GEOMETRYCZNA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH W UJĘCIU LINIOWYM

Transkrypt

1 Zeszt Nukowe WSIf Vo 3, Nr, 04 Drusz Bojczuk Potechk Śwętokrzsk, Wdzł Zrządz Modeow Komputerowego, Ktedr Iżer Produkcj, Zkłd Metod Optmzcj A. Tsącec Pństw Poskego 7, 5-34 Kece em: GEOMETRYCZNA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH W UJĘCIU LINIOWYM 66 Streszczee W prc, prz zstosowu metod ukłdów sprzężoch, rozptrw jest probem geometrczej owej z wrżwośc poegjąc wzczeu zm położe wbrch puktów (węzłów) kostrukcj prętowch wwołch toercjm wmrowm z jkm wkoo poszczegóe eemet ustroju. W szczegóośc, bdo zgdee wzcz jwększego przesuęc keruku w którm wstępuje. Do z tkego probemu zpropoowo odpowed gortm umercz prz jego zstosowu rozwązo przkłd ustrcje. N tej podstwe stwerdzoo, że cłkowt mksm zm położe puktu (węzł) kostrukcj może bć zcze wększ ż toercje z jkm wkoo jej poszczegóe eemet. Słow kuczowe: kostrukcje prętowe, ow z wrżwośc, metod ukłdów sprzężoch, toercje, zm kofgurcj Wstęp Dobór z toercj jest kuczowm eemetem w procesch poprw jkośc orz redukcj kosztów wtwrz. Dtego ezbędą wdje sę zjomość wpłwu toercj poszczegóch wmrów urządzeń cz kostrukcj kofgurcję tch ustrojów, sposób ch prc orz ch koszt. Proces wzcz odpowedch współczków wrżjącch te wpłw zwm zą wrżwośc wkorzstujem do optmego projektow, bądź do dokow dorźch zm projektu. W prcch [5], [6] rozptrwo probem wpłwu pewch toercj skłdowch toercję cłkowtą. Z koe probem optmego projektow kostrukcj prz uwzgędeu wpłwu poszczegóch toercj jej eemetów zowo w pubkcjch [3], [4]. W ejszej prc rozptrw jest probem wzcz zm położe wbrch puktów bądź węzłów kostrukcj prętowch w-

2 D. Bojczuk wołch steem toercj wmrowch ch eemetów powodującch zmę kofgurcj. Tke zgdee zwm geometrczą zą wrżwośc (por. []). W szczegóośc zow jest tutj probem wzcz jwększej zm położe keruku w którm wstępuje. Sformułowe tkch probemów prz zstosowu metod ukłdów sprzężoch przedstwoo w rozdze, z koe w rozdze 3 zpropoowo gortm wzcz jwększego przesuęc. W rozdzłch 4, 5, 6 rozwązo tcze umercze przkłd ustrcje, zś rozdzł 7 pośwęcoo podsumowu. Probem geometrczej z wrżwośc w ujęcu owm Przjmem, że poszczegóe pręt bądź segmet, z którch skłdją sę zowe kostrukcje wkoo z pewm toercjm. Złożm ztem, że długośc koejch eemetów, =,,...,, mogą mksme odchć sę od wrtośc omch o toercje t, cz rzeczwste długośc muszą zwerć sę w przedzłch t ; + t, =,,...,. W wku uwzgęde edokłdośc wmrowch mogą wstąpć stępujące efekt: st pręże, odksztłce, przemeszcze orz fukcjoł tch wekośc zmeją swoje wrtośc, ch zm moż oszcowć podstwe z wrżwośc ze wzgędu toercje; w kostrukcjch hpersttczch, w zwązku z toercjm ( ) t, powstją st prężeń wstępch, które moż łtwo wzczć zując kostrukcje z dstorsjm (błędm motżowm) odpowdjącm tm toercjom; w wku edokłdośc wmrowch ( ) t poszczegóe węzł kostrukcj, wet eobcążoej, dozją przesuęć, wrtośc tch przesuęć moż wzczć podstwe tzw. geometrczej z wrżwośc. Jko zgdee geometrczej z wrżwośc potrktujem węc probem wzcz zm położe wbrch węzłów cz puktów ustroju, wwołch edokłdoścm wmrowm t z jkm zostł wkoe poszczegóe pręt cz eemet kostrukcj. Rozwż w tm zkrese dotczć będą zrówo kostrukcj sttcze wzczch jk sttcze ewzczch stową rozszerzee wków przedstwoch w prc []. Wprowdzm ukłd sprzężo, bez edokłdośc wmrowch o tkch smch wrukch brzegowch jk kostrukcj podstwow orz obcążo słą jedostkową P = w keruku bdego ( ) 67

