MODELOWANIE OKRESÓW ZRÓśNICOWANIA ORAZ OKRESÓW STABILIZACJI W PROCESIE SPALANIA W SILNIKU SPALINOWYM

Transkrypt

1 InŜynera Rolncza 6/26 Jacek Wawrzosek Katedra Zastosowań Matematyk Akadema Rolncza w Lublne MODELOWANIE OKRESÓW ZRÓśNICOWANIA ORAZ OKRESÓW STABILIZACJI W PROCESIE SPALANIA W SILNIKU SPALINOWYM Streszczene Modelując stablzację pracy slnka spalnowego określono ponad dwadześca defncj stablzacj procesu stochastycznego. Ponadto rozwaŝono nektóre modele regresj nelnowej oraz zasygnalzowano problemy pojawające sę podczas testowana dla model lnearyzowanych, które pozwalają na opsane zjawska stablzacj. RozwaŜana teoretyczne zaprezentowano na przykładze regresj emsj CO w przy temperaturze -5 C dla zmnego rozruchu slnka GA16DE. Słowa kluczowe: zmny rozruch slnka, stablzacja, regresja nelnowa Stablzacja wydzelana zwązków toksycznych Wadomo, Ŝe emsja dwutlenku węgla CO 2, tlenku węgla CO, zwązków azotu NO x, węglowodorów HC, cząstek stałych PM, będąca skutkem motoryzacyjnego skaŝena ma ne bagatelne znaczene dla stanu równowag naszego środowska. Stablzacja parametrów pracy slnka spalnowego to powszechne obserwowany proces następujący po rozruchu początkowym okrese pracy slnka (por. np. stablzację wydzelana CO na rysunku 1). Początkowy okres pracy slnka jest zjawskem nekorzystnym z uwag na występującą podczas nego wysoką emsją nektórych substancj szkodlwych dla środowska naturalnego. Nska temperatura otoczena, mająca stotny wpływ na temperaturę slnka czynnków eksploatacyjnych sprzyja zwększenu pozomu emsj zaneczyszczeń. &(*

2 =TVX^ JTjembfX^ 35 CO[Nm ] 3 25 Tol -5 C Tol +5 C Tol +15 C Tol +25 C s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s Rys. 1. Fg. 1. Emsja CO w zaleŝnośc od temperatury zmnego rozruchu slnka GA16DE dla róŝnych przedzałów czasowych na początku trwana testu (źródło: Kuranc [23]) The emsson of CO dependng on the GA16DE cold start temperature for varous tme ntervals at the begnnng of the test (source: Kuranc [23]) Nabera to szczególnego znaczena borąc pod uwagę fakt, Ŝe tylko nespełna 3% rozruchów odbywa sę przy rozgrzanym slnku, natomast średna długość trasy przejazdu pojazdem wynos zwykle klka klometrów. Przecętny uŝytkownk samochodu osobowego uruchama swój samochód przynajmnej dwa razy dzenne, przejeŝdŝając przy tym klka klometrów. Często slnk układ wydechowy pracują w warunkach zbyt nskch temperatur, w których proces spalana konwersj spaln ne zachodzą efektywne. Po pewnym okrese od rozruchu slnka obserwujemy ustalene róŝncy mędzy temperaturą meszank palwowej temperaturą komory spalana na nowym pozome nŝ wyjścowy co prowadz do stablzacj dynamk wydzelana przez slnk spalnowy zwązków toksycznych równeŝ w nnym zakrese nŝ wyjścowy. Samo dochodzene do stablzacj procesów ceplnych zachodzących podczas spalana w slnku spalnowym pracującym w ruchu dynamcznym jest zwązana z nepowtarzalnym nestablnym ruchem drogowym. Ops dochodzena w czase do pewnej stablzacj w dynamce tych procesów przypomna prawa welkch lczb twerdzena granczne rachunku prawdopodobeństwa. Modelowane tego skomplkowanego zjawska wymaga badań eksperymentalnych przypomnających neco dynamczne testy drogowe np. europejsk NEDC. &(+

