1.Kombinatoryka. elementom przyporz dkowujemy n elementów rozró»nialnych (ze zwracaniem), kolejno± nie jest istotna Cn k = ( n+k 1 ) = C k k

Transkrypt

1 Statystyka - 1. rok Zarz dzanie i In»ynieria Produkcji, niestacjonarne 1. stopie«przykªadowe zadania na kolokwium nr 1 1.Kombinatoryka Denicja 1 ˆ Permutacje P n - n-elementów, wszystkie elementy wybrane, bez zwracania, kolejno± jest istotna P n = n!, ˆ Permutacje z powtórzeniami P n - n-elementów, wszystkie wybrane (m z nich powtarza si k 1, k 2,..., k m razy),bez zwracania, kolejno± jest istotna P n = n! k 1!k 2!...k m!, ˆ Wariacje k-elementowe ze zbioru n-elementowego Vn k - spo±ród n elementów wybieramy k z nich bez zwracania, kolejno± jest istotna Vn k = n! (n k)!, ˆ Wariacje z powtórzeniami k-elementowe ze zbioru n-elementowego Vn k - spo±ród n elementów wybieramy k z nich ze zwracaniem, kolejno± jest istotna Vn k = n k, ˆ Kombinacje k-elementowe ze zbioru n-elementowego C k n - spo±ród n elementów wybieramy k z nich bez zwracania, kolejno± nie jest istotna C k n = ( n k ) = n! k!(n k)!, ˆ Kombinacje z powtórzeniami k-elementowe ze zbioru n-elementowego Cn k - k nierozró»nialnym elementom przyporz dkowujemy n elementów rozró»nialnych (ze zwracaniem), kolejno± nie jest istotna Cn k = ( n+k 1 ) = C k k n+k 1 Zadanie 1. Ile jest wszystkich liczb sze±ciocyfrowych o ró»nych cyfrach, utworzonych z cyfr: 1) 1,2,3,4,5,6 2) 0,1,2,3,4,5 Zadanie 2. W biegu wystartowaªo 5 biegaczy. Ile jest mo»liwych rezultatów tego biegu? Zadanie 3. W biegu wystartowaªo 5 biegaczy. Jeden z nich (biegacz A) nie uko«czyª biegu. Ile jest mo»liwych rezultatów tego biegu? Zadanie 4. Pi ciu biegaczy wylosowaªo przed biegiem 5 numerów. Ile jest mo»liwych rezultatów tego biegu uwzgl dniaj c nazwisko biegacza i numer biegu? Zadanie 5. Na ile sposobów mo»na ustawi 5 osób w rz d? Na ile sposobów mo»na ustawi 5 osób w koªo? Zadanie 6. Pi osób, w±ród których s skªócone ze sob panie A i B, zkupiªo bilety do kina na pi kolejnych miejsc w jednym rz dzie. Na ile sposobów mog usi ±, tak aby 1) panie A i B nie siedziaªy obok siebie 2) pomi dzy paniami A i B siedziaªa tylko jedna osoba.

