0.1 Renty. 0.2 Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste
|
|
- Marek Brzeziński
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 0 Renty W kolejnych rozdzałach zajmemy sę cągam płatnośc dokonywanych w równych odstępach czasu, zwanym rentam annuty Rentę annuty defnujemy jako cąg płatnośc dokonywanych w równych odstępach czasu Przykładam rent sa: comesęczne wypłaty wynagrodzena, okresowe spłaty długu, regularne wpłaty na rachunek oszczędnoścowy Płatnośc, które składają sę na rentę nazywamy ratam Okres mędzy dwema kolejnym ratam nazywamy okresem bazowym Momentem początkowym renty jest t = 0, zaś momentem końcowym renty jest konec okresu, za który płacona jest ostatna rata Elementam składowym renty są następujące welkośc: lczba rat, długośc okresu bazowego, wysokość rat, moment perwszej płatnośc, stopa procentowa okresu bazowego Wyróżnamy - rentę prostą okres kaptalzacj pokrywa sę z okresem bazowym rentą uogólnoną okres kaptalzacj ne pokrywa sę z okresem bazowym, - rentę czasową o skończonej lczbe rat rentę weczystą o neskończonej lczbe rat, - rentę płatną z dołu, krótko rentę gdy raty są płacone pod konec okresu bazowego rentę płatną z góry gdy raty płacone są na początku okresu bazowego 0 Wkłady oszczędnoścowe Wkłady oszczędnoścowe są to regularne płatnośc dokonywane w celu zgromadzena odpowednego kaptału w ustalonym czase Płatnośc te mogą być dokonywane zarówno na początku okresu płatnośc z góry jak na końcu okresu płatnośc z dołu oraz kaptalzowane według różnych model kaptalzacj Najczęścej stosuje sę model oprocentowana prostego dla wkładów krótkotermnowych oraz model oprocentowana składanego dla wkładów długotermnowych W zależnośc od stosowanego modelu wkłady dzelmy na proste złożne Okres, co jak następuje kaptalzowane odsetek jest zgodny z okresem płatnośc 0 Wkłady proste Wkłady proste płatne z dołu
2 Nech będze stopą procentową dostosowaną do okresu bazowego Rozważmy skończony cąg wpłat C j n j= dokonywanych z dołu Wartość przyszła cągu wkładów po n płatnoścach wynos F = C + n + C + n + + Cn + + Cn, W przypadku, gdy płatnośc są jednakowej wysokośc, tj C j = C, j =,, n, wówczas w myśl wzoru, mamy czyl F = C + n + C + n + + C + + C = C n + n + n + + nn = C n +, F = Cn + n Aktualzując wartość F na moment wcześnejszy 0 n 0 < n mamy + n 0 F n0 = F n + n = Cn + n + n0 + n Oczywśce aktualzując F na moment n = 0 otrzymujemy wartość początkową wkładów oszczędnoścowych P = F n + n Wkłady proste płatne z góry Jeżel wpłaty C j, j =,, n, są dokonywane z góry, wówczas wartość przyszła będze postac F + = C + n + C + n + + Cn + + Cn + Stąd, przyjmując C j = C, j =,, n, otrzymujemy czyl F + = C + n + C + n + + C + + C + = C n + n + n + + = C F + = Cn + n + n + nn +, Analogczne otrzymujemy wartość przyszłą wkładów zaktualzowaną na moment wcześnejszy oraz wartość początkową wkładów
3 0 Wkłady złożone Wkłady złożone płatne z dołu zgodne z okresem kaptalzacj Załóżmy, że okres bazowy wkładów pokrywa sę z okresem kaptalzacj Rozważmy skończony cąg płatnośc C j n j= dokonywanych z dołu Nech będze stopą procentową o okrese pokrywającym sę z okresem bazowym Wartość przyszła wkładów wynos 3 F = C + n + C + n + + C n + + C n n = C j + n j j= Jeżel wkłady C j, j =, n, są jednakowej welkośc C, to powyższy wzór prowadz do postac n 4 F = C + n j j= Stosując wzór na sumę n perwszych wyrazów cągu geometrycznego otrzymujemy 5 F = C + n Czynnk s n = + n nazywamy czynnkem wartośc przyszłej dla wkładów Stosując ten czynnk wzór 5 możemy zapsać 6 F = C s n Czynnk ten defnuje wartość przyszłą wkładów jednostkowych Aktualzując wartość F na moment wcześnejszy 0 n 0 < n mamy 7 F n0 = F + n 0 n W szczególnośc, kładąc n 0 = 0, dostajemy wzór na wartość początkową n wkładów oszczędnoścowych o stałych płatnoścach C 8 P = C Czynnk a + aq + aq + + aq n = a qn q a n = + n + n 3
4 nazywamy czynnkem wartośc początkowej dla wkładów Stosując ten czynnk wzór 8 przyjme postać 9 P = C a n Czynnk ten defnuje wartość początkową wkładów jednostkowych Wkłady złożone płatne z góry zgodne z okresem kaptalzacj Nech teraz cąg C j n j= będze cągem płatnośc dokonywanych z góry, tzn na początku każdego okresu płatnośc Wówczas po n płatnoścach wartość przyszła wkładów wyraz sę wzorem F + = C + n + C + n + + C n + + C n + Jeżel płatnośc C j, j =, n, są jednakowej welkośc C, to, w myśl powyższego, otrzymujemy F + =C + n + + n =C + + n + + n =C + + n Zauważmy, że wartość przyszła wkładów wnoszonych z góry różn sę od wartośc przyszłej wkładów wnoszonych z dołu jedyne współczynnkem + Zatem, stosując wzór 6, dostajemy Czynnk F + = C + s n s n = + s n = + + n defnuje wartość końcową wkładów jednostkowych płatnych z góry W myśl wzorów 7 9, F + n 0 = F n0 + P + = C + a n Czynnk + n ä n = + a n = + defnuje wartość początkową wkładów jednostkowych płatnych z góry 4
