Ekonometria Szeregów Czasowych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ekonometria Szeregów Czasowych"

Transkrypt

1 Ekonometria Szeregów Czasowych Wykªad: Niestacjonarno± 8/12 marca 2017 dr Karolina Konopczak Katedra Ekonomii Stosowanej

2 Plan zaj Poj cie stacjonarno±ci Stopie«zintegrowania szeregu Wyznaczenie piewiastków wielomianu charakterystycznego Testy pierwiastka jednostkowego / testy stacjonarno±ci

3 Plan wicze«poj cie stacjonarno±ci Stopie«zintegrowania szeregu Wyznaczenie piewiastków wielomianu charakterystycznego Testy pierwiastka jednostkowego / testy stacjonarno±ci

4 Zmienne losowe denicje Y t zmienna losowa przyjmuje warto±ci z okre±lonymi prawdopodobie«stwami {Y t } proces stochastyczny ci g zmiennych losowych Y t uporz dkowanych wedªug czasu {y t } szereg czasowy realizacja procesu stochastycznego w konkretnej próbie

5 Poj cie stacjonarno±ci procesu Stacjonarno± I rodzaju (w w»szym sensie / mocna) Rozkªad procesu jest niezmienny w czasie (w ka»dym okresie y t jest realizacj zmiennej Y t o identycznym rozkªadzie) Stacjonarno± II rodzaju (w szerszym sensie / sªaba) - ±rednia i wariancja procesu s staªe w czasie E(Y t) = µ < D 2 (Y t) = δ 2 < - kowariancja mi dzy zmiennymi zale»y wyª cznie od ich odlegªo±ci w czasie (a nie od konkretnego momentu) Cov(Y t, Y t+h ) = Cov(Y t+k, Y t+k+h ) = γ(h)

6 Biaªy szum Biaªy szum denicja E(ε t) = 0 D 2 (ε t) = δ 2 < [wahania maj tendencj do znoszenia si ] Cov(ε t, ε t+h ) = 0, h 0 [staªo± wariancji w czasie homoskedastyczno± ] [brak autokorelacji] Wªasno±ci biaªego szumu powinien wykazywa skªadnik losowy w klasycznym modelu regresji liniowej. ε t iid(0, δ 2 ) i independent i indentically d distributed

7 Zmienna stacjonarna biaªy szum

8 Zmienna niestacjonarna proces bª dzenia losowego Proces bª dzenia losowego denicja y t = y t 1 + ε t y t = y t 1 + ε t = y t 2 + ε t 1 + ε t = y t 3 + ε t 2 + ε t 1 + ε t =... = y 0 + t τ=1 ετ y 0 =0 t = ε τ τ=1 }{{} trend stochastyczny

9 Zmienna niestacjonarna proces bª dzenia losowego Proces bª dzenia losowego denicja y t = y t 1 + ε t y t = y t 1 + ε t = y t 2 + ε t 1 + ε t = y t 3 + ε t 2 + ε t 1 + ε t =... = y 0 + t τ=1 ετ y 0 =0 t = ε τ τ=1 }{{} trend stochastyczny Wªasno±ci bª dzenia losowego E(y t) = E( t τ=1 ετ ) = t τ=1 E(ετ ) = 0 D 2 (y t) = D 2 ( t τ=1 ετ ) cov(ετ,ε τ h)=0 = t τ=1 D2 (ε τ ) = tδ 2 cov(y t, y t h ) = E(y ty t h ) E(y t)e(y t h ) = E( t h t h τ=1 ετ τ=1 ετ ) t h t h E( ε τ ) E( ε τ ) = D 2 ( t h τ=1 ετ ) = t h τ=1 D2 (ε τ ) = (t h)δ 2 } τ=1 {{ }} τ=1 {{ } 0 0

10 Zmienna niestacjonarna proces bª dzenia losowego

11 Zmienna niestacjonarna proces bª dzenia losowego z dryfem Proces bª dzenia losowego z dryfem denicja y t = α 0 + y t 1 + ε t y t = α 0 + y t 1 + ε t = α 0 + α 0 + y t 2 + ε t 1 + ε t = t α 0 + α 0 + α 0 + y t 3 + ε t 2 + ε t 1 + ε t =... y 0=0 = T α 0 + ε τ τ=1 }{{} trend stochastyczny

12 Zmienna niestacjonarna proces bª dzenia losowego z dryfem Proces bª dzenia losowego z dryfem denicja y t = α 0 + y t 1 + ε t y t = α 0 + y t 1 + ε t = α 0 + α 0 + y t 2 + ε t 1 + ε t = t α 0 + α 0 + α 0 + y t 3 + ε t 2 + ε t 1 + ε t =... y 0=0 = T α 0 + ε τ τ=1 }{{} Wªasno±ci bª dzenia losowego z dryfem E(y t) = E(T α 0 + t τ=1 ετ ) = T α 0 + t τ=1 E(ετ ) = tα 0 trend stochastyczny Wariancja i kowariancja takie same, jak w przypadku bª dzenia przypadkowego, bo przesuniecie o staª nie wpªywa na dyspersj procesu.

