Uchyb w stanie ustalonym

Transkrypt

1 Akademia Mrka w Gdyni atedra Atmatyki Okrętwej Teria terwania Uchyb w tanie talnym Matlab Mirław Tmera WPOWADZENIE Jedn z najważniejzych wymagań więkzści kładów terwania plega na tym aby w tanie talnym dpwiedź wyjściwa kład miała taką amą wartść jak ygnał wymzający (zadany) óżnica pmiędzy ygnałem wyjściwym, a zadanym nazywana jet chybem reglacji Aby frmłwać prblem w kntekście gólnym należy rzważyć kład terwania z pjedynczą pętlą jemneg przężenia zwrtneg, pkazany na rynk e(t) z(t) r(t) Skalwanie F( a(t) eglatr C( (t) Obiekt G( y(t) rektr y zm (t) Filtr D( Czjnik H( v(t) y Schemat blkwy typweg kład reglacji z pjedynczą pętlą jemneg przężenia zwrtneg, gdzie: r (t) ygnał zadany, (t) ygnał terwania, y (t) wyjście z biekt (wielkść reglwana), e (t) ygnał chyb = r(t) y(t), a (t) ygnał wyknawczy, y zm (t) pmierzna wielkść reglwana, D ( tranmitancja filtr, H ( tranmitancja czjnika, C ( tranmitancja reglatra, F ( przetwarzanie ygnał wejściweg (zadaneg), z (t) zakłócenia działające na biekt, v (t) zmy pmiarwe e(t) r(t) a(t) F(C( (t) G( y(t) D(H( F( y Uprzczny chemat blkwy typweg kład z pjedynczą pętlą Otatnia aktalizacja: -- M Tmera

2 W dalzych rzważaniach przyjęt F ( C( D( i kład z rynk prwadzny ztał d ptaci pkazanej na rynk e(t) r(t) a(t) G( y(t) H( y Schemat blkwy zamknięteg kład terwania z niejedntkwym przężeniem zwrtnym Układ z rynk mże ztać przekztałcny d ptaci z jedntkwym przężeniem zwrtnym, wówcza tranmitancja blk znajdjąceg ię w trze głównym przyjmie ptać ( G( G( H ( G( () c pkazane ztał na rynk r(t) ( e(t) = a(t) E( G( +G(H(-G( y(t) Y( y Przekztałcny chemat blkwy kład terwania z niejedntkwym przężeniem ANALIZA UCHYBOWA UŁADU Z JEDNOSTOWYM SPZĘŻENIEM ZWOTNYM zważny ztanie kład z jedntkwym przężeniem zwrtnym, który mże być reprezentwany przez przczny chemat pkazany na rynk r(t) e(t) = a(t) ( y(t) y Schemat blkwy kład reglacji z jedntkwym przężeniem zwrtnym Uchyb w tanie talnym dla teg kład (ry ) mże ztać zapiany natępjąc e lim e( t) t lim E( ( lim G ( ) () TYPY UŁADÓW STEOWANIA Jane jet, że e zależy d tranmitancji G( Bardziej zczegółw mżna pwiedzieć, że e zależy d liczby biegnów tranmitancji G( znajdjących ię w =, która t liczba nazywana jet typem kład terwania Typ kład wyznacza ię z tranmitancji G( znajdjącej ię w trze bezpśrednim Ogólnie G( mże ztać wyrażne w ptaci natępjącej tranmitancji gdzie: G z )( z )( z ) m T e ( () N ( p)( p )( pn ) wzmcnienie, z i zera tranmitancji, p i biegny tranmitancji, T późnienie Otatnia aktalizacja: -- M Tmera

