które w teorii oczekiwnej użyteczności były nierozerwlne. Prc jest podzielon temtycznie n trzy rozdziły. W rozdzile pierwszym przedstwion zostnie koncepcj miry ryzyk. N podstwie obszernej litertury przytoczymy ksjomty i włsności, które powinen spełnić funkcjonł, wycenijący losowe wypłty w sposób efektywny i zgodny z postultmi prktyki finnsowej i ubezpieczeniowej. W rozdzile drugim przedstwimy rozwżni dotyczące wyboru konsument w wrunkch ryzyk. Sformułown zostnie zrówno klsyczn teori oczekiwnej użyteczności, jk i duln teori Yriego. Pokrótce omówimy tkże podobieństw i różnice między obydwiem teorimi. W rozdzile trzecim przedstwion zostnie reguł skłdki, któr pozostje w zgodzie z dulną teorią użyteczności, zwn skłdką Wng. Pokżemy, że skłdk Wng spełni podstwowe ksjomty mir ryzyk, więc jest ogniwem łączącym wycenę ubezpieczeniową z teorią wyboru konsument. Njwżniejszym wynikiem prcy jest dowód koherentności miry Wng, którego kluczową częścią jest uzsdnienie podddytywności tej reguły skłdki. 5

8 W dotychczsowej literturze nie jest znny bezpośredni dowód podddytywności skłdki Wng dl jej ogólnej postci. 1 Pierwsze prwidłowe uzsdnienie pojwiło się w [Wng98]. Dowód ten odwoływł się do wielu ogólniejszych wyników, sformułownych w innych prcch z pokrewnych dziedzin, korzystł również z pewnych skrótów i uproszczeń. Jednym z celów niniejszej prcy jest ztem uporządkownie i uzupełnienie o niezbędne uzsdnieni wszystkich twierdzeń i lemtów, potrzebnych do dowodu podddytywności skłdki Wng orz weryfikcj jego poprwności. Większość rezulttów zprezentownych w niniejszej prcy jest oprt n wcześniejszych dokonnich w bdnej dziedzinie. W zkresie teorii ryzyk jest to przede wszystkim pozycj Artzner et l., definując koherentną mirę ryzyk. Istotne dl dlszych rozwżń okzły się też bdni dotyczące komonotoniczności, z których njwżniejsze koncentrowły się wokół bdczy z belgijskiego Leuven (Dhene, Gooverts, Ks i inni). W zkresie teorii wyboru konsument, podstwowym źródłem był oczywiście prc Yriego, definiując dulną użyteczność. Ze względu n temtykę ubezpieczeniową, njwżniejszymi pozycjmi bibliogrficznymi były jednk prce Wng, dotyczące zrówno reguły skłdki, jk i komonotoniczności orz zchowni porządków n zbiorze ryzyk. Podziękowni Szczególne wyrzy wdzięczności, zrówno z zinteresownie mnie zgdnienimi teorii ryzyk, jk i opiekę nd prcą kieruję do mojego promotor, profesor Wojeciech Otto. 1 Dl większości typowych reguł skłdek, tkich, jk np. Vlue-t-Risk, czy reguł odchyleni stndrdowego podddytywność bądź jej brk jest wykzywn bezpośrednio. 6

9 Rozdził 1 Miry ryzyk W niniejszym rozdzile zjmiemy się pojęciem miry ryzyk, tj. funkcji służącej wycenie przyszłych losowych wypłt. Wstęp do rozwżń stnowi formln mtemtyczn definicj. Nstępnie, zjmiemy się rozwżnimi n temt włsności miry ryzyk, które umożliwią zstosownie jej w prktyce finnsowo ubezpieczeniowej. Zgdnienie redukuje się do zwężeni klsy mir do funkcjonłów kceptowlnych z prktycznego punktu widzeni, przez określenie ksjomtów, które porządn, czy też pożądn mir ryzyk powinn spełnić. Aksjomty mir ryzyk zostły podzielone zostły n trzy ktegorie, opisne w kolejnych podrozdziłch. Pierwsz grup definiuje koherentną mirę ryzyk szczególnie istotną koncepcję w rozwżnich finnsowo-ubezpieczeniowych. Nstępnie omówimy dw podstwowe ksjomty silnej monotoniczności miry ryzyk, czyli włsności zchowni pewnych porządków, wprowdzonych n zbiorze ryzyk. Osttni część dotyczy pojęci komotoniczności zmiennych Formlizcj ryzyk Zdefiniujmy njpierw obiekt bdń, czyli przestrzeń probbilistyczną, n której będziemy określć mirę. Niech X będzie zbiorem wszystkich zmiennych losowych określonych n dnej przestrzeni probbilistycznej, które przyjmują wrtości w przedzile jednostkowym [, 1]. 