Rozwłóknienie Milnora i twierdzenie Picarda-Lefschetza

Transkrypt

1 Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Aleksander Doan Nr albumu: Rozwłóknienie Milnora i twierdzenie Picarda-Lefschetza Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana pod kierunkiem dra hab. Marcina Bobieńskiego Instytut Matematyki UW Wrzesień 2012

2 Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kierującego pracą Oświadczenie autora (autorów) pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora (autorów) pracy

3 Streszczenie Praca zawiera systematyczne omówienie dwóch fundamentalnych konceptów teorii osobliwości odwzorowań holomorficznych: rozwłóknienia Milnora oraz zjawiska monodromii. Pierwsza część poświęcona jest równoważnym definicjom rozwłóknienia Milnora oraz topologii włókna, wraz z podstawowymi własnościami liczby Milnora, opisem zaburzenia morse owskiego, twierdzeniem Milnora-Brieskorna o cyklach znikających i jego demonstracją na przykładzie hipereliptycznym. Następnie przedstawiony zostaje pełny dowód twierdzenia Picarda-Lefschetza oraz jego konsekwencje. Słowa kluczowe cykle znikające, monodromia, rozwłóknienie Milnora, twierdzenie Picarda-Lefschetza 11.1 Matematyka Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus) Klasyfikacja tematyczna 2010 Mathematics Subject Classification 14D05 Structure of families (Picard-Lefschetz, monodromy, etc.) 32S30 Deformations of singularities; vanishing cycles 58K05 Critical points of functions and mappings 58K10 Monodromy Tytuł pracy w języku angielskim The Milnor fibration and the Picard-Lefschetz theorem

4

5 Spis treści Wprowadzenie Rozwłóknienie Milnora Konstrukcje rozwłóknienia Milnora Liczba Milnora Zaburzenie morse owskie Cykle znikające Twierdzenie Picarda-Lefschetza Operator monodromii Dowód twierdzenia Komentarze Uzupełnienia Zbiory algebraiczne Rozwłóknienia

6

7 Wprowadzenie Niniejsza praca poświęcona jest systematycznemu omówieniu podstawowych pojęć i rezultatów teorii osobliwości odwzorowań holomorficznych. Centralnym przedmiotem badań tej teorii są punkty krytyczne funkcji analitycznych wielu zmiennych zespolonych f : C n C, a dokładniej opis funkcji oraz jej poziomic f 1 (c) w otoczeniu takich punktów. Zagadnienia tego typu okazują się niezwykle ciekawe i powiązane z wieloma innymi problemami matematyki, pochodzącymi z geometrii algebraicznej, topologii czy teorii równań różniczkowych. W pracy omówimy wprowadzone przez J. Milnora w klasycznej pracy [M] niezmienniki stowarzyszone z osobliwością, w tym nazwane później jego imieniem rozwłóknienie. Następnie opiszemy zjawisko monodromii oraz ważne twierdzenie Picarda-Lefschetza, które pozwala powiązać je z innym istotnym niezmiennikiem topologicznym formą przecięcia. Zaznaczmy, że będziemy zajmować się wyłącznie izolowanymi punktami osobliwymi. Ponadto, ponieważ interesuje nas zachowanie się funkcji jedynie w pewnym otoczeniu punktu krytycznego, problem można zlokalizować i obiektem naszych badań będą w gruncie rzeczy kiełki funkcji holomorficznych f : (C n, 0) C. Wreszcie, wśród wszystkich funkcji analitycznych ograniczymy się do funkcji wielomianowych. Twierdzenie Tougerona (patrz [Ż]) gwarantuje, że w istocie ograniczenie to jest pozorne i w żaden sposób nie zmniejsza ogólności otrzymanych rezultatów. Należy podkreślić, że wszystkie omówione w niniejszej pracy rezultaty należą obecnie do klasyki dziedziny. Praca Milnora została opublikowana w 1968 r., natomiast wzory Picarda- Lefschetza zostały w dzisiejszej ogólności podane przez Lefschetza już w 1924 r. Tym bardziej interesującym jest fakt, że idee te wciąż są żywe i znajdują zastosowanie w problemach współczesnej matematyki. W 1973 r. P. Deligne i N. Katz zaadaptowali je na potrzeby geometrii nad ciałami charakterystyki dodatniej, a następnie wykorzystali w dowodzie hipotez Weila. Z drugiej strony, pod koniec XX wieku S. K. Donaldson wykorzystał teorię Picarda-Lefschetza oraz tzw. pęki Lefschetza w geometrii symplektycznej. Badania w tej dziedzinie są wciąż prowadzone, lecz omówienie tych rezultatów przekraczałoby zarówno ramy niniejszej pracy, jak i kompetencje autora. Układ pracy jest następujący: w rozdziale pierwszym przedstawiamy różne definicje rozwłóknienia Milnora i omawiamy związki między nimi. Następnie wprowadzamy pojęcie liczby Milnora punktu krytycznego i dowodzimy najważniejszych jej własności. Dalsza część rozdziału poświęcona jest opisowi grup homologii włókna rozwłóknienia Milnora w terminach cykli znikających. W rozdziale drugim przedstawiony został wraz ze wszystkimi szczegółami dowód twierdzenia Picarda-Lefschetza, poprzedzony niezbędnymi definicjami operatora monodromii oraz innych odwzorowań określonych na grupach homologii włókna Milnora. Rozdział trzeci zawiera podstawowe definicje i twierdzenia z zakresu geometrii algebraicznej i topologii, które zostały istotnie wykorzystane w poprzednich częściach pracy. Autor pragnie serdecznie podziękować dr. hab. Marcinowi Bobieńskiemu za zainteresowanie, cenne uwagi oraz wszelką okazaną pomoc. 5

8

9 Rozdział 1 Rozwłóknienie Milnora 1.1. Konstrukcje rozwłóknienia Milnora Niech f : C n C będzie wielomianem n zmiennych zespolonych. Przedmiotem naszych rozważań będzie hiperpowierzchnia V = f 1 (0). Podstawowe fakty dotyczące zbiorów algebraicznych, z których będziemy korzystać, można znaleźć w uzupełnieniu 3.1. Przypomnijmy tylko, że przez df oznaczamy zespoloną 1-formę df = f z 1 dz f z n dz n, a z V nazywamy punktem osobliwym hiperpowierzchni V, gdy df(z) = 0, czyli, innymi słowy, f/ z 1 (z) =... f/ z n (z) = 0. Zbiór punktów osobliwych V oznaczamy przez Σ(V ). Wówczas V \Σ(V ) jest rozmaitością zespoloną wymiaru n 1 (patrz uzupełnienie 3.1). Interesuje nas topologia V w otoczeniu izolowanego punktu osobliwego x 0 V. Bez straty ogólności będziemy dalej zakładać, że x 0 = 0. Zgodnie z ideą przedstawioną we wprowadzeniu będziemy rozważać zbiór K = S ɛ V, gdzie S ɛ = {x C n x = ɛ} jest (2n 1)-wymiarową sferą w C n = R 2n o dostatecznie małym promieniu ɛ. Poniższy lemat precyzyjnie określa, co przez to rozumiemy. Lemat 1.1. Istnieje stała ρ > 0 o tej własności, że dla każdego 0 < ɛ ρ sfera S ɛ przecina V transwersalnie wzdłuż gładkiej (2n 3)-wymiarowej rozmaitości K. Dowód. Niech f = f 1 +if 2. Wówczas V jest rzeczywistym zbiorem algebraicznym w C n = R 2n zadanym równaniami f 1 = f 2 = 0. Rozważmy funkcję r(x) = x 2. Obcięcie funkcji wielomianowej r do gładkiej rozmaitości V \Σ(V ) ma skończenie wiele wartości krytycznych (patrz wniosek 3.2, uzupełnienie 3.1), więc każda liczba ɛ 2 > 0 mniejsza od najmniejszej dodatniej wartości krytycznych r V \Σ(V ) będzie wartością regularną, a jej przeciwobraz r 1 (ɛ 2 ) (V \Σ(V )) = S ɛ (V \Σ(V )) będzie gładką rozmaitością. Ponieważ x V \Σ(V ) jest punktem regularnym r V \Σ(V ) dokładnie wtedy, gdy różniczki dr(x), df 1 (x), df 2 (x) są liniowo niezależne (patrz stwierdzenie 3.1, uzupełnienie 3.1), przecięcie to będzie transwersalne. Co więcej, dla dostatecznie małych ɛ zachodzi S ɛ (V \Σ(V )) = S ɛ V = K, bo 0 jest izolowanym punktem osobliwym V. 7

