Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
|
|
- Barbara Urbańska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, /10
2 Generowanie podzbiorów Weźmy n-elementowy zbiór X={x 1, x 2 x n }. Każdemu podzbiorowi YX przyporządkujemy ciąg binarny b 0 b 1 b n-1 określony następująco: b i 0 : 1: x x i1 i1 Y Y Otrzymujemy wtedy wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy elementami P(X) a ciągami binarnymi długości n, czyli liczbami binarnymi z przedziału [0, 2 n 1] postaci b i 2 i oznaczanymi np. jako [b n-1 b 0 ]. i = 0 n-1 Ciąg binarny stanowi wygodną reprezentację maszynową podzbioru X, a kolejne liczby binarne określą wszystkie podzbiory zbioru X.
3 ZADANIE Ile jest par postaci (A, B), gdzie, gdy? Wskazówka: zaproponuj odpowiednią reprezentację dla takich par!
4 Rozwiązanie Dla dowolnej pary (A, B) weźmy funkcję zdefiniowaną jako Każdej taka funkcja odpowiada wzajemnie jednoznacznie parze (A, B). Zatem w zbiór {0, 1, 2}., bo jest to liczba funkcji ze zbioru X
5 Zbiory z powtórzeniami Skończony zbiór z powtórzeniami X=<x 1, x 1, x 2, x 2, x 3, x 3, x n, x n, > k 1 k 2 k 3 k n to rodzina elementów, w której x 1 powtarza się k 1 razy, x 2 powtarza się k 2 razy, itd. aż do x n które powtarza się k n razy. Zbiór taki zapisujemy również w postaci X = <k 1 *x 1, k 2 *x 2, k 3 *x 3, k n *x n >, a liczby k 1, k 2, k n nazywamy krotnościami. Inny sposób zapisania takiego zbioru to: X = <{x 1, x 2, x 3, x n }, {(x 1, k 1 ), (x 2, k 2 ), (x n, k n )} >. Moc zbioru z powtórzeniami to suma krotności jego elementów.
6 Podzbiór skończonego zbioru z powtórzeniami X = <k 1 *x 1, k 2 *x 2, k n *x n > może być wyznaczony przez wektor (m 1, m 2, m n ), gdzie 0m 1 k 1, 0m 2 k 2, 0m n k n. Liczba podzbiorów skończonego zbioru z powtórzeniami o krotnościach k 1, k 2, k n jest równa (k 1 +1)( k 2 +1) (k n +1). Suma dwóch zbiorów z powtórzeniami jest tworzona przez określenie krotności każdego elementu w sumie jako maksimum krotności tego elementu w składnikach sumy. Odpowiednio dla iloczynu będzie to minimum krotności, a dla różnicy ograniczona (od dołu przez 0) różnica krotności. Przykład: <a, a, b, c> <a, b, b> = <a, a, b, b, c>
7 W przypadku zbiorów z powtórzeniami można również mówić o krotnościowej sumie zbiorów, w której krotność elementu to suma algebraiczna krotności tego elementu w składnikach. Przykład: <a, a, b, c> < a, b, b> = <a, a, a, b, b, b, c> Zadanie Dwoje urzędników dostało 10 notesów, 16 zeszytów i 14 pisaków. Na ile sposobów mogą podzielić się tymi przedmiotami tak, by nie został żaden przedmiot i aby każdy coś dostał? Rozwiązanie Każdy podział odpowiada podzbiorowi zbioru z powtórzeniami. Jeden urzędnik dostaje ten podzbiór, a drugi pozostałe przedmioty. Sposobów podziału jest zatem tyle, co podzbiorów zbioru z powtórzeniami (zbioru notesów, zeszytów i pisaków): (10+1)(16+1)(14+1)=2805.
8 Podwójna silnia Definicje: 1!! = 1, (2n 1)!! = (2n 1) (2n 3)!! 2!! = 2, (2n)!! = (2n) (2n 2)!! Przykłady 5!! = !! = Lemat (n 1)!! (2n)!! = n!
9 Zliczanie relacji Ile jest różnych relacji binarnych określonych na skończonym zbiorze X? Każda taka relacja jest podzbiorem XX. Jeśli zbiór X ma n elementów, to zbiór X 2, ma nn elementów (z zasady mnożenia). Różnych relacji jest tyle, co różnych podzbiorów X 2, czyli 2 nn. Każdą relację na X można przedstawić w postaci kwadratowej tablicy, a liczba relacji to liczba możliwych układów jedynek w takiej tablicy. A jeśli chcielibyśmy policzyć tylko relacje zwrotne? Każda relacja zwrotna ma jedynki na przekątnej, w pozostałych miejscach mogą być zera lub jedynki. Tych pozostałych miejsc jest n 2 n, więc relacji zwrotnych jest 2 n(n-1).
