Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych

Transkrypt

1 Akademia Mrska w Gdyni atedra Autmatyki Okrętwe Teria sterwania Linie pierwiastkwe dla układów dyskretnych Mirsław Tmera. WPROWADZENIE Opisana szczegółw technika wykreślania linii pierwiastkwych dla układów ciągłych mże być zastswana bez żadnych kmplikaci dla układów dyskretnych. Spsób wykreślania tych linii est identyczny ak dla układów ciągłych z tą różnicą, że analiza dbywa się na płaszczyźnie z gdzie są inne warunki stabilnści. R(s) E(s) E * (s) U * (s) G(s) T p H(s) Y(s) T p Y * (s) Rys.. Układ sterwania dyskretneg ze strnym parametrem Dla układu pkazaneg na rysunku, wypadkwa transmitanca dyskretna przymue pstać Y( z) G( z) T ( z) () R( z) GH ( z) Dyskretne równanie charakterystyczne dla teg układu (rys. ) est następuące M ( z) L( z) GH ( z) 0 () gdzie L(z) est dyskretną transmitancę pętli twarte. Linie pierwiastkwe wykreślane na płaszczyźnie z są traektriami rzwiązań równania () przy zmieniaące się wartści parametru. Funkca pisana wzrem (), zazwycza est funkcą wymierną w funkci z ze stałymi współczynnikami, bieguny i zera są również liczbami skńcznymi i liczba gałęzi linii pierwiastkwe na płaszczyźnie z est również skńczna. Te same prcedury knstruwania, które są stswane dla układów ciągłych mgą być bezpśredni zastswane na płaszczyźnie z dla układów sterwania dyskretneg. Inny natmiast est spsób ceny własnści analizwaneg układu, gdyż bszar płżeń biegunów stabilnych granicza się d wnętrza kła ednstkweg. W tabeli zebrane zstały zasady wykreślania linii pierwiastkwych dla układów dyskretnych. Tabela. Własnści linii pierwiastkwych GH ( z) 0. Punkty dla = 0 Punkty dla = 0 są biegunami transmitanci GH(z), bemuąc również takie, które znaduą się w z =. Ostatnia aktualizaca: M. Tmera

2 Teria sterwania Linie pierwiastkwe dla układów dyskretnych. Punkty dla = Punkty dla = są zerami transmitanci GH(z), zawieraąc również te które znaduą się w z =.. Liczba ddzielnych linii pierwiastkwych 4. Symetria linii pierwiastkwych 5. Asymptty linii pierwiastkwych gdy z Całkwita liczba linii pierwiastkwych est równa rzędwi równania M(z) = 0. Linie pierwiastkwe są symetryczne względem si liczb rzeczywistych i czasami inne pinwe si symetrii pawiaace się w knfiguraci zer-biegunwe transmitanci GH(z). Dla dużych wartści z, linie pierwiastkwe ( > 0) są zbieżne d asymptt, których kąty są wyznaczane z następuących zależnści: i i n m 80 Dla linii pierwiastkwych ( < 0), gdzie i = 0,,,..., n m ; i i n m 80 n = liczba skńcznych biegunów transmitanci GH(z) m = liczba skńcznych zer transmitanci GH(z) 6. Punkt przecięcia asymptt (a) Punkt przecięcia asymptt występue tylk na si liczb rzeczywistych (b) Punkt przecięcia asymptt wyznaczany est ze wzru a biegunów transmitanci GH ( z) n m zer transmitanci GH ( z) 7. Linie pierwiastkwe na si liczb rzeczywistych Linia pierwiastkwa ( > 0) występue w tych dcinkach si liczb rzeczywistych dla których suma rzeczywistych zer i biegunów transmitanci GH(z) z prawe strny teg dcinka est parzysta. Jeśli całkwita liczba zer i biegunów z prawe strny dcinka est nieparzysta, wówczas występue linia pierwiastkwa dla ( < 0). 8. ąty weścia i wyścia ąty weścia lub wyścia linii pierwiastkwe d bieguna lub zera transmitanci GH(z) mgą być wyznaczne przy załżeniu punktu, który est bardz blisk rzważaneg bieguna lub zera przez zastswanie równania dla ( > 0) dla ( < 0) GH( z GH( z gdzie i = 0,,,,... m n ) ( z zk ) ( z p ) k m k k n (i m n ) ( z zk ) ( z p ) k m k k n i ) Ostatnia aktualizaca: M. Tmera