10 Wniosek 1.1. Istnieje δ > 0 taka, że dla każdego z C, z < δ oraz ɛ ρ przecięcie f 1 (z) S ɛ jest transwersalne. Dowód. Z dowodu lematu 1.1 wiemy, że dla każdego x V S ɛ formy dr(x), df 1 (x), df 2 (x) są liniowo niezależne. Liniowa niezależność oznacza niezerowanie się pewnych minorów, jest więc warunkiem otwartym i dla każdego x V S ɛ istnieje otoczenie U x w S ɛ, na którym formy dr, df 1, df 2 są liniowo niezależne. Zbiór V S ɛ jest zwarty, możemy więc dobrać jego pokrycie składające się ze skończenie wielu takich otoczeń. Oznaczmy przez U ich przecięcie. U jest otwartym otoczeniem V S ɛ = f 1 (0) S ɛ w S ɛ. Pokażemy, że dla dostatecznie małych z zachodzi f 1 (z) S ɛ U. Istotnie, gdyby istniał ciąg x 1, x 2, x 3,... w S ɛ \U taki, że f(x m ) 0, to przechodząc do podciągu zbieżnego do x 0 S ɛ \U otrzymalibyśmy sprzeczność, bo f(x 0 ) = 0, x 0 / f 1 (0). Istnieje wobec tego δ > 0 taka, że dla z < δ zachodzi f 1 (z) S ɛ U, co oznacza, że dla każdego x f 1 (z) S ɛ formy dr(x), df 1 (x), df 2 (x) są liniowo niezależne, a więc przecięcie jest transwersalne. Niech K = S ɛ V. Rozwazmy odwzorowanie φ : S ɛ \K S 1 określone następująco: φ(x) = f(x) f(x). (1.1) Twierdzenie Milnora o rozwłóknieniu. Dla każdego dostatecznie małego ɛ odwzorowanie φ : S ɛ \K S 1 jest lokalnie trywialnym, gładkim rozwłóknieniem. Domknięcie F θ każdego z włókien F θ = φ 1 (e iθ ) jest gładką (2n 2)-wymiarową rozmaitością z brzegiem, której wnętrzem jest F θ, a brzegiem K. Rozwłóknienie φ było rozważane przez Milnora w pracy [M], w której można znaleźć szczegółowy dowód powyższego twierdzenia. Dla naszych celów ważniejsza będzie jednak inna, podobna konstrukcja, w której sfera zostaje zastąpiona kulą, a okrąg dyskiem. Niech ρ > 0 i δ > 0 będą liczbami dobranymi zgodnie z lematem 1.1 i wnioskiem 1.1. Wprowadźmy oznaczenia D δ = {z C z < δ}, B ρ = {x C n x ρ}, Rozważmy przekształcenie f obcięte do E U = D δ \{0}, E = f 1 (U) B ρ. f : E U. (1.2) Twierdzenie 1.1. Odwzorowanie f : (E, E) U jest lokalnie trywialnym, gładkim rozwłóknieniem pary. Definicje lokalnie trywialnego rozwłóknienia i lokalnie trywialnego rozwłóknienia pary są przypomniane w uzupełnieniu 3.2. Definicja. Zarówno φ : S ɛ \K S 1, jak i f : (E, E) U określa się mianem rozwłóknienia Milnora. Będziemy używali przede wszystkim drugiego z nich. Dowód twierdzenia 1.1. Wykorzystamy twierdzenie Ehresmanna (patrz uzupełnienie 3.2). Dla dowolnego zbioru zwartego K U przeciwobraz f 1 E (K) = f 1 (K) B ρ jest zwarty jako domknięty podzbiór kuli B ρ, co oznacza, że f E jest odwzorowaniem właściwym. Pozostaje sprawdzić, że f E oraz f E są submersjami. Wnętrze Int E jest otwartym podzbiorem C n. Jeśli x Int E, to x jest punktem regularnym f, tzn. df(x) 0, a więc f jest submersją w punkcie x (por. lemat 3.1 w uzupełnieniu 3.1). 8

11 Zauważmy, że brzeg E = f 1 (U) S ρ jest otwartym podzbiorem sfery S ρ i wobec doboru ρ dla każdego x E sfera S ρ przecina się z rozmaitością f 1 (f(x)) transwersalnie, co oznacza, że x jest punktem regularnym f Sρ, a f E jest submersją w x. Na koniec paragrafu porównajmy oba rozwłóknienia Milnora. Okazuje się, że są one w pewnym sensie izomorficzne. Zauważmy jednak, że włóknem klasycznego rozwłóknienia Milnora φ : S ɛ \K S 1 jest rozmaitość otwarta F θ, podczas gdy włóknem rozwłóknienia f : E U jest zwarta rozmaitość z brzegiem. By porównać oba rozwłóknienia, musimy przeprowadzić następującą konstrukcję. Niech T = { f < α} S ɛ będzie małym otoczeniem tubularnym K w S ɛ. Rozważmy obcięcie φ : S ɛ \T S 1. (1.3) Twierdzenie 1.2. Odwzorowanie φ : S ɛ \T S 1 oraz obcięcie f : E C do małego okręgu C U o środku w zerze zadają izomorficzne wiązki nad S 1. Dowód można znaleźć w [M]. Skoncentrujmy się tymczasem na badaniu wiązki f : E U Liczba Milnora Milnor opisał topologię włókna wiązki f : E U, dowodząc, że z dokładnością do homotopijnej równoważności wyznacza ją jedna liczba określająca stopień zdegenerowania punktu krytycznego. W niniejszym paragrafie przedstawimy definicję oraz omówimy podstawowe własności tego niezmiennika osobliwości. Rozważmy dla przykladu przypadek jednowymiarowy. Przykład. Niech P C[z] będzie wielomianem, a a C jego punktem krytycznym. Możemy wówczas określić krotność punktu krytycznego a jako liczbę k taką, że P (a) = P (a) =... = P (k) (a) = 0 oraz P (k+1) (a) 0. Wówczas istnieje wielomian Q C[z] taki, że P (z) = (z a) k Q(z) oraz Q(a) 0. Zauważmy, że krotność ma następującą interpretację topologiczną. Niech C będzie małym okręgiem wokół a. Wówczas stopień przekształcenia C z P (z) P (z) S1 jest równy dokładnie k. Nietrudno to zauważyć, ponieważ Q nie zeruje się w otoczeniu a, więc P / P na C jest homotopijne z (z/ z ) k. Powyższy przykład pozwala w naturalny sposób uogólnić pojęcie krotności punktu krytycznego na przypadek wyżej wymiarowy. Definicja. Niech g : C n C n będzie odwzorowaniem holomorficznym. Załóżmy, że punkt a C n będzie izolowanym zerem g. Krotnością zera a nazywamy indeks g traktowanego jako pole wektorowe g : R 2n R 2n w punkcie a. Innymi słowy, jest to stopień odwzorowania z g(z)/ g(z) z dostatecznie małej sfery S 2n 1 (a, ɛ) = {z C n z a = ɛ} w sferę jednostkową S 2n 1. Dla nas interesujący będzie następujący przypadek. Niech f : C n C będzie wielomianem, a a C n jego izolowanym punktem krytycznym. Krotnością lub liczbą Milnora punktu krytycznego a nazywamy krotność a jako zera odwzorowania holomorficznego Df : C n C n określonego wzorem [ f Df =,..., f ]. z 1 z n 9