1 Będziemy zkłdć, że przestrzeń X jest n tyle bogt, że kżdy rozkłd o nośniku zwrtym w przedzile jednostkowym może zostć wygenerowny z pomocą elementów X. Definicj 1.1 Niech X będzie przestrzenią probbilistyczną. Funkcję ρ : X R, przypisującą zmiennej losowej pewną liczbę rzeczywistą, nzwiemy mirą ryzyk. Zmienn X X z punktu widzeni ubezpieczeniowego może reprezentowć potencjlną strtę związną z pewnym ryzykiem np. wysokość kosztów leczeni w rzie potencjlnego zchorowni, bądź koszt nprwy pojzdu po ewentulnym wypdku. Wrto tu zuwżyć, że w nszej notcji strt jest dodtni. Wrtości z przedziłu [, 1] możn interpretowć jko ułmek sumy ubezpieczeni ( szkodę częściową ), bądź też wielkość bsolutną poniżej pewnego limitu, umownie oznczonego przez 1. Mir ryzyk jest przy tej interpretcji wysokością skłdki netto, wyznczoną przez ubezpieczyciel. 1 Artzner et l. definiują w [ADEH99] przestrzeń wrtości w sposób ogólny, my jednk dopsowujemy notcję do potrzeb nstępnych rozdziłów. Duln teori Yriego zostł oryginlnie sformułown wyłącznie dl rodzin zmiennych wspólnie ogrniczonych ztem przedził [, 1] może zostć przeksztłcony tylko n inny przedził domknięty. 7

10 1.2. Miry monetrne, koherentne i wypukłe Definicj miry ryzyk nie nkłd n funkcję ρ żdnych dodtkowych wrunków, poz określeniem zbioru wrtości jko liczb rzeczywistych. Zbieg ułtwi porządkownie i porównywnie ryzyk, zgodnie z nturlnym porządkiem liniowym n R, tkże interpretcję monetrną. Aby jednk był możliwy pomir ryzyk rynkowego, nleży ogrniczyć dowolność wyboru miry ryzyk do pewnej sensownej z prktycznego punktu widzeni klsy. Metody wyceny przyszłych losowych wypłt w instytucjch finnsowych stosowne były, rzecz jsn, n długo przed pojwieniem się mtemtycznej definicji miry ryzyk. W oprciu o doświdczenie i zdrowy rozsądek, bnkierzy i ubezpieczyciele określli implicite włsności miry, której używli w procesie wyceny ryzyk. N mtemtyczną formlizcję teorii trzeb było czekć ż do XX wieku. W przełomowej z punktu widzeni teorii ryzyk prcy [ADEH99], sformułowno cztery proste, dziś już klsyczne ksjomty, które powinn spełnić mir ryzyk, umożliwijąc konsekwentną i spójną wycenę różnych zmiennych losowych. Poniżej podję ksjomty w nieco zmodyfikownej wersji, dopsownej do notcji tej prcy i stojącej z nią interpretcji ekonomicznej. Aksjomt 1.1 (Monotoniczność) Dl kżdych zmiennych losowych X, Y X tkich, że X Y p.n., zchodzi ρ(x) ρ(y ). Aksjomt ten jest odzwierciedleniem nszej nturlnej intuicji, że jeśli potencjln strt z X jest większ niż potencjln strt z Y, to skłdk płcon n pokrycie ryzyk X powinn być większ niż nlogiczn skłdk dl Y. Aksjomt 1.2 (Trnslcyjn niezmienniczość) Dl kżdej zmiennej losowej X X orz liczby rzeczywistej m, zchodzi ρ(x + m) = ρ(x) + m. Po dodniu do nszej losowej funkcji pewnej strty deterministycznej, mir ryzyk nszego cłego portfel - czyli skłdk n pokrycie ryzyk zwiększy się o tę wrtość. W szczególności, podstwijąc m = ρ(x), otrzymujemy wyrżenie: ρ(x ρ(x)) =, które m piękną interpretcję ubezpieczeniową: jeśli klient, podlegjący ryzyku X, wykupi ubezpieczenie, zbezpieczjące to ryzyko, pokryte skłdką w wysokości ρ(x), to mir ryzyk jego portfel (skłdjącego się z potencjlnej strty X i polisy n nią) wyniesie. Aksjomt 1.3 (Dodtni jednorodność) Dl kżdej zmiennej losowej X X orz liczby rzeczywistej dodtniej α, zchodzi ρ(αx) = αρ(x). Niniejsz włsność gwrntuje, że proporcjonln zmin ryzyk wpływ proporcjonlnie n jego mirę. W szczególności, podwojenie strt powinno podwjć skłdkę. Aksjomt ten zezwl n rozptrywnie miry niezleżnie od wluty, w której jest wyrżon strt jeśli chcemy ująć wielkość ryzyk w dolrch zmist złotówkch, skłdk zmieni się proporcjonlnie do kursu wlutowego. Włsność t pozwl również przesklowć dowolną ogrniczoną zmienną losową n zmienną o nośniku zwrtym w przedzile [, 1]. Aksjomt 1.4 (Podddytywność) Dl kżdych zmiennych losowych X, Y X zchodzi ρ(x + Y ) ρ(x) + ρ(y ). Podddytywność ozncz, że łączenie ryzyk nie generuje nowej niepewności. Innymi słowy, skłdk n pokrycie dwóch ryzyk powinn być co njwyżej tk wysok, jk sum skłdek n pokrycie kżdego ryzyk równocześnie. Aksjomt ten znjduje zstosownie przy budowniu portfel ryzyk, ztem jest szczególnie istotny dl instytucji finnsowych i ubezpieczeniowych. 8

