Zawartość. Zawartość

Transkrypt

1 Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer

2 Zawartość Zawartość 1. Tworzenie szeregu rozdzielczego przedziałowego (klasowego) Podstawowy opis struktury Opis rozkładu jednej cechy szereg szczegółowy Opis rozkładu jednej cechy szereg punktowy z częstościami bezwzględnymi Opis rozkładu jednej cechy szereg punktowy z częstościami względnymi Opis rozkładu cechy szereg przedziałowy z częstościami bezwzględnymi Opis rozkładu jednej cechy szereg przedziałowy z częstościami względnymi Opis zjawisk dynamicznych Opis rozkładu dwóch cech Funkcje statystyczne w MS Excel i OpenOffice Calc Rozkład normalny Dystrybuanta rozkładu normalnego dr inż. Grzegorz Biesok 2 gbiesok@ath.eu

3 1. Tworzenie szeregu rozdzielczego przedziałowego (klasowego) 1. Tworzenie szeregu rozdzielczego przedziałowego (klasowego) Tab. 1 Tworzenie szeregu klasowego Obszar zmienności 1 R R=x x Liczba przedziałów (klas ( klas) 2 k k Szerokość przedziału (klasy ( klasy) liczebność zbiorowości xmax, xmin największa i najmniejsza wartość cechy 3 h h= R k 2. Podstawowy opis struktury Tab. 2 Podstawowa analiza struktury Wskaźniki struktury (częstości względne) 1 wi w = n ( 100%) Wskaźnik podobieństwa struktur 2 wp w = min(w ;w ) ni liczebność zbiorowości częstość bezwzględna dla danej wartości cechy (w1 ; w2)i wskaźniki porównywanych struktur dla i-tej wartości cechy 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 3 gbiesok@ath.eu

4 3. Opis rozkładu jednej cechy szereg szczegółowy 3. Opis rozkładu jednej cechy szereg szczegółowy xi liczebność zbiorowości i-ta wartość cechy w szeregu xmax, xmin największa i najmniejsza wartość cechy Tab. 3 Momenty z próby k-ty moment zwykły 1 mk m = x k-ty moment centralny 2 µk μ = (x x) 1 Tab. 4 xśr x Miary tendencji centralnej Średnia (arytmetyczna ( arytmetyczna) x=m = x Dominanta 2 Do Wartość cechy występująca najczęściej 3 Me Q2 Mediana Wartość środkowa (gdy nieparzyste) lub średnia wartości środkowych ( parzyste) Tab. 5 Kwartyle Pierwszy kwartyl 1 Q1 Mediana dla pierwszej połowy zbiorowości Trzeci kwartyl 2 Q3 Mediana dla drugiej połowy zbiorowości Tab. 6 Miary zróżnicowania Obszar zmienności 1 R R=x x Odchylenie przeciętne 2 d d= x x Wariancja (z populacji) 3 s 2 s =μ = (x x) Wariancja skorygowana (z próby) 4 ŝ 2 s = (x x) dr inż. Grzegorz Biesok 4 gbiesok@ath.eu

5 3. Opis rozkładu jednej cechy szereg szczegółowy Tab. 6 Miary zróżnicowania Odchylenie standardowe (z populacji) 5 s s= s = (x x) Odchylenie standardowe skorygowane (z próby) 6 ŝ s = s = (x x) 1 Jednostka typowa 7 xtyp x =x±s Odchylenie ćwiartkowe 8 Q Q= Q Q 2 Tab. 7 Współczynniki zmienności Oparty na odch. przeciętnym 1 Vd V = d Oparty na odch. standardowym 2 Vs V = s Oparty na odch. ćwiartkowym 3 VQ V = Q Me ( 100%) Tab. 8 Miary asymetrii i koncentracji Współczynnik asymetrii (skośności) prosty 1 As A = x Do s Współczynnik asymetrii (skośności) dokładny 2 As A = μ s = (x x) s Współczynnik asymetrii pozycyjny 3 AQ A = Q +Q 2Me Q Q Kurtoza 4 K K= μ s 3= (x x) s dr inż. Grzegorz Biesok 5 gbiesok@ath.eu

