Linie pierwiastkowe. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. WPROWADZENIE

Transkrypt

1 Akademia Mrka w Gdyni atedra Autmatyki Okrętwe Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab Mirław Tmera. WPROWADZENIE Z rzważań dtyczących uchybu w tanie utalnym i dpwiedzi układu w tanie nieutalnym, wynika ważnść płżeń zer i biegunów tranmitanci liniweg układu zamknięteg. Pierwiatki równania charakterytyczneg, które ą biegunami tranmitanci układu zamknięteg kreślaą bezwzględną i względną tabilnść liniwych układów z pedynczym weściem i wyściem SISO (Single Input Single Output). W liniwych układach teruących bardz ważnym kryterium analizy et badanie traektrii pierwiatków równania charakterytyczneg pdcza zmiany pewneg parametru układu nazywanych liniami pierwiatkwymi. Pdtawwe włanści i zaady kntrukci linii pierwiatkwych piane ztały przez Waltera Evana []. W pracwaniu tym przedtawinych ztanie kilka prtych reguł dtyczących zaad kntruwania tych linii. W celu wykreślenia dkładnych linii pierwiatkwych zawze mżna użyć prgramów kmputerwych. Dla przykładu, w MATLABIE itniee funkca rlcu wykreślaąca na ekranie linie pierwiatkwe na pdtawie tranmitanci pętli. Ważne et ednak, aby pznać pdtawy wykreślania i włanści linii pierwiatkwych p t aby umieć dbrze zinterpretwać dane dtarczane przez linie pierwiatkwe wykrzytywane w analizie układu.. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI LINII PIERWIASTOWYCH W pracwaniu tym linie pierwiatkwe przedtawine ztaną w dnieieniu d układu regulaci pkazaneg na ryunku. R( Y( Ry.. Schemat blkwy układu regulaci ze trnym parametrem Tranmitanca układu zamknięteg z ryunku. Y( R( () Równanie charakterytyczne uzykiwane et pprzez przyrównanie wielmianu mianwnika d zera, tąd pierwiatki równania charakterytyczneg muzą pełniać zależnść Otatnia aktualizaca: M. Tmera

2 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab G ( 0 () Równanie () mże ztać zapiane ak H ( () Aby pełnine był równanie () muzą być pełnine edncześnie dwa pniżze warunki: ) Warunek amplitudy () ) Warunek kąta G ( (i ) dla 0 (5) G ( i dla 0 (6) gdzie i = 0,,,... W praktyce, warunki piane równaniami (), (5), (6) dgrywaą różne rle przy kntruwaniu linii pierwiatkwych.. Warunki dtyczące kąta piane równaniami (5) i (6) używane ą d wykreślania traektrii linii pierwiatkwych na płazczyźnie.. iedy uż linie pierwiatkwe ą wykreślne t wartści parametru wyznaczane ą przez użycie warunku amplitudy pianeg równaniem (). ntruwanie linii pierwiatkwych et przede wzytkim prblemem graficznym, chciaż pewne włanści ą wyprwadzane analitycznie. Graficzne kntruwanie linii pierwiatkwych et parte na wiedzy biegunach i zerach funkci peratrwe G (, czyli tranmitanca G ( mui być napierw ztać zapiana w ptaci ( ( z )( p )( z ) ( p ) ( gdzie zera i bieguny funkci G ( maą wartści rzeczywite lub ą parami zmiennych zeplnych przężnych. Stuąc warunki zapiane w równaniach (), (5) raz (6) d równania (7) trzymue ię Dla 0 Dla 0 H ( m i m i m z i i n ( ( p z ) i z ) i n n ( ( p p ) ) z p m n ) ) (7) (8) (i i ) gdzie i = 0,,,.... Na linii pierwiatkwe w pewnym punkcie graficzna interpretaca równania (9), która dpwiada ddatnie wartści, mui pełniać warunek: Różnica pmiędzy umą kątów wektrów wykreślnych z zer, a umą kątów wektrów wykreślnych z biegunów G ( d bieguna et nieparzytym mnżnikiem kąta 80. (9) (0) Otatnia aktualizaca: M. Tmera

