UKŁADY NIELINIOWE 1/23

Transkrypt

1 UKŁDY NIELINIOWE Uładami nieliniwmi nazwam ład pisane równaniami różniczwmi, różnicwmi lb algebraicznmi. Uład nieliniwe mżna również reślić ja taie ład, dla tórch nie bwiązje zasada sperpzcji. Uład spełnia zasadę sperpzcji, jeżeli prz zerwch warnach pczątwch dpwiedź teg ład na wmszenie, będące mbinacją liniwą wmszeń, jest równa mbinacji liniwej na ażde z wmszeń ddzielnie. Wszstie ład rzeczwiste są ładami nieliniwmi. ratwanie nietórch ładów ja ład liniwe jest zawsze wniiem idealizacji prcesów zachdzącch w tch ładach. Ja liniwe mżna tratwać taie ład, dla tórch z dstateczną dładnścią bwiązje zasada sperpzcji. Uład zawierając prznajmniej jeden człn nieliniw, jest ładem nieliniwm. W przpad gólnm dpwiedź człn nieliniweg jest związana z wmszeniem (t teg człn (biet, prces pisaneg równaniem różniczwm nieliniwm n-teg rzęd pstaci n ( n m ( m F(,, K,,,,, K,,, t W szczególnm przpad pis matematczn człn nieliniweg mże mieć pstać równania algebraiczneg F(,, t - jest fncją nieliniwą argmentów człn statczn. /3

2 X Y P lt Nascenie Y xis X xis ime (secnd sign Strefa martwa, nieczłść X Y P lt Y xis ( ( a a a a a X xis ime (secnd /3

3 Przeaźni dwpłżeniw.5.5 X Y P lt.5 Y xis X xis ime (secnd Lz X Y P lt.5 Y xis X xis - 5 ime (secnd 3/3

4 Wiele ładów reglacji atmatcznej zawiera nieliniwści isttne z pnt widzenia działania UR. Nieliniwści tch w prcesie analiz UR nie mżna pminąć metdą linearzacji drgą rzład w szereg alra i pminięcia sładniów nieliniwch teg szereg, pnieważ sgnał istniejące w UR mgą zmieniać się w szerich granicach. aie ład nieliniwe mżna badać dładniejszmi metdami stswanmi w przpad ładów nieliniwch:. metdą fncji pisjącej, (t e(t (t NLN G(s. metdą płaszczzn fazwej - 3. metdą mdelwania analgweg, 4. metdą mdelwania cfrweg. (t Metda fncji pisjącej. Pśród cech zachwania się ładów nieliniwch, tóre nie dają się wjaśnić za pmcą terii liniwej, chba najważniejsze są drgania samwzbdne zwane clem granicznm. Cl graniczn jest t drganie własne ład nieliniweg prz stałej amplitdzie i stałm resie. Przjmjąc, że jednm isttnm sgnałem wjściwm człn nieliniweg jest sładwa sinsidalna częsttliwści wejściwej, praszczam badania drgań teg tp. Metda fncji pisjącej jest właśnie parta na tm załżeni i wrzstje na metd częsttliwściwe. 4/3

5 Rzważm relację nieliniwą międz wejściem a wjście, zależną d amplitd, lecz niezależną d częsttliwści f (e Dla wejścia sinsidalneg amplitdzie i częsttliwści ω e sinωt dpwiedź ~ f ( sinω t ma znieształcenia nieliniwe, lecz jej reswść jest taa sama, ja sgnał wejściweg dla więszści sptanch w pratce elementów nieliniwch. Wjście reswe mżna wrazić za pmcą szereg Friera ~ ( θ c ( f sin nθ h csnθ θ ωt n n prz czm współcznnii Friera dla sładwch pdstawwch są równe π π f ~ ( θ sin nθ dθ; h ~ ( θ csnθ dθ π π π a sładwa stała jest równa c ~ ( θ dθ π n Jeżeli charatersta statczna element nieliniweg jest smetrczna względem ład współrzędnch, t współcznni c, jeżeli zaś nie psiada stref niejednznacznści t h. Fncja pisjąca element nieliniweg jest zdefiniwana następjąc f jh π ( ~ ( j lb J ( θ e θ dθ π J i wraża stsne wjścia d wejścia element nieliniweg w dziedzinie częsttliwści. 5/3

6 NLIZ WŁŚCIWOŚCI DYNMICZNYCH UKŁDÓW NIELINIOWYCH PRZY POMOCY FUNKCJI OPISUJĄCEJ Fncję pisjącą wrzstje się d przbliżnej analiz ład nieliniweg, prz wrzstani rterim analgiczneg d rterim Nqista. Rzpatrje się wrażenie J ( G( jω G( jω J ( a ściślej, wzajemne płżenie G( jω i dla dwlnch wartści i ω. J ( Wrażenie J (. leż na zewnątrz charatersti G(jω UR jest stabiln,. leż wewnątrz charatersti G(jω UR jest niestabiln, 3. psiada pnt lb pnt wspólne z charaterstą częsttliwściwą G(jω - w nieliniwm UR wstąpią drgania częsttliwści i amplitdzie reślnch przez przecinające się rzwe (b dwa cle graniczne:. (, ω - niestabiln,. (, ω stabiln. Q l ( ω (,ω (,ω 3 P l ( ω 6/3