6 4. Opis rozkładu jednej cechy szereg punktowy z częstościami bezwzględnymi 4. Opis rozkładu jednej cechy szereg punktowy z częstościami bezwzględnymi xi ni liczebność zbiorowości i-ta wartość cechy w szeregu częstość bezwzględna i-tej wartości cechy xmax, xmin największa i najmniejsza wartość cechy Tab. 9 Momenty z próby k-ty moment zwykły 1 mk m = x n k-ty moment centralny 2 µk μ = (x x) n 1 Tab. 10 xśr x Miary tendencji centralnej Średnia (arytmetyczna ( arytmetyczna) x=m = x n Dominanta 2 Do Wartość cechy występująca najczęściej 3 Me Q2 Mediana Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana jest równa lub większa niż numer mediany, równy: rme = / 2 zaokrąglony w górę do pełnych jednostek Tab Q1 2 Q3 Kwartyle Pierwszy kwartyl Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana jest równa lub większa niż numer kwartyla, równy: rq1 = / 4 zaokrąglony w górę do pełnych jednostek Trzeci kwartyl Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana jest równa lub większa niż numer kwartyla, równy: rq3 = 3 / 4 zaokrąglony w górę do pełnych jednostek Tab. 12 Miary zróżnicowania Obszar zmienności 1 R R=x x Odchylenie przeciętne 2 d d= x x n 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 6 gbiesok@ath.eu

7 4. Opis rozkładu jednej cechy szereg punktowy z częstościami bezwzględnymi Tab. 12 Miary zróżnicowania Wariancja 3 s 2 s =μ = (x x) n Odchylenie standardowe 4 s s= s = (x x) n Jednostka typowa 5 xtyp x =x±s Odchylenie ćwiartkowe 6 Q Q= Q Q 2 Tab. 13 Współczynniki zmienności Oparty na odch. przeciętnym 1 Vd V = d Oparty na odch. standardowym 2 Vs V = s Oparty na odch. ćwiartkowym 3 VQ V = Q Me ( 100%) Tab. 14 Miary asymetrii i koncentracji Współczynnik asymetrii (skośności) prosty 1 As A = x Do s Współczynnik asymetrii (skośności) dokładny 2 As A = μ s = (x x) n s Współczynnik asymetrii pozycyjny 3 AQ A = Q +Q 2Me Q Q Kurtoza 4 K K= μ x) n s 3= (x s dr inż. Grzegorz Biesok 7 gbiesok@ath.eu

8 5. Opis rozkładu jednej cechy szereg punktowy z częstościami względnymi 5. Opis rozkładu jednej cechy szereg punktowy z częstościami względnymi xi wi liczebność zbiorowości i-ta wartość cechy w szeregu częstość względna i-tej wartości cechy xmax, xmin największa i najmniejsza wartość cechy Tab. 15 Momenty z próby k-ty moment zwykły 1 mk m = x w k-ty moment centralny 2 µk μ = (x x) w 1 Tab. 16 xśr x Miary tendencji centralnej Średnia (arytmetyczna ( arytmetyczna) x=m = x w Dominanta 2 Do Wartość cechy występująca najczęściej 3 Me Q2 Mediana Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana jest równa lub większa niż 0,50 lub 50%. Tab Q1 2 Q3 Kwartyle Pierwszy kwartyl Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana jest równa lub większa niż 0,25 lub 25% Trzeci kwartyl Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana jest równa lub większa niż 0,75 lub 75% Tab. 18 Miary zróżnicowania Obszar zmienności 1 R R=x x Odchylenie przeciętne 2 d d= x x w Wariancja 3 s 2 s =μ = (x x) w 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 8 gbiesok@ath.eu