13 Zmienna niestacjonarna proces bª dzenia losowego z dryfem

14 Plan wicze«poj cie stacjonarno±ci Stopie«zintegrowania szeregu Wyznaczenie piewiastków wielomianu charakterystycznego Testy pierwiastka jednostkowego / testy stacjonarno±ci

15 Stopie«zintegrowania szeregu Denicja zintegrowania zmiennej Zmienna y t jest zintegrowana w stopniu d (y t I (d)), je»eli mo»na j sprowadzi do stacjonarno±ci po d-krotnym ró»nicowaniu. Np. proces y t = y t 1 + ε t jest zintegrowany w stopniu 1 (y t I (1)), bo y t y t 1 = ε t, za± ε t I (0) z denicji. O zmiennej stacjonarnej mówimy,»e jest zintegrowana w stopniu 0.

16 Badanie stopnia zintegrowania 1. Je»eli znany jest proces generuj cy dane > wyznaczenie pierwiastków wielomianu charakterystycznego procesu 2. Je»eli nie jest znany proces generuj cy dane > testy pierwiastka jednostkowego / testy stacjonarno±ci

17 Pierwiastki wielomianu charakterystycznego (1) AR(p) : y t = α 1 y t 1 + α 2 y t α p y t p + ε t L - operator opó¹nie«ly t = y t 1 L(Ly t ) = L 2 y t = Ly t 1 = y t 2 Proces w postaci wielomianu opó¹nie«ar(p): y t = α 1Ly t + α 2L 2 y t α pl p y t + ε t y t α 1Ly t α 2L 2 y t... α pl p y t = ε t y t (1 α 1L α 2L 2... α pl p ) }{{} = εt A(L) - wielomian opó¹nie«ar(p): y ta(l) = ε t y t = A 1 (L)ε t

18 Pierwiastki wielomianu charakterystycznego (2) Przykªad: AR(1) y t = α 1y t 1 + ε t y t α 1y t 1 = ε t y t(1 α 1L) = ε t y t = 1 1 α 1L εt }{{} suma niesko«czonego szeregu A wi c: y t = ε t + α 1Lε t + α 2 1L 2 ε t + α 3 1L 3 ε t +... y t = ε t + α 1ε t 1 + α 2 1ε t 2 + α 3 1ε t

19 Pierwiastki wielomianu charakterystycznego (3) Stacjonarno± procesu AR(1) Je»eli α 1 = 1, to y t = T t=0εt szoki z przeszlo±ci nie wygasaj, a wi c yt jest procesem niestacjonarnym. Je»eli α 1 < 1, to y t = t i=0 αi 1ε t i szoki z przeszlo±ci maj coraz mniejszy wpªyw na bie» c warto± zmiennej, a wi c y t jest procesem stacjonarnym. Badanie stacjonarno±ci za pomoc pierwiastków wielomianu charakterystycznego Wielomian charakterystyczny procesu AR(1): 1 α 1z = 0 z = 1 α 1 - pierwiastek równania charakterystycznego Proces AR(1) jest stacjonarny, je»eli α 1 < 1, a wi c je±li pierwiastek wielomianu charakterystycznego 1 α 1 > 1.

20 Wielomian charakterystyczny procesu AR(2) Fakt 1. Ka»dy proces AR(p) mo»emy zapisa jako AR(1) po przedeniowaniu zmiennej na wektor zawieraj cy jej opó¹nienia. Np. y t = ay t 1 + by t 2 + ε t [ ] [ ] [ ] [ ] yt a b yt 1 εt = + y t y t 2 0 yt = Ayt 1 + ε t Fakt 2. Gdy proces y t = Ay t 1 + ε t dotyczyª jednej zmiennej (A liczb ), to oczekiwali±my,»e przy stacjonarno±ci A n 0 dla n. Podobnie w przypadku macierzy A oczekujemy,»e A n 0 dla n.

21 Wielomian charakterystyczny procesu AR(2) Fakt 3. Niech P macierz zªo»ona z wektorów wªasnych macierzy A, D macierz zawieraj ca warto±ci wªasne macierzy A na gªównej przek tnej (w kolejno±ci odpowiadaj cej kolumnom w P) i zera poza ni. Istnieje dekompozycja: A = PDP 1 Fakt 4. Z algebry macierzy: A n = PD n P 1 Wniosek: A n 0 dla n gdy D n 0. D jest macierz diagonaln, a wi c d»y do zerowej gdy diagonalne elementy d» do 0 przy podnoszeniu do kolejnych pot g. Czyli ich warto±ci bezwzgl dne musz by < 1.