3 Teria sterwania Linie pierwiastkwe dla układów dyskretnych 9. Punkty przecięcia linii pierwiastkwych z kręgiem ednstkwym Punkty przecięcia linii pierwiastkwych z sią liczb urnych dpwiadaą wartścim, które mgą być wyznaczne przy użyciu kryterium Rutha. 0. Punkty rzgałęzień Punkty rzgałęzień na linii pierwiastkwe są wyznaczane z zależnści d dz 0, lub dgh ( z) dz 0. Są t tylk warunki knieczne.. Obliczenie wartści na pdstawie linii pierwiastkwe Wartść bezwzględną w pewnym punkcie z należącym d linii pierwiastkwe, wyznacza się na pdstawie zależnści GH( z ) Pniższy przykład ilustrue spsób knstruwania linii pierwiastkwe dla układu dyskretneg na płaszczyźnie z. Przykład Dla pniższeg układu sterwania dyskretneg (rys..) naszkicu linie pierwiastkwe, wyznaczaąc klene własnści przy wykrzystaniu tabeli. Na pdstawie wykreślnych linii pierwiastkwych i kryterium Rutha kreśl: Zakres wartści strneg parametru dla któreg układ ten est stabilny Wartść wzmcnienia krytyczneg przy którym w układzie pawiaą się scylace stałe amplitudzie raz kres tych scylaci T sc. Dla = 0 wyznacz zapas wzmcnienia Okres próbkwania T p = [s]. kr R(s) E(s) T p E * (s) ZOH s + 5s + 9s + 5 Y(s) Rys... Schemat blkwy rzważaneg układu regulaci Rzwiązanie. Transmitanca dyskretna pętli twarte dla teg układu ma pstać z z GH ( z) (.) z 0.54z 0.07z Transmitanca dyskretna pętli twarte zapisana w pstaci zerw-biegunwe ( z.079)( z 0.077) GH ( z) (.) ( z 0.679)( z )( z ) Własnści linii pierwiastkwe wyznaczane dla transmitanci ciągłe zebrane są w tabeli. Te same własnści zstaną wykrzystane d wykreślenia linii pierwiastkwych dla układu dyskretneg. Ostatnia aktualizaca: M. Tmera

4 Teria sterwania Linie pierwiastkwe dla układów dyskretnych. Punkty w których = 0 są biegunami transmitanci GH(z): z = 0.679, , Punkty w których = są zerami transmitanci GH(z): z =.079, 0.077,.. Są trzy ddzielne gałęzi linii pierwiastkwych. 4. Linie pierwiastkwe są symetryczne względem si liczb rzeczywistych na płaszczyźnie z. 5. Transmitanca GH(z) ma trzy bieguny raz dwa skńczne i edn nieskńczne zer, czyli edna gałąź linii pierwiastkwych siąga nieskńcznść wzdłuż asymptty. ąty asymptt linii pierwiastkwych wyznaczane są z równania i i n m i (.) dla i = 0. Więc tylk edna linia pierwiastkwa dla > 0 siąga nieskńcznść wzdłuż asymptty pd kątem: 80. ąty asymptt linii pierwiastkwych ( < 0) wyznaczane są z równania i i n m i (.4) dla i = 0. Więc kiedy siąga, wówczas edna linia pierwiastkwa siąga nieskńcznść wzdłuż asymptty pd kątem: Punkt przecięcia asymptt wyznaczany est z równania ( ) a.6670 (.5) 7. Linie pierwiastkwe na si liczb rzeczywistych. Odcinek linii pierwiastkwe (<0) na si liczb rzeczywistych znadue się d d punktu z = raz d punktu d punktu.079, natmiast pzstałe części si liczb rzeczywistych d punktu z = d punktu raz d punktu.079 d pkryta est przez linię pierwiastkwą dla >0. 8. ąty wyścia: ąt wyścia linii pierwiastkwe z bieguna est wyznaczany przy użyciu równania teg sameg równania. Jeśli z est punktem na linii pierwiastkwe puszczaące biegun i znadue się bardz blisk teg bieguna t. ( z.079) ( z 0.077) ( z 0.679) ) ( z ) 80 ( z (.6) Wprwadzne zstały następuące zmienne pisuące pwyższe kąty 80 (.7) P wyznaczeniu kątów zawartych pmiędzy biegunem i pzstałymi zerami i biegunami czyli (.8) (.9) Ostatnia aktualizaca: M. Tmera 4