12 Zauważmy, że a priori indeks pola wektorowego w punkcie może być dowolną liczbą całkowitą, na przykład zerem lub liczbą ujemną. Okazuje się jednak, że tak określona krotność zera zachowuje własności dobrze znane z teorii funkcji analitycznych jednej zmiennej, w szczególności jest zawsze liczbą dodatnią. Dalszą część paragrafu poświęcimy dowodowi tego oraz innych twierdzeń dotyczących krotności, z których będziemy dalej korzystać. Zasada argumentu. Niech D C n będzie zwartym obszarem z gładkim brzegiem D. Załóżmy, że przekształcenie holomorficzne g : C n C n nie zeruje się na D i ma skończenie wiele zer we wnętrzu D. Wówczas liczba zer g w D, liczonych z krotnościami, jest równa stopniowi odwzorowania z g(z)/ g(z) z brzegu D w sferę jednostkową. Dowód. Otoczmy zera g wewnątrz D małymi, rozłącznymi kulami D 1, D 2,..., D m. Niech F oznacza D z wyciętymi wnętrzami kul D i. F jest zwartą rozmaitością z brzegiem F = D ( D 1 )... ( D m ), gdzie znak minusa oznacza przeciwną orientację (na wnętrzach F, D oraz D i rozpatrujemy orientację odziedziczoną z C n, która wyznacza również jednoznacznie orientację brzegów). Na F mamy dobrze określone odwzorowanie ψ = g/ g : F S 2n 1. Oznaczmy przez ω formę objętości na S 2n 1.Wobec dω = 0 i twierdzenia Stokesa 0 = F ψ (dω) = F d (ψ ω) = F ψ ω = D ψ ω m i=1 D i ψ ω. Wykorzystując charakteryzację stopnia odwzorowania jako całkę z cofnięcia formy objętości (patrz np. [Mo]), otrzymujemy ) deg (ψ D = m i=1 ) deg (ψ Di. (Przedstawiliśmy w gruncie rzeczy dowód faktu, że przekształcenie obcięte do dwóch homologicznych cykli ma ten sam stopień). Stopień przekształcenia ψ Di jest z definicji równy krotności zera g zawartego wewnątrz D i. Twierdzenie Rouchégo. Niech g, r : C n C n będą odwzorowaniami holomorficznymi, a M C n zamkniętą, (2n 1)-wymiarową podrozmaitością gładką. Jeśli g nie zeruje się na M oraz r < g na M, to odwzorowania (g + r)/ g + r oraz g/ g z M w sferę jednostkową mają ten sam stopień. W szczególności, jeśli M = D ogranicza zwarty obszar D i oba odwzorowania mają skończenie wiele zer wewnątrz D, to liczby ich zer w D liczonych z krotnościami są równe. Uwaga. Założenia w drugiej części twierdzenia można osłabić. W istocie z twierdzenia 1.3, które udowodnimy dalej, wynika, że odwzorowanie holomorficzne nie zerujące się na D ma w D najwyżej skończenie wiele zer. Dowód. Rozważmy odwzorowanie H : M [0, 1] S 2n 1 określone wzorem H(x, u) = g(x) + ur(x) g(x) + ur(x). 10

13 Ponieważ r < g na S ɛ, mianownik nie zeruje się w żadnym punkcie S ɛ i H określa homotopię między odwzorowaniami (g + r)/ g + r a g/ g z M w S 2n 1. Teza wynika więc z homotopijnej niezmienniczości stopnia. W szczególności gdy M = D i zarówno g, jak i g + r mają skończenie wiele zer wewnątrz D, zasada argumentu dowodzi drugiej części twierdzenia. Stwierdzenie 1.1. Jeśli a jest zerem przekształcenia g i macierz pochodnych ( g j / z k ) (a) jest nieosobliwa, to a jest zerem krotności 1. W szczególności, gdy g = f i a jest punktem krytycznym odwzorowania f : C n C, otrzymujemy, że liczba Milnora niezdegenerowanego punktu krytycznego jest równa 1. Przypomnijmy, że punkt krytyczny a nazywamy niezdegenerowanym, gdy macierz drugich pochodnych w a jest niezdegenerowana. Dowód. Ponownie wykorzystamy homotopijną niezmienniczość stopnia. Niech L oznacza pochodną odwzorowania g w punkcie a. L jest nieosobliwym przekształceniem liniowym, które przybliża g w otoczeniu a. Dokładniej, rozważmy rozwinięcie Taylora funkcji g w punkcie a: g(z) = L(z a) + r(z), gdzie r jest resztą taką, że lim z a r(z) z a = 0. Dobierzmy ɛ > 0 tak małe, by na sferze S ɛ = { z a = ɛ} zachodziło r(z) < z a L 1, gdzie L 1 oznacza normę operatora odwrotnego L 1. Wtedy dla z S ɛ mamy r(z) < z a L 1 = L 1 L(z a) L 1 L(z a), zatem z twierdzenia Rouchégo wynika, że odwzorowania g(z)/ g(z) oraz L(z a)/ L(z a) mają ten sam stopień. Z łukowej spójności grupy macierzy odwracalnych GL(n, C) wynika istnienie drogi między L a przekształceniem identycznościowym. Droga ta zadaje w oczywisty sposób homotopię między L(z a)/ L(z a) a odwzorowaniem (z a)/ z a, które ma stopień 1. Twierdzenie 1.3 (Lefschetz). Krotność izolowanego zera przekształcenia holomorficznego g : C n C n jest zawsze liczbą dodatnią. Dowód. Niech µ oznacza krotność izolowanego zera a odwzorowania g, a D będzie małą kulą domkniętą wokół a, nie zawierającą innych zer. Skonstruujemy zaburzenie g przekształcenia g o tej własności, że wszystkie jego zera są niezdegenerowane, przy czym co najmniej jedno z nich leży wewnątrz D. Jeśli zaburzenie dobierzemy dostatecznie małe, to z twierdzenia Rouchégo i stwierdzenia 1.1 wyniknie, że g ma w D dokładnie µ zer, zatem µ 1. Przejdźmy do konstrukcji g. Rozważmy najpierw zaburzenie postaci h(z) = g(z) δ(z a), gdzie δ jest małą liczbą zespoloną różną od wszystkich wartości własnych macierzy pochodnych ( g i / z j ) w punkcie a. Wówczas h(a) = 0 oraz macierz ( h i / z j ) jest nieosobliwa w a, 11

14 zatem z twierdzenia o funkcji odwrotnej h przekształca dyfeomorficznie pewne otoczenie a na otoczenie zera B ɛ. Określmy dla w C n odwzorowanie g w (z) = h(z) w. Jeśli w jest wartością regularną h, to wszystkie zera g w są niezdegenerowane. Zauważmy, że w takim przypadku zera g w są izolowane (bo Jakobian nie zeruje się w nich i lokalnie g w jest dyfeomorfizmem), więc g w ma ich w D co najwyżej skończenie wiele. Co więcej, jeśli dobierzemy, wykorzystując twierdzenie Sarda, wartość regularną w B ɛ, to g w będzie posiadało w D co najmniej jedno zero, ponieważ h przyjmuje w D każdą wartość z B ɛ. Wobec tego g = g w spełnia wymagane warunki. Wystarczy dodać, że δ i ɛ można dobrać na tyle małe, by tak skonstruowane g spełniało założenia twierdzenia Rouchégo. Uwaga. Liczbę Milnora można zdefiniować również w inny, algebraiczny sposób. Oznaczmy przez O pierścień lokalny kiełków funkcji holomorficznych (C n, 0) C. Dla kiełka f O ideałem gradientowym I f nazywamy ideał w O generowany przez pochodne cząstkowe ( f/ z 1,..., f/ z n ), natomiast algebrą lokalną określamy C-algebrę ilorazową A f = O\I f. Dowodzi się (patrz [Ż]), że jeśli f ma izolowany punkt krytyczny w zerze, to A f jest skończenie wymiarowa, a jej wymiar nad C jest równy liczbie Milnora odwzorowania f w zerze Zaburzenie morse owskie Powróćmy do badania punktów krytycznych wielomianu f : C n C. Jak widzieliśmy w dowodzie twierdzenia 1.3, zero odwzorowania holomorficznego g : C n C n krotności µ po małym zaburzeniu rozpada się na µ pojedynczych zer. Analogicznie przy małym zaburzeniu funkcji f izolowany punkt krytyczny rozpada się na niezdegenerowane punkty krytyczne. Okazuje się, że badanie funkcji zaburzonej pozwala zrozumieć osobliwość pierwotnej funkcji f. Przypadek niezdegenerowanych punktów krytycznych posiada bowiem wyjątkowo prosty opis, a rozwłóknienia Milnora funkcji zaburzonej i funkcji pierwotnej są izomorficzne. Dla wektorów x = [x 1,..., x n ], y = [y 1,..., y n ] w C n określamy x y = x 1 y x n y n. Ustalmy ponadto, że funkcję zespoloną nazywamy funkcją Morse a, gdy wszystkie jej punkty krytyczne są niezdegenerowane oraz w różnych punktach krytycznych przyjmuje ona różne wartości (przeważnie zakłada się tylko pierwszy warunek, dla nas jednak oba będą istotne). Stwierdzenie 1.2. Dla w C n określmy funkcję f w : C n C wzorem f w (z) = f(z) + w z. Wówczas dla prawie wszystkich w C n odwzorowanie f w jest funkcją Morse a. Dowód. Dla prawie wszystkich w C n odwzorowanie f w ma niezdegenerowane punkty krytyczne. Dowód przy użyciu twierdzenia Sarda jest identyczny jak w przypadku twierdzenie 1.3. Wystarczy tylko zauważyć, że Df w = Df + w. Udowodnimy więc, że dla prawie wszystkich w C n odwzorowanie f w rozdziela punkty krytyczne. Zakończy to dowód stwierdzenia, gdyż suma zbiorów zerowej miary również ma miarę zero. Rozważmy rodzinę odwzorowań F w zależną gładko od parametru w C n : F w : C n C n C C C n C n, 12