22 Wielomian charakterystyczny procesu AR(2) Warto±ci wªasne macierzy A: (a λ) (0 λ) b = 0 λ 2 aλ b = 0 a λ b 1 0 λ = 0 rozwa»my podstawienie z = 1 λ. Wówczas: 1 az bz 2 = 0 odpowiada to wielomianowi charakterystycznemu procesu AR(2) y t = ay t 1 + by t 2 + ε t gdy wszystkie pierwiastki z > 1, wówczas (z podstawienia) wszystkie λ < 1 i warunek stacjonarno±ci jest speªniony

23 Pierwiastki wielomianu charakterystycznego (4) Uogólnienie na proces AR(p) Je»eli wielomian charakterystyczny A(L) nie ma pierwiastków jednostkowych (wszystkie pierwiastki s co do moduªu wi ksze od jedno±ci le» poza koªem jednostkowym), to proces AR(p) jest stacjonarny [st d: testy pierwiastka jednostkowego, o których b dzie mowa za chwil ]. Koªo jednostkowe: pierwiastki wielomianu mog by liczbami zespolonymi, tzn. mie cz ± rzeczywist a i urojon b (a + bi). mo»na je przedstawi na pªaszczy¹nie jako punkt w przestrzeni dwuwymiarowej o wspóªrz dnych (a,b). a + bi = a 2 + b 2, wi c warunek stacjonarno±ci/odwracalno±ci a + bi > 1 oznacza a 2 + b 2 > 1 2 (pole poza okr giem o ±rodku (0, 0) i promieniu 1, czyli koªem jednostkowym). niektóre programy ekonometryczne podaj pierwiastki w formie odwrotno±ci (Inverse Roots). Skoro a + bi > 1, to 1 < 1. W tej sytuacji odwrotno± a+bi pierwiastka musi le»e wewn trz koªa jednostkowego.

24 Zadanie 1 Zbadaj stacjonarno± procesu generuj cego dane o nast puj cej specykacji: 1. y t = 1, 2y t 1 0, 3y t 2 + ε t 2. y t = 4 3 y t y t 2 + ε t

25 Test Dickey'a-Fullera (1) W rzeczywisto±ci nie znamy procesów generuj cych dane, a jedynie ich realizacje w sko«czonej próbie. Dlatego te» do badania wªasno±ci stochastycznych u»ywamy testów statystycznych. Dickey i Fuller (1979, 1981) AR(1): y t = α 1 y t 1 + ε t Proces jest stacjonarny, je»eli α 1 < 1. Nie znamy prawdziwej warto±ci parametru α 1 mo»emy jedynie oszacowa jego warto± na podstawie realizacji procesu w sko«czonej probie i sprawdzi czy ró»ni si istotnie od 1 przy pomocy testu t-studenta: H 0 : α 1 = 1 H 1 : α 1 < 1 jednak hipotezy tej nie mo»na werykowa bezpo±rednio (w przypadku prawdziwo±ci hipotezy zerowej zmienne w równaniu s niestacjonarne, w zwi zku z czym estymator KMNK nie ma rozkªadu normalnego ani nie zbiega do»adnego rozkªadu o znanej postaci analitycznej)

26 Test Dickey'a-Fullera (2) W celu wyeliminowania potencjalnej niestacjonarno±ci zmiennej obja±nianej w regresji testowej, od obu stron równania odejmujemy y t 1 i w ten sposób otrzymujemy zró»nicowan (a wi c potencjalnie stacjonarn ) zmienn obja±nian. Ostatecznie regresja testowa testu Dickey'a-Fullera ma posta : y t = (α 1 1) }{{} y t 1 + ε t δ H 0 : δ = 0 α 1 = 1 y t I (1) H 1 : δ < 0 α 1 < 1 y t I (0) DF emp = ˆδˆ DF (konstrukcja jak w te±cie t-studenta, tylko inne rozkªady statystyk Sδ testowych zob. MacKinnon (1996) ) Je»eli DF emp < DF, to odrzucamy H 0 na rzecz H 1, czyli proces uznajemy za stacjonarny. W przeciwnym wypadku nie ma podstaw do odrzucenia H 0 o niestacjonarno±ci procesu.

27 Test Dickey'a-Fullera (3) Co zrobi w przypadku braku podstaw do odrzucenia H 0? W takim przypadku wiemy, ze zmienna jest niestacjonarna, ale nie wiemy, czy nie jest zintegrowana w stopniu wy»szym ni» 1... Znowu testujemy... Zmienna jest zintegrowana w stopniu 2 (y t I (2)), je»eli staje si ona stacjonarna dopiero po dwukrotnym ró»nicowaniu, wi c sprawdzamy, czy do sprowadzenia zmiennej do stacjonarno±ci wystarczyªo jednokrotne ró»nicowanie, czyli czy zmienna jednokrotnie zró»nicowana jest stacjonarna: ( y t) = δ y t 1 + ε t H 0 : δ = 0 y t I (2) H 1 : δ < 0 y t I (1) DF emp = ˆδ Sˆ DF δ