9 5. Opis rozkładu jednej cechy szereg punktowy z częstościami względnymi Tab. 18 Miary zróżnicowania Odchylenie standardowe 4 s s= s = (x x) w Jednostka typowa 5 xtyp x =x±s Odchylenie ćwiartkowe 5 Q Q= Q Q 2 Tab. 19 Współczynniki zmienności Oparty na odch. przeciętnym 1 Vd V = d Oparty na odch. standardowym 2 Vs V = s Oparty na odch. ćwiartkowym 3 VQ V = Q Me ( 100%) Tab. 20 Miary asymetrii i koncentracji Współczynnik asymetrii (skośności) prosty 1 As A = x Do s Współczynnik asymetrii (skośności) dokładny 2 As A = μ s = (x x) w s Współczynnik asymetrii pozycyjny 3 AQ A = Q +Q 2Me Q Q Kurtoza 4 K K= μ x) w s 3= (x s dr inż. Grzegorz Biesok 9 gbiesok@ath.eu

10 6. Opis rozkładu cechy szereg przedziałowy z częstościami bezwzględnymi 6. Opis rozkładu cechy szereg przedziałowy z częstościami bezwzględnymi ni liczebność zbiorowości środek i-tego przedziału (klasy) częstość bezwzględna i-tego przedziału xmax, xmin największa i najmniejsza wartość cechy xd, xm, xq1, xq3 początek przedziału dominanty, mediany, kwartyla 1, kwartyla 3 hd, hm, hq1, hq3 szerokość (rozpiętość) przedziału dominanty, mediany, kwartyla 1, kwartyla 3 nd, nm, nq1, nq3 częstość bezwzględna przedziału dominanty, mediany, kwartyla 1, kwartyla 3 nd-1 nd+1 częstość bezwzględna przedziału poprzedzającego przedział dominanty częstość bezwzględna przedziału następującego po przedziale dominanty nskm-1, nskq1-1, nskq3-1 częstość bezwzględna skumulowana przedziału poprzedzającego przedział mediany, kwartyla 1, kwartyla 3 Tab. 21 Momenty z próby k-ty moment zwykły 1 mk m = x n k-ty moment centralny 2 µk μ = (x x) n 1 Tab. 22 xśr x Miary tendencji centralnej Średnia (arytmetyczna ( arytmetyczna) x=m = x n Dominanta (n 2 Do n )h Do=x + (n n )+(n n ) 3 Me Q2 Tab Q1 2 Q3 Mediana ależy znaleźć numer mediany rme rme = / 2, 2 a następnie Me=x + h n (r n ) Kwartyle Pierwszy kwartyl ależy znaleźć numer kwartyla rq1 rq1 = / 4, a następnie Q1=x + h n r n Trzeci kwartyl ależy znaleźć numer kwartyla rq3 rq3 = 3 / 4, a następnie Q3=x + h n r n Tab. 24 Miary zróżnicowania Obszar zmienności 1 R R=x x 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 10 gbiesok@ath.eu

11 6. Opis rozkładu cechy szereg przedziałowy z częstościami bezwzględnymi Tab. 24 Miary zróżnicowania Odchylenie przeciętne 2 d d= x x n Wariancja 3 s 2 s =μ = (x x) n Odchylenie standardowe 4 s s= s = (x x) n Jednostka typowa 5 xtyp x =x±s Odchylenie ćwiartkowe 6 Q Q= Q Q 2 Tab. 25 Współczynniki zmienności Oparty na odch. przeciętnym 1 Vd V = d Oparty na odch. standardowym 2 Vs V = s Oparty na odch. ćwiartkowym 3 VQ V = Q Me ( 100%) Tab. 26 Miary asymetrii i koncentracji Współczynnik asymetrii (skośności) prosty 1 As A = x Do s Współczynnik asymetrii (skośności) dokładny 2 As A = μ s = (x x) n s Współczynnik asymetrii pozycyjny 3 AQ A = Q +Q 2Me Q Q Kurtoza 4 K K= μ x) n s 3= (x s dr inż. Grzegorz Biesok 11 gbiesok@ath.eu