3 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab Dla uemnych wartści, pewien punkt na linii pierwiatkwe mui pełniać warunek: Różnica pmiędzy umą kątów wektrów wykreślnych z zer, a umą kątów wektrów wykreślnych z biegunów G ( d bieguna et mnżnikiem parzytym kąta 80, zawieraącym zer tpni. Pdcza kntruwania linii pierwiatkwych, wartści wzdłuż linii pierwiatkwych mgą być wyznaczne p zapianiu równania (8) w ptaci n m i p z i Wartść na linii pierwiatkwe w pewnym punkcie et uzykiwana z równania () przez pdtawienie wartści d teg równania. Graficznie, licznik równania () reprezentue ilczyn długści wektrów wykreślnych z biegunów G ( d bieguna, natmiat mianwnik reprezentue ilczyn długści wektrów wykreślnych z zer G ( d bieguna. (). WŁASNOŚCI I ONSTRUCJA LINII PIERWIASTOWYCH Chciaż becnie ą dtępne wydane prgramy kmputerwe d rywania linii pierwiatkwych t w celu właściweg zinterpretwania uzykiwanych wyników wymagana et znamść włanści linii pierwiatkwych i umieętnść prteg ich zkicwania. Pniżze włanści ą użyteczne przy ręcznym kntruwaniu linii pierwiatkwych i d ich właściwe interpretaci. Włanści te pieraą ię na zależnściach pmiędzy zerami i biegunami tranmitanci raz zerami tranmitanci +, które ą pierwiatkami równania charakterytyczneg... PUNTY DLA = 0 ORAZ =. Punkty na linii pierwiatkwe dla = 0 ą biegunami tranmitanci.. Punkty na linii pierwiatkwe przy = ą zerami tranmitanci. Bieguny i zera dnzą ię również d tych wartści, które znaduą ię w niekńcznści, eśli takie itnieą. Wniki te uzykiwane ą z warunku na linie pierwiatkwe dane przez równanie (). Jeśli wartść zmierza d zera t wówcza tranmitanca iąga niekńcznść, czyli mui iągać wartści równe biegunm tranmitanci. Pdbnie kiedy wartść iąga niekńcznść, wówcza mui iągać wartści zer tranmitanci... LICZBA GAŁĘZI NA LINII PIERWIASTOWEJ Gałąź linii pierwiatkwe et traektrią (trem) pewneg pierwiatka zmieniaąceg we płżenie gdy zmienia wą wartść w zakreie d d. Stąd liczba gałęzi linii pierwiatkwe mui być równa liczbie pierwiatków równania. Liczba gałęzi linii pierwiatkwe piane równaniem () et równa rzędwi wielmianu... SYMETRIA LINII PIERWIASTOWYCH Linie pierwiatkwe ą ymetryczne względem i liczb rzeczywitych na płazczyźnie. Ogólnie linie pierwiatkwe ą ymetryczne względem i ymetrii knfiguraci zerw-biegunwe tranmitanci. Otatnia aktualizaca: M. Tmera

4 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab Włanść ta wynika z teg że pierwiatki zeplne ą ze bą przężne. Jeśli bieguny i zera tranmitanci ą ymetryczne d ddatkwe i t znacza, że ta ś ymetrii ztała uzykana przez liniwą tranfrmacę. <0 >0 >0 =0 =0 =0 <0 0 Oś ymetrii <0 >0 Oś ymetrii Ry.. Linie pierwiatkwe funkci ( )( ) 0, przedtawiaące włanści ymetrii... ĄTY ASYMPTOT LINII PIERWIASTOWEJ Jak widać t z ryunku, kiedy rząd wielmianu mianwnika n nie et równy rzędwi wielmianu licznika znaczneg ak m, wówcza pewne linie na płazczyźnie dążą d niekńcznści. Włanści linii pierwiatkwych w pbliżu niekńcznści na płazczyźnie ą piane przez aymptty linii kiedy. Ogólnie kiedy n m, wówcza będzie n m aymptt, które piuą zachwanie linii pierwiatkwych przy liczb rzeczywitych na płazczyźnie ą piane natępuąc:. ąty aymptt i ich punkty przecięcia z ią Dla dużych wartści zmienne, linie pierwiatkwe dla 0 ą zbieżne d aymptt z kątami wyznaczanymi natępuąc i i 80, n m () n m gdzie i = 0,,,..., n m ; n znacza liczbę kńcznych biegunów, natmiat m liczbę kńcznych zer tranmitanci. Dla 0 kąty aymptt ą wyznaczane z zależnści i i 80, n m () n m gdzie i = 0,,,..., n m. Otatnia aktualizaca: M. Tmera