15 F w (x, y) = (f w (x), f w (y), Df w (x), Df w (y)). Niech Z C 2n+2 będzie podrozmaitością kowymiaru zespolonego 2n + 1 zadaną równaniami (z 1, z 2, w 1, w 2 ) C C C n C n, { z1 = z 2, w 1 = w 2 = 0. Funkcja f w rozdziela punkty krytyczne wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz Fw 1 (Z) jest zbiorem pustym. Z twierdzenia Thoma o transwersalności (patrz np. [B]) wynika, że dla prawie wszystkich w C n odwzorowanie F w jest transwersalne do podrozmaitości Z. Ponieważ 2n + 1 = codim Z > dim C 2n = 2n, w tym przypadku transwersalność oznacza, że Fw 1 (Z) =, co kończy dowód twierdzenia. Funkcję f w nazywamy zaburzeniem morse owskim funkcji f. Interesują nas zaburzenia zmieniające f w niewielkim stopniu, co można wyrazić warunkiem w < ɛ dla pewnej niedużej liczby ɛ. Stwierdzenie 1.2 gwarantuje, że dla każdego ɛ > 0 takie zaburzenie istnieje. Poniższe stwierdzenie wynika wprost z twierdzenia Rouchégo. Stwierdzenie 1.3. Niech a będzie izolowanym punktem krytycznym krotności µ, a D dyskiem o środku w a nie zawierającym innych punktów krytycznych f. Wówczas każde dostatecznie małe zaburzenie morse owskie posiada w D dokładnie µ punktów krytycznych krotności 1. Uwaga. Oczywiścię funkcję można zaburzać również za pomocą członów wyższego rzędu. Zaburzenie liniowe jest jednak wystarczające dla naszych celów. Pokażemy teraz, że rozwłóknienia Milnora zaburzenia f w i funkcji f są izomorficzne. Załóżmy dalej, bez straty ogólności, że zero jest izolowanym punktem krytycznym wielomianu f : C n C o liczbie Milnora µ, z wartością krytyczną f(0) = 0. Przypomnijmy, że S ɛ C n oznacza 2n 1-wymiarową sferę o promieniu ɛ i środku w zerze. Lemat 1.2. Istnieją liczby dodatnie δ, ρ oraz η takie, że jeśli tylko ɛ ρ, w < η, a z C, z < δ jest wartością regularną f w, to przecięcie fw 1 (z) S ɛ jest transwersalne. Dowód. Niech f w = u w + iv w będzie rozkładem na część rzeczywistą i urojoną funkcji f w. Przypomnijmy (lemat 1.1), że transwersalność przecięcia jest równoważna liniowej niezależności form dr(x), du w (x), dv w (x) w każdym punkcie części wspólnej. Jest to warunek otwarty i zachodzący dla w = 0, a formy zależą w sposób ciągły zarówno od x, jak i od parametru w. Dalej dowód przebiega identycznie jak dowód lematu 1.1. Z powyższego lematu wynika więc, że możemy przeprowadzić konstrukcję rozwłóknienia Milnora opisaną wzorem 1.2 wspólną dla wszystkich dostatecznie małych zaburzeń f w. Mówiąc precyzyjniej, dobierzmy dostatecznie małe ρ, δ > 0 i oznaczmy, jak poprzednio, D δ = {z C z < δ}, B ρ = {x C n x ρ}. Niech Crit f w D δ oznacza zbiór punktów krytycznych f w w D δ. Określmy nadto U w = D δ \Crit f w, E w = f 1 w (U w ) B ρ. Z powyższego lematu wynika następujące 13

16 Twierdzenie 1.4. Dla dostatecznie małych w C n odwzorowanie f w : (E w, E w ) U w jest lokalnie trywialnym, gładkim rozwłóknieniem pary. Dowód jest identyczny jak w przypadku twierdzenia 1.1. Zauważmy, że dobraliśmy wspólne ρ i δ dla wszystkich małych zaburzeń f w, lecz dla każdego w musimy wyjąć z dysku D δ inne wartości krytyczne. O ile zaburzenie jest dostatecznie małe, to z gładkiej zależności od parametru w wynika, że wartości krytyczne każdej z funkcji f w będą znajdować się w pewnym mniejszym dysku, dajmy na to D δ/2. Pozwala to porównać rozwłóknienia f i jej zaburzeń obciętych do pierścienia P = {z C δ/2 < z < δ} D δ. Twierdzenie 1.5. Dla dostatecznie małych w C n rozwłóknienia Milnora odwzorowań f oraz f w obcięte do pierścienia P są równoważne, tzn. istnieje diagram przemienny f 1 (P ) B ρ P f Ψ id fw 1 (P ) B ρ P f w gdzie Ψ jest dyfeomorfizmem. Dowód. Dowód oparty jest o idee z pracy [J]. Z poczynionej przed chwilą uwagi wynika, że istnieje liczba η > 0 taka, że dla wszystkich w η w pierścieniu P nie będzie żadnej wartości krytycznej f w i będzie on zawarty w przestrzeni bazowej U w rozwłóknienia Milnora f w : E w U w. Rozważmy odwzorowanie F : C n C n C C n zadane wzorem F (x, w) = (f w (x), w). Wykorzystując twierdzenie Ehresmanna, wykażemy, że F obcięte do pewnego podzbioru jest lokalnie trywialnym rozwłóknieniem. Macierz różniczki odwzorowania F ma postać [ ] dfw (x), f df (x, w) = w (x)/ w. 0 I Jeśli więc w η oraz x B ρ jest punktem regularnym odwzorowania f w, to wobec twierdzenia 1.5 różniczka df w (x) jest epimorfizmem, skąd wynika, że również df (x, w) jest epimorfizmem. Dobierzmy zatem zbiór Q = fw 1 (P ) B ρ C n i rozważmy obcięcie w η F : Q K η P K η, gdzie K η = {w C n w < η}. Z twierdzenia Ehresmanna wynika więc, że jest ono lokalnie trywialnym rozwłóknieniem (warunek na brzegu sprawdza się tak samo, wykorzystując fakt, że f w obcięte do brzegu E w jest submersją). 14

