Statystyka. Wykład 5. Magdalena Alama-Bućko. 26 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

Transkrypt

1 Statystyka Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 26 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

2 Uwaga Gdy współczynnik zmienności jest większy niż 70%, czyli V s = s x 100% > 70% (co świadczy o silnym zróżnicowaniu wartości danej cechy), nie należy stosować miar klasycznych, a pozycyjne. Zatem należy wybierać współczynniki oparte na miarach pozycyjnych, tzn. kwartyle, odchylenia kwartylowe, itp. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

3 Moment centralny s-tego rzędu m s - to średnia arytmetyczna s-tych potęg odchyleń wartości cechy od średniej. m s = 1 n (x i x) s. n Szereg rozdzielczy punktowy m s = 1 n i=1 k n i (x i x) s i=1 Szereg rozdzielczy przedziałowy m s = 1 k n i (ˆx i x) s n i=1 gdzie ˆx j jest środkiem j- tego przedziału, czyli (x j, x j+1 ]. zauważmy, że m 2 = s 2, czyli drugi moment=wariancja. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

4 Przykład 1 x = D Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

5 Przykład 1 obliczymy m 2 = s 2 = 1 n x = = 3 s = n (x i x) 2 i=1 x j n j n j x j x j x (x j x) 2 n j n j (x j x) m 2 = 1 n k j=1 n j (x j x) 2 = = = Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

6 Przykład 1 obliczymy m 3 = 1 n n i=1 (x i x) 3 i m 4 = 1 n n i=1 (x i x) 4 x j n j x j x (x j x) 3 n j ( ) poprz (x j x) 4 n j ( ) poprz] x = = 3 m 3 = 1 n m 4 = 1 n k j=1 k j=1 n j (x j x) 3 = = 0 n j (x j x) 4 = = Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

7 Przykład 2 x < D Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

8 Przykład 2 obliczymy m 2 = s 2 = 1 n x = = 3.38 s = n (x i x) 2 i=1 x j n j n j x j x j x (x j x) 2 n j (x j x) m 2 = 1 n k j=1 n j (x j x) 2 = = = 1.31 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

9 Przykład 2 obliczymy m 3 = 1 n n (x i x) 3 i m 4 = 1 n i=1 n (x i x) 4 i=1 x j n j x j x (x j x) 3 n j ( ) poprz (x j x) 4 n j ( ) poprz x = 3.38 m 3 = 1 k n j (x j x) 3 = 1 ( 9.19) = 0.71 n 13 m 4 = 1 n j=1 k j=1 n j (x j x) 4 = = 4.15 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

10 Przykład 3 x > D Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

11 Przykład 3 obliczymy m 2 = s 2 = 1 n x = = 2.62 s = n (x i x) 2 i=1 x j n j n j x j x j x (x j x) 2 n j (x j x) m 2 = 1 n k j=1 n j (x j x) 2 = = Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

12 Przykład 3 obliczymy m 3 = 1 n n (x i x) 3 i m 4 = 1 n i=1 n (x i x) 4 i=1 x j n j x j x (x j x) 3 n j ( ) poprz (x j x) 4 n j ( ) poprz , x = 2.62 m 3 = 1 k n j (x j x) 3 = = n 13 m 4 = 1 n j=1 k i=1 n j (x j x) 4 = = Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

13 Miary asymetrii Analiza struktury zbiorowości miary położenia ( miary średnie) miary zmienności (rozproszenia, dyspersji) miary asymetrii miary koncentracji. Miary asymetrii (współczynniki skośności) opisuja kształt struktury (tzn. opisuja kształt wykresu krzywej liczebności) określaja kierunek asymetrii (tzn. np. czy więcej obserwacji ma wartość większa czy też mniejsza niż wartość średnia, czy też rozłożone sa po równo) określaja siłę asymetrii. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

14 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

15 Wskaźnik skośności - wielkość służaca do określania kierunku asymetrii. klasyczny: pozycyjny: x D Q 3 Me (Me Q 1 ). Wskaźnik skośności jest miara bezwzględna bo jest wyrażony w jednostkach miary danej cechy (tzn. w kg, m, szt,...). Z tego powodu nie można go używać do porównywania asymetrii w zbiorowościach, w których wartość zmiennej jest wyrażona w różnych jednostkach miary. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