12 7. Opis rozkładu jednej cechy szereg przedziałowy z częstościami względnymi 7. Opis rozkładu jednej cechy szereg przedziałowy z częstościami względnymi wi liczebność zbiorowości środek i-tego przedziału (klasy) częstość względna i-tego przedziału xmax, xmin największa i najmniejsza wartość cechy xd, xm, xq1, xq3 początek przedziału dominanty, mediany, kwartyla 1, kwartyla 3 hd, hm, hq1, hq3 szerokość (rozpiętość) przedziału dominanty, mediany, kwartyla 1, kwartyla 3 wd, wm, wq1, wq3 częstość względna przedziału dominanty, mediany, kwartyla 1, kwartyla 3 wd-1 częstość względna przedziału poprzedzającego przedział dominanty wd+1 częstość względna przedziału następującego po przedziale dominanty wskm-1, wskq1-1, wskq3-1 częstość względna skumulowana przedziału poprzedzającego przedział mediany, kwartyla 1, kwartyla 3 Tab. 27 Momenty z próby k-ty moment zwykły 1 mk m = x w k-ty moment centralny 2 µk μ = (x x) w 1 Tab. 28 xśr x Miary tendencji centralnej Średnia (arytmetyczna) x=m = x w Dominanta (w 2 Do w )h Do=x + (w w )+(w w ) 3 Me Q2 Tab Q1 Mediana rme = 0,5 lub rme = 50% Me=x + h w (r w ) Kwartyle Pierwszy kwartyl rq1 = 0,25 lub rq1 = 25% Q1=x + h w r w Trzeci kwartyl rq3 = 0,75 lub rq3 = 75% 2 Q3 Q3=x + h w r w 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 12 gbiesok@ath.eu

13 7. Opis rozkładu jednej cechy szereg przedziałowy z częstościami względnymi Tab. 30 Miary zróżnicowania Obszar zmienności 1 R R=x x Odchylenie przeciętne 2 d d= x x w Wariancja 3 s 2 s =μ = (x x) w Odchylenie standardowe 4 s s= s = (x x) w Jednostka typowa 5 xtyp x =x±s Odchylenie ćwiartkowe 6 Q Q= Q Q 2 Tab. 31 Współczynniki zmienności Oparty na odch. przeciętnym 1 Vd V = d Oparty na odch. standardowym 2 Vs V = s Oparty na odch. ćwiartkowym 3 VQ V = Q Me ( 100%) Tab. 32 Miary asymetrii i koncentracji Współczynnik asymetrii (skośności) prosty 2 As A = x Do s Współczynnik asymetrii (skośności) dokładny 3 As A = μ s = (x x) w s Współczynnik asymetrii pozycyjny 4 AQ A = Q +Q 2Me Q Q Kurtoza 5 K K= μ x) w s 3= (x s dr inż. Grzegorz Biesok 13 gbiesok@ath.eu

14 8. Opis zjawisk dynamicznych 8. Opis zjawisk dynamicznych yt t t-1 t0 wartość zjawiska w czasie t okres analizowany okres bezpośrednio poprzedzający okres bazowy q0i p0i q1i p1i ilość i-tego składnika agregatu w okresie wcześniejszym cena jednostkowa i-tego składnika agregatu w okresie wcześniejszym ilość i-tego składnika agregatu w okresie późniejszym cena jednostkowa i-tego składnika agregatu w okresie późniejszym Tab. 33 Miary indywidualne Przyrosty bezwzględne łańcuchowe 1 yt/t-1 y / =y y Przyrosty bezwzględne jednopodstawowe 2 yt/t0 y / =y y Przyrosty względne łańcuchowe 3 dyt/t-1 dy / = y y y Przyrosty względne jednopodstawowe 4 dyt/t0 dy / = y y y Indeksy indywidualne łańcuchowe 5 iyt/t-1 iy / = y y Indeksy indywidualne jednopodstawowe 6 iyt/t0 iy / = y y Średniookresowe tempo zmian 7 iśry i y= i i i i (średnia geometryczna indeksów) Tab. 34 Miary agregatowe Wartość agregatu 1 W W= q p Agregatowy indeks wartości 2 IW I = q p q p Tab. 35 Formuły Laspeyresa Agregatowy indeks ilości 1 Iq L I = q p q p Agregatowy indeks cen 2 Ip L I = q p q p 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 14 gbiesok@ath.eu