5 Teria sterwania Linie pierwiastkwe dla układów dyskretnych W pdbny spsób równanie (.9) est używane d kreślenia kąta weścia linii pierwiastkwe ( < 0) d bieguna ąt ten wyznaczany est w bardz łatwy spsób, gdyż kąt różni się d kąta 80 ; więc (.0) Punkty przecięcia linii pierwiastkwych z kręgiem ednstkwym pza sią liczb rzeczywistych na płaszczyźnie z wyznaczane są na pdstawie równania charakterystyczneg, które w tym przypadku ma pstać M ( z) z ( ) z ( ) z ( ) 0 (.) Aby móc zastswać kryterium Rutha pwyższe równanie zstanie przekształcne przez transfrmacę biliniwą pstaci z r r (.) będącą przekształceniem kręgu ednstkweg na płaszczyźnie zmienne zesplne z na lewą półpłaszczyznę zmienne zesplne r. P tym pdstawieniu równanie charakterystyczne (.) przymue pstać ). r ) r ) r ( ). 0 (.) Tablica Rutha r r r r Wzmcnienia przy którym linie pierwiastkwe przecinaą się z kręgiem ednstkwym pza sią liczb rzeczywistych na płaszczyźnie z muszą spełniać dwa warunki, p pierwsze znadwać się na krańcach zakresu stabilnści (.4) i p drugie zerwać współczynnik w pierwsze klumnie w wierszu przy r. Aby układ był stabilny asympttycznie t wszystkie współczynniki w pierwsze klumnie tablicy Rutha muszą być większe d zera, uzyskue się w ten spsób układ czterech nierównści i zakres wzmcnienia spełniaący wszystkie te cztery nierównści est następuący 5 < < (.4) Wartść wzmcnienia zeruąca współczynnik w pierwsze klumnie w wierszu przy r i znaduąca się na krańcu (granicy) stabilnści w (.4) t = (.5) P pdstawieniu wyznaczne wartści d równania (.) uzyskue się M ( z) z 0.0z.04 z (.6) Pierwiastkami równania (.6) które znaduą się dkładnie na kręgu ednstkwym są, z e e (.7) 0. Punkty rzgałęzień wyznaczane są na pdstawie następuące zależnści Ostatnia aktualizaca: M. Tmera 5

6 Teria sterwania Linie pierwiastkwe dla układów dyskretnych d GH( z) dz d dz z z 0.54z z 0.07z Uzyskue się w ten spsób następuący wielmian (.8) z 0.9 z 0.00 z z (.9) Rzwiązania pwyższeg wielmianu przymuą wartści z =.4665 z = z = z = Dwa pierwsze rzwiązania wielmianu (.9) maą wartści rzeczywiste i są ne pszukiwanymi punktami rzgałęzień linii pierwiastkwe na si liczb rzeczywistych. z.4665 dla > 0 (.0) z dla < 0 (.) Pszukiwane linie pierwiastkwe znaduą się na rysunku >0 Im z z = (=6.5475) >0 z =.4665 >0 z = <0 =0 =0 =0 = 5 Re z >0 z = (=6.5475) Rys... Dyskretne linie pierwiastkwe dla układu z rysunku. Układ est na granicy stabilnści gdy kr = i kres scylaci T sc wyznacza się z rzwiązania dla któreg dwa pierwiastki sprzężne umiescwine są dkładnie na kręgu ednstkwym (.7). W pierwsze klenści należy wyznaczyć czyli T. 695, stąd p wbec teg.695 z, e e e (.) T p T p (.) Ostatnia aktualizaca: M. Tmera 6

7 Teria sterwania Linie pierwiastkwe dla układów dyskretnych T sc.70 [ s] (.4).695 Liczba próbek znaduąca się w pedynczym kresie scylaci Tsc.70 N sc.70 (.5) T Zapas wzmcnienia dla = 0 wyznacza się z zależnści p max (.6) 0 Zapas wzmcnienia zazwycza pdawany est w decybelach GM 0 lg [db] (.7) Pniże znadue się kd źródłwy zapisany w ęzyku Matlaba przy użyciu któreg uzyskane zstały pwyższe wyniki. clear clse clc Tp = ; % Okres próbkwania % Transmitanca biektu num = ; den = [ 5 9 5]; G = tf(num, den); sysd = cd( G, Tp, zh) [numd, dend] = tfdata( sysd, v) %sistl(sysd) % Współczynniki licznika transmitanci b = numd(); b = numd(); b = numd(); b0 = numd(4); % Współczynniki mianwnika transmitanci a = dend(); a = dend(); a = dend(); a0 = dend(4); % zera transmitanci dyskretne r_numd = rts( numd) z = r_numd() z = r_numd() % bieguny transmitanci dyskretne r_dend = rts( dend) p = r_dend() p = r_dend() p = r_dend() % sigma_a punkt przecięcia asymptt sigma_a = sum( r_dend) - sum( r_numd) % Wielmian na pdstawie któreg wyznaczane są punkty rzgałęzień dghz = cnv([*b b],[a a a a0])-cnv([*a *a a],[b b b0]) r_dghz = rts( dghz) % Wyznaczenie kąta wyścia z bieguna: p = fi_ = angle(p - z)*80/pi fi_ = angle(p - z)*80/pi Ostatnia aktualizaca: M. Tmera 7

8 Teria sterwania Linie pierwiastkwe dla układów dyskretnych theta_ = angle(p - p)*80/pi theta_ = angle(p - p)*80/pi theta wy = 80 + fi_ + fi_ - theta_ - theta_ % Wyznaczenie kąta weścia d bieguna p = theta we = 80 + theta wy % Współczynniki równania charakterystyczneg M(z) Mz = [b a]; Mz = [b a]; Mz = [b a]; M0z = [b0 a0]; % Współczynniki równania charakterystyczneg M(r) p transfrmaci % biliniwe z = (+r)/(-r) Mr = Mz - Mz + Mz - M0z Mr = *Mz - Mz - Mz + *M0z Mr = *Mz + Mz - Mz - *M0z M0r = Mz + Mz + Mz + M0z % Współczynnik tablicy Rutha br = cnv(mr, Mr) - cnv(mr, M0r) % Wartści wzmcnień przy których linie pierwiastkwe przecinaą krąg % ednstkwy rmr = rts( Mr) rmr = rts(mr) r_br = rts( br) rm0r = rts(m0r) % Wzmcnienie krytyczne = r_br() Mz =[ Mz*[ ] Mz*[ ] Mz*[ ] M0z*[ ] ] r_mz = rts( Mz) r = abs(r_mz()) theta = angle(r_mz()) % Wyznaczenie kresu scylaci w = theta/tp % Okres scylaci Tsc = *pi/w % Liczba próbek w pedynczym kresie scylaci Nsc = Tsc/Tp % Zapas wzmcnienia dla = 0 kr = r_br() D = kr/ GM = 0*lg0(D) % w decybelach ĆWICZENIA M. Schemat blkwy układu sterwania dyskretneg pkazany est na rysunku M.. Sknstruu linie pierwiastkwe wyznaczaąc: Zera i bieguny transmitanci pętli Punkt przecięcia asymptt, Ostatnia aktualizaca: M. Tmera 8

9 Teria sterwania Linie pierwiastkwe dla układów dyskretnych ąty asymptt, dla > 0 raz < 0 Punkty rzgałęzień, ąty weścia i wyścia linii pierwiastkwych d biegunów i zer znaduących się pza sią liczb rzeczywistych Punkty przecięcia z kręgiem ednstkwym Na pdstawie wykreślnych linii pierwiastkwych i kryterium Rutha kreśl Zakres wartści strneg parametru dla któreg układy te są stabilne Wartść wzmcnienia krytyczneg kr przy którym w układzie pawiaą się scylace stałe amplitudzie, kres tych scylaci T sc raz liczbę próbek znaduącą się w ednym kresie scylaci N sc. Dla = wyznacz zapas wzmcnienia R(s) E(s) E * (s) T p ZOH G(s) Y(s) Rys. M.. Schemat blkwy układu regulaci dyskretne z ednstkwym sprzężeniem zwrtnym. a) G ( s) b) G ( s) ( s ), kres próbkwania T p = 0. [s]. s 9s 7s ( s ), kres próbkwania T p = 0.5 [s]. s( s s ) c) G ( s) ( s s 0), kres próbkwania T p = 0. [s]. s ( s 6) d) G ( s) s ( s 7s ), kres próbkwania T p = 0.5 [s]. 6s ( s ) e) G ( s), kres próbkwania T p = 0.5 [s]. s( s 6s 4) f) g) h) i) ( s 4s 5) G ( s), kres próbkwania T p = 0. [s]. s ( s ) ( s ) G ( s), kres próbkwania T p = 0.5 [s]. s s 4s 6 ( s s ) G ( s), kres próbkwania T p = 0.5 [s]. s ( s 5) ( s 5s ) G ( s), kres próbkwania T p = 0. [s]. s( s s 0) ( s 8s 40) ) G ( s), kres próbkwania T p = 0. [s]. s 4s s 5 ( s ) k) G ( s), kres próbkwania T p = 0.5 [s]. s 9s 0s 4 Ostatnia aktualizaca: M. Tmera 9

10 Teria sterwania Linie pierwiastkwe dla układów dyskretnych l) ( s 7s 4) G ( s), kres próbkwania T p = 0. [s]. s ( s 6) ODPOWIEDZI DO ĆWICZEŃ M. a) 0.06z 0.008z GH ( z) z.04z.06z 0.65 Punkt przecięcia asymptt: a =.808, ąty asymptt: dla > 0, i = 80 ; dla < 0; i = 0, i = 0. ąt wyścia linii pierwiastkwe z bieguna ( > 0) : = 4.95 ąt weścia linii pierwiastkwe d bieguna ( < 0) : Punkty rzgałęzień: dla > 0, z =.746; dla < 0, z = = ) r 080.5) r ) r ( ) 0 Stabilny: < < ; Wzmcnienie krytyczne: kr = ; Punkty przecięcia z kręgiem ednstkwym: z dla = ,, Okres scylaci: T sc = 0.77 [s], Liczba próbek w ednym kresie scylaci N sc =.8567 [próbek]. Zapas wzmcnienia dla = : GM = [db] b) 0.088z z 0.06 GH ( z) z.85z.8577z Punkt przecięcia asymptt: a =.6989, ąty asymptt: dla > 0, i = 80 ; dla < 0; i = 0, i = 0. Punkty rzgałęzień: dla > 0, z =.76; z = dla < 0, brak ) r ) r ( ). r Stabilny: 0 < < 8.474; Wzmcnienie krytyczne: kr = 8.474; Punkty przecięcia z kręgiem ednstkwym: z dla = 8.474,, Okres scylaci: T sc =.659 [s], Liczba próbek w ednym kresie scylaci N sc = [próbek]. Zapas wzmcnienia dla = : GM = 8.4 [db] c) z 0.469z GH ( z) z.5488z.0976z Punkt przecięcia asymptt: a = 0.889, ąty asymptt: dla > 0, i = 80 ; dla < 0; i = 0, i = 0. Punkty rzgałęzień: dla > 0, z =.0000; dla < 0, z = ) 0 695). r ( ) r 0. 0 r Stabilny: < < ; Wzmcnienie krytyczne: kr = 0.579; Punkty przecięcia z kręgiem ednstkwym: z dla = 0.579,, Okres scylaci: T sc = 6.96 [s], Liczba próbek w ednym kresie scylaci N sc = [próbek]. Zapas wzmcnienia dla = : GM = [db] z z 0.07 d) GH ( z) z.6094z 7.08z 0.00 Punkt przecięcia asymptt: a =.808, Ostatnia aktualizaca: M. Tmera 0

11 Teria sterwania Linie pierwiastkwe dla układów dyskretnych ąty asymptt: dla > 0, i = 80 ; dla < 0; i = 0, i = 0. ąt wyścia linii pierwiastkwe z bieguna ( > 0) : = ąt weścia linii pierwiastkwe d bieguna ( < 0) : Punkty rzgałęzień: dla > 0, z =.4875; dla < 0, z = = ). r ( ) r ( ). r ( ). 0 Stabilny: < < 4.769; Wzmcnienie krytyczne: kr = 4.769; Punkty przecięcia z kręgiem ednstkwym: z dla = 4.769,, Okres scylaci: T sc =.795 [s], Liczba próbek w ednym kresie scylaci N sc =.5850 [próbek]. Zapas wzmcnienia dla = : GM = [db] e) f) 0.05z z GH ( z) z.096z.94z 0. Punkt przecięcia asymptt: a =.4, ąty asymptt: dla > 0, i = 80 ; dla < 0; i = 0, i = 0. Punkty rzgałęzień: dla > 0, z =.46; z = dla < 0, brak ) r ) r ) r Stabilny: 0 < < 0.606; Wzmcnienie krytyczne: kr = 0.606; Punkty przecięcia z kręgiem ednstkwym: z dla = 0.606,, Okres scylaci: T sc =.6494 [s], Liczba próbek w ednym kresie scylaci N sc = [próbek]. Zapas wzmcnienia dla = : GM = [db] 0.05z 0.76z GH ( z) z.7408z.486z Punkt przecięcia asymptt: a =.0, ąty asymptt: dla > 0, i = 80 ; dla < 0; i = 0, i = 0. ąt wyścia linii pierwiastkwe z zera ( < 0) : = 70 ąt weścia linii pierwiastkwe d bieguna ( > 0) : Punkty rzgałęzień: dla > 0, z =.0000; dla < 0, z = = ) r ( ) r r Stabilny: 0 < < 0.0; Wzmcnienie krytyczne: brak; Zapas wzmcnienia dla = : GM = 6.0 [db] g) 0.009z 0.0z GH ( z) z.474z z Punkt przecięcia asymptt: a = ąty asymptt: dla > 0, i = 80 ; dla < 0; i = 0, i = 0. ąt wyścia linii pierwiastkwe z bieguna ( > 0) : = ąt weścia linii pierwiastkwe d bieguna ( < 0) : Punkty rzgałęzień: dla > 0, z = 0.405; z = 0.77, z = dla < 0, z 4 = = ). r ) r ). r ) 0 Stabilny: < < 6; Wzmcnienie krytyczne: kr = 0.759; Punkty przecięcia z kręgiem ednstkwym: z dla = 0.759,, Okres scylaci: T sc = 6.74 [s], Liczba próbek w ednym kresie scylaci N sc =.48 [próbek]. Zapas wzmcnienia dla = : GM = [db] Ostatnia aktualizaca: M. Tmera

12 Teria sterwania Linie pierwiastkwe dla układów dyskretnych h) i) ) k) 0.06z 0.95z 0.0 GH ( z) z.865z.570z Punkt przecięcia asymptt: a = , ąty asymptt: dla > 0, i = 80 ; dla < 0; i = 0, i = 0. Punkty rzgałęzień: dla > 0, z = 0.7; z =.0000 dla < 0, brak ). r ( ) r r Stabilny: 0 < < 8.457; Wzmcnienie krytyczne: brak; 0.074z 0.890z 0.04 GH ( z) z.55z.08z Punkt przecięcia asymptt: a =.697, ąty asymptt: dla > 0, i = 80 ; dla < 0; i = 0, i = 0. ąt wyścia linii pierwiastkwe z bieguna ( > 0) : = ąt weścia linii pierwiastkwe d bieguna ( < 0) : Punkty rzgałęzień: dla > 0, z = 0.757; z = 0.796, z =.49, dla < 0, z 4 = = ) r ( ) r ( ). r Stabilny: 0 < <.809; Wzmcnienie krytyczne: kr =.809; Punkty przecięcia z kręgiem ednstkwym: z dla =.809,, Okres scylaci: T sc = 7.66 [s], Liczba próbek w ednym kresie scylaci N sc = [próbek]. Zapas wzmcnienia dla = : GM = 5.58 [db] 0.549z 0.6z GH ( z) z.657z.6z Punkt przecięcia asymptt: a =.06, ąty asymptt: dla > 0, i = 80 ; dla < 0; i = 0, i = 0. ąt wyścia linii pierwiastkwe z bieguna ( > 0) : = 6.98 ąt weścia linii pierwiastkwe d bieguna ( < 0) : Punkty rzgałęzień: dla > 0, z =.86; dla < 0, z =.054. = ) r 68.46) r ( ) r ( ) 0 Stabilny: 0.09< <.7899; Wzmcnienia krytyczne: kr = 0.09; kr =.7899; Punkty przecięcia z kręgiem ednstkwym: z dla = 0.09, wówczas, Okres scylaci: T sc = [s], Liczba próbek w ednym kresie scylaci N sc = [próbek]. Punkty przecięcia z kręgiem ednstkwym: z dla =.7899, wówczas,4 Okres scylaci: T sc = 0.54 [s], Liczba próbek w ednym kresie scylaci N sc = [próbek]. Zapas wzmcnienia dla = : GM =.576 [db] 0.007z 0.00z GH ( z) z.856z 0.987z Punkt przecięcia asymptt: a =.0049, ąty asymptt: dla > 0, i = 80 ; dla < 0; i = 0, i = 0. ąt wyścia linii pierwiastkwe z bieguna ( > 0) : = ąt weścia linii pierwiastkwe d bieguna ( < 0) : Punkty rzgałęzień: dla > 0, z =.8694; dla < 0, z = = Ostatnia aktualizaca: M. Tmera

13 Teria sterwania Linie pierwiastkwe dla układów dyskretnych ) r ) r ( ) r ( ). 0 Stabilny:. < < 5.678; Wzmcnienie krytyczne: kr = 5.678; Punkty przecięcia z kręgiem ednstkwym: z dla = 5.678, Okres scylaci: T sc =.40 [s], Liczba próbek w ednym kresie scylaci N sc = [próbek]. Zapas wzmcnienia dla = : GM = [db] l) 0.80z 0.54z 0.05 GH ( z) z.0z.604z 0.0 Punkt przecięcia asymptt: a =.4, ąty asymptt: dla > 0, i = 80 ; dla < 0; i = 0, i = 0. Punkty rzgałęzień: dla > 0, z =.0000; z = , z = 0.48, z 4 = 0.75; dla < 0, brak ) r ( ) r 0. r Stabilny: 0 < < 9.94; Wzmcnienie krytyczne: brak Zapas wzmcnienia dla = : GM = [db] LITERATURA. u B.C.: Autmatic Cntrl f Dynamic Systems, 7 th ed, Addisn-Wesley & Sns Inc., 995. Ostatnia aktualizaca: M. Tmera