FUNKCJA LINIOWA. Przykłady lekcji 6 matematyki z zastosowaniem komputera. Autor pracy: JOANNA NOWAK
|
|
- Kazimierz Skowroński
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 FUNKCJA LINIOWA 8 Przkład lekcji 6 matematki z zastosowaniem komputera Autor prac: JOANNA NOWAK
2 Spis treści str. Wstęp... Informacje ogólne... Odniesienie do podstaw programowch... 5 Propozcje lekcji z matematki z zastosowaniem komputera : Rozdział Temat lekcji: Definicja funkcji liniowej i jej własności... 7 Rozdział Temat lekcji: Wkres funkcji liniowej.... Rozdział Temat lekcji: Badanie wzajemnego położenia dwóch prostch Ogólne wskazówki dla nauczciela... Bibliografia... 5 Joanna Nowak
3 Wstęp Przgotowana praca ma na celu zachęcić młodzież do nauki matematki połączonej z lekcją informatki, tworzenia różnch materiałów pomocniczch, a także do zbierania i przetwarzania informacji. Funkcję liniową wbrałam, gdż jest to jeden z ciekawszch działów, gdzie korzstanie z komputera będzie zabawą. W mojej prac chcę pokazać, że prz pomoc Worda, a przede wszstkim Eela arkusza kalkulacjnego można opracować materiał, umożliwiając poznanie lub pogłębianie wiadomości dotczącch różnch zagadnień. Starałam się opracować wbrane zagadnienia w sposób przejrzst i czteln, ab osoba cztająca mogła poczuć się obecna na lekcji i samodzielnie wkonwać powierzone jej zadania. Joanna Nowak
4 Informacje ogólne Celem tej prac jest przgotowanie materiałów pomocniczch do nauki matematki : rsowanie wkresów funkcji liniowch, określanie własności funkcji z wkresu, badanie wzajemnego położenia dwóch prostch. Temat bloku lekcji : Funkcja liniowa. Założenia wstępne: ) III klasa gimnazjum lub I obecnego liceum ) Czas trwania: 5-6 godzin lekcjnch. ) Przgotowanie uczniów : uczniowie skończli ckl lekcji przeznaczonch na naukę obsługi Worda i Eela. ) Strona techniczna lekcji : w zależności od pracowni : - każd uczeń ma do dspozcji komputer - uczniowie są podzieleni na zespoł dwu-, trzosobowe. Cele bloku lekcji: ) Utrwalenie i przećwiczenie poznanch wcześniej wiadomości i umiejętności. ) Rozszerzenie posiadanch wiadomości. ) Kształcenie zdolności logicznego mślenia i rozwinięcie umiejętności ddaktcznch. Joanna Nowak
5 Odniesienie do podstaw programowch Podstawa programowa kształcenia ogólnego. INFORMATYKA Rozwiązwanie problemów za pomocą programów użtkowch. Tworzenie dokumentów zawierającch tekst, grafikę i tabele. Wkorzstanie arkusza kalkulacjnego do rozwiązwania zadań z programu nauczania gimnazjum i codziennego żcia. Smulowanie zjawisk o znanch prostch modelach. Pożtki wnikające z rozwoju informatki i powszechnego dostępu do informacji. MATEMATYKA Rozumienie i użwanie pojęć : argument, wartość, miejsce zerowe, wkres funkcji, funkcja liniowa, współcznnik kierunkow, funkcja rosnąca, funkcja malejąca, funkcja stała. Doskonalenie umiejętności posługiwania się układem współrzędnch. Wkorzstwanie wiadomości o funkcji na przkład prz rsowaniu wkresów funkcji, odcztwaniu własności funkcji z wkresu i wznaczaniu wzoru funkcji liniowej. Rozwiązwanie układów równań metodą graficzną. Joanna Nowak 5
6 Propozcje lekcji z matematki z zastosowaniem komputera. Joanna Nowak 6
7 Rozdział Temat lekcji: Definicja funkcji liniowej i jej własności. Cele lekcji: a) poznanie przez uczniów definicji funkcji liniowej b) ukazanie różnego sposobu zapiswania funkcji c) poznanie przez uczniów własności funkcji liniowej d) odcztwanie własności funkcji z wkresu e) doskonalenie umiejętności posługiwania się arkuszem kalkulacjnm jako narzędziem prac Uczniowie potrafią: swobodnie posługiwać się arkuszem kalkulacjnm. Na początku lekcji razem z uczniami przpominam definicję funkcji : Funkcja to przporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru X dokładnie jednego elementu ze zbioru Y. Zbiór X nazwam zbiorem argumentów zaś Y zbiorem wartości funkcji. Po tm wstępie przechodzim do pojęcia funkcji liniowej i jej własności. Funkcją liniową nazwam funkcję postaci: a+b f: a+b nazwaliśm naszą funkcję f f() = a +b nazwaliśm naszą funkcję f = a +b zapis bardzo wgodn prz robieniu wkresów a, b oznaczają stałe. a nazwam współcznnikiem kierunkowm, b wrazem wolnm. Funkcją stałą nazwam funkcję liniową której współcznnik kierunkow równ jest zero (a=). Ma ona postać = b Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczwistch. Przkład... = =- = - (funkcja stała) f()= g()=- h()= - a=, b= a=, b= - a=, b= - Wkresem funkcji liniowej jest prosta. Miejscem zerowm funkcji nazwam argument, dla którego wartość funkcji równa się zero (tj. punkt przecięcia się wkresu z osią X). Joanna Nowak 7
8 Zanim omówię własności funkcji, chcę ab uczniowie sami zauważli pewne zależności rozwiązując ćwiczenie. Włączam więc komputer i po dodarciu do arkusza kalkulacjnego uczniowie rozpocznają pracę od ćwiczenia. Jego treść jest następująca : Ćwiczenie: Otwórz plik przkład, a następnie powiedz co zauważłeś. Po wspólnm wciągnięciu wniosków przechodzim do podania własności funkcji: Dla współcznnika kierunkowego dodatniego (a>) funkcja liniowa = a +b jest rosnąca. Przkład Funkcja liniowa rosnąca =a+b, a> = Dla współcznnika kierunkowego ujemnego (a<) funkcja liniowa = a +b jest malejąca. Przkład Funkcja liniowa malejąca =a+b, a< =-.5+ Wkresem funkcji stałej = b, (= +b) jest prosta równoległa do osi i przecinająca oś w punkcie b. Joanna Nowak 8
9 Przkład Funkcja stała =b (=a+b, a=) = =- Jeżeli mam funkcje liniowe różniące się tlko wrazem wolnm (współcznniki kierunkowe są takie same) to ich wkres są równoległe. Przkład Wkres funkcji o równch współcznnikach kierunkowch = -6 =+ -8 =-5 Jeżeli jednostki na obu osiach są takie same to dla funkcji liniowej = a +b współcznnik kierunkow a jest równ tangensowi kąta jaki wkres tej funkcji tworz z osią. a = tgα Przkład 8 = 6 a=tg& Joanna Nowak 9
10 Dla współcznników kierunkowch dodatnich, im współcznnik jest większ tm wkres funkcji jest bardziej strom. Przkład tg α= tg α= tg α=, = = =.8 Teraz uczniowie rozwiązują samodzielnie ćwiczenie: ćwiczenie: Napisz kilka przkładów funkcji liniowej oraz jej własności. Po wkonaniu ćwiczenia kilku uczniów podaje swoje przkład. To pozwala zwrócić uwagę uczniom na fakt, że z samego zapisu funkcji możem odcztać tlko jej monotoniczność. Więcej własności możem odkrć mając podan wkres. Ciekawm narzędziem do tego tpu zadań jest arkusz kalkulacjn oraz Word. Uczniowie rozpocznają pracę od rozwiązania ćwiczenia. Jego treść jest następująca : Ćwiczenie : Na podstawie podanch wkresów funkcji podaj następujące własności: a= b= monotoniczność miejsce zerowe punkt przecięcia z osią Y dla jakich argumentów funkcja przjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne Wniki przedstaw w tabelce = Joanna Nowak
11 7 6 5 = = Uczniowie przpominają zasad tworzenia i formatowania tabel, a następnie przstępują do wkonania zadania. Praca zajmie im trochę czasu, możliwe, że niektórm osobom trzeba będzie trochę pomóc. Efektem ich prac powinna bć tabela podobna do poniższej. =- =-+ =+ a = - b = - monotoniczność f. rosnąca f. malejąca f. stała miejsce zerowe.5 brak pkt. przecięcia z OY - wartości dodatnie є (.5;+ ) є (- ;) є(- ;+ ) wartości ujemne є (- ;.5) є (;+ ) brak Po wkonaniu tego ćwiczenia wspólnie z uczniami podsumujem i utrwalim wiadomości poznane na lekcji. Joanna Nowak
