Kombinatoryka. Reguła dodawania. Reguła dodawania

Transkrypt

1 Kombinatoryka Dział matematyki, który zajmuje się obliczaniem liczebności zbiorów bądź długości ciągów, które łączą w określony sposób elementy należące do skończonego zbioru (teoria zliczania). W jakich sytuacjach konieczne jest wyznaczenie liczby elementów danego zbioru? proste zasady arytmetyczne używane w kombinatoryce: - reguła dodawania - reguła mnożenia Reguła dodawania Jeżeli dwa zdarzenia wzajemnie się wykluczają- nie mogą wystąpić jednocześnie, wtedy stosuje się regułę dodawania Jeżeli zdarzenie e 1 można zrealizować na n 1 sposobów, a zdarzenie e 2 na n 2 sposobów oraz zdarzenia e 1 i e 2 wzajemnie się wykluczają to liczba sposobów w jakich realizują się oba zdarzenia wynosi: n 1 +n 2 Jeżeli dany zbiór jest sumą rozłącznych parami podzbiorów i znana jest liczba elementów każdego podzbioru, to liczba elementów zbioru jest sumą liczb elementów wszystkich podzbiorów. Reguła dodawania W szafie mam: 2 pary spodni, 4 spódnice i 2 sukienki Nie mogę jednocześnie założyć spodni, sukienki i spódnicy a więc zdarzenia te wzajemnie się wykluczają. Liczba sposobów ubrania się (zbiór ciuchów, które mogę założyć) to: 2 lub 4 lub 2 czyli 2+4+2=8 1

2 Reguła dodawania Zasada włączeń- wyłączeń Principle of Inclusion-Exclusion (PIE) Jeżeli spośród dwóch zdarzeń e 1 i e 2, które mogą zrealizować się na n 1 i n 2 sposobów, może wystąpić tylko jedno, to od sumy wszystkich możliwych wyników należy odjąć liczbę tych, które są wspólne dla obu zdarzeń. Reguła mnożenia Jeżeli dwa zdarzenia nie wykluczają się- mogą zachodzić osobno, wtedy stosuje się regułę mnożenia. Jeżeli dane zdarzenie realizuje się wieloetapowo (liczba etapów= m), przy czym w k-tym etapie można uzyskać w k wyników, to liczba wszystkich wyników zdarzenia jest równa iloczynowi: w k=1 w k=2... w k=m Reguła mnożenia Bilet do kina to przydział miejsca w określonym rzędzie. W kinie jest 15 rzędów a w każdym z nich 50 foteli. Wybór rzędu jest niezależny od wyboru fotela, tak więc oba zdarzenia nie wykluczają się. Liczba sposobów usadzenia widzów: (zbiór kombinacji rzędów i miejsc) to: 15 i 50 czyli 15 50=750 2

3 Łączenie dodawania i mnożenia Sejf otwiera się z dwóch stron: jedne drzwi są zamknięte kodem dwucyfrowym- każda cyfra nieparzysta, drugie kodem dwucyfrowymkażda cyfra parzysta. Wystarczy złamać jeden kod aby dostać się do środka. Na ile sposobów można to zrobić? Kod parzysty to cyfry 2,4,6,8 w miejscu dziesiątek i 0,2,4,6,8 w miejscu jedności. Liczba uzyskanych kodów parzystych to: 4 5=20 Kod nieparzysty to cyfry 1,3,5,7,9 w miejscu dziesiątek i 1,3,5,7,9 w miejscu jedności. Liczba uzyskanych kodów parzystych to: 5 5=25 Otwarcie sejfu to złamanie kodu parzystego LUB nieparzystego. Liczba sposobów otwarcia sejfu to: 20+25=45 Permutacje vs Oba sposoby zliczają możliwości realizacji zdarzenia Różnica polega na tym, czy kolejność realizacji zdarzeń ma znaczenie, czy nie: Czy zaprezentowany układ kart w ręku: A, 5, 7, 10, K jest taki sam jak pod spodem? K, 10, 7, 5, A Czy kolejność elementów ma dla nas znaczenie? Jeśli tak, mamy do czynienia z PERMUTACJĄ Jeśli nie, mamy do czynienia z KOMBINACJĄ Permutacje Permutacja, to uporządkowany ciąg elementów zbioru - zbiór S = {a, b, c} - układ {c, b, a} jest permutacją zbioru S - układ {b, c, a} jest inną permutacją zbioru S Permutacja k elementów z n elementowego zbioru to wariacja bez powtórzeń V(n,k) A, 5, 7, 10, K W pokerze na ręku mamy 5 kart z 52, liczba wariacji (5-cio elementowych) będzie określona jako: V(52,5) 3

4 Wariacja bez powtórzeń vs Permutacja Na ile sposobów można wybrać 5 kart z talii 52, jeśli założyć, że kolejność wyboru będzie miała znaczenie? V(52,5) = = Wariacja bez powtórzeń vs Permutacja Permutacją nazywa się przypadek, gdy ciąg tworzy się z dokładnie takiej samej liczby elementów, jaką liczy zbiór: wybór 12 studentów z grupy 12-osobowej to P(12,12) P(12,12)= =12!= P(n, k=n)=n! Wariacja bez powtórzeń vs Permutacja Na ile sposobów można ustawić Anię, Kasię, Jolę, Antka, Tomka i Marcina, tak żeby Tomek stał zawsze na początku? Liczba elementów zbioru= 6 - wariant I to V(6,5)= =720 - wariant II to P(5,5)=5!=120 Który wariant jest poprawny??? 4

5 Wariacja z powtórzeniami Wariacja k elementowa z n elementowego zbioru w ciągu k-wyrazowym to wariacja z powtórzeniami W(n,k) Każdy element może być wylosowany k razy! Zbiór: A, 5, 7, K Tworzymy ciągi dwuwyrazowe: A A K K A 5 5 A 7 A K A A K 5 A K 5 K 7 K K 7 W(n,k)= n k =4 2 =16 Kombinacja to podzbiór elementów losowanych ze zbioru, gdzie kolejność wylosowania elementu nie ma znaczenia W pokerze układ kart w ręku jednego gracza nie ma znaczenia: A, 5, 7, 10, K K, 10, 7, 5, A Liczba kombinacji k-elementów z n elementowego zbioru, przy założeniu, że 0 k n określona jest wzorem: n! C( n, k) k!( n k)! Na ile sposobów można wybrać 5 kart z talii 52, jeśli założyć, że kolejność wyboru nie będzie miała znaczenia? 52! 52! ! C( 52,5) !(52 5)! 5!47! ! Jeśli liczba losowanych, uporządkowanych 5 kart z 52 to P(52,5)= Jeśli liczba uporządkowanych układów 5 kart w ręku to P(5,5)=120 To liczba losowanych 5 kart przy założeniu braku kolejności to C(52,5)=P(52,5)/P(5,5)= /120=

6 n=2 n=3 n=4 n=5 Trójkąt Pascala Na ile sposobów można wybrać 5 kart, tak aby w ręku znalazły się: 2 asy, 1 walet, 1 dama i 1 blotka? W talii znajdują się: 4 asy, 4 walety i 4 damy oraz 27 blotek C( 4,2) C(4,1) C(27,2) 361 6

7 Jak rozróżnić? Doświadczenie polega na wylosowaniu k-elementów ze zbioru n-elementowego Czy istotna jest kolejność wylosowanych elementów? nie tak Kombinacja Czy elementy mogą się powtarzać? nie Czy wszystkie elementy zostały wykorzystane? nie tak tak Wariacja z powtórzeniami Wariacja bez powtórzeń Permutacja bez powtórzeń 7