5 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab.5. PUNTY PRZECIĘCIA ASYMPTOT Punkt przecięcia w punkcie n m aymptt linii pierwiatkwe wytępue na i liczb rzeczywitych biegunów tranmitanci G ( H ( zer tranmitanci H ( n m gdzie n znacza liczbę kńcznych biegunów, natmiat m liczbę kńcznych zer tranmitanci. Punkt przecięcia aymptt kreśla śrdek ciężkści linii pierwiatkwych i zawze et liczbą rzeczywitą. Bieguny i zera tranmitanci maą zarówn części rzeczywite ak i urne, przy czym urne części licznika równania (0) zawze uprazczaą ię. Czyli w równaniu (0) kładniki umwania mgą być zatąpine przez części rzeczywite biegunów i zer tranmitanci. ().6. LINIE PIERWIASTOWE NA OSI LICZB RZECZYWISTYCH Cała ś liczb rzeczywitych na płazczyźnie et zamwana przez linie pierwiatkwe (alb przez linie dla 0 alb przez linie dla : Na i liczb rzeczywitych, linia pierwiatkwa dla 0 znadue ię tylk na tych dcinkach i dla których liczba biegunów i zer tranmitanci z prawe trny dcinka et nieparzyta.. 0 : Na i liczb rzeczywitych, linia pierwiatkwa dla 0 znadue ię tylk na tych dcinkach i dla których liczba biegunów i zer tranmitanci z prawe trny dcinka et parzyta. Sprzężne bieguny i zera tranmitanci nie wpływaą na typ linii pierwiatkwe znaduące ię na i liczb rzeczywitych..7. ĄTY WYJŚCIA I ĄTY WEJŚCIA LINII PIERWIASTOWYCH ąt wyścia z bieguna lub weścia d zera tranmitanci znacza kąt tyczne te linii w pbliżu punktu. ąty wyścia i weścia kreślane ą przy użyciu wzru (9) dla linii wyznaczne dla 0 raz wzru (0) dla linii wyznaczne dla PUNTY PRZECIĘCIA LINII PIERWIASTOWYCH Z OSIĄ LICZB UROJONYCH Punkty w których linie pierwiatkwe przecinaą ś liczb urnych na płazczyźnie, eśli takie wytępuą, wyznaczane ą przy użyciu kryterium Rutha. Dla złżnych przypadków, kiedy linia pierwiatkwa ma wiele punktów przecięcia z ią liczb urnych, wartści krytyczne mgą być wyznaczne przy użyciu prgramów kmputerwych..9. PUNTY ROZGAŁĘZIEŃ NA LINIACH PIERWIASTOWYCH Punkty rzgałęzień na liniach pierwiatkwych dpwiadaą pierwiatkm wielkrtnym równania. Na ryunku (a) przedtawiny ztał przypadek w którym dwie linie pierwiatkwe ptykaą ię w punkcie rzgałęzienia na i liczb rzeczywitych i natępnie puzczaą tą ś w przeciwnych kierunkach. W tym przypadku punkt rzgałęzienia reprezentue pdwóny pierwiatek równania, kiedy wartść iąga wartść dpwiadaącą temu punktwi. Na ryunku (b) przedtawina ztała inna ytuaca w które dwa pierwiatki zeplne przężne ptykaą ię w punkcie rzgałęzienia znaduąceg ię na i liczb rzeczywitych i natępnie przemiezczaą ię Otatnia aktualizaca: M. Tmera 5

6 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab Punkt rzgałęzienia Punkt rzgałęzienia (a) Ry.. Przykłady punktów rzgałęzień na i liczb rzeczywitych. (b) w przeciwnych kierunkach wzdłuż i liczb rzeczywitych. W gólnym przypadku, punkt rzgałęzienia mże bemwać więce niż dwie linie pierwiatkwe. Linia pierwiatkwa mże mieć czywiście więce niż eden punkt rzgałęzienia. Pza tym punkty przecięcia nie zawze będą na i liczb rzeczywitych. Z pwdu przężne ymetrii linii pierwiatkwych, punkty rzgałęzień znaduące ię pza ią liczb rzeczywitych muzą być pwiązane w zeplne pary przężne. Punkty rzgałęzień na linii pierwiatkwe G ( 0 muzą pełniać warunek d d 0 Ważne et aby zaznaczyć, że warunek na punkt rzgałęzienia piany wzrem (5) et knieczny ale nie wytarczaący. Innymi łwy, wzytkie punkty rzgałęzień muzą pełniać równanie (5) lecz nie wzytkie rzwiązania równania (5) ą punktami rzgałęzień. Aby być punktem rzgałęzienia, rzwiązanie równania (5) mui również pełniać równanie G ( 0, czyli mui być również punktem znaduącym ię na linii pierwiatkwe dla pewne wartści. Ogólnie, pniżze wniki ą uzykiwane w dnieieniu d rzwiązań równania (5):. Wzytkie rzeczywite rzwiązania równania (5) ą punktami na linii pierwiatkwe, gdyż cała ś liczb rzeczywitych płazczyzny et zaęta przez linie pierwiatkwe.. Rzwiązania zeplne przężne równania (5) ą punktami rzgałęzień tylk wówcza gdy pełniaą równanie charakterytyczne lub ą punktami na linii pierwiatkwe.. Z warunku dtycząceg linii pierwiatkwe H ( (6) (5) wyznaczaąc różniczkę na bu trnach równania względem zmienne, trzymue ię d d d d [ ] Więc warunek dtyczący punktu rzgałęzienia mże być również zapiany ak d d 0 gdzie et wyrażne tak ak w równaniu (6). (7) (8).9.. ąty wyścia i weścia linii pierwiatkwych w punktach rzgałęzień ąty przy których linia pierwiatkwa wchdzi lub wychdzi z punktu rzgałęzień zależy d liczby linii, które bemuą ten punkt. Ogólnie n linii pierwiatkwych iąga lub puzcza punkt rzgałęzień pd kątem 80 /n Otatnia aktualizaca: M. Tmera 6

