Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. WPROWADZENIE 2. PROBLEM STABILNOŚCI

Transkrypt

1 Akademia Mrka w Gdyni atedra Autmatyki Okrętwe Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita Mirław Tmera. WPROWADZENIE ryterium Nyquita et metdą wykreślną pzwalaącą na kreślanie tabilnści układu zamknięteg przez badanie włanści wykreu w dziedzinie częttliwści. Wykre Nyquita twrzny et na pdtawie tranmitanci pętli twarte GH lub L. Wykre Nyquita pętli tranmitanci L et wykreem L we wpółrzędnych biegunwych Im[L ] w funkci Re[L ] gdy zmienia ię d 0 d. Jet t kleny przykład użycia włanści tranmitanci pętli w celu kreślenia akści układu zamknięteg. ryterium Nyquita ma natępuące włanści, które tanwią użytecznści te metdy w analizie i prektwaniu układów terwania.. Ddatkw pza kreśleniem tabilnści ablutne, tak ak przy użyciu kryterium Rutha, kryterium Nyquita dae również infrmace tabilnści względne układu tabilneg i tpniu nietabilnści układu nietabilneg. Dae również wkazanie tym ak w razie kniecznści mże ztać pprawina tabilnść układu.. Wykre Nyquita pętli twarte GH lub L et bardz łatwy d uzykania, zczególnie z pmcą kmputera. 3. Wykre Nyquita pętli twarte GH dae infrmacę charakterytykach w dziedzinie częttliwści, takich ak M r, r, BW.. Wykre Nyquita et bardz użyteczny w układach z czytym czaem późnienia, które nie mgą być rzważane przy użyciu kryterium Rutha lub Hurwitza, i ą trudne d analizy przy użyciu metdy linii pierwiatkwych.. PROBLEM STABILNOŚCI ryterium Nyquita et metdą kreślania płżeń pierwiatków równania charakterytyczneg z dkładnścią d prawe lub lewe półpłazczyzny. W przeciwieńtwie d metdy linii pierwiatkwe, kryterium Nyquita nie dae dkładnych płżeń pierwiatków równania charakterytyczneg. Zakładaąc, że tranmitanca pętli zamknięte układu z pedynczym weściem i wyściem SISO et natępuąca G T G H gdzie tranmitanca pętli GH mże mieć natępuącą ptać G H N T T a T... T... b Tm e T a wpółczynniki T maą ptać liczb rzeczywitych lub zeplnych, natmiat T et rzeczywitym czaem późnienia. n T Otatnia aktualizaca: M. Tmera

2 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita Równanie charakterytyczne uzykiwane et przez przyrównanie wielmianu mianwnika M d zera, pierwiatki równania charakterytyczneg ą również zerami + GH. Pierwiatki równania charakterytyczneg muzą pełniać zależnść gdzie L et tranmitancą pętli w ptaci gólne... IDENTYFIACJA ZER I BIEGUNÓW G H L 0 3 zera tranmitanci pętli: zera L bieguny tranmitanci pętli: bieguny L bieguny tranmitanci pętli zamknięte: zera + L = pierwiatki równania charakterytyczneg bieguny + L = bieguny L.. WARUNI STABILNOŚCI. Definiwane ą dwa typy tabilnści w dnieieniu d knfiguraci układu.. Stabilnść pętli twarte. Układ ma tabilną pętlę twartą eśli wzytkie bieguny tranmitanci pętli znaduą ię w lewe półpłazczyźnie.. Stabilnść pętli zamknięte. Układ ma tabilną pętlę zamkniętą lub et tabilny, eśli bieguny tranmitanci pętli zamknięte lub wzytkie zera + L znaduą ię w lewe półpłazczyźnie. Wyątkiem d pwyżzych definici ą układy z zerami lub biegunami znaduącymi ię w pczątku układu. 3. PODSTAWOWE DEFINICJE ryterium Nyquita et metdą graficzną i knieczne et utalenie pewnych pdtawwych zaad, które wykrzytywane ą d interpretaci wykreu Nyquita w celu utalenia tabilnści. 3.. PUNT ORĄŻONY Encircled Mówi ię, że punkt lub bzar na płazczyźnie zmienne zeplne et krążny eśli znadue ię wewnątrz zamknięteg knturu. Dla przykładu punkt A z ryunku et krążny przez zamknięty kntur, gdyż znadue ię w eg wnętrzu. Punkt B nie et krążny gdyż znadue ię na zewnątrz knturu. Jeśli z zamkniętym knturem pwiązany et kierunek, który mże być zgdny z kierunkiem ruchu wkazówek zegara CW clckwie lub d nieg przeciwny CCW cunterclckwie. ierunki nie maą znaczenia przy kreślaniu krążania. Ry.. Definica krążania punktu przez zamknięty kntur 3.. PUNT ZAWARTY Encled Mówi ię, że punkt lub bzar na płazczyźnie zmienne zeplne et zawarty w zamkniętym knturze, eśli et krążany w kierunku dwrtnym d ruchu wkazówek zegara lub gdy punkt lub Otatnia aktualizaca: M. Tmera

3 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita bzar znaduą ię z lewe trny knturu, który przechdzi w kierunku przeciwnym d ruchu wkazówek zegara. a Ry.. Definica zawierania punktu przez zamknięty kntur. a Punkt A et zawarty w knturze. b Punkt A nie et zawarty, natmiat punkt B et zawarty w knturze Liczba krążeń iedy punkt et krążany przez zamknięty kntur t liczba N mże być pwiązana z liczbą krążeń teg punktu. Wartść N mże być kreślna przez wykreślenie trzałki d teg punktu d pewneg punktu znaduąceg ię na zamkniętym knturze i wtedy punkt przemiezcza ię w zadanym kierunku aż pwróci d punktu pczątkweg. N et całkwitą liczbą krążeń te trzałki i uzykany kąt wyni N. Dla przykładu punkt A z ryunku 3a et krążany przez kntur ednkrtnie lub radianów, a punkt B et krążany dwukrtnie lub radianów, bydwa punkty krążane ą w kierunku zgdnym z ruchem wkazówek zegara. Na ryunku 3b punkt A et krążany przez kntur ednkrtnie, a punkt B et krążany dwukrtnie. Z definici N et ddatnie dla brtów przeciwnych, a uemne dla krążeń zgdnych z kierunkiem ruchu wkazówek zegara. b 0 0 a Ry. 3. Definica liczby krążeń b 3.. Zaada Argumentu ryterium Nyquita ztał wyprwadzne dla zatwań inżynierkich z dbrze znane w terii liczb zeplnych zaady argumentu. Niech et funkcą ednznacznie kreślną i ma ptać równania, które ma kńczną liczbę biegunów na płazczyźnie. Termin funkca ednznacznie kreślna znacza, że dla każdeg punktu na płazczyźnie dpwiada tylk eden punkt na płazczyźnie zeplne włączaąc w t niekńcznść. Niekńcznść na płazczyźnie zeplne interpretwana et ak punkt. Przypuśćmy, że na płazczyźnie arbitralnie wybrany ztał pewien zamknięty kntur, ak t pkazane ztał na ryunku a. Jeśli nie przechdzi przez żaden biegun ani zer funkci, t wówcza traektria będąca przekztałceniem knturu przez na płazczyznę będzie również linią zamkniętą, ak pkazan t na ryunku b. Otatnia aktualizaca: M. Tmera 3

4 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita Płazczyzna Im Płazczyzna 0 0 Re a b Ry.. a Arbitralnie wybrany zamknięty kntur na płazczyźnie. b Odpwiadaąca knturwi na płazczyźnie linia Rzpczynaąc d punktu, przechdzi ię przez kntur w pewnym arbitralnie wybranym kierunku w tym przypadku w kierunku zgdnym z ruchem wkazówek zegara pprzez punkty raz 3 i natępnie wraca ię d punktu p prześciu wzytkich punktów na linii ak pkazan t na ryunku a. Traektria, dpwiadaąca knturwi, tartue d punktu i przemiezcza ię pprzez punkty i 3, dpwiadaące punktm, raz 3 i tatecznie wraca d punktu pczątkweg. ierunek przemiezczania mże być zgdny lub przeciwny d ruchu wkazówek zegara, który et tym amym lub przeciwnym d kierunku w którym zrientwany et kntur, zależnie d rdzau funkci. Zaada argumentu mże być zdefiniwana natępuąc: Niech będzie ednznacznie kreślną funkcą, która ma kńczną liczbę biegunów na płazczyźnie. Przypuśćmy, że arbitralnie wybrany na płazczyźnie kntur zamknięty nie przechdzi przez żadne zer ani żaden biegun funkci. Traektria et wykreślna na płazczyźnie i dpwiada knturwi przekztałcnemu przez funkcę i krąża pczątek układu wpółrzędnych tyle razy ile wyni różnica pmiędzy liczbą zer i biegunów funkci które ą krążne na płazczyźnie przez kntur. W ptaci równania, zaada argumentu wygląda natępuąc: N liczba krążeń pczątku układu przez Z liczba zer funkci krążnych przez P liczba biegunów krążnych przez N = Z P na płazczyźnie na płazczyźnie na płazczyźnie Ogólnie N mże być ddatnie Z > P, zerwe Z = P lub uemne Z < P. Te trzy ytuace ą piane pniże bardzie zczegółw. N > 0 Z > P. Jeśli kntur na płazczyźnie krąża w pewnym kierunku więce zer aniżeli biegunów funkci wówcza N et liczbą ddatnią. W tym przypadku linia będzie krążać pczątek układu płazczyzny N razy w tym amym kierunku c.. N = 0 Z = P. Jeśli kntur na płazczyźnie krąża tyle am zer c biegunów, lub żadnych zer lub biegunów funkci, kntur nie będzie krążał pczątku układu na płazczyźnie. 3. N < 0 Z < P. Jeśli kntur na płazczyźnie krąża w pewnym kierunku więce biegunów aniżeli zer funkci wówcza N et liczbą uemną. W tym przypadku linia będzie krążać pczątek układu płazczyzny N razy w kierunku przeciwnym niż. Otatnia aktualizaca: M. Tmera

5 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita 3.5. Punkt krytyczny Pczątek układu na płazczyźnie liczba krążeń N. ni nazwę punktu krytyczneg z któreg wyznaczana et 3.6. ntur Nyquita Wiele lat temu, kiedy Harry Nyquit [] zamwał ię rzwiązaniem prblemu tabilnści, który bemwał prawdzenie czy funkca L ma zera w prawe półpłazczyźnie t dkrył, że zaada argumentu mże być zatwana d rzwiązania prblemu tabilnści eśli weźmie ię pd uwagę taki kntur, który bemie całą prawą półpłazczyznę. Na ryunku 5 znadue ię linia zamknięta zwana knturem Nyquita i zrientwana w kierunku przeciwnym d ruchu wkazówek zegara. ntur Nyquita nie mże przechdzić przez żaden biegun i żadne zer i dlateg też gdy znaduą ię ne na i liczb urnych t mia e. Jeśli zera lub bieguny znaduą ię w prawe półpłazczyźnie t ą krążane przez kntur Nyquita. Płazczyzna Bieguny R Ry. 5. ntur Nyquita 3.7. ryterium Nyquita i wykre L lub GH ryterium Nyquita et bezpśrednim zatwaniem zaady argumentu kiedy linia zamknięta kreślna na płazczyźnie et knturem Nyquita pkazanym na ryunku 5. Stabilnść układu zamknięteg mże być kreślna przez wykreślenie funkci L, kiedy zmienia we wartści wzdłuż knturu Nyquita i bada ię zachwanie wykreu względem punktu krytyczneg, który w tym przypadku et pczątkiem płazczyzny. Stąd, że funkca L et zazwycza znana t prście będzie kntruwać wykre L, który dpwiada knturwi Nyquita i te ame wniki tabilnści układu zamknięteg mgą być uzykane przez berwacę zachwania wykreu funkci L w dnieieniu d punktu, 0 na płazczyźnie L. Jet tak, gdyż pczątek układu na płazczyźnie L dpwiada punktwi, 0 na płazczyźnie L. Stąd punkt, 0 na płazczyźnie L tae ię punktem krytycznym d kreślania tabilnści pętli zamknięte. Dla układu z pedynczą pętlą tranmitanci L = GH kreślenie tabilnści plega na badaniu zachwania wykreu GH w dnieieniu d punktu + 0 na płazczyźnie GH. Dany układ terwania, który ma równanie charakterytyczne dane przez przyrównanie wielmianu licznika + L d zera, gdzie L et tranmitancą pętli, zatwanie kryterium Nyquita d prblemu tabilnści bemue natępuące krki:. ntur Nyquita definiwany et na płazczyźnie ak pkazan t na ryunku 5. Wykre L dpwiadaący knturwi Nyquita kntruwany et na płazczyźnie L. Otatnia aktualizaca: M. Tmera 5

6 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita 3. Oberwwana et wartść N, która et liczbą krążeń punktu, 0 przez wykre L.. ryterium Nyquita wynika z równania N = Z P 5 gdzie N et liczbą krążeń punktu, 0 przez wykre L. Z et liczbą zer + L wewnątrz knturu Nyquita tzn. w prawe półpłazczyźnie P et liczbą biegunów + L wewnątrz knturu Nyquita tzn. w prawe półpłazczyźnie ; zauważ, że bieguny + L ą takie ame ak te z L. Wymagania dla dwóch zdefiniwanych wcześnie typów tabilnści w zależnści d Z i P ą natępuące: Dla tabilnści pętli zamknięte, Z mui być równe zer. Dla tabilnści pętli twarte, P mui być równe zer. Warunki dtyczące tabilnści przy użyciu kryterium Nyquita ą natępuące N = P 6 Układ z pętlą zamkniętą będzie tabilny eśli wykre L będzie krążał punkt, 0 tyle razy ile wyni liczba biegunów L, które znaduą ię w prawe półpłazczyźnie i krążanie eśli et, mui być w kierunku zgdnym z ruchem wkazówek zegara eśli kntur zdefiniwany et w kierunku przeciwnym d ruchu wkazówek zegara.. OGÓLNE RYTERIUM NYQUISTA DLA TRANSMITANCJI MINIMALNOFAZOWEJ I NIE MINIMALNOFAZOWEJ ryterium Nyquita piane w pprzednim rzdziale et uciążliwe d twania gdy tranmitanca pętli nie et typu minimalnfazweg. Jeśli tranmitanca pętli nie et typu minimalnfazweg, t wówcza prawdzenie czy wykre Nyquita pętli L nie bemue punktu, 0 na płazczyźnie et tylk warunkiem kniecznym, a nie wytarczaącym dla tabilnści pętli zamknięte. Włanści tranmitanci minimalnfazwe ą natępuące:. Tranmitanca minimalnfazwa nie zawiera biegunów ani zer w prawe półpłazczyźnie ani na i, z wyątkiem pczątku układu.. Dla tranmitanci minimalnfazwe L z m zerami i n biegunami wyłączaąc z teg = 0, kiedy = i ak zmienia ię d 0 d t całkwita zmiana fazy L et równa n m radianów. 3. Wartść tranmitanci minimalnfazwe dla pewne kńczne częttliwści niezerwe nie mże być równa zer ani niekńcznść.. Tranmitanca nieminimalnfazwa zawze będzie miała bardzie ddatnie przeunięcie fazwe gdy zmienia ię d d 0. Jet t równważne temu, że tranmitanca ta będzie miała bardzie uemne przeunięcie fazwe gdy zmienia ię d 0 d. Dla układu z tranmitancą nieminimalnfazwą pętli L ryginalne kryterium Nyquita wymaga zrbienia wykreu pętli L, który dpwiada całemu knturwi Nyquita z ryunku 5. Jeśli tranmitanca pętli L ma bieguny lub zera na i liczb urnych t wykre Nyquita mui mieć małe nacięcia wkół nich na i liczb urnych. Yeung [3] zaprpnwał uprzczną werę kryterium Nyquita, która pzwala na kreślenie tabilnści zarówn układów tranmitancach pętli minimaln ak również nieminimaln fazwych pprzez zatwanie tylk ddatnie części i z które kłada ię kntur Nyquita. Jeśli układ et typu minimalnfazweg t prawdzenie czy punkt, 0 et bęty et łatwieze d zatwania. Dla układów nieminimalnfazwych pza prawdzeniem czy punkt -, 0 et bęty wymaga prawdzenia ddatkweg warunku kąta który mui być pełniny aby układ badane tranmitanci był tabilny. Otatnia aktualizaca: M. Tmera 6

7 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita Płazczyzna Płazczyzna R R a Ry. 6. a ntur Nyquita, b Alternatywny kntur Nyquita. b Rzważne ztaną dwa kntury Nyquita pkazane na ryunku 6. ntur Nyquita z ryunku 6a et knturem ryginalnym wprwadznym przez Nyquita, pdcza gdy z ryunku 6b krążą nie tylk prawą półpłazczyznę ale również wzytkie zera i bieguny funkci L znaduące ię na i liczb urnych. Zdefiniwane ztaną natępuące wkaźniki. Z liczba zer + L znaduących ię w prawe półpłazczyźnie P liczba biegunów L lub + L znaduących ię w prawe półpłazczyźnie P liczba biegunów L lub + L znaduących ię na i liczb urnych uwzględniaąc również te z pczątku układu N liczba krążeń punktu, 0 na płazczyźnie L przez wykre Nyquita funkci L dpwiadaący knturwi N liczba krążeń punktu, 0 na płazczyźnie L przez wykre Nyquita funkci L dpwiadaący knturwi Wówcza w dnieieniu d tych dwóch knturów pkazanych na ryunku 6 i twnie d kryterium Nyquita zachdzą natępuące związki raz N Z P 7 N Z P P 8 Przypuśćmy, że raz ą kątami utwrznymi przez wektr łączący wykrey Nyquita funkci L z punktem -, 0, który t wykrey dpwiadaą dpwiedni knturm raz. Wówcza N 360 Z P 360 Z P P N Zauważmy, że każdy kntur Nyquita raz utwrzne ą z trzech kawałków:. awałek d = d + wzdłuż półkręgu niekńcznym prmieniu.. awałek wzdłuż i, wyłączaąc wzytkie małe wyżłbienia. 3. Wzytkie małe wyżłbienia znaduą ię na i. Otatnia aktualizaca: M. Tmera 7

8 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita Z knturów pkazanych na ryunku 6, które ą ymetryczne wkół i liczb rzeczywitych na płazczyźnie, kąty twrzne przez wykrey Nyquita względem punktu -, 0 ą identyczne dla ddatnich i uemnych wartści. Dlateg też raz ą zapiywane natępuąc gdzie et kątem utwrznym przez wykre Nyquita wielmianu L w dnieieniu d punktu, 0, dpwiadaący ddatnie lub uemne i na płazczyźnie wyłączaąc małe wyżłbienia. et kątem utwrznym przez wykre Nyquita wielmianu L w dnieieniu d punktu, 0, dpwiadaący małym żłbkm na i knturu kierunki na małych wyżłbieniach na knturze ą przeciwne d tych z knturu w równaniu et uemny et kątem utwrznym przez wykre Nyquita wielmianu L w dnieieniu d punktu, 0, dpwiadaący półkręgm z niekńcznymi prmieniami na knturze Nyquita. Dla tranmitanci która nie ma więce zer niż biegunów, wykre Nyquita tranmitanci L który dpwiada niekńcznemu półkręgwi mui również być punktem na i rzeczywite lub traektrii wkół pczątku płazczyzny L. Więc kąt twrzny przez dcinek rywany z punktu, 0 d wykreu Nyquita wzdłuż półkręgu niekńcznym prmieniu et zawze równy zer. Teraz ddaąc równanie d i wykrzytuąc równanie 9 raz 0, trzymue ię 3 Rzwiązuąc dla trzymue ię Z P P Z P 0.5P 80 Równanie t znacza, że kąt całkwity twrzny przez dcinek narywany z punktu, 0 d wykreu Nyquita funkci L, który dpwiada części knturu kładaąceg ię z ddatnie i płazczyzny wyłączaąc małe wyżłbienia, eśli itnieą et równy = [liczbie zer + L w prawe półpłazczyźnie zmienne liczba biegunów L w prawe półpłazczyźnie zmienne 0.5liczba biegunów L na i ] 80 5 ryterium tabilnści Nyquita mże być twane p kntruwaniu tylk te części wykreu Nyquita, który dpwiada fragmentwi knturu Nyquita d = d = 0. Dlateg też eśli układ zamknięty et nietabilny t pprzez znamść wartści, P raz P, z równania wyznacza ię liczbę pierwiatków równania charakterytyczneg, które ą w prawe półpłazczyźnie. Dla układu zamknięteg tabilneg, Z mui być równe zer. Więc kryterium Nyquita dla tabilnści układu zamknięteg 0.5P 80 6 P Stąd, że P raz P nie mgą być uemne, równanie 6 znacza, że kąt utwrzny przez wykre Nyquita funkci L w dnieieniu d punktu, 0 przy zmianie d d 0 et ddatni. Nie wytarczy że kąt 5. et uemny, mui być również pełniny warunek piany przez równanie Otatnia aktualizaca: M. Tmera 8

9 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita 5.. Układ z minimalnfazwą tranmitancą pętli Jeśli L et typu minimalnfazweg, wówcza P = 0 raz P znacza liczbę biegunów L które znaduą ię w pczątku układu; równanie przymue ptać Z P dla tabilnści układu zamknięteg Z = 0; równanie 7 uprazcza ię 90 P 8 Stąd, że P znacza liczbę biegunów L które znaduą ię w pczątku układu; t łatw zbaczyć, że eśli punkt, 0 nie et bemwany przez wykre Nyquita funkci L t będzie zawze dane przez równanie 8. Jeśli L et typu minimalnfazweg, warunek że punkt, 0 nie et bemwany przez wykre Nyquita et warunkiem kniecznym i wytarczaącym dla tabilnści układu zamknięteg. Przykład Rzważny ztanie układ terwania pkazany na ryunku.. Przy użyciu kryterium Nyquita wyznacz zakreu parametru trneg dla któreg układ ten będzie tabilny. R R Ry... Schemat blkwy układu terwania Wykre Nyquita dla układu z ryunku. pkazany et na ryunku.. Im L Re L Ry... Schemat blkwy układu terwania Rzwiązanie: Tranmitanca pętli układu L G H Bieguny tranmitanci pętli znaduą ię w =,,3 =. Mżna użyć kryterium Rutha d zweryfikwania płżeń biegunów tranmitanci L. Więc P = 0 raz P = 0. Tranmitanca pętli L et typu minimalnfazweg. Z równania 6, wymaganie dtyczące tabilnści układu zamknięteg et natępuące 0.5P P Otatnia aktualizaca: M. Tmera 9

10 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita Pdtawiaąc =, równanie. ma ptać L W celu znalezienia punktu przecięcia z ią liczb rzeczywitych na płazczyźnie L, należy przekztałcić L d ptaci w które w mianwniku nie ma funkci zeplne {5 5 9 } L Przyrównuąc część urną L d zera trzymue ię Rzwiązaniami równania.7 ą = 0,,3 3 [rad/], które ą częttliwściami przy których wykre L przecina ś liczb rzeczywitych na płazczyźnie L. Dla ddatnich wartści częttliwści, p pdtawieniu d równania. uzykue ię dwa punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych. iedy = 3 [rad/] natmiat dla = 0 [rad/] L L Warunek kąta., który et warunkiem kniecznym tabilnści teg układu będzie pełniny eśli punkt przecięcia z ią liczb rzeczywitych piany wzrem.6 będzie z prawe, punktu, 0 natmiat punkt przecięcia.7 rzpatrue ię dla < 0 i mui ię znadwać z lewe trny punktu, 0. Uzykue ię w ten pób dwa warunki dtyczące tabilnści układu z ryunku Z rzwiązania układu równań.8 raz.9 uzykue ię zakre tabilnści dla trneg parametru iedy et uemne używa ię wykreu funkci.3 w dnieieniu d punktu +, 0 ak punktu krytyczneg. Dla dwlne wartści wzmcnienia z zakreu d d 0 w dnieieniu d punktu krytyczneg +, 0 kąt 0, czyli nie et pełniny warunek.. Wniek et taki, że układ ten będzie tabilny dla zakreu z zakreu STABILNOŚĆ LINIOWYCH UŁADÓW STEROWANIA Z CZYSTYM CZASEM OPÓŹNIENIA Układy z czaem późnienia w pętli ą przedmitem zainterewania więkze ilści prblemów tabilnści aniżeli układy bez późnienia. Czyty cza późnienia T mdelwany et przez T tranmitancę e c pwdue, że równanie charakterytyczne układu nie ma tałych wpółczynników. Dlateg też kryterium Rutha nie ma tuta zatwania. Metda linii pierwiatkwych mże być twana d układów z czytym czaem późnienia, lecz kntruwanie takich linii et dść złżne. W tym rzdziale pkazane ztanie, że kryterium Nyquita mże być zatwane d układów z czytym czaem późnienia. Otatnia aktualizaca: M. Tmera 0

11 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita Tranmitanca pętli układu terwania z czytym czaem późnienia wyrażna et w natępuące ptaci T L L e 9 gdzie L et funkcą ze tałymi wpółczynnikami, a T et czytym czaem późnienia wyrażnym w ekundach. Stabilnść układu mże być badana przez kntruwanie wykreu Nyquita funkci L i berwacę eg zachwania w dnieieniu d punktu, 0. Wpływ czynnika ekptencalneg w równaniu 9 et taki, że wprwadza brty wykreu L dla każdeg przez kąt T w kierunku zgdnym z ruchem wkazówek zegara. Amplituda funkci L nie zmienia ię pd wpływem czau późnienia, wynika t tąd, że amplituda e et edntkwa dla wzytkich częttliwści. Więkzść układów terwania et typu lub wyżzych i amplituda funkci L zazwycza zmierza d zera gdy zmierza d niekńcznści. Więc wykre Nyquita tranmitanci piane równaniem 9 zazwycza zmierza piralnie w kierunku pczątku układu wpółrzędnych w kierunku zgdnym z ruchem wkazówek zegara gdy zmierza d niekńcznści i tąd et niekńczna liczba przecięć z ią liczb rzeczywitych na płazczyźnie L. P kntruwaniu wykreu Nyquita funkci L, tabilnść układu et kreślana w zwykły pób przez badanie kąta. Pniżzy przykład ilutrue analizę tabilnści układu zamknięteg z czytym czaem późnienia przy użyciu kryterium Nyquita. T Przykład Rzważ układ z edntkwym przężeniem zwrtnym, któreg tranmitanca pętli twarte ma ptać T T L L e e. Dla czau późnienia T = [] wyznacz zakre tabilnści układu. Rzwiązanie: Dla teg układu tranmitanca widmwa pętli twarte ma natępuącą ptać e c in L. czyli L [c in in c ].3 Część urna tranmitanci widmwe L et równa zer gdy tąd Rzwiązuąc t równanie dla namnieze wartści Pdtawiaąc wyznaczną wartść twarte L.3, trzymue ię in c 0. tg.5 uzykue ię.088 [rad/].6 z równania.6 d tranmitanci widmwe pętli L.088 c in Wartść krytyczna wzmcnienia et uzykiwna et przez przyrównanie zależnści.7 d wartści Otatnia aktualizaca: M. Tmera

12 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita czyli.69.9 Na ryunku.. pkazane ztały wykrey Nyquita dla tranmitanci pętli z wartścią wzmcnienia krytyczneg.9 bez późnienia Im = 3 = 9 = =.088 = 8 = 5 = 0 Re =.5 = 7 = 6 = = 3 =.088 =.5 = a = 0.5 b = 6. = = 0.5 Ry... Wykrey Nyquita dla układów pianych tranmitancami widmwymi a-.0, b L.0 i czau późnienia T = [] T.69 L L e e. Z wykreu widać, że układ pierwzeg rzędu bez późnienia et tabilny dla wzytkich ddatnich wartści, natmiat dla układu z czaem późnienia T = [] układ tae ię nietabilny dla > TRAJETORIA RYTYCZNA Dtychcza w analizie tabilnści dla ddatnich i uemnych ak punkty krytyczne na płazczyźnie L używane były punkty, 0 raz, 0. W pewnych warunkach ideę punktu krytyczneg mżna rzzerzyć d traektrii. Z równania 0 widać, że pierwiatki równania charakterytyczneg pełniaą zależnść T L e 0 Otatnia aktualizaca: M. Tmera

13 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita Prawa trna pwyżzeg równania et faktycznie punktem krytycznym, 0 w analizie tabilnści układu zamknięteg. Równanie mże być zapiane ak L e T iedy =, lewa trna tatnieg równania dae wykre tranmitanci pętli przy braku czau późnienia. Czynnik ekptencalny równania ma amplitudę równą eden dla wzytkich wartści i eg faza wyni T radianów. Dlateg też prawa trna równania piue traektrię krytyczną, która et kręgiem prmieniu równym eden i śrdku umiezcznym w pczątku układu płazczyzny L. iedy = 0, wówcza traektria krytyczna tartue w punkcie, 0 i wraz ze wzrtem punkt krytyczny przemiezcza ię p kręgu edntkwym w kierunku przeciwnym d ruchu wkazówek zegara. Pniżzy przykład ilutrue zatwanie kryterium Nyquita d badania tabilnści układu zamknięteg z czytym czaem późnienia. Przykład 3 Dana et tranmitanca pętli układu terwania zamknięteg z czytym czaem późnienia T.69 T L L e e 3. Należy znaleźć wartść graniczną czau późnienia T dla które układ ten et tabilny. Na ryunku.. przedtawiny et wykre Nyquita funkci L razem z traektrią krytyczną T e. Częttliwść przy które wykre L przecina traektrię krytyczną znadwany et przez przyrównanie amplitudy L d ednści.69 L 3. Rzwiązuąc równanie 3. trzymue ię ddatnie rzwiązanie dla =.088 rad/, która et częttliwścią przy które wykre Nyquita funkci L przecina krąg prmieniu punkt, 0 na płazczyźnie L. ąt mierzny w rad punktu, 0 d punktu przecięcia z wykreem L i traektrią krytyczną et równy T, gdzie znaleźć wartść krytyczną T przez przyrównanie =.088 rad/, mżna lub c prwadzi d czyli L T 3.3 arctan. 088T T 3.5 T [] STABILNOŚĆ WZGLĘDNA: ZAPAS WZMOCNIENIA I ZAPAS FAZY Wytępue zainterewanie nie tylk tabilnścią ablutną ale również tabilnścią względną. W dziedzinie czau, tabilnść względna mierzna et przez takie parametry ak makymalne przeregulwanie czy wpółczynnik tłumienia, w dziedzinie częttliwści, pik reznanwy M r. Inny pób pmiaru tabilnści względne w dziedzinie częttliwści plega na pmiarze dległści wykreu Nyquita d punktu, 0. Otatnia aktualizaca: M. Tmera 3

14 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita 7.. ZAPAS WZMOCNIENIA Zapa wzmcnienia GM et ednym z naczęście używanych kryteriów d pmiaru tabilnści względne układów terwania. W dziedzinie częttliwści zapa wzmcnienia używany et d znaczenia blikści przecięcia uemne i rzeczywite przez wykre Nyquita funkci L względem punktu, 0. Przed pdaniem definici zapau wzmcnienia, napierw należy zdefiniwać fazę dcięcia na wykreie Nyquita i częttliwść fazy dcięcia. Punkt dcięcia fazy. Punkt dcięcia fazy na wykreie L et punktem w którym wykre przecina uemną ś liczb rzeczywitych. Częttliwść graniczna fazy. Częttliwść graniczna fazy p et częttliwścią przy które wytępue punkt przecięcia fazy lub gdzie L p 80 Wykre Nyquita tranmitanci pętli L, która et typu minimalnfazweg pkazany et na ryunku 7. Częttliwść fazy dcięcia znaczna ztała ak p, a amplituda L przy które p et zapiana ak L i wówcza zapa amplitudy układu z zamkniętą pętlą p zapa wzmcnienia = GM = 0 lg 0 lg L p L p 3 Na pdtawie te definici mżna wypiać natępuące wniki zapaie wzmcnienia układu pkazaneg na ryunku 7. Wykre L nie przecina i liczb rzeczywitych brak kńczne niezerwe fazy dcięcia L p 0 GM = db. Wykre L przecina i liczb rzeczywitych pmiędzy punktami 0 raz 0 p L GM > 0 db 5 3. Wykre L przechdzi przez punkt, 0. Wykre L bemue punkt, 0 L p GM = 0 db 6 L p GM < 0 db 7 Opieraąc ię na pwyżze dykui, fizyczne znaczenie zapau wzmcnienia mże być trezczne natępuąc: Zapa wzmcnienia et wielkścią wzmcnienia w decybelach db, która mże być ddana d pętli nie pwduąc nietabilnści. iedy wykre Nyquita nie przecina i liczb rzeczywitych przy żadne kńczne częttliwści t wówcza zapa wzmcnienia et niekńczny c znacza, że teretycznie wartść wzmcnienia pętli mże być zwiękzana d niekńcznści. iedy wykre Nyquita przechdzi przez punkt, 0, zapa wzmcnienia wyni 0 db, c znacza, że wzmcnienie pętli nie mże być zwiękzane gdyż układ znadue ię na granicy tabilnści. Otatnia aktualizaca: M. Tmera

15 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita iedy przecięcie fazy znadue ię z lewe trny punktu, 0, zapa wzmcnienia et uemny i wzmcnienie pętli mui być zmniezne aby uzykać tabilnść układu. Płazczyzna L ImL Punkt dcięcia fazy = p ReL L p Ry. 7. Definica zapau wzmcnienia we wpółrzędnych biegunwych 7... Zapa wzmcnienia układów nieminimalnfazwych Dla takich układów układ mże być nietabilny nawet wówcza gdy punkt przecięcia fazweg znadue ię z prawe trny punktu, 0 i wówcza ddatni zapa wzmcnienia mże dpwiadać układwi nietabilnemu. 7.. ZAPAS FAZY Zapa wzmcnienia et tylk ednwymiarwym piem tabilnści względne układu zamknięteg. Jak ama nazwa mówi, zapa wzmcnienia znacza tabilnść układu w dnieieniu tylk d zmian wzmcnienia pętli. W zaadzie wierzymy, że układ z dużym zapaem wzmcnienia pwinien być relatywnie bardzie tabilny niż z mniezym zapaem wzmcnienia. Chciaż am zapa wzmcnienia et nieadekwatny d znaczania tabilnści kiedy inne parametry układu pza wzmcnieniem ię zmieniaą. Aby bąć wpływ przeunięcia fazweg na tabilnść wprwadzny ztanie zapa fazy PM który wymaga wprwadzenia pewnych definici: Punkt dcięcia wzmcnienie. Punkt dcięcia wzmcnienia et punktem na wykreie L przy którym amplituda L et równa. Częttliwść graniczna wzmcnienia. Częttliwść graniczna wzmcnienia g et częttliwścią przy które wytępue punkt dcięcia wzmcnienia lub gdzie Definica zapau fazy mże być trezczna natępuąc L g 8 Zapa fazy PM definiwany et ak kąt wyrażny w tpniach który wykre L mui być brócny wkół pczątku układu aby mógł przechdzić przez punkt -, 0. Na ryunku 8 pkazany ztał wykre Nyquita typweg wykreu minimalnfazweg L i zapa fazy definiwany et ak kąt pmiędzy linią która przechdzi przez punkt dcięcia wzmcnienia i pczątek układu raz uemną ią liczb rzeczywitych na płazczyźnie L. Zapa fazy et wartścią czyteg późnienia fazweg które ddane d pętli dprwadza g d nietabilnści. Otatnia aktualizaca: M. Tmera 5

16 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita iedy układ et typu minimalnfazweg, analityczne wyrażenie zapau fazy zapa fazy = PM = L g 80 9 gdzie g et częttliwścią graniczną wzmcnienia. ImL Płazczyzna L ReL Zapa fazy Punkt dcięcia wzmcnienia = g Ry. 8. Definica zapau fazy na płazczyźnie L 7... Zapa fazy układów nieminimalnfazwych iedy tranmitanca pętli et typu nieminimalnfazweg, punkt przecięcia wzmcnienia mże pawiać ię w pewne ćwiartce płazczyzny L i definica zapau fazy dane wzrem 9 nie zawze będzie pprawna. Przykład Dla układu regulaci pkazaneg na ryunku. i rzważaneg w przykładzie, krzytaąc z kryterium Nyquita wyznacz zapa amplitudy i fazy dla = 0. Rzwiązanie: Tranmitanca peratrwa pętli twarte L ma ptać L natmiat tranmitanca widmwa pętli twarte L L Częttliwść przy które wykre L przecina traektrię krytyczną znadwany et przez przyrównanie amplitudy L d ednści Otatnia aktualizaca: M. Tmera 6

17 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita L Mduły liczb zeplnych licznika i mianwnika wyznaczane ą z twierdzenia Pitagraa i równanie.3 przekztałca ię d ptaci 5 5 Dalze przekztałcanie zależnści. prwadzi d natępuąceg wielmianu Z rzwiązania wielmianu.5 dla = 0 uzykue ię częttliwść przecina traektrię krytyczną g przy które wykre g.86 [rad/].6 Pdtawiaąc d równania. za wyznaczną wartść graniczną g uzykue ię L.86 e Pnieważ tranmitanca piana wzrem. et typu nieminimalnfazweg t w tym przypadku punkt przecięcia ię wykreu Nyquita z traektrią krytyczną znadue ię pwyże punktu krytyczneg, 0 i zapa fazy wyrażny w tpniach PM = L Aby wyznaczyć zapa mdułu trzeba znaleźć punkty w których tranmitanca widmwa piana wzrem. iąga wartść fazy równą 80, czyli punkty przecięcia wykreu Nyquita z uemną częścią i liczb rzeczywitych. Spób wyznaczania tych punktów pkazany et w przykładzie. Warunek ten pełniny et dla edneg punktu przecięcia gdy = 3 [rad/] Dla = 0. L p L Zapa wzmcnienia w wartściach bezwzględnych GM = L Zapay wzmcnienia wyrażne w decybelach.0 GM db = 0 lg 0 lg. 0 [db]. L 3 Znaąc wartść zapau wzmcnienia wyrażne w wartściach bezwzględnych mżna wyznaczyć zakre tabilnści teg układu gr GM 0 0. Natmiat z zapau fazy wyrażneg w radianach mżna wyznaczyć makymalny zakre dla czau późnienia który mże ztać ezcze ddany d układu aby nie tracił n tabilnści. PM rad g T.3 czyli makymalna wartść czyteg późnienia przy wzmcnieniu = 0 Otatnia aktualizaca: M. Tmera 7

18 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita T PM g rad / [].8 ĆWICZENIA C.. Tranmitanca pętli układu z pedynczą pętlą L dane ą pniże. Nazkicu wykre Nyquita L dla = 0 d =. Określ tabilnść układu zamknięteg. Jeśli układ et nietabilny, znadź liczbę biegunów tranmitanci układu zamknięteg znaduących ię w prawe półpłazczyźnie. Wykre Nyquita L mżna kntruwać przy użyciu prgramu kmputerweg. g h L L i L a L L b c L L k L l L d L e L 5 f L 50 5 C.. Tranmitance pętli L układu z pedynczą pętlą dane ą pniże. Zatu kryterium Nyquita i kreśl zakre wartści dla któreg układ ten będzie tabilny. Wyznacz wartści wzmcnienia przy których układ znadzie ię na granicy tabilnści i kre cylaci tałe amplitudzie Dla pdaneg wyznacz zapa amplitudy i fazy. Na pdtawie wyznaczneg zapau fazy wyznacz makymalną wartść czyteg czau późnienia. a L ; Zapay dla = ; Wykre Nyquita pkazany na ry C.a. 3 Otatnia aktualizaca: M. Tmera 8

19 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita Im L Re L Ry. C.a. Wykre Nyquita b L 5 ; Zapay dla = ; Wykre Nyquita pkazany na ry C.a. c L 3 ; Zapay dla = ; Wykre Nyquita pkazany na ry C.a. d L ; Zapay dla = 5; Wykre Nyquita pkazany na ry C.d. Im L Re L Ry. C.d. Wykre Nyquita. e L ; Zapay dla = ; Wykre Nyquita pkazany na ry C.e. f L ; Zapay dla = 5; Wykre Nyquita pkazany na ry C.f. 3 3 Otatnia aktualizaca: M. Tmera 9

20 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita Im L Re L Ry. C.e. Wykre Nyquita. Im L Re L Ry. C.f. Wykre Nyquita. ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ C. a b c d e f g h i Z , Z =, nietabilny Z , Z = 0, tabilny Z , Z =, nietabilny Z 80 80, Z =, nietabilny Z , Z =, nietabilny Z , Z =, nietabilny Z , Z =, nietabilny Z , Z = 0, tabilny Z , Z =, nietabilny Z , Z =, nietabilny Otatnia aktualizaca: M. Tmera 0

21 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita k l m n Z , Z = 0, tabilny Z , Z = 0, tabilny Z , Z = 0, tabilny Z , Z =, nietabilny C. a Warunek knieczny tabilnści: 90 ; L Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą:. 73 [rad/] Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: L Stabilny dla 0 < <, Ocylace tałe amplitudzie: kr, Tc Dla = ; zapa wzmcnienia, GM =.5836 db p =.73 [rad/], zapa fazy PM = 66.5 g = 0.36 [rad/] makymalna wartść czyteg czau późnienia T b Warunek knieczny tabilnści: 90 ; L [] [] Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą:. 36 [rad/] Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: L Stabilny dla 0 < < 3, Ocylace tałe amplitudzie: kr 3, Tc Dla = ; zapa wzmcnienia, GM = 9.5 db p =.36 [rad/], zapa fazy PM = 8.78 g =.30 [rad/] makymalna wartść czyteg czau późnienia T c Warunek knieczny tabilnści: 90 ; L 0.50 [] [] Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą:. 95 [rad/] Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: L 0. 5 Stabilny dla 0 < <, Ocylace tałe amplitudzie: kr, Tc.565 [] Dla = ; zapa wzmcnienia, GM =.0 db p =.95 [rad/], zapa fazy PM = g =.687 [rad/] makymalna wartść czyteg czau późnienia T d Warunek knieczny tabilnści: 0 ; L []. Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą: 0, 3. 63[rad/] Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: L ; L Stabilny dla 8 < < 5, Ocylace tałe amplitudzie: kr 5, Tc Dla = 5; zapa wzmcnienia, GM = db p = 3.63 [rad/], zapa fazy PM = g =.679 [rad/] makymalna wartść czyteg czau późnienia T e Warunek knieczny tabilnści: 0 ; L [] [] Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą: 0,, [rad/] Otatnia aktualizaca: M. Tmera

22 Teria terwania Badanie tabilnści ryterium Nyquita Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: L ; L 0. 5, L 0. Stabilny dla < <, Ocylace tałe amplitudzie: kr, Tc Dla = ; zapa wzmcnienia, GM = db p = [rad/], zapa fazy PM = 80.0 g = 0 [rad/] makymalna wartść czyteg czau późnienia T []. f Warunek knieczny tabilnści: 0 ; L [] Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą: 0,. 97, [rad/] Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: L ; L , L Stabilny dla.8788 < < , Ocylace tałe amplitudzie: kr , Tc Dla = 5; zapa wzmcnienia, GM = db p =.97 [rad/], zapa fazy PM = 7.78 g =.709 [rad/], max wartść czau późnienia T zapa fazy PM = g = 5.39 [rad/], max wartść czau późnienia T [].088 [] []. Literatura. u B. C. Autmatic Cntrl f Dynamic Sytem, 7th ed, Addin-Weley & Sn Inc., Nyquit H., Regeneratin Thery, Bell Syt. Techn. Jurnal, Vl., pp. 6-7, Yeung. S., A Refrmulatin f Nyquit Criterin, IEEE Tranactin Educatin, Vl. E-8, pp , Feb Otatnia aktualizaca: M. Tmera