Metody probabilistyczne

Transkrypt

1 Metody probabilistyczne Prawdopodobieństwo warunkowe Jędrzej Potoniec

2 Część I Podstawy interpretacji wyników badań medycznych

3 Badanie raka Grupa kobiet w wieku 40 lat bierze udział w przesiewowej mammografi, znane są następujące fakty: 1% ma raka 80% kobiet chorych na raka otrzymuje pozytywny wyniki mammografi 9,6% kobiet zdrowych otrzymuje pozytywny wynik mammografii Pewna kobieta otrzymała pozytywny wyniki mammografi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma raka? Źródło:

4 Badanie raka Grupa kobiet w wieku 40 lat bierze udział w przesiewowej mammografi, znane są następujące fakty: 1% ma raka (R) 80% kobiet chorych na raka (R) otrzymuje pozytywny wyniki mammografi (M) 9,6% kobiet zdrowych (R ) otrzymuje pozytywny wynik mammografii (M) Pewna kobieta otrzymała pozytywny wyniki mammografi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma raka?

5 Badanie raka Grupa kobiet w wieku 40 lat bierze udział w przesiewowej mammografi, znane są następujące fakty: P(R) = 1% ma raka P(M R) = 80% kobiet chorych na raka otrzymuje pozytywny wyniki mammografi P(M R ) = 9,6% kobiet zdrowych otrzymuje pozytywny wynik mammografii Pewna kobieta otrzymała pozytywny wyniki mammografi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma raka?

6 Badanie raka Grupa kobiet w wieku 40 lat bierze udział w przesiewowej mammografi, znane są następujące fakty: P(R) = 1% ma raka P(M R) = 80% kobiet chorych na raka otrzymuje pozytywny wyniki mammografi P(M R ) = 9,6% kobiet zdrowych otrzymuje pozytywny wynik mammografii Pewna kobieta otrzymała pozytywny wyniki mammografi. Jakie jest prawdopodobieństwo P(R M), że ma raka?

7 Badanie raka Grupa kobiet w wieku 40 lat bierze udział w przesiewowej mammografi, znane są następujące fakty: P(R) = 1% ma raka P(M R) = 80% kobiet chorych na raka otrzymuje pozytywny wyniki mammografi P(M R ) = 9,6% kobiet zdrowych otrzymuje pozytywny wynik mammografii Pewna kobieta otrzymała pozytywny wyniki mammografi. Jakie jest prawdopodobieństwo P(R M), że ma raka? 100% 1% 99%

8 Badanie raka Grupa kobiet w wieku 40 lat bierze udział w przesiewowej mammografi, znane są następujące fakty: P(R) = 1% ma raka P(M R) = 80% kobiet chorych na raka otrzymuje pozytywny wyniki mammografi P(M R ) = 9,6% kobiet zdrowych otrzymuje pozytywny wynik mammografii Pewna kobieta otrzymała pozytywny wyniki mammografi. Jakie jest prawdopodobieństwo P(R M), że ma raka? 100% 1% 99% 100% 80%

9 Badanie raka Grupa kobiet w wieku 40 lat bierze udział w przesiewowej mammografi, znane są następujące fakty: P(R) = 1% ma raka P(M R) = 80% kobiet chorych na raka otrzymuje pozytywny wyniki mammografi P(M R ) = 9,6% kobiet zdrowych otrzymuje pozytywny wynik mammografii Pewna kobieta otrzymała pozytywny wyniki mammografi. Jakie jest prawdopodobieństwo P(R M), że ma raka? 100% 1% 99% 100% 100% 80% 9,6%

10 Część II Formalizm matematyczny

11 Prawdopodobieństwo warunkowe P(A B) = P(A B) P(B) P(B) > 0

12 Prawdopodobieństwo warunkowe P(A B) = P(A B) P(B) P(B) > 0 Twierdzenie o prawdopodobieństwie warunkowym Prawdopodobieństwo warunkowe spełnia aksjomaty Kołmogorowa

13 Prawdopodobieństwo warunkowe P(A B) = P(A B) P(B) P(B) > 0 Twierdzenie P(A 1 A 2 ) =P(A 2 A 1 )P(A 1 ) P(A 1 A 2 A 3 ) =P(A 3 A 1 A 2 )P(A 2 A 1 )P(A 1 ) P(A 1 A 2 A 3 A 4 ) =P(A 4 A 1 A 2 A 3 )P(A 3 A 1 A 2 )P(A 2 A 1 )P(A 1 )...

14 Prawdopodobieństwo warunkowe P(A B) = P(A B) P(B) P(B) > 0 Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym (zupełnym) Niech: A 1, A 2,... A i j : A i A j A 1 A 2... Ω i : P(A i ) > 0 wtedy: P(B) = P(B A 1 )P(A 1 ) + P(B A 2 )P(A 2 ) +...

15 Prawdopodobieństwo warunkowe P(A B) = P(A B) P(B) P(B) > 0 Twierdzenie Bayesa Niech: wtedy: A 1, A 2,... A i j : A i A j A 1 A 2... Ω i : P(A i ) > 0 P(A i B) = P(B A i )P(A i ) P(B A 1 )P(A 1 ) + P(B A 2 )P(A 2 ) +...