11 Definicj 1.2 (Mir monetrn) Mirę ρ : X [, 1] spełnijącą ksjomty 1.1 i 1.2 nzwiemy mirą monetrną. Miry monetrne zchowują podstwowe włsności, których podmioty ekonomiczne powinny wymgć od mir ryzyk. Tworzą szeroką klsę, któr może służyć do modelowni wielu rodzjów ryzyk, nie tylko finnsowych. Definicj 1.3 (Mir koherentn) Mirę ρ : X [, 1] spełnijącą ksjomty nzwiemy koherentną mirą ryzyk. Miry koherentne znjdują duże zstosownie w nukch kturilnych ze względu n włsność podddytywności. Nietrudno sobie wyobrzić, co by było, gdybyśmy mierzyli ryzyko mirą niespełnijącą ksjomtu podddytywności ubezpieczeni, gregujące wiele pojedynczych ryzyk w obrębie jednego zkłdu, nie miłyby rcji bytu! Z ksjomtów 1.3 i 1.4 wynik ntychmist nstępując włsność: Obserwcj 1.1. Mir koherentn jest wypukł, tzn. dl kżdych zmiennych losowych X, Y X jest spełnione ρ (λx + (1 λ) Y ) λρ (X) + (1 λ) ρ(y ) W definicji wypukłości zwrt jest rynkow reguł dotycząc zrządzni niepewnością, mówiąc, że dywersyfikcj portfel nie zwiększ ryzyk. Kls mir wypukłych jest rozszerzeniem klsy mir koheretnych, dltego byw czsem nzywn klsą słbo koherentnych mir ryzyk. Kls mir koherentnych nie jest tk szerok, jk mogłoby się wydwć, ptrząc n intuicyjne sformułowni ksjomtów. Jk się okzuje, wiele mir stosownych w prktyce (np. Vlue-t-Risk, czy też reguł wrincji lub odchyleni stndrdowego), nie spełni ksjomtu podddytywności, więc nie będzie opisywć dobrze rozwoju portfel ryzyk ubezpieczeniowych. Jednk ze względu n szczególną rolę gregcji ryzyk w zstosownich ubezpieczeniowych, przy wyborze reguły skłdki rozsądnym wydje się ogrniczenie nszych rozwżń do klsy mir koherentnych Monotoniczność Prc Artzner et l. odbił się szerokim echem w świecie nukowym. Pojwił się szereg dyskusji n temt ewentulnych modyfikcji ksjomtów, definiujących mirę koherentną, w celu rozszerzeni bądź zwężeni zbioru rozptrywnych funkcji. Jedną z propozycji było wzmocnienie ksjomtu 1.1, mówiącego o tym, że mir ryzyk powinn zchowywć porządek domincji prwie n pewno. Domincj prwie n pewno jest brdzo silną włsnością i niewiele pr zmiennych możn uporządkowć według tej relcji. Zchownie porządku domincji prwie n pewno przez mirę jest więc swego rodzju wymgniem minimlnym. Jednk n przestrzeni X możn wprowdzć inne porządki częściowe. Wiele z nich jest wypływ wprost z zstosowń w świecie biznesu. Pojwiły się ztem nowe ksjomty dl mir ryzyk, określjące różne rodzje monotoniczności, w zleżności od zdnego porządku częściowego Domincj stochstyczn Jednym z wżnych w teorii wyboru decydent porządków jest koncepcj domincji stochstycznej n-tego rzędu, zproponown po rz pierwszy w prcy [HRu69]. Zdefiniujemy ją w pełnej ogólności: 9

12 Definicj 1.4 Dystrybuntą n-tego rzędu zmiennej losowej X X nzwiemy funkcję X (x) spełnijącą nstępującą rekurencję: F (1) X (t) = F X(t), F (n) X (s) = t X (s)ds. F (n) F (n 1) Definicj 1.5 (Domincj stochstyczn n-tego rzędu) Powiemy, że zmienn X dominuje zmienną Y w sensie domincji stochstycznej n-tego rzędu, co oznczymy przez X St.(n) Y, jeśli zchodzi: t [,1] F (n) (n) (t) F (t). X Szczególne znczenie teoretyczne mją porządki wyznczone przez domincję stochstyczną pierwszego lub drugiego rzędu. Domincj pierwszego rzędu określ nierówność n dystrybuntch zmiennych. Jeśli X St.