7 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab.0. OBLICZANIE Z LINII PIERWIASTOWYCH Przy kntruwaniu linii pierwiatkwych, wartść w dwlnym punkcie na linii pierwiatkwe mże być wyznaczna przy użyciu równania (). Wzytkie ważne włanści kntruwania linii pierwiatkwych zebrane ztały w tabeli. Tabela. Włanści linii pierwiatkwych G ( 0. Punkty dla = 0 Punkty dla = 0 ą biegunami tranmitanci, bemuąc również takie które znaduą ię w =.. Punkty dla = Punkty dla = ą zerami tranmitanci, zawieraąc również te które znaduą ię w =.. Liczba ddzielnych linii pierwiatkwych. Symetria linii pierwiatkwych 5. Aymptty linii pierwiatkwych gdy Całkwita liczba linii pierwiatkwych et równa rzędwi równania M( = 0. Linie pierwiatkwe ą ymetryczne wzdłuż i ymetrii knfiguraci zer-biegunwe tranmitanci G (. Dla dużych wartści, linie pierwiatkwe ( > 0) ą zbieżne d aymptt, których kąty ą wyznaczane z natępuących zależnści: i i n m 80 Dla linii pierwiatkwych ( < 0), gdzie i = 0,,,..., n m ; i i n m 80 n = liczba kńcznych biegunów tranmitanci m = liczba kńcznych zer tranmitanci 6. Punkt przecięcia aymptt (a) Punkt przecięcia aymptt wytępue tylk na i liczb rzeczywitych (b) Punkt przecięcia aymptt wyznaczany et ze wzru a biegunów tranmitanci H ( zer tranmitan ci n m H ( 7. Linie pierwiatkwe na i liczb rzeczywitych Linia pierwiatkwa ( > 0) wytępue w tych dcinkach i liczb rzeczywitych dla których uma rzeczywitych zer i biegunów tranmitanci z prawe trny teg dcinka et nieparzyta. Jeśli całkwita liczba zer i biegunów z prawe trny dcinka et parzyta, wówcza wytępue linia pierwiatkwa dla ( < 0). 8. ąty weścia i wyścia ąty weścia lub wyścia linii pierwiatkwe d bieguna lub zera tranmitanci mgą być wyznaczne przy załżeniu punktu, który et bardz blik rzważaneg bieguna lub zera przez zatwanie równania Otatnia aktualizaca: M. Tmera 7

8 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab 9. Punkty przecięcia linii pierwiatkwych z ią liczb urnych m n ) ) ( zk ) ( p ) k m n ) ) ( zk ) ( p ) k gdzie i = 0,,,,... ( i ) 80 ( > 0) i 80 ( < 0) Punkty przecięcia linii pierwiatkwych z ią liczb urnych dpwiadaą wartścim, które mgą być wyznaczne przy użyciu kryterium Rutha. 0. Punkty rzgałęzień Punkty rzgałęzień na linii pierwiatkwe ą wyznaczane z zależnści d d 0, lub dg ( d 0. Są t tylk warunki knieczne.. Obliczenie wartści na pdtawie linii pierwiatkwe Wartść bezwzględną w pewnym punkcie należącym d linii pierwiatkwe, wyznaczane ą na pdtawie zależnści ) H ( ) Pniżzy przykład pdumwue wzytkie włanści zebrane w tabeli. Przykład Nazkicu linie pierwiatkwe dla pniżzeg układu regulaci (ry..). R( Y( Ry... Schemat blkwy rzważany układu regulaci Rzwiązanie: Tranmitanca rzwarte pętli ma ptać ( ) ( ) G ( (.) 6 0 ( )( 0) Włanści linii pierwiatkwe zebrane ą w tabeli, dla teg przypadku wyznaczane ą natępuąc:. Lkwanie biegunów na płazczyźnie zmienne zeplne. Punkty w których = 0 ą biegunami tranmitanci : p = 0, p =, p = +, p =.. Umiezczenie zer na płazczyźnie zmienne zeplne. Punkty w których = ą zerami tranmitanci : z =, z,, =,,.. Są cztery ddzielne gałęzie linii pierwiatkwych.. Linie pierwiatkwe ą ymetryczne względem i liczb rzeczywitych na płazczyźnie. Otatnia aktualizaca: M. Tmera 8

9 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab 5. Określenie kątów aymptt linii pierwiatkwych. Tranmitanca ma cztery bieguny i edn kńczne zer, czyli trzy gałęzie linii pierwiatkwych iągaą niekńcznść wzdłuż aymptt. ąty aymptt linii pierwiatkwych (dla > 0) wyznaczane ą z równania () i i n m i (.) dla i = 0,,. Są trzy linie pierwiatkwe, które iągaą niekńcznść wzdłuż aymptt pd kątami: 60, 80, 00. ąty aymptt linii pierwiatkwych ( < 0) wyznaczane ą z równania () i i n m i (.) dla i = 0,,. iedy iąga, wówcza trzy linie pierwiatkwe iągaą niekńcznść wzdłuż aymptt pd kątami: 0, 0, Wyznaczenie punktu przecięcia aymptt na i liczb rzeczywitych. Punkt przecięcia aymptt wyznaczany et z równania () (0 ) ( ) (.) 7. Linie pierwiatkwe na i liczb rzeczywitych. Odcinki linii pierwiatkwych (>0) na i liczb rzeczywitych znaduą ię w przedziałach < < raz 0 < <. Pztałe dcinki linii pierwiatkwych na i liczb rzeczywitych (<0) znaduą ię w przedziałach < < 0 raz < <. 8. ąty wyścia: ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna p = + et wyznaczany przy użyciu równania (9). Jeśli et punktem na linii pierwiatkwe puzczaące biegun +, natmiat punkt et bardz blik bieguna. czyli ( i z ) ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) ( ) 80 (.5) ( i ) ( ) ( ) ( ) ( ) 80 (.6) lub (i ) 80 (.7) dla i = 0,,,,... Wybieraąc i = 0, trzymue ię (.8) W pdbny pób równanie (0) et wykrzytywane d kreślenia kąta weścia linii pierwiatkwe ( < 0) d bieguna p = +. ąt ten wyznaczany et w bardz łatwy ' pób, gdyż kąt różni ię d kąta 80 ; więc ' (.9) 9. Punkty przecięcia linii pierwiatkwych z ią urną wyznaczane ą przy użyciu kryterium Rutha. Równanie charakterytyczne dla teg układu 6 ( 0) 0 (.0) Otatnia aktualizaca: M. Tmera 9