17 Ustalmy w K η i niech θ : K η K η będzie dowolnym dyfeomorfizmem izotopijnym z identycznością i przekształcającym zero na w. Izotopia między odwzorowaniem id θ : P K η P K η a identycznością indukuje poprzez własność podnoszenia homotopii (patrz uzupełnienie 3.2) automorfizm Ψ : Q K η Q K η czyniący diagram Q K η Ψ Q K η F F P K η id θ P K η przemiennym. Wobec tego Ψ przeprowadza dyfeomorficznie zbiór na zbiór F 1 (P {0}) = {(x, 0) x B ρ, f(x) P } f 1 (P ) B ρ F 1 (P {w}) fw 1 (P ) B ρ w taki sposób, że diagram z tezy twierdzenia jest przemienny Cykle znikające W poprzednim paragrafie wykazaliśmy, że badanie rozwłóknienia Milnora można sprowadzić do przypadku funkcji morse owskich. Jest to o tyle wygodne, że w otoczeniu niezdegenerowanego punktu krytycznego funkcja posiada następujący łatwy opis lokalny. Lemat Morse a. Niech a C n będzie niezdegenerowanym punktem krytycznym funkcji holomorficznej f : C n C. Na otoczeniu z 0 istnieje wówczas holomorficzny układ współrzędnych (z 1,..., z n ) o początku w a, w którym f ma postać f(z) = f(0) + z z 2 n. Zbadajmy więc topologię włókna rozwłóknienia Milnora funkcji f(z) = z z 2 n. Wprowadźmy współrzędne rzeczywiste x k, y k takie, że z k = x k + iy k. Załóżmy, że r jest dodatnią liczbą rzeczywistą. Włókno f 1 (r) nad r opisane jest równaniami co można równoważnie zapisać w postaci { x x 2 n = r + y y2 n, x 1 y x n y n = 0, f 1 (r) = {(x, y) R n R n x 2 = r + y 2, x y = 0}. Zbiór ten jest gładką podrozmaitością R 2n, a przekształcenie (x, y) (x/ x, y) zadaje jej dyfeomorfizm z wiązką styczną do sfery (n 1)-wymiarowej T S n 1 = {(x, y) R n R n x = 1, x y = 0} Jeśli, jak w konstrukcji rozwłóknienia Milnora, rozważymy przecięcie włókna z kulą B r+2 o promieniu r + 2, zawartej w dziedzinie C n, otrzymamy warunek x 2 + y 2 r + 2, skąd 15

18 po podstawieniu x 2 = r+ y 2 dostaniemy y 1. Wobec tego włókno V r = f 1 (r) B r+2 nad r rozwłóknienia Milnora jest dyfeomorficzne z wiązką kul jednostkowych nad sferą S n 1 : V r BS n 1 = {(x, y) R n R n x = 1, x y = 0, y 1}, której brzegiem jest wiązka wektorów jednostkowych V r T US n 1 = {(x, y) R n R n x = 1, x y = 0, y = 1}. Rozważaliśmy włókno nad dodatnią liczbą rzeczywistą, lecz dowolne włókno V λ nad liczbą zespoloną λ = λ e iφ jest dyfeomorficzne z V λ poprzez przekształcenie z e iφ/2 z. Zbadajmy teraz grupy homologii włókna V λ. Załózmy dla uproszczenia, że λ jest dodatnią liczbą rzeczywistą. Ponieważ włóknem wiązki BS n 1 jest ściągalny dysk, przekrój zerowy S n 1 BS n 1 zadany wzorem x (x, 0) jest homotopijną równoważnością, a klasa podstawowa [S n 1 ] jest generatorem homologii H n 1 (BS n 1 ). W V λ jest to klasa homologii cyklu = { x 2 = λ, y = 0} V λ, który nazywamy cyklem znikającym, ponieważ wraz z λ dążącym do zera degeneruje się on do punktu osobliwego we włóknie nad wartością krytyczną. Innymi słowy, włókno osobliwe V 0 można uzyskać z włókna regularnego V λ poprzez zaklejenie dyskiem D n { x λ}. Z dualności Poincarégo wynika, że również homologie relatywne H n 1 (V λ, V λ ) są izomorficzne z Z. Możemy z łatwością wskazać ich generator w postaci klasy cyklu relatywnego { } = x 2 =... = x n = 0, y 1 = 0, x 1 = λ + y y2 n V λ. Podsumujmy uzyskany topologiczny opis włókna Milnora w przypadku morse owskim. Stwierdzenie Włókno regularne V λ rozwłóknienia Milnora funkcji f(z) = z z 2 n jest dyfeomorficzne z wiązką kul BS n 1 nad sferą S n Homologie włókna H n 1 (V λ ) = Z są generowane przez cykl, a homologie relatywne H n 1 (V λ, V λ ) = Z przez cykl relatywny. Pozostałe grupy homologii są trywialne. 3. Jeśli γ jest odcinkiem między wartością krytyczną 0 a wartością regularną λ, to włókno nad γ można zdeformować relatywnie V λ do D n V λ, gdzie dysk D n jest wklejony brzegiem w V λ. Załóżmy teraz, że g : (C n, 0) (C, 0) jest wielomianem posiadającym w zerze izolowany punkt krytyczny o liczbie Milnora µ. Niech f = g w będzie małym zaburzeniem morse owskim g, a f : E U opisanym w poprzednim paragrafie rozwłóknieniem Milnora zaburzenia. Przypomnijmy, że U = D δ \{z 1,..., z µ }, E = f 1 (U) B ρ, przy czym z k = f(x k ), gdzie x 1,..., x µ są jednokrotnymi punktami krytycznymi f w kuli B ρ. Ustalmy λ U. Naszym celem jest opisanie topologii włókna V λ rozwłóknienia f : E U nad punktem λ. Z lematu Morse a wynika, że na pewnym otoczeniu każdego z punktów krytycznych x k istnieją współrzędne, w których f ma postać n f(y) = z k + yj 2. j=1 16

19 Dobierzmy punkt regularny q k U bliski z k. Ze stwierdzenia 1.4 wiemy, że dla małej liczby ɛ > 0 grupa homologii H n 1 (f 1 (q i ) B ɛ ) jest generowane przez pewien cykl znikający Λ k. Oznaczmy tym samym symbolem element homologii H n 1 (V qk ) powstający z Λ k przy włożeniu f 1 (q i ) B ɛ f 1 (q i ) B ρ = V qk (zauważmy, że ɛ < ρ, ponieważ kula B ɛ nie może zawierać innych punktów krytycznych f niż x k, podczas gdy B ρ zawiera wszystkie). Dobierzmy µ nieprzecinających się dróg α 1,..., α µ w U, które łączą punkty q 1,..., q µ z λ. Poprzez własność podnoszenia homotopii, droga α k indukuje rodzinę dyfeomorfizmów φ k : V qk [0, 1] E, φ k (, t) : V qk V α(t). W szczególności dyfeomorfizm φ k (, 1) : V qk V λ indukuje izomorfizm na grupach homologii. Oznaczmy przez k H n 1 (V λ ) obraz cyklu Λ k przy tym przekształceniu. Tak powstały ciąg ( 1,..., µ ) nazywamy wyróżnionym układem cykli znikających. Twierdzenie 1.6 (Brieskorn Milnor). Włókno V λ ma następujące grupy homologii: Z gdy i = 0 H i (V λ ) = Z µ gdy i = n 1 0 w pozostałych przypadkach Wyróżniony układ cykli znikających stanowi bazę H n 1 (V λ ). Uwaga. Przypomnijmy, że rozważamy przypadek wielowymiarowy n 2. Nietrudno zauważyć, że w przypadku n = 1 twierdzenie również jest prawdziwe, o ile zastąpimy homologie absolutne homologiami zredukowanymi H. Uwaga. O topologii włókna można powiedzieć więcej. Wykorzystując teorię Morse a oraz twierdzenie Whiteheada, Milnor [M] wykazał, że V λ jest homotopijne równoważne z bukietem µ sfer S n 1... S n 1. Przedstawimy dowód twierdzenia 1.6 w oparciu o [Ż]. Potrzebne nam będą jednak dwa lematy opisującę topologię f 1 (D δ ) B ρ, a więc E z doklejonymi włóknami osobliwymi V zk. Przypomnijmy, że g było pierwotną funkcję z izolowanym punktem osobliwym w zerze, a f = g w jej morse owskim zaburzeniem. Lemat 1.3. Przestrzenie X = f 1 (D δ ) B ρ i Y = g 1 (D δ ) B ρ są dyfeomorficznymi rozmaitościami z brzegiem. Dowód. Jak w dowodzie twierdzenia 1.5 rozpatrzmy odwzorowanie G : C n C n C C n : G(x, w) = (g w (x), w) oraz podrozmaitość z brzegiem W C n C n : W = (B ρ C n ) G 1 (D δ C n ) Niech p : W C n będzie obcięciem do W rzutowania na drugi czynnik B ρ C n C n. Rzutowanie to jest oczywiście lokalnie trywialnym rozwłóknieniem. W jest otwartym podzbiorem B ρ C n, więć także p : W C n jest lokalnie trywialnym rozwłóknieniem, co oznacza, że jego włókna p 1 (w) = X oraz p 1 (0) = Y są dyfeomorficznymi podrozmaitościami W. 17