12 Rozdział Temat lekcji: Wkres funkcji liniowej.(lekcja dwugodzinna) Cele lekcji: a) umiejętność rsowania wkresu funkcji liniowej b) doskonalenie umiejętności posługiwania się układem współrzędnch c) wkorzstwanie wiadomości o funkcjach prz rsowaniu wkresów funkcji d) doskonalenie umiejętności posługiwania się arkuszem kalkulacjnm jako narzędziem prac Uczniowie potrafią: znają definicję i własności funkcji liniowej, swobodnie posługiwać się układem współrzędnch swobodnie posługiwać się arkuszem kalkulacjnm. Przed rozpoczęciem realizacji nowego tematu uczniowie przpominają własności funkcji liniowej. Będzie to przdatne prz rsowaniu wkresów. Następnie przechodzę do części teoretcznej. Wkresem funkcji liniowej = a +b jest prosta. Ab jednoznacznie wznaczć prostą potrzebujem tlko dwóch punktów. Narsujm wkres funkcji = +. Za argument () możem przjąć dowolne wartości, np. i. Obliczm wartości funkcji w tch punktach, dla = mam = + =, dla = mam = + = 5. Argument i wartości funkcji umieszczam w tabelce. Wkres naszej funkcji przechodzi przez punkt(;) i (;5). Zaznaczam je w układzie współrzędnch i przeprowadzam przez nie prostą. Dla a i b punkt w tabelce możem tak dobrać, ab bł to punkt przecięcia wkresu z osiami układu współrzędnch. Bardzo polecam! Policzenie wartości funkcji dla = jest bardzo łatwe. Ab wznaczć pierwszą współrzędną drugiego punktu rozwiązujem proste równanie = +. Stąd = -. Joanna Nowak
13 Po tm wstępie uczniowie rozwiązują następujące ćwiczenie: Ćwiczenie : Narsuj wkres dowolnej funkcji rosnącej, malejącej i stałej a) w zeszcie b) w arkuszu kalkulacjnm. Jak wspomniałam, do narsowania jednej prostej w zeszcie wstarcz znać dwa punkt, przez które ona przechodzi. W arkuszu posłużm się jednak całą tabelą wartości. Samo rsowanie prostch w arkuszu jest łatwe, jednak wspólnie z uczniami powtarzam metodę wkonwania wkresów.:. Tworzm tabelkę argumentów i wartości funkcji. Zaznaczam tabelkę. W pasku narzędzi : wstaw wkres. Z ofert wbieram jako tp wkresu X-Y(punktow). Przpominam również zasad pisania i kopiowania formuł w arkuszu. Praca zajmie im trochę czasu, możliwe że niektórm osobom trzeba będzie trochę pomóc, ale warto to zrobić po to b zobaczć radość uczniów. Dzięki tak określonemu zadaniu otrzmam większ materiał do porównania i będzie to ciekawsze dla uczniów. Efektem prac powinn bć wkres podobne do tch: Funkcja rosnąca =- -8 Joanna Nowak
14 Funkcja malejąca 6 5 = Funkcja stała 6 =+ - - Po wkonaniu tego ćwiczenia uczniowie stwierdzili, że tworzenie tabel i wkresów dla wielu współcznników a i b zajmuje wiele czasu. Stosując adres bezwzględn można uwzględnić wiele danch, a wkres będzie się zmieniał automatcznie po wprowadzeniu nowch danch. W ten sposób przechodzim do następnego ćwiczenia: Ćwiczenie : Zaplanuj tabelę służącą do obliczania współrzędnch punktów dowolnej funkcji liniowej : = a +b i utwórz wkres tej funkcji. Joanna Nowak
15 Uczniowie przpominają zasad adresowania w arkuszu kalkulacjnm, a następnie zabierają się do prac. Efekt ich prac powinien wglądać tak : a = b = = a+b Jeśli ćwiczenie zostało wkonane poprawnie, to możem zmieniać wartości współcznników a i b, wówczas wartości funkcji zostaną przeliczone i wkres zmieni się automatcznie. Sprawdzenie poprawności ostatniej prac uczniów będzie pośrednim celem następnego zadania. Ćwiczenie : Korzstając z ćwiczenia zmień kilkakrotnie wartości współcznników a i b, tak ab otrzmać wkres różnch funkcji. Odpowiedz na ptania: Cz jest to wkres funkcji rosnącej, malejącej cz stałej? Dla jakich wartości funkcja przjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne? Jakie jest miejsce zerowe tej funkcji? Wniki przedstaw w tabeli. Zadanie to jest dla uczniów zabawą. To pozwala mi zwrócić uwagę uczniów na fakt, że arkusz kalkulacjn jest przdatn prz rozwiązwaniu zadań z matematki a szczególnie ich prezentowania w postaci graficznej. Efektem ich prac powinna bć tabela podobna do poniższej. funkcja =+ =-+ = =,5- =- =+ monotoniczność f. rosnąca f. malejąca f. stała f. rosnąca f. malejąca f. stała wartości dodatnie (-/;+ ) (- ;/) brak (6;+ ) (- ;) (- ;+ ) wartości ujemne (- ;-/) (/;+ ) (- ;+ ) (- ;6) (; + ) brak miejsce zerowe -/ / brak 6 brak Dla uczniów zdolniejszch (pracującch szbciej) mam jeszcze jedno ćwiczenie będące przgotowaniem do następnej lekcji. Ćwiczenie: W jednm układzie współrzędnch przedstaw dwie funkcje liniowe, którch wkres są prostmi równoległmi. Joanna Nowak 5