(1) Y, to znczy, że dl kżdego poziomu t prwdopodobieństwo strty nieprzekrczjącej t jest zwsze mniejsze dl X niż dl Y. Ztem strt Y będzie przyjmowć niskie wrtości częściej niż X niesie ztem ze sobą mniejsze ryzyko finnsowe. Powiemy, że mir ryzyk jest obdrzon włsnością silnej monotoniczności, jeśli zchowuje on porządek stochstyczny pierwszego rzędu. Aksjomt 1.5 (Siln monotoniczność) Dl kżdych zmiennych losowych X, Y X, tkich, że X St.(1) Y zchodzi ρ(x) ρ(y ) Jk wykzli Hdr i Russel w [HRu69], domincj stochstyczn pierwszego i drugiego rzędu implikuje nie tylko nierówność między wrtościmi oczekiwnymi dwóch funkcji, le i ich przeksztłcenimi o odpowiednich włsnościch. Dokłdniej, zchodzą nstępujące równowżności: Twierdzenie 1.2. Niech U, V będą zmiennymi losowymi o wrtościch w przedzile [, b] i ciągłych gęstościch prwdopodobieństw. Wówczs U St.(1) V wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdej niemlejącej funkcji ϕ kwłkmi klsy C 1 zchodzi Y Eϕ(U) Eϕ(V ). Twierdzenie 1.3. Niech U, V są zmiennymi losowymi o wrtościch w przedzile [, b]. Wówczs, U St.(2) V wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdej niemlejącej funkcji ϕ kwłkmi klsy C 2, o niedodtniej drugiej pochodnej zchodzi Eϕ(U) Eϕ(V ). Znim udowodnimy obydw fkty, omówimy krótko ich znczenie w teorii ekonomii. Występującą w powyższych twierdzenich funkcję ϕ możemy zinterpretowć jko funkcję użyteczności w ujęciu von Neumnn i Morgenstern (zob. rozdził 2). Wówczs zmienne U, V reprezentują wielkości wypłt decydent (np. możemy przyjąć U = X,V = Y, gdzie X, Y X wyrżją strty). Nierówność U St.(1) V implikuje, że wypłt z U jest preferown w stosunku do V przez wszystkich decydentów i n odwrót. Domincj U St.(2) V dje podobny wniosek, le tylko dl decydentów o wklęsłej funkcji użyteczności. Dowód twierdzeni 1.2 stnowi połączenie uzsdnień, przedstwionych w [HRu69] orz [QuS62]. Dowód twierdzeni 1.3 opier się n tym smym pomyśle nie zostł on jednk podny w tkiej formie w żdnej z tych prc. Zdefiniujmy njpierw lemt pomocniczy: 1

13 Lemt 1.4. Niech U, V są zdefiniowne jk w fkcie 1.2. Jeśli zchodzi U St.(1) V orz V St.(1) U, to istnieją funkcje ψ,φ, obie niemlejące i kwłkmi klsy C 1, tkie, że prwdziwy jest ukłd nierówności: { Eψ(U) < Eψ(V ) Eφ(U) > Eφ(V ). Dowód lemtu. Niech p(x) i q(x) oznczją gęstości zmiennych U i V, f : [, b] R będzie dowolną funkcją niemlejącą, dl której istnieją cłki b f(x)p(x)dx orz b f(x)q(x)dx. Tkie złożenie spełni np. dowoln funkcj ciągł, określon n domkniętym przedzile [, b], będąc ogrniczon, ztem cłkowln. Oznczmy tk określone cłki, odpowiednio, przez ρ U i ρ V. Złóżmy n początek, że ρ U < ρ V. Chcemy udowodnić istnienie tkich funkcji ψ,φ, że zchodzi Eψ(U) < Eψ(V ) orz Eφ(U) > Eφ(U). Kłdąc ψ(x) = f(x) otrzymujemy ntychmist pierwszą nierówność z tezy twierdzeni. Poszukmy terz funkcji φ, któr spełni drugą nierówność, którą możemy zpisć: b f(x)[p(x) q(x)] > Z fktu, iż U V orz V U, istnieją s, t tkie, że: s t [p(x) q(x)]dx > [p(x) q(x)]dx < Niech ɛ > będzie dowolną liczbą dodtnią. Definiując funkcję φ nstępująco: ρ V ρ U +ɛ s + f(x) [p(x) q(x)] φ(x) = dl x s f(x) dl x > s, otrzymujemy funkcję kwłkmi ciągłą i różniczkowlną. Pondto, φ(x) jest niemlejąc, więc spełni wrunki lemtu i zchodzi Eφ(x)[p(x) q(x)] >. Podobnie uzsdnimy przypdek ρ U > ρ V. Jeśli ρ U = ρ V, wystrczy n początku dowodu dobrć inną funkcję f z szerokiej klsy funkcji cłkowlnych względem gęstości p i q. Przystąpimy terz do dowodu twierdzeni 1.2. Dowód twierdzeni 1.2. Udowodnimy njpierw implikcję w prwą stronę. Niech p(x), q(x) oznczją ciągłe gęstości zmiennych U i V, P (x), Q(x) odpowidjące im dystrybunty. Chcemy pokzć, że Eψ(U) Eψ(V ). Z definicji wrtości oczekiwnej mmy: Eϕ(U) Eϕ(V ) = b 11 ϕ(x)[p(x) q(x)]dx.

