MODELE WIELOPOPULACYJNE. Biomatematyka Dr Wioleta Drobik
|
|
- Paweł Wieczorek
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MODELE WIELOPOPULACYJNE Biomatematyka Dr Wioleta Drobik
2 UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH Warunek początkowy: x(t 0 )=x 0, y(t 0 )=y 0 Funkcje f i g to zadane funkcje ciągłe trzech zmiennych: t, x(t),y(t)
3 UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH Portret fazowy Portret fazowy danego układu równań różniczkowych to zobrazowanie przebiegu rozwiązań w przestrzeni (V,P) gdzie rozwiązania są krzywymi opisanymi lokalnie jako funkcje P(V) lub V(P), a przebieg w czasie (zmienna niezależna t) zaznaczamy strzałkami Inaczej: zbiór trajektorii układu równań różniczkowych w przestrzeni (na płaszczyźnie R 2 ) Wyznaczenie zaczynamy od znalezienia izoklin zerowych, czyli zbiorów punktów płaszczyzny, które otrzymujemy przyrównując do zera prawe strony równań z układu, np. izoklina zerowa zmiennej x to x (t)=0 Na izoklinie zerowej zmienna x nie zależy od czasu
4 STABILNOŚĆ STANU STACJONARNEGO Stany stacjonarne Punkt, w którym zeruje się pierwsze i drugie równanie układu Stan stacjonarny nazywamy stabilnym w sensie Lapunowa, jeżeli startując z pobliskiego warunku początkowego, trajektoria rozwiązanie nie oddali się zanadto od stanu stacjonarnego Stan stacjonarny nazywamy stabilnym asymptotycznie, jeżeli startując z pobliskiego warunku początkowego, trajektoria rozwiązania zbiega asymptotycznie do stanu stacjonarnego.
5 MODEL LOTKI-VOLTERRY Portret fazowy wraz z przykładowymi krzywymi fazowymi Wyróżniony cykl odpowiada warunkowi początkowemu: V(t 0 ) = 1 P(t 0 ) = 0,5
6 PORTRET FAZOWY I STAN STACJONARNY przebieg w czasie punkt stacjonarny
7 ROZWIĄZANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego Z warunkiem początkowym Polega na wyznaczeniu dyskretnych wartości y n = y(t n ), gdzie n = 1,2,.. Kolejne punkty znajdują się w odległości h (krok całkowania)
8 ROZWIĄZANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Obliczamy wartość x w późniejszym czasie używając równania: Metoda Eulera
9 ROZWIĄZANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Ulepszenie metody Eulera metoda Runge-Kutty drugiego rzędu krok całkowania: h = t
10 WSPÓŁZAWODNICTWO GATUNKÓW Dwa gatunki N 1 oraz N 2 konkurują o to samo pożywienie Wielkość populacji obydwu gatunków zależy od ilości dostępnego pożywienia Zużycie pożywienia (Z) jest proporcjonalne do liczebności gatunków h 1, h 2 współczynniki jednostkowego zużycia pożywienia gatunków N 1 i N 2 Współczynniki wzrostu populacji obu gatunków w idealnych warunkach wynoszą Ɛ i > 0, z kolei w wyniku zużycia pożywienia zmniejszają się o ϒ i Z
11 WSPÓŁZAWODNICTWO GATUNKÓW Niech: N 1 = N 1 (t) zagęszczenie ofiar w chwili t N 2 = N 2 (t) zagęszczenia drapieżników w chwili t Współczynniki wzrostu populacji
12 MODEL LOTKI-VOLTERRY Umożliwiają uwzględnienie interakcji między dwiema populacjami Najstarszy znany model: Lata 20-ste XX wieku: model drapieżnik ofiara niezależnie przez Lotke i Volterre Model biochemiczny - zmiana stężeń dwóch reagujących ze sobą substancji chemicznych Model populacyjny - wzrost populacji ryb drapieżnych w Adriatyku po ograniczeniu połowów w trakcie I wojny światowej Alfred James Lotka Vitto Volttera
13 MODEL LOTKI-VOLTERRY Model dotyczy zmian liczebności populacji dwóch gatunków: ofiar (ang. prey) drapieżników (ang. predator) żywiących się osobnikami pierwszego gatunku.