16 Rozdział Temat lekcji: Badanie wzajemnego położenie dwóch prostch. (lekcja dwugodzinna) Cele lekcji: a) doskonalenie umiejętności graficznej interpretacji układu równań b) doskonalenie umiejętności rozwiązwania układów równań metodą graficzną c) doskonalenie umiejętności posługiwania się arkuszem kalkulacjnm d) badanie wzajemnego położenia dwóch prostch Uczniowie potrafią: rozwiązwać układ równań metodą algebraiczną i graficzną, rozpoznawać układ niezależne, sprzeczne i zależne, obsługiwać arkusz kalkulacjn, Zadania wkonane na lekcjach poprzednich przekonał uczniów, że arkusz kalkulacjn jest bardzo użtecznm programem do rsowania wkresu funkcji, której wartości dane są w postaci tabeli. Na dzisiejszej lekcji przekonają się, że w jednm układzie współrzędnch w arkuszu można umieścić wkres dwóch lub więcej funkcji liniowch. Zanim przejdziem do rozwiązwania ćwiczeń przpomnim trochę teorii : Metoda graficzna. Omówim ją dla układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadommi. Ab rozwiązać graficznie układ równań wznaczam z obu równań zmienną. = 6 += = + = - Rsujem teraz wkres obu prostch. Punkt przecięcia prostch jest rozwiązaniem układu. Zatem para liczb (; ) - punkt przecięcia wkresów, jest rozwiązaniem naszego układu. Innm zapisem rozwiązania jest = = - to pierwsza współrzędna punktu, - to druga współrzędna punktu. Joanna Nowak 6
17 Jeżeli proste przecinają się, wówczas układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest to tzw. układ równań niezależnch (oznaczon). (przkład j / w) Jeżeli nie istnieje punkt w którm przecinają się wszstkie wkres to układ nie ma rozwiązań. Jest to tzw. układ równań sprzecznch Jeżeli wszstkie wkres się pokrwają to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Taki układ nazwa się układem równań zależnch (nieoznaczon) z Teraz przejdziem do części praktcznej. Zacznijm od następującego ćwiczenia: Ćwiczenie : Wkonaj wkres układu równań : a) niezależnch b) sprzecznch c) zależnch Na co należ zwrócić uwagę? Przed rozpoczęciem zadania uczniowie ustalają na co należ zwrócić uwagę prz rsowaniu powższch układów równań. Prz mojej pomoc dochodzą do następującch wniosków: Joanna Nowak 7
18 Dan jest układ równań = a +b = c +d Jeżeli a c to układ równań jest niezależn Jeżeli a = c oraz b d to układ równań jest sprzeczn Jeżeli a = c oraz b = d to układ równań jest zależn. Następnie powtarzam metodę wkonwania wkresów kilku funkcji w jednm układzie współrzędnch. Dzięki tak określonemu poleceniu otrzmam więcej wkresów do porównań a dla uczniów będzie to ciekawsze. Efektem prac powinn bć wkres podobne do następującch: układ równań niezależnch =- = układ równań niezależnch =+ = -- - Joanna Nowak 8
19 układ równań sprzecznch =+ =- układ równiań sprzecznch = -+ = układ równań zależnch = + =+ Joanna Nowak 9