20 Lemat 1.4. Przestrzeń Y = g 1 (D δ ) B ρ jest ściągalna. Dowód. Rozpocznijmy od spostrzeżenia, że włókno osobliwe Y 0 = g 1 (0) B ρ jest ściągalne. Można wykazać nawet więcej: para (B ρ, Y 0 ) jest homeomorficzna parze (C(S ρ ), C( Y 0 )), gdzie C(X) oznacza stożek nad przestrzenią X oraz S ρ = B ρ jest sferą. W szczególności wynika stąd, że Y 0 jest ściągalne jako stożek nad pewną przestrzenią. Dowód tego faktu, zwanego niekiedy twierdzeniem o strukturze stożkowej, opiera się na następującym pomyśle: transwersalność przecięcia sfer S ɛ z hiperpowierzchnią Y 0 (patrz lemat 1.1) pozwala łatwo skonstruować na B ρ \{0} pole wektorowe, wskazujące w każdym punkcie w kierunku początku układu współrzędnych i styczne do rozmaitości Y 0 \{0} w jej punktach. Potok tego pola zadaje poszukiwany homeomorfizm. Szczegóły nietrudnego dowodu można znaleźć w [M]. Oczywiście dysk D δ C można zdeformować do punktu 0. Gdyby udało się podnieść tę deformację do deformacji Y Y 0, dowód wobec powyżsej uwagi byłby zakończony. Odwzorowanie g : Y D δ nie jest jednak lokalnie trywialnym rozwłóknieniem (ze względu na wartość krytyczną w zerze). Wystarczy jednak wykazać, że jest rozwłóknieniem w sensie teorii homotopii (rozwłóknieniem Hurewicza), a własność podnoszenia homotopii zagwarantuje istnienie szukanego podniesienia. Przypomnijmy, że warunkiem równoważnym, by p : E X było rozwłóknieniem Hurewicza jest istnienie funkcji podnoszącej drogi s : P (p) P (E), gdzie P (p), P (E) oznaczają kocylindry odwzorowania p i przestrzeni E (patrz uzupełnienie 3.2). Odwzorowanie g : Y \Y 0 D δ \{0} jest rozwłóknieniem Hurewicza (jako lokalnie trywialne rozwłóknienie), zatem istnieje funkcja podnosząca drogi w D δ \{0}. Rozważmy punkt z Y oraz drogę ω : I D δ zaczynającą się w x = g(z) D δ. Jeśli ω omija punkt 0, to możemy ją podnieść. Załóżmy więc, bez straty ogólności, że ω(1) = 0 i ω([0, 1)) Y \Y 0. Podnosząc kolejno drogi ω n będące obcięciem ω do odcinka [0, 1 1 n ], otrzymamy jednostajnie zbieżną rodzinę odwzorowań w Y \Y 0. Jej granica będzie otrzymanym podniesieniem drogi ω. Nietrudno sprawdzić, że tak skonstruowana funkcja podnosząca drogi jest ciągła, a więc istotnie odwzorowanie p : E X jest rozwłóknieniem Hurewicza. Dowód twierdzenia 1.6. Niech z 1,..., z µ będą wartościami krytycznymi, a α 1,..., α µ ścieżkami łączącymi je z wartością regularną λ. Oznaczmy przez A = i α i teoriomnogościową sumę wszystkich ścieżek, a przez Z = g 1 (A) B ρ włókno nad A. Ponieważ A jest retraktem deformacyjnym D δ, a g : Y D δ jest, jak wykazaliśmy w poprzednim lemacie, rozwłóknieniem Hurewicza, przestrzeń Z jest retraktem deformacyjnym Y, a więc jest ściągalna. Oznaczmy A = A\{z 1,..., z µ } oraz Z = Z\ i V z i. Ponieważ Z A jest lokalnie trywialnym rozwłóknieniem nad ściągalną przestrzenią, jest rozwłóknieniem trywialnym. W szczególności Z V λ A i Z jest homotopijnie równoważne włóknu V λ. Niech q k będzie wartością regularną na ścieżce α k bliską wartości krytycznej z k = g(x k ). Zgodnie ze stwierdzeniem 1.4 część Z w otoczeniu otoczeniu punktu krytycznego x k można zdeformować do V qk D n, jednocześnie nie ruszając pozostałej części Z. Innymi słowy, przestrzeń Z jest homotopijnie równoważna przestrzeni Z z dyskami K 1,..., K µ doklejonymi w miejsce cykli znikających we włóknach V q1,..., V qµ. Przy homotopijnej równoważności Z V λ odpowiada to zaklejeniu dyskami cykli 1,..., µ w V λ. Rozważmy długi ciąg dokładny grup homologii dla pary (Z, Z ):... H k+1 (Z) H k+1 (Z, Z ) H k (Z ) H K (Z)... Ponieważ Z jest ściągalne, mamy H k (V λ ) = H k (Z ) = H k+1 (Z, Z ). Jednak wobec homotopijnej równoważności Z Z i K i para (Z, Z ) jest homotopijnie równoważna rozłącznej sumie par (K i, K i ) (D n, D n ), której grupy homologii rzecz jasna znamy składają się 18

21 one z jednej grupy Z dokładnie w wymiarze i = n 1. Ponadto ich generatorem jest cykl relatywny (K i, K i ), któremu w (Z, Z ) odpowiada (K i, i ), natomiast we włóknie V λ cykl znikający i. Przykład. W najprostszym przypadku funkcji morse owskiej f(z) = z z 2 n włókno regularne jest dyfeomorficzne z wiązką kul BS n 1 (patrz stwierdzenie 1.4), a wobec tego homotopijnie równoważne sferze S n 1. Przykład. Rozważmy przypadek hipereliptyczny f(x, y) = y 2 + P (x), gdzie P (x) jest wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia n > 2. Załóżmy, że P jest generyczny w tym sensie, że pochodna P (x) nie ma pierwiastków wielokrotnych. Ponieważ gradient f ma postać f(x, y) = [P (x), 2y], odwzorowanie f posiada dokładnie n 1 punktów krytycznych (x 1, 0),... (x n 1, 0), gdzie x 1,... x n 1 są różnymi pierwiastkami P (x). Zastępując ewentualnie P małym zaburzeniem, możemy założyć, że wartości krytyczne P (x 1 ),..., P (x n 1 ) są parami różne. Niech λ C będzie wartością regularną f. Oznacza to, że wielomian λ P (x) = (x a 1 ) (x a n ) nie ma pierwiastków wielokrotnych, a włókno f 1 (λ) jest powierzchnią Riemanna funkcji λ P (x). Jeśli n = 2g + 1 lub 2g + 2, jej genus jest równy g (patrz [F]). W przypadku parzystym punkt w nieskończoności jest regularny i posiada dwa punkty w przeciwobrazie, podczas gdy w przypadku nieparzystym jest on punktem rozgałęzienia z jednopunktowym przeciwobrazem. Wobec tego włókno regularne jest powierzchnią genusu g bez punktu w przypadku n = 2g + 1 oraz bez dwóch punktów w przypadku n = 2g + 2. Wobec tego w obu przypadkach włókno jest homotopijnie równoważne bukietowi 2g = n 1 okręgów. Z drugiej strony możemy łatwo znaleźć liczbę Milnora, wykorzystując algebraiczną definicję. Istotnie, ideał gradientowy generowany jest przez wielomiany y oraz P (x), wobec tego algebra lokalna w dowolnym z punktów osobliwych (0, x 0 ) posiada bazę postaci 1, (x x 0 ),..., (x x 0 ) n 2, a w związku z tym jej wymiar jest równy µ = n 1 i zgodnie z twierdzeniem Milnora krotność osobliwości zgadza się z liczbą okręgów w bukiecie. W tym przypadku możemy łatwo opisać cykle znikające. Niech z 1,..., z n 1 będą wartościami krytycznymi f. Włókno regularne f 1 (λ) jest podwójnym nakryciem płaszczyzny zespolonej C z wyjętymi n różnymi pierwiastkami wielomianu λ P (x), które są punktami rozgałęzienia. Oznaczmy je a 1,..., a n. Gdy zmieniamy λ, zbliżając się do jednej z wartości krytycznych z i, dwa z pierwiastków, dajmy na to a 1 i a 2 schodzą się w jeden pierwiastek podwójny wielomianu z i P (x). Rozważmy pętlę okrążającą jednokrotnie a 1 i a 2, lecz nie zawierającą pozostałych pierwiastków λ P (x). Ponieważ obiega ona dwa punkty rozgałęzienia, podnosi się do zamkniętej, nieściągalnej pętli w powierzchni Riemanna f 1 (λ), która wraz ze zbliżaniem się λ do z i degeneruje się do punktu we włóknie osobliwym f 1 (z i ). W ten sposób, numerując odpowiednio pierwiastki a i, otrzymamy n 1 par (a 1, a 2 ), (a 2, a 3 ),..., (a n 1, a n ), każdą odpowiadająca pewnej wartości krytycznej f oraz zamkniętej nieściągalnej pętli we włóknie regularnym. Pętle te są cyklami znikającymi. 19