3 @bwx_bjta\x b^exfçj!!! Badana zjawska stablzacj emsj spaln wnny być przeprowadzone równeŝ wstępne w szczególnym stane pracy slnka jakm jest beg jałowy. Obserwowane parametry pracy slnka take jak emsja tlenku węgla CO, węglowodorów HC, zwązków azotu NO x, dwutlenku węgla CO 2, a takŝe sadzy zawartych w spalnach uzaleŝnone są ne tylko od dynamk ruchu, obcąŝena pojazdu chwl czasu, ale równeŝ od obranego obektu badań, czyl rodzaju slnka, zastosowanych palw, temperatury otoczena, cśnena wlgotnośc względnej powetrza oraz są następstwem zmnego bądź gorącego rozruchu slnka. Wstępne badana porównawcze oraz wykorzystane aparatury pomarowej wymaga przeprowadzena pomarów równeŝ w warunkach laboratoryjnych. Część stanowsk pomarowych daje sę przeprowadzć na zewnątrz pomeszczeń laboratoryjnych w celu wykorzystana naturalnych warunków otoczena, lecz część dopero przy wykorzystanu komory nskch temperatur. Wstępne czas trwana pomaru dobera sę tak, aby aparatura zarejestrowała, Ŝe slnk podczas pracy na begu jałowym, osągnął ustablzowany pozom emsj poszczególnych składnków spaln oraz ustablzowaną temperaturę pracy. Z uwag na welość parametrów pracy slnka, a w tym mnogość składnków emtowanych spaln końcowym efektem modelowana procesu stablzacj wnen być model welozmenny, lecz z uwag na wstępny etap modelowana naleŝy przeprowadzć analzę kaŝdego parametru oddzelne. Stąd dokonamy przeglądu róŝnych moŝlwych metod modelowana stablzacj. Dalej zakładamy, Ŝe wyprowadzony model odpowada pewnemu rodzajow slnka, pewnemu rodzajow zastosowanego palwa, ustalonej temperaturze otoczena, ustalonemu cśnenu pewnemu pozomow wlgotnośc względnej powetrza oraz są następstwem obranego zmnego bądź gorącego rozruchu slnka. Modelowane z wykorzystanem procesów stochastycznych Przystępując do modelowana zjawska stablzacj procesów zachodzących podczas spalana w slnku spalnowym na wstępe naleŝy wykluczyć wykorzystane stacjonarnych bądź ergodycznych procesów stochastycznych. Procesy te zazwyczaj modelują nformacje zaobserwowane w bardzo długm okrese czasu pomjają okres dochodzena układu do stablzacj [Lamnat Thomas 1975]. A właśne to zjawsko stablzacj po dość krótkm okrese czasu pracy slnka spalnowego jest obektem naszego zanteresowana. Obserwując wybrany parametr pracy slnka spalnowego opszemy go jako proces stochastyczny X(t), gdze t odpowada chwl czasu oraz t (; T). O stablzacj procesu stochastycznego mówmy, Ŝe zachodz ona od chwl T, gdze T <T. &(,

4 =TVX^ JTjembfX^ MoŜna podać róŝne defncje stablzacj procesu stochastycznego. Bazowane na tych defncjach wymaga jednak dość kosztownych powtarzanych eksperymentów. Np. dla cągłego procesu stochastycznego: a) Istneje taka chwla T, Ŝe dla kaŝdego t>t zeruje sę pochodna po czase: b) Dla kaŝdego ε> stneje taka chwla T, Ŝe dla kaŝdego t>t ogranczona jest przez ε wartość bezwzględna pochodnej po czase: realzacj x(t) procesu X(t) lub wartośc przecętnej EX(t) procesu lub funkcj korelacyjnej K X ( t,t + τ ) lub warancj vx ( t ) = K X ( t,t ) lub unormowanej funkcj korelacyjnej k X ( t, t + τ ). Np. dla procesu stochastycznego z czasem dyskretnym: a) Dla kaŝdego ε> stneje taka chwla T, Ŝe dla kaŝdego t 1,t 2 >T ogranczona jest przez ε wartość bezwzględna róŝnc odpowadających chwlom t 1 t 2 wartośc: realzacj x(t) procesu X(t) albo wartośc przecętnej EX(t) procesu b) Istneje take >, stneje taka chwla T, Ŝe dla kaŝdego t 1,t 2 >T ogranczona jest przez wartość bezwzględna róŝnc odpowadających chwlom t 1 t 2 wartośc: średnch ruchomych rzędu k 1 dla realzacj x(t) procesu albo średnch ruchomych rzędu k 1 dla wartośc przecętnej procesu Np. dla procesu stochastycznego z czasem dyskretnym lub cągłym: Istneje taka stała A, stneje take ε>, stneje taka chwla T, Ŝe dla kaŝdego t >T ogranczona jest przez ε wartość bezwzględna róŝnc stałej A oraz: realzacj x(t) procesu X(t) lub wartośc przecętnej EX(t) procesu lub warancj v X (t) lub funkcj korelacyjnej. Modelowane z wykorzystanem analzy regresj wymernej Analza regresj pozwala przeprowadzać wnoskowane statystyczne oparte juŝ o pojedynczą realzację procesu stochastycznego, co jest bardzo waŝne borąc pod uwagę koszty badań eksperymentalnych. Regresja wykorzystująca funkcje wymerne postac: y = f ( t ) + W ( t ) k ε = A t + Wk ( t ) + 1 ε dla t >, (1) gdze =1,...,n, zaś W k ( t ) oraz W k + 1( t ) są welomanam k-tego oraz k+1-tego stopna o współczynnkach przy najwyŝszej potędze równych jeden, opsuje stablzację parametru y procesu spalana na pozome asymptoty prawostronnej y=a. &)#