15 8. Opis zjawisk dynamicznych Tab. 36 Formuły Paaschego Agregatowy indeks ilości 1 Iq P I = q p q p Agregatowy indeks cen 2 Ip P I = q p q p Tab. 37 Formuły Fishera Agregatowy indeks ilości 1 Iq F I = I I Agregatowy indeks cen 2 Ip F I = I I Tab. 38 Tendencja rozwojowa (trend) Współczynnik trendu liniowego 1 a1 a = t y t y n t ( t ) n Przecięcie (wyraz wolny) ti yi n i-ty okres czasu wartość zjawiska w i-tym okresie czasu ilość obserwacji 2 a0 a =y a t 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 15 gbiesok@ath.eu

16 9. Opis rozkładu dwóch cech 9. Opis rozkładu dwóch cech xi yi wartość cechy X u i-tej jednostki wartość cechy Y u i-tej jednostki Tab. 39 Stosunek dwóch cech Wskaźniki natężenia 1 wn w = x y xi yi di n ŷi i-ta wartość cechy X i-ta wartość cechy Y i-ta różnica rang cech X i Y ilość obserwacji i-ta wartość cechy y obliczona z funkcji regresji (wartość teoretyczna) Tablica korelacyjna do obliczeń φ Cecha Y wartość 1 Cecha Y wartość 2 Suma Cecha X wartość 1 Cecha X wartość 2 Suma a b e=a+b c d f=c+d g=a+c h=b+d a, b, c, d częstości bezwzględne wystąpienia danej kombinacji wartości cech Tab r r= Miary zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona (x x)(y y) (x x) (y y) Współczynnik korelacji rang Spearmana 2 rs r =1 6 d n(n 1) Współczynnik asocjacji 3 φ φ= ad bc 1 Tab. 41 efgh Regresja liniowa Równanie funkcji regresji y=a +a x+ε lub y =a +a x Współczynnik regresji liniowej 2 a1 a = (x x)(y y) (x x) Przecięcie (wyraz wolny) 3 a0 a =y a x Tab. 42 Dopasowanie funkcji regresji Współczynnik determinacji 1 r 2 r =(r) Odchylenie standardowe składnika resztowego 2 se s = (y y) n dr inż. Grzegorz Biesok 16 gbiesok@ath.eu