16 Rozkład symetryczny x = M = D Q 3 Me (Me Q 1 ) = 0 Me = Q 3+Q 1 2 w przedziałach (Q 1, Me) i (Me, Q 3 ) obserwacje sa tak samo rozproszone ( przedział tej samej długości) Asymetria lewostronna x < M < D (Q 3 Me) (Me Q 1 ) < 0 Me > Q 3+Q 1 2 w przedziale (Me, Q 3 ) obserwacje sa mniej rozproszone (krótszy przedział) niż w (Q 1, Me) Asymetria prawostronna x > M > D (Q 3 Me) (Me Q 1 ) > 0 Me < Q 3+Q 1 2 w przedziale (Q 1, Me) obserwacje sa mniej rozproszone (krótszy przedział) niż w (Me, Q 3 ) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

17 Przypadek 1 x j n j n sk x j n j n = 13 razem 39 x = = 3 D = 3 n = 13 zatem Me = x (7) = 3 x = D = Me zatem rozkład symetryczny. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

18 Przypadek 2 x j n j n sk x j n j n = 13 razem 44 x = = 3.4 D = 4 n = 13 zatem Me = x (7) = 4 x < D = Me zatem asymetria lewostronna Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

19 Przypadek 3 x j n j n sk x j n j n = 13 razem 34 x = = 2.6 D = 2 n = 13 zatem Me = x (7) = 2 x > D = Me zatem asymetria prawostronna Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

20 Przypadek 1 - podsumowanie x = 3 tyle samo powyżej i poniżej średniej dominanta (wartość najczęstsza) = średniej rozkład jest symetryczny, gdy tyle samo obserwacji po obu stronach średniej (i takie same liczebności) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

21 Przypadek 2 - podsumowanie x = 3.38 dominanta powyżej wartości średniej większość obserwacji przyjmuje wartości wyższe niż średnia rozkład ma asymetrię lewostronna, gdy ma wydłużone lewe ramię Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

22 Przypadek 3 - podsumowanie x = 2.62 dominanta poniżej wartości średniej większość obserwacji przyjmuje wartości niższe niż średnia rozkład ma asymetrię prawostronna, gdy ma wydłużone prawe ramię Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

23 Współczynniki asymetrii (skośności) Do określania siły, jak i kierunku asymetrii stosuje się tzw. współczynniki asymetrii. klasyczny współczynnik skośności W s klasyczny współczynnik asymetrii W A pozycyjny współczynnik asymetrii W p Własności Im większa wartość bezwzględna współczynnika skośności (asymetrii), tym silniejsza skośność (asymetria). wartość niemianowana (bez jednostek) - zatem można porównywać różne populacje z soba Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

24 Klasyczny współczynnik skośności W s = x D s nie istnieje, gdy dominanta nie istnieje W s = 0 to rozkład symetryczny (czyli x = D) W s > 0 to asymetria prawostronna (czyli x > D) W s < 0 to asymetria lewostronna (czyli x < D) przyjmuje się, że W s < 1, 1 > W s > 0 : Wartości cechy skupiaja się wokół wartości niższych niż średnia arytmetyczna. W s < 0 : Wartości cechy skupiaja się wokół wartości wyższych niż średnia arytmetyczna. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

25 Przy określaniu siły skośności można przyjać następujacy podział: bardzo słaba skośność rozkładu słaba skośność rozkładu umiarkowana skośność rozkładu silna skośność rozkładu > bardzo silna skośność rozkładu Interpretacja: Wartości cechy skupiaja się w stopniu (bardzo słabym/ słabym,...) wokół wartości wyższych (gdy )/niższych (gdy +) niż średnia arytmetyczna. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

26 Klasyczny współczynnik asymetrii W A = m 3 s 3, m 3 = 1 n n (x i x) 3 i=1 m 3 to tzw. trzeci moment centralny przyjmuje się, że W A < 2, 2 > W A = 0 to symetria (czyli liczebności sa równomiernie rozłożone po obu stronach średniej) W A > 0 to skośność prawostronna (dodatnia) (czyli wartości cechy grupuja się wokół wartości mniejszych niż średnia arytmetyczna) W A < 0 to skośność lewostronna (ujemna) (czyli wartości cechy grupuja się wokół wartości większych niż średnia arytmetyczna) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

27 Przy określaniu siły asymetrii można przyjać następujacy podział: bardzo słaba asymetria rozkładu słaba asymetria rozkładu umiarkowana asymetria rozkładu silna asymetria rozkładu > bardzo silna asymetria rozkładu Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

28 Pozycyjny współczynnik asymetrii W p = (Q 3 Me) (Me Q 1 ) (Q 3 Me) + (Me Q 1 ) = Q 3 + Q 1 2Me Q 3 Q 1 określa kierunek i siłę asymetrii jednostek między pierwszym i trzecim kwartylem, czyli w zawężonym obszarze zmienności badamy asymetrię 50% środkowych obserwacji W p < 1, 1 > interpretujemy tak, jak klasyczny współczynnik skośności W s W p > 0 to skośność prawostronna (dodatnia) (czyli wartości cechy sa bardziej skoncentrowane wokół wartości mniejszych niż mediana) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

29 Współczynniki asymetrii to miary niemianowane, dlatego można porównywać z soba skośności różnych rozkładów. Gdy dla danej cechy nie można wyliczyć dominanty, stosujemy współczynnik pozycyjny asymetrii W p albo klasyczny W A. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

30 Koncentracja Analiza struktury zbiorowości miary położenia ( miary średnie) miary zmienności (rozproszenia, dyspersji) miary asymetrii miary koncentracji (miara spłaszczenia). Miara koncentracji - miara skupienia obserwacji wokół średniej. Istnieje ścisły zwiazek pomiędzy koncentracja wartości cechy wokół średniej, a ich zróżnicowaniem. Im większe jest zróżnicowanie, tym mniejsza jest koncentracja. rozsadne jest badanie koncentracji dla rozkładów symetrycznych (bo badamy poziom skupienia obserwacji wokół wartości średniej) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

31 Kurtoza: K = m 4 s 4, gdzie m 4 = 1 n n (x i x) 4. Im wyższa wartość K, tym bardziej wysmukła krzywa liczebności, więc większa koncentracja wartości cechy wokół średniej. Małe wartości K wskazuja natomiast na spłaszczenie rozkładu zbiorowości względem badanej cechy. i=1 Jeśli zbiorowość ma rozkład normalny, to K = 3. K < 3- rozkład bardziej spłaszczony od normalnego K > 3 - rozkład bardziej wysmukły od normalnego Zatem uzasadnione jest stosowanie zmodyfikowanej miary ( tzw. eksces) K = m 4 s 4 3. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

32 kolor czerwony : K = 0 rozkład normalny kolor zielony : K > 0 rozkład bardziej wysmukły od normalnego kolor granatowy : K < 0 rozkład bardziej spłaszczony od normalnego Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

33 Gdy rozkład jest bardziej wysmukły niż rozkład normalny (K > 0), to mamy do czynienia z większa koncentracja (mniejszym zróżnicowaniem) wartości danej cechy wokół wartości średniej. Zatem w przedziale typowym (x s, x + s) znajdować będzie się więcej niż 68% obserwacji, a poza nim - mniej niż 32% obserwacji. Gdy rozkład jest bardziej spłaszczony niż rozkład normalny, (K < 0), to mamy do czynienia z mniejsza koncentracja (większym zróżnicowaniem) wartości danej cechy wokół wartości średniej. Zatem w przedziale typowym (x s, x + s) znajdować będzie się mniej niż 68% obserwacji, a poza nim - więcej niż 32% obserwacji. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

34 Przykład 1 W A = m 3 s 3 = 0 zatem rozkład symetryczny K = m 4 3 = = 0.48 < 0 zatem rozkład bardziej s spłaszczony od normalnego Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

35 Przykład 2 W A = m 3 s 3 = = 0.47 < 0 zatem asymetria lewostronna Nie jest to rozkład symetryczny, więc ma uzasadnienia merytorycznego żeby go wyznaczyć. Ale jeśli go wyliczymy, to: K = m 4 3 = = < 0. s Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

36 Przykład 3 W A = m 3 s 3 = = > 0, - asymetria prawostronna Nie jest to rozkład symetryczny, więc ma uzasadnienia merytorycznego żeby go wyznaczyć. Ale jeśli go wyliczymy, to: K = m 4 3 = = < 0. s Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

37 Przykład 4 Rozważmy jeszcze jeden histogram. W A = m 3 s 3 = = 0 - rozkład symetryczny K = m 4 s 4 3 = = > 0 zatem rozkład bardziej wysmukły od normalnego. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

38 Obliczenia do przykładu 4. Legenda: xi - wartość cechy (1kolumna); ni - jej liczebność (2 kol.); 3 kolumna - służy do obliczenia średniej; 4 kol.- pomocniczo do obliczenia m 3 i m 4 ; 5 i 6 kol. - do obliczenia wariancji (czyli m 2 ), 7 i 8 - do obliczenia m 3, a 9 i 10 - do obliczenia m 4 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

39 Zadanie: Dla następujacych szeregów punktowych: x j Dane 1 Dane 2 n j n j Sporzadzić histogramy Wyznaczyć średnia arytmetyczna oraz wszystkie miary asymetrii i koncentracji. ( potrzebne również m 2, m 3, m 4.) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

40 Dziękuję za uwagę! Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40