22

23 Rozdział 2 Twierdzenie Picarda-Lefschetza 2.1. Operator monodromii Rozważamy sytuację z poprzedniego paragrafu. Niech więc g : (C n, 0) (C, 0) będzie wielomianem z izolowanym punktem osobliwym w zerze, a f jego małym zaburzeniem morse owskim. Niech U = D δ \{z 1,..., z µ }, E = f 1 (U) B ρ, przy czym z k = f(x k ), gdzie x 1,..., x µ są jednokrotnymi punktami krytycznymi f w kuli B ρ. Rozważamy rozwłóknienie Milnora f : E U. Ustalmy punkt regularny λ U wraz z układem nieprzecinających się ścieżek α 1,..., α µ w D δ łączących λ z wartościami krytycznymi z 1,..., z µ. Zgodnie z twierdzeniem 1.6 indukuje on bazę cyklów znikających ( 1,..., µ ) generujących (n 1). grupę homologii włókna regularnego V λ = f 1 (λ) B ρ. Rozważmy odwzorowanie f : E U obcięte do brzegu E = E S ρ, gdzie S ρ = B ρ jest małą sferą w C n. Przedłuża się ono do lokalnie trywialnego rozwłóknienia nad całym dyskiem D δ, ponieważ S ρ nie zawiera punktów krytycznych f. Włóknem tego rozwłóknienia nad λ jest V λ, a bazą ściągalny dysk, zatem jest ono równoważne rozwłóknieniu trywialnemu V λ D δ D δ. Definicja. Niech γ będzie pętlą w U o początku w punkcie λ. Zgodnie z zasadą podnoszenia homotopii istnieje 1-parametrowa rodzina dyfeomorfizmów Γ : V λ [0, 1] E oznaczaną Γ t = Γ(, t), spełniająca następujące warunki: 1. Γ 0 = id, 2. Γ t (V λ ) = V γ(t), 3. Γ t obcięte do brzegu V λ jest zgodne ze strukturą kartezjańską E V λ D δ, to znaczy Γ t (λ, x) = (γ(t), x). Dyfeomorfizm Γ 1 włókna regularnego V λ w siebie nazywamy przekształceniem monodromii. Jest on wyznaczony z dokładnością do izotopii przez klasę homotopii pętli γ i na ogół nietrywialny, o ile γ jest nietrywialnym elementem π 1 (U, λ). 21

24 Definicja. Operatorem monodromii stowarzyszonym z pętlą γ nazywamy automorfizm h γ : H n 1 (V λ ) H n 1 (V λ ), indukowany przez przekształcenie monodromii Γ 1. Grupą monodromii nazywamy obraz grupy podstawowej π 1 (U, λ) w Aut (H n 1 (V λ )) przy homomorfizmie [γ] h γ. Przypomnijmy, że rozważana funkcja f była zaburzeniem morse owskim funkcji g z izolowaną osobliwością w zerze. Niech W λ = g 1 (λ) B ρ będzie włóknem regularnym rozwłóknienia Milnora dla g. Wówczas, sprzęgając operatory monodromii przez naturalny dyfeomorfizm między V λ a W λ, możemy traktować grupę monodromii jako podgrupę Aut (H n 1 (W λ )). W szczególności, jeśli γ jest pętlą w U obiegającą jednokrotnie wszystkie wartości krytyczne z 1,..., z µ, to operator monodromii h γ odpowiada w Aut (H n 1 (W λ )) operatorowi monodromii związanemu z pętlą obiegającą jednokrotnie izolowaną wartość krytyczną g (porównaj twierdzenie 1.5). Wprowadza się również dwa inne, użyteczne operatory liniowe działające na homologiach. Definicja. Operator relatywnej monodromii zdefiniowany jest jako automorfizm homologii relatywnych indukowany przez Γ 1 (zauważmy, że zgodnie z warunkiem (3) odwzorowanie Γ 1 działa identycznościowo na brzegu V λ ) h r γ : H n 1 (V λ, V λ ) H n 1 (V λ, V λ ). Operator wariacji var γ : H n 1 (V λ, V λ ) H n 1 (V λ ) określony jest wzorem var γ = h r γ id. Możemy wreszcie przejść do sformułowania głównego wyniku tego rozdziału, który wiąże określone powyższej operatory z ważnym niezmiennikiem topologicznym włókna V λ formą przecięcia. Niech τ 1,..., τ µ będzie ustalonym układem nieprzecinających się pętli o początku w λ takich, że τ k okrąża raz z k, nie okrążając pozostałych wartości krytycznych. Przypomnijmy, że 1,..., µ są cyklami znikającymi stanowiącymi bazę homologii. Przez (a, b) oznaczamy indeks przecięcia cykli a, b w (n 1) homologiach relatywnych rozmaitości V λ (która, przypomnijmy, ma wymiar 2n 2). Definicję oraz podstawowe własności indeksu przecięcia można znaleźć w [B]. Niech ponadto i : H n 1 (V λ ) H n 1 (V λ, V λ ) oznacza naturalne włożenie. Twierdzenie Picarda-Lefschetza. Dla każdego cyklu relatywnego a H n 1 (V λ, V λ ) var τi a = ( 1) n(n+1)/2 (a, i ) i, h r τ i a = a + ( 1) n(n+1)/2 (a, i )i i, natomiast dla każdego cyklu b H n 1 (V λ ) zachodzi h τi b = b + ( 1) n(n+1)/2 (b, i ) i. Przedstawimy dalej dowód twierdzenia Picarda-Lefschetza w oparciu o [Ż]. Zauważmy najpierw, że dla najprostszego przypadku µ = 1 funkcja g posiada tylko jeden punkt krytyczny, a jednowymiarowe homologie oraz homologie zredukowane włókna generowane są przez cykle i, odpowiednio (patrz stwierdzenie 1.4). Wówczas treść twierdzenia sprowadza się do następującego prostego wzoru, zwanego formułą Picarda-Lefschetza var τ = ( 1) n(n+1)/2), gdzie τ jest pętlą okrążającą jednokrotnie jedyną wartość krytyczną g. 22