14 MODEL DRAPIEŻNIK-OFIARA Dlaczego drapieżne torbacze wyginęły? Australia: Brak stałocieplnych drapieżników, przy jednocześnie dużej populacji drapieżników zmiennocieplnych W plejstocenie megafauna australijska uległa wymarciu Hipotezy: Niewielkie rozmiary kontynentu mała przestrzeń życiowa? Małe mózgi torbaczy uniemożliwiły wyewoluowanie w skuteczne drapieżniki? Australijscy roślinożercy są zmuszeni żyć w dużo większym rozproszeniu niż na innych kontynentach (ograniczone zasoby pokarmowe). Faworyzowane są drapieżniki o mniejszych rozmiarach ciała lub wolniejszym metabolizmie?
15 ZAŁOŻENIA MODELU LOTKI-VOLTERRY W ekosystemie występują dwa gatunki, przy czym osobniki drugiego gatunku (ofiary) stanowią pożywienie osobników pierwszego gatunku (drapieżników) Zagęszczenie populacji ofiar oznaczamy przez V(t), a zagęszczenie populacji drapieżników oznaczamy przez P(t) Jeżeli: V(t) = 0 brak ofiar oznacza śmierć drapieżników P(t) = 0 brak drapieżników oznacza niekontrolowany wzrost populacji ofiar H(t) > 0 oraz P(t) > 0 drapieżniki polują na ofiary, czerpiąc energie potrzebną do życia i rozmnażania Polowanie jest możliwe tylko przy bezpośrednim kontakcie liczba kontaktów jest proporcjonalna do liczebności obu gatunków Ofiar ubywa proporcjonalnie do liczby spotkań
16 MODEL LOTKI-VOLTERRY Niech: V = V(t) zagęszczenie ofiar w chwili t P = P(t) zagęszczenia drapieżników w chwili t wewnętrzna dynamika rozwoju populacji ofiar odzwierciedla liczbę losowych spotkań obu gatunków część energii z upolowanej biomasy, którą drapieżnik przeznacza na rozród wewnętrzna dynamika rozwoju populacji drapieżników (spadek populacji) r współczynnik rozrodczości gatunku ofiar a współczynnik skuteczności polowań (interpretowany również jako biomasa upolowanych ofiar) b współczynnik rozrodczości drapieżników (na jednostkę upolowanej ofiary) s współczynnik śmiertelności drapieżników
17 MODEL LOTKI-VOLTERRY Rozwiązaniem są funkcje okresowe (krzywe zamknięte na portrecie fazowym) przesunięte w czasie Równania oscylują wokół dodatniego stanu stacjonarnego,a ich wartości średnie są równe współrzędnym tego punktu niezależnie od trajektorii, czyli także od warunku początkowego (prawo zachowania średnich) Dodatni stan stacjonarny układu:
18 ROZWIĄZANIE NUMERYCZNE Wyznacz zagęszczenie populacji dla t=2 metodą Eulera i Runge-Kutty jeżeli: V(t 0 ) = 10 P(t 0 ) = 10 r = 0,9 a = 0,1 b = 0,5 s = 0,6 Krok całkowania t= 1
19 ROZWIĄZANIE NUMERYCZNE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH Jak zmieni się zagęszczenie populacji drapieżników i ofiar w czasie t? Metoda Eulera wzór ogólny: Kierunek wyrażony jest przez pierwszą pochodną funkcji (prawa strona równania różniczkowego). Jest to tzw. predyktor Dla równania Lotki-Volterry:
20 ROZWIĄZANIE NUMERYCZNE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH Jak zmieni się zagęszczenie populacji drapieżników i ofiar w czasie t? Metoda Runge-Kutty drugiego rzędu
21 MODEL LOTKI-VOLTERRY Krytyka modelu: Brak stabilności strukturalnej niewielka zmiana prawej strony równania może prowadzić do radykalnych zmian w dynamice rozwiązań Rozwiązania układu oscylują w taki sposób, że wzrost populacji drapieżników może wyprzedzać wzrost populacji ofiar co nie jest obserwowane w naturze Nie uwzględnia szeregu istotnych zmiennych Wewnętrzna dynamika populacji ofiar zgodna z modelem Malthusa brak zależności od zagęszczenia Brak konkurencji międzygatunkowej Brak mechanizmów obronnych u ofiar np. kryjówek