14 W dowodzie możemy funkcję ϕ trktowć jk funkcję klsy C 1, pmiętjąc, że dl cłki Lebesgue wszystkie równości zchodzą prwie n pewno, liczb punktów nieróżniczkowlności funkcji ϕ jest skończon. Cłkując przez części, mmy: b b ϕ(x)[p(x) q(x)]dx = ϕ(x)[p (x) Q(x)]dx b ϕ (x)[p (x) Q(x)]dx. (1.1) Pierwszy skłdnik jest równy zeru, gdyż P (b) = Q(b) = 1 i P () = Q() = z definicji dystrybunt. Drugi człon jest dodtni, gdyż z złożeni U St.(1) V mmy P (x) Q(x) orz ϕ (x), bo ϕ jest niemlejąc. Ztem bez trudu otrzymujemy, że: co kończy dowód implikcji w prwo. Eϕ(U) Eϕ(V ), Udowodnimy terz implikcję w lewą stronę. Dowód będzie przebiegł nie wprost. Złóżmy, że dl kżdej funkcji użyteczności ϕ mmy Eϕ(X) Eϕ(Y ), le nie zchodzi X St.(1) Y. Wówczs lbo X St.(1) Y, lbo zchodzi łącznie X St.(1) Y orz Y St.(1) X. 1. Jeśli X d(1) Y, to n mocy udowodnionej przed chwilą implikcji w prwą stronę, zchodzi Eϕ(X) Eϕ(Y ). Jest to sprzeczne z nszym pierwotnym złożeniem. 2. Jeśli X St.(1) Y orz Y St.(1) X, to n mocy lemtu 1.4 istnieją funkcje ψ, φ tkie, że Eψ(X) < Eψ(Y ) i Eφ(X) > Eφ(Y ). Ponownie, otrzymujemy sprzeczność. Wnioskujemy ztem, że musi zchodzić X St.(1) Y. Dowód twierdzeni 1.3 przebieg według podobnego schemtu. Zczniemy, ponownie, od sformułowni lemtu pomocniczego: Lemt 1.5. Niech U, V są zdefiniowne j.w. Jeśli zchodzi U St.(2) V orz V St.(2) U, to istnieją funkcje ψ,φ, obie niemlejące, kwłkmi C 2 i o niedodtniej drugiej pochodnej tkie, że prwdziwy jest ukłd nierówności: { Eψ(U) < Eψ(V ) Eφ(U) > Eφ(V ). Dowód lemtu. Jk możn oczekiwć, dowód lemtu 1.5 opier się n tym smym pomyśle, co dowód lemtu 1.4 i jest tylko jego drobną modyfikcją. Niech P (x) i Q(x) oznczją dystrybunty zmiennych U orz V, f : [, b] R będzie dowolną funkcją kwłkmi klsy C 1, nieujemną i nierosnącą, dl której istnieją cłki b f(x)p (x) orz b f(x)q(x). Ponownie, istnienie tych cłek zpewni np. złożenie o ciągłości funkcji f. Oznczmy tk określone cłki, odpowiednio, przez ρ U orz ρ V. Złóżmy n początek, że ρ U < ρ V. Chcemy udowodnić istnienie tkich funkcji ψ,φ kwłkmi C 2 i o niedodtniej drugiej pochodnej że zchodzi Eψ(U) < Eψ(V ) orz Eφ(U) > Eφ(U). Funkcj f jest określon n przedzile domkniętym i monotoniczn, więc jest cłkowln w sensie Lebesgue. Kłdąc ψ(x) = x f(t)dt otrzymujemy ntychmist pierwszą nierówność, 12

15 zwrtą w tezie twierdzeni. Z podstwowego twierdzeni rchunku różniczkowego wiemy tkże, że ψ (x) = f(x) orz ψ (x) = f (x), więc ψ spełni wrunki nszego lemtu. Poszukmy terz funkcji φ, któr spełni drugą z nierówności, którą możemy zpisć: b φ(x) (p(x) q(x)) dx = Z fktu, iż U V orz V U, istnieją s, t tkie, że: s [P (x) Q(x)]dx >, t b [P (x) Q(x)]dx <. φ (x)[p (x) Q(x)]dx >. Zdefiniujmy pomocniczą funkcję g nstępująco: ρ V ρ U +ɛ s + f(x) [P (x) Q(x)]dx g(x) = dl x s f(x) dl x > s. W efekcie otrzymujemy funkcję kwłkmi C 2. Pondto, g(x) jest dodtni i nierosnąc, gdyż zchodzi: g (x) = f (x) p.n. Zdefiniujmy φ(x) := x g(t)dt. φ(x) jest niemlejąc i m niedodtnią drugą pochodną, więc spełni wrunki lemtu 1.5. Pondto, mmy: b φ (x)[p (x) Q(x)] = Eφ(U) φ(v ) > Podobnie uzsdnimy przypdek ρ U > ρ V. Jeśli ρ U = ρ V, wystrczy n początku dowodu dobrć inną funkcję f (z szerokiej dostępnej klsy). Dowód lemtu zostł więc zkończony. Dowód twierdzeni 1.3. Udowodnimy njpierw implikcję w prwą stronę. Niech P (x), Q(x) oznczją dystrybunty zmiennych, odpowiednio, U i V. Zkłdmy, że dl kżdego x [, b] zchodzi: x x P (y)dy Q(y)dy. Chcemy z tego wydedukowć, że Eϕ(U) Eϕ(V ) dl kżdej funkcji ϕ niemlejącej i ciągłej, kwłkmi C 2 o niedodtniej drugiej pochodnej (tzn. ϕ jest wklęsł). Będziemy postępowć podobnie, jk w dowodzie twierdzeni 1.2. Ponownie, dl cłki Lebesgue możemy ϕ trktowć jk funkcję klsy C 2, pmiętjąc, że wszystkie równości zchodzą prwie n pewno. Cłkownie przez części prowdzi do równości: b x ϕ (x)[p (x) Q(x)]dx = ϕ b (x) [P (y) Q(y)]dy 13 b x ϕ (x) [P (y) Q(y)]dydx. (1.2)