20 układ równań zależnch = -+ = Po wkonaniu tego ćwiczenia uczniowie stwierdzili, że tworzenie tabel i wkresów dla wielu układów równań zajmuje dużo czasu. Podobnie, jak z funkcją liniową, stosując adres bezwzględn można uwzględnić wiele danch, a wkres będzie się zmieniał automatcznie po wprowadzeniu nowch danch. W ten sposób przechodzim do następnego ćwiczenia: Ćwiczenie : Zaplanuj tabelę służącą do obliczania współrzędnch punktów dowolnego układu współrzędnch i utwórz jego wkres. Uczniowie przpominają zasad adresowania w arkuszu kalkulacjnm, a następnie przstępują do prac. Efekt ich prac powinien wglądać tak : prosta a+b pierwsza druga a = - b = - z wkres dwóch prostch z Korzstając z ćwiczenia możem zmieniać wartości współcznników a i b, wówczas wartości funkcji zostaną przeliczone, wkres zmienią się automatcznie i otrzmam różne położenia prostch. Następne zadanie będzie kontnuacją ćwiczenia : Joanna Nowak
21 Ćwiczenie : Posługując się ćwiczeniem, tak dobierz wartości współcznników obu prostch, ab: proste bł równoległe względem siebie jedna prosta bła równoległa do osi OX obie proste bł równoległe do osi OX obie proste pokrwał się. Po burzliwej dskusji dotczącej doboru współcznników uczniowie dochodzą do następującch wniosków: ab proste bł równoległe względem siebie, to współcznniki a obu funkcji muszą bć takie same ab prosta bła równoległa do osi OX, to współcznnik a= ab proste pokrwał się, to współcznniki a i b obu funkcji muszą bć takie same tj.a =a i b =b. Oto przkładowe wniki prac uczniów:. proste równoległe względem siebie: wkres dwóch prostch z -5. jedna z prostch równoległa do osi OX : wkres dwóch prostch z -5 Joanna Nowak
22 . obie proste równoległe do osi OX : wkres dwóch prostch z.obie proste pokrwają się: wkres dwóch prostch z -5 Przechodzim do dalszej części lekcji. Zajmiem się teraz graficzną metodą rozwiązwania równań. Ćwiczenie : Korzstając z arkusza kalkulacjnego rozwiąż graficznie układ równań: + = = Uczniowie przpominają graficzną metodę rozwiązwania układu równań i zabierają się do rozwiązwania zadania. Joanna Nowak
23 = -+ = = - + = = - + = -5 Rozwiązaniem jest para liczb: =,5 =,5 Po wkonaniu zadania będę chciała uzskać od uczniów odpowiedź na ptanie: Co należ zrobić gd mam kłopot z odcztaniem współrzędnch punktu przecięcia? Proszę ich o sformułowanie zasad postępowania. Oto one: Należ narsować dane proste (wkres) z większą dokładnością w mniejszm przedziale zawierającm punkt przecięcia. Kolejne powiększenia obszaru wokół punktu przecięcia się prostch polega na zmianie skali i jednostki osi X i Y na coraz to mniejsze przedział. Joanna Nowak
24 Ogólne wskazówki dla nauczciela Arkusz kalkulacjn jest jednm z najpopularniejszch programów komputerowch, służącm do tworzenia najróżniejszch zestawień liczb, wkonwania na nich obliczeń oraz ich prezentowania w postaci graficznej. Zadania przedstawione w tej prac pokazują jak wkorzstać poznane własności i możliwości arkusza. Tak więc arkusz jest bardzo użtecznm programem do rsowania wkresu funkcji, której wartości są dane w postaci tabeli. Ponadto, w jednm układzie współrzędnch można umieścić wkres dwóch lub więcej funkcji. Arkusz kalkulacjn, pomimo wielu swoich znakomitch cech, ma również pewne wad wkres niektórch prostch. Ponieważ serie mogą bć utworzone z liczb z różnego zakresu, długości fragmentów osi OX i OY na wkresie mogą bć różne. I to jest podstawową przczną, że proste z założenia prostopadłe nie są prostopadłe na wkresie otrzmanm w arkuszu. I nie zawsze można temu zaradzić. Jeśli się uda, to zmieniając wielkość okna z wkresem można to łatwo zepsuć, np.: wkres dwóch prostch prostopadłch =-,5+ z=- wkres dwóch prostch prostopadłch = -,5+ z= z z Ab dokładnie badać wzajemne położenie prostch warto skorzstać ze specjalnego programu Funkcja liniowa. Program ten zawiera jeszcze wiele innch możliwości badania funkcji liniowej, równości i nierówności liniowch. Innm ciekawm programem jest program. Z jego pomocą można rozwiązać równania, nierówności i układ równań, rsować wkres wbranch funkcji. W obu programach można również sprawdzić wiadomości w tm zakresie. W zależności od wposażenia szkoł, ciekawm tematem lekcji może bć Funkcja liniowa na stronach WWW. Jak wiadomo, dzięki stronom WWW można pogłębiać i rozszerzać wiadomości. Joanna Nowak