22 MODEL LOTKI-VOLTERRY Z OGRANICZONĄ POJEMNOŚCIĄ ŚRODOWISKA OFIAR Z modyfikacją uwzględniającą ograniczoną pojemność środowiska dla ofiar V = V(t) zagęszczenie ofiar w chwili t P = P(t) zagęszczenia drapieżników w chwili t Zmiana izokliny dla drapieżników r współczynnik rozrodczości gatunku ofiar a współczynnik skuteczności polowań (interpretowany również jako biomasa upolowanych ofiar) b współczynnik rozrodczości drapieżników (na jednostkę upolowanej ofiary) s współczynnik śmiertelności drapieżników k pojemność środowiska dla gatunku ofiar
23 MODEL LOTKI-VOLTERRY Z OGRANICZONĄ POJEMNOŚCIĄ ŚRODOWISKA OFIAR Z modyfikacją uwzględniającą ograniczoną pojemność środowiska dla ofiar W populacji ofiar oprócz procesu rozrodczości występuje konkurencja o zasoby modelowana za pomocą funkcji kwadratowej Zmiana izokliny dla drapieżników Pojemność środowiska jest niewielka K s/ab - występują dwa rozwiązania stacjonarne: A. Liczebności populacji wynoszą 0 osobników B. Populacja ofiar dąży do liczebności K, populacja drapieżników wymiera (liczebność ofiar jest zbyt mała aby populacja drapieżników mogła się wyżywić) Pojemność środowiska jest duża K > s/ab istnieją trzy rozwiązania stacjonarne, Gdy K=s/ab rozwiązania B i C pokrywają się
24 MODEL LOTKI-VOLTERRY Z OGRANICZONĄ POJEMNOŚCIĄ ŚRODOWISKA OFIAR Jeżeli rozwiązanie stacjonarne istnieje K > s/ab jest ono globalnie stabilne dla wszystkich dodatnich warunków początkowych Wraz z upływem czasu liczebności gatunku ofiar i drapieżników zbiegają się do wielkości określonych przez współrzędne rozwiązania stacjonarnego C Obydwa gatunki występują w środowisku
25 SYMYLACJE Program Populus Dostępny za darmo na stronie
26 SYMULACJE Model > Multi-Species Dynamics > Continuous Predator- Prey Models Współczynniki dla modelu Lotki-Volterry w programie Populus: N 0 = 10 - zagęszczenie ofiar w chwili t 0 czyli V(t 0 ) P 0 = 10 - zagęszczenie drapieżników w chwili t 0 czyli V(t 0 ) r 1 = 0,9 - współczynnik rozrodczości gatunku ofiar czyli r C 1 = 0,1 współczynnik skuteczności polowań czyli a d 2 = 0,6 współczynnik śmiertelności drapieżników czyli s g = 0,5 współczynnik rozrodczości drapieżników (na jednostkę upolowanej ofiary) czyli b
27 MODEL LOTKI-VOLTERRY - OZNACZENIA Oznaczenia modelu w programie Populus: P Kierunek zmian wartości funkcji Izoklina pozioma N Izoklina pionowa
28 SYMULACJE Czy zmiana początkowych liczebności populacji wpływa na dynamikę modelu? Jakie skutki dla modelu będzie miało zwiększenie, przy założeniu zachowania pozostałych parametrów modelu, współczynnika: śmiertelności drapieżników wzrostu populacji ofiar skuteczności polowań
29 MODEL DRAPIEŻNIK-OFIARA Z OGRANICZONĄ POJEMNOŚCIĄ ŚRODOWISKA Przyjmujemy K = 30 z zachowaniem pozostałych parametrów Jak zastąpienie wzrostu wykładniczego ofiar modelem logistycznym zmieni zachowanie modelu? Czy zmieni się stabilność stanu stacjonarnego? Jakie skutki dla modelu będzie miało zwiększenie, przy założeniu zachowania pozostałych parametrów modelu, współczynnika: śmiertelności drapieżników wzrostu populacji ofiar skuteczności polowań
30 LITERATURA Foryś U Matematyka w biologii, Wydawnictwa Naukowo- Techniczne, Warszawa. Rudnicki R Dynamika populacyjna. Monografia. Sharov A Quantitative population ecology lecture notes. Wrzosek D Matematyka dla biologów. Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego. Problem wyginięcia megafauny australijskiej: /08/02/O_pewnym_ciekawym_zastosowaniu_m/
MODELE ODDZIAŁYWAŃ MIĘDZY DWIEMA POPULACJAMI
MODELE ODDZIAŁYWAŃ MIĘDZY DWIEMA POPULACJAMI Biomatematyka Dr Wioleta Drobik-Czwarno UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH Warunek początkowy: x(t 0 )=x 0, y(t
Bardziej szczegółowoCzego ekolog może się dowiedzieć od matematyka, czyli słów kilka o modelu drapieżnik-ofiara
1/32 Czego ekolog może się dowiedzieć od matematyka, czyli słów kilka o modelu drapieżnik-ofiara Urszula Foryś Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Zakład Biomatematyki i Teorii Gier WMIM UW Banacha