3 Geometrcz z wrżwośc... przemeszcze. Wted podstwe zsd prc przgotowch (por. []) d ukłdu podstwowego sprzężoego (rs. ) mm ( P w = N = c) + M 0 g ( c) κ d, () gdze w ozcz bde przesuęce w keruku dzł sł P =, (c) (c), κ są odpowedo cłkowtm wdłużeem -tego eemetu orz cłkowtą krzwzą w ukłdze podstwowm, zś N, ozczją odpowedo słą ormą d -tego eemetu orz momet gąc w ukłdze sprzężom. Podto, M g jest osą zwązą z -tm eemetem o początku w odpowedm węźe tką, że oś eemetu pokrw sę z orz odcęte jego puktów są eujeme. Zuwżm, że rozptrwe toercje wwołują smo-zrówowżo st (sp) pręże z wdłużem sprężstm orz krzwzm (sp) sprężstm κ odpowedo postc =, ( sp) ( c) ( t) ( sp ) ( c) κ = κ, () gdze edokłdośc zwąze z wprowdzom toercjm moż przedstwć z pomocą współczków α tkch, że α, cz = α t, =,,...,. (3) ( t) Nstępe, stosując zsdę prc przgotowch d ukłdu sprzężoego orz d stu odksztłceń sprężstch w ukłdze podstwowm wrżoego przez (), mm ( sp) ( sp) N + M gκ d = 0. (4) = Podstwjąc (4) do () prz uwzgędeu (), (3) wrtość przesuęc w w pewm, wbrm keruku moż przedstwć w postc w = N α t. (5) = 68

4 D. Bojczuk t P t t 3 Rs.. Kostrukcj podstwow kostrukcj sprzężo Z koe wrtość mksmego przesuęc w rozptrwm keruku odpowd wrtoścom α = ub α =. Przesuęce to wstępuje, gd współczk α = ± jedocześe mją tk sm (bo jedocześe przecw) zk jk odpowede sł orme okreśjąc tzw. jgorsze ukłd toercj. W tkej stucj wrtość t wos N w m = = N t. (6) Rozptrzm terz zgdee wzcze wrtośc mksmego przesuęc wbrego węzł. Przjmem, że jego keruek jest okreśo pewm kątem β jk tworz to przesuęce z osą gobego ukłdu współrzędch,. Wted jego wrtość moż wzczć podstwe odpowedch przesuęć w keruku pozomm w orz w keruku poowm w. Ztem mm P w = P () () = N α t cos β + N α t s β = = = () = ( N cos β + N = c w cos β + P () w s β = s β ) α t, (7) gdze N, () N ozczją sł w -tm pręce wwołe słą () jedostkową przłożoą w bdm węźe odpowedo w keruku pozomm poowm. Stąd mksme przesuęce, które wstąp w pewm keruku okreśom ezm kątem β, po uwzgędeu 69

5 Geometrcz z wrżwośc... ekstremch wrtośc współczków stępująco α, moż przedstwć w c m () m ( N cos β + N β = = () s β ) t. (8) cz probem sprowdz sę do przeprowdze mksmzcj ze wzgędu kąt β. 3 Agortm wzcz jwększego przesuęc N podstwe poprzedch rozwżń zpropoujem stępując gortm wzcz jwększch przesuęć w wbrch puktch (węzłch) kostrukcj spowodowch złożom błędm wko: Wberz pukt (węzł), w którch zostą wzczoe odpowede jwększe przesuęc. Wprowdź odpowede kostrukcje sprzężoe jko ustroje obcążoe koejo słm jedostkowm w wbrch puktch (węzłch) w kerukch wzczoch przez ose przjętego gobego ukłdu współrzędch. 3 Rozwąż kostrukcje sprzężoe, w szczegóośc wzcz sł orme w prętch. 4 Rozwąż probem optmzcj (8) w ceu wzcze keruków okreśoch kątm β orz β + π w którm wstępuje jwększe przesuęce orz okreś wrtość tego przesuęc. 5 Wzcz dw tzw. jgorsze ukłd toercj o przecwch zkch towrzszące przesuęcu mksmemu wstępującemu odpowedo w kerukch okreśoch kątm β orz β + π. Zuwżm, że gortm wzcz jwększch przesuęć węzłów może bć włączo do dowoego progrmu z kostrukcj jko opcj dodtkow. Poewż kostrukcje sprzężoe mją tką smą kofgurcję wmr przekrojowe ecz są tko czej obcążoe jk kostrukcj podstwow, węc mją róweż tke sme mcerze sztwośc jk t kostrukcj, co p. prz zstosowu MES zcze skrc czs obczeń komputerowch. Podto, użwe tutj kostrukcje sprzężoe mogą bć rówocześe stosowe w ze wrżwośc przemeszczeń bdch węzłów. 70