10 Ile jest różnych relacji symetrycznych? Relacja symetryczna ma dowolnie wypełnione pole na przekątnej i pod przekątną. Nad przekątną musi się znaleźć lustrzane odbicie układu pod przekątną. Relację symetryczną możemy więc określić wpisując jedynki albo zera do n(n+1)/2 pól; relacji takich jest więc 2 n(n+1)/2. Ile jest relacji równoważności? Każda taka relacja to podział na bloki (klasy abstrakcji). Liczba podziałów zbioru n-elementowego na k bloki to tzw. liczba Stirlinga drugiego rodzaju. Liczba wszystkich podziałów zbioru n-elementowego (liczba wszystkich relacji równoważności) to tzw. liczba Bella. Jest to suma n-tego wiersza trójkąta Stirlinga dla podziałów. Por. wykład 11/14.
11 WARIACJE Ciąg k-elementowy o wyrazach ze zbioru n-elementowego nazywa się k-wyrazową wariacją tego zbioru. Ciąg k-elementowy, którego wyrazy nie powtarzają się, nazywa się k-wyrazową wariacją bez powtórzeń. Liczba k-wyrazowych wariacji zbioru n-elementowego wynosi n k. Liczba k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego, dla n k, wynosi n k = n (n-1) (n-k+1). Zamiast mówić o ciągach bez powtórzeń można mówić o funkcjach różnowartościowych. Weźmy więc zbiór k elementowy X i zbiór n elementowy Y oraz wszystkie różnowartościowe funkcje z X do Y. Każda taka funkcja odpowiada wariacji bez powtórzeń. UwagaL Dla k>n nie ma takich funkcji.
12 Przykład W zawodach punktuje się 6 pierwszych miejsc. Startuje 21 drużyn, w tym drużyna polska. Ile może być wyników zawodów? A ile wyników, gdy Polska zajmuje jedno z punktowanych miejsc? Rozwiązanie Wynik może być reprezentowany 6-elementowym ciągiem nazw drużyn zajmujących miejsca od pierwszego do szóstego. W przypadku pierwszego pytania, takich ciągów może być p 1 = W przypadku drugiego pytania, przyjmujemy, że jedno z sześciu miejsc punktowanych jest już zajęte przez drużynę polską. Na pierwsze wolne miejsce w tym ciągu możemy wstawić jedną z 20 pozostałych drużyn, na drugie wolne jedną z 19 pozostałych drużyn, itd. Zatem liczba możliwych wyników p 2 =
13 ROZMIESZCZENIA UPORZĄDKOWANE Ile jest różnych możliwych rozmieszczeń uporządkowanych k elementów w n pudełkach? Pierwszy element możemy umieścić na n sposobów. Drugi albo w pustym pudełku, których jest n-1, albo w pudelku z pierwszym elementem na dwa sposoby (przed nim lub po nim); czyli łącznie na n+1 sposobów. Jak już umieściliśmy w pudełkach i-1 elementów, to w kolejnych pudełkach znajduje się i 1, i 2, i n elementów oraz i 1 + i i n = i 1. Element i-ty możemy włożyć do pierwszego pudełka na i 1 +1 sposobów, do drugiego na i 2 +1 sposobów, itd. Łącznie na (i 1 +1)+(i 2 +1)+ +(i n +1) = n+i 1 sposobów. Liczba rozmieszczeń uporządkowanych k elementów w n pudełkach wynosi n(n+1) (n +2) (n+k 1) = k n.
14 ROZMIESZCZANIA NIEUPORZĄDKOWANE (wersja 1) Sposobów rozmieszczenia n identycznych przedmiotów w k rozróżnialnych pudełkach jest ( n+k 1 k 1 ). (wersja 2) Liczba sposobów wyboru zbioru n przedmiotów (dopuszczalne są powtórzenia) k rozróżnialnych typów wynosi ( n+k 1 k 1 ). Uwaga! Porównaj przykład z deserami złożonymi z 5 kulek lodów o 3 smakach.
15 Zadanie W sali banku są czynne 3 okienka. Na ile sposobów 23 klientów może ustawić się w kolejkach do tych okienek? Zadanie Na ile sposobów można wybrać 10 cukierków w trzech smakach? Zadanie Na ile sposobów możemy pokolorować graf o p ponumerowanych wierzchołkach farbami w r kolorach? Zadanie Ile jest różnych n-cyfrowych liczb naturalnych? UWAGA: We wszystkich tych zadaniach zacznij od wskazania takiej reprezentacji, dla której można będzie zaproponować odpowiedni wzór!