5 Wkłady złożone płatne w nadokresach okresu kaptalzacj W przypadku, gdy okres bazowy jest całkowtą welokrotnoścą okresu kaptalzacj Aby wyznaczyć wartość przyszłą wkładów należy najperw skorzystać z zasady równoważnośc warunków oprocentowana rozważaną kaptalzację zastąpć kaptalzacją, której okres pokrywałby sę z okresem bazowym a następne, mając zgodność okresu kaptalzacj okresu bazowego, zastosować analogczne rozumowane jak powyżej Zastąpene jednego modelu kaptalzacj nnym jest równoznaczne z wyznaczenem równoważnej stopy procentowej o okrese dostosowanym do modelu nowej kaptalzacj tzn o okrese dostosowanym do okresu wkładów Nech k, k Q będą take, że k będze loścą okresów kaptalzacj w cągu roku, k będze loścą okresów bazowych w cągu roku Nech będze stopą okresu bazowego równoważną stope k, tj stope okresu kaptalzacj Z zasady równoważnośc stóp procentowych = + k k k Wkłady złożone płatne w podokresach okresu kaptalzacj W przypadku, gdy okres bazowy jest w podokresach okresu kaptalzacj, tzn wpłaty są dokonywane częścej nż są generowane odsetk, stneją dwe metody wyznaczana wartośc przyszłej wkładów Perwsza metoda oparta jest na zasadze równoważnośc warunków oprocentowana zasadze rónoważnośc stóp procentowych Wyznaczene wartośc przyszłej, aktualnej początkowej przebega analogczne jak powyżej Druga metoda łączy ze sobą model oprocentowana prostego składanego Nech C j n =j będze skończonym cągem płatnośc, przy czym zakładamy, że jest to cąg stały, tzn C j = C dla j =,, n Przyjmmy, że w jednym okrese kaptalzacj mamy m płatnośc z dołu, czyl, że okres kaptalzacj jest podzelony na m równych okresów bazowych, oraz lm = n, gdze l jest loścą okresów kaptalzacj w czase nwestycj Wyznaczene wartośc przyszłej składa sę z dwóch etapów W perwszym etape należy wyznaczyć wartość przyszłą F m m wkładów, płatnych w jednym okrese kaptalzacj, stosując model oprocentowana prostego Nech k, k Q będą take, że k będze loścą okresów kaptalzacj w cągu roku, k będze loścą okresów bazowych w cągu roku Nech będze stopą okresu bazowego, zaś k będze stopą procentową okresu kaptalzacj Dla wkładów płatnych z dołu, w myśl wzoru, mamy 0 F m = Cm + m, 5
6 gdze = r k, k Q Przyjmując C j = F m dla j =,, l, otrzymalśmy nowy cąg C j l j= płatnośc o stałych wyrazach okresach pokrywających sę z okresem kaptalzacj W drugm etape, mając cąg wkładów C j l j=, wyznaczamy wartość przyszłą F tego cągu Poneważ okres wkładów jest tak sam jak okres kaptalzacj oraz C j = F m dla j =,, l, to stosując wzór 6, F = F ms l k, gdze k = r Dla wkładów płatnych z góry wzór przyjme postać k gdze F + m F + = F + m s l k, = Cm + m + Chcąc wyznaczyć wartość aktualną na dowolny moment wcześnejszy l 0, w szczególnośc na moment l 0 = 0, wystarczy zastosować wzory 7, odpowedno 8 03 Zasada równoważnośc kaptałów Zasada różwnoważnośc kaptałów jest jedną z ważnejszych zasad w matematyce fnansowej jest nezbędna w analze planu spłaty długu Zasada ta mów, że dwa kaptały są równoważne, jeśl wartośc tych kaptałów zaktualzowane na dowolny moment t 0 są równe Punktem wyjśca dla tej zasady jest pojęce równoważnośc kaptałów w ustalonym momence t 0 0 Powemy, że dwa kaptały, są równoważne w pewnym momence t 0 0, jeśl ch wartośc zaktualzowane na ten moment są równe Pokażemy, że zasada równowaznośc kaptałów zachodz w modelu oprocentowana składanego Nech K t K t będą dwoma kaptałam danym w czase odpowedno t t równoważnym w momence t 0, czyl K t 0 = K t 0 W myśl aktualzacj otrzymujemy: K t 0 = K t + r ef t 0 t, K t 0 = K t + r ef t 0 t Stąd K t + r ef t 0 t = K t + r ef t 0 t, czyl K t + r ef t = K t + r ef t 6