6 D. Bojczuk 4 Przkłd : Wzcze jwększego przesuęc węzł krtowc Rozptrzm krtowcę przedstwoą rs., w której ( ) ( ) poszczegóe pręt wkoo odpowedo z toercjm t orz t w stosuku do ch wmrów omch. Wzczm mksme przesuęce węzł tego ustroju orz okreśm kąt β w którm oo wstępuje. ) b) c) t N () () N t γ β () N () N Rs.. ) Krtowc podstwow; b), c) Krtowce sprzężoe Wprowdzm krtowce sprzężoe przedstwoe rs. b orz c, obcążoe słm jedostkowm w kerukch okreśoch osm orz. Uwzgędjąc, że sł w prętch perwszego ukłdu sprzężoego są rówe () () N = 0, N, (9) = zś w prętch drugego ukłdu sprzężoego woszą () ( N, ) = N =, (0) sγ tγ przemeszczee rozptrwego węzł w keruku okreśom kątem β podstwe (7) moż przedstwć w postc s β s β w = αt + + cos β α t, () sγ t γ 7

7 Geometrcz z wrżwośc... gdze α, α. Przjmując, że toercje są proporcjoe do długośc prętów zchodz, że t t = cosγ. Wted, uwzgędjąc, że jgorsz ukłd toercj odpowd stucj gd pręt jest z dług ( + t ), zś pręt z krótk ( t = t cosγ ), przesuęce mksme rozptrwego węzł wos w m + cos γ = (s β + cos β cosγ ) t, () sγ gdze kąt okreśjąc keruek tego przesuęc jest rów + cos γ β = rct. (3) s γ cosγ Przkłdowo, gd γ = π 4 mksme przesuęce okreśoe kątem β = rct 3 wos w = 5 t ), zś d γ = π 6 odpowedo m β = rct orz w = t, dej rośe do m eskończoośc wrz z mejącm kątem γ. Zuwżm jeszcze, że w kżdm przpdku wstępuje druge rozwąze, które odpowd kątow β + π przecwm zkom toercj. 5 Przkłd : Wzcze jwększch przesuęć węzłów rm sttcze wzczej Rozptrzm rmę przedstwoą rs. 3, w której poszczegóe ( ) pręt wkoo odpowedo z toercjm t = µ, =,,3, proporcjom do długośc prętów, gdze przjęto, że µ = Pozostłe de umeszczoo rs. 3. Wzczm mksme przesuęc węzłów tego ustroju orz okreśm w kżdm przpdku kąt β w którch oe wstępują. Wprowdzm węc odpowede ukłd sprzężoe obcążoe słm jedostkowm dzłjącm wzdłuż keruków okreśoch osm orz w koejch bdch węzłch w ukłdch tch wzczm sł orme. Rozwązując w kżdm przpdku probem (8) otrzmujem wrtość mksmą przesuęc węzłów, kąt w którm oo wstępuje orz odpowed jgorsz ukłd toercj (Tb., rs. 4). Zuwżm jeszcze, że podobe jk w poprzedm przkłdze wstępuje tkże druge rozwąze, które ( 7

8 D. Bojczuk odpowd kątow β + π przecwm zkom toercj (por. rs. 4b 4c). t t 3 t 3 4 A = 0.0 m E =.5e P = m µ = 0.00 t = µ * =0.00 m Rs. 3. Rm sttcze wzcz Rs. 4. Rm sttcze wzcz: ) wrtość przesuęć mksmch węzłów keruk w którch wstępują; b) perwsz jgorsz ukłd toercj odpowdjąc mksmemu przesuęcu węzł 3; c) drug jgorsz ukłd toercj odpowdjąc mksmemu przesuęcu węzł 3 73

9 Geometrcz z wrżwośc... Tbe.. Njgorsz ukłd toercj, kąt wrtość przesuęc mksmego w wbrch węzłch Numer węzł Toercj eemetu 3 β w m +t 0 -t t 3 +t +t -t t 4 0 +t t 6 Przkłd 3: Wzcze jwększch przesuęć węzłów rm sttcze ewzczej Rozptrzm rmę przedstwoą rs. 5, w której poszczegóe ( ) pręt wkoo odpowedo z toercjm t = µ, =,,...,9, proporcjom do długośc prętów, gdze przjęto, że µ = Poszczegóe pręt mją przekroje perśceowe o średc d = 40 mm grubośc g = 4 mm, zś pozostłe de umeszczoo rs. 5. Wzczm mksme przesuęc węzłów tego ustroju orz okreśm w kżdm przpdku kąt β w którch oe wstępują. Tbe.. Njgorsz ukłd toercj, kąt wrtość przesuęc mksmego w węzłch 3, 4 Nr Toercj eemetu węzł β w m 3 +t +t +t -t -t -t 0 0 -t t 4 +t +t +t -t -t -t 0 0 +t t 74

