CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.) MIARY ASYMETRII

Transkrypt

1 [] CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.). iary połoŝeia - wykład 2 2. iary zieości (dyperji, rozprozeia) - wykład. iary ayetrii (kośości). iary kocetracji MIARY ASYMETRII Miary ayetrii charakteryzują rodzaj i topień odtęptwa od yetrii rozkładu badaej cechy. Miary ayetrii dzielą ię podobie jak poprzedie a iary klaycze i pozycyje.. iary klaycze (wpółczyik kośości (A lub A d ), wpółczyik ayetrii (A) ) oraz 2. iary pozycyje (wpółczyik kośości (A Q ) ). Najprotzą iarą ayetrii jet wkaźik kośości (W lub W Q ). Dla iar klayczych jet to róŝica poiędzy średią arytetyczą i odalą. W x M o Dla iar pozycyjych baday odległości obu kwartyli od ediay. Q ( QIII M e) ( M e QI) QI + QIII M e W 2

2 [2] JeŜeli rozkład badaej cechy jet yetryczy, to średia jet rówa odalej, a wkaźik kośości jet rówy zero. W x M 0 o Rozkłady badaych cech róŝią ię iędzy obą kierukie i iłą ayetrii. JeŜeli rozkład badaej cechy ie jet yetryczy, to ay do czyieia z ayetrią rozkładu. Mówiy o dwóch rodzajach (kierukach) ayetrii: lewo- i prawotroej. Dla iar klayczych będzie to: ayetria lewotroa gdy W x M o < 0 oraz ayetria prawotroa gdy W x M o > 0 Dla iar pozycyjych będzie to: ayetria lewotroa gdy W Q ( QIII M e) ( M e QI) < 0 oraz ayetria prawotroa gdy W ( Q M ) ( M Q ) > 0 III e e I Q. PoiŜze ryuki ilutrują rodzaje ayetrii i wzajee relacje poiędzy podtawowyi iarai połoŝeia.

3 [] Dla porówaia kieruku i iły ayetrii w dwóch lub więcej zbiorowościach toujey wpółczyiki kośości. x M o A dla iar klayczych QI + QIII 2 M e AQ 2Q dla iar pozycyjych Do klayczych iar ayetrii aleŝy rówieŝ wpółczyik ayetrii (A). Uwaga!!! Jet o pracochłoy w liczeiu. A gdzie: odchyleie tadardowe Liczik powyŝzego ułaka ( ) wyliczay odieie dla kaŝdego poobu pogrupowaia ateriału tatytyczego. I tak: ( x i x) i k ( x x) i k i i ( x& x) i i i - zereg zczegółowy - zereg rozdzielczy puktowy - zereg rozdzielczy przedziałowy

4 [] PRZYKŁAD (Przykład 7 z wykładu praca doowa) Płace (tawka godziowa) w firach A, B i C klaa Stawka [zł/godz.] liczba pracowików ( i ) i x 0i x i fira A fira B fira C raze średia wariacja,8,8,8 odchyleie tadardowe 2,9 2,9 2,9 odala 7 5,5 8,5 kwartyl I 5,5 5, 5,20 kwartyl II (ediaa) 7 6,8 7,2 kwartyl III 8,5 8,8 8,86 odchyleie ćwiartkowe,5,8,8 wkaźik kośości (kla.) 0,5 -,5 wkaźik kośości (pozyc.) 0 0, -0, wpółcz. kośości (kla.) 0 0,68-0,68 wpółcz. kośości (pozyc.) 0 0,09-0,09 wpółcz. ayetrii (A) 0 0,2-0,2 (liczik A, tj. ) 0 2, -2,

5 [5] PRZYKŁAD a (przykładowe obliczeia dla firy C) W W Q x M o Q + Q 7 8,5,5 I III e 2 M 5,2+ 8,86 2 7,2 0, A A Q x M o,5 0,68 2,9 QI + QIII 2 M e 0, 2Q 2,8 0,09 Obliczaie wpółczyika ayetrii (A) klaa Stawka [zł/godz.] środek klay i x 0i x i i obliczaie we wpółczyiku ayetrii (fira C) x& x x& i x i x & ( ) & ( ) i i x i x raze A 80/ 200 ( 2,9) 0,2

6 [6] 0,50 Struktura płac fira A fira B fira C 0,0 czętość 0,0 0,20 0,0 0, Stawka [zł/godz.]

7 [7] MIARY KONCENTRACJI Trzy dotychcza oówioe grupy iar (tj. iary połoŝeia, rozprozeia i ayetrii) w poób wyczerpujący opiują trukturę badaej zbiorowości. Uzupełieie tego opiu ą iary kocetracji. Itieje bowie ściły związek poiędzy kocetracją a rozprozeie: i iejze rozprozeie ty więkza kocetracja. I a odwrót. Zjawiko kocetracji oŝe być rozwaŝae jako ierówoiery podział ogólej uy wartości cechy poiędzy pozczególe jedotki badaej zbiorowości. Do ocey topia kocetracji toujey dwie etody.. Metoda uerycza wyzaczaie odpowiedich wkaźików liczbowych (wpółczyik kupieia iaczej kurtoza, wpółczyik kocetracji Loreza). 2. Metoda graficza wykreślaie i aaliza tzw. krzywej kocetracji Loreza.

