Po co nam charakterystyki liczbowe? Katarzyna Lubnauer 34

Transkrypt

1 Po co nam charakterystyki liczbowe? Katarzyna Lubnauer 34

2 Def. Charakterystyki liczbowe to wielkości wyznaczone na podstawie danych statystycznych, charakteryzujące własności badanej cechy. Klasyfikacja charakterystyk: charakterystyki położenia (np. średnia, mediana, dominanta), charakterystyki rozproszenia (np. wariancja, odchylenie standardowe, odstęp międzykwartylowy, współczynnik zmienności), charakterystyki asymetrii (np. współczynnik asymetrii, wskaźnik asymetrii), charakterystyki spłaszczenia (np. kurtoza). Katarzyna Lubnauer 35

3 Charakterystyki mogą być: klasyczne (wyznaczone przez wszystkie wartości danych statystycznych, np. średnia, wariancja, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności, współczynnik asymetrii), pozycyjne (wyznaczone przez niektóre (decyduje ich pozycja) wartości danych statystycznych, np. mediana, dominanta, kwartyle), mieszane (np. wskaźnik asymetrii). Katarzyna Lubnauer 36

4 Katarzyna Lubnauer 37

5 Podstawowe miary położenia: Def. P-tym centylem (percentylem) w zbiorze liczb (uporządkowanych według wielkości) jest taka wartość, poniżej której znajduje się P% liczb z tego zbioru. Miejsce P-tego percentyla określa wzór (wersja Aczel): k n P A z takiego wzoru liczy liczy Excel k n P 1 Gdzie n jest liczbą elementów zbioru (próby) Katarzyna Lubnauer 38

6 Przykład Przy dużych n wyniki wychodzą podobne, dla n = Porównajmy wyniki: k k n 1 P , n 1 P , Decyle (dziesiątki centyli) np. decyl pierwszy (D1) oznacza, że 10% jednostek ma wartości cechy mniejsze bądź równe od decyla pierwszego, a 90% jednostek wartości cechy równe lub większe od decyla pierwszego. Analogicznie dla kolejnych decyli. Katarzyna Lubnauer 39

7 Przykład Wyniki z testu z Rachunku prawdopodobieństwa 1:liczone w procentach 88, 56, 64, 45, 52, 76, 54, 79, 38, 98, 69, 77, 71, 45, 60, 78, 90, 81, 87, 44, 80, 41 Znajdziemy 20 centyl. Najpierw uporządkuję wyniki: 38, 41, 44, 45, 45, 52, 54, 56, 60, 64, 69, 71, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 87, 88, 90, 98 Policzymy ze wzoru zgodnego z Excelem k=(n-1)p/100+1 = 21*20:100+1=5,2 czyli między 5 a 6 wyrazem ciągu, 45 i 52 odpowiednio, w odległości 0,2 od 45 i 0,8 od 52, ponieważ odległość między nimi to 7, więc 0,2*7=1,4 i otrzymujemy wynik 46,4 i to jest nasz 20 percentyl. Analogicznie 30 percentyl to 54,6 50 percentyl to percentyl to 87,9 Katarzyna Lubnauer 40

8 Def. Kwartyl pierwszy Q1 dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 25% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu Q1, a 75% równe bądź wyższe od tego kwartyla, kwartyl pierwszy to 25centyl. Kwartyl drugi (mediana Me) dzieli zbiorowość na dwie równe części; połowa jednostek ma wartości cechy mniejsze lub równe medianie, a połowa wartości cechy równe lub większe od Me; stąd nazwa wartość środkowa, inaczej możemy zapisać, że to 50 centyl. Kwartyl trzeci Q3 dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 75% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu Q3, a 25% równe bądź wyższe od tego kwartyla. Inaczej to 75 centyl. Katarzyna Lubnauer 41

9 Katarzyna Lubnauer 42

10 Gdy mamy szereg szczegółowy to Me można wyznaczyć bardzo prosto: Me xn1, n P 2 1 xn xn, n P Gdzie P oznacza parzysta. Przykład 1 Niech dany będzie szereg szczegółowy, wiek w latach kolegów z pracy: 31, 32, 32, 33, 36, 38, 38, 40, 41, 45, 46 Me x 6 38 Przykład 2 Niech dany będzie szereg szczegółowy, oceny z kolokwium: 3.0, 3.0, 3.5, 3.5, 3.5, 3.5, 4.0, 4.0, 4,0, 4.5, 4.5, 5 x6 x Me Katarzyna Lubnauer 43

11 Gdy mamy szereg rozdzielczy punktowy to Me można wyznaczyć bez problemu, wystarczy znaleźć wartość wariantu cechy, dla której liczebność skumulowana po raz pierwszy przekracza (n+1)/2, jeśli n jest liczbą nieparzystą i n/2 jeśli parzystą. Jeśli wypada to między dwiema klasami, to trzeba wziąć średnią arytmetyczną wariantów. Przykład Wracamy do przykładu ze średnimi ocen studentów Średnia ocen Liczba studentów Liczebność skumulowana 3, , , , Me = 4.1 n =100, czyli patrzymy gdzie wpada 50 i 51 wynik. 4, , Razem 100 Katarzyna Lubnauer 44

12 Gdy mamy szereg rozdzielczy to Me można znaleźć ze wzoru: n sk nm 1 Me x 2 lm r n m m x lm n m sk nm 1 r m lewy koniec przedziału mediany (ten do którego należy mediana) liczebność przedziału mediany liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego przedział mediany rozpiętość przedziału mediany Przedział z medianą, to pierwszy przedział, dla którego liczebność skumulowana osiągnie lub przekracza n/2 Katarzyna Lubnauer 45

13 Graficzny sposób wyznaczania Mediany w szeregu rozdzielczym przedziałowym: Na osi pionowej mamy częstości skumulowane, a na osi poziomej granice przedziałów (klas). Katarzyna Lubnauer 46

14 Przykład 38, 41, 44, 45, 45, 52, 54, 56, 60, 64, 69, 71, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 87, 88, 90, 98 Q1=52,5 Me=70 Q3=79,75 Def Moda (dominanta) d = wariant cechy występujący najczęściej (o ile taki istnieje). Inne oznaczenia D, Mo Uwaga Jeśli próba ma modę, to nazywamy rozkład jednomodalnym, jeśli jest kilka wartości występujących równie często, mówimy o rozkładzie wielomodalnym. Przykład Np. dla danych 2, 3, 4, 3, 2, 5, 3, 2, 3, 1 dominantą jest d=3. Natomiast dla danych 2, 3, 4, 3, 2, 5, 3, 2, 3, 2 dominanta nie jest określona (mówimy, że jest to rozkład wielomodalny). Katarzyna Lubnauer 47

15 Dominantę w szeregu punktowym to wartość wariantu x i dla którego liczebność n i jest największa. Populacja może nie posiadać dominanty. Średnia ocen x i Liczba studentów 3,2 10 n i 3,5 12 4,0 17 4,1 27 Od razu widać, że dominantą jest wartość wariantu 4,1. 4,3 17 4, Razem 100 Katarzyna Lubnauer 48

16 Dominantę w szeregu przedziałowym możemy policzyć ze wzoru: d d 1 d D xld r d nd nd 1 nd nd 1 n n x ld n d nd 1 nd 1 r d lewy koniec przedziału dominanty (tego, dla którego liczebność jest największa) liczebność przedziału dominanty liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty liczebność przedziału następującego po przedziale dominanty rozpiętość przedziału dominanty Zakładamy, że sąsiadujące klasy mają równe długości. Katarzyna Lubnauer 49

17 Graficzny sposób znajdowania dominanty D w szeregu rozdzielczym przedziałowym. Katarzyna Lubnauer 50

18 Przykład jak statystyka kłamie: Wyniki badania cechy w populacji: 0.5; 1; 1; 1.5, 2.5, 2.5, 3; 3; 3; 3.5; 3.5; 4.5, 4.5; 4.5, 4.5; 5; 6.5; 7; 7; 7.5; 7.5; 9; 9; 9.5 k = 5, r=2, d = 4.5 Klasa [ xi, xi 1) Liczebność klasy ni [0,2) 4 [2,4) 7 [4,6) 5 [6,8) 5 [8,10) 4 Razem 24 Przedział dominanty [2,4). n n [2,4) d d 1 d xld rd nd nd 1 nd nd 1 Katarzyna Lubnauer 51

19 Inna, klasyczna miara położenia Średnia (arytmetyczna): x 1 n xi n i 1 Przykład Wyniki testu w % 38, 41, 44, 45, 45, 52, 54, 56, 60, 64, 69, 71, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 87, 88, 90, 98 x 1 n n i 1 x i 66,95 Min = 38 Q1=52,5 Q3=79,75 Max = 98 x 66,95 Me=70 Katarzyna Lubnauer 52

20 W szeregach rozdzielczych punktowych stosuje się tzw. średnią arytmetyczną, wyrażającą się wzorem: x 1 k ni xi n i 1 Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego: x 1 k ni xi n i 1 x i x i n i x 2 i1 środek i - tej klasy (przedziału) liczebność i-tej klasy n Liczebność populacji k liczba klas Katarzyna Lubnauer 53

21 Przykład: Wyniki badania średniej ocen studentów biologii 3 roku w 2013r Przedstawimy w postaci szeregu rozdzielczego punktowego: Średnia ocen Liczba studentów 3,2 10 3,5 12 4,0 17 4,1 27 4,3 17 4, Razem 100 x k 1 1 nixi (10 3,2 12 3, ) 4, n i 1 Katarzyna Lubnauer 54

22 Średnia geometryczna, w statystyce miara przeciętnego poziomu wartości cechy jednostek zbiorowości statystycznej używana dla cech przyjmujących wyłącznie wartości dodatnie. Średnia geometryczna z dwóch liczb dodatnich jest pierwiastkiem kwadratowym z ich iloczynu. Ogólnie średnią geometryczną definiuje się jako pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu wszystkich n wartości cechy: G n x 1... x n Przykład: W ciągu trzech kolejnych lat liczba osób nowozakażonych wirusem HIV wynosiła odpowiednio: 500, 750, 825. Jaki był średni względny przyrost liczby nowych zakażeń? Wartości cechy statystycznej w tym zadaniu to przyrosty względna liczby zakażeń w kolejnych latach, tzn.: x x , ,1 750 Zgodnie ze wzorem, średni przyrost, to: G 1,5 1,1 1, 28 Katarzyna Lubnauer 55

23 Miary położenia pozycyjne Klasyczne Dominanta Kwantyle Średnia arytmetyczna Średnia Geometryczna Q1, Q3, Me Centyle Katarzyna Lubnauer 56

24 Zalety i wady różnych miar położenia Miara położenia Zalety Wady Średnia arytmetyczna Łatwo policzyć, jest zdefiniowana algebraicznie Uwzględnia wszystkie wartości wariantów Moda Łatwo znaleźć Nie mają na nią wpływu wyniki odskakujące Można ją wyznaczyć dla cech niemierzalnych Mediana Nie jest zniekształcona w przypadku rozkładów skośnych Brak wpływu wartości odskakujących Duży wpływ mają na nią wartości odskakujące Zniekształcenie w przypadku rozkładów skośnych Nie zawsze istnieje Pomija większość informacji Nie jest zdefiniowana algebraicznie Pomija większość informacji Nie jest zdefiniowana algebraicznie Katarzyna Lubnauer 57