7 a to mplkuje K t + r ef t t = K t + r ef t t dla dowolnego t 0, co należało pokazać Pokażemy, że w modelu oprocentowana prostego zasada ta ne zachodz Nech podobne jak poprzedno będą dane dwa kaptały K t K t w czase odpowedno t t równoważne w momence t 0 Wówczas mamy do rozważena następujące przypadk: t < t 0 < t, t < t < t 0, t 0 < t < t W perwszym przypadku otzymujemy K t 0 = K t + t t 0 r, t > t 0 oraz K t 0 = K t + t 0 t r, t 0 > t Zatem K t + t t 0 r = K t + t 0 t r Poneważ przyrównujemy do sebe wyrażena lnowe hperbolczne dla pewnego t 0, to powyższa równość ne zajdze dla dowolnego t 0 04 Spłata długów krótkotermnowych z uwzględnenem dyskonta matematycznego prostego j S + j = R n + j n + R n n=j+ + n j gdze = r k, k Q+, jest stopą procentową okresu bazowego Powyższe równane możemy zapsać równoważne S = j R n + j n + j + n=j+ R n + j + n j Po spłacenu n rat wartość aktualna długu zaktualzowana na moment t = 0 jest postac: oraz n + j l Sn 0 = S R l, dla n j, l= + j j + j l n Sn 0 = S R l R l l= + j l=j+ + j + l j, dla n > j 7
8 Dług beżący S n po spłacenu n rat defnujemy 3 S n = S 0 n + n Oczywśce S N = 0 Dla rat stałych W przypadku, gdy cąg R n N jest stały, tj R n = R, n =,, N, wzór przyjme postać j N 4 S + j = R + j n + n=j+ Stąd, po przekształcenach, wysokość raty R wyraża sę wzorem + n j + j 5 R = S j + j n + Nn=j+ +n j Dług beżący S n po spłacenu n rat dany jest wzorem S + n S n = S + n j l= j l= j l= n +j l l= N +j l + n +j l + l=j+ N +j l + l=j+ l=j+ +l j +l j +l j dla n j, dla n > j Rozkład raty R na ratę kaptałową B odsetkową C przedstawamy następująco R = B + C N B + N n + N C = S + N W konsekwencj C = R B N B + BN n + NC = S + N C = R B N B + N BN n + NC = S + N C = R B BN + B N N + NC = S + N C = R B BN + B N N + NR B = S + N B = S+N RN N N C = R B gdze rata R dana jest wzorem 5 Plan spłaty długu defnuje tutaj układ S n, R, B, C 8
9 05 Spłata długów krótkotermnowych z uwzględnenem dyskonta handlowego S + j = R + j + R + j + + Rj + R j+ + + RN N j j = R n + j n + N R n n j n=j+ j = R n + j n + N R n + j n n=j+ Dług S cąg spłat R n N umarzających ten dług spełnają 6 S + j = R l + j n przy aktualzacj względem t = j Przeprowadzając analogczne rozumowane jak dla długów krótkotermnowych z uwzględnenem dyskonta matematycznego otrzymujemy, że dług beżący S n po spłacenu n rat jest postac gdze 7 S 0 n = S S n = S 0 n + n, n l= Przyjmując R n = R, n =,, N otrzymujemy Stąd + j l R l + j S + j = R n + j n = R N + Nj n = R N + Nj + N N = RN + j N + 8 R = N + S + j j N+ 9
10 Wartość długu beżącego po spłacenu n rat wynos n + j l S n = + n S R l= + j = + n S + j Rn + j n + Rozkład raty na ratę kaptałową odsetkową przebega analogczne jak dla rat z uwzględnenem dyskonta matematycznego W konsekwencj B = S+N RN N N C = R B przy czym rata R dana jest tutaj wzorem 8 06 Raty kupecke Szczególnym przypadkem rat umarzających dług krótkotermnowy są raty kupecke, które zdefnowane są przy aktualzacj na moment t = N Wyrażają sę one wzorem 9 R = S + N N + N Rozkład raty R na ratę kaptałową odsetkową wygląda następująco B = R C = 0 Odsetk są umarzane za pomocą odsetek od rat kaptałowych 07 Spłata długów średn- długotermnowych Zajmemy sę teraz spłatą długów o okrese zwrotu powyżej jednego roku Do rozlczena będzemy stosować model oprocentowana składanego Analza ratalnej spłaty długu opera sę zasadze, która mów, że dług zostaje spłacony, gdy zaktualzowana na moment t = j wartość długu jest równa sume rat zaktualzowanych na ten moment Nech R n N będze cągem płatnośc dokonywanych z dołu w równych odstępach czasu umarzającym dług S S + j = R + j + R + j + + R j + R j R N + N j, 0
11 czyl 0 S + j = R n + j n W mysl zasady równoważnośc kaptałów zależność 0 jest równoważna następującej S + N = R n + N n, gdy za moment aktualzacj przyjmemy t = N, oraz następującej S = R n + n, gdy za moment aktualzacj przyjmemy t = 0 Po spłacenu n rat wartość długu beżacego możemy wyrazć ratam spłaconym jak nespłaconym W perwszym przypadku mówmy o zależnośc retrospektywnej n 3 S n = S + n R l + n l, l= w drugm przypadku mówmy o zależnośc prospektywnej 4 S n = R l + n l l=n+ Oczywśce w jednym drugm przypadku S N = 0 Wartość długu beżącego stanow dla dłużnka werzycela ważna nformację o tym, jake jest saldo zadłużena po wpłacenu określonej lczby rat Jest ona równeż podstawą do skorygowana przyszłych rat, np z powodu zmany stopy procetnowej, albo do restrukturyzacj zadłużena, gdy z pewnych powodów trzeba smenć wysokość przyszłych rat, ch lczbę lub termn płatnośc Przekształcając 3 5 S n = S n + R n otrzymujemy zwązek długu beżącego z końca okresu bazowego z długem beżącym z początku okresu bazowego Przejdzemy do razkładu raty na ratę kaptałową odsetkową Na początek zauważmy, że 5 mplkuje 6 S n S n = R n S n, gdze S n jest wartoścą odsetek należnych za n-ty okres, tzn 7 I n = S n