Bardziej szczegółowoMODELE ROZWOJU POPULACJI Z UWZGLĘDNIENIEM WIEKU
MODELE ROZWOJU POPULACJI Z UWZGLĘDNIENIEM WIEKU Dr Wioleta Drobik-Czwarno CIĄG FIBONACCIEGO Schemat: http://blogiceo.nq.pl/matematycznyblog/2013/02/06/kroliki-fibonacciego/ JAK MOŻEMY ULEPSZYĆ DOTYCHCZASOWE
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do modelowania matematycznego w biologii. Na podstawie wykładów dr Urszuli Foryś, MIM UW
Wprowadzenie do modelowania matematycznego w biologii Na podstawie wykładów dr Urszuli Foryś, MIM UW Model matematyczny Jest to teoretyczny opis danego zjawiska na podstawie bieżącej wiedzy (często zwany
Bardziej szczegółowoFilmy o numerycznym prognozowaniu pogody Pogodna matematyka : zakładka: Filmy
Modelowanie komputerowe w ochronie środowiska Wykłady x 4 Ćwiczenia x 3 Strona: http://www.icm.edu.pl/~aniat/modele/msos26.html Literatura: Urszula Foryś, Matematyka w biologii, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoc - częstość narodzin drapieżników lub współczynnik przyrostu drapieżników,
SIMULINK 3 Zawartość Równanie Lotki-Volterry dwa słowa wstępu... 1 Potrzebne elementy... 2 Kosmetyka 1... 3 Łączenie elementów... 3 Kosmetyka 2... 6 Symulacja... 8 Do pobrania... 10 Równanie Lotki-Volterry
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoN(t) = N 0 e rt MODELE WZROSTU POPULACJI Z CZASEM CIĄGŁYM. Dr Wioleta Drobik-Czwarno
N(t) = N 0 e rt MODELE WZROSTU POPULACJI Z CZASEM CIĄGŁYM Dr Wioleta Drobik-Czwarno PODSTAWY MATEMATYCZNE Procesy biologiczne, chemiczne i fizyczne można zapisać równaniami różniczkowymi. Potrzebne narzędzia:
Bardziej szczegółowoWybrane zastosowania równań różniczkowych zwyczajnych w biologii
Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Klaudia Matyjasek nr albumu 219863 praca zaliczeniowa na kierunku matematyka Wybrane zastosowania równań różniczkowych zwyczajnych w biologii
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. DYNAMIKA ROZWOJU
WYKŁAD 3. DYNAMIKA ROZWOJU POPULACJI MODELE Z CZASEM DYSKRETNYM DR WIOLETA DROBIK- CZWARNO MODELE ZMIAN ZAGĘSZCZENIA POPULACJI Wyróżniamy modele: z czasem dyskretnym wykorzystujemy równania różnicowe z
Bardziej szczegółowoWykład 2. Rodzaje konkurencji. Modele wzrostu populacji
Wykład 2 Rodzaje konkurencji. Modele wzrostu populacji Konkurencja o charakterze eksploatacji konkurencja o zasoby, które są w niedomiarze działanie jednego konkurenta zmniejsza ilość zasobów dostępną
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. DYNAMIKA ROZWOJU POPULACJI
WYKŁAD 3. DYNAMIKA ROZWOJU POPULACJI MODELE Z CZASEM DYSKRETNYM BUDOWA MODELU MATEMATYCZNEGO DR WIOLETA DROBIK- CZWARNO STAN POPULACJI Stan populacji wyrażany jako liczebność lub zagęszczenie wszystkich
Bardziej szczegółowoMetody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą szeregów metody dyskretne Metoda współczynników nieoznaczonych Metoda kolejnego
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. DYNAMIKA ROZWOJU
WYKŁAD 3. DYNAMIKA ROZWOJU POPULACJI DR WIOLETA DROBIK WSTĘP Podstawy matematyczne Ciąg Granica funkcji Ciągłość funkcji Pochodna i całka CIĄG Lista ponumerowanych elementów pewnego zbioru Ciąg to dowolna
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoModelowanie biologicznych układów typu drapieżca - ofiara z wykorzystaniem błądzenia losowego.
Modelowanie biologicznych układów typu drapieżca - ofiara z wykorzystaniem błądzenia losowego. Anna Rutkowska 135601 27 kwietnia 2007 1 Spis treści 1 Wstęp. 3 1.1 Cel pracy......................... 3 1.2
Bardziej szczegółowoInterakcje. Konkurencja. wykład 2