3 Typ kład z jedntkwym przężeniem zwrtnym dni ię d biegna tranmitancji G( w = Układ mający tranmitancję pianą wzrem (8) jet typ N, gdzie N =,,, Z pnkt widzenia typ kład nie jet ważna liczba czynników w licznik i mianwnik raz wartści wpółczynników, tylk liczba biegnów w = Pniżze przykłady iltrją typ kład kreślany na pdtawie tranmitancji ( Przykład ) ( ( )( ) kład typ () ) ( kład typ () UCHYB W STANIE USTALONYM W UŁADZIE Z SYGNAŁEM ZADANYM O POSTACI FUNCJI SOOWEJ Sygnał zadany w kładzie z rynk ma ptać fnkcji kkwej amplitdzie, r ( t) ( t) gdzie jet tałą rzeczywitą, wówcza tranfrmata peratrwa teg ygnał w tanie talnym mże ztać zapiany natępjąc w parci wzór () Dla łatwienia, zdefinijmy ( i chyb ( e lim lim G ( G ( lim G ( () p lim ( () gdzie p ni nazwę tałej chyb pzycyjneg i wówcza równanie () z któreg liczy ię chyb w tanie talnym dla teg przypadk przyjmje natępjącą ptać e p () UCHYB W STANIE USTALONYM W UŁADZIE Z SYGNAŁEM ZADANYM O POSTACI FUNCJI LINIOWO NAASTAJĄCEJ iedy ygnałem zadanym d kład z rynk jet fnkcja liniw naratająca w czaie amplitdzie, r ( t) t ( t) gdzie jet tałą rzeczywitą, tranfrmata Laplace'a r(t) ma ptać w tanie talnym zapiany w parci wzór () ( i wówcza chyb ( e lim lim G ( G ( lim G ( (7) i p zdefiniwani tałej chyb prędkściweg v v lim ( (8) Otatnia aktalizacja: -- M Tmera

4 równanie (7) przyjmje natępjącą ptać e v (9) W parci wzór (9) liczy ię chyb w tanie talnym dla przypadk kiedy ygnał zadany ma ptać fnkcji liniw naratającej w czaie UCHYB W STANIE USTALONYM W UŁADZIE Z SYGNAŁEM ZADANYM O POSTACI PAABOLI iedy ygnał zadany pdany na wejście kład reglacji ma ptać tandardwej fnkcji parablicznej ptaci r ( t) t ( t) gdzie jet tałą rzeczywitą, tranfrmata Laplace'a r(t) ma ptać talnym dla kład z rynk przyjmje ptać e ( lim lim G ( G ( lim G ( ) Definijąc tałą chyb przyśpiezeniweg jak Uchyb w tanie talnym przyjmje natępjącą ptać ( Uchyb w tanie () lim a G ( () e a () W tabeli zebrane ztały, typy kładów w dnieieni d równania () i rdzajów ygnałów wejściwych Trzeba zaznaczyć, że wniki te będą pprawne, jeśli kład zamknięty jet tabilny Tabela Wartści chybów w tanie talnym dla kład ze przężeniem jedntkwym Typ kład N Stałe chyb p v a Wejście kkwe Uchyb w tanie talnym e p Wejście liniw naratające v Wejście parabliczne p v a a Otatnia aktalizacja: -- M Tmera

5 Pniżej w pnktach wymienine ztały przypadki w których mże być twana pwyżza analiza dtyczącą tałych chyb Stałe p, v, a ą mżliwe d zatwania tylk wówcza, gdy na wejście pdany jet jeden z natępjących ygnałów: kkwy, liniw naratający w czaie, parabliczny Stałe chyb zdefiniwane ztały w dnieieni d tranmitancji G ( znajdjącej ię w trze bezpśrednim, metda ta jet d zatwania tylk d knfigracji kład pkazanej na rynk Włanści dtyczące chyb w tanie talnym, zebrane w tabeli, dtyczą tylk i wyłącznie kład ze przężeniem jedntkwym Uchyb kład w tanie talnym z wejściem na które pdan ygnał będący liniwą kmbinacją trzech pdtawwych typów mże ztać kreślny przez perpzycję chybów dpwiedni na każdy kładnik wejściwy iedy chyb w tanie talnym jet niekńczny, wówcza chyb narata ciągle w czaie i metdami tałych chyb nie da ię kreślić jak chyb ten zmienia ię w czaie Jet t jedna z wad metdy tałych chyb Metda tałych chyb nie mże ztać zatwana d kładów w których na wejście pdan ygnały inidalne, gdyż w takich przypadkach nie mżna twać twierdzenia wartści kńcwej Pniżze przykłady ziltrją zatwanie tałych chyb i ich wartści w kreślani chybów w tanie talnym dla liniwych kładów terwania z jemnym jedntkwym przężeniem zwrtnym Przykład W kładzie z rynk wyznaczyć chyb w tanie talnym pjawiający ię w kładzie p pdani ygnał zadaneg ptaci fnkcji r ( t) t ( t) Tranmitancja peratrwa: ( ) L ( G ( () ( )( ) M ( związanie W pierwzej klejnści należy prawdzić czy kład tranmitancji () w trze bezpśrednim będzie tabilny W tym cel należy wyznaczyć tranmitancję zatępczą całeg kład L ( T ( G ( G ( M ( L ( M ( ównanie charakterytyczne kład M L ( ( L ( 7 () M ( 7 () Układ ten będzie tabilny jeśli wzytkie pierwiatki równania charakterytyczneg będą znajdwały ię w lewej półpłazczyźnie Przy życi MATLABA łatw t prawdzić przy życi fnkcji rt >> rt([ 7 ]) an = i i - Otatnia aktalizacja: -- M Tmera