5 @bwx_bjta\x b^exfçj!!! W modelach tych wyelmnowano zbędne parametry funkcj wymernej, a ch wykresy przechodzą przez początek układu współrzędnych. Szczególne dla badań stanowskowych prowadzących do model monotoncznych posadających asymptoty pozome moŝna wykorzystać w analze regresj dla k= najprostszą funkcję homografczną znaną z lteratury równeŝ jako funkcję Törnqusty perwszego rodzaju At y = f ( t ) + ε dla t > gdze =1,...,n (2) ε = + t + B tym bardzej, Ŝe dla s=1,2, łatwo uzyskać jej kolejne odmany dostosowane do systemu SAS V8: s t y = f ( t ) + ε = + ε s dla t > gdze =1,...,n. (3) at + b ZauwaŜmy, Ŝe dla A,B> funkcja (2) (oraz podobne (3) dla a,b>) jest rosnąca a jej wykresem jest hperbola o asymptoce pozomej y=a (analogczna lna y=a -1 uzyskana za pomocą systemu SAS V8 pozostaje mało precyzyjna z uwag na zaokrąglena lczby a). Doskonale nadaje sę ona np. do modelowana emsj tlenku węgla CO (por. tab. 1 rys. 2). ZauwaŜmy, Ŝe dla k=1 regresja (1) z funkcją wymerną postac: t + B y = f ( t ) + ε = A t + ε t Ct D dla t 2 >, gdze =1,...,n, (4) + + pozwala modelować realzacje, które ne w całej dzedzne t pozostają funkcją monotonczną. Funkcja (4) jest rosnąca względem t dla A>, gdy C-2B> oraz gdy D 2 -BD(C-2B)<. Tabela 1. Estymatory parametrów współczynnk determnacj R 2 dla model (3) emsj CO przy temperaturze -5 C zmnego rozruchu slnka GA16DE wyznaczone SAS em Table 1. Estmators of the parameters and the coeffcent of determnaton R 2 for the models (3) of the emsson of CO for GA16DE engne cold start at the -5 C envronment temperature determned usng SAS welomany Regresja wymerna (3) stopna s-tego a b R 2 s=1,31,173,882 s=2,32,4979,964 s=3,32 115,8,957 s=4, ,1,923 &)$

6 =TVX^ JTjembfX^ ` y x^2/(ax^2+b) a*exp(b/(x^2+c)) Rys. 2. Fg. 2. Regresja emsj CO w przy temperaturze -5 C zmnego rozruchu slnka GA16DE w modelach (3) (6) wyznaczona Solverem The regresson of the emsson of CO gans wth use of the Solver for GA16DE engne cold start at the -5 C envronment temperature Inne modele regresj nelnowej RozwaŜmy modele nelnowe względem parametrów. System SAS V8 oferuje klka kolejnych model wykładnczych, które dla a,b,c> są zbeŝne do a gdy t (dla s=1,2, ): s f ( t ) = a exp( exp(b ct )) (5) s f ( t ) = a exp(b /( t c )) (6) + s f ( t ) = a /( 1 + exp(b ct )) (7) + lecz z uwag na swą prostotę obsług oraz szersze moŝlwośc konstruowana funkcj regresj wygodnejszym wydaje sę w tym przypadku dodatek Solver do EXCEL a (por. tabela 2), który nestety podobne jak system SAS ne zapewnają jednoznacznośc wynków. &)%

