Wprowadzenie do modelowania matematycznego w biologii. Na podstawie wykładów dr Urszuli Foryś, MIM UW

Transkrypt

1 Wprowadzenie do modelowania matematycznego w biologii Na podstawie wykładów dr Urszuli Foryś, MIM UW

2 Model matematyczny Jest to teoretyczny opis danego zjawiska na podstawie bieżącej wiedzy (często zwany modelem heurystycznym), posiadający określoną strukturę matematyczną Klasycznie najczęściej stosowanym formalizmem matematycznym są równania różniczkowe i różnicowe Obecnie często buduje się modele stochastyczne czy modele mieszane.

3 Model matematyczny Przyjmując dany formalizm matematyczny należy określić, co stanowi zmienne, a co parametry naszego modelu. Parametry wyznaczamy na podstawie danych zebranych podczas eksperymentów, natomiast zmienne to niewiadome, które wyznaczamy (lub analizujemy ich przebieg) na podstawie modelu.

4 Model matematyczny Poprawnie zbudowany model powinien mieć jednoznaczne rozwiązania, stabilne względem warunków początkowych i parametrów (J.S. Hadamard) Zasada falsyfikowalności (K. Popper) - model czy teoria naukowa powinny być tak zbudowane, aby za pomocą eksperymentu można było je obalić

5 Modelowanie pojedynczej populacji Model Malthusa: populacja jest jednorodna (genetycznie identyczne osobniki), rozmnaża się partenogenetycznie; osobnik rodzi się w pełni ukształtowany, zdolny do rozrodu, rozmnaża się w dowolnym wieku; momenty rozmnażania są w dowolnym przedziale czasu, rozłożone jednostajnie; każdy osobnik wydaje na świat potomstwo co τ jednostek czasu (τ ustalone, jednakowe dla wszystkich) każdorazowo jeden rodzic ma λ osobników potomnych

6 Model Malthusa (przypadek ciągły) Liczba momentów rozmnażania: Liczba potomków: współczynnik rozrodczości Przyrost liczebności: rt ( ) N t =N 0 e

7 Model Malthusa (przypadek dyskretny) Przyjmujemy: 1 oznacza ustaloną jednostkę czasu Niech N(t)=Nt Wówczas przyrost liczebności: t N t =N 0 (1+r )

8 Model Malthusa Rozwiązania modelu ciągłego i dyskretnego są zbieżne gdy: rc r D =e 1

9 Model Malthusa uwzględnienie śmiertelności Dodajemy jako parametr śmiertelność s Wówczas parametrem r zastępowany jesr wpółczynnikiem przyrostu naturalnego: rn=r-s Cały model pozostaje bez zmian

10 Model Malthusa uwzględnienie migracji Uwzględniamy migrację w związku z organiczoną pojemnością siedliska W najprostszych modelach są dwa typy migracji: 1) migracja zależna od zagęszczenia 2) migracja stała w czasie

11 Model Malthusa uwzględnienie migracji Migracja zależna od zagęszczenia N (t )=r n N (t ) kn (t ) Rozwiązanie równania pozostanie takie samo Jeśli migracja niewielka rn>k to populacja nadal rośnie nieorganiczenie Jeżeli migracja duża to siedlisko zostanie opuszczone, jednak nastąpi to w czasie nieskończonym

12 Model Malthusa uwzględnienie migracji Migracja niezależna od zagęszczenia N (t )=r n N (t ) m Zakładamy, że m >0 Możemy rozważać cztery różne kombinacje znaków w modelu (przyrost naturalny i migracja dodatnie bądź ujemne imigracja, emigracja)

13 Model Malthusa

14 Ćwiczenie 1 Zaimplementuj model Malthusa. Program na wejściu ma wczytywać: współczynnik rozrodczości współczynnik śmiertelności początkową liczbę osobników populacji współczynnik migracji liczbę jednostek czasu do ilu wykonane zostaną symulacje Program na wyjściu ma generować wykres odzwierciedlający zmianę wielkości populacji w czasie

15 Model Verhulsta Przyrost liczebności w tym modelu hamuje konkurencja o zasoby siedliska, która jest związna, w oczywisty sposób, z ograniczonością tych zasobów. Jest to konkurencja wewnątrzgatunkowa Konkurencję między osobnikami tego samego gatunku Verhulst opisał w taki sam sposób jak losowe zderzenia cząsteczek gazu elementarnego: 2 N (t )=rn (T ) b N (t )

16 Model Verhulsta Jednocześnie model uwzględnia fakt, że istnieje określona pojemność środowiska (K), w zależności od której zwierzęta mogą się rozmnażać: N N (t )=rn (T )(1 ) K

17 Model Verhulsta N N (t )=rn (T )(1 ) K

18 Co jeszcze uwzględnia się w modelach jednej populacji? Wiek najstarszy model populacyjny uwzględniający wiek to ciąg Fibonacciego Wprowadzenie do opisu heurystycznego zależności od wieku prowadzi najczęściej do dynamiki oscylacyjnej ( jest

19 Modelowanie ekosystemu z dwiema populacjami Wyróżnia się trzy tego rodzaju ekosystemy: -układ drapieżnik-ofiara -konkurencja -symbioza -mutualizm -komensalizm

20 Model drapieżnik ofiara (Lotki-Volterry) Niech P(t) oznacza zagęszczenie drapieżników, natomiast V(t)- zagęszczenie ofiar. Wówczas: V =rv avp P = sp+abvp Wewnętrzna dynamika obu gatunków Liczba spotkań tych gatunków