7 Przeaźni trójpłżeniw Przeaźni (t -a -a a h a e(t (t. α π α α α π t {s} e(t α α t {s} dla e& > czli dla e& < czli e rsnąceg dla e < a dla dla a e > a a < e < a e malejąceg dla e > a dla dla e > a < e < a 7/3

8 e(t (t - - α π α α Przeaźni α π t {s} Fncja pisjąca przjmie pstać Z smetrii charatersti przeaźnia f ( sinθ f ( sin( θ π wnia smetria dpwiedzi, tóra w przedziale d d π ma pstać ~ dla dla dla < θ < α α < θ < α α < θ < π Prz czm: a a α arcsin α arcsin j J ( π π π ~ ( θ e jθ j π dθ ~ ( θ e π jα jα ( e e csα csα j( sinα sinα π [ ] jθ α j dθ e π α jθ dθ π jθ α ( e α 8/3

9 Pnieważ sin sin α α a a Zatem a a sin sin α α cs cs a a α α Stąd trzmje się pstać stateczną fncji pisjącej przeaźni dla ( a a a j a a J > π Nietrdn zaważć, że gd a -a a t z pwższej zależnści trzmje się fncję pisjącą przeaźni dwpłżeniw z histerezą prz > a a e J j arcsin gdzie 4 ( ( α π α Natmiast gd a a a, t trzmje się fncję pisjącą przeaźni trójpłżeniw bez histerez 4 ( a f J π Jeżeli przjmie się a, t trzma się fncję pisjącą przeaźni dwpłżeniw J π 4 ( W tm przpad linearzacja harmniczna sprwadza się d zastąpienia charatersti f(e prstą przechdzącą przez pcząte współrzędnch e π 4 9/3

10 Przład Zbadać stabilnść ład reglacji atmatcznej sładająceg się z: przeaźnia dwpłżeniweg z histerezą parametrach, a.4 raz biet liniweg pisaneg transmitancją peratrwą: Gs ( : e 4 s s Charatersta amplitdw-fazwa liniwej części liniwej ład ( Re( G( j ω P ω ( : P ω cmplex simplif ( cs ( 4 ω sin( 4 ω ω ω ( Im( G( j ω Q ω ( : Q ω cmplex simplif ( sin( 4 ω cs ( 4 ω ω ω /3

11 Fncja pisjąca dla element nieliniweg jaim jest przeaźni ma pstać: Wres rtczn ma pstać gdzie:. P ( J ( J( : P ( jq ( 4 π π a π a : Q ( : 4 4 ( a ja Q( ω Q p ( Q p (.95 Q p (.4..4 Q p ( ( P p P ω, (, P p (.95, P p (.4 P p (., /3

12 UKŁDY REGULCJI DWUPOŁOŻENIOWEJ Uładem reglacji dwpłżeniwej będziem nazwać ład, w tórm wielść wjściwa reglatra mże przjmwać tl dwie stabilne wartści sgnał. Cechą charaterstczną ładów z reglatrem dwpłżeniwm (przeaźniwm są przede wszstim sclacje w stanie stalnm, reślane przez amplitdę, częsttliwść i wartść średnią tch sclacji. Parametr tch sclacji świadczą jaści reglacji i zależne są d własnści dnamicznch biet, d wartści sgnał włączneg przez przeaźni raz pętli histerez przeaźnia. Najlepsze rezltat daje zastswanie reglatrów dwpłżeniwch, w przpad bietów dżej inercji, dlateg najczęściej bwają stswane prz reglacji prcesów cieplnch, reglacji pzim ciecz w dżch rezerwarach itp. Przład (t - e(t Wznaczć przebieg staln dla ład z bietem i reglatrem dwpłżeniwm, jeżeli transmitancja biet ma pstać (t G(s (t h h G( s e s s natmiast charatersta statczna przeaźnia jest smetrczna w strefie histerez. t ( e( t /3

13 Wartść zadana m dla m < Przebiegi prces reglacji dla nastaw wielści zadanej, 5, 8 8 (t t {s} 3/3

14 h h max śr t a t sc t min t {s} Parametrami charaterstcznmi przebieg czasweg wielści reglwanej są: t, t, sc, max, min, śr raz średni chb staln i nieied czas t a. 4/3

15 t a. D wznaczenia czas t a rzstam z zależnści h e t a Przjmjąc m m h e stąd ta ln ( m h. P przerczeni wartści h wielść reglwana dalej wzrasta przez res czas siągając ( h e h m e max he 3. Prz zmniejszani się wartści, p przerczeni wartści - h następje dalsze zmniejszanie się wielści reglwanej przez res aż d siągnięcia min ( h e ( m h e min max 4. Wartść średnia sclacji stalnch wniesie.5 ( m. 5 śr e e śr śr e 5. Średni chb reglacji wniesie (.5 m 5/3