6 Z rzwiązania widać, że wzytkie pierwiatki znajdją ię w lewej półpłazczyźnie, czyli kład ten jet tabilny Sygnał zadany ma ptać fnkcji liniw naratającej amplitdzie =, dlateg też chyb w tanie talnym wyznaczany będzie ze wzr () D teg wzr ptrzebne jet wyznaczenie tałej chyb prędkściweg ( ) v lim G ( lim ( )( ) () i chyb w tanie talnym ma wartść v e () v Przykład Dla kład z rynk 8 7 ( E( Y( 7 y Schemat blkwy kład reglacji z jedntkwym przężeniem zwrtnym wyznacz chyb w tanie talnym pjawiający ię w kładzie reglacji p pdani za wejście ygnał zadaneg ptaci fnkcji r ( t) t ( t) Przy życi kryterim tha prawdź zakre trjneg parametr dla któreg kład ten jet tabilny i zykany wynik jet pprawny związanie Najpierw wyznaczna ztanie tranmitancja w trze bezpśrednim przy życi regły wzmcnień Mana ) ( () 7 ( 7 ) Sygnał zadany ma ptać fnkcji parablicznej r ( t) t ( t) t ( t) () Otatnia aktalizacja: -- M Tmera

7 czyli amplitda teg ygnał wyni = Uchyb w tanie talnym dla ygnałów zadanych ptaci fnkcji parablicznej wyznaczany jet ze wzr (), wymaga n jednak wcześniejzeg wyznaczenia tałej chybwej a lim a ) G ( lim () ( 7 ) i wartść chyb w tanie talnym e a Uchyb w tanie talnym będzie wynił dkładnie tyle ile wynika ze wzr () jeśli kład z rynk będzie tabilny i dlateg też teraz należy prawdzić dla jakieg zakre parametr trjneg kład z rynk będzie tabilny Sprawdzenie t ztanie wyknane przy życi kryterim tha W tym cel najpierw należy znaleźć tranmitancję kład zamknięteg L ( G ( M ( L ( T( G L ( ( ) M ( L ( M ( ównanie charakterytyczne kład z rynk ( 7) ( ) ) () () ( 7) ( ) () Tablica tha Układ ten będzie tabilny jeśli wzytkie elementy pierwzej klmny mają wartść więkze d zera, daje t cztery warnki na parametr trjny : + 7 > > (7) > > P rzwiązani kład czterech nierównści (7) kazje ię, że kład reglacji z rynk będzie tabilny gdy (8) UCHYB W STANIE USTALONYM W UŁADACH Z NIEJEDNOSTOWYM SPZĘŻENIEM ZWOTNYM Badanie chyb w tanie talnym dla kład z niejedntkwym przężeniem zwrtnym wedłg chemat blkweg z rynk mżna prwadzić d badania kład z jedntkwych przężeniem Otatnia aktalizacja: -- M Tmera 7