10 D. Bojczuk W tm ceu wprowdzm odpowede ukłd sprzężoe obcążoe słm jedostkowm dzłjącm wzdłuż keruków okreśoch osm orz w koejch bdch węzłch, stępe w kżdm przpdku, po wzczeu sł ormch w prętch ukłdów sprzężoch, rozwązujem probem (8). Uzske wrtośc mksmch przesuęć keruk w którch wstępują, borąc pod uwgę zrówo rozwąze okreśoe kątem β jk kątem β + π, pokzo rs. 5. Z koe w Tb. przedstwoo jgorsze ukłd toercj zwąze z węzłm 3 orz 4 w którch wstępują jwększe przesuęc, bsko 0-krote wększe ż toercj pojedczego pręt. Jk moż zuwżć, prz zstosowu użwego tutj podejśc owego, toercje prętów 7, 8 e wpłwją przesuęc zowch węzłów. 3 ( t 3 ( t 9 ( t 8 4 ( t 6 5 A = m E =.5e P = µ = 0.00 ( t = µ * 0.00m 3 t 3 t 9 t t 4 t t β ( t ( t 7 ( t 5 6 t t 7 t t Rs. 5. ( t 8 ( t 4 7 Rm sttcze ewzcz jwększe przesuęc jej węzłów t 8 t Podsumowe W prc rozptrw jest probem wzcz przesuęc, w szczegóośc przesuęc mksmego wbrch puktów cz węzłów kostrukcj prętowch, wwołego steem toercj 75

11 76 Geometrcz z wrżwośc... wmrowch poszczegóch eemetów. W przpdku przesuęc mksmego zstosowo podejśc poegjące wzczeu tzw. jgorszch ukłdów toercj. Prcę zustrowo przkłdm tczm umerczm. Uzske wk pozwją stwerdzee, że cłkowte przesuęce wbrch puktów cz węzłów kostrukcj może bć zcze wększe ż toercje poszczegóch jej eemetów. W prc zstosowo podejśce owe, które w zgdech, gdze w wku błędów wko mogą wstąpć zcze zm geometr (p. krtowc Mses cz krtowc zow w rozdze 4, o młm kące γ ), jest ewstrczjące. W tkej stucj steje potrzeb rozszerze rozwżń uwzgędjąc teorę eową, co pozwo preczjejsz ops tkch zgdeń, tkże ujwee estbośc geometr tpu puktu grczego, które mogą sę pojwć śceżkch dojśc do stów odpowdjącch jgorszm ukłdom toercj. Podzękowe. Skłdm podzękowe mgr ż. Mchłow Jbłońskemu z pomoc prz rozwązu przkłdów ustrcjch. 8 Ltertur [] D. Bojczuk, Az wrżwośc optmzcj kostrukcj prętowch. Wdwctwo Potechk Śwętokrzskej, Kece, 999. [] D. Bojczuk, M. Jbłońsk, Geometrc sestvt ss of truss d frme structures. Seected Topcs of Cotemporr Sod Mechcs. Proceedgs of the 36th Sod Mechcs Coferece, s , Gdńsk, 008. [3] K. Dems, W. Gutkowsk, Optm shpe d cofgurto optmzto of mut-oded structures wth mufcturg toerces. Proc. V Word Cogress o Struct. Mutdsc. Optm., płce CD, Ldo d Jesoo, 003 [4] W. Gutkowsk, J. Ltsk, Structur optmzto wth member mperfectos, Structur d Mutdscpr Optmzto, vo 30, 005, -0 [5] G. Jprksh, K. Svkumr, M. Thk, Prmetrc toerce ss of mechc ssembes b deveopg drect costrt mode CAD d cost compoet toerce sthess, Iteget Cotro d Automto, vo, 00, -4 [6] Z. Wu, Sestve fctor for posto toerce, Reserch Egeerg Desg, vo 9, 997, 8-34

12 D. Bojczuk GEOMETRIC SENSITIVITY ANALYSIS OF BAR STRUCTURES IN LINEAR FORMULATION Summr: The probem of geometrc er sestvt ss of br structures, whch cossts determto of posto chges of ther pots (odes) duced b dmeso toerces of structure eemets, s dscussed the pper. I prtcur, the probem of determto of mm trsto of cert pot d ts drecto s zed usg djot method. I order to sove ths probem umerc gorthm s proposed d et ustrtve empes re soved. O ths bss t shoud be otced, tht the tot mm chge pot posto m be much greter th the vues of prtcur member toerces. Kewords: br structures, er sestvt ss, djot method, toerces, cofgurto chge 77