28 Test Dickey'a-Fullera (4) Co zrobi w przypadku ponownego braku podstaw do odrzucenia H 0? W takim wypadku nie wiemy, czy zmienna jest zintegrowana w stopniu 2, czy te» nieodrzucenie H 0 nie wynika przypadkiem z niskiej mocy testu... Znowu testujemy... 3 y t = δ 2 y t 1 + ε t H 0 : δ = 0 y t I (3) H 1 : δ < 0 y t I (2) DF emp = ˆδ Sˆ DF δ Je±li ponownie nie ma podstaw do odrzucenia, to oznacza,»e test ma sªab moc (zbyt rzadko odrzuca nieprawdziw hipotez zerow ), poniewa» w ekonomii niespotykane s szeregi zintegrowane w stopniu wy»szym ni» 2.

29 Test Dickey'a-Fullera (5) Said i Dickey (1985) test Dickey'a-Fullera opiera si na zaªo»eniu, i» skªadnik losowy regresji testowej (ε t) jest biaªym szumem je±li wyst puje autokorelacja skªadnika losowego, czyli cov(ε t, ε t+h ) 0, h 0, znacz co spada moc testu st d: nale»y pozby si autokorelacji skªadnika losowego z regresji testowej! najprostszym sposobem jest dynamizacja modelu poprzez dodanie opó¹nie«zmiennej zale»nej Augumented Dickey-Fuller test ADF y t = δy t 1 + γ 1 y t 1 + γ 2 y t γ k y t k + ε t

30 Test Dickey'a-Fullera (6) Ile opó¹nie«? ogólna zasada: nale»y zrealizowa cel, jakim jest usuni cie autokorelacji skªadnika losowego UWAGA! do oceny nie stosujemy testu DW (opó¹niona zmienna obja±niana jako regresor...) algorytmy wspomagaj ce: wskazujemy maksymalny rz d opó¹nie«i wybieramy najlepsz regresj testow przy u»yciu kryteriów informacyjnych (AIC, SIC, HQC) wskazujemy maksymalny rz d opó¹nie«i sprawdzamy, czy ostatnie z nich jest istotne w modelu (je»eli nie, usuwamy je i powtarzamy a» do uzyskania istotnego ostatniego opó¹nienia)

31 Test Dickey'a-Fullera (7) Inne postaci testu DF (ADF): ( k y t = β + δy t 1 + ) γ i y t i + ε t H 0: proces niestacjonarny z dryfem i=1 ( k ) y t = β + δy t 1 + γ i y t i + γt + ε t pozwala na sprawdzenie, czy i=1 szereg jest przyrosto czy trendostacjonarny je»eli odrzucimy H 0, a trend t oka»e si istotny szereg jest trendostacjonarny je»eli nie odrzucimy H 0, szereg jest przyrostostacjonarny dodatkowo mo»na uwzgl dnia trend kwadratowy, sezonowe zmienne zerojedynkowe...

32 Zadanie 2 Okre±l stopie«zintegrowania zmiennej x (odpowied¹ uzasadnij): ˆx t = 0, 6 0, 36x t 1 D W = 0, 23 (2, 1)( 3, 6) ˆx t = 0, 7 0, 18x t 1 + 0, 05 x t 1 h = 1, 1 (2, 4)( 1, 6) (2,7) 2ˆx t = 0, 3 0, 85Δx t 1 D W = 2, 02 (1, 1)( 4, 2) W nawiasie podano warto±ci statystyk t-studenta. Warto± krytyczna testu ADF przy 5% poziomie istotno±ci wynosi -2,8.

33 Zadanie 3 Badacz chce okre±li stopie«zintegrowania zmiennej x. W tym celu oszacowaª trzy alternatywne specykacje regresji pomocniczych testu DF/ADF. Otrzymaª nast puj ce wyniki estymacji: 1. ˆx t = 0, 7 0, 14x t 1 D W = 0, 15 (3, 1)( 0, 3) 2. ˆx t = 0, 6 0, 15x t 1 + 0, 05 x t 1 h = 1, 3, p value LM = 0, 00 (3, 5)( 2, 1) (2,3) 3. ˆx t = 0, 4 0, 64x t 1 + 0, 07 x t 1 + 0, 11 x t 2 h = 0, 4, p value LM = 0, 22 (1, 2)( 3, 2) (2,2) (3,6) 4. 2 ˆx t = 0, 1 0, 87Δx t 1 D W = 1, 98 (0, 7)( 5, 9), gdzie D-W oznacza statystyk Durbina-Watsona (warto±ci krytyczne: d L = 1, 23, d U = 1, 65), h statystyk h-durbina, za± p value LM empiryczny poziom istotno±ci testu Breuscha-Godfreya dla rz du opó¹nie«4. W nawiasie podano warto±ci statystyk t-studenta. Warto± krytyczna testu DF/ADF przy poziomie istotno±ci 0,05 wynosi -2,5. a) Uzasadnij, z których regresji pomocniczych mo»e korzysta badacz. b) Okre±l stopie«zintegrowania zmiennej x. Odpowied¹ uzasadnij. c) Opisz, jakie s skutki autokorelacji w regresji pomocniczej testu DF/ADF. Co zrobi w przypadku jej wykrycia.