17 10. Funkcje statystyczne w MS Excel i OpenOffice Calc 10. Funkcje statystyczne w MS Excel i OpenOffice Calc Zliczanie proste Zliczanie proste Zliczanie rozdzielcze Zliczanie warunkowe Średnia Dominanta Mediana Kwartyle Percentyle Minimum Maksimum Odchylenie przeciętne Wariancja Odchylenie standardowe Współczynnik asymetrii Kurtoza Średnia geometryczna Współczynnik trendu liniowego Współczynniki regresji liniowej Współczynnik korelacji liniowej Pearsona Wartość dystrybuanty rozkładu normalnego standardowego Funkcja ILE.LICZB(zakres) Zlicza komórki zawierające liczby ILE.IEPUSTYCH(zakres) Zlicza niepuste komórki CZESTOŚĆ(zakres; tablica_przedziałów) Kwalifikuje dane z zakresu do przedziałów i zlicza częstość każdego z nich LICZ.JEŻELI (zakres; kryterium) Zlicza komórki w zakresie, które spełniają określone kryterium. ŚREDIA(zakres) WYST.AJCZĘŚCIEJ(zakres) Znajduje wartość najczęściej występująca, w przypadku kilku wartości, występujących równie często, zgłasza błąd. MEDIAA(zakres) KWARTYL(zakres; nr_kwartyla) W MS Excel argumenty noszą nazwę (tablica; kwartyl). W OpenOffice Calc nazywają się one (dane; typ). PERCETYL(zakres; k) Oblicza k-ty percentyl z zakresu, k to liczba z przedziału 0 1, a więc dla 37 percentyla k=0,37. W OpenOffice Calc argument k nosi nazwę alfa. MI(zakres) MAX(zakres) ODCH.ŚREDIE(zakres) WARIACJA(zakres) Oblicza wariancję (z próby) wg wzoru skorygowanego (n-1). WARIACJA.POPUL(zakres) Oblicza wariancję (z populacji) wg zwykłego wzoru (n). ODCH.STADARDOWE(zakres) Oblicza odchylenie (z próby) wg wzoru skorygowanego. ODCH.STADARD.POPUL(zakres) Oblicza odchylenie (z populacji) wg zwykłego wzoru. SKOŚOŚĆ(zakres) KURTOZA(zakres) ŚREDIA.GEOMETRYCZA(zakres) REGLIP(zakres_Y;zakres_T) REGLIP(zakres_Y;zakres_X) Dla regresji liniowej, należy stosować formułę tablicowo, w dwóch komórkach obok siebie. W pierwszej komórce obliczany jest współczynnik a1, w drugiej a0. WSP.KORELACJI(zakres_Y;zakres_X) ROZKŁAD.ORMALY.S(Z) Objaśnienia Oba arkusze proponują podobne zestawy funkcji statystycznych. Brak uwag w tabeli oznacza, że nazwy funkcji, ich składnie i argumenty są w obu programach identyczne. Postać danych Dane niezbędne do obliczeń mają postać relacyjną kolumny tabeli odpowiadają cechom, a wiersze poszczególnym jednostkom statystycznym. Zakres Zakres oznacza odwołanie do komórek zawierających dane (A2:A6). Zamiast zakresu można wprowadzić listę danych oddzielonych średnikami. Przykłady Średni wiek =ŚREDIA(B2:B6) wynik: 34,4 Odch. standardowe wieku = ODCH.STADARD.POPUL(B2:B6) wynik: 11,9 Współczynnik korelacji miedzy wiekiem a dochodami =WSP.KORELACJI(B2:B6;C2:C6) wynik: 0, dr inż. Grzegorz Biesok 17 gbiesok@ath.eu

18 11. Rozkład normalny 11. Rozkład normalny Funkcja gęstości rozkładu normalnego Parametry rozkładu (m, σ) m σ średnia (jednocześnie maksimum funkcji) odchylenie standardowe zmiennej Funkcja gęstości rozkładu normalnego dana jest wzorem: Właściwość funkcji gęstości f(x)= 1 e ( ) σ 2π Prawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny z parametrami m i σ, przyjmie wartości z przedziału [A ; B], jest równe polu powierzchni (całce oznaczonej) pod wykresem funkcji gęstości pomiędzy punktami A i B. P(X A;B )= f(x)dx σ f(x) Prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartość z przedziału [A;B] jest równe polu pod wykresem funkcji gęstości w tym przedziale A m B Rozkład normalny standardowy Rozkład normalny standardowy to rozkład normalny z parametrami m = 0 i σ = 1. Jeżeli zmienna ma rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym σ, to prawdopodobieństwo, że przyjmie ona wartość z przedziału [A ; B], jest równe prawdopodobieństwu, że zmienna standardowa Z przyjmie wartości z przedziału [A ; B ]: A = A m σ ; B = B m σ Ten zabieg matematyczny nazywa się standaryzacją zmiennej dr inż. Grzegorz Biesok 18 gbiesok@ath.eu

19 12. Dystrybuanta rozkładu normalnego 12. Dystrybuanta rozkładu normalnego Tablica zawiera wartości F(z) dystrybuanty rozkładu normalnego, standardowego z parametrami m=0 (średnia) i σ=1 (odchylenie standardowe). Wartość dystrybuanty w punkcie z to pole pod krzywą gęstości rozkładu normalnego w przedziale od - do z. F(z) pole pod krzywą (0;1) od - do z Prawdopodobieństwo, że Z należy do przedziału [A; B]: P(Z A;B )=F(B) F(A) Wartości F dla ujemnych z: z F( z)=1 F(z) z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,3 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0, dr inż. Grzegorz Biesok 19 gbiesok@ath.eu