16 ZADANIA Z KARTAMI: POKER Talia kart składa się z 4 kolorów zwanych trefl, karo, kier i pik. Każdy kolor składa się z 13 kart: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, W, D, K, A. Układ kart w ręce (figura) jest zbiorem (!!!) 5 kart z talii 52 kart. Kolejność wyboru kart nie jest istotna. Rodzaje figur: poker królewski to 10,W,D,K,A w jednym kolorze poker to sekwens w jednym kolorze nie będący pokerem królewskim (sekwens to 5 kolejnych kart, przy czym as może stać przed dwójką lub za królem) czwórka to układ zawierający 4 karty tej samej wysokości, np. DDDD ful to 3 karty tej samej wysokości i 2 karty tej samej wysokości
17 kolor to 5 kart w jednym kolorze nie tworzących ani pokera królewskiego, ani pokera strit to sekwens nie będący ani pokerem, ani pokerem królewskim trójka to 3 karty tej samej wysokości, czwarta innej i piąta jeszcze innej dwie pary to 2 karty tej samej wysokości, 2 karty innej, lecz między sobą tej samej wysokości, i piąta karta jeszcze innej wysokości para to 2 karty tej samej wysokości, pozostałe dowolne ale łącznie nie tworzące żadnego z wymienionych wyżej rodzajów układów zerówka to układ, który nie jest żadnego z powyższych rodzajów. Powyższa kolejność jest odwrotna do szansy otrzymania figury danego rodzaju.
18 1. Ile jest układów kart w pokerze? Pokaż, że jest to Ile układów, to fule? Trochę wcześniej wprowadziliśmy pojęcie typ 4 4 fula. I pokazaliśmy, że jest tych układów dla jednego typu oraz różnych typów. Zatem = 3744 możliwości. Zakładając, że każdy układ jest jednakowo prawdopodobny i przyjmując, że prawdopodobieństwo zdarzenia to iloraz liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu przez liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych, prawdopodobieństwo wyciągnięcia fula to 3744/ = czyli około 1,5 promila. Policz prawdopodobieństwa pozostałych rodzajów figur w pokerze!
19 Współczynniki dwumianowe Przypomnijmy: współczynnik dwumianowy to liczba k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego, tzn.. Nazwa "współczynniki dwumianowe" bierze się stąd, że pojawiają się one w rozwinięciu dwumianu. Twierdzenie o liczbie podzbiorów Gdyby była istotna kolejność elementów w podzbiorach, to mielibyśmy do czynienia z k-elementowymi wariacjami, więc byłoby ich n k. Jednak każdy k-elementowy podzbiór można uporządkować na k! sposobów, zatem mamy k n n nn 1 n k 1 n!. k k! k! n k! k!
20 Lematy Reguła symetrii, dla,, dla,, dla nk0,, dla REGUŁA DODAWANIA Reguła ta stanowi fundament dla rekurencyjnej procedury obliczania współczynników dwumianowych: dla mamy
21 Dowody lematów Pierwszy punkt jest natychmiastową konsekwencją faktu, że dowolny zbiór n-elementowy ma tylko jeden 0-elementowy podzbiór podzbiór pusty i tylko jeden podzbiór n-elementowy cały zbiór. Drugi punkt jest oczywisty, jako że zbiór n-elementowy nie może mieć podzbiorów o k elementach, gdy k>n. Dla dowodu trzeciego punktu, zauważmy jedynie, że podzbiorów jednoelementowych jest dokładnie tyle ile elementów w zbiorze. Dowód reguły symetrii Wreszcie dla dowodu ostatniego punktu załóżmy, że. Wtedy funkcja jest bijekcją. Innymi słowy, zamiast wybierać k elementów ze zbioru X można odrzucić n k elementów.
22 Dowód reguły dodawania (interpretacja kombinatoryczna) Załóżmy, że. Wtedy, po usunięciu ze zbioru Z elementu a dostajemy (n 1)-elementowy zbiór Z. Oczywiście wszystkie k-elementowe podzbiory zbioru Z można podzielić na dwa typy: albo mają w sobie element a, albo go nie mają. Każdy podzbiór pierwszego typu, czyli takie, że jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje pozostałe (k 1)-elementów ze zbioru Z. Takich możliwości jest n 1 k 1 W drugim przypadku są to k-elementowe podzbiory (n 1)-elementowego zbioru Z'. Jest więc ich dokładnie. A zatem.