16 Podstwijąc uzyskną wielkość w równniu (1.1), mmy: x Eϕ(U) Eϕ(V ) = ϕ b b (x) [P (y) Q(y)]dy + ϕ (x) x [P (y) Q(y)]dydx. (1.3) Z złożeni o znkch pochodnych ob skłdniki sumy z prwej strony równości są nieujemne, ztem i lew stron jest nieujemn. Kończy to dowód implikcji w prwą stronę. Dowód implikcji w lewą stronę jest bezpośrednim przełożeniem rgumentcji zstosownej w dowodzie twierdzeni 1.2 jedyn modyfikcj poleg n zstosowniu lemtu 1.5 zmist 1.4. Uznmy ztem dowód obu twierdzeń z zkończony Porządek cięci strt Innym wzmocnieniem ksjomtu 1.1 o monotoniczności miry jest włsność zchowni przez mirę ryzyk porządku w odniesieniu do zmiennych uciętych n zdnym poziomie. Tkie postępownie może być użyte przez instytucje ubezpieczeniowe, które są w stnie pokryć ryzyko do pewnej wielkości d, ntomist strty przekrczjące ten poziom muszą być resekurowne. N potrzeby nlizy ryzyk o potencjlnie dużych wielkościch (tzw. grubym ogonie) możn określić n X nstępujący porządek: Definicj 1.6 (Porządek cięci strt) Powiemy, że zmienn Y poprzedz zmienną X w porządku cięci strt 2, co oznczymy przez Y sl X, jeśli dl kżdego poziomu cięci d zchodzi: ] ] E [(Y d) + E [(X d) +. Mir ρ zchowuje tk określony porządek, jeśli chrkteryzuje się nstępującą włsnością: Aksjomt 1.6 (Monotoniczność ze względu n porządek cięci strt) Dl kżdych zmiennych losowych X, Y X tkich, że X sl Y zchodzi ρ(x) ρ(y ). Nietrudno zuwżyć, że nierówność X Y p.n. implikuje zrówno domincję stochstyczną pierwszego rzędu, jk i domincję w sensie porządku cięci strt. Implikcj w drugą stronę oczywiście nie zchodzi. Nie m również zleżności ( tym brdziej równowżności) między porządkiem stochstycznym pierwszego rzędu porządkiem cięci strt Komonotoniczność Wżnym elementem definicji miry koherentnej jest złożenie o podddytywności, pozwljące n efektywną wycenę portfeli o losowej wrtości. Aksjomt podddytywności Artnzer et l. określ górną grnicę skłdki n pokrycie sumy dwóch ryzyk. Istnieją oczywiście pry zmiennych, dl których górn grnic powinn być i jest osiągn, czyli zchodzi ddytywność. Klsą ryzyk o tej włsności są, przykłdowo, zmienne doskonle dodtnio skorelowne. Jeśli corr(x, Y ) = 1, to istnieją stłe >, b R tkie, że Y = X + b. Wówczs dl miry koherentnej ρ, n mocy trnslcyjnej niezmienniczości i dodtniej jednorodności mmy: ρ(x + Y ) = ρ ((1 + ) X + b) = (1 + )ρ(x) + b = ρ(x) + (ρ(x) + b) = ρ(x) + ρ(y ). Uogólnieniem koncepcji zmiennych doskonle skorelownych są zmienne wspólnie ukierunkowne lub, jk określ się je w literturze, komonotoniczne. W tej części prcy przedstwimy krótką chrkterystykę mtemtyczną tkich zmiennych, jk i stojącą z nimi interpretcję. 2 ng. stop-loss order; 14

17 Definicj Pierwszeństwo w sformułowniu pojęci komonotoniczności przypisuje się njczęściej Dvidowi Schmeidlerowi ([Sch86]). Inn wczesn definicj komonotoniczności pojwił się również w [Y87]. Obie sformułowne zostły w kontekście dlekim od interpretcji ubezpieczeniowych (zob. rozdził 2). Dziś njczęściej spotyk się nstępującą definicję. Definicj 1.7 (Komonotoniczność) Zmienne X, Y nzwiemy komonotocznicznymi, jeśli ich łączn dystrybunt F X,Y (x, y) := P(X x, Y y) spełni: F X,Y (x, y) = min (F X (x), F Y (y)). Aby zrozumieć istotę komotoniczności, udowodnimy twierdzenie, pozwljąc schrkteryzowć zmienne komonotoniczne w lterntywny sposób: Twierdzenie 1.6 (Komonotoczność). Zmienne X, Y są komotoniczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zmienn losow Z i niemlejące funkcje u i v n R, tkie, że : (X, Y ) D. = (u(z), v(z)). Obserwcj 1.7. W twierdzeniu 1.6 możn przyjąć Z = U, gdzie U jest zmienną losową o rozkłdzie jednostjnym n [, 1]. Wówczs u := FX orz v := FY, gdzie funkcj FV (t) dl zmiennej losowej V jest uogólnioną funkcją odwrotną do dystrybunty i wyrż się wzorem F 1 (x) = inf{t F (t) x}. V Dowód. Poniższe uzsdnienie jest bezpośrednim przeniesieniem dowodu Wng z [Wng98]. Zcznijmy od implikcji w lewą stronę. Złóżmy, że istnieje zmienn Z i niemlejące funkcje u, v n R, tkie, że (X, Y ) D. = (u(z), v(z)). Wówczs możemy zpisć łączną dystrybuntę X i Y z wykorzystniem zmiennej Z: F X,Y (x, y) = P (u(z) x, v(z) y) = P (Z A, Z B), gdzie zbiory A i B są przedziłmi postci [, d] lub [, d). Zchodzi ztem zleżność A B lub B A, co umożliwi nstępujący zpis: F X,Y (x, y) = P (Z A, Z B) = min (P (Z A), P (Z B)) = min (P (X x), P (Y y)) = min(f X (x), F Y (y)). Kończy to dowód komotoniczności zmiennych X i Y. Udowodnimy terz drugą część twierdzeni i przy okzji obserwcję 1.7. Zuwżmy, że dl kżdego t, x (, 1) zchodzi równowżność FX 1 (t) x t F X(x). Podobnie dl zmiennej Y. Weźmy terz dowolną zmienną losową U. Złożenie o komonotoniczności X i Y możn przeformułowć nstępująco: F X,Y (x, y) = min (F X (x), F Y (y)) = P(U min(f X (x), F Y (y)) = P(U F X (x), U F Y (y)) = P(F 1 X 1 (U) x, F (U) y) = F F 1 Ztem zchodzi (X, Y ) D. = (FX 1 1 (U), FY (U)). Y 15 X 1 (U),FY (U)(x, y).