10 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab Tablica Rutha Aby równanie (.0) nie miał pierwiatków na i liczb urnych ani w prawe półpłazczyźnie, wówcza wzytkie elementy pierwze klumny tablicy Rutha muzą mieć ten am znak. Czyli pełnine muzą być natępuące zależnści 68 > 0 lub < 68 (.) lub 5.9 < < 5.65 (.) > 0 (.) Czyli wzytkie pierwiatki równania (.0) pztaną w lewe półpłazczyźnie, eśli będzie przymwał wartść z zakreu pmiędzy 5.9 < < 5.65 c znacza, że linia pierwiatkwa będzie przecinać ś liczb urnych kiedy = 5.9 raz = Wpółrzędne punktów przecięcia na i liczb urnych, ą wyznaczane z natępuąceg równania pmcniczeg. 68 p ( 0 (.) Równanie (.) ztał uzykane przez użycie wpółczynników z wierza znaduąceg ię bezpśredni nad wierzem zerwym w, który pwtae gdy = 5.9 lub = Pdtawiaąc = 5.9 d równania (.), trzymue ię (.5) Pierwiatkami równania (.5) ą =.5 raz.5, które ą punktami w których linia pierwiatkwa przecina ś liczb urnych. Pdtawiaąc = 5.65 d równania (.), trzymue ię (.6) Pierwiatkami równania (.6) ą =.9 raz.9, które również ą punktami w których linia pierwiatkwa przecina ś liczb urnych. 0. Punkty rzgałęzień: Aby wyznaczyć punkty rzgałęzień należy pddać butrnne peraci różniczkwania zależnść (.) przy = względem i przyrównać t d zera; wówcza uzykue ię natępuące równanie (.7) Pierwiatki uzykane z rzwiązania równania (.7) ą natępuące = = =.866 = 0.9 Czyli na i liczb rzeczywitych ą dwa punkty rzgałęzień. Pztałe dwa nie znaduą ię na liniach pierwiatkwych i dlateg nie ą punktami rzgałęzień Bazuąc na infrmacach Otatnia aktualizaca: M. Tmera 0

11 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab uzykanych w tatnich dzieięciu krkach, linie pierwiatkwe dla rzważaneg w tym przykładzie układu regulaci pkazane ą na ryunku.. W celu dkładneg wyznaczenia linii pierwiatkwych mżna bie pmóc krzytaąc z funkci rlcu znaduące ię w biblitece Matlaba. 0 8 Im 6 <0 > =0.5 (=5.65).9 >0.5 (=5.9) >0 >0 =0 =0.5 (=5.9) a = >0.5 (=5.65) =0 = 0.9 <0 Re -6 >0 < Ry. 0. Linie pierwiatkwe 6 ( 0) 0 d źródłwy zapiany w ęzyku Matlaba przy użyciu któreg uzykane ztały pwyżze wyniki. clear m = ; % Liczba zer tranmitanci z = -; % Zer tranmitanci n = ; % Liczba biegunów tranmitanci p = 0; % Bieguny tranmitanci p = ; p = -+*i; p = --*i; % Licznik tranmitanci pętli twarte num = [ -z] % Mianwnik tranmitanci pętli twarte den = cnv( cnv([ -p],[ -p]), cnv( [ -p], [ -p])) % Tranmitanca pętli twarte G=tf( num, den) % Punkt przecięcia aymptt igma = (p + p + p + p - z)/(n-m) Otatnia aktualizaca: M. Tmera