7 @bwx_bjta\x b^exfçj!!! Tabela 2. Estymatory parametrów współczynnk determnacj R 2 dla model (3) (6) emsj CO przy temperaturze -5 C zmnego rozruchu slnka GA16DE wyznaczone Solverem Table 2. Estmators of the parameters and the coeffcent of determnaton R 2 ganed wth use of the Solver for the models (3) and (6) of the emsson of CO for GA16DE engne cold start at the -5 C envronment temperature Zmenna nezaleŝna t Regresja wymerna (3) oraz wykładncza (6) w potędze stopna s-tego a b c R 2 s=2 dla (3),316,5,731 s=1 dla (6) 3212,5-45, ,6227,895 s=2 dla (6) 3162, , ,5,995 McCulloch Searle [21] oraz Mllken Johnson [22] prezentują mogąca meć tu zastosowane funkcję regresj f ( t ) = a + b exp( ct ) (8) której wykres ma asymptotę pozomą a, gdy t (dla c>) przecna ose układu współrzędnych w punktach (;a+b), (-ln(-a/b)/c;). Gdy a=-b funkcja (8) przechodz przez początek układu współrzędnych. Innym przykładem jest regresja segmentowa (segmented regresson) modelująca emsję w początkowym okrese czasu t za pomocą welomanu a późnej jako stałą. Przykładowo regresja segmentowa o faze parabolcznej y=a+bt+ct 2 gdy t<t oraz stała y=a gdy t>t. bazuje na trzech parametrach a,b,c, ma punkt przełamana T =-b/(2c) oraz plateau A=a-b 2 /(4c). Zastosowane regresj segmentowej o faze welomanu stopna trzecego do modelu emsj HC dla zmnego rozruchu slnka GA16DE prezentuje Wawrzosek [25]. 2a Kolejna funkcja y = arctg( b t ) π dla b> rośne od początku układu współrzędnych do asymptoty pozomej a>, gdy t. Jest ona dostępna w EXCELu. Do podobnego modelowana moŝna równeŝ uŝyć dystrybuanty F(t) nektórych zmennych losowych kładąc y=a F(b t+c) analogczne jak dla modelu probtowego. Testowane w modelach lnearyzowanych RozwaŜmy modele lnearyzowalne regresj nelnowej. Tzn., Ŝe o funkcj y =f(t ) zakładamy, Ŝe jest modelem regresj półlnowej (quas-lnear regreson [Magera 22] y =f(t ) =[f 1 (t ), f 2 (t ),, f p (t )][a 1,a 2,,a p ] (9) &)&

8 =TVX^ JTjembfX^ (podobne jak w regresj welokrotnej). Najprostszym przykładem takej funkcj jest nelnowy względem zmennych weloman stopna p w regresj grzbetowej (rdge regresson). Dla arbtralne obranej chwl d> wykorzystując tzw. sztuczną zmenną (dummy varable) V, której realzacja v przyjmuje tylko dwa pozomy v= dla t <d oraz v=1 dla t >d, przy załoŝenu, Ŝe f j (t )= dla t >d gdy j=1,,p uzyskujemy model lnowy: y =f(t ) =[f 1 (t ), f 2 (t ),, f p (t ), v][a 1,a 2,,a p, A] (1) Po oszacowanu na podstawe pobranej próby parametru grancznego A oraz a dla t > weryfkujemy zerową hpotezę w postac funkcj czasu t: H ( t ) : f ( t) = A przecwko hpoteze alternatywnej H 1 ( t ) : f ( t) A. Zazwyczaj hpoteza tego typu jest testowalna dla wszystkch punktów czasowych t, gdze =1,...,n, w których dokonano pomaru analzowanego parametru y [Wawrzosek 24]. Punkt T począwszy, od którego ne mamy podstaw do odrzucena funkcyjnej hpotezy zerowej, wyznacza obszar stablzacj parametru y. Z uwag na to, Ŝe najperw oszacowujemy parametry funkcj regresj a następne formułujemy hpotezę zerową a ne na odwrót, dla wszystkch punktów czasowych t, gdze =1,...,n, pozom stotnośc oraz moc testu F ulegne odpowednemu zmnejszenu [Tarasńska 23]. PonewaŜ rozwaŝane kontrasty dla róŝnych t, gdze =1,...,n, są ze sobą slne skorelowane, trudno jest wnoskować o łącznym pozome stotnośc testu F tych porównań. Trzeba, węc ostroŝne podchodz do wnosków dla wszystkch punktów z uzyskanego obszaru, najlepej borąc pod uwagę tylko najbardzej nteresujące badacza kontrasty. Mllken Johnson [22] prezentują testowane dla kontrastów uzyskanych dla funkcj regresj (8). Modelowane wykorzystujące krzywą logstyczną W analze regresj dla badań stanowskowych dostosowując klasyczną funkcję logstyczną mamy: 1 1 y = f1( t ) + e = 2A dla t β t ε > gdze =1,...,n. (1) 1+ e 2 ZauwaŜmy, Ŝe dla A,β> krzywa regresj jest funkcją rosnącą, której wykres przechodz przez początek układu współrzędnych równeŝ ma asymptotę pozomą y=a. Kładąc odpowedno dostosowaną funkcję łączącą y y + A * * = ln = f ( t ) + ε = βt + ε dla t > gdze =1,...,n (11) y + A &)'