18 Z powyższego twierdzeni widzimy, że zmienne komonotoniczne to zmienne, z którymi stoi pewien wspólny minownik, czy też ryzyk n to smo zdrzenie, tzn. indukowne przez tę smą zmienną Z. Yri wskzuje n fkt, że komonotoniczność jest włsnością niezmienną ze względu n mirę probbilistyczną. Twierdzenie 1.6 możn też uogólnić n więcej zmiennych, pmiętjąc o tym, że komonotoniczność dotyczy zwsze ich pr. Bez dowodu pozostwimy nstępujące twierdzenie: Twierdzenie 1.8 (Komonotoczność). Zmienne X 1, X 2..., X n są prmi komotoniczne wtedy i tylko wtedy, gdy: (X 1, X 2,..., X n ) D. = (F 1 X 1 (U), F 1 X 2 (U),..., F 1 X n (U)), gdzie U jest zmienną o rozkłdzie jednostjnym n [, 1], FX 1 1,..., FX 1 n to uogólnione funkcje odwrotne do dystrybunt zmiennych X 1,..., X n. Dowód. Zob. [DDGKV2] Komonotoniczność miry ryzyk Chrkterystyczną cechą zmiennych komotonicznych jest to, że żdn z nich nie może zostć użyt do zbezpieczeni w sensie finnsowym drugiej. Innymi słowy, prób redukcji ryzyk przez połączenie portfeli zwierjących obie zmienne, jest skzn n porżkę. Zjwisko to motywuje do przyjęci nstępującego ksjomtu dl miry ryzyk ρ: Aksjomt 1.7 (Addytywność dl komonotonicznych ryzyk) Dl kżdych zmiennych komonotonicznych X, Y X zchodzi: ρ(x + Y ) = ρ(x) + ρ(y ). Dobr mir ryzyk powinn ztem włściwie doszcowywć wielkości ryzyk będących funkcjmi tej smej zmiennej Grnice Fréchet Koncepcj komonotoniczności jest blisko związn z pewną klsyczną nierównością, ogrniczjącą z obu stron łączną dystrybuntę wektor ryzyk (X, Y ). Rezultt ten jest njczęściej przypisywny Murice Fréchetowi (zob. [Fré6]) i w literturze występuje pod jego nzwiskiem. Twierdzenie 1.9. Niech X, Y będą dowolnymi zmiennymi losowymi. Łączn gęstość F X,Y (x, y) jest ogrniczon z góry i z dołu przez: mx(f X (x) + F Y (y) 1, ) F X,Y (x, y) min(f X (x), F Y (y)). Dowód. Twierdzenie 1.9, mimo stosunkowo późnego sformułowni, jest zskkująco łtwe do uzsdnieni. Dowód wynik z prostych rchunków n zbiorch i włsności funkcji prwdopodobieństw. Górne ogrniczenie uzyskmy, korzystjąc z zleżności P(A B) P(A) dl dowolnych zbiorów A i B. F X,Y (x, y) = P(X x, Y y) P(X x, Y 1) = F X (x), 16

19 F X,Y (x, y) = P(X x, Y y) P(X 1, Y y) = F Y (y). Osttecznie możemy więc zpisć, że F X,Y (x, y) min(f X (x), F Y (y)). Drug nierówność również nie nstręcz powżnych trudności. Korzystjąc z njprostszej wersji zsdy włączeń i wyłączeń, postci P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), mmy: F X,Y (x, y) = P(X x, Y y) = P(X x) + P(Y y) P(X x Y y). Szcując w oczywisty sposób P(X x Y y) 1 orz F X,Y (x, y), otrzymujemy dolne oszcownie: F X,Y (x, y) mx(f X (x) + F Y (y) 1, ). Okzuje się, że tkie nturlne ogrniczeni funkcji F X,Y (x, y) są jednocześnie optymlne nie d się ich poprwić, bez nkłdni dodtkowych wrunków n wektor (X, Y ). Oszcownie górne w powyższym twierdzeniu jest osiągne dl zmiennych (FX 1 1 (U), FY (U)), gdzie U m rozkłd jednostjny n [, 1]. Wykzliśmy to pośrednio, przeprowdzjąc dowód twierdzeni 1.6. Podobnie, nietrudno jest pokzć, że oszcownie dolne jest osiągne dl 1 (U), F (1 U)). Istotnie, przeprowdzjąc bezpośrednie wyprowdzenie, mmy: (F 1 X Y F F 1 1 X (U),FY 1 (1 U)(x, y) = P(FX 1 (U) x, FY (1 U) y) = P(1 F Y (y) U F X (U)) = mx(f X (x) + F Y (y) 1, ). Podczs, gdy oszcownie