23 Trójkąt Pascala bazuje na regule dodawania i ustawia współczynniki w następujący sposób: wiersze trójkąta numerowane są kolejnymi liczbami naturalnymi 0,1..., w każdym z wierszy trójkąta występuje dokładnie kolejno. liczb i są to Przesunięcie w wierszach, pozwala wyliczyć dwu liczb stojących bezpośrednio nad. jako sumę
24 Reguła sumowania po górnym indeksie (sumowanie po przekątnej trójkąta Pascala) Dla mamy
25 Reguła sumowania równoległego (sumowanie po drugiej przekątnej) Dla mamy:
26 Tożsamość Cauchy'ego (splot Vandermonde'a) Dla liczb naturalnych mamy: Twierdzenie o dwumianie (wyjaśnia pochodzenie nazwy) Dla i mamy Przykłady
27 Lemat 1 Dla dowolnego n0 mamy. Lemat 2 Dla dowolnego n0 mamy. Lemat 3 Dla dowolnego n0 mamy. (Uwaga: )
28 Zadania 1. Policz 11 4 wykorzystując współczynniki dwumianowe. 2. Niech n>0, 0 k n. Dla jakich k wartość jest największa? 3. Udowodnij własność sześciokąta ( n 1 k 1) ( n k + 1) ( n+ 1 k ) = ( n 1 k ) ( n+ 1 k + 1) ( n k 1)
29 Sumy częściowe Umiemy już policzyć wartość sumy całego wiersza w trójkącie Pascala i wartość naprzemiennej sumy całego wiersza. W praktyce często pojawia się konieczność sumowania tylko pewnego fragmentu takiego wiersza. Do tego pomocne mogłyby być sumy postaci: dla, gdyby miały postać zwartą! Niestety nie jest znana żadna zwarta postać (*).
30 Druga suma, czyli naprzemienna częściowa suma (**) wiersza trójkąta Pascala ma postać zwartą. Wyprowadzenie takiej postaci odwołuje się do uogólnienia współczynnika dwumianowego na dowolne rzeczywiste indeksy górne, i dowolne całkowite indeksy dolne. Pomijamy to wyprowadzenie i przedstawiamy wzór na postać zwartą dla liczb naturalnych: dla naturalnych r, m: 0 m r. Zadanie Policz na dwa sposoby sumę częściową dla m=2.
31 Mamy również wzór na zwartą postać modyfikacji sumy (**) polegającej na wymnożeniu każdego składnika przez jego odległość od środka trójkąta Pascala. Dla zachodzi ) 2 ( 0 m n m i n i n m i Np. dla n=6 i m=4 mamy sumę: ) ( oraz postać zwartą
32 Reguła odwracania Dla funkcji f, g: Z R zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy Zadania Obliczyć 0 1) ( k k k n. Wykazać, że n n k n k 2 2.
33 Zadania 1. W kolejce stoi n studentów. Wchodzą oni na egzamin w k niepustych grupach. Na ile sposobów można utworzyć te grupy? 2. Ile rozwiązań w liczbach naturalnych ma równanie x 1 +x 2 + +x k =n? 3. Na ile sposobów można ustawić n osób w kolejkach do k ponumerowanych okienek pocztowych, przy czym dopuszczamy puste kolejki (zamknięte okienka). 4. Ile jest rosnących funkcji odwzorowujących zbiór {1,2 k} w zbiór {1,2 n}? A ile jest takich funkcji niemalejących? 5. Na ile sposobów można rozmieścić 6 przedmiotów w trzech różnych pojemnikach tak, by w każdym były dokładnie dwa przedmioty?