8 zwrtnym przekztałcając chemat z rynk d ptaci z rynk Dla kład z rynk mżna twać wzytkie te wzry, które wyprwadzne ztały w rzdziale dla kład z jedntkwym przężeniem zwrtnym Przykład Układ pkazany na rynk ma natępjące tranmitancje: G ( H ( () wyznacz chyb w tanie talnym pjawiający ię w kładzie p pdani ygnał zadaneg ptaci fnkcji r ( t) ( t) związanie Tranmitancja kład w trze bezpśrednim p przekztałceni g d ptaci z rynk jet natępjąca: G( ( ) ( () G( H ( G( ( 7) Sygnał zadany ma ptać fnkcji kkwej amplitdzie = i dlateg też chyb w tanie talnym wyznaczany będzie ze wzr (), wymaga n jednak wcześniejzeg wyznaczenia tałej chybwej p ( ) p lim G ( lim ( 7) Uchyb w tanie talnym e p () () Zakre trjneg parametr w którym kład ten jet tabilny mżna wyznaczyć przy pmcy dwlneg kryterim badania tabilnści, ttaj zadanie t ztanie wyknane przy życi kryterim tha ównanie charakterytyczne kład z przykład () W tym przypadk nie trzeba nawet bdwać tablicy tha, wytarczy krzytać z warnk knieczneg, które mówi, że kład jet tabilny jeśli wzytkie wpółczynniki równania charakterytyczneg będą więkze d zera Daje t warnek + > () Wyniki te ą pprawne jeśli wartść parametr trjneg znajdje ię wewnątrz zakre dpwiadająceg tabilnem kładwi zamkniętem, czyli 8 < < ĆWICZENIA W MATLABIE M Dla kład z rynk kreśl typy kładów i wyznacz dpwiednie tałe chybwe raz pwtające chyby w tanie talnym p pdani na wejście natępjących ygnałów zadanych ptaci fnkcji: ) kkwej: r(t) = 8 ( t ) ; ) liniw naratającej: r(t) = t ( t) ; ) parablicznej: r(t) = t ( t) Dla natępjących tranmitancji w trze bezpśrednim: Otatnia aktalizacja: -- M Tmera 8

9 a) ( ( ( ) )( ) f) ( ( ) ( ) 8 b) G ( 8 7 c) ( 7 ( ) d) ( 7 e) G ( 8 ( ) g) h) G ( ( ( )( ( 7 Uwaga: Sprawdź, czy badane kłady ze przężeniem jedntkwym ą tabilne ) ) M Dla pniżzych kładów reglacji wyznacz chyb w tanie talnym p pdani na wejście kład ygnał zadaneg r(t) Przy życi kryterim tha wyznacz zakre parametr dla któreg te dpwiedzi ą pprawne i kład jet tabilny a) r(t) = t ( t) ( E( Y( 9 7 b) r(t) = t ( t) ( E( Y( Otatnia aktalizacja: -- M Tmera 9

10 c) r(t) = t ( t) ( E( Y( d) r(t) = ( t ) ( E( Y( 7 e) r(t) = ( t ) ( E( Y( f) r(t) = t ( t) ( E( Y( Otatnia aktalizacja: -- M Tmera

11 g) r(t) = ( t ) ( E( Y( h) r(t) = t ( t) ( E( Y( i) r(t) = t ( t) ( E( Y( j) r(t) = ( t ) ( E( 8 Y( Otatnia aktalizacja: -- M Tmera

12 k) r(t) = ( t ) 9 ( E( Y( l) r(t) = t ( t) 7 ( E( Y( M Znajdź chyby w tanie talnym dla kładów bjętych niejedntkwym przężeniem zwrtnym p pdani na wejście trzech pdtawwych wymzeń jedntkwych ( = ) kkweg, liniw naratająceg i parabliczneg (t /)(t) Wyznacz zakre parametr dla któreg te dpwiedzi ą pprawne a) b) c) d) G ( H ( G ( H ( ( ) G( G ( ( ( ) ) ) H ( ( H ( ) e) G ( H ( f) G ( H ( ) ( ) g) G ( ) ; H ( h) ) G ( ; ( )( ) H ( ( ) 7 M Dla kład bjęteg niejedntkwym przężeniem zwrtnym pkazaneg na rynk, wyznacz chyby w tanie talnym dla pniżzych tranmitancji i ygnałów zadanych a) G ( ( ) H ( Sygnały zadane: ) r(t) = ( t ), ) r(t) = t ( t), ) r(t) = t ( t) b) G ( ( )( ) ( ) H ( Otatnia aktalizacja: -- M Tmera

