1. Zadanie. Określmy zbiór A = {0, 1, 2, 3, 4}. Dla x, y A definiujemy: x jest w relacji R z y (zapisujemy xry, lub (x, y) R) x + y 3

Transkrypt

1 1. Zadanie. Określmy zbiór A = {0, 1, 2, 3, 4}. Dla x, y A definiujemy: x jest w relacji R z y (zaisujemy xry, lub (x, y) R) x + y 3 (a) Ile ar (x, y) należy do relacji R? (b) Czy relacja R jest zwrotna? (c) Czy relacja R jest symetryczna? (d) Czy relacja R jest antysymetryczna? Odowiedź Nastęujące ary (0, 3), (0, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4) należą do R. Jest ich więc 19. R nie jest zwrotna: 0 nie jest w relacji R z 0. R jest symetryczna, gdyż rawdziwa jest imlikacja x + y 3 y + x 3. R nie jest antysymetryczna, gdyż 3R2 2R3, ale Zadanie. Zbiór X ma n elementów, a zbiór Y ma m elementów (n, m N). Ile jest wszystkich funkcji f : X Y? Liczbę tę określa liczba wszystkich wariacji n elementowych z owtórzeniami ze zbioru m elementowego. 1

2 Wariacją n elementową z owtórzeniami ze zbioru m elementowego nazywamy uorządkowany zbiór n elementowy (n wyrazowy ciąg) wybrany z m elementów. Wzór na ich liczbę: W n m = m n. 3. Zadanie. Zbiór X ma n elementów, a zbiór Y ma m elementów (n, m N). Ile jest wszystkich funkcji różnowartościowych ( 1 1 ) f : X Y? Oczywiście musi być m n. Liczbę tę określa liczba wszystkich wariacji n elementowych bez owtórzeń ze zbioru m elementowego. Wariacją n elementową bez owtórzeń ze zbioru m elementowego nazywamy uorządkowany zbiór (n wyrazowy ciąg) składający się z n różnych elementów wybranych z m elementów. Wzór na ich liczbę: V n m = m! = m(m 1)... (m n + 1). (m n)! 4. Zadanie. Zbiór X ma n elementów, a zbiór Y ma m elementów (n, m N). Ile jest wszystkich funkcji określonych na zbiorze X, różnowartościowych ( 1 1 ) i na zbiór Y? Oczywiście musi być m = n. Liczbę tę określa liczba wszystkich ermutacji zbioru n elementowego. Permutacja zbioru n elementowego, jest to n elementową wariacja bez owtórzeń ze zbioru m(= n) elementowego. Wzór na ich liczbę: 2

3 P n = n!. 5. Zadanie. Znaleźć funkcję odwrotną do f, gdzie jest zadana wzorem f(x) = 1 x. f : (0, ) (0, ) Funkcja f jest 1 1 i na (0, ), zatem istnieje funkcja odwrotna f 1 oraz f 1 : (0, ) (0, ), f 1 (x) = 1 x, a zatem f 1 (x) = f(x) x > Zadanie. Podać rzykład zbioru X oraz funkcji f : X X, która jest na i nie jest 1 1 dla X zbioru nieskończonego, X zbioru ograniczonego, X zbioru skończonego. Na rzykład X = R (zbiór nieskończony) oraz f(x) = x(x 1)(x + 1), X = [ 1, 1] (zbiór ograniczony) oraz f(x) = 4 3 x(x 1 2 )(x ), 3

4 Dla zbioru skończonego X niemożliwe, gdyż w tym rzyadku 1 1 na. 7. Zadanie. Ile można utworzyć (różnych) liczb arzystych czterocyfrowych o owtarzających się cyfrach, o nieowtarzających się cyfrach? Powtarzające się cyfry: na ostatniej ozycji jedna z ięciu arzystych cyfr, na ierwszej ozycji jedna z 9 cyfr (oza 0), czyli Nieowtarzające się cyfry: = = na ostatniej ozycji jedna z ięciu arzystych cyfr, na ozostałych 3 z 9, z tym, że na ierwszej ozycji jedna z 9 cyfr (oza 0), czyli 5 9! (9 3)! 4 8! (8 2)! = = Zadanie. Policzyć lim 4n 2 3 n 3n. Mamy a zatem 4n 2 3 = 3n 4n 2 3 = 3n lim n 4 3 n 2 3, 4 3 =

5 9. Zadanie. Badając średni czas życia ewnego genu Li (w roku 1961 w książce Human genetics) otrzymał U = 1 + 2w + 3w 2 + 4w := nw n 1, gdzie 0 < w < 1. Znaleźć zwarty wzór dla U. Wskazówka: Wyznaczyc najierw U wu. n=1 Mamy zatem U wu = 1 + 2w + 3w 2 + 4w (w + 2w 2 + 3w ) = 1 + w + w 2 + w = w n = 1 1 w, n=0 U = 1 (1 w) Zadanie. Związki rtęci, zawarte w skażonej szenicy, mogą się dostać do organizmu człowieka. Przyjmujemy, że człowiek otrzymuje dziennie stałą dawkę d = 1.2 mg tych związków i że stały rocent = 75% związków, znajdujących się w organiźmie, jest każdego dnia wydalany. Znaleźć wzór oisujący zakumulowaną ilość związków rtęci w organiźmie o n dniach. Znaleźć graniczną ilość (n ) tych związków. ( ) n ( ) n 1 ( ) d 1 + d d 1 = ( ) ( ) n+1 ( ) n 1 1 ( ) 1 1 d ( ) = d

6 Jeżeli n, to graniczna ilość d 1 ( ) = d Zadanie. Pan K. założył sobie konto i włacił na nie ewną sumę ieniędzy. Nastęnie zaomniał o tym koncie i rzyomniał sobie o 27 latach.wówczas stwierdził, że ma na tym koncie 4 razy więcej ieniędzy niż oczątkowo. Wiedząc, że orocentowanie roczne, w ciągu tych 27 lat, było niezmienne odać to orocentowanie. x 0 oczątkowa kwota. Mamy (1 + ) 27 x0 = 4x 0, Stąd = ( ) Zadanie. W alfabecie Morse a każda litera może być zakodowana ciągiem dwóch symboli: kroki i kreski. Ile różnych liter można zakodować za omocą 4 takich symboli? Zadanie. Jest 6 różnych możliwych alleli tego samego locus genetycznego. Ile różnych genotyów jest możliwych? 6

7 6 + ( ) 6 = = Zadanie. Procent hemów mioglobiny oraz hemoglobiny z rzyłączonymi atomami tlenu, w zależności od ciśnienia > 0 tlenu, oisują (w ewnym rzybliżeniu) funkcje f m () = 1+ dla mioglobiny, f h () = dla hemoglobiny. Wykonać wykresy obu funkcji i orównać ich rzebieg. Obie funkcje rosną od f i (0) = 0 dla = 0 do lim f i() = 1 (dla i = i i = h). Funkcja f m jest wklęsła dla > 0 (nie ma unktów rzegięcia). Funkcja f h ma jeden unkt rzegięcia dla ewnego 0 > 0 : dla 0 < < 0 funkcja f h jest wyukła, natomiast dla > 0 wklęsła. Krzywa odowiadająca funkcji f h ma więc tyowy kształt S -owaty. Tłumaczy się ten kształt oddziaływaniem omiędzy hemami w cząsteczce hemoglobiny. 7