34 Zadanie 4 W celu okre±lenia stopnia zintegrowania zmiennej y t oszacowano regresje pomocnicze testu DF. Wyniki estymacji dla poziomów i pierwszych przyrostów zmiennej s nast puj ce (w nawiasie podano bª dy szacunku parametrów): ŷ t = 0, 4 0, 52y t 1 (0, 31) (0, 24) 2 ŷ t = 0, 1 0, 82 y t 1 (0, 09) (0, 28) BG = 17, 26 BG = 12, 55 Warto± krytyczna testu DF przy poziomie istotno±ci 0,05 wynosi -3,45. BG oznacza warto± empiryczn statystyki Breuscha-Godfrey'a dla opó¹nienia rz du 4. Warto± krytyczna testu BG przy poziomie istotno±ci 0,05 wynosi 9, Oblicz empiryczne warto±ci statystyki DF. Spróbuj na ich podstawie okre±li stopie«zintegrowania zmiennej. Wyniki skomentuj. 2. Czy w ±wietle zaprezentowanych wyników istnieje zagro»enie dla wnioskowania o stopniu zintegrowania zmiennej przy pomocy testu DF? Z czego ono wynika? Odpowied¹ uzasadnij. 3. Zaproponuj rozwi zanie tego problemu.

35 Inne testy test ADF-GLS (Elliot, Rothenberg, and Stock,1996) test KPSS (Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin, 1992) ª czny test ADF-KPSS (K bªowski i Welfe, 2004) test Phillipsa-Perrona (Phillips i Perron, 1988) test uwzgl dniaj cy zªamanie strukturalne testy HEGY (Hylleberg, Engle, Granger i Yoo, 1990) test uwzgl dniaj cy sezonowo±

36 Test ADF-GLS > próba zwi kszenia mocy testu ADF w przypadku procesów silnie autoregresyjnych krok 1: z szeregu usuwamy ±redni (i ewentualnie trend) przez oszacowanie regresji szeregu wzgl dem staªej (i ewentualnie trendu) za pomoc estymatora GLS (UMNK) krok 2: reszty z kroku 1 do testu ADF

37 Test KPSS (1) H 0 : y t I (0) H 1 : y t I (1) krok 1: estymacja OLS parametrów modelu (z trendem lub bez) y t = α(+βt) + ε t obliczamy reszty ˆε t

38 Test KPSS (2) krok 2: obliczamy sumy cz ±ciowe reszt t S t = ε r, r=1 dla t = 1,..., T i warto± zgodnego estymatora wariancji dªugookresowej reszt: [ T S 2 (k) = T 1 et t=1 k w(s, k) s=1 gdzie w(s, k) oznacza wagi, np. Bartletta: w(s, k) = 1 s k + 1 T t=s+1 e t e t s ] k - dobieramy arbitralnie (np. k = 8 dla danych kwartalnych)

39 Test KPSS (3) krok 3: obliczamy statystyk testow KPSS = T t=1 S2 t T 2 S 2 (k) i porównujemy z warto±ciami krytycznymi, je±li KPSS > KPSS kryt odrzucamy H 0.

Testowanie stopnia zintegrowania. czasowego. Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1. Andrzej Torój. 19 lutego 2010

Testowanie stopnia zintegrowania. czasowego. Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1. Andrzej Torój. 19 lutego 2010 szeregu czasowego Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1 19 lutego 2010 Plan prezentacji 1 Szereg czasowy, poj cie stacjonarno±ci 2 3 4 5 6 7 Plan prezentacji 1 Szereg czasowy, poj cie stacjonarno±ci

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Ekonometria wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych (5-6) Ekonometria 1 / 30 Plan prezentacji 1 Regresja pozorna 2 Testowanie stopnia zintegrowania szeregu 3 Kointegracja 4 Modele dynamiczne (5-6)

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Ekonometria wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± (3) Ekonometria 1 / 29 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Normalny rozkªad 3 Autokorelacja 4 Heteroskedastyczno± Test White'a Odporne bª

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 15-16

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 15-16 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Zajęcia 15-16 1 1. Sezonowość 2. Zmienne stacjonarne 3. Zmienne zintegrowane 4. Test Dickey-Fullera 5. Rozszerzony test Dickey-Fullera 6. Test KPSS 7. Regresja pozorna

Bardziej szczegółowo

Wst p do ekonometrii II

Wst p do ekonometrii II Wst p do ekonometrii II Wykªad 2: Modele ARIMA. Filtr Kalmana (2) WdE II 1 / 46 Plan wykªadu 1 Modele ARIMA Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Specykacja modelu ARIMA Modele sezonowe: SARIMA 2 Filtr Kalmana

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE

EKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE EKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE ZADANIE 1 Oszacowano zależność między luką popytowa a stopą inflacji dla gospodarki niemieckiej. Wyniki estymacji są następujące: Estymacja KMNK,

Bardziej szczegółowo

Wst p do ekonometrii II

Wst p do ekonometrii II Wst p do ekonometrii II Wykªad 1: Modele ADL. Analiza COMFAC. Uogólniona MNK (1) WdE II 1 / 36 Plan wykªadu 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - wykªad 8

Ekonometria - wykªad 8 Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana

Bardziej szczegółowo

Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów

Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW

Bardziej szczegółowo

Stacjonarność Integracja. Integracja. Integracja

Stacjonarność Integracja. Integracja. Integracja Biały szum AR(1) Słaba stacjonarność Szereg czasowy nazywamy słabo (wariancyjnie) stacjonarnym jeżeli: Biały szum AR(1) Słaba stacjonarność Szereg czasowy nazywamy słabo (wariancyjnie) stacjonarnym jeżeli:

Bardziej szczegółowo

Rozdziaª 4. Jednowymiarowe modele szeregów czasowych

Rozdziaª 4. Jednowymiarowe modele szeregów czasowych Rozdziaª 4. Jednowymiarowe modele szeregów czasowych MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 4) Modele ARMA 1 / 24 Jednowymiarowe modele szeregów czasowych Jednowymiarowe modele szeregów czasowych:

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk

Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk Ekonometria Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 1

Bardziej szczegółowo

Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13

Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for

Bardziej szczegółowo

Rozdziaª 5. Modele wektorowej autoregresji

Rozdziaª 5. Modele wektorowej autoregresji Rozdziaª 5. Modele wektorowej autoregresji MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 1 / 32 Wielowymiarowe modele szeregów czasowych Modele VAR uwzgl dniaj wzajemne powi zania mi

Bardziej szczegółowo

In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia

In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1

Bardziej szczegółowo

Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna

Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna 27-0-202 Pytania teoretyczne. Dlaczego w modelu nie powinno si umieszcza staªej i wszystkich zmiennych zero-jedynkowych, zwi zanych z poziomami zmiennej dyskretnej?

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Wykład 5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE

Ekonometria Wykład 5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Ekonometria Wykład 5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Ekonometria szeregów czasowych Procesy stochastyczne Stacjonarność i biały szum Niestacjonarność:

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk

Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk Ekonometria Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7

Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7 Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7 Tomasz Suchocki ANOVA Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania 3. ANOVA w pakiecie R Tomasz

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Ekonometria wiczenia 4 Prognozowanie (4) Ekonometria 1 / 18 Plan wicze«1 Prognoza punktowa i przedziaªowa 2 Ocena prognozy ex post 3 Stabilno± i sezonowo± Sezonowo± zadanie (4) Ekonometria 2 / 18 Plan

Bardziej szczegółowo

0.1 Modele Dynamiczne

0.1 Modele Dynamiczne 0.1 Modele Dynamiczne 0.1.1 Wprowadzenie Często konkretne działanie czy zjawisko ekonomiczne nie tylko zależy od bieżących wartości pewnych wskaźników - zmiennych objaśniających modelu, ale również od

Bardziej szczegółowo

Wykªad 1+2: Klasyczny model regresji liniowej. Podstawy R

Wykªad 1+2: Klasyczny model regresji liniowej. Podstawy R Wykªad 1+2: Klasyczny model regresji liniowej Podstawy R Ekonometria Stosowana SGH KMNK i R 1 / 45 Plan wykªadu 1 Informacje organizacyjne 2 Wprowadzenie do ekonometrii Ekonometria Dane i postacie funkcyjne

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria

Bardziej szczegółowo

0.1 Modele Dynamiczne

0.1 Modele Dynamiczne 0.1 Modele Dynamiczne 0.1.1 Wprowadzenie Często konkretne działanie czy zjawisko ekonomiczne nie tylko zależy od bieżących wartości pewnych wskaźników - zmiennych objaśniających modelu, ale również od

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Ćwiczenia nr 3. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Ekonometria. Ćwiczenia nr 3. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej Ekonometria Ćwiczenia nr 3 Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 3 Własności składnika losowego 1 / 18 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4 Jakub Mućk

Bardziej szczegółowo

Modele wielorównaniowe. Problem identykacji

Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje

Bardziej szczegółowo

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna 1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Bayesowska

Ekonometria Bayesowska Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych

Bardziej szczegółowo

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - wykªad 1

Ekonometria - wykªad 1 Ekonometria - wykªad 1 0. Wprowadzenie Barbara Jasiulis-Goªdyn 28.02.2014 2013/2014 Ekonometria Literatura [1] B. Borkowski, H. Dudek, W. Szczesny, Ekonometria. Wybrane Zaganienia, PWN, Warszawa 2003.

Bardziej szczegółowo

Przyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja

Przyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym Przyczynowość w sensie Grangera Zmienna x jest przyczyną w sensie Grangera zmiennej y jeżeli

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Stacjonarne szeregi czasowe

Stacjonarne szeregi czasowe e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci 1 Denicja 1 Szereg {x t } 1 t N nazywamy ±ci±le stacjonarnym (stacjonarnym w w»szym sensie), je»eli dla dowolnych m, t 1, t 2,..., t m, τ ª czny rozkªad prawdopodobie«stwa

Bardziej szczegółowo

1 Modele ADL - interpretacja współczynników

1 Modele ADL - interpretacja współczynników 1 Modele ADL - interpretacja współczynników ZADANIE 1.1 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest intepretacja współczynników β 0 i β 1. 2. Pokazać

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Ekonometria wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej (8) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3 Predykcja

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:

PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych: Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow

Bardziej szczegółowo

Metody probablistyczne i statystyka stosowana

Metody probablistyczne i statystyka stosowana Politechnika Wrocªawska - Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki - 011 Metody probablistyczne i statystyka stosowana prowadz cy: dr hab. in». Krzysztof Szajowski opracowanie: Tomasz Kusienicki* κ 17801

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,

Bardziej szczegółowo

Wykªad 6: Model logitowy

Wykªad 6: Model logitowy Wykªad 6: Model logitowy Ekonometria Stosowana SGH Model logitowy 1 / 18 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej idea 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3

Bardziej szczegółowo

Pakiety statystyczne - Wykªad 8

Pakiety statystyczne - Wykªad 8 Pakiety statystyczne - Wykªad 8 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne

Bardziej szczegółowo

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie Materiał dla studentów Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie (studium przypadku) Część 3: Przykłady testowania niestacjonarności Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza

Bardziej szczegółowo

Testy własności składnika losowego Testy formy funkcyjnej. Diagnostyka modelu. Część 2. Diagnostyka modelu

Testy własności składnika losowego Testy formy funkcyjnej. Diagnostyka modelu. Część 2. Diagnostyka modelu Część 2 Test Durbina-Watsona Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε t, ε t 1 ) 0 Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε

Bardziej szczegółowo

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1 Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13

Stanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13 Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka Zajęcia 13 1 1. Kryteria informacyjne 2. Testowanie autokorelacji 3. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych

Bardziej szczegółowo

2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona

2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona Sprawdzanie założeń przyjętych o modelu (etap IIIC przyjętego schematu modelowania regresyjnego) 1. Szum 2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka z elementami statystyki

Matematyka z elementami statystyki Matematyka z elementami statystyki Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Korelacja Zale»no± funkcyjna wraz ze wzrostem jednej zmiennej nast puje ±ci±le okre±lona zmiana druiej zmiennej.

Bardziej szczegółowo

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi

Bardziej szczegółowo

Wektory w przestrzeni

Wektory w przestrzeni Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Własności składnika losowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Ekonometria. Własności składnika losowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej Ekonometria Własności składnika losowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 1 / 31 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 1. Czy wykresy zmiennych sugerują, że zmienne są stacjonarne. Czy występuje sezonowość?

Zadanie 1 1. Czy wykresy zmiennych sugerują, że zmienne są stacjonarne. Czy występuje sezonowość? Zadanie 1 1. Czy wykresy zmiennych sugerują, że zmienne są stacjonarne. Czy występuje sezonowość? Wykres stopy bezrobocia rejestrowanego w okresie 01.1998 12.2008, dane Polskie 22 20 18 16 stopa 14 12

Bardziej szczegółowo

Estymacja modeli ARDL przy u»yciu Staty

Estymacja modeli ARDL przy u»yciu Staty Estymacja modeli ARDL przy u»yciu Staty Michaª Kurcewicz 21 lutego 2005 Celem zadania jest oszacowanie dªugookresowego modelu popytu na szeroki pieni dz w Niemczech. Zaª czony zbiór danych beyer.csv pochodzi

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cihcocki. Natalia Nehrebecka

Stanisław Cihcocki. Natalia Nehrebecka Stanisław Cihcocki Natalia Nehrebecka 1 1. Kryteria informacyjne 2. Testowanie autokorelacji w modelu 3. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych opóźnieniach

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Przestrzenna

Ekonometria Przestrzenna Ekonometria Przestrzenna Wykªad 6: Zªo»one modele regresji przestrzennej (6) Ekonometria Przestrzenna 1 / 21 Plan wykªadu 1 Modele zªo»one 2 Model SARAR 3 Model SDM (Durbina) 4 Model SDEM 5 Zadania (6)

Bardziej szczegółowo

3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu

3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu 3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu 1. Metody analizy własności szeregu czasowego obserwacji 1.1. Analiza wykresu szeregu czasowego 1.2. Analiza statystyk opisowych zmiennej prognozowanej