górne stje się równością dl zmiennych komonotonicznych, grnic doln jest osiągn przez zmienne przeciwnie ukierunkowne, tj. tkie, dl których wzrost jednej pociąg z sobą spdek drugiej i n odwrót 3. Portfel zierjący tkie ryzyk jest w pewnym sensie doskonle zbezpieczony w sensie finnsowym Związek z porządkiem cięci strt Jk zuwżyliśmy w poprzedniej części prcy, górne i dolne oszcownie dystrybunty łącznej jest osiągne, odpowiednio, dl zmiennnych zgodnie i przeciwnie ukierunkownych. Stnowi to ilustrcję fktu, iż dystrybunt łączn dwóch zmiennych jest źródłem informcji nie tylko o rozkłdzie kżdej z nich, le przede wszystkim o zleżności między bdnymi zmiennymi. Nierówności między łącznymi dystrybuntmi wyznczją pewien częściowy porządek n zbiorze dwuelementowych wektorów zmiennych losowych postci (X, Y ). Szczególnie ciekwą jest nliz tego porządku dl zmiennych o tych smych rozkłdch brzegowych. Rozptrzmy klsę R(F 1, F 2 ) dwuwymirowych zmiennych losowych o zdnych dystrybuntch brzegowych F 1, F 2. Wówczs jeśli (X 1, X 2 ), (Y 1, Y 2 ) R(F 1, F 2 ), to zleżność F X1,X 2 (x, y) F Y1,Y 2 (x, y) możn zinterpretowć jko nierówność między stopniem skorelowni pr zmiennych (X 1, X 2 ) i (Y 1, Y 2 ). Nstępujące twierdzenie pokzuje, iż tkie uszeregownie zmiennych łączy się z poznnym w tym rozdzile porządkiem cięci strt. Twierdzenie 1.1. Niech (X 1, X 2 ), (Y 1, Y 2 ) R(F 1, F 2 ) będą prmi zmiennych losowych. Wówczs, jeśli dl kżdego x, y [, 1] prwidziw jest nierówność: to zchodzi nstępujące uporządkownie: F X1,X 2 (x, y) F Y1,Y 2 (x, y), X 1 + X 2 sl Y 1 + Y 2. 3 W literturze ngielskojęzycznej określ się tkie zmienne terminem countercomonotonic. 17

20 Innymi słowy, porządek cięci strt n sumch zmiennych może być wyznczony dzięki dystrybuntom łącznym poszczególnych pr ryzyk. Jest to szczególnie istotne w sytucjch, gdy trudno jest wyliczyć bezpośrednio wrunek porządku cięci strt. Często okzuje się, że sprwdzenie nierówności n dystrybuntch jest łtwiejsze. Jk się okże, powyższe twierdzenie będzie miło kluczowe znczenie w rozdzile 3. Znim przejdziemy do dowodu twierdzeni, udowodnimy lemt pomocniczy. Lemt Dl dowolnego wektor (X, Y ) o zdnych dystrybuntch brzegowych F X F Y, zchodzi: i d E(X + Y d) + = E(X) + E(Y ) d + F X,Y (x, d x)dx. Dowód lemtu. Z definicji części dodtniej mmy: E(X + Y d) + = E(X) + E(Y ) d + E(d X Y ) +. Dl kżdych nieujemnych liczb rzeczywistych x, y mmy nstępujący wzór: E(d x y) + = więc dl zmiennych losowych zchodzi: E(d X Y ) + = To kończy dowód lemtu. E(I {X t, Y d t} )dt = I {x t d y} dt, P(X t, Y d t)dt. Dowód twierdzeni. Chcemy udowodnić, że X 1 + X 2 sl Y 1 + Y 2, czyli dl kżdego d > zchodzi: E(X 1 + X 2 d) + E(Y 1 + Y 2 d) +. Korzystjąc z lemtu 1.11 możemy przepisć nierówność w postci: d d E(X 1 ) + E(X 2 ) d + F X1,X 2 (x, d x)dx E(Y 1 ) + E(Y 2 ) d + F Y1,Y 2 (x, d x)dx. Z złożeni dl kżdego x, y zchodzi nierówność F X1,Y 1 (x, y) F X2,Y 2. Po przecłkowniu zmiennych zostje on zchown. Pondto, z złożeni o tym, że (X 1, X 2 ), (Y 1, Y 2 ) nleżą do rodziny R(F 1, F 2 ) o tych smych rozkłdch brzegowych, zchodzi, oczywiście: co kończy dowód twierdzeni 1.1. E(X 1 ) = E(Y 1 ) orz E(X 2 ) = E(Y 2 ), Łącząc twierdzenie 1.1 z wynikiem uzysknym przez Fréchet, otrzymujemy nstępujący wniosek: 18