12 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab % Wyznaczenie kąta wyścia z punktu - + fi_ = angle(p - z)*80/pi theta_ = angle(p - p)*80/pi theta_ = angle(p - p)*80/pi theta_ = angle(p - p)*80/pi theta wy = 80 + fi_ - theta_ - theta_ - theta_ % Wyznaczenie kąta weścia d punktu - + theta we = 80 + theta wy % ryterium Rutha % b - wpółczynnik tablicy Rutha b = [0 *6] - [ -0] rt_b = rt(b) % c - wpółczynnik tablicy Rutha c = cnv(b, [ -0]) - [0 9 0] rt_c = rt(c) %, - wartści przy których pawiaą ię bieguny na i = rt_c() = rt_c() % Wyznaczenie pierwze pary punktów przecięcia z ią urną = ; p = [(68-)/ 0 ] rt_p = rt( p) % Wyznaczenie drugie pary punktów przecięcia z ią urną = ; p = [(68-)/ 0 ] rt_p = rt( p) % Wyznaczenie punktów rzgałęzień a0 = den(5); a = den(); a = den(); a = den(); a = den(); breakaway_pint = den - cnv([*a *a *a a], num) rt( breakaway_pint ĆWICZENIA M. Dla każdeg z pniżzych układów terwania dla których pdane ą zera i bieguny tranmitanci pętli Skntruu linie pierwiatkwe wyznaczaąc: Punkt przecięcia aymptt, ąty aymptt, Punkty rzgałęzień, ąty weścia i wyścia linii pierwiatkwych d biegunów i zer znaduących ię pza ią liczb rzeczywitych Punkty przecięcia z ią liczb urnych Na pdtawie wykreślnych linii pierwiatkwych i kryterium Rutha kreśl Zakre wartści trneg parametru dla któreg układy te ą tabilne Wartść wzmcnienia krytyczneg kr przy którym w układzie pawiaą ię cylace tałe amplitudzie raz kre tych cylaci T c. Otatnia aktualizaca: M. Tmera

13 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab Równanie charakterytyczne uzykiwane et przez przyrównanie licznika wyrażenia + d zera. a) Bieguny: = 0, 5, 6; zer: = 8. b) Bieguny: = 0,,, ; brak kńcznych zer. c) Bieguny: = 0, 0,, ; zer: =. d) Bieguny: = 0, +, ; zer: =. e) Bieguny: = 0, +, ; zer: = 5. f) Bieguny: = 0, +,, ; brak kńcznych zer. g) Bieguny: = 0, 0, 8, 8; zera:,. h) Bieguny: = 0, 0, 8, 8; brak kńcznych zer. i) Bieguny: = 0, 0, 8, 8; zera: +, ) Bieguny: = 0,, ; zera:. k) Bieguny: =,,, ; zera:,. l) Bieguny: = 0, 0, 0, ; zera:,,. M. Dla każdeg z pniżzych układów terwania dla których pdane ą zera i bieguny tranmitanci pętli Skntruu linie pierwiatkwe wyznaczaąc: Punkt przecięcia aymptt, ąty aymptt, dla > 0 raz < 0 Punkty rzgałęzień, ąty weścia i wyścia linii pierwiatkwych d biegunów i zer znaduących ię pza ią liczb rzeczywitych Punkty przecięcia z ią liczb urnych Na pdtawie wykreślnych linii pierwiatkwych i kryterium Rutha kreśl a) b) c) d) e) Zakre wartści trneg parametru dla któreg układy te ą tabilne Wartść wzmcnienia krytyczneg kr przy którym w układzie pawiaą ię cylace tałe amplitudzie raz kre tych cylaci T c. G ( G ( G ( 5 ( ( ( ( 5 9 ) 7 6 ( ) ) ) ( 5) f) G ( H ( 5 ( 0) g) G ( H ( 6 ) Otatnia aktualizaca: M. Tmera

14 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab h) G ( H ( i) ) G ( H ( k) G ( l) G ( ( ( ) ( 5 ) 9 0 ( 8 0) 5 ( ) 6 ODPOWIEDZI DO ĆWICZEŃ M. a) b) c) d) e) G ( ( 8) ( 5)( 6) Punkt przecięcia aymptt: =.5, ąty aymptt: dla > 0, i = 90, 70 ; dla < 0; i = 0, 80, i = 0,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, =.78; dla < 0, = , = Stabilny: 0 < < G ( ( )( )( ) Punkt przecięcia aymptt: =, ąty aymptt: dla > 0, i = 5, 5, 5, 5 ; dla < 0; i = 0, 90, 80, 70, i = 0,,,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, =.58, = 0.89; dla < 0, =. Punkty przecięcia z ią liczb urnych:. 7 dla = 6.5 Stabilny: 0 < < 6.5 Wzmcnienie krytyczne: G ( H ( ( ( ) ) Punkt przecięcia aymptt: = 0,, kr = 6.5, Okre cylaci: T c = 5.0 [] ąty aymptt: dla > 0, i = 60, 80, 00 ; dla < 0; i = 0, 0, 0, i = 0,,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, =.9, =, = 0; dla < 0, =.085. Nietabilny dla każdeg. G ( ( ) ( ) Punkt przecięcia aymptt: = 0, ąty aymptt: dla > 0, i = 90, 70 ; dla < 0; i = 0, 80, i = 0,. Punkty rzgałęzień: dla < 0, =.89. ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna ( > 0) = +: = 0 ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( < 0) = +: ' = 80 Stabilny: 0 < < G ( ( 5) ( ) Punkt przecięcia aymptt: =.5, Otatnia aktualizaca: M. Tmera

15 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab ąty aymptt: dla > 0, i = 90, 70 ; dla < 0; i = 0, 80, i = 0,. Punkty rzgałęzień: dla < 0, = ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna ( > 0) = +: = ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( < 0) = +: ' = 9 Punkty przecięcia z ią liczb urnych:. 857 dla =. Stabilny: 0 < <. Wzmcnienie krytyczne:, kr =., Okre cylaci: T c =. [] f) G ( ( )( ) Punkt przecięcia aymptt: =.5, ąty aymptt: dla > 0, i = 5, 5, 5, 5 ; dla < 0; i = 0, 90, 80, 70, i = 0,,,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, =.09. ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna ( > 0) = +: = 6.9 ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( < 0) = +: ' = Punkty przecięcia z ią liczb urnych:. 57 dla =.5556 Stabilny: 0 < <.5556 Wzmcnienie krytyczne:, kr =.5556, Okre cylaci: c T = 5. [] g) h) G ( H ( ( ( ) 8) Punkt przecięcia aymptt: =, ąty aymptt: dla > 0, i = 90, 70 ; dla < 0; i = 0, 80, i = 0,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, = 8, = 0, = +.899, =.899; dla < 0, 5 =. Stabilny: 0 < < G ( ( 8) Punkt przecięcia aymptt: =, ąty aymptt: dla > 0, i = 90, 70 ; dla < 0; i = 0, 80, i = 0,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, = 8, = 0; dla < 0, =. Nietabilny dla każdeg. i) ) G ( H ( ( ( 8 8) 0) Punkt przecięcia aymptt: =, ąty aymptt: dla > 0, i = 90, 70 ; dla < 0; i = 0, 80, i = 0,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, = 8, = 0, = +.899, =.899; dla < 0, 5 =. ąt wyścia linii pierwiatkwe z zera ( < 0) = +: = 70 ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( > 0) +: ' = 90 Stabilny: 0 < < G ( ( ) ( )( ) Punkt przecięcia aymptt: = ąty aymptt: dla > 0, i = 90, 70 ; dla < 0; i = 0, 80, i = 0,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, =.5, = 0.7; dla < 0, =.879 Punkty przecięcia z ią liczb urnych: dla =.5 Stabilny:.5 < < 0 Wzmcnienie krytyczne:, kr =.5, Okre cylaci: T c = [] Otatnia aktualizaca: M. Tmera 5

16 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab k) l) M. G ( H ( ( ( )( ) ) Punkt przecięcia aymptt: = 0 ąty aymptt: dla > 0, i = 90, 70 ; dla < 0; i = 0, 80, i = 0,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, = 0; dla < 0, =.; =., =.56, 5 =.56 Na granicy tabilnści: < < G ( H ( ( 6 ( ) 6) Punkty rzgałęzień: dla > 0, = 9.07, =.0, = 0, = 0.680; dla < 0, 5 =.00, 6 = 0. Punkty przecięcia z ią liczb urnych:. 079 dla =.9506, Stabilny:.9506 < < Wzmcnienie krytyczne: a) Bieguny: =,,,, Zera: = Punkt przecięcia aymptt: =,,, 0.09 dla = 0.09 kr =.9506, Okre cylaci: T c =.50 [] ąty aymptt: dla > 0, i = 60, 80, 00 ; dla < 0; i = 0, 0, 0, i = 0,,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, =.7, =, =.7; dla < 0, =. ąt weścia i wyścia linii pierwiatkwe d bieguna lub zera znaduąceg ię pza ią liczb rzeczywitych: brak takich zer lub biegunów Punkty przecięcia z ią liczb urnych: dla =.68,,,.650 dla = Stabilny: < <.68 Wzmcnienie krytyczne: kr =.68, Okre cylaci: T c = 7.65 [] b) Bieguny: = 0,.695, , , Zera: = Punkt przecięcia aymptt: = , ąty aymptt: dla > 0, i = 60, 80, 00 ; dla < 0; i = 0, 0, 0, i = 0,,. Punkty rzgałęzień: brak ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna ( > 0) = : = 8.07 ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( < 0) = : ' = Punkty przecięcia z ią liczb urnych: dla = 0.806, Stabilny: 0 < < Wzmcnienie krytyczne: c) Bieguny: =,,,, Zera: = Punkt przecięcia aymptt: = ,, kr = 0.806, Okre cylaci: T c = [] ąty aymptt: dla > 0, i = 60, 80, 00 ; dla < 0; i = 0, 0, 0, i = 0,,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, =.7, =, dla < 0, brak ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna ( > 0) = +: = 5 ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( < 0) = +: ' = 5 Punkty przecięcia z ią liczb urnych:. 66 dla =.806,, Stabilny: < <.806 Wzmcnienie krytyczne: kr =.806, Okre cylaci: T c =.87 [] Otatnia aktualizaca: M. Tmera 6

17 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab d) Bieguny: = 0,,,, Zera: = Punkt przecięcia aymptt: = 0., ąty aymptt: dla > 0, i = 60, 80, 00 ; dla < 0; i = 0, 0, 0, i = 0,,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, =.687, =.59, dla < 0, brak ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna ( > 0) = +: = 6.9 ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( < 0) = +: ' = Punkty przecięcia z ią liczb urnych:. 580 dla =.0, Stabilny: 0 < <.0 Wzmcnienie krytyczne:, kr =.0, Okre cylaci: T c =.996 [] e) Bieguny: = , , , Zera: = Punkt przecięcia aymptt: = ąty aymptt: dla > 0, i = 60, 80, 00 ; dla < 0; i = 0, 0, 0, i = 0,,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, = 0.98; dla < 0, =.867 ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna ( > 0) = : = = : = 6.89 ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( < 0) = : ' = = : = Punkty przecięcia z ią liczb urnych: dla = 8.05,,,.000 dla = Stabilny: 8.05 < < 6 Wzmcnienie krytyczne: kr = 8.05, Okre cylaci: T c = [] f) Bieguny: = 0, 0, +, Zera: =, Punkt przecięcia aymptt: = ąty aymptt: dla > 0, i = 90, 70 ; dla < 0; i = 0, 80, i = 0,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, = 0; dla < 0, brak ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna ( > 0) = +: = z zera ( < 0) = +: = ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( < 0) = +: d zera ( > 0) = +: ' ' = 5.9 = 0.08 Punkty przecięcia z ią liczb urnych:. 6 dla =.5, Stabilny: 0 < <.5 Wzmcnienie krytyczne: g) Bieguny: = 0, 0, +.,. Zera: =, Punkt przecięcia aymptt: =, kr =.5, Okre cylaci: T c =.8099 [] ąty aymptt: dla > 0, i = 90, 70 ; dla < 0; i = 0, 80, i = 0,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, = 0; dla < 0, brak ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna ( > 0) = +.: =.0576 z zera ( < 0) = +: = ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( < 0) = +.: d zera ( < 0) = +: ' = Punkty przecięcia z ią liczb urnych:. 7 dla = 8, Stabilny: 8 < < Wzmcnienie krytyczne:, kr = 8, Okre cylaci: T c =.679 [] ' ' = 8.9 Otatnia aktualizaca: M. Tmera 7

18 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab h) Bieguny: = 0, 0, +, Zera: =, Punkt przecięcia aymptt: = ąty aymptt: dla > 0, i = 90, 70 ; dla < 0; i = 0, 80, i = 0,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, =.85, = 0; dla < 0, brak ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna ( > 0) = +: = 0.08 ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( < 0) = +: ' = Punkty przecięcia z ią liczb urnych:. 66 dla = 7., Stabilny: 0 < < 7. Wzmcnienie krytyczne:, kr = 7., Okre cylaci: T c =.895 [] i) Bieguny: = 0,.0, , Zera: =, Punkt przecięcia aymptt: = ąty aymptt: dla > 0, i = 90, 70 ; dla < 0; i = 0, 80, i = 0,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, =., =.9; dla < 0, =.6 ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna ( > 0) : =.509 ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( < 0) : ' =.509 Punkty przecięcia z ią liczb urnych:. 8 dla = 0.79,,,.0 dla =.7808 Stabilny: 0.79 < <.7808 Wzmcnienie krytyczne: kr = 0.79, Okre cylaci: T c =.689 [] kr =.7808, Okre cylaci: T c = [] ) Bieguny: =,, +.7,.7 Zera: =, 0 Punkt przecięcia aymptt: = 0.5 ąty aymptt: dla > 0, i = 90, 70 ; dla < 0; i = 0, 80, i = 0,. Punkty rzgałęzień: dla > 0, brak; dla < 0, =.8, =, = 0.66 ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna ( > 0) +.7: = ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( < 0) +.7: ' = Punkty przecięcia z ią liczb urnych: dla =.8, Stabilny:.8 < < Wzmcnienie krytyczne:, kr =.8, Okre cylaci: T c = 7.66 [] k) Bieguny: = , , , Zera: = 5,, Punkt przecięcia aymptt: = 8 ąty aymptt: dla > 0, i =80 ; dla < 0; i = 0, i = 0. Punkty rzgałęzień: dla > 0, =.8, =.57; dla < 0, =.6, = ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna ( > 0) : = : = ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( < 0) : ' ' = : = Punkty przecięcia z ią liczb urnych:. 959 dla = 0.859, Stabilny: < < Wzmcnienie krytyczne:, kr = 0.859, Okre cylaci: T c =.7 [] l) Bieguny: =,, 0, 0 Zera: = 7.0, , Punkt przecięcia aymptt: =.5 Otatnia aktualizaca: M. Tmera 8

19 Teria terwania Linie pierwiatkwe Matlab ąty aymptt: dla > 0, i =80 ; dla < 0; i = 0, i = 0. Punkty rzgałęzień: dla > 0, =.696, =.5; = 0, dla < 0, = 0.65 ąt wyścia linii pierwiatkwe z zera ( < 0) : = 6.75 ąt weścia linii pierwiatkwe d zera ( > 0) : Punkty przecięcia z ią liczb urnych: brak Stabilny: 0 < < LITERATURA ' = Drf R.C., Bihp R.H. Mdern Cntrl Sytem. Addin-Weley Lngman, Evan W.R. "Graphical Analyi f Cntrl Sytem", Tranactin f AIEE, Vl. 67, pp , 98.. Franklin G.F, Pwell J.D., Emami-Naeini A. Feedback Cntrl f Dynamic Sytem. Addin-Weley Publihing Cmpany, 986. u B. C. Autmatic Cntrl f Dynamic Sytem, 7th ed, Addin-Weley & Sn Inc., Nie N.S. Cntrl Sytem Engineering. th ed. Jhn Wiley&Sn Inc., 000. Otatnia aktualizaca: M. Tmera 9