x v m 1 stopę zwrotu otrzymujemy równanie

Transkrypt

1 Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 4 Przepływy pienięŝne - 2 Wewnętrzna stopa zwrotu Definicja Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR-Internal Rate of Return) dla strumienia przepływów pienięŝnych P Pt, Pt, Pt 2,..., Pt w momentach t t t 2... t T, to efektywna roczna stopa procentowa i P taka, Ŝe liczona przy tej stopie wartość aktualna netto strumienia P jest równa, tzn. r i P jest rozwiązaniem równania: F P,r Pt n r t n (Gdy Pt, Pt,..., Pt, to przyjmujemy umownie i P. Gdy t n k n m, n,, 2,...,, przy ustalonym m (np. m 36, to wyznaczenie wewnętrznej stopy zwrotu sprowadza się do wyznaczenia dodatnich pierwiastków wielomianu stopnia k. Istotnie, podstawiając t n k n m, a kn P k n m, x v m m r do równania definiującego stopę zwrotu otrzymujemy równanie n a kn x k n. Gdy x jest rozwiązaniem tego równania, to i P jest wewnętrzną stopą x m zwrotu. PoniewaŜ wielomian moŝe mieć wiele róŝnych pierwiastków, wewnętrzna stopa zwrotu moŝe być określona niejednoznacznie. Przykłady iech: r - roczna stopa procentowa r F P,r - wartość aktualna netto (PV) strumienia P, przy stopie r 2

2 F P,r PP r P2 r 2 P3 r 3 2 PV r PV r Funkcja r F P,r dla P P;P;P2;P3 2;3;3; Funkcja r F P,r dla P P;P;P2;P3 2;9;8; r PV Funkcja r F P,r dla P P;P;P2;P3 2;;2; 3 4

3 -.2 PV Funkcja r F P,r dla..2 r.3.4. P P;P;P2;P3 2;43;;2 Pewną informację o maksymalnej liczbie dodatnich pierwiastków wielomianu daje następujące twierdzenie: Twierdzenie (Kartezjusza - Harriota) Liczba dodatnich pierwiastków (pierwiastek kkrotny liczymy k razy) wielomianu a k x k k nie jest większa od liczby zmian znaku w ciągu a, a,..., a K i róŝni się od niej o liczbę parzystą. K Zadanie Udowodnić powyŝsze twierdzenie. Wskazówka ajpierw udowodnić następujące lematy: ) Jeśli w ciągu b, b,..., b n mamy b b n, to liczba zmian znaku w tym ciągu jest nieparzysta; jeśli b b n, to liczba zmian znaku jest parzysta. 2) Jeśli wielomian Qx pomnoŝymy przez xc, gdzie c, to liczba zmian znaku w ciągu współczynników zmieni się o liczbę nieparzystą (liczba zmian znaku w ciągu współczynników wielomianu Qxxc róŝni się od liczby zmian znaku w ciągu współczynników wielomianu Qx o liczbę nieparzystą) następnie skorzystać z rozkładu wielomianu na czynniki liniowe oraz nierozkładalne stopnia 2. Wniosek 6

4 Jeśli dla mamy k k... k m k m... k a k, a k,..., a km, a km,..., a k, to wielomian Wx a kn x k n ma dokładnie n jeden pierwiastek dodatni. Dowód wniosku a mocy twierdzenia Kartezjusza - Harriota wielomian Wx ma nie więcej niŝ jeden pierwiastek dodatni. Pozostaje wykazać, Ŝe istnieje pierwiastek dodatni. Mamy Wx lim x x k lim x n a kn x k nk a k, zatem istnieje c takie,ŝe Wc. Ponadto, lim x Wx lim x x k n a kn x k k n, zatem istnieje d c takie,ŝe Wd. Z własności Darboux, istnieje x c, d, takie, Ŝe Wx. Wniosek Gdy w strumieniu przepływów P ostatni wydatek poprzedza pierwszy wpływ, tzn. Pt, Pt,..., Pt m, Pt m, Pt m,..., Pt, (albo odwrotnie), to wewnętrzna stopa zwrotu i P jest określona jednoznacznie. Dla dowolnej liczby rzeczywistej p oznaczając: mamy iech teraz: p maxp,, p maxp, p p p 7 8

5 P Pt, Pt,..., Pt - strumień wpływów (Cash Input Flows), P Pt, Pt,..., Pt - strumień wydatków (Cash Output Flows). Zatem P P P F P,iP F P,i P F P,i P i zachodzi równość: F P,i P Pt n i t n P Pt n i t n F P,i P P tj. wewnętrzna stopa zwrotu jest taką stopą, przy której suma zdyskontowanych wpływów jest równa sumie zdyskontowanych wydatków. Uwaga Dla strumienia P ciągłych płatności z intensywnością t pt, t, T, przy kapitale początkowym F P, wewnętrzna stopa zwrotu i P jest zdefiniowana jako rozwiązanie x i P równania P T ps x s ds Zadanie Wyznaczyć i P (np. metodą ewtona) przy stałej intensywności pt 3, T, P, tj. rozwiązać równanie 3 ip s ds Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu (Modified Internal Rate of Return), dla strumienia przepływów pienięŝnych P Pt, Pt, Pt 2,..., Pt w momentach t t, t, t 2,..., t ; przy zakładanych stopach: i f - dla wydatków, i r - dla wpływów, to efektywna roczna stopa procentowa m P taka, Ŝe: 9

6 Stąd Pt n i t n i r T r Pt n i t n m P T f m P Pt n i r t n Pt n i f t n T i r Uwaga. Gdy i r i f i P, to m P i P.