9 @bwx_bjta\x b^exfçj!!! uzyskujemy regresję lnową o ogranczenu f * ( ) =. Postępując podobne jak powyŝej oszacowujemy na podstawe pobranej próby parametry A,β dla t>. W regresj logstycznej weryfkujemy hpotezę zerową w postac funkcj czasu t: H ( t ) : f 1 ( t ) = A (równowaŝną funkcyjnej hpoteze zerowej H * t ( t ) : e β = ) przecwko standardowej hpoteze alternatywnej. Podobne jak powyŝej, punkt T począwszy, od którego ne mamy podstaw do odrzucena funkcyjnej hpotezy zerowej, wyznacza obszar stablzacj parametru y. Budowane modele logstyczne zazwyczaj autorzy wywodzą z odpowadających m model logstycznych w postac równań róŝnczkowych nadającym zmenającym sę w czase badanym parametrom odpowedną nterpretację. Model Hejtjana, którego szczególnym przypadkam są model logstyczny model Gompertza, równeŝ posada asymptotę pozomą [Krzanowsk Marrot 1995]. Weryfkacja modelu wnosk Dokonując weryfkacj załoŝeń metody najmnejszych kwadratów dla uzyskanego modelu naleŝy zbadać własnośc odchyleń losowych, a węc ch losowy charakter, ch normalność brak skorelowana. Trafność doboru modelu ocenamy wykorzystując statystyk resztowe towarzyszące analze regresj welokrotnej. Ostateczne o wyborze pomędzy nelnowym modelem regresj y = f ( t + ε a modelem ) y = f 1 ( t ) + e decyduje wększy ze współczynnków determnacj R 2 [Borkowsk nn 23]. Końcowym efektem modelowana procesu stablzacj pracy slnka spalnowego wnen być model welozmenny. Bblografa Borkowsk B. Dudek H. Szczęsny W. 23. Ekonometra. Wybrane zagadnena, PWN, Warszawa. Kuranc A. 23. Wpływ warunków otoczena na toksyczność spaln tłokowego slnka spalnowego podczas rozruchu w początkowym okrese pracy. Autoreferat rozprawy doktorskej, AR w Lublne, Wydzał Technk Rolnczej, Katedra Pojazdów Slnków. Larmnat P., Thomas Y Automatque des systemes lneares l. Sgnaux et systèmes, Flammaron Scences, Pars. Krzanowsk W.J., Marrot F.H.C Multvarate Analyss. Part 2 Arnold, London. Magera R. 22. Modele metody statystyk matematycznej. Ofcyna Wydawncza GS, Wrocław. &)(

10 =TVX^ JTjembfX^ McCulloch C. E., Searle S. R. 2. Generalzed, Lnear, and Mxed Models. Wley New York. Mllken G. A. Johnson D. E. 22. Analyss of Messy Data vol. III: Analyss of covarance Chapman & Hall/CRC New York. PROC NLIN n SAS USERS GUIDE: Statstcs Verson 5 Edton pp SAS-STAT USERS GUIDE: Volume 2, GLM-VARCOMP Verson 6 4th Edton pp Tarasńska J. 23. A note on testng mean n populaton. Bometrcal Letters, Vol. 4, No. 1, Wawrzosek J., (24) Narzędza wspomagające poszukwane obszaru róŝnc stotnych statystyczne. Algorytmy, Metody Programy naukowe (monografa), PTI, Red. Grzegórsk nn, Lubln, Wawrzosek J. 25. Modellng of varablty and stablty phases of the combuston process n nternal combuston engnes. Problems of Agrcultural Engneerng n an Aspect of Sustanable Agrculture. Unversty of Agrculture n Lubln MODELLING OF VARIABILITY AND STABILITY PHASES OF THE COMBUSTION PROCESS IN INTERNAL COMBUSTION ENGINES Summary By modelng workng parameters of the nternal combuston engne more than twenty defntons of the stablzaton of the stochastc process are presented. Moreover, some other models of non-lnear regresson are consdered as well as some problems that appear whle testng for lnearzed models, whch make t possble to descrbe the stablzaton phenomenon. Theoretcal consderatons have been presented based on the regresson models of the emsson of CO for GA16DE engne cold start at the -5 C envronment temperature. Key words: engne cold start, stablzaton, non-lnear regresson &))