2 Zadanie 7. Ile ró»nych sªów (istniej cych w j zyku polskim lub nie) mo»na uªo»y ze wszystkich liter: 1) sªowa ±tatystyka" 2) sªowa "matematyka" 3) liter a,a,k,r,t Zadanie 8. Ile mo»na utworzy : 1) Liczb 4-cyfrowych z cyfr 1,1,2,3 2) Pi ciocyfrowych liczb parzystych z cyfr 1,1,2,3,4 3) Pi ciocyfrowych liczb wi kszych od z cyfr 5,5,6,7,8 4) Sze±ciocyfrowych liczb z cyfr 1,1,2,2,3,3 przy zaªo»eniu,»e cyfry 2,2 stoj obok siebie Zadanie 9. W urnie znajduje si n kul ponumerowanych i m kul bez numerów. Kule wyjmujemy z urny jedn po drugiej i ukªadamy w rz d. Ile jest ró»nych rezultatów losowania zakªadaj c,»e kule nienumerowane s nierozró»nialne? Zadanie 10. Na 4 ró»ne posady zgªosiªo si 20 kandydatów. posady? Iloma sposobami mo»na obsadzi te Zadanie 11. Ile ró»nych sªów pi cioliterowych mo»na utworzy z 24 liter przy zaªo»eniu,»e ka»da litera mo»e wyst powa w sªowie tylko jeden raz? Zadanie 12. Ile ró»nych sªów pi cioliterowych mo»na utworzy z 24 liter przy zaªo»eniu,»e litery wyst puj ce w ka»dym sªowie s w alfabecie obok siebie? Zadanie 13. Ile jest liczb czterocyfrowych w których»adna cyfra si nie powtarza? Zadanie 14. Niech b dzie dany zbiór A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ile liczb dwucyfrowych mo»na utworzy z cyfr zbioru A, je±li zakªadamy,»e 1) cyfry nie mog si powtarza 2) cyfry mog si powtarza Zadanie 15. W pewnym pa«stwie tablice rejestracyjne skªadaj si z 3 liter i 4 cyfr. Ile mo»na utworzy ró»nych tablic rejestracyjnych w tym pa«stwie? Zadanie 16. Ile istnieje liczb 3-cyfrowych? Zadanie 17. Ile liczb m-cyfrowych mo»na utworzy z n cyfr 1) z zerem 2) bez zera Zadanie 18. Ile sªów mo»na utworzy z 18 spóªgªosek i 6 samogªosek, je»eli ka»de sªowo skªada si z 2 samogªosek i 3 spóªgªosek i samogªoski zajmuj drugie i czwarte miejsca. Zadanie 19. Iloma sposobami mo»na rozdzieli 5 biletów pomi dzy 8 osób. Zadanie 20. Iloma sposobami mo»na wybra 3-osobow komisj spo±ród 10 osób?

3 Zadanie 21. Ile ró»nych prostych mo»na poprowadzi przez 20 punktów, je±li dowolne 3 z nich nie s wspóªliniowe? Zadanie 22. Z talii 52 kart losujemy 5. Na ile sposobów mo»emy wylosowa te karty, tak aby w±ród nich byªy 2 asy i jeden król? Zadanie 23. Iloma sposobami mo»na spo±ród 18 osób utworzy 3 dru»yny 6-osobowe? Zadanie 24. Iloma sposobami mo»na 30 kul umie±ci w 4 urnach tak, aby w pierwszej urnie znalazªo si 15 kul, w drugiej 10, w trzeciej 3, a w czwartej 2 kule? Zadanie 25. Mamy 4 rodzaje owoców: jabªka, gruszki, morele i pomara«cze. Tworzymy paczki po pi owoców w ka»dej. Ile mo»na w ten sposób otrzyma ró»nych paczek? Zadanie 26. Na ile sposobów mo»na rozda 5 p czków 4 osobom? P czki s nierozró»nialne. Mo»e si zdarzy,»e kto± nie dostanie p czka. Zadanie 27. W kwiaciarni s 3 gatunki kwiatów. Ile ró»nych bukietów mo»na utworzy z 10 kwiatów? 2.Klasyczna denicja prawdopodobie«stwa, prawdopodobie«stwo warunkowe, caªkowite i wzór Bayesa Denicja 1 Klasyczna denicja prawdopodobie«stwa Je±li spo±ród n wszystkich zdarze«elementarnych, m zdarze«elementarnych sprzyja zaj±ciu zdarzenia A, to prawdopodobie«stwem zaj±cia zdarzenia A, P (A) jest liczba P (A) = m. n Denicja 2 Geometryczna denicja prawdopodobie«stwa Je±li przestrze«zdarze«elementarnych, oraz zbiór A dadz si przedstawi jako zbiór mierzalny, to prawdopodobie±twem zdarzenia losowego A nazywamy liczb P (A) µ(a) µ(ω). Denicja 3 Prawdopodobie«stwo warunkowe Je±li B jest zdarzeniem takim,»e P (B) > 0, to prawdopodobie«stwo warunkowe zaj±cia zdarzenia A, pod warunkiem zaj±cia zdarzenia B nazywamy liczb P (A B) = P (A B) P (B). Denicja 4 Ci g H 1, H 2,..., H n zdarze«losowych tworzy ukªad zupeªny, je±li: 1) H i H j = 2) n i=1 H i = Ω