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/15 WARIACJE Liczba wariacji, czyli różnych ciągów k-elementowych o wyrazach ze zbioru n-elementowego, wynosi n k. Ciąg k-elementowy,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/14 TWIERDZENIE HALLA Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw rozważa dwie grupy - dziewcząt i chłopców, oraz podgrupy dziewczyn i podgrupy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl. Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia)
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia) 1. Ile układów kart w pokerze to Dwie pary? Dwie pary to układ 5 kart
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)
MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna malgorzata.sterna@cs.put.poznan.pl www.cs.put.poznan.pl/msterna/ KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE TEORIA ZLICZANIA Teoria zliczania
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zbiorze z powtórzeniami ten sam element może występować kilkakrotnie. Liczbę wystąpień nazywamy krotnością tego elementu w zbiorze X = { x,..., x n } - zbiór k,..., k n - krotności
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 12B/14 Permutacje bez punktów stałych Nieporządek na zbiorze X to permutacja taka, że dla dowolnego, czyli permutacja "bez punktów
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 11/14 Współczynniki multimianowe (wielomianowe) Współczynniki dwumianowe pojawiały się przy rozwinięciu dwumianu. Odpowiadały one
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoSpotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/14 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, a/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8a/14 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że = {0, 1, 2, 3, n-1} dla n>0 oraz = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z pewnym
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8A/10 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że Zn = {0, 1, 2, 3, n-1} dla n>0 oraz Zn = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/15 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 6a: Model danych oparty na zbiorach http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Model danych oparty na zbiorach
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe
Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoELEMENTY KOMBINATORYKI
ELEMENTY KOMBINATORYKI Kombinatoryka to dział matematyki, który zajmuje się zliczaniem, na ile sposobów może zajść jakieś zjawisko. Powstała dzięki grom hazardowym a dopiero później rozwinęła się w gałąź
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Informacje
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/10 indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1
FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2B/14 Relacje Pojęcia: relacja czyli relacja dwuargumentowa relacja w zbiorze A relacja n-argumentowa Relacja E = {(x, x): x S} jest
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Reguła dodawania. Reguła dodawania
Kombinatoryka Dział matematyki, który zajmuje się obliczaniem liczebności zbiorów bądź długości ciągów, które łączą w określony sposób elementy należące do skończonego zbioru (teoria zliczania). W jakich
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1-100 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do kombinatoryki
Wprowadzenie do kombinatoryki http://www.matemaks.pl/kombinatoryka.html Kombinatoryka jest działem matematyki, który pomaga odpowiedzieć na pytania typu: "ile jest możliwych wyników w rzucie monetą?",
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Problem przydziału prac
KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, a/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3a/15 Indukcja matematyczna Zasada Minimum Dowolny niepusty podzbiór S zbioru liczb naturalnych ma w sobie liczbę najmniejszą. Zasada
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9/14 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki
Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony Próbna matura rozszerzona (jesień 20 r.) Zadanie kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoZliczanie Podziałów Liczb
Zliczanie Podziałów Liczb Przygotował: M. Dziemiańczuk 7 lutego 20 Streszczenie Wprowadzenie Przez podział λ nieujemnej liczby całkowitej n rozumiemy nierosnący ciąg (λ, λ 2,..., λ r ) dodatnich liczb
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoS n = a 1 1 qn,gdyq 1
Spis treści Powtórzenie wiadomości... 9 Zadania i zbiory... 10 Obliczenia... 18 Ciągi... 27 Własności funkcji... 31 Funkcje liniowe i kwadratowe... 39 Wielomiany i wyrażenia wymierne... 45 Funkcje wykładnicze
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę
Bardziej szczegółowoWykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że = {0, 1, 2, 3, n 1} dla n>0 oraz = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z pewnym
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoGrupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1
W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy
Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy Matematyka, królowa nauk Edycja X - etap 2 Bydgoszcz, 16 kwietnia 2011 Fordoński
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA. doc. dr hab. inż. Marek Libura
Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 1 MATEMATYKA DYSKRETNA doc. dr hab. inż. Marek Libura Instytut Badań Systemowych PAN 01-447 Warszawa, Newelska 6, pok. 324 Marek.Libura@ibspan.waw.pl tel.(48)(22)8373578
Bardziej szczegółowoDział Rozdział Liczba h
MATEMATYKA ZR Ramowy rozkład materiału w kolejnych tomach podręczników 1. Działania na liczbach Tom I część 1 1.1. Ćwiczenia w działaniach na ułamkach 1.. Obliczenia procentowe 1.3. Potęga o wykładniku
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoTest, dzień pierwszy, grupa młodsza
Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoSuma dziewięciu poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego wynosi 18, a suma siedmiu poczatkowych
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI CIAGI ARYTMETYCZNE ZADANIE 1 Suma drugiego, czwartego i szóstego wyrazu ciagu arytmetycznego jest równa 42, zaś suma kwadratów wyrazów drugiego
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoTypy zadań kombinatorycznych:
Typy zadań kombinatorycznych: I. Ustawianie wszystkich elementów zbioru w pewnej kolejności Przestawieniem nazywamy ustawienie elementów danego zbioru w pewnej kolejności. Liczba przestawień określa na
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 7 Model danych oparty na zbiorach 18.11.2008 Model danych oparty na zbiorach Zbiór jest najbardziej podstawowym modelem danych w matematyce. Wszystkie pojęcia matematyczne,
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.
RELACJE Relacje 1 DEFINICJA Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. Relacje 2 Przykład 1 Wróćmy do przykładu rozważanego
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowo