Statystyka z elementami rachunku prawdopodobieństwa

Transkrypt

1 Statystyka z elementami rachunku prawdopodobieństwa dr hab. Tomasz Górecki tomasz.gorecki@amu.edu.pl Zakład Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki Matematycznej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

2 Jakubowski, J.& Sztencel, R.(2006). Rachunek prawdopodobieństwa dla(prawie) każdego, Script. Koronacki, J., Mielniczuk, J.(2009). Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych, WNT. Krzyśko, M.(2005) Statystyka matematyczna, Wydawnictwo Naukowe UAM. Misiewicz, J.(2005). Wykłady z rachunku prawdopodobieństwa z zadaniami, Script. Palka, Z. Ruciński, A.(1998). Wykłady z kombinatoryki, WNT. Zieliński, R.(1990) Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej, PWN.

3 Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami losowymi, o których nie możemy z całkowitą pewnością powiedzieć, czy się wydarzą, czy nie. Ta nieprzewidywalność zdarzenia losowego może wynikać bądź z tego, że nasza informacja o jego charakterze i przyczynach jest niewystarczająca, bądź z samej natury zdarzenia. Prawdopodobieństwo jest pojęciem, którego nie można stosować do zjawisk niepowtarzalnych, jednostkowych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na pewnej planecie poza Ziemią powstanie życie? To pytanie nie ma sensu, musielibyśmy mieć materiał statystyczny, wiele planet, na których powstało życie, i takich, na których się ono nie pojawiło.

4 Potocznie prawdopodobieństwo to pojęcie określające nasze oczekiwania co do rezultatu danego zdarzenia, którego wynik zależy wyłącznie od przypadku. Jeśli jakieś mające nastąpić zdarzenie(np. rzut kostką) może przyjąć kilka rezultatów(liczba oczek), to jeden z rezultatów(liczba oczek większa od 1) możemy opisać jako bardziej prawdopodobny od drugiego(liczba oczek równa 1), jeżeli na podstawie pewnej przesłanki(np. poprzednich doświadczeń) nasze oczekiwania co do wystąpienia rezultatu A są większe niż co do wystąpienia rezultatu B.

5 Pierwsze pytanie probabilistyczne opublikowano w 1477 roku w jednym z komentarzy do Boskiej komedii Dantego. Za pierwszą pracę naukową z tej dziedziny uważana jest książka Cardano Księga gier losowych(łac. Liber de ludo aleae), odnalezionapośmierciautorawroku1576,awydanawroku1663. Dalszy rozwój teorii rachunku prawdopodobieństwa nastąpił w drugiej połowie XVII wieku dzięki pracom Pascala i Fermata (w roku 1654 nawiązali korespondencję na temat tzw. problemu podziału nagrody), którzy pierwsi uzasadnili matematycznie prawidłowości występujące w grach hazardowych.

6 Już w 1711 de Moivre wprowadził prawdopodobieństwo klasyczne jako odwrotność liczby wszystkich możliwych wyników przy założeniu, że są one równoprawdopodobne. Ta definicja spotkała się natychmiast z zarzutem, że opiera się na błędnym kole. Inną próbę sformułowania definicji prawdopodobieństwa podjął w 1919 roku von Mises. Zaproponował, żeby zdefiniować prawdopodobieństwo jako granicę ciągu częstości n A P(A) = lim n n, gdzie n A toliczbarezultatówsprzyjającychzdarzeniu Apo n próbach. Definicja ta nie mówi jednak nic o warunkach istnienia granicy i dlatego nie spełnia wymogów formalnych. Poza tym dokładne określenie wartości prawdopodobieństwa wymaga przeprowadzenia nieskończonej liczby doświadczeń, co w praktyce jest niemożliwe.

7 Nową, aktualnie używaną, definicję prawdopodobieństwa podał w roku 1933 Kołmogorow, który korzystając z teorii miary zaksjomatyzował teorię prawdopodobieństwa. W tym nowoczesnym ujęciu, prawdopodobieństwo, podobnie jak punkt w geometrii, jest obiektem niedefiniowalnym, który spełnia tylko pewne warunki. Rachunek prawdopodobieństwa bada własności miary probabilistycznej.

8 Przed przystąpieniem do losowania trzeba odpowiedzieć sobie na dwa pytania: I. Czy istotna jest kolejność wylosowanych elementów(ciągi czy zbiory)? II. Czy wylosowane elementy mogą się powtarzać? W zależności od odpowiedzi na te pytania wyróżniamy cztery schematy losowania.

9 Definicja(Wariacje z powtórzeniami(i- TAK, II- TAK)) Wariacją z powtórzeniami k-wyrazową zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru. V k n = nk Definicja(Wariacjebezpowtórzeń(I-TAK,II-NIE)) Wariacją bez powtórzeń k-wyrazową zbioru n-elementowego A (1 k n)nazywasiękażdy k-wyrazowyciąg króżnych elementów tego zbioru. V k n = n! (n k)!

10 Definicja(Permutacje bez powtórzeń) Permutacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego, nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony z wszystkich elementów tego zbioru(szczególny przypadek wariacji bez powtórzeń dla k = n). P n = n! Definicja(Permutacje z powtórzeniami) Permutacją n-elementową z powtórzeniami zbioru X ={x 1,x 2,x 3,...,x k },wktórej x 1 występuje n 1 razy, x 2 występuje n 2 razyitd.oraz n 1 +n n k = nnazywamykażdy n-wyrazowyciąg,wktórym x i występuje n i razydla i =1,2,...,k. P n 1,n 2,...,n k n = n! n 1! n 2!... n k!

11 Definicja(Kombinacje bez powtórzeń(i- NIE, II- NIE)) Kombinacją(bez powtórzeń) k-elementową zbioru n-elementowego Anazywasiękażdy k-elementowypodzbiórzbioru A(0 k n). C k n = ( ) n k Definicja(Kombinacje z powtórzeniami(i- NIE, II- TAK)) k-elementową kombinacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-elementowy multizbiór(pseudozbiór, kolekcja, zbiór z powtórzeniami) składający się z elementów zbioru A. ( ) n+k 1 C n k = k

12 Jeżeli w zadaniu mamy powiedziane, że wykonujemy operacje na wszystkich elementach, wówczas należy skorzystać z permutacji. Jeżeli z określonych elementów mamy wybrać kilka i kolejność wybranych elementów nie odgrywa roli, wówczas należy skorzystać z kombinacji. Jeżeli z określonych elementów mamy wybrać kilka, tak, że niebędąsięonepowtarzały,aleztreścizadaniawynika,że kolejność wybranych elementów odgrywa rolę, wówczas należy skorzystać z wariacji bez powtórzeń. Jeżeli z określonych elementów mamy wybrać kilka i może się zdarzyć, że wybrane elementy będą się powtarzały, wówczas należy skorzystać z wariacji z powtórzeniami.

13 Przykład(1) Na ile sposobów można otrzymać 13 kart w rozdaniu brydżowym? A ile jest różnych rozdań brydżowych? Przykład(2) Grupa składa się z 15 małżeństw. Na ile sposobów można spośród nich wybrać czteroosobową delegację, jeśli w skład delegacji nie może wchodzić żadne małżeństwo?

14 Przykład(3) Skreślamy siedem spośród czterdziestu dziewięciu liczb. Maszyna losującawybiera(bezzwracania)sześćz49kulekznumeramiod1 do 49? Ile jest skreśleń, w których pasują dokładnie 4 liczby? Przykład(4) 128-miu uczestnikom pewnej konferencji informatycznej przygotowano konta komputerowe, gdzie ID są 8-znakowe i, z uwagi na defekt wielu klawiatur, utworzone wyłącznie z liter a, b. Przydzielono je później losowo. Na ile sposobów było to możliwe?

15 Przykład(5) Ile istnieje czterocyfrowych PIN-kodów składających się z różnych cyfr? Przykład(6) Nailesposobówmożnaustawićnapółce7książekformatuA5 oraz 6 książek formatu A4, aby nie rozdzielić ich wymiarowo?