4 3) P (H i ) > 0 Denicja 5 Prawdopodobie«stwo caªkowite Je±li H i, i = 1, 2,..., n jest ukªadem zupeªnym zdarze«i zdarzenie A mo»e zaj± z jednym ze zdarze«h i, to P (A) = n i=1 P (A H i)p (H i ). Denicja 6 Wzór Bayesa Je±li H i jest ukªadem zupeªnym zdarze«i zdarzenie A mo»e zaj± z jednym ze zdarze«h i, to: P (A H i )P (H i ) P (H i A) = n j=1 P (A H j)p (H j ). Zadanie 28. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w rzucie dwiema sze±ciennymi kostkami do gry otrzymamy sum oczek równ 8? Zadanie 29. Spo±ród liczb 1, 2,..., 9 losujemy bez zwracania trzy liczby. Tworzymy z nich liczb trzycyfrow, w której cyframi setek, dziesi tek i jedno±ci s odpowiednio: pierwsza, druga i trzecia z wylosowanych liczb. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e otrzymana liczba jest nieparzysta. Zadanie 30. W urnie jest 5 kul biaªych i 4 czarne. Z urny wybieramy losowo 3 kule. Jakie jest prawdopodobie«stwo: 1) otrzymania 3 kul biaªych, 2) otrzymania 3 kul czarnych, 3) otrzymania 2 kul biaªych i 1 czarnej, 4) otrzymania co najmniej 1 kuli biaªej Zadanie 31. W urnie znajduje si n kul w tym 6 czerwonych. Wybieramy losowo 2 kule. Dla jakich liczb n prawdopodobie«stwo tego,»e obie wylosowane kule b d czerwone jest wi ksze od 1/3? Zadanie 32. W skrzynce znajduje si 50»arówek w tym 3 wadliwe. Wybrano 7»arówek. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e: 1) Wszystkie s dobre 2) Dokªadnie jedna jest wadliwa Zadanie 33. Rzucamy 10 razy symetryczn monet. Jakie jest prawdopodobie«stwo zdarzenia,»e co najmniej raz wypadnie orzeª?

5 Zadanie 34. Rzucamy 3 kostkami. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e przynajmniej na jednej wypadªa jedynka, je»eli na ka»dej kostce wypadªa inna liczba oczek? Zadanie 35. Linia telefoniczna zerwaªa si na odcinku Puªawy-Lublin (odlegªo± 50km). Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e zerwanie nast piªo nie dalej ni» 10km od jednego z miast. Zadanie 36. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e otrzymamy sum oczek wi ksz od 7, je±li wiadomo,»e tylko na jednej kostce wypadªa liczba oczek równa 4. Zadanie 37. Rzucamy kostk 2 razy. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w pierwszym rzucie wyrzucono trzy oczka, je±li wiadomo,»e w obu rzutach liczba wyrzuconych oczek jest liczb pierwsz. Zadanie 38. Losujemy jedn rodzin spo±ród rodzin z dwojgiem dzieci. Obliczy prawdopodobie«stwo zdarzenia,»e wybierzemy rodzin z dwoma chªopcami, je»eli wiemy,»e w tej rodzinie: 1) Starsze dziecko jest chªopcem 2) Jest co najmniej jeden chªopiec Zadanie 39. Losujemy jedn rodzin spo±ród rodzin z trójk dzieci. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e najmªodszym dzieckiem jest dziewczynka, je±li wiemy,»e najstarszy jest syn. Zadanie 40. Kto± rzuciª 3 razy monet i poinformaowaª nas,»e wypadªa nieparzysta liczba orªów. Jaka jest szansa,»e wypadªy 3 orªy. Zadanie 41. W dwóch urnach I i II znajduj si kule: w I urnie - 6 czarnych i 9 biaªych, w II - 5 czarnych i 15 biaªych. 1) Losujemy jedn kul z urny I i jedn z urny II. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e b d to kule tego samego koloru? 2) Losujemy jedn kul z urny I i dwie (bez zwracania) z urny II. Jakie jest prawdopodobie«stwo otrzymania 1 biaªej i 2 czarnych kul? 3) Losujemy 2 kule z urny I i bez ogl dania wrzucamy do urny II. Jakie jest prawdopodobie«stwo wyci gni cia kuli biaªej z urny II? Zadanie 42. Strzelec A traa do tarczy z prawdopodobie«stwem 8, a strzelec B 9. S dzia rzuca razy monet i je»eli wypadnie co najmniej 1 orzeª, to strzela strzelec A, w przeciwnym razie strzela strzelec B. Jakie jest prawdopodobie«stwo traenia do tarczy? Zadanie 43. W zbiorze 65 monet jedna jest z dwoma orªami. Na losowo wybranej monecie wypaª orzeª 6 razy pod rz d. Jaka jest szansa,»e byªa to moneta z dwoma orªami?

6 Zadanie 44. W szuadzie byªo 6 nowych i 4 u»ywane piªki do gry w tenisa. Do pierwszej gry wzi to losowo z tej szuady 2 piªki i po grze wªo»ono je z powrotem do szuady. Do drugiej gry wzi to losowo z tej szuady 3 piªki. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wszystkie piªki wzi te do drugiej gry byªy nowe? Zadanie 45. W magazynie znajduj si»arówki wyprodukowane przez dwa zakªady Z 1 i Z 2. arówki wyprodukowane przez Z 1 stanowi 30% zawarto±ci magazynu, a przez Z 2-70%. Wiadomo,»e w»arówkach produkowanych przez Z 1 jest 2% wadliwych, a w»arówkach produkowanych przez Z 2-0, 5% wadliwych. Wybrano losowo jedn»arówk z magazynu. 1) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e jest ona wadliwa? 2) Okazaªo si,»e jest ona wadliwa. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wyprodukowano j w Z 1? Zadanie 46. Obok pewnej stacji benzynowej ±rednio przeje»d»a trzy razy wi cej samochodów ci»arowych ni» osobowych. Prawdopodobie«stwo,»e przeje»d»aj cy obok samochód b dzie tankowaª jest równe 1, dal samochodów osobowych i 3 dla ci»arowych ) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e nadje»d»aj cy samochód b dzie tankowaª? 2) Przeje»d»aj cy samochód zatankowaª. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e byª to samochód osobowy? Zadanie 47. Do hurtowni papieru dostarcza si towar z trzech fabryk F 1, F 2 i F 3 w proporcjach 4 : 3 : 2. Liczba wadliwych, dostarczanych z tych fabryk wyra»a si stosunkiem 2 : 3 : 4. 1) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany towar pochodzi z fabryki F i, i = 1, 2, 3? 2) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany towar b dzie wadliwy? 3) Losowo wybrany papier okazaª si wadliwy. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e pochodzi on z fabryki F i, i = 1, 2, 3? Zadanie 48. Trzech my±liwych udaªo si na polowanie. Prawdopodobie«stwo traenia dzika przez 1. wynosi 0,9, ,8, ,3. Wszyscy strzelili do dzika, którego traªa tylko jedna kula. Jak podzieli mi so? 3.Zmienna losowa typu skokowego. Schemat Bernoulliego Denicja 1 1) Dystrybuanta F (x) = P (X < x) = i:x i <t P (X < x i) 2) Warto± oczekiwana EX = n i=1 x ip (X = x i ) 3) Wariancja D 2 X = σ 2 X = n i=1 (x i EX) 2 p i 4) Odchylenie standardowe DX