Bardziej szczegółowo

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy

Bardziej szczegółowo

Czasowy wymiar danych

Czasowy wymiar danych Problem autokorelacji Model regresji dla szeregów czasowych Model regresji dla szeregów czasowych y t = X t β + ε t Zasadnicze różnice 1 Budowa prognoz 2 Problem stabilności parametrów 3 Problem autokorelacji

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Przestrzenna

Ekonometria Przestrzenna Ekonometria Przestrzenna Wykªad 3: Testowanie obecno±ci procesów przestrzennych (3) Ekonometria Przestrzenna 1 / 25 Plan wykªadu 1 Testowanie efektów przestrzennych 2 Testy ogólne Test Morana I Globalne

Bardziej szczegółowo

5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka

Bardziej szczegółowo

Lab. 02: Algorytm Schrage

Lab. 02: Algorytm Schrage Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Ekonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej Ekonometria Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 1 / 17 Agenda

Bardziej szczegółowo

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Model wektorowej autoregresji rzędu p, VAR(p), ma postad gdzie oznacza wektor zmiennych endogenicznych modelu. Model VAR jest stabilny, jeżeli dla, tzn. wielomian

Bardziej szczegółowo

1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.

1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f. GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Przestrzenna

Ekonometria Przestrzenna Ekonometria Przestrzenna Wykªad 4: Model autoregresji przestrzennej. Dane GIS: punkty i siatki (4) Ekonometria Przestrzenna 1 / 24 Plan wykªadu 1 Model czystej autoregresji przestrzennej (pure SAR) Specykacja

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów 5. Testowanie

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia IV

Ćwiczenia IV Ćwiczenia IV - 17.10.2007 1. Spośród podanych macierzy X wskaż te, których nie można wykorzystać do estymacji MNK parametrów modelu ekonometrycznego postaci y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ε 2. Na podstawie

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 13 1 1. Autokorelacja Konsekwencje Testowanie autokorelacji 2. Metody radzenia sobie z heteroskedastycznością i autokorelacją Uogólniona Metoda Najmniejszych

Bardziej szczegółowo

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi

Bardziej szczegółowo

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych. Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i Symulacje. Wykład VI. Niestacjonarne szeregi czasowe

Prognozowanie i Symulacje. Wykład VI. Niestacjonarne szeregi czasowe Prognozowanie i Symulacje. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Analiza stacjonarności szeregów czasowych 1 Analiza stacjonarności szeregów czasowych Modele niestacjonarne Szeregi TS i DS

Bardziej szczegółowo

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie Materiał dla studentów Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie (studium przypadku) Część 1: Opis ogólny i plan pracy Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych

Bardziej szczegółowo

Ukªady równa«liniowych

Ukªady równa«liniowych dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast

Bardziej szczegółowo

3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M =

Zadanie 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M = Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M = 2 14 2 10 8 0 10 8. a) Znajd¹ rozwi zanie dwuosobowej gry o sumie zero maj cej powy»sz macierz wypªat. b) Przyjmuj

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad

Bardziej szczegółowo

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

2. (8 punktów) 3. (8 punktów) 4. (8 punktów) 5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

2. (8 punktów) 3. (8 punktów) 4. (8 punktów) 5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Znajd¹ rozwi zanie poni»szego zagadnienia programowania liniowego: Zmaksymalizowa x 1 2x 2 + x 3 x 5 przy ograniczeniach x 1 3x 2 + x 3 + 2x 5 = 8

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka

Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka 13 marca 2010 1 1. Kryteria informacyjne 2. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych opóźnieniach (ADL) 3. Analiza

Bardziej szczegółowo

1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema

1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD: Szeregi czasowe I. Zaawansowane Metody Uczenia Maszynowego

WYKŁAD: Szeregi czasowe I. Zaawansowane Metody Uczenia Maszynowego WYKŁAD: Szeregi czasowe I Zaawansowane Metody Uczenia Maszynowego Szereg czasowy (X t ) - ciąg zmiennych losowych indeksowany parametrem t (czas). Z reguły t N lub t Z. Dotąd rozpatrywaliśmy: (X t )- ciąg

Bardziej szczegółowo

Ekonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.

Ekonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora. imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 02/02/2011 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 7 Modele nieliniowe. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 7 Modele nieliniowe. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Ekonometria wiczenia 7 Modele nieliniowe (7) Ekonometria 1 / 19 Plan wicze«1 Nieliniowo± : co to zmienia? 2 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa 3 Nieliniowa MNK (7) Ekonometria 2 / 19 Plan prezentacji 1 Nieliniowo±

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej

5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej 5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej 1. Model Sezonowości kwartalnej i autoregresji zmiennej prognozowanej (rząd istotnej autokorelacji K = 1) Szacowana postać: y = c Q + ρ y, t =

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 12 1 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne 2. Autokorelacja o Testowanie autokorelacji 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne

Bardziej szczegółowo

wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia

wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo