Algorytm wyznaczania odchylenia od pionu przy uŝyciu akcelerometrów MEMS

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Algorytm wyznaczania odchylenia od pionu przy uŝyciu akcelerometrów MEMS"

Transkrypt

1 I Kores Mechaiki Polskiej, Warsawa, 8 31 sierpia 007 r. J. Kubik, W. Kurik, W.K. Nowacki (Red.) a prawach rękopisu Alortm wacaia odchleia od piou pr uŝciu akcelerometrów MEMS Serius Łucak Politechika Warsawska, Isttut Mikromechaiki i Fotoiki 1. WSTĘP W prac [1, ] sceółowo predstawioo problem wacaia odchleia od piou a pomocą cujika o miiaturowch wmiarach budowaeo sesorów prspieseia wkoach w techoloii MEMS (Micro Electromechaical Sstems). Natomiast w pracach [3 4] opisao moŝliwości optmaliowaia pomiarów odchleia od piou jeśli chodi o miiaturację cujika ora więkseie dokładości pomiaru. Oba te ciki są cęsto bardo istotmi parametrami staowiącmi o uŝtecości cujika w daej aplikacji. Zaadieie pomiaru odchleia od piou jest bardo powseche. Jako jede lepsch prkładów moą posłuŝć tutaj róŝeo rodaju urądeia mechatroice, prede wsstkim mikrorobot mobile [5], p. mikrorobot preubow opisa w [6, 7]. Poa robotami, moŝa wmieić wiele ich astosowań cujika we wspomiaej diediie [1,, 4]. Dięki moŝliwości realiacji takieo pomiaru pr wkorstaiu miiaturoweo cujika budowaeo akcelerometrów tpu MEMS, cechującch się iską ceą ora adowalającmi właściwościami metroloicmi, wspomiae pomiar realiowae są w cora to owch aplikacjach.. OBLICZANIE ODCHYLENIA OD PIONU W prac [1, 4] apropoowao orialą metodę wacaia odchleia od piou a podstawie pomiaru trech kartejańskich składowch prspieseia iemskieo. Jak to wkaao, odchleie od piou ajprościej jest określać popre podaie jeo dwóch kątów składowch, co predstawioo a rs. 1, die dowol kąt odchleia od piou ϕ ostał rołoŝo a dwa kąt składowe α i β. Na rs. 1 pokaao takŝe romiesceie prestree składowch prspieseia iemskieo, poiewaŝ to właśie a ich bauje opiswa alortm. Na podstawie rs. 1 określić moŝa astępujące aleŝości pomięd kątami odchleia od piou a składowmi prspieseia iemskieo [1, 4]: α 1 = arcsi (1) α = arccos + () β 1 = arcsi (3) β = arccos +. (4)

2 die: prspieseie rawitacje,,, składowe prspieseia rawitacjeo a osiach,,, ϕ arbitralie orietowa kąt odchleia od piou, α kąt pochleia, β kąt prechleia. Kąt α i β wstępujące a rs. 1 ora w prtacach worach mają te same wartości, pomimo róŝiącch je ideksów dolch, które ostał wprowadoe w celu jedoaceo roróŝieia, a podstawie jakiej aleŝości ostał oblicoe, co jak to predstawioo w dalsej cęści artkułu jest bardo istote. Rsuek 1. Kąt składowe odchleia od piou W prac [1] apropoowao wacaie kątów pochleia i prechleia pr wkorstaiu rówaia (1) lub () ora (3) lub (4), w aleŝości od wartości wacaeo kąta, a asadie opisaej astępującmi aleŝościami (pr awęŝeiu rowaŝań do prediału -90 ; 90 ): α1, α α1, α 45 ;45 α = α 90 ; ; α3 = α (5) β1, β β1, β 45 ;45 β = β 90 ; ; β3 = β. (6) W prac [4] predstawioo atomiast orialą metodę wacaia odchleia od piou pr jedocesm wkorstaiu aleŝości (1) i () bądź (3) i (4). Jak to wkaao, kąt odchleia ajkorstiej jest wacać jako średią waŝoą (o miech wartościach współcików waowch) wartości wacoch wedłu aleŝości (1) i () ora (3) i (4). Obowiąują wted astępujące wor: 4 = α1 cos α3 α si α + α β 4 = β1 cos β3 + β si β3. 3 (7) (8)

3 3. WZORCOWANIE CZUJNIKA ODCHYLENIA OD PIONU W wielu prpadkach wkorstaie akcelerometrów tpu MEMS wmaa wceśiejseo ich worcowaia. Prkładem moą bć tutaj sesor opisae w [8 11], chociaŝ aadieie worcowaia bwa realiowae pre produceta, jak to predstawioo p. w [1, 13]. Zbudowaie dwuosioweo cujika odchleia od piou wmaa astosowaia jedeo akcelerometru trosioweo lub dwóch dwuosiowch, ewetualie trech jedoosiowch (moŝa teŝ astosować akcelerometr wieloosiow). KaŜd ich treba worcować, ajlepiej wspólie, po wbudowaiu w cujik odchleia od piou. W wiku procesu worcowaia wacć moŝa dwa istote parametr aalooweo sału wjścioweo eerowaeo pre akcelerometr: składową stałą ora wmocieie (amplitudę). Worcowaie cujika odchleia od piou ajlepiej realiować jest pochlając o wokół jedej osi cułości [obowiąuje wted aleŝość (1)] pr achowaiu erowej wartości kąta prechleia, a astępie prechlając o wokół druiej osi cułości [obowiąuje wted aleŝość (3)] pr achowaiu erowej wartości kąta pochleia. Uskae w tm procesie charakterstki opisać moŝa poiŝsmi worami [14, 15], które moą ostać wkorstae jako modele reresji ieliiowch: U = a + b U = a + b siα 1 si β 1 (9) (10) U = a + b cosα1 = a + b cos β1 (11) die: U... sał apięciow prpisa do osi..., a... składowa stała sału prpisaeo do osi..., b... amplituda sału prpisaeo do osi... Wartości stałch a... ora b... (a takŝe iepewości ich waceia) moŝa oblicć wkorstując do teo odpowiedie oproramowaie do statstcej obróbki wików (p. Statraphics). Tpową charakterstkę, wacoą dla akcelerometru ADXL 0E firm Aalo Devices predstawioo a rs.. 3,9,8 Sał wjściow [V],7,6,5,4,3,, Kąt pochleia [stopie] Rsuek. Charakterstka akcelerometru tpu MEMS Proces worcowaia umoŝliwia takŝe osacowaie iepewości waceia kątów odchleia od piou, a podstawie określeia odpowiedich prediałów predkcji dla mieej U... w

4 aleŝościach (9) (11) [14]. Wartości owch prediałów U... wkorstwae są w predstawiom poiŝej alortmie. 4. ALGORYTM WYZNACZANIA ODCHYLENIA OD PIONU Wartości wacoch w procesie worcowaia cujika stałch (a... ora b... ) iebęde są podcas ormaleo jeo diałaia. W celu waceia kątów odchleia od piou korstie jest posłuŝć się astępującmi rówaiami: U = a b = m (1) U = a b = m (13) U a = b = m. (14) 4.1. Sprawdeie poprawości wskaań cujika Po odctaiu apięć wjściowch cujika odchleia od piou U... moŝliwe jest sprawdeie poprawości jeo wskaań, t. sprawdeie c ie oddiałwają a ieo ewętre stałe prspieseia w preciwm wpadku ie jest moŝliwe poprawe waceie odchleia od piou [1, 4], dŝ prspieseie rawitacje sumuje się eometrcie e wspomiam prspieseiem ewętrm (prspieseie miee, cęsto błędie określae miaem damiceo, moŝa welimiować popre odpowiedie filtrowaie apięcia wjścioweo akcelerometru). W takim prpadku suma eometrca prspieseń składowch daje prspieseie o wartości bewlędej róŝej od. Kied jedak a cujik diała jedie prspieseie rawitacje, opisać to moŝa widealiowaą aleŝością: + + =. (15) JedakŜe wstępowaie błędów o charaktere prpadkowm duŝm prawdopodobieństwem doprowadi do stuacji, Ŝe rówaie (15) ie będie spełioe [16]. NaleŜ więc uwlędić wspomiae wceśiej błęd U... wacoe podcas procesu worcowaia cujika. Niespełieie poiŝseo układu ierówości (określającch prediał błędu raiceo) oaca, Ŝe a cujik diałają dodatkowe prspieseia ewętre i w wiąku tm jeo wskaaia ie są poprawe: ( m ) ( ) ( ) + U + m + U + m + U > 1 ( m U ) + ( m U ) + ( m U ) < 1. (16) NaleŜ podkreślić tutaj, Ŝe spełieie układu ierówości (16) ie świadc jesce o tm, Ŝe cujik pracuje w warukach quasi-statcch, istieje bowiem ieskońceie wiele prspieseń (o wrocie preciwm do wrotu wektora prspieseia rawitacjeo), którch wektor sumuje się wektorem prspieseia iemskieo w taki sposób, Ŝe układ ierówości (16) jest spełio. Zostało to predstawioe a rs. 3, die dol okrą obrauje wsstkie moŝliwe połoŝeia końca wektora prspieseia rawitacjeo, atomiast okrą ór połoŝeia końców wektorów prspieseia,

5 które sumując się eometrcie wektorem prspieseia iemskieo dają prspieseie o module 1. Najprostsm prkładem moŝe bć tutaj prspieseie a diałające w kieruku pioowm, o wrocie preciwm do prspieseia rawitacjeo i module. Cujik odchleia od piou weeruje wted sał odpowiadające wektorowi b o module 1, diałającemu pioowo, ale preciwie wrócoemu w stosuku do wektora. Rs. 3 predstawia dodatkowo dwa ie prkład prspieseń a 1 ora a 3, które sumując się wektorem dają wektor b 1 ora b 3 o module 1. Rsuek 3. Zbiór prspieseń akłócającch pomiar Jeśli ie dspouje się dodatkową wiedą o prspieseiach oddiałwującch a rowaŝa cujik (lub o połoŝeiu cujika wlędem piou), w oólm prpadku ie jest moŝliwe stwierdeie, c jeo wskaaia są poprawe. MoŜa podać tu jede wjątek, a miaowicie prpadek, d a jest kieruek ewetualie diałająceo prspieseia. Wówcas, dokoując pomiaru kartejańskich składowch prspieseia jak to ma miejsce w prpadku opiswaeo cujika, moŝliwe jest arówo waceie diałająceo prspieseia ewętreo jak i określeie kątów odchleia od piou, jak to predstawioo p. w [17]. Jeśli mam pewość, Ŝe a cujik ie diałają prspieseia ewętre, powŝse kroki predstawioe w tm pukcie moŝa pomiąć. JeŜeli waruek (16) jest spełio, poostaje jesce welimiować jede prpadek. Wartości miech m... wacach a podstawie aleŝości (1) (14) powi mieścić się w prediale -1; 1, co wika e worów (1) i (3), jedak wstępujące błęd o charaktere prpadkowm moą spowodować, Ŝe ieacie wkrocą oe poa te prediał. Tak więc w kolejch krokach aleŝ posłuŝć się ową mieą... określoą w astępując sposób: m > 1 1 = 1 = m (17) m > 1 1 = 1 = m (18)

6 m 4.. Wstępe obliceie kątów odchleia > 1 1 = 1 = m. (19) Po sprawdeiu poprawości wskaań cujika i astosowaiu aleŝości (17) (19) moŝa wstępie wacć wartość kątów odchleia od piou a podstawie worów będącch prekstałceiem rówań (1) (4): α = arc si 1 (0) α = arc cos + (1) β = arcsi 1 () β = arccos +. (3) Ostatecą wartość kątów odchleia od piou oblicam jako średią waŝoą [wor (7) i (8)], po wceśiejsm waceiu odpowiedich wartości e worów (5) i (6). Wkorstaie średiej waŝoej do obliceia wartości składowch kątów odchleia od piou ma tę aletę, Ŝe iealeŝie od wartości wacaeo kąta pomiar cechuje w prbliŝeiu stała wartość iepewości [4], co prekłada się a to, Ŝe mam do cieia e stałą wartością cułości. MoŜa to aobserwować a wkresie błędu cujika odchleia od piou predstawiom a poiŝsm rsuku. Cujik budowao dwóch akcelerometrów dwuosiowch tpu ADXL 0E firm Aalo Devices. Błąd a osi rędch wacoo jako wartość bewlędą róŝic pomięd kątem pochleia adam a pomocą staowiska badawceo a jeo wartością oblicoą a podstawie wskaań cujika. 0,18 0,16 0,14 0,1 Błąd [stopie] 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Kąt pochleia [stopie] Rsuek 4. Wiki badań doświadcalch

7 Natomiast pr korstaiu włącie aleŝości tpu arcus sius lub arcus cosius [rówaia (1) (4)] mam do cieia arastającą teoretcie do ieskońcoości wartością iepewości [1, 4], iacej mówiąc mieą cułością pomiaru spadającą do 0 [1], której maksmala wartość jest taka sama jak w prpadku korstaia e średiej waŝoej. W takim prpadku błęd a wkresie predstawiom a rs. 4 osiąają wartość rędu dla skrajch wartości kąta odchleia [1] Ustaleie wartości kątów odchleia w pełm akresie pomiarowm PoiewaŜ biór wartości wkorstwach fukcji tpu arcus to -90 ; 90, a akres pomiarow cujika wosi -180 ; 180, poostaje jesce ustalić wartość mieroch kątów odchleia w akresie kąta pełeo. Jest to moŝliwe a podstawie sprawdeia aku składowej prspieseia, repreetowaej pre mieą m, co ostało predstawioe a rs. 5. m, m 1 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4-0,6-0,8 m = si (alfa) m = cos (alfa) Kąt pochleia [stopie] Rsuek 5. Wacaie wartości kątów odchleia w akresie kąta pełeo Dla kaŝdeo kątów moŝliwe są tr prpadki, opisae aleŝościami (4) i (5). W prpadku kąta pochleia: atomiast dla kąta prechleia: m m m m > 0 α5 = α4 < 0, α4 > 0 α5 = 180 α4 < 0, α < = 4 0 α5 180 α4 > 0 β5 = β4 < 0, β4 > 0 β5 = 180 β4 < 0, β < = 4 0 β5 180 β4, (4). (5) Kąt α 5 i β 5 aleŝ traktować jako ostatecą wartość mieroeo a pomocą cujika pochleia ora prechleia. 5. PODSUMOWANIE W artkule predstawio ostał alortm umoŝliwiając waceie kątów odchleia od piou a podstawie pomiaru trech kartejańskich składowch prspieseia rawitacjeo. Alortm apewia stałą wartość cułości, iealeŝie od wartości mieroch kątów. MoŜa o opisać a pomocą astępującch kroków:

8 1. Wprowadeie dach uskach podcas worcowaia cujika: a, a, a, b, b, b, U, U, U.. Odct wskaań cujika: U, U, U. 3. Waceie wartości miech m.. [wor (1) (14)]. 4. Sprawdeie waruku (16). 5. Waceie wartości miech.. [wor wikające (17) (19)]. 6. Obliceie wartości kątów pochleia i prechleia [wor (0) (3)]. 7. Wbór dokładiejsch wartości kątów odchleia [wor (5) (6)]. 8. Obliceie wartości kątów pochleia i prechleia jako średiej waŝoej [wor (7) (8)]. 9. Ostatece ustaleie wartości kątów pochleia i prechleia [wor (4) (5)]. Wkorstaie predstawioeo alortmu umoŝliwia uskaie dokładości cujika odchleia od piou budowaeo e stadardowch akcelerometrów MEMS a poiomie kilku diesiątch stopia, a pr tm stałej w całm akresie pomiarowm. Bibliorafia [1] Łucak S., Oleksiuk W., Bodicki M.: Sesi Tilt with MEMS Accelerometers. IEEE Sesors J., Vol. 6, No. 6: , 006. [] M. Horto, C. Kitchi: A Dual Ais Tilt Sesor Based o Micromachied Accelerometers. Sesors,Vol. 13, No. 4:91 94, [3] Łucak S.: O Improvi Performace of MEMS Accelerometers i Tilt Sesi. Mach. Damics Problems, Vol. 30, No. 4, 006. [4] Łucak S., Oleksiuk W.: Icreasi Accurac of Tilt Measuremets. Er. Mech., w druku. [5] Fatikow S., Rembold U.: Microsstem Techolo ad Microrobotics. Sprier-Verla, Berli Heidelber, [6] Cerwiec W., Oleksiuk W.: Mii-Robot Desied for Movi Iside of Pipes. Materiał koferecje Computer Simulatio i Machie Desi: , 000. [7] Oleksiuk W., Cerwiec W., Muerato F., Mihalachi D., Lauret C., Nitu C., Comeaa C.D.: Fleible Mii Robot with Autoomous Motio. Materiał koferecje ICRAM 99: , [8] Crossbow, Sa Jose, CA (USA): Sesors & Sesor Sstems Catalo: 61 71, 006. [9] Aalo Devices Ic., Norwood, MA (USA): Small, Low Power, 3-Ais ±3 imems Accelerometer ADXL 330, 006. [10] Aalo Devices Ic., Norwood, MA (USA): Precisio ±1.7 Sile/Dual Ais Accelerometer ADXL 103/ADXL 03, 005. [11] MEMSIC Ic., North Adover, MA (USA): Ultra Low Noise, Offset Drift ±1 Dual Ais Accelerometer with Aalo Outputs MXA500E, 005. [1] Setera Techolo Corporatio, Berkele, CA (USA): AX301 Three-Ais Accelerometer Module, Prelimiar Specificatios, 003. [13] Aalo Devices Ic., Norwood, MA (USA): Prorammable Dual-Ais Icliometer / Accelerometer ADIS 1601, 006. [14] Łucak S.: Eperimetal Studies of Miiature Tilt Sesors, Elektroika 8-9: 15 18, 004. [15] MEMSIC. Ic., North Adover, MA (USA): Low Accelerometer No-Liearit Measuremet. Applicatio Note /r 5/1/03, 003. [16] Lötters J.C., Schipper J., Veltik P.H., Olthuis W., Berveld P.: Procedure for i-use calibratio of triaial accelerometers i medical applicatios. Sesors & Actuators A 68:1 8, [17] Dao R.: Icliatio Sesi of Movi Vehicle. Applicatio Note /r 3/1/03, MEMSIC Ic., North Adover, MA (USA), 003. Summar i Elish The preseted alorithm for measuri tilt b meas of MEMS accelerometers esures to determie pitch ad roll over 360 with accurac of ca. 0.. It reards such problems as calibratio of the accelerometers, accurac ad correctess of determii the tilt.

III. LICZBY ZESPOLONE

III. LICZBY ZESPOLONE Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam

Bardziej szczegółowo

Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich)

Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich) Opis ruchu we współrędch prosokąch (karejańskich) Opis ruchu we współrędch prosokąch jes podob do opisu a pomocą wekora wodącego, kórego pocąek leż w pocąku układu odiesieia. Położeie. Położeie puku A

Bardziej szczegółowo

1.8. PROSTE ŚCINANIE

1.8. PROSTE ŚCINANIE .8. PROSTE ŚCINNIE.8.. Wprowadeie Proste ściaie wstępuje wówcas, gd obciążeie ewętre redukuje się do wektora sił poprecej T, której kieruek pokrwa się główą, cetralą osią prekroju O. Prostm ściaie praktcie

Bardziej szczegółowo

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński

Matematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński Matematka Opracował: dr hab. Miecsław Kula, prof. WSBiF dr Michał Bacński I. Ogóle iformacje o predmiocie: Cel predmiotu: Celem główm kursu jest apoaie studetów wbrami diałami matematki stosowami w aukach

Bardziej szczegółowo

Nowa metoda oceny dokładności wyznaczeń GNSS na potrzeby monitoringu pojazdów

Nowa metoda oceny dokładności wyznaczeń GNSS na potrzeby monitoringu pojazdów NOWAK Aleksader Nowa metoda oce dokładości waceń GN a potreb moitorigu pojadów WĘP Wkorstaie satelitarch sstemów awigacjch GN od ag.: Global Navigatio atellite stems do moitorigu pojadów staje się cora

Bardziej szczegółowo

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa III

Mechanika kwantowa III Mecaika kwatowa III Opracowaie: Barbara Pac, Piotr Petele Powtóreie Moet pędu jest wielkością pojęciowo bardo istotą, gdż dla wsstkic pól o setrii sfercej operator jego kwadratu ( ˆM koutuje ailtoiae (

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Warsztaty metod fizyki teoretycznej

Warsztaty metod fizyki teoretycznej Warstat etod fiki teoretcej Zestaw 3 Kwatowaie prewodości elektrcej 16.10.008 Wprowadeie i sforułowaie agadieia Rowój auki i stosowaie cora doskoalsch etod eksperetalch doprowadił do badaia wielu jawisk

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość materiałów

Wytrzymałość materiałów 1 Wtrmałość materiałów EiP - Wkład Nr 9 Odkstałceia beek giach iia ugięcia beki, kąt obrotu beki, waruek stwości pr giaiu, rówaie różickowe iii ugięcia beki, waruki bregowe, waruki ciągłości odkstałceń,

Bardziej szczegółowo

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone. Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1. (1 pkt) Wartość wyrażenia. b dla a 2 3 i b 2 3 jest równa A B. 5 C. 6 D Zadanie 2.

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1. (1 pkt) Wartość wyrażenia. b dla a 2 3 i b 2 3 jest równa A B. 5 C. 6 D Zadanie 2. Zachęcam do samodzielej prac z arkuszem diagostczm. Pozaj swoje moce i słabe stro, a astępie popracuj ad słabmi. Żczę przjemego rozwiązwaia zadań. Zadaie. ( pkt) Wartość wrażeia a ZADANIA ZAMKNIĘTE b dla

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17 Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo

Bardziej szczegółowo

Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)

Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych) Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

1. Granica funkcji w punkcie

1. Granica funkcji w punkcie Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

dr inż. Elżbieta Broniewicz Fundacja Ekonomistów Środowiska i Zasobów Naturalnych w Białymstoku METODYKA BADANIA KOSZTÓW BIEŻĄCYCH OCHRONY ŚRODOWISKA

dr inż. Elżbieta Broniewicz Fundacja Ekonomistów Środowiska i Zasobów Naturalnych w Białymstoku METODYKA BADANIA KOSZTÓW BIEŻĄCYCH OCHRONY ŚRODOWISKA dr iż. Elżbieta roieic Fudacja Ekoomistó Środoiska i Zasobó Naturalych iałymstoku METODYKA ADANIA KOSZTÓW IEŻĄCYCH OCHRONY ŚRODOWISKA 1. Określeie miimalej licebości próby Na podstaie badań proadoych latach

Bardziej szczegółowo

>> ω z, (4.122) Przybliżona teoria żyroskopu

>> ω z, (4.122) Przybliżona teoria żyroskopu Prybliżona teoria żyroskopu Żyroskopem naywamy ciało materialne o postaci bryły obrotowej (wirnika), osadone na osi pokrywającej się osią geometrycną tego ciała wanej osią żyroskopową. ζ K θ ω η ω ζ y

Bardziej szczegółowo

Postać Jordana macierzy

Postać Jordana macierzy Rodiał 8 Postać Jordana macier 8.1. Macier Jordana Niech F = R lub F = C. Macier J r () F r r postaci 1. 1... J r () =..........,.... 1 gdie F, nawam klatką Jordana stopnia r. Ocwiście J 1 () = [. Definicja

Bardziej szczegółowo

DryLin T System prowadnic liniowych

DryLin T System prowadnic liniowych DrLin T Sstem prowadnic liniowch Prowadnice liniowe DrLin T ostał opracowane do astosowań wiąanch automatką i transportem materiałów. Chodiło o stworenie wdajnej, beobsługowej prowadnic liniowej do astosowania

Bardziej szczegółowo

KONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA

KONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA ĆWICZENIE 5 KONWENCA ZNAKOWANIA OENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA Wektor momentu pr ginaniu ukośnm można rutować na osie,, będące głównmi centralnmi osiami bewładności prekroju. Prjmujem konwencję nakowania

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

I. Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce.

I. Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce. Blok 1: Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Podstawowe wielkości ficne w kinematce Opis ruchu w różnch układach odniesienia Ruch wględn I Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Wsstkie wielkości

Bardziej szczegółowo

BADANIE CYFROWYCH UKŁADÓW ELEKTRONICZNYCH TTL strona 1/7

BADANIE CYFROWYCH UKŁADÓW ELEKTRONICZNYCH TTL strona 1/7 BADANIE CYFROWYCH UKŁADÓW ELEKTRONICZNYCH TTL strona 1/7 BADANIE CYFROWYCH UKŁADÓW ELEKTRONICZNYCH TTL 1. Wiadomości wstępne Monolitcne układ scalone TTL ( ang. Trasistor Transistor Logic) stanowią obecnie

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PROCESOWEJ, MATERIAŁOWEJ I FIZYKI STOSOWANEJ POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA ĆWICZENIE NR MR-2

INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PROCESOWEJ, MATERIAŁOWEJ I FIZYKI STOSOWANEJ POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA ĆWICZENIE NR MR-2 INTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PROCEOWEJ, MATERIAŁOWEJ I FIZYKI TOOWANEJ POLITECHNIKA CZĘTOCHOWKA LABORATORIUM Z PRZEDMIOTU METODY REZONANOWE ĆWICZENIE NR MR- EPR JONÓW Ni W FLUOROKRZEMIANIE NIKLU I.

Bardziej szczegółowo

x od położenia równowagi

x od położenia równowagi RUCH HARMONICZNY Ruch powtarając się w regularnch odstępach casu nawa ruche okresow. Jeżeli w taki ruchu seroko rouiane odchlenie od stanu równowagi ( np. odchlenie as podcepionej do sprężn, wartość wektora

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA Wioskowaie statystyce - estymacja treść Próba - repreetatywość próby - schematy losowaia Rokłady próby Estymacja statystyca - puktowa, prediałowa, wyacaie licebości próby Obserwacja

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15 Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

ROBOT Millennium wersja 20.1 - Podręcznik użytkownika strona: 371 9. ZAŁĄCZNIKI. Robobat www.robobat.com

ROBOT Millennium wersja 20.1 - Podręcznik użytkownika strona: 371 9. ZAŁĄCZNIKI. Robobat www.robobat.com ROBO Milleium wersja. - Podręcik użtkowika stroa: 37 9. ZAŁĄCZNIKI Robobat www.robobat.com stroa: 37 ROBO Milleium wersja. - Podręcik użtkowika 9.. Załącik - Elemet prętowe (ieliiowa aalia w programie

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprzewodnikach metodą efektu Halla

Wyznaczanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprzewodnikach metodą efektu Halla Ćwicenie 13 Wnacanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprewodnikach metodą efektu alla Cel ćwicenia Celem ćwicenia jest aponanie się e jawiskiem alla, stałoprądową metodą badania efektu alla,

Bardziej szczegółowo

BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ

BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ LABORATORIU WYTRZYAŁOŚCI ATERIAŁÓW Ćiceie 0 BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SRĘŻYNY ŚRUBOWEJ 0.. Wproadeie Sprężyy, elemety sprężyste mają bardo różorode astosoaie ielu kostrukcjach mechaicych. Wykorystuje się je

Bardziej szczegółowo

Płaskie układy obciąŝeń. Opis analityczny wielkości podstawowych. wersory. mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów 1 statyka 2

Płaskie układy obciąŝeń. Opis analityczny wielkości podstawowych. wersory. mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów 1 statyka 2 Opis aalitcz wielkości podstawowch wersor e x, e Opis aalitcz wielkości podstawowch współrzęde puktów A( x A, B( x B, A B ) ) Opis aalitcz wielkości podstawowch współrzęde puktów A( x A, B( x B, A B )

Bardziej szczegółowo

Ruch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna

Ruch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna Ruch kulist brł. Kąt Eulera. Precesja regularna Ruchem kulistm nawam ruch, w casie którego jeden punktów brł jest stale nieruchom. Ruch kulist jest obrotem dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta mienia swoje

Bardziej szczegółowo

MACIERZE STOCHASTYCZNE

MACIERZE STOCHASTYCZNE MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:

Bardziej szczegółowo

, +, - przestrzeń afiniczna, gdzie w wprowadzono iloczyn

, +, - przestrzeń afiniczna, gdzie w wprowadzono iloczyn EUKLIDESOWA PRZESTRZEŃ AFINICZNA (WEKTOROWA) RZECZYWISTA Deiicja 1,, +, u = ( x x x ) v = ( y y y ),,..., 1 2,,..., 1 2 1 1 2 2 u/ v : = x y + x y +... + xy - aywamy ilocyem skalarym Możemy go rówież oacać

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

cz.2 Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321

cz.2 Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321 Wkład 8: Brła stwna c. Dr inż. Zbigniew Sklarski Katedra Elektroniki, paw. C-, pok.3 skla@agh.edu.pl http://laer.uci.agh.edu.pl/z.sklarski/ 05.04.08 Wdiał nformatki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatka

Bardziej szczegółowo

Bielecki Jakub Kawka Marcin Porczyk Krzysztof Węgrzyn Bartosz. Zbiorcze bazy danych

Bielecki Jakub Kawka Marcin Porczyk Krzysztof Węgrzyn Bartosz. Zbiorcze bazy danych Bielecki Jakub Kawka Marci Porczk Krzsztof Węgrz Bartosz Zbiorcze baz dach Marzec 2006 Spis treści. Opis działalości bizesowej firm... 3 2. Omówieie struktur orgaizacjej... 4 3. Opis obszaru bizesowego...

Bardziej szczegółowo

Siła ciężkości. Siła ciężkości jest to siła grawitacyjna wynikająca z oddziaływania na siebie dwóch ciał. Jej wartość obliczamy z zależności

Siła ciężkości. Siła ciężkości jest to siła grawitacyjna wynikająca z oddziaływania na siebie dwóch ciał. Jej wartość obliczamy z zależności Sła cężkośc Sła cężkośc jest to sła grawtacja wkająca oddałwaa a sebe dwóch cał. Jej wartość obcam aeżośc G gde: G 6,674 10-11 Nm /kg M m r stała grawtacja, M, m mas cał, r odegłość pomęd masam. Jeże mam

Bardziej szczegółowo

2. Schemat ideowy układu pomiarowego

2. Schemat ideowy układu pomiarowego 1. Wiadomości ogóle o prostowikach sterowaych Układy prostowikowe sterowae są przekształtikami sterowaymi fazowo. UmoŜliwiają płya regulację średiej wartości apięcia wyprostowaego, a tym samym średiej

Bardziej szczegółowo

1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił

1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił . REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:

Bardziej szczegółowo

FILTRY ZE SKOŃCZONĄ ODPOWIEDZIĄ IMPULSOWĄ

FILTRY ZE SKOŃCZONĄ ODPOWIEDZIĄ IMPULSOWĄ FILTRY ZE SKOŃCZOĄ ODPOWIEDZIĄ IMPULSOWĄ FIR od ag. Fiite Impule Repoe Spi treści 1. Deiicja iltru FIR. Caraktertki cętotliwościo 3. Filtr FIR liiową caraktertką aową 4. Projektowaie iltrów pr pomoc eregów

Bardziej szczegółowo

Podstawy wytrzymałości materiałów

Podstawy wytrzymałości materiałów Podstaw wtrmałości materiałów IMiR - MiBM - Wkład Nr 5 Analia stanu odkstałcenia Składowe stanu odkstałcenia, uogólnione prawo Hooke a, prawo Hooke a dla cstego ścinania, wględna miana objętości, klasfikacja

Bardziej szczegółowo

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204. Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych dla iewidomych POZIOM PODSTAWOWY Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 4 6 7

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2

Wykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2 Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%

Bardziej szczegółowo

Zginanie ukośne LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki

Zginanie ukośne LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Katedra Wtrmałości Materiałów i Metod Komputerowch Mechaniki Wdiał Mechanicn Technologicn Politechnika Śląska LABORATORUM WYTRZYMAŁOŚC MATERAŁÓW Zginanie ukośne ZGNANE UKOŚNE 2 1. CEL ĆWCZENA Ćwicenie

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

Mec Me han a ik i a a o gólna Wyp W a yp dko dk w o a w do d w o o w l o ne n g e o g o ukł uk a ł du du sił.

Mec Me han a ik i a a o gólna Wyp W a yp dko dk w o a w do d w o o w l o ne n g e o g o ukł uk a ł du du sił. echaika ogóla Wkład r 2 Wpadkowa dowolego układu sił. ówowaga. odzaje sił i obciążeń. odzaje ustrojów prętowch. Wzaczaie reakcji. Wpadkowa układu sił rówoległch rzłożeie układu zerowego (układ sił rówoważącch

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz I Pole wektorowe

Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz I Pole wektorowe Matematka Element anali wektorowej c I Pole wektorowe Literatura M.Gewert Z.Skoclas; Element anali wektorowej; Oficna Wdawnica GiS Wrocław 000 W.Żakowski W.Kołodiej; Matematka c II; WNT Warsawa 1984 W.Leksiński

Bardziej szczegółowo

Jakie nowe możliwości daje właścicielom i zarządcom budynków znowelizowana Ustawa termomodrnizacyjna

Jakie nowe możliwości daje właścicielom i zarządcom budynków znowelizowana Ustawa termomodrnizacyjna dr inż. Wiesław Sarosiek mgr inż. Beata Sadowska mgr inż. Adam Święcicki Katedra Podstaw Budownictwa i Fiyki Budowli Politechniki Białostockiej Narodowa Agencja Posanowania Energii S.A. Filia w Białymstoku

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie reakcji dynamicznych oraz wyważanie ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi 8

Wyznaczanie reakcji dynamicznych oraz wyważanie ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi 8 Wnacanie reakcji dnaicnch ora wważanie ciała w ruchu oroow wokół sałej osi 8 Wprowadenie Jeśli dowolne ciało swne o asie jes w ruchu oroow wokół osi, o na podporach powsają reakcje A i B. Składowe ch reakcji

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne i modele rekurencyjne w ekonomii Wykład 3

Programowanie dynamiczne i modele rekurencyjne w ekonomii Wykład 3 Programowaie dyamice i modele rekurecyje w ekoomii Wykład 3 Michał Ramsa sierpia 0 Stresceie Wykład treci bauje główie a [, ro 7] i dotycy wykorystaia fukcji tworacych do rowiaywaia rekurecji Materiał

Bardziej szczegółowo

16 Przedziały ufności

16 Przedziały ufności 16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia

Bardziej szczegółowo

Pochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:

Pochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać: ochodna kierunkowa i gradient Równania parametrcne prostej prechodącej pre punkt i skierowanej wdłuż jednostkowego wektora mają postać: Oblicam pochodną kierunkową u ( u, u ) 1 + su + su 1 (, ) d d d ˆ

Bardziej szczegółowo

EPR. W -1/2 =-1/2 gµ B B

EPR. W -1/2 =-1/2 gµ B B Hamiltonian spinow Elektronow reonans paramanetcn jest wiąan absorpcją pola wsokiej cęstotliwości, która towars mianie orientacji spin w ewnętrnm polu manetcnm. Niesparowane spinowe moment manetcne µ s

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10 W YKŁ ADY Z T EOII S ĘŻYSTOŚCI ZADANIE BOUSSINESQA I FLAMANTA olitechnika onańska Kopac, Kawck, Łodgowski, łotkowiak, Świtek, Tmpe Olga Kopac, Kstof Kawck, Adam Łodgowski, Michał łotkowiak, Agnieska Świtek,

Bardziej szczegółowo

POTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y

POTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y POTENCJALNE POLE SIŁ POLE SKALARNE Polem skalarnm V(r) nawam funkcję prpisującą każdemu punktowi w prestreni licbę recwistą (skalar): V (r): r=(,, ) V (r) POLE WEKTOROWE SIŁ Polem wektorowm sił F(r) nawam

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

Automatyczna kompensacja mocy biernej z systemem monitorowania kopalnianej sieci 6 kv

Automatyczna kompensacja mocy biernej z systemem monitorowania kopalnianej sieci 6 kv dr inż MARIAN HYLA Politechnika Śląska w Gliwicach Automatycna kompensacja mocy biernej systemem monitorowania kopalnianej sieci 6 kv W artykule predstawiono koncepcję, realiację ora efekty diałania centralnego

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć

Bardziej szczegółowo

Znikanie sumy napięć ïród»owych i sumy prądów w wielofazowym układzie symetrycznym

Znikanie sumy napięć ïród»owych i sumy prądów w wielofazowym układzie symetrycznym Obwody trójfazowe... / OBWODY TRÓJFAZOWE Zikaie sumy apięć ïród»owych i sumy prądów w wielofazowym układzie symetryczym liczba faz układu, α 2π / - kąt pomiędzy kolejymi apięciami fazowymi, e jα, e -jα

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Wykład FIZYKA I. Kiemayka puku maerialego Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Isyu Fizyki Poliechiki Wrocławskiej hp://www.if.pwr.wroc.pl/~woziak/fizyka1.hml Dr hab. iż.