25 Bibliografia. Matematka w szkole podstawowej N. Dróbka i K. Szmański. Algebra kl. - A. Ehrenfeucht i O. Stande. Matematka - M. Brński i N. Dróbka. Informatka podręcznik do gimnazjum - E. Gurbiel, G. Hardt-Olejniczak, E.Kołczk, H. Krupocka, M. Ssło 5. Informatka - podstawowe temat nie tlko dla gimnazjum - G. Koba 6. Multimedialne program : Funkcja liniowa,. Joanna Nowak 5
KONSPEKT LEKCJI. NAUCZYCIEL: mgr inŝ. EWA JAROSZ SZKOŁA: GIMNAZJUM KLASA: 3 PRZEDMIOT: MATEMATYKA
NAUCZYCIEL: mgr inŝ. EWA JAROSZ SZKOŁA: GIMNAZJUM KLASA: 3 PRZEDMIOT: MATEMATYKA KONSPEKT LEKCJI TEMAT LEKCJI: Badanie własności funkcji liniowej za pomocą programu Graphmatica. CELE OPERACYJNE: Uczeń
Bardziej szczegółowo3.3. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi. Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy równanie postaci
.. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Równanie liniowe z dwiema niewiadommi Równaniem liniowm z dwiema niewiadommi i nazwam równanie postaci A B C 0, gdzie A, B, C R i A B 0 m równania z dwiema niewiadommi nazwam
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji matematyki z wykorzystaniem komputera
Scenariusz lekcji matematki z wkorzstaniem komputera Temat: Wpłw współcznników a i b na położenie wkresu funkcji liniowej. (Rsowanie wkresów prz użciu arkusza kalkulacjnego EXCEL.) Czas zajęć: 9 min Cele:
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoKONSPEKT LEKCJI na temat: PRZESUWANIE PARABOLI
KONSPEKT LEKCJI na temat: PRZESUWANIE PARABOLI CELE LEKCJI: Poznawcze Uczeń utrwala wiadomości o: funkcji kwadratowej rsowanie wkresu, przesuwaniu wkresu funkcji wzdłuż osi 0 i 0 związkach międz równaniem
Bardziej szczegółowoZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f
IMIE I NAZWISKO ZADANIE Poniżej znajduje się fragment wkresu funkcji = f (). -7 -- - - 6 7 Dorsuj brakujac a część wkresu wiedzac, że dziedzina funkcji f jest przedział,, a wkres jest smetrczn względem
Bardziej szczegółowoWYKRESY FUNKCJI LINIOWEJ
GIMNAZJUM NR 2 W KAMIENNEJ GÓRZE WYKRESY FUNKCJI LINIOWEJ Oprcowała Wiesława Kurnyta Kamienna Góra, 2006 Oto wypisy z Podstawy programowej o nauczaniu matematyki w gimnazjum Cele edukacyjne 1. E Przyswajanie
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoKONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI (2 LEKCJE) W III KLASIE GIMNAZJUM OPRACOWAŁA RENATA WOŁCZYŃSKA
KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI (2 LEKCJE) W III KLASIE GIMNAZJUM OPRACOWAŁA RENATA WOŁCZYŃSKA Temat: Powtórzenie i utrwalenie wiadomości o funkcji liniowej Cel ogólny Przykłady funkcji; odczytywanie własności
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz
Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz x argumenty funkcji y wartości funkcji a współczynnik kierunkowy prostej ( a = tg, gdzie osi OX) - kąt nachylenia wykresu funkcji
Bardziej szczegółowoa, b funkcji liniowej y ax + b
. FUNKCJA LINIOWA zadania Zad... Napisz wzór funkcji liniowej, której wkres przechodzi przez punkt A (, ) i przecina oś OY w punkcie B (0,). Zad... Dan jest wzór funkcji liniowej: A) B) C) D) Na podstawie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012
Centralna Komisja Egzaminacjna EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012 CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA MATEMATYKA ODPOWIEDZI I PROPOZYCJE OCENIANIA PRZYKŁADOWEGO ZESTAWU ZADAŃ PAŹDZIERNIK 2011 Zadania
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowo========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2
Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.
