Linie pierwiastkowe. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. WPROWADZENIE

Transkrypt

1 Akademia Mrka w Gdyni atedra Autmatyki Okrętwe Teria terwania Linie pierwiatkwe Mirław Tmera. WPROWADZENIE Przy rzważaniu dpwiedzi prześciwe i uchybu w tanie utalnym, zademntrwana ztała ważnść płżeń zer i biegunów tranmitanci liniweg układu zamknięteg na zachwanie ię układu. Pierwiatki równania charakterytyczneg, które ą biegunami tranmitanci układu zamknięteg, kreślaą bezwzględną i względną tabilnść liniwych układów z pedynczym weściem i wyściem SISO (Single Input Single Output). Pamiętać należy, że włanści prześciwe układu również zależą d zer i biegunów tranmitanci układu zamknięteg. Ważnymi rzważaniami w liniwych układach teruących et badanie traektrii pierwiatków równania charakterytyczneg - nazywanych liniami pierwiatkwymi - kiedy zmienia ię pewien parametr układu. Pdtawwe włanści i zaady kntrukci linii pierwiatkwych pdane ztały w 948 przez Evana []. Przedtawinych ztanie kilka prtych reguł dtyczących zaad kntruwania tych linii. W celu wykreślenia dkładnych linii pierwiatkwych zawze mżna użyć prgramów kmputerwych. Dla przykładu, w MATLABIE itniee funkca rlcu wykreślaąca na ekranie linie pierwiatkwe na pdtawie tranmitanci pętli. Ważne et ednak aby pznać pdtawy linii pierwiatkwych, ich włanści, aby umieć dbrze zinterpretwać dane dtarczane przez linie pierwiatkwe dla celów analizy i prektwania. Technika linii pierwiatkwych nie granicza ię d rzważań tylk dla układów terwania, ale mże być również zatwana d analizy zachwania pierwiatków równania algebraiczneg ze zmieniaącymi ię parametrami. Ogólnie, prblem linii pierwiatkwych mże być frmułwany w dnieieniu d natępuąceg równania algebraiczneg zmienne zeplne : gdzie P( et wielmianem n-teg rzędu F ( P( Q( () n n P( an... a a i Q( et wielmianem m-teg rzędu; n i m ą liczbami ddatnimi. m m Q( bm... b b Parametr w równaniu () et tałą rzeczywitą i mże ię zmieniać d d. Wpółczynniki a, a,..., a n, b, b,..., b m maą utalne wartściami rzeczywite.. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI LINII PIERWIASTOWYCH W tym pracwaniu, głównym zainterewaniem ą układy terwania, więc rzważna ztanie tranmitanca układu zamknięteg () () Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera

2 Teria terwania Linie pierwiatkwe Y( R( G( G( (4) Równanie charakterytyczne układu zamknięteg uzykiwane et pprzez przyrównanie wielmianu mianwnika d zera, tąd pierwiatki równania charakterytyczneg muzą pełniać G ( (5) Przypuśćmy, że G ( zawiera zmienny parametr będący wpółczynnikiem mnżącym i funkca peratrwa mże ztać zapiana ak Q( G ( (6) P( gdzie P ( raz H ( ą wielmianami zdefiniwanymi w równaniach () i (). Równanie (5) et zapiywane Q( P( Q( (7) P( P( Wielmian licznika z równania (7) et identyczny z równaniem (). iedy zmieniany parametr nie pawia ię ak wpółczynnik mnżący tranmitanci pętli G ( t zawze mżna przedtawić funkcę w ptaci równania (). Aby zilutrwać ten przypadek, rzważne ztanie natępuące równanie charakterytyczne układu terwania ( )( ) ( ) 5 (8) Aby wyrazić równanie (8) w frmie równania (7), pdzielne ztaną bydwie trny równania przez część nie zawieraącą parametru i trzymue ię ( )( ) Prównuąc tatnie równanie w równaniem (7), trzymue ię Q( P( Teraz et wydzielny ak wpółczynnik mnżący d funkci Q ( P(. P wyrażeniu G ( ak (9) () G G ( H ( ) () ( gdzie G H ( ) nie zawiera zmienneg parametru. Wtedy równanie (5) et zapiane ak ( G ( H( () Aby pełnić równanie (), pniżze warunki muzą być pełnine edncześnie: Warunek amplitudy G ( H( () Warunek kąta G ( H( (i ) 8 = mnżnik nieparzyty (4) G ( H( i 8 = mnżnik parzyty (5) Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera

3 Teria terwania Linie pierwiatkwe gdzie i =,,,... W praktyce, warunki zaznaczne w równaniach (), (4), (5) dgrywaą różne rle w kntruwaniu linii pierwiatkwych.. Warunki dtyczące kąta piane równaniami (4) lub (5) ą używane d kreślenia traektrii linii pierwiatkwych na płazczyźnie.. iedy linie pierwiatkwe ą wykreślanie, wartści na linii ą kreślne przez użycie warunku amplitudy piane równaniem (). ntruwanie linii pierwiatkwych zaadnicz et prblemem graficznym, chciaż pewne włanści ą wyprwadzane analitycznie. Graficzne kntruwanie linii pierwiatkwych et parte na wiedzy biegunach i zerach funkci G (. Innymi łwy G ( mui być napierw zapiany ak ( z)( z )...( z m ) G ( H ( G ( H( (6) ( p )( p )...( p ) gdzie zera i bieguny funkci G ( maą wartści rzeczywite lub ą parami zmiennych zeplnych. Stuąc warunki zapiane w równaniach (), (4) raz (5) w równaniu (6) trzymue ię Dla Dla m zi i G ( H( (7) n p m G ( H( ( zi ) ( p ) (i i m n n ) 8 G ( H( ( zi ) ( p ) i 8 (9) i n gdzie i =,,,... Na linii pierwiatkwe w pewnym punkcie graficzna interpretaca równania (8), która dpwiada ddatnie wartści mui pełniać warunek: Różnica pmiędzy umą kątów wektrów wykreślnych z zer, a umą kątów wektrów wykreślnych z biegunów G ( d bieguna et nieparzytym mnżnikiem kąta 8. Dla uemnych wartści, pewien punkt na linii pierwiatkwe mui pełniać warunek: Różnica pmiędzy umą kątów wektrów wykreślnych z zer, a umą kątów wektrów wykreślnych z biegunów G ( d bieguna et mnżnikiem parzytym kąta 8, zawieraącym zer tpni. Pdcza kntruwania linii pierwiatkwych, wartści wzdłuż linii pierwiatkwych mgą być wyznaczne przez zapi równania (7) ak n m i p z i Wartść w pewnym punkcie na linii pierwiatkwe et uzykiwana z równania () przez pdtawienie wartści d teg równania. Graficznie, licznik równania () reprezentue ilczyn długści wektrów wykreślnych z biegunów G ( d bieguna, natmiat mianwnik reprezentue ilczyn długści wektrów wykreślnych z zer G ( d bieguna. (8) () Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera

4 Teria terwania Linie pierwiatkwe Aby zilutrwać użycie równań d (8) d () dla kntrukci linii pierwiatkwych, rzważna ztanie funkca ( z) G ( () ( p )( p ) Płżenie biegunów i zera tranmitanci G ( ą arbitralnie umiezczne ak t pkazan na ryunku. Wybrany ztanie arbitralnie punkt próbny na płazczyźnie i wykreślne wektry w kierunku d biegunów d zer tranmitanci G ( d punktu. Jeśli et rzeczywiście punktem na linii pierwiatkwe, t mui pełnić równanie (8); tzn. kąty wektrów pkazanych na ryunku muzą pełniać z ) ( p ) ( ) ( p z p p p (i ) 8 () gdzie i =,,,... Jak pkazan na ryunku, kąty wektrów ą mierzne względem ddatnie i rzeczywite. Pdbnie eśli et punktem na linii pierwiatkwe wykreślne dla uemnych wartści, t muzą pełniać równanie (9); tzn. ( z) ( p ) ( p) z p p p i 8 () gdzie i =,,,... Jeśli znaleziny ztanie punkt pełniaący równanie () lub (), wówcza równanie () używane et w celu znalezienia amplitudy w tym punkcie. Jak pkazan na ryunku, długści wektrów ą reprezentwane przez A, B, C raz D. Amplituda et p z p BCD A Dana funkca G ( z ak wpółczynnikiem mnżącym raz ze znanymi biegunami i zerami, kntruwanie linii pierwiatkwych zer G ( bemue natępuące dwa krki:. Pzukiwanie wzytkich punktów na płazczyźnie, które pełnia równanie (8) dla ddatnie wartści. Jeśli linia pierwiatkwa et wykreślna dla uemnych wartści mui być pełnine równanie (9).. Użycie równania () d znalezienia amplitudy na linii pierwiatkwe. (4) p p C A B z z D p p p p Ry.. nfiguraca zerw-biegunwa tranmitanci G ( z ) [ ( p )( )]. ( p Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera 4

5 Teria terwania Linie pierwiatkwe Utalne ztały pdtawwe warunki kntruwania linii pierwiatkwe. Gdyby pzukiwanie na płazczyźnie wzytkich punktów pełniaących równania (8), (9) lub równanie () dbywał ię pianą właśnie metdą prób i błędów byłby t zadaniem bardz uciążliwym. Chciaż becnie dtępne ą wydane prgramy d rywania linii pierwiatkwych t w celu właściweg zinterpretwania uzykiwanych wyników na kmputerze wymagana et znamść włanści linii pierwiatkwych i umieętnść prteg ich zkicwania, kiedy linie te twane ą d analizy i prektwania układów terwania.. WŁASNOŚCI I ONSTRUCJA LINII PIERWIASTOWYCH Pniżze włanści ą użyteczne przy ręcznym kntruwaniu linii pierwiatkwych i d ich właściwe interpretaci. Włanści te pieraą ię na zależnściach pmiędzy zerami i biegunami tranmitanci G( raz zerami tranmitanci +G(, które ą pierwiatkami równania charakterytyczneg... PUNTY DLA = ORAZ =. Punkty na linii pierwiatkwe przy = ą biegunami tranmitanci G(.. Punkty na linii pierwiatkwe przy = ą zerami tranmitanci G(. Bieguny i zera dnzą ię również d tych wartści, które znaduą ię w niekńcznści, eśli takie itnieą. Wniki te uzykiwane ą z warunku na linie pierwiatkwe dane przez równanie (). Jeśli wartść zmierza d zera t wówcza tranmitanca G H ( ) iąga niekńcznść, czyli mui ( ( H( iągać wartści równe biegunm tranmitanci G ) lub G(. Pdbnie kiedy wartść iąga niekńcznść, wówcza mui iągać wartści zer tranmitanci G(. Przykład Rzważ równanie ( )( ) ( ) (.) iedy =, trzy pierwiatki równania (.) ą równe =, raz. iedy natmiat wartść zmierza d niekńcznści wówcza trzy pierwiatki równania (.) ą równe =, raz. Dzieląc butrnnie równanie (.) przez kładnik nie zawieraący, trzymue ię G ( H ( ( ) ( )( ) (.) c dae G ( ( ) ( )( ) (.) Więc te trzy pierwiatki równania (.), kiedy = maą takie ame wartści ak bieguny funkci G(. Trzy pierwiatki równania (.) kiedy = ą równe trzem zerm tranmitanci G(, bemuąc również te, które znaduą ię w niekńcznści. Te trzy punkty na linii pierwiatkwe przy wartści = i punkt przy = ą pkazane na ryunku. = = = Ry.. Punkty na linii pierwiatkwe przy = raz = funkci ( )( ) ( ). = Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera 5

6 Teria terwania Linie pierwiatkwe.. LICZBA GAŁĘZI NA LINII PIERWIASTOWEJ Gałąź linii pierwiatkwe et trem pewneg pierwiatka zmieniaąceg we płżenie gdy zmienia wą wartść pmiędzy i. Stąd włanść dla linii pierwiatkwe; liczba gałęzi linii pierwiatkwe mui być równa liczbie pierwiatków równania. Liczba gałęzi linii pierwiatkwe piane równaniami () raz (5) et równa rzędwi wielmianu. Przykład Liczba gałęzi linii pierwiatkwe dla równania ( )( ) ( ) (.) wyni trzy, gdyż równanie (.) et trzecieg rzędu. Innymi łwy, równanie t (.) ma trzy pierwiatki czyli pwinny być trzy linie pierwiatkwe... SYMETRIA LINII PIERWIASTOWEJ Linie pierwiatkwe ą ymetryczne względem i liczb rzeczywitych na płazczyźnie. Ogólnie linie pierwiatkwe ą ymetryczne względem i ymetrii knfiguraci zerwbiegunwe tranmitanci G(. Włanść ta wynika z teg że pierwiatki zeplne ą ze bą przężne. Jeśli bieguny i zera tranmitanci G( ą ymetryczne d ddatkwe i t znacza, że ta ś ymetrii ztała uzykana przez liniwą tranfrmacę. Przykład Rzważ równanie ( )( ) (.) Dzieląc butrnnie równanie (.) przez kładnik nie zawieraący, trzymue ię G ( (.) ( )( ) Linia pierwiatkwa (.) pkazana et na ryunku dla = d =. Z ryunku teg widać, że knfiguraca zer-biegunwa tranmitanci G( et ymetryczna zarówn względem i liczb rzeczywitych ak i względem i =. Wykre linii pierwiatkwe et ymetryczny względem bydwu tych i. Punkty przy = ą biegunami tranmitanci G(, =, raz. Funkca G( ma trzy zera w = przy =. Czytelnik pwinien umieć dróżnić trzy ddzielne gałęzie linii pierwiatkwych zaczynaąc w punktach przy = pprzez punkty przy = na tych amych gałęziach i kńcząc w = przy =..4. ĄTY ASYMPTOT LINII PIERWIASTOWEJ Jak widać t z ryunku, kiedy n rząd wielmianu P( nie et równy rzędwi wielmianu Q( znacznym ak m, wówcza pewne linie dążą d niekńcznści na płazczyźnie. Włanści linii pierwiatkwych w pbliżu niekńcznści na płazczyźnie ą piane przez aymptty linii kiedy. Ogólnie kiedy n m, wówcza będzie n m aymptt, które piuą zachwanie linii pierwiatkwych przy płazczyźnie ą piane natępuąc:. ąty aymptt i ich punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych na Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera 6

7 Teria terwania Linie pierwiatkwe < > > = = = < Oś ymetrii < > Oś ymetrii Ry.. Linie pierwiatkwe funkci ( )( ), przedtawiaące włanści ymetrii. Dla dużych wartści zmienne, linie pierwiatkwe dla ą zbieżne d aymptt z kątami wyznaczanymi natępuąc i i 8, n m (5) n m gdzie i =,,,..., n m ; n znacza liczbę kńcznych biegunów, natmiat m liczbę kńcznych zer tranmitanci G(. Dla kąty aymptt ą wyznaczane z zależnści i i 8, n m (6) n m gdzie i =,,,..., n m..5. PUNTY PRZECIĘCIA ASYMPTOT Punkt przecięcia punkcie n m aymptt linii pierwiatkwe wytępue na i liczb rzeczywitych w a biegunów tranmitanci G( H ( zer tranmitan ci n m G( H ( gdzie n znacza liczbę kńcznych biegunów, natmiat m liczbę kńcznych zer tranmitanci G(. Punkt przecięcia aymptt a kreśla śrdek ciężkści linii pierwiatkwych i zawze et liczbą rzeczywitą. Bieguny i zera tranmitanci G( maą zarówn części rzeczywite ak i urne, przy czym urne części licznika równania (7) zawze uprazczaą ię. Czyli w równaniu (7) kładniki umwania mgą być zatąpine przez części rzeczywite biegunów i zer tranmitanci G(. (7) Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera 7

8 Teria terwania Linie pierwiatkwe Przykład 4 Rzważ tranmitancę które dpwiada równaniu charakterytycznemu ( ) G ( (4.) ( 4)( ) ( 4)( ) ( ) (4.) nfiguraca zer-biegunwa pkazana et na ryunku Linia pierwiatkwa (.) pkazana et na ryunku 4. rzytaąc z pznanych w tym rzdziale włanści linii pierwiatkwych, kiedy w równaniu (4.) zmienia ię d d, wówcza:. = : Punkty na linii pierwiatkwe w których = ą biegunami tranmitanci G(: =, 4, + raz.. = : Punkty na linii pierwiatkwe w których = ą zerami tranmitanci G(: =,, raz.. Z równań (4.) raz (4.) widać, że będą cztery linie pierwiatkwe, gdyż równania te ą czwarteg rzędu. 4. Linie pierwiatkwe ą ymetryczne względem i liczb rzeczywitych. 5. Pnieważ liczba biegunów tranmitanci G( et więkza d liczby zer tranmitanci G( i różnica ta wyni trzy ( n m = 4 = ), czyli kiedy =, wówcza linie pierwiatkwe zmierzaą przy = wzdłuż ześciu aymptt. ąty aymptt przy ą wyznaczane z równania (5) i = : 8 6 i = : 54 8 i = : 9 ąty aymptt przy ą wyznaczane z równania (6) i ą natępuące: raz ąty przecięcia aymptt wyznaczane ą ze wzru (7):, ( 4 ) ( ) 5 (4.) 4 Aymptty linii pierwiatkwych pkazane ą na ryunku LINIE PIERWIASTOWE NA OSI LICZB RZECZYWISTYCH Cała ś liczb rzeczywitych na płazczyźnie et zamwana przez linie pierwiatkwe (alb przez linie dla alb przez linie dla.. : Na i liczb rzeczywitych, linia pierwiatkwa dla znadue ię tylk na tych dcinkach i dla których liczba biegunów i zer tranmitanci G( z prawe trny dcinka et nieparzyta.. : Na i liczb rzeczywitych, linia pierwiatkwa dla znadue ię tylk na tych dcinkach i dla których liczba biegunów i zer tranmitanci G( z prawe trny dcinka et parzyta. Sprzężne bieguny i zera tranmitanci G( nie wpływaą na typ linii pierwiatkwe znaduące ię na i liczb rzeczywitych. Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera 8

9 Teria terwania Linie pierwiatkwe = = 6 6 = 4 6 = 5 6 = Ry. 4. Aymptty linii pierwiatkwe równania ( 4)( ) ( ) Włanści te wynikaą z natępuących berwaci:. W pewnym punkcie znaduącym ię na i liczb rzeczywitych, kąty wektrów wykreślnych z biegunów i zer zeplnych przężnych tranmitanci G( p zumwaniu ą równe zer. Więc tylk zera i bieguny rzeczywite tranmitanci G( wpływaą na kątwe zależnści (8) i (9).. Tylk rzeczywite bieguny i zera tranmitanci G( które znaduą ię z prawe trny punktu wpływaą na równania (8) i (9) te bieguny i zera które znaduą ię z lewe trny punktu w prwadzaą zer tpni d równań (8) i (9).. ażdy biegun rzeczywity tranmitanci G( z prawe trny punktu wprwadza 8, natmiat każde zer tranmitanci G( z prawe trny punktu wprwadza 8 d równań (8) i (9). Z tatnie berwaci wynika, że dla punktu znaduąceg ię na linii pierwiatkwe dla mui być nieparzyta liczba biegunów i zer tranmitanci G( z prawe trny teg punktu. Dla punktu znaduąceg ię na linii pierwiatkwe dla mui być parzyta liczba biegunów i zer tranmitanci G( z prawe trny teg punktu. Przykład 5 Na ryunku 5 przedtawine ztały linie pierwiatkwe dla pewne knfiguraci tranmitanci G(. Zauważ, że cała ś liczb rzeczywitych et zaęta alb przez linie dla alb przez linie dla. < > < > < < Ry. 5. Włanści linii pierwiatkwe na i liczb rzeczywitych. Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera 9

10 Teria terwania Linie pierwiatkwe.7. ĄTY WYJŚCIA I ĄTY WEJŚCIA LINII PIERWIASTOWYCH ąt wyścia z bieguna lub weścia d zera tranmitanci G( znacza kąt tyczne te linii w pbliżu punktu. ąty wyścia i weścia kreślane ą przy użyciu wzru (8) dla linii wyznaczne dla raz wzru (9) dla linii wyznaczne dla. Przykład 6 Dla linii pierwiatkwe pkazane na ryunku 6, linia pierwiatkwa w pbliżu bieguna = + mże być dkładnie nazkicwana gdy znany będzie kąt przy którym linia pierwiatkwa puzcza biegun. Jak pkazan t na ryunku 6, kąt wyścia z bieguna = + et piany przez i wyznaczany względem i liczb rzeczywitych. Zakładaąc, że punkt znadue ię na linii pierwiatkwe gdy i znadue ię bardz blik bieguna = +. Wówcza mui pełniać równanie (8) G ) ) ( ) ( ) 8 (6.) ( 4 i gdzie i et pewną liczbą całkwitą. Zakładaąc, że punkt znadue ię bardz blik bieguna = +, kąty wektrów wykreślne z pztałych trzech biegunów i aprkymwane przez przyęcie, że punkt znadue ię w +. Na pdtawie ryunku 6, równanie (6.) mże być zapiane natępuąc: gdzie edynie nieznany et kąt ( ) (i ) 8 (6.). W tym przypadku mżna przyąć, że i będzie równe i wówcza kąt 7.6. iedy wyznaczany et kąt wyścia lub weścia na linii, gdy d prteg bieguna lub zera tranmitanci G(. ąt weścia lub wyścia na linii pierwiatkwe, gdy w tym amym punkcie różni ię d teg kąta 8 i wówcza krzyta ię z równania (9) (=8.6) (=8.6) Ry. 6. Linia pierwiatkwa ilutruąca kąty wyścia i weścia na przykładzie równania charakterytyczneg ( )( ). Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera

11 Teria terwania Linie pierwiatkwe Z ryunku 6 widać, że kąt weścia linii, gdy, d bieguna + et równy 8.4, c wyznaczne ztał z różnicy W pdbny pób na linii pierwiatkwe z ryunku 6, mżna pkazać, że linia pierwiatkwa, gdy, przybywa d bieguna = pd kątem 8, natmiat linia pierwiatkwa, gdy, puzcza ten am biegun pd kątem. Dla bieguna w punkcie =, kąt weścia linii pierwiatkwe, gdy, wyni pdcza gdy kąt wyścia linii pierwiatkwe przy et równy 8. ąty te ą również wyznaczane z wiedzy typie linii na dcinkach i liczb rzeczywitych ddzielnych d iebie przez bieguny i zera tranmitanci G(. Na kąty weścia lub wyścia linii pierwiatkwych d biegunów lub zer znaduących ię na i liczb rzeczywitych nie maą wpływu bieguny zeplne przężne..8. PUNTY PRZECIĘCIA LINII PIERWIASTOWYCH Z OSIĄ LICZB UROJONYCH Punkty w których linie pierwiatkwe przecinaą ś liczb urnych na płazczyźnie, eśli takie wytępuą, wyznaczane ą przy użyciu kryterium Rutha. Dla złżnych przypadków, kiedy linia pierwiatkwa ma wiele punktów przecięcia z ią liczb urnych, wartści krytyczne mgą być wyznaczne przy użyciu prgramów kmputerwych. Przykład 7 Linii pierwiatkwa pkazane na ryunku 6, wykreślna et dla równania ( )( ) (7.) Z ryunku 6 widać, że linia pierwiatkwa, gdy przecina ś liczb urnych w dwóch punktach. Stuąc kryterium Rutha d równania (7.) i przez rzwiązanie równania pmcniczeg trzymue ię wartść krytyczną = 8.6 i dpwiadaące punkty przecięcia i ą w PUNTY ROZGAŁĘZIEŃ NA LINIACH PIERWIASTOWYCH Punkty rzgałęzień na liniach pierwiatkwych dpwiadaą pierwiatkm wielkrtnym równania. Na ryunku 7(a) przedtawiny ztał przypadek w którym dwie linie pierwiatkwe ptykaą ię w punkcie rzgałęzienia na i liczb rzeczywitych i natępnie puzczaą tą ś w przeciwnych kierunkach. W tym przypadku punkt rzgałęzienia reprezentue pdwóny pierwiatek równania, kiedy wartść iąga wartść dpwiadaącą temu punktwi. Na ryunku 7(b) przedtawina ztała inna ytuaca w które dwa pierwiatki zeplne przężne ptykaą ię w punkcie rzgałęzienia znaduąceg ię na i liczb rzeczywitych i natępnie przemiezczaą ię Punkt rzgałęzienia Punkt rzgałęzienia (a) Ry.7. Przykłady punktów rzgałęzień na i liczb rzeczywitych. (b) Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera

12 Teria terwania Linie pierwiatkwe w przeciwnych kierunkach wzdłuż i liczb rzeczywitych. W gólnym przypadku, punkt rzgałęzienia mże bemwać więce niż dwie linie pierwiatkwe. Linia pierwiatkwa mże mieć czywiście więce niż eden punkt rzgałęzienia. Pza tym punkty przecięcia nie zawze będą na i liczb rzeczywitych. Z pwdu przężne ymetrii linii pierwiatkwych, punkty rzgałęzień znaduące ię pza ią liczb rzeczywitych muzą być pwiązane w zeplne pary przężne. Punkty rzgałęzień na linii pierwiatkwe G ( H ( ) muzą pełniać warunek dg( H( d Ważne et aby zaznaczyć, że warunek na punkt rzgałęzienia piany wzrem (8) et knieczny ale nie wytarczaący. Innymi łwy, wzytkie punkty rzgałęzień muzą pełniać równanie (8) lecz nie wzytkie rzwiązania równania (8) ą punktami rzgałęzień. Aby być punktem rzgałęzienia, rzwiązanie równania (8) mui również pełniać równanie G ( H(, czyli mui być również punktem znaduącym ię na linii pierwiatkwe dla pewne wartści. Ogólnie, pniżze wniki ą uzykiwane w dnieieniu d rzwiązań równania (8):. Wzytkie rzeczywite rzwiązania równania (8) ą punktami na linii pierwiatkwe, gdyż cała ś liczb rzeczywitych płazczyzny et zaęta przez linie pierwiatkwe.. Rzwiązania zeplne przężne równania (8) ą punktami rzgałęzień tylk wówcza gdy pełniaą równanie charakterytyczne lub ą punktami na linii pierwiatkwe.. Z warunku dtycząceg linii pierwiatkwe G ( H ( ) (9) wyznaczaąc różniczkę na bu trnach równania względem zmienne, trzymue ię d d dg ( H [ G ( H ( d ( ] Więc warunek dtyczący punktu rzgałęzienia mże być również zapiany ak d d gdzie et wyrażne tak ak w równaniu (9)..9.. ąty wyścia i weścia linii pierwiatkwych w punktach rzgałęzień ąty przy których linia pierwiatkwa przybywa lub puzcza punkt rzgałęzień zależy d liczby linii, które bemuą ten punkt. Ogólnie n linii pierwiatkwych iąga lub puzcza punkt rzgałęzień pd kątem 8 /n (8) () () Przykład 8 Rzważ równanie drugieg rzędu ( ) ( 4) (8.) rzytaąc z dtychcza pznanych włanści linii pierwiatkwych dla równania (8.) linie pierwiatkwe nazkicwane ztały na ryunku 8 dla. Mżna udwdnić, że linia pierwiatkwa dtyczące pierwiatków zeplnych przężnych et kręgiem. Obydwa punkty rzgałęzień znaduą ię na i liczb rzeczywitych, eden pmiędzy raz, i drugi pmiędzy i. Z równania (8.) trzymue ię Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera

13 Teria terwania Linie pierwiatkwe 4 G ( H( (8.) ( ) Stuąc równanie (8), punkty rzgałęzień na linii pierwiatkwe muzą pełniać zależnść lub dg ( H d ( ( ) ( ( ) )( 4) (8.) 8 8 (8.4) Rzwiązuąc równanie (8.4), znadue ię dwa punkty rzgałęzień linii pierwiatkwe =.7 i Z ryunku 8 widać, że bydwa te punkty znaduą ię na te części linii pierwiatkwe dtyczące. > < = = < > Ry.8. Linia pierwiatkwa dla ( ) ( 4)... OBLICZANIE Z LINII PIERWIASTOWYCH Przy kntruwaniu linii pierwiatkwych, wartść w dwlnym punkcie na linii pierwiatkwe mże być wyznaczna przy użyciu równania (). Wzytkie ważne włanści kntruwania linii pierwiatkwych zebrane ztały w tabeli. Przykład 9 Ilutracą wyznaczania wartści z linii pierwiatkwe będzie równanie ( ) ( 4) (9.) ak pkazan t na ryunku 9. Wartść w punkcie et dana przez równanie A B (9.) C Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera

14 Teria terwania Linie pierwiatkwe gdzie A raz B ą długściami wektrów wykreślnych z biegunów tranmitanci G ( ( 4) ( ) d punktu, a C et długścią wektra wykreślneg z zera tranmitanci G( d punktu. Wartść wzmcnienia w punkcie w którym linia pierwiatkwa przecina ś liczb urnych mże być również wyznaczna w ten pób. C B A > < = = < 4 > Ry.9. Graficzna metda znadwania wartści z linii pierwiatkwe. Tabela. Włanści linii pierwiatkwych G ( H ( ). Punkty dla = Punkty dla = ą biegunami tranmitanci G(, bemuąc również takie które znaduą ię w =.. Punkty dla = Punkty dla = ą zerami tranmitanci G(, zawieraąc również te które znaduą ię w =.. Liczba ddzielnych linii pierwiatkwych 4. Symetria linii pierwiatkwych 5. Aymptty linii pierwiatkwych gdy Całkwita liczba linii pierwiatkwych et równa rzędwi równania F( =. Linie pierwiatkwe ą ymetryczne wzdłuż i ymetrii knfiguraci zer-biegunwe tranmitanci G(. Dla dużych wartści, linie pierwiatkwe ( > ) ą zbieżne d aymptt, których kąty ą wyznaczane z natępuących zależnści: i i n m 8 Dla linii pierwiatkwych ( < ), i i n m 8 Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera 4

15 Teria terwania Linie pierwiatkwe gdzie i =,,,..., n m ; n = liczba kńcznych biegunów tranmitanci G(. m = liczba kńcznych zer tranmitanci G(. 6. Punkt przecięcia aymptt (a) Punkt przecięcia aymptt wytępue tylk na i liczb rzeczywitych (b) Punkt przecięcia aymptt wyznaczany et ze wzru a biegunów tranmitanci G( H ( zer tranmitan ci n m G( H ( 7. Linie pierwiatkwe na i liczb rzeczywitych Linia pierwiatkwa ( > ) wytępue w tych dcinkach i liczb rzeczywitych dla których uma rzeczywitych zer i biegunów tranmitanci G( z prawe trny teg dcinka et nieparzyta. Jeśli całkwita liczba zer i biegunów z prawe trny dcinka et parzyta, wówcza wytępue linia pierwiatkwa dla ( < ). 8. ąty wyścia ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna lub zera lub wyścia z bieguna tranmitanci G( mże być wyznaczna przy załżeniu punktu, który et bardz blik bieguna lub zera przez zatwanie równania 9. Punkty przecięcia linii pierwiatkwych z ią liczb urnych G( m n ) ) ( zk ) ( p ) k ( i ) 8 ( > ) i 8 ( < ) gdzie i =,,,,... Punkty przecięcia linii pierwiatkwych z ią liczb urnych dpwiadaą wartścim, które mgą być wyznaczne przy użyciu kryterium Rutha.. Punkty rzgałęzień Punkty rzgałęzień na linii pierwiatkwe ą wyznaczane z zależnści d d, lub dg ( d. Są t tylk warunki knieczne.. Obliczenie wartści na pdtawie linii pierwiatkwe Wartść bezwzględną w pewnym punkcie należącym d linii pierwiatkwe, wyznaczane ą na pdtawie zależnści G ( ) H( ) Pniżze przykłady pdumwuą wzytkie włanści linii pierwiatkwych zebrane w tabeli. Przykład Dla pniżzeg układu regulaci (ry..) nazkicu linie pierwiatkwe. Na pdtawie wykreślnych linii pierwiatkwych i kryterium Rutha kreśl: Zakre wartści trneg parametru dla któreg układ ten et tabilny Wartść wzmcnienia krytyczneg kr przy którym w układzie pawiaą ię cylace tałe amplitudzie raz kre tych cylaci T c. Dla = wyznacz zapa wzmcnienia Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera 5

16 Teria terwania Linie pierwiatkwe R( R( Ry... Schemat blkwy rzważaneg układu regulaci Tranmitanca pętli twarte dla teg układu ma ptać G ( ( )( )( (.) ) Włanści linii pierwiatkwe zebrane w tabeli, dla teg przypadku wyznaczane ą natępuąc:. Punkty w których = ą biegunami tranmitanci G(: =, +,.. Punkty w których = ą zerami tranmitanci G(: =,,.. Są trzy ddzielne gałęzi linii pierwiatkwych. 4. Linie pierwiatkwe ą ymetryczne względem i liczb rzeczywitych na płazczyźnie. 5. Tranmitanca G( ma trzy bieguny i żadneg kńczneg zera, czyli trzy gałęzie linii pierwiatkwych iągaą niekńcznść wzdłuż aymptt. ąty aymptt linii pierwiatkwych wyznaczane ą z równania (5) i i n m i 8 8 (.) dla i =,,.Więc trzy linie pierwiatkwe dla > iągaą niekńcznść wzdłuż aymptt pd kątami: 6, 8,. ąty aymptt linii pierwiatkwych ( < ) wyznaczane ą z równania (6) i i n m i 8 8 (.) dla i =,,. Więc kiedy iąga, wówcza trzy linie pierwiatkwe iągaą niekńcznść wzdłuż aymptt pd kątami:,, Punkt przecięcia aymptt wyznaczany et z równania (7) a.6667 (.4) 7. Linie pierwiatkwe na i liczb rzeczywitych. Odcinek linii pierwiatkwe (<) na i liczb rzeczywitych znadue ię d d punktu =, natmiat pztałe część i liczb rzeczywitych d punktu = d pkryta et przez linię pierwiatkwą dla >. 8. ąty wyścia: ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna + et wyznaczany przy użyciu równania (8). Jeśli et punktem na linii pierwiatkwe puzczaące biegun + i znadue ię bardz blik teg bieguna t. lub czyli ( i ) ( ) ( ) ( ) 8 (.5) (.6) 45 (.7) Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera 6

17 Teria terwania Linie pierwiatkwe W pdbny pób równanie (9) et używane d kreślenia kąta weścia linii pierwiatkwe ( < ) d bieguna +. ąt ten wyznaczany et w bardz łatwy pób, ' gdyż kąt różni ię d kąta 8 ; więc ' (.8) 9. Punkty przecięcia linii pierwiatkwych z ią urną wyznaczane ą przy użyciu kryterium Rutha. Dla układu z ryunku. równanie charakterytyczne ma ptać Tablica Rutha (.9) Aby równanie (.9) nie miał pierwiatków na i liczb urnych ani w prawe półpłazczyźnie, wówcza wzytkie elementy pierwze klumny tablicy Rutha muzą mieć ten am znak. Czyli pełnine muzą być natępuące zależnści 4 > lub < 4 (.) + 5 > lub > 5 (.) Czyli wzytkie pierwiatki równania (.9) pztaną w lewe półpłazczyźnie, eśli będzie przymwał wartść z zakreu pmiędzy 5 raz 4 c znacza, że linia pierwiatkwa będzie przecinać ś liczb urnych kiedy = 4. Wpółrzędne punktów przecięcia na i liczb urnych, które dpwiadaą wartści parametru = 4, ą wyznaczane z natępuąceg równania pmcniczeg p ( 5 5 (.) Równanie (.) ztał uzykane przez użycie wpółczynników z wierza znaduąceg ię bezpśredni nad wierzem zerwym w, który pwtae gdy = 4. Pdtawiaąc = 4 d równania (.), trzymue ię 5 45 (.) Pierwiatkami równania (.) ą = raz, które ą punktami w których linia pierwiatkwa przecina ś liczb urnych.. Punkty rzgałęzień: Opieraąc ię na infrmacach z pprzednich 9 punktów mżna pdąć próbny zkic linii pierwiatkwych z któreg wynika, że nie będzie w tym przypadku żadneg punktu rzgałęzień na całe linii pierwiatkwe. Aby wyznaczyć punkt rzgałęzień należy pddać butrnne peraci różniczkwania zależnść (.) względem i przyrównać t d zera; wówcza uzykue ię natępuące równanie 9 (.4) Pnieważ nie et pdziewany żaden punkt rzgałęzień czyli z uzykanych z równania (.4) rzwiązań żadne nie et pprawne. Pierwiatki uzykane z rzwiązania równania (.4) ą natępuące = = Obydwa rzwiązania nie pełniaą równania (.9) i dlateg też nie ą punktami rzgałęzień. Bazuąc na infrmacach uzykanych w tatnich dzieięciu krkach, linie pierwiatkwe równania (.) ą pkazane na ryunku.. Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera 7

18 Teria terwania Linie pierwiatkwe 4 (=4) < >.6667 = > = < = < > (=4) 4 5 Ry... Linie pierwiatkwe 9 5 Zakre tabilnści układu 5 < < 4 (.5) Układ et na granicy tabilnści gdy kr = 4 i kre cylaci T c wyznacza ię z rzwiązania dla któreg dwa pierwiatki przężne umiecwine na i urne w tym przypadku w punktach., T c.9 [ ] (.6) Zapa wzmcnienia dla = wyznacza ię z zależnści Zapa wzmcnienia zazwycza pdawany et w decybelach max 4 4 (.7) GM lg lg.4 [db] (.8) ZAGADNIENIA ONTROLNE Pniżze pytania dnzą ię d równania P(+Q( =, gdzie P( i Q( ą wielmianami w funkci ze tałymi wpółczynnikami.. Pda warunki akie muzą być pełnine aby mżna był kntruwać linie pierwiatkwe. Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera 8

19 Teria terwania Linie pierwiatkwe. Określ punkty na linii pierwiatkwe dla których =, w dnieieniu d zer i biegunów funkci Q(/P(.. Określ punkty na linii pierwiatkwe dla których =, w dnieieniu d zer i biegunów funkci Q(/P(. 4. Pda znaczenie punktów rzgałęzień w dnieieniu d pierwiatków funkci P( + Q( =. 5. Pda równanie kreślaące punkt przecięcia aymptt. 6. Aymptty linii pierwiatkwych dnzą ię d kątów linii gdy =. (Tak) (Nie) 7. Czy et tylk eden punkt przecięcia aymptt na liniach pierwiatkwych? (Tak) (Nie) 8. Punkt przecięcia aymptt mui zawze wytąpić na i liczb rzeczywitych. (Tak) (Nie) 9. Punkty rzgałęzienia linii pierwiatkwych muzą zawze wytąpić na i liczb rzeczywitych. (Tak) (Nie). Określenie punktów przecięcia linii pierwiatkwych z ią liczb urnych mże ztać dknane przez rzwiązanie równania pmcniczeg z tablicy Rutha. (Tak) (Nie) ĆWICZENIA C. Znadź kąty aymptt i punkty ich przecięcia na liniach pierwiatkwych pniżzych równań, gdy zmienia ię d d. 4 a) 4 4 ( 8) 6 b) ( 5) c) ( 4) d) ( )( ) 5 4 e) ( ) 4 6 f) 5 ( 5) C. Dla pniżzych tranmitanci pętli, znadź kąty weścia lub wyścia linii pierwiatkwych we wkazanym zerze lub biegunie. a) G ( ( )( ) ąt weścia ( < ) i kąt wyścia ( > ) w punkcie =. b) G ( ( )( ) ąt weścia ( < ) i kąt wyścia ( > ) w punkcie =. c) d) G ( ( )( ) ąt wyścia ( > ) w punkcie = +. G ( ( ) ąt wyścia ( > ) w punkcie = +. e) ( ) G ( H ( ( )( ) ąt weścia ( > ) w punkcie = +. Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera 9

20 Teria terwania Linie pierwiatkwe C. Zaznacz punkty w których = i = raz linie pierwiatkwe na i liczb rzeczywitych dla ( > ) i ( < ) dla knfiguraci zer-biegunwych pkazanych na ryunku C 4 (a) (b) 4 4 Ry. C. (c) (d) C4. Znadź wzytkie punkty rzgałęzień linii pierwiatkwych układu pianeg przez knfigurace zer-biegunwe pkazane na ryunku C. C5. Dla każdeg z pniżzych układów terwania dla których pdane ą zera i bieguny tranmitanci pętli G( Skntruu linie pierwiatkwe wyznaczaąc: Punkt przecięcia aymptt, ąty aymptt, dla > raz < Punkty rzgałęzień, ąty weścia i wyścia linii pierwiatkwych d biegunów i zer znaduących ię pza ią liczb rzeczywitych Punkty przecięcia z ią liczb urnych Na pdtawie wykreślnych linii pierwiatkwych i kryterium Rutha kreśl Zakre wartści trneg parametru dla któreg układy te ą tabilne Wartść wzmcnienia krytyczneg kr przy którym w układzie pawiaą ię cylace tałe amplitudzie raz kre tych cylaci T c. Dla = wyznacz zapa wzmcnienia a) Bieguny: =,, brak kńcznych zer. b) Bieguny: =,, ; zer: = 5. c) Bieguny: =, 5, 6; zer: = 8. d) Bieguny: =,, ; zer: = 4. e) Bieguny: =, +, ; zer: =. f) Bieguny: = +,, 4; brak kńcznych zer. g) Bieguny: =,, ; zera: +, h) Bieguny: =, +, ; zera: +, Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera

21 Teria terwania Linie pierwiatkwe ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ C. a) G ( ( ( ) ) Punkt przecięcia aymptt: =, ąty aymptt: i = 6, 8,, dla > ; i b) G ( ( ) ( )( 5) Punkt przecięcia aymptt: = 5, ąty aymptt: i = 9, 7, dla > ; i =,, 4, dla < ; i =,,. =, 8, dla < ; i =,. ( 4)( ) c) G ( ; Nie mżna kntruwać linii pierwiatkwych, gdyż liczba zer et więkza d liczby biegunów. ( )( ) d) G ( ( )( ) Nie ma aymptt, gdyż liczba zer et równa liczbie biegunów. ( 5) e) G ( ( 5)( 5) Punkt przecięcia aymptt: = 5, ąty aymptt: i = 6, 8,, dla > ; i =,, 4, dla < ; i =,,. C. a) ąt weścia linii pierwiatkwe ( < ) d bieguna = : ' = 5. ąt wyścia linii pierwiatkwe ( > ) z bieguna = : = 5 b) ąt weścia linii pierwiatkwe ( < ) d bieguna = : ' = 5. ąt wyścia linii pierwiatkwe ( > ) z bieguna = : = 45 c) ąt wyścia linii pierwiatkwe ( > ) z bieguna = + : = 7 d) ąt wyścia linii pierwiatkwe ( > ) z bieguna = + : = 8 e) ąt weścia linii pierwiatkwe ( > ) d zera = + : ' = 7.56 C4. ( )( ) a) G ( ; punkty rzgałęzień: =.88, =.77; dla <. ( )( 4) C5. ( )( ) b) G ( H ( ; punkty rzgałęzień: =.46, dla > ; =.9; dla <. ( )( )( ) ( ) c) G ( ; punkty rzgałęzień: =.475, dla <. ( ) ( )( 4) ( )( 4)( d) G ( ( )( ) et więkza d liczby biegunów. a) G ( ( )( Punkt przecięcia aymptt: a =., ) ąty aymptt: dla >, i = 6, 8, ; dla < ; i =,, 4 ; i =,,. ) ; Nie mżna kntruwać linii pierwiatkwych, gdyż liczba zer Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera

22 Teria terwania Linie pierwiatkwe b) c) d) e) Punkty rzgałęzień: 5 dla >, =.57; dla <, =.54 Punkty przecięcia z ią liczb urnych:. 7 dla =, Stabilny: < < Wzmcnienie krytyczne: kr =, Okre cylaci: T c =.676 [] Zapa wzmcnienia dla = : GM =.586 [db] G ( ( 5) ( )( ) Punkt przecięcia aymptt: a =, ąty aymptt: dla >, i = 9, 7 ; dla < ; i =, 8, i =,. Punkty rzgałęzień: 8 dla >, =.4475; dla <, = 6.944, =.69. Punkty przecięcia z ią liczb urnych:. 6 dla =, Stabilny: < < Wzmcnienie krytyczne: kr =, Okre cylaci: T c =.899 [] Zapa wzmcnienia dla = : GM = [db] G ( ( 8) ( 5)( 6) Punkt przecięcia aymptt: a =.5, ąty aymptt: dla >, i = 9, 7 ; dla < ; i =, 8, i =,. Punkty rzgałęzień: dla >, =.78; dla <, = 9.798, = Punkty przecięcia z ią liczb urnych: brak Stabilny: < < Zapa wzmcnienia dla = : GM = [db] G ( ( ( 4) ) Punkt przecięcia aymptt: a =, ąty aymptt: dla >, i = 9, 7 ; dla < ; i =, 8, i =,. Punkty rzgałęzień: 6 6 dla >, =.769; dla <, = 5.6, =. Punkty przecięcia z ią liczb urnych: brak Stabilny: < < Zapa wzmcnienia dla = : GM = [db] G ( ( ( ) ) Punkt przecięcia aymptt: a =.5, ąty aymptt: dla >, i = 9, 7 ; dla < ; i =, 8, i =,. Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera

23 Teria terwania Linie pierwiatkwe f) Punkty rzgałęzień: 6 dla >, brak dla <, =.558. ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna ( +): = ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( +): = Punkty przecięcia z ią liczb urnych: dla = 4, Stabilny: < < 4 Wzmcnienie krytyczne: kr = 4, Okre cylaci: T c =.565 [] Zapa wzmcnienia dla = : GM =.4 [db] G ( ( 4)( ) Punkt przecięcia aymptt: a =, ąty aymptt: dla >, i = 6, 8, ; dla < ; i =,, 4, i =,,. Punkty rzgałęzień: dla >, brak dla <, =.44, = ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna ( +): = ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( +): = Punkty przecięcia z ią liczb urnych:. 6 dla = 5, Stabilny: 8 < < 5 Wzmcnienie krytyczne: kr = 5, Okre cylaci: T c =.9869 [] Zapa wzmcnienia dla = : GM = 4. [db] ' ' g) G ( ( ( )( ) )( ) Punkt przecięcia aymptt: a = 8, ąty aymptt: dla >, i = 8 ; dla < ; i =, i =. 4 Punkty rzgałęzień: dla >, =.49 dla <, = 6.685, =.597, 4 =.566 ąt wyścia linii pierwiatkwe z zera (+): =.968 ' ąt weścia linii pierwiatkwe d zera (+): = 49.6 Punkty przecięcia z ią liczb urnych:.557 dla = 6.78,, dla = Stabilny: < < Wzmcnienie krytyczne: kr = 4.778, Okre cylaci: T c = 4.54 [] Zapa wzmcnienia dla = : GM =.5855 [db] h) G ( H ( ( ( )( ) 4 ) Punkt przecięcia aymptt: a = 7, ąty aymptt: dla >, i = 8 ; dla < ; i =, i =. 4 Punkty rzgałęzień: dla >, brak Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera

24 Teria terwania Linie pierwiatkwe dla <, = 6.96, =.44 ąt wyścia linii pierwiatkwe z bieguna ( +): = z zera (+): = ' ąt weścia linii pierwiatkwe d bieguna ( +): = ' d zera (+): = 6.5 Punkty przecięcia z ią liczb urnych: 5.78 dla = 4.78,, dla = Stabilny: < < Wzmcnienie krytyczne: kr = 4.78, Okre cylaci: T c =.47 [] kr = 7.788, Okre cylaci: T c = [] Zapa wzmcnienia dla = : GM = [db] LITERATURA. Drf R.C., Bihp R.H. Mdern Cntrl Sytem. Addin-Weley Lngman, Evan W.R. "Graphical Analyi f Cntrl Sytem", Tranactin f AIEE, Vl. 67, pp , Franklin G.F, Pwell J.D., Emami-Naeini A. Feedback Cntrl f Dynamic Sytem. Addin-Weley Publihing Cmpany, u B. C. Autmatic Cntrl f Dynamic Sytem, 7th ed, Addin-Weley & Sn Inc., Nie N.S. Cntrl Sytem Engineering. th ed. Jhn Wiley&Sn Inc.,. Otatnia aktualizaca: --6 M. Tmera 4