16 6. Dładnść dnamiczna he e Δ min max 7. Na pdstawie zależnści pisjącch przebieg zmian wielści reglwanej w przedziale d min d max wznacza się czas narastania t : ( ( e e min min min max ( ( h m e h m t ln 8. Na pdstawie zależnści pisjącch przebieg zmian wielści reglwanej w przedziale d max d min wznacza się czas padania t : ( [ ] h m e h m t ln 9. Czas sclacji stalnch t t sc 6/3

17 Na pdstawie zsanch zależnści wniają wnisi gólne: a wartść > max h b wartść min < h c wartść średnia śr mże bć więsza, równa lb mniejsza d wartści, zależnie d teg cz m <.5, m.5 lb m >.5, d średni chb reglacji e śr tl dla m.5; dla m <.5e śr > a dla m >.5, e śr < ; chb ten nie zależ d stref niejednznacznści (histerez przeaźnia, e czas narastania t i czas padania t są sbie równe tl dla m.5 raz t > i t > nawet prz h. Jaść reglacji jest zależna głównie d własnści dnamicznch biet. Strefa histerez ma w więszści przpadów wpłw niewieli. Reglacja dwpłżeniwa zapewnia dbre wnii dla bietów małm stsn późnienia d stałej czaswej. Jedna jż d wartści /. jaść reglacji jest niewiela. 7/3

18 SPOSOY KOREKCJI Najprstszm spsbem ppraw jaści reglacji dwpłżeniwej jest, np.. pdział mc grzejnej w tai spsób, że reglwana jest tl część mc prz pzstałej części włącznej na stałe. Prz teg tp recji zmniejsza się jedna efetwnść mpensacji załóceń. Wad tej nie mają inne spsb recji. Krecja szeregwa reglatr dwstawn PD Krecja szeregwa PD plega na włączeni przed przeaźniiem człn prprcjnalnróżniczjąceg transmitancji e r ( r s OIEK - Gr ( s r ( s r przez c zsje się wzrst częsttliwści przełączeń, a zatem zmniejszenie amplitd sclacji wielści reglwanej - rzrzt reglacji w stanie stalnm. Mżna w ten spsób zsać dwrtn wzrst częsttliwści przełączeń. 8/3

19 Krecjne sprzężenie zwrtne wół przeaźnia s e - OIEK - Przez recjne sprzężenie zwrtne wół przeaźnia twrz się w ładzie ddatw bwód drgając na wższej częsttliwści, linearzjąc własnści przeaźnia. Najczęściej w trze sprzężenia zwrtneg mieszczan jest człn inercjn pierwszeg rzęd transmitancji: ( R G s G ( s G ( s s r R ( G ( s s irąc pd wagę fat, że wzmcnienie sameg przeaźnia R jest bardz wielie, dnamię reglatra mżna reślić ja dwrtnść transmitancji sprzężenia zwrtneg, czli: Reglatr ma własnści reglatra PD, mając współcznni wzmcnienia p / i czas różniczwania D.. Warne ten jest spełnin prz stsnw dżch wzmcnieniach i małch stałch czaswch. Osłabienie sprzężenia przez zmniejszenie - czli wzrst wzmcnienia p reglatra PD mże dprwadzić d niestabilnści, c będzie się bjawiać przez sclacje wartści średniej wielści granicznej amplitdzie. 9/3

20 e - OIEK - s s - Reglatr dwstawn PID Reglatr dwstawn PD nie liwidje chb stalneg, ale pprawia jaść reglacji. Liwidację błęd w stanie stalnm zapewnia natmiast astatzm wnszn przez dwstawn reglatr tp PID. ransmitancja sprzężenia zwrtneg: ( s s s G Prz załżeni, że >, transmitancja reglatra ( ( s G s G r gdzie, ( lb ( n s s s G n s n n s n n s G D I p r r przjmje pstaci: /3

21 Dbór nastaw reglatra dwstawneg PID Nastaw reglatra dwstawneg mżna dbrać spsbem będącm dpwiedniiem metd Zieglera-Nichlsa dla reglatrów liniwch.. Włączć działanie recjne (, nastawić,5 max i zarejestrwać przebieg (t.. R e g la c ja d w s ta w n a sc.8 (t (t (t (th (t-h.6 Δ t {s}. Zmierzć res sclacji sc raz dładnść dnamiczną Δ (rzrzt reglacji. /3

22 3. Oreślić nastaw reglatra wedłg zależnści: p.75, Δ I sc 4Δ, max D Na pdstawie pwższch nastaw mżna wznaczć wzmcnienie i stałe czaswe człnów inercjnch w pętli sprzężenia wół przeaźnia: sc. n I,, D n n n p ( R e g la c ja d w s ta n wa.8 (t (t t {s} /3

23 . Reglacja dwstanwa.8 (t (t t {s} Reglacja dwstanwa.8 (t (t t {s} 3/3