25 Lemat 2.1. Z formuły Picarda-Lefschetza wynika ogólne twierdzenie Picarda-Lefschetza. Dowód. Niech W i BS n 1 oznacza włókno morse owskie nad punktem regularnym q i w pobliżu wartości krytycznej z i. Na mocy stwierdzenia 1.4, jego homologie oraz homologie relatywne w wymiarze n 1 generowane są odpowiednio przez cykl znikający i oraz dualny cykl relatywny i. Ponadto twierdzenie 1.6 daje izomorfizm H n 1 (V λ ) = i H n 1 (W i ), a po wzięciu grup dualnych oraz skorzystaniu z dualności Poincarégo H n 1 (V λ, V λ ) = i H n 1 (W i, W i ). Oznaczmy przez Θ 1,..., Θ µ cykle relatywne w V λ odpowiadające przy tym izomorfizmie cyklom 1,..., µ. Na mocy powyższej równości, stanowią one bazę homologii relatywnych. Ponieważ Θ i jest cyklem dualnym do i, to (Θ i, j ) = δ ij. Jednocześnie przy monodromii wokół pętli τ j dla j i cykle i oraz Θ i pozostają nienaruszone, natomiast przy monodromii wokół τ i cykl Θ i pełni rolę i we włóknie morse owskim. Jeśli więc spełniona jest formuła Picarda-Lefschetza w przypadku morse owskim, to tożsamości z tezy twierdzenia Picarda- Lefschetza zachodzą dla Θ 1,..., Θ µ, a więc i dla dowolnego cyklu relatywnego. W dowodzie twierdzenia Picarda-Lefschetza posłużymy się inną formą rozwłóknienia Milnora, zadaną wzorem 1.3. Niech f : (C n, 0) (C, 0) oznacza pierwotną (niezaburzoną) funkcję z izolowanym punktem krytycznym w zerze. Rozważmy małą sferę S ɛ i K = S ɛ f 1 (0). Niech ponadto T = S ɛ { f < α} będzie małym otoczeniem K w S ɛ. Rozważamy lokalnie trywialne rozwłóknienie φ : S ɛ \T S 1 zadane wzorem φ(x) = f(x) f(x). Przypomnijmy, że na mocy twierdzenia 1.5 wiązka φ : S ɛ \T S 1 jest równoważna wiązce f : E U obciętej do małego okręgu C U o środku w zerze. Oznacza to w szczególności, że włókna φ 1 (1) oraz V λ są dyfeomorficzne, a grupa monodromii działa na homologiach włókna φ 1 (1). Twierdzenie Picarda-Lefschetza wiąże operator monodromii z formą przecięcia. W jego dowodzie wykorzystamy również inną formę dwuliniową określoną na grupach homologii. Definicja. Formą Seiferta nazywamy formę dwuliniową L na H n 1 (φ 1 (1)) zadaną wzorem L(a, b) = l(a, (Γ 1/2 ) b), gdzie l(x, y) oznacza współczynnik zaczepienia cykli x i y w sferze S ɛ (definicję współczynnika zaczepienia można znaleźć w [B]), a dyfeomorfizm Γ t dla t [0, 1] określony został wcześniej. Na mocy dualności Alexandera (patrz np. [B]) forma L jest niezdegenerowana. 23

26 Lemat 2.2. Pomiędzy operatorem monodromii, formą Seiferta i formą przecięcia zachodzą następujące związki: 1. L(var τ a, b) = (a, b), 2. (a, b) = L(a, b) + ( 1) n L(b, a), 3. h τ = ( 1) n ( ) var τ var 1 t, τ 4. h r τ = ( 1) n ( var 1 ) t τ varτ, przy czym utożsamiamy odpowiednie operatory z macierzami w pewnej ustalonej bazie homologii H n 1 (φ 1 (1)), natomiast ( ) t oznacza operację transpozycji. Dowód. Niech a będzie (n 1)-wymiarowym cyklem relatywnym w φ 1 (1), tzn. brzeg a jest cyklem absolutnym w φ 1 (1). Rozważmy n-wymiarowy cykl w sferze S ɛ zadany przez odwzorowanie A : [0, 1] a S ɛ : A(t, x) = Γ t (x). Brzeg cyklu A A = Γ 1 (a) a + A([0, 1] a) składa się z Γ 1 (a) a = var τ a oraz części zawartej w brzegu otoczenia tubularnego T (zgodnie z warunkiem (3) z definicji dyfeomorfizmu Γ t ). Zatem w homologiach relatywnych H n 1 (S ɛ \T, T ) zachodzi równość A = var τ a. Przypomnijmy, że na mocy definicji współczynnika zaczepienia l( A, x) = (A, x) dla każdego (n 1)-cyklu x w S ɛ. Jeśli więc b jest cyklem absolutnym w φ 1 (1), to przecięcie A z Γ 1/2 (b) jest tym samym, co przecięcie Γ 1/2 (a) Γ 1/2 (b) i leży we włóknie φ 1 ( 1). Mamy więc L(var τ a, b) = l(var τ a, (Γ 1/2 ) b) = (A, (Γ 1/2 ) b) = ((Γ 1/2 ) a, (Γ 1/2 ) b), gdzie ostatni indeks przecięcia liczony jest nie w sferze S ɛ, lecz we włóknie φ 1 ( 1). Oczywiście ponieważ Γ 1/2 jest dyfeomorfizmem zachowującym orientację, co kończy dowód punktu (1). ( ) (Γ 1/2 ) a, (Γ 1/2 ) b = (a, b), Ponieważ zarówno indeks przecięcia, jak i współczynnik zaczepienia wyznaczają niezdegenerowane formy dwuliniowe, z punktu (1) wynika, że operator wariacji jest odwracalny. Niech a oraz b będą cyklami absolutnymi w H n 1 (φ 1 (1)). Istnieją cykle relatywne a i b takie, że a = var τ a oraz b = var τ b. Za pomocą łatwego rachunku sprawdzamy, że dla cykli relatywnych x i y zachodzi następująca relacja: (var τ x, var τ y) + (x, var τ y) + (var τ x, y) = 0. Wstawiając x = a, y = b i wykorzystując punkt (1), otrzymujemy co kończy dowód punktu (2). (a, b) + L(a, b) + ( 1) n 1 L(b, a) = 0, 24

27 skąd Wobec (x, y) = (i x, y) oraz punktów (1) i (2) mamy Punkt (4) dowodzi się tak samo Dowód twierdzenia i = var 1 τ + ( 1) n (var 1 τ ) t, h τ = id + var τ i = id id + ( 1) n var τ (var 1 τ ) t. Rozważamy następującą sytuację: funkcja f : C n C wyraża się wzorem f(z) = z z 2 n, a φ : S ɛ \T S 1 oznacza rozwłóknienie Milnora. Homologie włókna φ 1 (1) są generowane przez cykl absolutny oraz cykl relatywny (patrz stwierdzenie 1.4). Orientujemy je w ten sposób, by (, ) = 1. Oznaczmy przez τ(t) = e 2πit pętlę okrążąjącą jednokrotnie wartość krytyczną 0. Naszym celem jest udowodnienie formuły Picarda-Lefschetza: Lemat 2.3. var τ = ( 1) n(n+1)/2). (, ) = ( 1) (n 1)(n 2)/2 χ(s n 1 ), gdzie χ(s n 1 ) oznacza charakterystykę Eulera sfery S n 1. Dowód. Przypomnijmy, że włókno Milnora (bez brzegu) w przypadku morse owskim jest dyfeomorficzne z wiązką styczną T S n 1 do sfery S n 1. Jeśli przedstawimy T S n 1 w postaci {(x, y) R n R n x = 1, x y = 0}, to naturalna orientacja włókna, wyznaczona przez orientację C n = R 2n, zadana jest przez porządek (x 1, y 1,..., x n, y n ) i różni się od naturalnej orientacji T S n 1, zadanej przez porządek (x 1,..., x n, y 1,..., y n ), o czynnik ( 1) (n 1)(n 2)/2 (ponieważ potrzebujemy dokładnie (n 1) transpozycji). Cykl znikający jest określony jako przekrój zerowy S n 1. Wobec tego indeks samoprzecięcia (, ) we włóknie jest równy z dokładnością do czynnika ( 1) (n 1)(n 2)/2 indeksowi samoprzecięcia S n 1 w wiązce stycznej T S n 1, ten zaś, na mocy twierdzenia Poincarégo- Hopfa (patrz [M]), równy jest charakterystyce Eulera sfery χ(s n 1 ) = 2. Dowód w przypadku n nieparzystego. Rozważmy rodzinę dyfeomorfizmów Ω t : φ 1 (1) φ 1 (e 2πit ), Ω t (z) = e πit z. Rodzina Ω t nie spełnia warunku (3) z definicji 2.1, jednak odwzorowanie indukowane na homologiach (Ω t ) działa na cyklach absolutnych tak samo jak (Γ t ), ponieważ oba odwzorowania Ω t i Γ t są homotopijne jako podniesienia pętli τ(t) = e 2πit (jednocześnie odwzorowania indukowane na homologiach relatywnych będą różne, ponieważ Ω t i Γ t nie są homotopijne relatywnie φ 1 (1)). 25