7 5) Moda M O = x i : p i = max jp j 6) Kwantyl rz du p x : P (X x) p P (X x) 1 p 7) Mediana - kwantyl rz du 1 2 8) Moment rz du k EX k = n i=1 xk i P (X = x i ) 9) Moment centralny rz du k E(X EX) k = n i=1 (x i EX) k P (X = x i ) Denicja 2 Skokowe rozkªady prawdopodobie«stwa: 1) Dwupunktowy P (X = x 1 ) = p, P (X = x 2 ) = q = 1 p 2) Bernoulliego P (X = k) = ( n k )pk q n k 3) Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w Schemacie Bernoulliego: (n + 1)p 1 k (n + 1)p 4) Poissona P (X = k) = λk k! e λ Zadanie 49. Zorganizowano nast puj c gr : gracz wyci ga z talii 52 kart dwie karty (bez zwracania). Je»eli s to dwa asy, to gracz otrzymuje 20 punktów; je»eli dwie gury (król, dama, walet), to gracz otrzymuje 10 punktów; w ka»dym innym przypadku gracz traci 2 punkty. Znale¹ rozkªad zmiennej losowej X oznaczaj cej wygran gracza. Wyznaczy i narysowa dystrybuant zmiennej losowej X. Zadanie 50. Zmienna losowa X ma rozkªad: x i p i 0, 1 0, 2 0, 1 a 0, 3 1) Wyznaczy a tak, aby tabelka przedstawiaªa rozkªad prawdopodobie«stwa. 2) Narysowa wykres prawdopodobie«stwa 3) Wyznaczy dystrybuant zmiennej losowej X i narysowa jej wykres 4) Oblicz prawdopodobie«stwa: P (X < 1), P ( 1 X < 2, 5), P (X = 3) na dwa sposoby tzn. na podstawie funkcji prawdopodobie«stwa i dystrybuanty (oraz zaznaczy na wykresie dystrybuanty). 5) Obliczy warto± oczekiwan, wariancj, odchylenie standardowe, mod i median Zadanie 51. W pewnym mie±cie wylosowoano 160 sklepów i otrzymano nast puj ce wyniki dotycz ce liczby sprzedawców: liczba sprzedawców liczba sklepów Na podstawie tych informacji: 1) Znale¹ rozkªad prawdopodobie«stwa liczby sprzedawców w sklepie 2) Obliczy EX, DX, M O, M e i poda ich interpretacj

8 3) Obliczy prawdopodobie«stwo,»e zmienna losowa X przyjmuje warto± nie mniejsz ni» 3. Zadanie 52. Rozkªad prawdopodobie«stwa ocen z egzaminu ze statystyki jest nast puj cy: x i p i a 0, 4 0, 2 b 1) Wiadomo,»e warto± oczekiwana tak okre±lonej zmiennej losowej wynosi 2, 95. Obliczy P (X = 2) oraz P (X = 5). 2) Wyznaczy dystrybuant zmiennej losowej X (i narysowa jej wykres). 3) Obliczy ilu studentów spo±ród 200 zdaj cych otrzyma z egzaminu ocen co najmniej 4. Zadanie 53. Zmienna losowa X przyjmuje warto±ci równe liczbom naturalnym k z prawdopodobie«- stwami P (X = k) = c 3 k. Wyznacz staª c oraz oblicz P (X 4) Zadanie 54. Niezale»ne zmienne losowe ξ i η maj nast puj ce rozkªady ξ 1 1 P ξ 0, 5 0, 5, η 0 1 P η 0, 5 0, 5 Znale¹ rozkªady zmiennych losowych 1) ζ = ξ + 1 2) δ = η 2 3) γ = ζ + η Obliczy ich warto±ci oczekiwane i wariancje Zadanie 55. Rzucamy 4 razy kostk do gry. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e wyrzucimy 6 oczek 1) dokªadnie 2 razy 2) co najmniej 2 razy Zadanie 56. W pewnej miejscowo±ci rodzi si ±rednio 520 chªopców i 480 dziewczynek na 1000 niemowl t. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w rodzinie z pi ciorgiem dzieci: 1) liczba dziewcz t jest wi ksza ni» liczba chªopców? 2) wszystkie dzieci s tej samej pªci? Zadanie 57. Mirek traa do kosza z prawdopodobie«stwem 0, 8. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e Mirek rzucaj c do kosza 10 razy tra 1) dokªadnie 8 razy? 2) co najmniej 1 raz? Zadanie 58. Wykonujemy n rzutów kostk. Dla jakiej warto±ci n prawdopodobie«stwo zdarzenia polegaj cego na wyrzuceniu co najmniej jednej szóstki jest wi ksze od 11 36?

9 Zadanie 59. Rzucamy n razy kostk. Wyznacz najbardziej prawdopodobn liczb rzutów, w których wypadnie '5' oczek, przyjmuj c: 1) n = 11 2) n = 20 3) n = 78 4) n = 83 Zadanie 60. Z talii 52 kart losujemy pi razy po jednej karcie zwracaj c za ka»dym razem kart. W tych pi ciu losowaniach, jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba: 1) asów 2) kart czerwonych 3) gur (król, dama, walet) Zadanie 61. W bibliotece znajduj si ksi»ki z zakresu techniki i matematyki. Dowolny czytelnik wybiera ksi»k matematyczn z przewdopodobie«stwem 0, 7, a ksi»k techniczn z prawdopodobie«stwem 0, 3. Zakªadaj c,»e ka»dy czytelnik wybiera tylko po jednej ksi»ce, obliczy prawdopodobie«stwo,»e pi ciu kolejnych czytelników wybierze ksi»ki z tej samej dziedziny. Zadanie 62. Co jest bardziej prawdopodobne przy grze z przeciwnikiem r wnej klasy z wykluczeniem remisów: 1) Wygranie 3 z 4 partii, czy wygranie 5 z 8? 2) Wygranie nie mniej ni» 3 z 4 partii, czy wygranie nie mniej ni» 5 z 8? Zadanie 63. Z bie» cej produkcji pobrano w sposób przypadkowy n = 5 sztuk towaru. Niech X oznacza liczb sztuk wadliwych w±ród pobranych. Znale¹ rozkªad zmiennej losowej X, je±li wiadomo,»e wadliwo± w = 0, 1. Zadanie 64. Fabryka wysªaªa do sklepu 15 lodówek. Prawdopodobie«stwo uszkodzenia lodówki w czasie transportu wynosi 0,1. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e sklep otrzyma co najwy»ej 2 lodówki uszkodzone? Zadanie 65. Wiadomo,»e 1% wyprodukowanych»arówek jest wybrakowanych. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w±ród 100 wyprodukowanych»arówek 3 b d wybrakowane? Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba»arówek wybrakowanych w±ród wyprodukowanych 100»arówek? 4.Zmienna losowa c gªa. Rozkªad normalny

10 Denicja 1 1) Dystrybuanta F (x) = P (X < x) = x f(x)dx 2) Warto± oczekiwana EX = xf(x)dx 3) Wariancja D 2 X = σ 2 X = (x EX)2 f(x)dx 4) Odchylenie standardowe DX 5) Moda - maksimum globalne f(x) 6) Kwantyl rz du p x : P (X x) p P (X x) 1 p, (F (x) = p) 7) Mediana - kwantyl rz du 1 2 8) Moment rz du k EX k = xk f(x)dx 9) Moment centralny rz du k E(X EX) k = (x EX)k f(x)dx Denicja 2 Ci gªe rozkªady prawdopodobie«stwa: 1) Jednostajny f(x) = { 1 b a x [a, b] 0 x [a, b] 0 x a x a, F (x) = a < x b b a 1 x > b 2) Rozkªad wykªadniczy z parametrem α > 0: f(x) = { 0 x < 0 αe αx x 0, F (x) = { 0 x < 0 1 e αx x 0 3) Normalny N(µ, σ): f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 F (x) = 1 σ 2π e (x µ)2 2σ 2 Zadanie 66. Niech zmienna losowa X ma rozkªad N( 3, 2). Obliczy prawdopodobie«stwa P (X < 2, 5), 2 P (X > 0, 5), P (0, 5 < X < 2), P (0 < X < 1), P (X > 0, 5). Zadanie 67. Automat produkuje cz ±ci, których dªugo± jest zmienn losow o rozkªadzie N(2; 0, 2) (w cm). Wyznaczy prawdopodobie«stwo otrzymania braku, je±li dopuszczalne dªugo±ci cz ±ci powinny zawiera si w przedziale (1, 7; 2, 3). Zadanie 68. Waga m»czyzn ma rozkªad normalny z parametrami µ = 72 kg i σ = 8, 1 kg. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany m»czyzna b dzie miaª wag :

11 1) Powy»ej 80 kg 2) Od 68 do 74 kg. Zadanie 69. Wytrzymaªo± pewnego materiaªu budowlanego (w N/cm 2 ) jest zmienn losow o rozkªadzie N(20,8; 0,4). Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wytrzymaªo± próbki tego materiaªu przekroczy 21,5? Zadanie 70. Czas (w sekundach) oczekiwania na poª czenie telefoniczne z pewnym biurem, jest zmienn losow o rozkªadzie N(39; 8). Oblicz prawdopodobie«stwo,»e czas oczekiwania na poª - czenie: 1) Przekroczy 60 sekund 2) Jest wi kszy od 36 i mniejszy od 44 sekund.