Interakcje. Konkurencja wykład 2 Ekologiczna istota konkurencji Kiedy konkurujące gatunki mogą współwystępować? Kiedy na skutek konkurencji jeden z nich wyginie? wykład 2/2 Tempo wzrostu populacji Tempo
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowoIdentyfikacja i modelowanie struktur i procesów biologicznych
Identyfikacja i modelowanie struktur i procesów biologicznych Laboratorium 1: Modele ciągłe. Model Lotki-Volterry. mgr inż. Urszula Smyczyńska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza 1. Ćwiczenie 1: Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoTwierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit
Cykle graniczne Dotychczas zajmowaliśmy się głównie znajdowaniem i badaniem stabilności punktów stacjonarnych. Wiele ciekawych procesów ma naturę cykliczną. Umiemy już sobie poradzić z cyklicznością występującą
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp Konstrukcja modelu matematycznego... 1
Spis treści Wstęp........................................................ XI 1. Konstrukcja modelu matematycznego............................. 1 2. Relacje. Teoria preferencji konsumenta...........................
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 03 (uzupełnienie Wykładu 02) Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 31/03/2016 1 / 17 1 2 / 17 Dynamika populacji Równania Lotki-Voltery opisują model drapieżnik-ofiara.
Bardziej szczegółowoDrapieżnictwo II. (John Stuart Mill 1874, tłum. własne)
Drapieżnictwo II Jeżeli w ogóle są jakikolwiek świadectwa celowego projektu w stworzeniu (świata), jedną z rzeczy ewidentnie zaprojektowanych jest to, by duża część wszystkich zwierząt spędzała swoje istnienie
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 206/207
Bardziej szczegółowoModele matematyczne drapieżnictwa
Modele matematyczne drapieżnictwa Dariusz WRZOSEK Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski BIOFIZMAT, Grudzień 2015 Rodzaje odziaływań miedzygatunkowych Podstawowe oddziaływania
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoTemat wykładu: Równania różniczkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1
Temat wykładu: Równania różniczkowe Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1 Zagadnienia 1. Terminologia i oznaczenia 2. Definicje 3. Przykłady Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoKrzywa Gompertza w opisie procesów nowotworowych: spojrzenie matematyka. Urszula Foryś
1/26 Krzywa Gompertza w opisie procesów nowotworowych: spojrzenie matematyka Urszula Foryś urszula@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Zakład Biomatematyki i Teorii Gier WMIM UW 2/26
Bardziej szczegółowoRównanie logistyczne zmodyfikowane o ubytki spowodowane eksploatacją:
Sterowanie populacją i eksploatacja populacji Wykład 5 / 10-11-2011 (można o tym poczytać w podręczniku Krebsa) Modele eksploatacji populacji Model oparty na założeniu logistycznego wzrostu populacji (logistic
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoProcedura modelowania matematycznego
Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie
Bardziej szczegółowoGenetyka populacji. Analiza Trwałości Populacji
Genetyka populacji Analiza Trwałości Populacji Analiza Trwałości Populacji Ocena Środowiska i Trwałości Populacji- PHVA to wielostronne opracowanie przygotowywane na ogół podczas tworzenia planu ochrony
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoEfekt motyla i dziwne atraktory
O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
Bardziej szczegółowoOpis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk
Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś 27.09.2010, Gdańsk Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowox y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x.
Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. 2. Znaleźć wszystkie (i narysować przykładowe) rozwiązania równania y + 3 3 y 2
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoMETODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03
METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, 18 września 2013 Biomatematyka
Biomatematyka Liczebność populacji pewnego gatunku jest modelowana przez równanie różnicowe w którym N k stałymi. rn 2 n N n+1 =, A+Nn 2 oznacza liczebność populacji w k tej generacji, a r i A są dodatnimi
Bardziej szczegółowo18. Wprowadzenie do metod analizy i syntezy układów
18. Wprowadzenie do metod analizy i syntezy kładów Metody analizy kładów nieliniowych dzielimy na dwie grpy: przybliżone i ścisłe. 1. Metody przybliżone a) linearyzacja przez rozwinięcie w szereg Taylora,
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.
OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe w technice
Równania różniczkowe w technice Lista 5: Układy równań różniczkowych 1. Zamień poniższe równanie trzeciego rzędu na układ trzech równań oraz przetransformuj podany układ na równanie różniczkowe. Podaj
Bardziej szczegółowoModel Marczuka przebiegu infekcji.
Model Marczuka przebiegu infekcji. Karolina Szymaniuk 27 maja 2013 Karolina Szymaniuk () Model Marczuka przebiegu infekcji. 27 maja 2013 1 / 17 Substrat Związek chemiczny, który ulega przemianie w wyniku
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego.
Wykład z modelowania matematycznego. Modele z jedną populacją. Problem. Szybkość zmian zagęszczenia populacji. Założenia. Ciągłość procesów zachodzących w populacji (nawet w najkrótszym przedziale czasowym
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoTematyka egzaminu z Podstaw sterowania
Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Równania różniczkowe Differential equations Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych
Metody numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl 9 maja 2015 M. Jenczmyk XXX Sesja KNM Metody numeryczne R.R.Z. 1 / 18 Omawiany problem dotyczyć będzie numerycznego
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne Zajmiemy się teraz problemem numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych o postaci: z warunkeim początkowym. Zauważmy że przykładowe równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 3 liniowe 3 Bernoulliego
Bardziej szczegółowoDynamika populacyjna. Ryszard Rudnicki
Dynamika populacyjna Ryszard Rudnicki Spis treści Rozdział 1. Wstęp 5 1. Uwagi ogólne 5 2. Pierwsze modele populacyjne 6 3. Sezonowość w dynamice populacyjnej 11 Zadania 15 Rozdział 2. Modele wielopopulacyjne
Bardziej szczegółowoEkotoksykologia 12/9/2016. Procesy losowe w populacjach a skutki działania substancji toksycznych
Ekotoksykologia Procesy losowe w populacjach a skutki działania substancji toksycznych Prof. dr hab. Ryszard Laskowski Instytut Nauk o Środowisku UJ Ul. Gronostajowa 7, Kraków pok. 2.1.2 http://www.eko.uj.edu.pl/laskowski
Bardziej szczegółowoModele cyklu ekonomicznego
Prezentacja licencjacka pod kierunkiem dr Sławomira Michalika 03/06/2013 Obserwacje rozwiniętych gospodarek wolnorynkowych wykazują, że nie występują w nich stany stacjonarne, typowe są natomiast pewne
Bardziej szczegółowoSystemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoStochastyczna dynamika z opóźnieniem czasowym w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów
Stochastyczna dynamika z opóźnieniem czasowym w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa 14
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE - LISTA I
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE - LISTA I RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. ROZWIĄZAĆ RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LUB ZAGADNIENIE POCZĄTKOWE.......6. ln ln...7..8..9. d d.... co.... in.... in co in.6..7..8.