16 Thomas Bayes Thomas Bayes ( ) domena publiczna

17 Niezależność pary zdarzeń P(A B) = P(A) P(A B) = P(A)P(B)

18 Niezależność pary zdarzeń P(A B) = P(A) P(A B) = P(A)P(B) Twierdzenie Dla dowolnych zdarzeń A i B nad przestrzenią Ω: 1 A i Ω są niezależne 2 A i są niezależne 3 Ω i są niezależne 4 jeżeli A i B są niezależne, to A i B także są niezależne

19 Niezależność większej liczby zdarzeń Zdarzenia ze zbioru co najwyżej przeliczalnego A = {A 1, A 2,...} są (wzajemnie) niezależne wtedy, i tylko wtedy gdy dla dowolnego, skończonego B A zachodzi: P(A i ) = P A i B A i B A i

20 Niezależność większej liczby zdarzeń Zdarzenia ze zbioru co najwyżej przeliczalnego A = {A 1, A 2,...} są (wzajemnie) niezależne wtedy, i tylko wtedy gdy dla dowolnego, skończonego B A zachodzi: P(A i ) = P A i B A i B A i Przypadki szczególne niezależność parami niezależność trójkami...

21 Niezależność większej liczby zdarzeń Zdarzenia ze zbioru co najwyżej przeliczalnego A = {A 1, A 2,...} są (wzajemnie) niezależne wtedy, i tylko wtedy gdy dla dowolnego, skończonego B A zachodzi: P(A i ) = P A i B A i B A i Twierdzenie Dla niezależnych zdarzeń A, B, C zachodzi: 1 A B i C są niezależne 2 jeżeli P(C) > 0, to P(A B C) = P(A C)P(B C)

22 Część III Jak działa filtr antyspamowy, czyli dzień z życia nauczyciela akademickiego

23 Filtr antyspamowy List 1 Proszę przepisać ocenę. Student Wytrwały P( prosić, przepisać, ocena, student) = 1

24 Filtr antyspamowy List 2 Proszę wystawić oceny. Profesor Ważny P( prosić, wystawić, ocena, profesor) = 1

25 Filtr antyspamowy List 3 Proszę o ocenę 3. Student Panda P( prosić, ocena, student) = 1

26 Filtr antyspamowy List 4 Proszę przepisać szafę P(7 prosić, przepisać, szafa) = 1

27 Filtr antyspamowy List 5 Wystaw profesora. Student Tajniak P( wystawić, profesor, student) = 1

28 Filtr antyspamowy List 6 Wystaw oceny!!! List 7 Wystaw studenta P( wystawić, ocena) =? P( wystawić, ocena) =? P( wystawić, student) =? P( wystawić, student) =?

29 Filtr antyspamowy List 1 Proszę przepisać ocenę. Student Wytrwały P( prosić, przepisać, ocena, student) = 1 list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa

30 Filtr antyspamowy List 2 Proszę wystawić oceny. Profesor Ważny P( prosić, wystawić, ocena, profesor) = 1 list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa

31 Filtr antyspamowy List 3 Proszę o ocenę 3. Student Panda P( prosić, ocena, student) = 1 list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa

32 Filtr antyspamowy List 4 Proszę przepisać szafę P(7 prosić, przepisać, szafa) = 1 list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa

33 Filtr antyspamowy List 5 Wystaw profesora. Student Tajniak P( wystawić, profesor, student) = 1 list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa

34 Filtr antyspamowy List 6 Wystaw oceny!!! List 7 Wystaw studenta P( wystawić, ocena) =? P( wystawić, student) =? P( wystawić, ocena) =? P( wystawić, student) =? list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa ? ?

35 Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa ? ? P( wystawić, ocena) = P( wystawić, ocena) = P( )P(wystawić, ocena ) P(wystawić, ocena) P( )P(wystawić, ocena ) P(wystawić, ocena)

36 Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa ? ? P( wystawić, ocena) = P( )P(wystawić, ocena ) P( wystawić, ocena) = P( )P(wystawić, ocena ) P( )P(wystawić, ocena ) P(wystawić, ocena) P( )P(wystawić, ocena ) P(wystawić, ocena)

37 Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1, , 4, ? ? P( wystawić, ocena) = P( )P(wystawić, ocena ) P(wystawić, ocena) P( )P(wystawić, ocena ) P( )P(wystawić )P(ocena ) P( wystawić, ocena) = P( )P(wystawić, ocena ) P(wystawić, ocena) P( )P(wystawić, ocena ) P( )P(wystawić )P(ocena )

38 Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1, , 4, ? ? P( )P(wystawić )P(ocena ) = 2 5 P( )P(wystawić )P(ocena ) = 3 5

39 Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1, , 4, ? ? P( )P(wystawić )P(ocena ) = = P( )P(wystawić )P(ocena ) = =

40 Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1, , 4, ? ? P( )P(wystawić )P(ocena ) = = 1 5 P( )P(wystawić )P(ocena ) = = 1 15

41 Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1, , 4, ? P( )P(wystawić )P(ocena ) = = 1 5 P( )P(wystawić )P(ocena ) = = 1 15

42 Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1, , 4, ? P( )P(wystawić )P(student ) =... P( )P(wystawić )P(student ) =...

43 Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1, , 4, P( )P(wystawić )P(student ) =... = 1 10 P( )P(wystawić )P(student ) =... = 2 15

44 Filtr antyspamowy List 6 Wystaw oceny!!! List 7 Wystaw studenta

45 Credits Rysunki i zdjęcia pochodzą z następujących źródeł: List 1 Sleeping_students.jpg domena publiczna List 2 domena publiczna List 3 Panda_Cub_from_Wolong,_Sichuan,_China.JPG domena publiczna List 4 Eichenschrank_Oberschwaben.jpg domena publiczna List 5 Spy_silhouette.svg CC BY-SA 3.0 by Itzhak Baum aka Setreset