12 Zatem rata R n jest postac 8 R n = T n + I n, gdze T n jest ratą kaptałową a I n ratą odsetkową Zauważmy, że wzory 6-8 mplkują 9 T n = S n S n Rozkład raty na część kaptałową odsetkową daje możlwość prześledzena jak kolejne wpłaty umarzają beżace odsetk dług kaptałowy Łatwo wdać, że T n = S Do pełnego opsu tego procesu tworzy sę tzw plan spłaty długu, czyl układ S n N n=0, R n N, T n N n= który najczęścej przedstawa se w postac tabel 08 Spłata długu w równych ratach Zajmemy sę teraz wyznaczanem welkośc raty planu spłaty długu w sytuacj, gdy spłaty są jednakowej welkośc Mówmy wtedy o ratach annutetowych Są one standardowo stosowane przy udzelanu bankowych pożyczek kredytów konsumpcyjnych, a spłata długu w takch ratach jest wygodna zarówno dla werzycela, jak dla dłużnka Nech dany będze cąg N stałych płatnośc wysokośc R dokonywanych z dołu w równych odstępach czasu umarzających dług S jak powstał w momence t = 0 przy ustalonej stope okresu bazowego Ze wzoru mamy S + N = R + N = Rs N lub równoważne Zatem rata R wynos S = + R + N N = Ra N 30 R = S + N s N lub równoważne 3 R = S a N Ratę R dana powyższym wzorem nazywa sę ratą stała lub annutetową
13 Z3 oraz powyższych n S n = S + n R + n l l= = S + n Rs n = S + n S a N a n + n po przekształcenach otrzymujemy, że dla raty annutetowej retrospektywna zależność długu beżącego po spłacenu n rat ma postać 3 S n = S + n a n a N Przeprowadzając analogczne rozumowane do zrobena na ćwczenach otrzymujemy prospektywną zależność długu beżącego od rat 33 S n = S a N n a N Rozkład raty na ratę kaptałową odsetkową przebega analogczne jak dla rat dowolnej welkośc stąd Na uwagę zasługuje postać raty kaptałowej Otóż w myśl wzorów 9 3 T n = S + + N n 34 T n = S s N + n, co dowodz, że cąg T n N jest cągem geometrycznym o loraze + perwszym wyraze T = S Oczywśce T s określone tym wzorem spełna T = R I Istotne na N początek zauważmy, że Zatem a N = = T = + N = + N + N + N = s N S s N = S a N S = R I Powyższe wzory dotyczyły sytuacj, gdy okres bazowy pokrywa sę z okresem kaptalzacj Jeżel ten warunek ne jest spełnony należy stopę zastąpć stopą o okrese zgodnym z okresem bazowym, równoważną stope okresu kaptalzacj 3
14 Spłata długu w ratach o zadanych częścach kaptałowych Zajmemy sę teraz wyznaczanem cągu rat R n N dokonywanych z dołu o okrese bazowym zgodnym z okresem kaptalzacj, umarzających dług S jak powstał w momence t = 0, znając ch częśc kaptałowe, tj cąg T n N Rozważymy tutaj dwe sytuacje: cąg T n N jest cągem arytmetyczny rosnącym, cąg T n N jest cągem stałym Nech będze stopą okresu bazowego Ad Załóżmy, że T n = nt Korzystając z faktu, że suma rat kaptałowych daje dług S otrzymujemy nt = T Stąd możemy wyznaczyć wysokość raty T NN + 35 T = S NN + oraz postać ogólną cągu T n N, n 36 T n = S NN + W myśl wzoru 9 dla n =,,, N = S T + T + + T n = S 0 S + S S + + S n S n co, w myśl 35 mplkuje, że dług beżący po spłacenu n rat spełna n S n = S T l = S S l= NN + Z 7 rata odsetkowa jest postac I n = S nn + n n, NN + zaś postać ogólna cągu R n N dana jest wzorem R n = = S S n + NN + n n NN + nn + NN + Ad Raty o stałej częśc kaptałowej są podobne jak raty annutetowe najczęścej stosowanym model w praktyce bankowych kredytów pożyczek konsumpcyjnych 4
15 Nech T n = T dla n =,,, N Poneważ S + T = NT, to raty o stałej częsc kaptałowej spełnają 37 T n = T = S N oczywśce 38 R n = T + I n Wdzmy, że powyższe wzór 9 mplkują S n = S n T, n =,,, N, tj że po spłacenu kolejnych rat dług beżący pomnejsza sę o stałą kwotę, czyl S n N n=0 tworzy cąg arytmetyczny malejący o perwszym wyraze S różncy T To dowodz, że po spłacenu n rat dług beżący dany jest wzorem 39 S n = S nt Ponadto S n = S n T, n =,,, N, co mplkuje w myśl 7 I n = I n T, n =,,, N, że cąg rat odsetkowych I n N tworzy cąg arytmetyczny malejący o perwszym wyraze S różncy T Stąd z faktu, że raty kaptałowe są stałe otrzymujemy, że cąg rat R n N równeż tworzy cąg arytmetyczny malejący o perwszym wyraze S + T różncy T Poneważ cąg rat jest malejący, to w praktyce przyjęło sę mówć o spłace długu ratam malejącym częścej nż ratam o stałych częścach kaptałowych Powyższe wzory mają charakter rekurencyjny zależny od welkośc T Innym równoważnym postacam są S n = S N n, N I n = S N n +, N R n = S N + N n + 5
16 Spłata długu przy jednorazowej spłace odsetek Zakładamy, że w każdej z N rat umarzającej dług S, dłużnk zwraca werzycelow odpowedną część kaptału a odsetk od długu są spłącone jednorazowo w j-tej race W myśl zasady równoważnośc długu cągu rat S + N = T + N + + T j + Ĩj + N j + + T N = T n + N n + Ĩj + N j Stąd Ĩ j = S + j T n + j n Gdy raty kaptałowe są stałe, to po przekształcenach mamy Ĩ j = S S N a N + j Jednorazowa spłata długu ratalna spłata odsetek Zakładamy, że długa S jest spłacony jednorazowo w ostatnej race, zaś odsetk ratalne, czyl R = I, R = I, R N = I N, R N = S + I N Wdzmy, że S n = S dla n =,,, N Stąd raty są postac R n = S, n =,,, N, R N = S + Rozlczene długów z dodatkową opłatą W dotychczasowych rozważanach dotyczących spłaty zakładalśmy, że jedynym kosztam są odsetk Tymczasem bardzo często przy pożyczkach czy kredytach bank poberają tzw prowzje marże Prowzją nazywamy opłatę za usługę czynnośc fnansowe werzycela Jest ona nalczana od wysokośc długu potrącana z góry Zdarza sę jednak, że prowzja poberana jest ratalne od raty długu Marżą nazywamy zysk na usługach podany w procentach przelczony na skalę roczną Marża mów o opłacalnośc usług Wysokość marży ustala sę najczęścej w zależnośc od długu beżącego Plan spłaty długu z opłatą nalczoną od wysokośc długu S 6
17 Nech P będze dodatkowa opłatą nalczoną według stopy p od długu S, zaś P n N cągem płatnośc poberanych łączne z ratą R n takm, że P = N P n - Dla długu S spłacanego stałym ratam R połóżmy Wówczas z 34 P n = T n p, n =,,, N P = P n = S + N + n p N = S + N p + n = S + N p + N = Sp, co dowodz, że cąg P n N jest dobrze zdefnowany Plan spłaty długu jest to układ S n N n=0, R n N, T n N, I n N, gdze R n = R n + P n, zaś elementy R n, S n, T n, I n są take jak w podrozdzale Spłata długu w równych ratach patrz mn wzory Dla długu S spłacanego ratam malejącym tzn ratam o stałych częścach kaptałowych, kładąc otrzymujemy, w myśl 37 P n = T n p, n =,,, N, S P = P n = T n p = N p = Sp, Plan spłaty długu jest tutaj układem S n N n=0, R n N, T n N, I n N, gdze R n = R n + P n, zaś elementy R n, S n, T n, I n są take jak w podrozdzale Spłata długu w równych ratach patrz mn wzory37-39 Plan spłaty długu z opłatą nalczoną od wysokośc długu beżacego S n Poneważ opłata dodatkowa jest nalczana od długu beżacego, to cąg P n N zdefnowany jest tutaj wzorem P n = S n p, n =,,, N 7
18 - Dla długu S spłacanego stałym ratam R otrzymujemy, że łączną opłata dodatkowa w myśl 3 spełna P = P n = S n p = Sp = N + N + N w konsekwencj S + N + n p + N + n = P = Sp N + N + N Poneważ z 7 R = S n + S n, to n-ta płatność wynos Sp N + N + N, + N 40 Rn = P n + R = S n + + p S n, n =,,, N Układ S n N n=0, R n N, T n N, I n N stanow plan spłaty długu, gdze Rn dane jest wzorem 40 - Dla długu S spłacanego ratam malejącym, poneważ S n = S N n, to N łączna opłata wynos S P = P n = S n p = N n p N = S N N p n = S N + p Zauważmy, że n-ta płatność wynos R n = R n + P n = T n + I n + P n = T n + S n + S n p = T n + S n + p co daje, że dodatkowa opłata zwększa stopę do stopy + p, czyl R n = S N + N n + + p Układ S n N n=0, R n N, T n N, I n N stanow plan spłaty długu 8
Matematyka bankowa 2
1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i
Bardziej szczegółowoArytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013
Arytmetyka fnansowa Wykła z na 30042013 Wesław Krakowak W tym rozzale bęzemy baać wartość aktualną rent pewnych, W szczególnośc, wartość obecną renty, a równeż wartość końcową Do wartośc końcowej renty
Bardziej szczegółowoI = F P. P = F t a(t) 1
6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Matematyka bankowa 2
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Bardziej szczegółowoJak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014
Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Matematyka bankowa 2
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy
Bardziej szczegółowozaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.
zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady
Bardziej szczegółowo1. Spłata długów. Są także kredyty preferencyjne udzielane przez banki zgodnie z projek-
1. Spłata długów Kredyt i pożyczka bywają traktowane jako synonimy, ale w sensie prawno-- ekonomicznym bardzo się różnią. Mianowicie: Pożyczka jest instytucją prawa cywilnego i może jej udzielać tylko
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Bardziej szczegółowomgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3
Ćwiczenia 3 Rachunek rentowy Jako rachunek rentowy traktuje się regularne płatności płacone w stałych przedziałach czasu przy czym towarzyszy temu stała stopa procentowa. Wykorzystanie: renty; płatności
Bardziej szczegółowoCzym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2,
Ciągi liczbowe Czym jest ciąg? Ciąg liczbowy, to funkcja o argumentach naturalnych, której wartościami są liczby rzeczywiste. Wartość ciągu dla liczby naturalnej n oznaczamy symbolem a n i nazywamy n-tym
Bardziej szczegółowo4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe
4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie)
Bardziej szczegółowoREZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH
REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH M. BIENIEK Przypomnijmy, że dla dowolnego wektora przepływów c rezerwę w chwili k względem funkcji dyskonta v zdefiniowaliśmy jako k(c; v) = Val k ( k c; v), k = 0,
Bardziej szczegółowoZajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane
Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o
Bardziej szczegółowoMatematyka bankowa 1 1 wykład
Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Bardziej szczegółowo(dla modelu kapitalizacji prostej i dyskonta matematycznego) lub
1. Spłata długów Kredyt i pożyczka bywają traktowane jako synonimy, ale w sensie prawno-ekonomicznym bardzo się różnią. Mianowicie: Pożyczka jest instytucją prawa cywilnego i może jej udzielać tylko właściciel
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II
Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZENIA NA ŻYCIE
UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE M BIENIEK Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym gwarantujący, że ubezpieczyciel w zamian za opłacanie składek, wypłaci z góry ustaloną
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address:
Bardziej szczegółowo[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN
LITERATURA: [1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN [2 ] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN [3 ] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet [4 ] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej,
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej
ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,
Bardziej szczegółowoEgzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia
Bardziej szczegółowomgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2
Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane
Bardziej szczegółowo2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej
2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoStopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k
2.1 Stopa Inflacji Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych stóp inflacji, gdzie cząstkowa stopa
Bardziej szczegółowo1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku
1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa
Bardziej szczegółowo5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim
5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną
Bardziej szczegółowoPortfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego
Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej w programie Maxima
Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,
Bardziej szczegółowoI. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady
Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty
Bardziej szczegółowo5. Strumienie płatności: renty
5. Strumienie płatności: renty Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza: Future Value FV
Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie
Bardziej szczegółowoĆwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa. Ćwiczenia ZPI. Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Matematyka finansowa Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Procent składany W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku
Bardziej szczegółowoGranice ciągów liczbowych
Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1. Rozważamy
Bardziej szczegółowoModele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.
Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można
Bardziej szczegółowoOGÓLNE RENTY ŻYCIOWE
OGÓLNE RENTY ŻYCIOWE M. BIENIEK Rentą życiową nazywamy kontrakt między ubezpieczycielem a ubezpieczonym, w którym ubezpieczony w zamian za określoną opłatę, zwaną składką, otrzymuje ciąg z góry określonych
Bardziej szczegółowoINDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. październik Projekt dofinansowała Fundacja mbanku
INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie październik 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY październik 2017 1 / 19 Spis treści 1
Bardziej szczegółowoEFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA O RÓWNOWAŻNA STPOPA PROCENTOWA
EFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA O RÓWNOWAŻNA STPOPA PROCENTOWA Nekedy zachodz koneczność zany okesu kapt. z ównoczesny zachowane efektów opocentowane. Dzeje sę tak w nektóych zagadnenach ateatyk fnansowej np.
Bardziej szczegółowoArkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3
Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Wstęp do matematyki finansowej Introduction to financial mathematics Kierunek: Kod przedmiotu: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 17.05.2003
1. Na początku roku (w chwili t = 0 ) portfel pewnego funduszu inwestycyjnego składa się z 40% obligacji typu I oraz 60% obligacji typu II. O obligacjach typu I oraz typu II wiadomo, że: (i) obligacja
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMS Excel 2007 Kurs zaawansowany Funkcje finansowe. prowadzi: Dr inż. Tomasz Bartuś. Kraków: 2008 04 18
MS Excel 2007 Kurs zaawansowany Funkcje finansowe prowadzi: Dr inż. Tomasz Bartuś Kraków: 2008 04 18 Funkcje finansowe Excel udostępnia cały szereg funkcji finansowych, które pozwalają na obliczanie min.
Bardziej szczegółowoO PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH
O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH A. KARPIO KATEDRA EKONOMETRII I STATYSTYKI SGGW W WARSZAWIE Krzywa dochodowości Obligacja jest papierem wartościowym, którego wycena opiera się na oczekiwanych
Bardziej szczegółowoRegulamin promocji 14 wiosna
promocja_14_wosna strona 1/5 Regulamn promocj 14 wosna 1. Organzatorem promocj 14 wosna, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa od 01 lutego 2014 do 30
Bardziej szczegółowoProjekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowop Z(G). (G : Z({x i })),
3. Wykład 3: p-grupy twerdzena Sylowa. Defncja 3.1. Nech (G, ) będze grupą. Grupę G nazywamy p-grupą, jeżel G = dla pewnej lczby perwszej p oraz k N. Twerdzene 3.1. Nech (G, ) będze p-grupą. Wówczas W
Bardziej szczegółowoRachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.
Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że
Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171)
Przedmiot: MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171) Prowadzący wykład: dr Krzysztof Samotij, e-mail: krzysztof.samotij@pwr.edu.pl Czas i miejsce wykładu: poniedziałki (wg definicji J.M. Rektora) g. 9:15-11:00,
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 6: SKŁADKI OKRESOWE Składki okresowe netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową
Bardziej szczegółowoALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO
ALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO NA PODSTAWIE REFERATU JUSTYNY KOSAKOWSKIEJ. Moduły prnjektywne posety skończonego typu prnjektywnego Nech I będze skończonym posetem. Przez max
Bardziej szczegółowo8. Papiery wartościowe: obligacje
8. Papiery wartościowe: obligacje Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje
Bardziej szczegółowoINDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. wrzesień Projekt dofinansowała Fundacja mbanku
INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie wrzesień 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień 2017 1 / 40 Spis treści 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoEgzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia Kadr
Bardziej szczegółowoPorównanie opłacalności kredytu w PLN i kredytu denominowanego w EUR Przykładowa analiza
Porównanie opłacalności kredytu w PLN i kredytu denominowanego w EUR Przykładowa analiza Opracowanie: kwiecień 2016r. www.strattek.pl strona 1 Spis 1. Parametry kredytu w PLN 2 2. Parametry kredytu denominowanego
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Wyznaczanie lokalizacji magazynów dystrybucyjnych i miejsc produkcji dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 1 Wybór miejsca produkcji
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0-1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających Interpretacja
Bardziej szczegółowoWZÓR OBLICZANIA RZECZYWISTEJ ROCZNEJ STOPY OPROCENTOWANIA (RRSO)
Załącznik Nr 3 WZÓR OBLICZANIA RZECZYWISTEJ ROCZNEJ STOPY OPROCENTOWANIA (RRSO) 1. Rzeczywistą roczną stopę oprocentowania stanowiącą całkowity koszt kredytu hipotecznego ponoszony przez konsumenta, wyrażony
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp
Bardziej szczegółowoFinansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Sporządzanie planu spłaty kredytu wykład 5. dla 5. roku HM zaoczne.
Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Sporządzanie planu spłaty kredytu wykład 5. dla 5. roku HM zaoczne dr Adam Salomon Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Podręcznik
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoOGÓLNY MODEL MATEMATYKI FINANSOWEJ
OGÓLNY MODEL MATEMATYKI FINANSOWEJ M. BIENIEK W tym wykładzie przedstawimy ogólny model matematyki finansowej, używany w dalszym ciągu. Wprowadzimy również wiele pojęć i oznaczeń stosowanych w dalszych
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 006 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Inwestor dokonuje
Bardziej szczegółowoPaulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują
Bardziej szczegółowoArkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3. Zadanie 1 Amortyzacja środków trwałych
Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.
Bardziej szczegółowoEgzamin dla Aktuariuszy z 7 grudnia 1996 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin dla Aktuariuszy z 7 grudnia 1996 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:....... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa V. Ciągi
Matematyka podstawowa V Ciągi Teoria ciąg arytmetyczny - pierwszy wyraz ciągu - różnica Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy. = + Np. =2,=3 :2,5,8,11 = 4,=2
Bardziej szczegółowoEkonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 03 MSTiL (II stopień)
dr Adam Salomon Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 03 MSTiL (II stopień) EiLwPTM program wykładu 03. Kredyt. Plan spłaty kredytu metodą tradycyjną i za pomocą współczynnika
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Trzy osoby biorą
Bardziej szczegółowoTabela oprocentowania dla konsumentów
KONTA Konto Osobiste Oprocentowanie konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe dwukrotność odsetek ustawowych,
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy
Bardziej szczegółowoRachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.
Temat: Rachunek rent Pojęcie renty Wartość początkowa i końcowa renty Renty o stałych ratach Renta o zmiennych ratach Renta uogólniona Zadanie 1 Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 1 000 PLN
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rachunki oszczędnościowe
Bardziej szczegółowoTabela oprocentowania dla konsumentów
KONTA Konto Osobiste Oprocentowanie konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe oraz odsetki za przekroczenie
Bardziej szczegółowoRegulamin promocji upalne lato 2014 2.0
upalne lato 2014 2.0 strona 1/5 Regulamn promocj upalne lato 2014 2.0 1. Organzatorem promocj upalne lato 2014 2.0, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa
Bardziej szczegółowoWAŻNE: Gdy spłacasz należności po terminie wyznaczonym w decyzji, musisz ustalić dalsze odsetki ustawowe.
Poradnik na temat zasad naliczania odsetek ustawowych od nienależnie pobranych świadczeń z wykorzystaniem udostępnionego na stronach internetowych Kalkulatora odsetkowego dla osób zobowiązanych do zwrotu
Bardziej szczegółowoObowiązuje od 01.02.2016 r.
KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe oraz odsetki za przekroczenie limitu
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH 1 Test zgodnośc χ 2 Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuance F). Hpoteza alternatywna H1( Cecha X populacj
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZENIE NA ŻYCIE Z LOSOWĄ STOPĄ PROCENTOWĄ
UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE Z LOSOWĄ STOPĄ PROCENTOWĄ Krzysztof Janas Michał Krzeszowiec Koło Nauk Aktuarialnych Politechniki Łódzkiej Warszawa, 09-11.06.2008 r. Plan Założenia wstępne: Teoria oprocentowania
Bardziej szczegółowo