21 Model drapieżnik ofiara (Lotki-Volterry) Portret fazowy układu wraz z przykładowymi krzywymi fazowymi

22 Model drapieżnik ofiara (Lotki-Volterry) Przebieg przykładowych rozwiązań układu

23 Model drapieżnik ofiara (ograniczona pojemność środowiska) Niech P(t) oznacza zagęszczenie drapieżników, natomiast V(t)- zagęszczenie ofiar, K- pojemność środowiska Wówczas: V V =rv (1 ) avp P = sp+abvp K

24 Model drapieżnik ofiara (ograniczona pojemność środowiska) Portret fazowy układu wraz z przykładowymi krzywymi fazowymi i istniejącymi punktami stacjonarnymi

25 Model drapieżnik ofiara (ograniczona pojemność środowiska) Przebieg przykładowych rozwiązań układu

26 Model konkurencji

27 Model konkurencji Przebieg przykładowych rozwiązań układu

28 Model symbiozy Przebieg przykładowych rozwiązań układu

29 Łańcuchy Markowa

30 Łańcuchy Markowa Niech Xt, gdzie t należy do zbioru {0, inf} oznacza ciąg zmiennych losowych o wartościach całkowitych. Jeżeli w próbie z numerem t zrealizowało się zdarzenie Wj to przyjmiemy Xt=j. Ciąg badanych zmiennych losowych nazwiemy łańcuchem Markowa jeśli:

31 Łańcuchy Markowa Jeśli P(Xt=j Xt-1=i) nie zależy od numeru próby t wówczas łańcuch nazywamy jednorodnym Wyniki poszczególnych prób nazywamy stanami Łańcucha.

32 Łańcuchy Markowa cechy stanów - Stan j nazywamy osiągalnym ze stanu i wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowe prawdopodobieństwo przejścia ze stanu i do stanu j w dowolnej liczbie kroków. - Stany i oraz j komunikują się, gdy i jest osiągalny z j oraz j jest osiągalny z i. - Stan i nazywamy pochłaniającym wówczas, gdy pii=1. - Stan i nazywamy odbijającym wówczas, gdy pii=0. - Stan i jest nieistotny (chwilowy) wówczas, gdy istnieje wersja opuszczenia stanu, po której już nie można do niego wrócić. - Stan i jest istotny wówczas, gdy dla każdej wersji opuszczenia stanu jest możliwy powrót do niego.

33 Łańcuchy Markowa macierz przejść Badając łańcuch Markowa sprowadzamy najpierw jego macierz do postaci kanonicznej numerując stany w taki sposób, aby na początku znalazły się stany nieistotne, a następnie poszczególne stany z kolejnych klas.

34 Łańcuchy Markowa wyznaczanie prawdopodobieństwa Aby wyznaczyć prawdopodobieństwo zajścia określonego zjawiska w jednostce czasu t mnożymy wektor opisujący to zjawisko przez macierz przejść przemnożoną t razy

35 Ćwiczenie 2 Mając dane 6 sekwencji DNA: AAACCCTGGCAATTCAGT ACCTGCGCCGTATATTATCAT GGCTCTCCAAG CCTTATATGGAAGAGG TTATTGC CCATGGC Zbuduj Łańcuch Markowa

36 Modelowanie odpowiedzi odpornościowej Antygen to substancja, która wykazuje się: immunogennością, czyli zdolnością indukowania swoistej (specyficznej) odpowiedzi odpornościowej przeciw sobie; antygenowością, czyli zdolnością do swoistego łączenia się z immunoglobulinami (zarówno wolnymi jak i stanowiącymi receptory limfocytów B) oraz receptorami limfocytów T

37 Modelowanie odpowiedzi odpornościowej w obrębie jednego antygenu może znajdować się wiele miejsc wiązanych przez przeciwciała- epitopów epitopy obecne w jednej cząsteczce antygenu mogą być identyczne lub różne i mogą być wiązane przez przeciwciała o tej samej lub różnej swoistości antygen zawierający wiele epitopów nazywamy wielowartościowym lub poliwalentnym.

38 Najważniejsze czynniki układu immunologicznego

39 Rozwój odpowiedzi odpornościowej

40 Dynamika antygenu Antygeny można podzielić na: - aktywne, jak bakterie, grzyby i wirusy, mające zdolność aktywnego namnażania się w organizmie; - pasywne, jak trucizny i jady, które się nie namnażają; - własne, czyli produkowane przez organizm, jak autoantygeny czy antygeny transplantacyjne.

41 Dynamika antygenu Niech V(t) oznacza zagęszczenie antygenu w organizmie w chwili t Dynamika pierwszego i drugiego typu: V =bv Dynamika trzeciego typu: V =a cv

42 Dynamika antygenu W obu modelach należy uwzględnić działanie układu odpornościowego: V =bv dve Dynamika dla efektorów układu immunologicznego: E =nv mve

43 Dynamika antygenu Możliwe rozwiązania układu w przypadku silnego antygenu i wysokiego początkowego poziomu efektorów oraz niewielkiej początkowej dawki antygenu spełniającej nierówność

44 Dynamika antygenu Możliwe rozwiązania układu w przypadku słabego antygenu lub dostatecznie silnego układu immunologicznego

45 Ćwiczenie 3 Stwórz program symulujący działanie układu odpornościowego, na wejściu niech pobiera: - typ antygenu - ilość antygenu - stan układu odpornościowego