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego.
Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA SYSTEMÓW EKONOMICZNO- EKOLOGICZNYCH
DYNAMIKA SYSTEMÓW EKONOMICZNO- EKOLOGICZNYCH dr inż. Mariusz Dacko Uniwersytet Rolniczy w Krakowie Wydział Rolniczo-Ekonomiczny Zakład Ekonomiki i Organizacji Rolnictwa Idea rozwoju zrównoważonego w gospodarowaniu
Bardziej szczegółowo14 Modele z czasem dyskretnym
14 Modele z czasem dyskretnym Przykłady i zadania z tego rozdziału ilustrują materiał zawarty w rozdziałach 12 i 15 książki 141 Metoda pajęczynowa PRZYŁAD 141 Na poniższych rysunkach zilustrowano metodę
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoEgzamin test. Matematyka dla Biologów Warszawa, 1 lutego GRUPA A
Matematyka dla Biologów Warszawa, 1 lutego 2013. Imię i nazwisko:... Egzamin test GRUPA A nr indeksu:... Przy każdym z podpunktów wpisz, czy jest on prawdziwy (TAK) czy fałszywy (NIE). Za każde pytanie
Bardziej szczegółowoDrapieżnictwo. Ochrona populacji zwierząt
Drapieżnictwo Ochrona populacji zwierząt Ochrona populacji zwierząt Czy drapieżniki ograniczają liczebność ofiar? Kontrola z góry czy z dołu? Spektakularne przykłady wpływu drapieżnictwa na populacje:
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowoUkłady autonomiczne. Rozdział Stabilność w sensie Lapunowa. Przedmiotem analizy w tym rozdziale będą układy równań autonomicznych
Rozdział 5 Układy autonomiczne 5.1 Stabilność w sensie Lapunowa Przedmiotem analizy w tym rozdziale będą układy równań autonomicznych ẋ = f(x), (5.1) z funkcją f : Q R m, gdzie Q jest otwartym zbiorem
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 207/208
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
Biomatematyka 90...... Zadanie 1. (8 punktów) Załóżmy, że w diploidalnej populacji, dla której zachodzi prawo Hardy ego- Weinberga dla loci o dwóch allelach A i a proporcja osobników o genotypie AA wynosi
Bardziej szczegółowoTEORIA CHAOSU. Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska
TEORIA CHAOSU Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska Wydział MiNI Politechnika Warszawska Rok akademicki 2015/2016 Semestr letni Krótki kurs historii matematyki DEFINICJA
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 207/208
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO
ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2
Bardziej szczegółowoGRA Przykład. 1) Zbiór graczy. 2) Zbiór strategii. 3) Wypłaty. n = 2 myśliwych. I= {1,,n} S = {polować na jelenia, gonić zająca} S = {1,,m} 10 utils
GRA Przykład 1) Zbiór graczy n = 2 myśliwych I= {1,,n} 2) Zbiór strategii S = {polować na jelenia, gonić zająca} S = {1,,m} 3) Wypłaty jeleń - zając - 10 utils 3 utils U i : S n R i=1,,n J Z J Z J 5 0
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2015 Biomatematyka
Biomatematyka Rozpatrzmy chorobę, która rozprzestrzenia się za pośrednictwem nosicieli, u których nie występują jej symptomy. Niech C(t) oznacza liczbę nosicieli w chwili t. Zakładamy, że nosiciele są
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 8
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 8 Regresja wielokrotna Regresja wielokrotna jest metodą statystyczną, w której oceniamy wpływ wielu zmiennych niezależnych (X 1, X 2, X 3,...) na zmienną zależną (Y).
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metoda stochastycznego spadku wzdłuż gradientu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 04.04.2019 1 / 20 Wprowadzenie Minimalizacja różniczkowalnej
Bardziej szczegółowo