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Łukasz WOJCIECHOWSKI, Tadeusz CISOWSKI, Piotr GRZEGORCZYK ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Streszczeie W artykule zaprezetowao algorytm wyzaczaia optymalych parametrów

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa R n.

Przestrzeń liniowa R n. MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości

Bardziej szczegółowo

,..., u x n. , 2 u x 2 1

,..., u x n. , 2 u x 2 1 . Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

FILTRY ZE SKOŃCZONĄ ODPOWIEDZIĄ IMPULSOWĄ

FILTRY ZE SKOŃCZONĄ ODPOWIEDZIĄ IMPULSOWĄ FILTRY ZE SKOŃCZOĄ ODPOWIEDZIĄ IMPULSOWĄ FIR od ag. Fiite Impule Repoe Spi treści. Deiicja iltru FIR. Caraktertki cętotliwościo 3. Filtr FIR liiową caraktertką aową 4. Projektowaie iltrów pr pomoc eregów

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny (Gaussa)

Rozkład normalny (Gaussa) Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Baza Jordana

Rozdział 9. Baza Jordana Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,

Bardziej szczegółowo

POMIARY KIERUNKÓW I WYZNACZENIE KĄTÓW POZIOMYCH

POMIARY KIERUNKÓW I WYZNACZENIE KĄTÓW POZIOMYCH POMIARY KIERUNKÓW I WYZNACZENIE KĄTÓW POZIOMYCH KĄT POZIOMY Defiicja kąt poziomy wyzaczay jest przez ślady przecięcia dwóch płaszczyz pioowych przechodzących przez oś celową i obserwowae pukty z poziomą

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny (Gaussa)

Rozkład normalny (Gaussa) Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch

Bardziej szczegółowo

Przykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a

Przykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a Prkład 6 Uogónione prawo Hooke a Zwiąki międ odkstałceniami i naprężeniami w prpadku ciała iotropowego opisuje uogónione prawo Hooke a: ] ] ] a Rowiąując równania a wgędem naprężeń otrmujem wiąki: b W

Bardziej szczegółowo

KOMPENSACJA TEMPERATUROWA WYBRANYCH AKCELEROMETRÓW ANALOGOWYCH MEMS

KOMPENSACJA TEMPERATUROWA WYBRANYCH AKCELEROMETRÓW ANALOGOWYCH MEMS POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 92 Electrical Engineering 2017 DOI 10.21008/j.1897-0737.2017.92.0009 Aleksander SAWICKI* KOMPENSACJA TEMPERATUROWA WYBRANYCH AKCELEROMETRÓW ANALOGOWYCH

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 4 Rozwiązywanie równań nieliniowych. Karol Tarnowski A-1 p.

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 4 Rozwiązywanie równań nieliniowych. Karol Tarnowski A-1 p. Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład 4 Rozwiązywaie rówań ieliiowych Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Pla wykładu Metoda bisekcji Algorytm Aaliza błędu Metoda Newtoa Algorytm Aaliza

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy rachunku wektorowego

1. Podstawy rachunku wektorowego 1 Postaw rachunku wektorowego Wektor Wektor est wielkością efiniowaną pre ługość (mouł) kierunek iałania ora wrot Dwa wektor o tm samm moule kierunku i wrocie są sobie równe Wektor presunięt równolegle

Bardziej szczegółowo

SUBWENCJA WYRÓWNAWCZA DLA GMIN

SUBWENCJA WYRÓWNAWCZA DLA GMIN I N S T Y T U T A N A L I Z R E G I O N A L N Y C H SUBWENCJA WYRÓWNAWCZA DLA GMIN ANALIZA SZCZEGÓŁOWA Autory: dr Boda Stęień dr Medard Makreek Coyriht Boda Stęień Wselkie rawa astreżoe GRUDZIEŃ 004 autory:

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n

Bardziej szczegółowo

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem: Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.

Bardziej szczegółowo

WYKRYWANIE BLOKAD W SYSTEMACH PRIORYTETOWYCH

WYKRYWANIE BLOKAD W SYSTEMACH PRIORYTETOWYCH II Konferencja Naukowa KNWS'05 "Informatka- stuka c remios o" 15-18 cerwca 2005, Z otniki Luba skie WYKRYWANIE BLOKAD W SYSTEMACH PRIORYTETOWYCH Andrej Karatkiewic Insttut Informatki i Elektroniki, Uniwerstet

Bardziej szczegółowo

PRZEKSZTAŁCENIE ZET. definicja. nst. Stąd po dokonaniu podstawienia zgodnie z definicją otrzymamy wyrażenie jak dla ciągu.

PRZEKSZTAŁCENIE ZET. definicja. nst. Stąd po dokonaniu podstawienia zgodnie z definicją otrzymamy wyrażenie jak dla ciągu. CPS 6/7 PREKSTAŁCENIE ET Defiicja rekstałceia Prekstałceie ET jest w diediie casu dyskretego odowiedikiem ciągłego rekstałceia Lalace a w diediie casu ciągłego. Podamy dwie rówoważe defiicje rekstałceia

Bardziej szczegółowo