8 [8] Wpółczyik kupieia (kurtoza) Kurtoza (K) aleŝy do klayczych iar kocetracji. Uwaga!!! Jet oa pracochłoa w liczeiu. K gdzie: odchyleie tadardowe Liczik powyŝzego ułaka ( ) wyliczay odieie dla kaŝdego poobu pogrupowaia ateriału tatytyczego. I tak: ( x i x) i k ( x x) i k i i ( x& x) i i i - zereg zczegółowy - zereg rozdzielczy puktowy - zereg rozdzielczy przedziałowy I więkza wartość kurtozy (K), ty więkza kocetracja (diagra wyŝzy i uklejzy). Zjawika połecze, gopodarcze, przyrodicze... ą ajczęściej opiywae tzw. rozkłade oraly (przykłady diagraów takiego rozkładu pokazao w wykładzie a troach i ). Kurtoza w rozkładzie oraly jet zawze rówa trzy (K). W praktyce policzoą kurtozę porówujey z kurtozą rozkładu oralego. I tak jeŝeli: K> - rozkład badaej cechy jet wyŝzy i uklejzy od rozkładu oralego K< - odwrotie; iŝzy i bardziej rozłoŝyty

9 [9] PRZYKŁAD 2 (dae z przykładu fira A; w dou policz dla pozotałych fir) klaa Płace (tawka godziowa) w firie A Stawka [zł/godz.] środek klay obliczaie w kurtozie (fira A) x& i x i x & ( ) i x 0i x i i x& i x x& i x i raze K 860/50 ( 2,9) 2,5 WNIOSEK K< - kocetracja wokół średiej tawki godziowej w firie A jet iejza iŝ w przypadku rozkładu oralego (diagra jet iŝzy i bardziej rozłoŝyty iŝ w rozkładzie oraly); rozprozeie jet więkze iŝ w rozkładzie oraly.

10 [0] Krzywa kocetracji Loreza Dae pogrupowae ą w zereg rozdzielczy przedziałowy. Krzywą kocetracji Loreza ryujey wykorzytując: kuulowaą czętość dla liczebości (w i k ) oraz kuulowaą czętość dla wartości cechy (z i k ); wartość cechy obliczay w kaŝdej klaie jako iloczy i z i (tak jak przy liczeiu średiej) Obie czętości wyraŝay w %. Kwadrat w który ryujey krzywą Loreza a powierzchię 00x Krzywą Loreza otrzyujey aoząc a powyŝzy wykreie dla kaŝdej klay pukt o wpółrzędych (w i k,z i k ). Natępie łączyy te pukty odcikai. Pukt (w k,z k ) łączyy dodatkowo z pukte (0, 0). I więkza jet powierzchia pola (a), ty więkza jet kocetracja w baday zjawiku.

11 [] Wpółczyik kocetracji Loreza Aby liczbowo wyrazić wielkość kocetracji wyliczay tzw. wpółczyik kocetracji Loreza (KL). Jet o rówy toukowi pola (a) do pola powierzchi połowy kwadratu (5000): KL a 5000 PoiewaŜ łatwiej jet policzyć pole (b), to pole (a) wyzaczay z róŝicy a5000-b. Pole (b) jet uą pól trapezów protokątych (dla pierwzej klay jet to trójkąt protokąty). Otateczy wzór a wpółczyik kocetracji Loreza (KL) a potać: KL KL ozacza ilą kocetrację KL 0 ozacza łabą kocetrację 5000 b b

12 [2] PRZYKŁAD (Miata i ludość w iatach ta a.2.992) Grupy iat wg liczby ludości (w ty.) Liczba iat Ludość w iatach (w ty.) x i i x i i poiŝej i więcej raze Średie iato x , ty. iezkańców. Grupy iat wg liczby ludości (w ty.) odetek iat (%) odetek ludości w iatach (%) x i w i z i poiŝej 5 0,, 5 0 2, 5, , 0, , 7, ,0, ,6 2,0 200 i więcej 2, 7,0 raze 00,0 00,0

13 [] Grupy iat wg liczby ludości (w ty.) kuuloway odetek iat (%) kuuloway odetek ludości w iatach (%) x i w i k z i k poiŝej 5 0,, 5 0 5, 8, ,7 9, ,0 6, ,0 5, ,6 6,0 200 i więcej 00,0 00,0 raze

14 [] Na zakończeie policzyy wpółczyik kocetracji Loreza. Grupy iat wg liczby ludości (w ty.) odetek iat (%) kuuloway odetek ludości w iatach (%) x i w i z i k obliczaie pola (b) ua pól trójkąta i trapezów w i ( z + z ) i k 2 i k rodzaj figury poiŝej 5 0,, 50,0 trójkąt 5 0 2, 8,5 2,5 trapez , 9,2 295,0 trapez , 6,7 55,6 trapez ,0 5,0 26, trapez ,6 6,0 8,2 trapez 200 i więcej 2, 00,0 95,6 trapez raze 00,0 52,0 Pole (b) wyoi 52,0. Wpółczyik kocetracji Loreza wyoi: b 52 KL 0, WNIOSEK: W grudiu 992 ludość Polki zaiezkująca iata iała tedecję do kocetrowaia ię w iatach o średiej wielkości 28, ty. iezkańców. Potwierdzają to: duŝa wartość wpółczyika kocetracji KL oraz wyraźy brzuch krzywej kocetracji Loreza.