I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoLiczby, działania i procenty. Potęgi I pierwiastki
Zakres materiału obowiązując do egzaminu poprawkowego z matematki klasa technikum str Dział programow Liczb, działania i procent Potęgi I pierwiastki Zbior i przedział liczbowe Wrażenia algebraiczne Równania
Bardziej szczegółowoSkrypt 7. Funkcje. Opracowanie: L1
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 7 Funkcje 8. Miejsce zerowe
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 17751 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Rozważm treść następujacego
Bardziej szczegółowoEgzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. Autorzy scenariusza: Krzysztof Sauter (informatyka), Marzena Wierzchowska (matematyka)
SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Moduł interdyscyplinarny:
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę.
FUNKCJE Lekcja 61-6. Dziedzina i miejsce zerowe funkcji str. 140-14 Co to jest funkcja. Może przykłady. W matematyce funkcje najczęściej przedstawiamy za pomocą wzorów. Przykłady. Dziedzina to zbiór argumentów
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LINIOWE SCENARIUSZE LEKCJI OPRACOWAŁA EWA SKOROCH
FUNKCJE LINIOWE SCENARIUSZE LEKCJI OPRACOWAŁA EWA SKOROCH Iława 2006 Wstęp Opracowanie jest zbiorem sześciu scenariuszy lekcji z zakresu funkcji opartych na programie Matematyka z plusem. Służą one jako
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 9 MARCA 019 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Cena nart po obniżce o
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. Wielomiany komputerowe wykresy funkcji wielomianowych
Autorzy scenariusza: SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowo? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
Bardziej szczegółowoM10. Własności funkcji liniowej
M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia
Bardziej szczegółowoMATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO
IMIE I NAZWISKO MATURA PRÓBNA KLASA I LO CZAS PRACY: 90 MIN. SUMA PUNKTÓW: 60 ZADANIE (5 PKT) Znajdź wszstkie funkcje liniowe określone na zbiorze ;, którch zbiorem wartości jest przedział ; 0. ZADANIE
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY
ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.
I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności
Bardziej szczegółowoPOWTÓRKA ROZDZIAŁU III FUNKCJA LINIOWA
POWTÓRKA ROZDZIAŁU III FUNKCJA LINIOWA I. Wykresy funkcji 1. Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y=ax+b. Jakie znaki mają współczynniki a i b? A. a
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: O czym mówią współczynniki funkcji liniowej? - wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego na lekcjach matematyki
SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY w RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE i OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:
Bardziej szczegółowoDefinicja wartości bezwzględnej. x < x y. x =
1.9. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA Definicja wartości bezwzględnej... gd... 0 =... gd... < 0 Własności wartości bezwzględnej 0 = = = n a n = a, gd n jest liczbą parzstą Przkład 1.9.1. Oblicz: a) b) c) 1 d) 0 e)
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6
ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek
Nazwisko... Data... Wdział... Imię... Dzień tg.... Godzina... Ćwiczenie 36 Badanie układu dwóch soczewek Wznaczenie ogniskowch soczewek metodą Bessela Odległość przedmiotu od ekranu (60 cm 0 cm) l Soczewka
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut
Miejsce na naklejkę z kodem szkoł OKE ŁÓDŹ CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 008 PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR Czas prac 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, cz arkusz egzaminacjn zawiera
Bardziej szczegółowo3) Naszkicuj wykres funkcji y=-xdo kwadratu+2x+1 i napisz równanie osi symetrii jej wykresu.
Zadanie: 1) Dana jest funkcja y=-+7.nie wykonując wykresu podaj a) miejsce zerowe b)czy funkcja jest rosnąca czy malejąca(uzasadnij) c)jaka jest rzędna punktu przecięcia wykresu z osią y. ) Wykres funkcji
Bardziej szczegółowoPojęcie funkcji i jej podstawowe własności.
Konspekt lekcji matematyki w klasie II gimnazjum Pojęcie funkcji i jej podstawowe własności. Opracowała mgr Iwona Żuk Gimnazjum nr 2 w Świętoniowej I. Umiejscowienie lekcji w jednostce metodycznej: Pojęcie
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Bardziej szczegółowoSkrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.
Bardziej szczegółowoKonspekt lekcji matematyki kl. I gimnazjum Temat: Funkcje - powtórzenie
Maria Żylska ul. Krasickiego 9/78-55 Kraków zyluska@interia.pl Konspekt lekcji matematyki kl. I gimnazjum Temat: Funkcje - powtórzenie Autor: Maria Żylska Gimnazjum 7 Kraków Temat: Funkcje powtórzenie
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba
Bardziej szczegółowoRozkład materiału nauczania
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: II 96 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat
Bardziej szczegółowoSkrypt 10. Funkcja liniowa. Opracowanie L Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 10 Funkcja liniowa 10. Równanie
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 2 b
Akademia Górniczo Hutnicza Wdział Inżnierii Mechanicznej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wdział Górnictwa i Geoinżnierii Grupa nr: Ocena:
Bardziej szczegółowo1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI PLANOWANEJ DO PRZEPROWADZENIA W KLASIE I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO
SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI PLANOWANEJ DO PRZEPROWADZENIA W KLASIE I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DZIAŁ: Funkcje TEMAT: Wykres funkcji i miejsca zerowe funkcji w Excelu Odczytywanie własności funkcji z wykresu
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 MARCA 015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Przbliżenie dziesiętne
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 1d: wpisy oznaczone jako: LICZBY RZECZYWISTE, JĘZYK MATEMATYKI, FUNKCJA LINIOWA, (F) FUNKCJE, FUNKCJA KWADRATOWA. Przypisanie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny To się liczy! Branżowa Szkoła I stopnia, klasa 1 po szkole podstawowej
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny To się liczy! Branżowa Szkoła I stopnia, klasa 1 po szkole podstawowej Wymagania dostosowano do sześciostopniowej skali ocen. I. Liczby rzeczywiste zna cechy
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
Bardziej szczegółowoTemat (rozumiany jako lekcja) Propozycje środków dydaktycznych. Liczba godzin. Uwagi
Roczny plan dydaktyczny z matematyki dla pierwszej klasy szkoły branżowej I stopnia dla uczniów będących absolwentami ośmioletniej szkoły podstawowej, uwzględniający kształcone umiejętności i treści podstawy
Bardziej szczegółowoTEMAT: Ilustracja graficzna układu równań.
SCENARIUSZ LEKCJI PRZEPROWADZONEJ W KLASIE III TEMAT: Ilustracja graficzna układu równań. Cel ogólny: Uczeń rozwiązuje metodą graficzną układy równań przy użyciu komputera. Cele operacyjne: Uczeń: - zna
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego
Bardziej szczegółowoKONSPEKT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH
KONSPEKT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Część organizacyjna: Opracowała: grupa 4 ds. korelacji matematyczno-fizycznej Przedmiot: matematyka Klasa: I technikum poziom podstawowy Czas trwania: 45 min. Data: Część merytoryczna
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji diagnozującej z matematyki przygotowującej do sprawdzianu z funkcji kwadratowej
Scenariusz lekcji diagnozującej z matematyki przygotowującej do sprawdzianu z funkcji kwadratowej Temat : Powtórzenie i utrwalenie wiadomości z funkcji kwadratowej Czas trwania : 90 min. Środki dydaktyczne:
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne 2. Liczby całkowite. 3. Liczby wymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
Bardziej szczegółowoWymagania i plan wynikowy z matematyki dla klasy I BO
Wymagania i plan wynikowy z matematyki dla klasy I BO Lekcja Liczba Treści z podstawy godzin programowej I. Liczby rzeczywiste (9 h) 1. Liczby naturalne 1 Przypomnienie ze szkoły podstawowej ułatwiające
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od 1 jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Spośród liczb f(42), f(44), f(45), f(48) A. f(42) B. f(44) C. f(45)
Bardziej szczegółowoTEMAT : Przykłady innych funkcji i ich wykresy.
Elżbieta Kołodziej e-mail: efreet@pf.pl matematyka, informatyka Gimnazjum Nr 5 37-450 Stalowa Wola ul. Poniatowskiego 55 SCENARIUSZ LEKCJI PRZEPROWADZONEJ W KLASIE III TEMAT : Przykłady innych funkcji
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019 Przedmiotowy system oceniania jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 10 czerwca 2015 r. w
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 4-5
ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch - Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs... s.. rzed przstąpieniem
Bardziej szczegółowoARKUSZ HOSPITACJI DIAGNOZUJĄCEJ
ARKUSZ HOSPITACJI DIAGNOZUJĄCEJ Przedmiot: matematyka Data: 07.04.2006 Klasa: I T inf i I T mech Imię i nazwisko nauczyciela prowadzącego: Agnieszka Hodor Cel hospitacji: zdiagnozowanie umiejętności posługiwania
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.
FUNKCJA LINIOWA Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b. Jakie znaki mają współczynniki a i b? R: Przedstawiona prosta, jest wykresem funkcji
Bardziej szczegółowo3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.
WYKŁAD 7 3 Podstawowe własności unkcji Funkcje cklometrczne, hiperboliczne Deinicję unkcji o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mam w 3A5 3A37 (Uwaga: dziedzina naturalna) Często się zdarza, że unkcja
Bardziej szczegółowo