13 Sygnały zadane: ) r(t) = ( t ), ) r(t) = t ( t), ) r(t) = t ( t) c) d) e) f) G ( ( ) H ( Sygnały zadane: ) r(t) = ( ) G ( ( ( )( ) ) H ( t, ) r(t) = t ( t), ) r(t) = t ( t) ( Sygnały zadane: ) r(t) = ( ) G ( ( )( ) H ( ) t, ) r(t) = t ( t), ) r(t) = t ( t) Sygnały zadane: ) r(t) = ( t ), ) r(t) = t ( t), ) r(t) = t ( t) G ( ( ( )( ) ) H ( Sygnały zadane: ) r(t) = ( t ), ) r(t) = t ( t), ) r(t) = t ( t) ODPOWIEDZI DO WYBANYCH ĆWICZEŃ M a) Układ typ ; ) p, e, ) v, e, ) a, e b) Układ typ ; ) p, e, ) v, ) a, e, e c) Układ typ ; ) p, e, ) v, e, ) a, e d) Układ nietabilny Niezależnie d rdzaj ygnał zadaneg, chyb zawze będzie dążył d niekńcznści e) Układ typ ; ) p, e ; ) v, e ; ) a, e ; f) Układ typ ; ) p, e, ) v, e, ) a, e g) Układ typ ; ) p, e, M ) v, e, ) a, e h) Układ typ ; ) p, e ; a) b) c) d) ) v, e ; ) a, e ; ( 9 7 p, e ; Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: < < 8 ( v, ( e ; ) Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: < < 87 ( ( a, ) ) 8 e ; Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: > 8 ( 7 ) ) Otatnia aktalizacja: -- M Tmera

14 e) f) p, e ; Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: < < 87 ( p (, e ; ) Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: < < ( ( ) ) v, e ; Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: < < g) ( p, h) i) ) e ; 8 ) Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: 8 < < ( ( ) ) v, e ; Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: < < 7 ( v (, e ; ) ) Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: < < 8 8 ) j) ( p, e ; 8 Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: 89 < < k) ( 9, e ; p l) Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: 8 < < M ( a, ( e ; 7 Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: < < a) ( ) ( ) Układ typ ; ) p, e ; ) v, e ; ) a, e ; Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: < < b) G ( Układ typ ; ) p, e ; ) v, e ; ) a, e ; Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: < < c) d) G ( 7 ) Układ typ ; ) p, e ; ) ) ) v, e ; ) a, e ; Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: < < G ( )( Układ typ ; ) p, e ; ) ) v, e ; ) a, e ; Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: < < Otatnia aktalizacja: -- M Tmera

15 e) f) G ( ( ) ) Układ typ ; ) p, e ; ) v, e ; ) a, e ; Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: < < ( ( ) ( ) ( ) Układ typ ; ) p, e ; ) v, e ; ) a, e ; Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: < < g) G h) G ( Układ typ ; ) p, ( ) e ; ( ) ) ) v, e ; ) a, e ; Wyniki te ą pprawne jeśli parametr trjny zawiera ię w zakreie: < < ( Układ typ ; 9 ( ) ) M ) p 7, e ; ) v, e ; ) a, e ; Układ tabilny gdy zawiera ię w zakreie: < < a) ( Układ typ ; Układ nietabilny 8 b) ( Układ typ ; c) 7 8 G ( Układ typ ; d) G ( Układ typ ; 8 8 e) ( Układ typ ; f) ( Układ typ ; 7 LITEATUA Franklin GF, Pwell JD, Emami-Naeini A: Feedback Cntrl f Dynamic Sytem Addin-Weley Pblihing Cmpany, 98 Htetter, CJ Savant, T Stefani T: Deign f Feedback Cntrl Sytem, Sander Cllege Pblihing, 989 B C: Atmatic Cntrl f Dynamic Sytem, 7th ed, Addin-Weley & Sn Inc, 99 Otatnia aktalizacja: -- M Tmera