Wykorzystywanie wielomywiarowych modeli klasy GARCH do badania wzajemnego wpływu rynków finansowych na świecie

Transkrypt

1 E q u i l i b r i u m 1 (2) 2009 ISSN X Tomasz Chruściński Wykorzysywanie wielomywiarowych modeli klasy GARCH do badania wzajemnego wpływu rynków finansowych na świecie Słowa kluczowe: giełdy papierów warościowych, meody aksonomeryczne, wielowymiarowe modele GARCH Absrak: Wśród wielu meod analizowania wzajemnego wpływu rynków finansowych na świecie bardzo popularnym podejściem saje się meoda warunkowej macierzy wariancji-kowariancji zakładająca, że sopy zwrou danego insrumenu finansowego pochodzą z pewnego rozkładu wielowymiarowego i zależne są od zmian kursowych innego insrumenu. W pracy dokonano próby wyznaczenia opymalnego modelu opisującego warunkową srukurę zależności w zakresie zmian zachodzących w jednej gospodarce na syuację ekonomiczną w innej. Do ego celu posłużono się danymi charakeryzującymi giełdy różnych pańsw, kóre zosały wybrane do badania za pomocą meod aksonomerycznych. Na podsawie przyjęych szeregów czasowych zbudowano kilka wielowymiarowych modeli klasy GARCH (Mulivariae GARCH) w konekście prakycznego ich wykorzysania do oceny powiązań ekonomicznych gospodarek. Wprowadzenie Badania nad wzajemnym wpływem rynków finansowych w różnych częściach świaa rwają już od wielu la, jednak problem en pozosaje wciąż akualny szczególnie w obliczu wydarzeń z połowy 2008 roku. Od momenu, gdy na amerykańskim rynku kredyowym nasąpił kryzys i pojawiły się pierwsze sray na giełdach, inwesorzy zaczęli masowo wycofywać środki finansowe z parkieu, aby ulokować je w bezpiecznych obligacjach skarbu pańswa. Syuacja niepewności szybko przeniosła się na sary konynen i w konsekwencji w ciągu kilku dni i ygodni na każdej giełdzie widoczne były spekakularne spadki cen walorów, czasami skukujące zawieszaniem sesji giełdowych. Dzięki nagłośnieniu w mediach chaosu ekonomicznego na świecie

2 62 Tomasz Chruściński ucichły wszelkie dyskusje, czy gospodarki (w ym giełdy) poszczególnych pańsw są od siebie isonie zależne, a analiycy skupili się na badaniu siły i kierunku ego wpływu. Wydaje się, że eraźniejsze eksremalne wydarzenia będą sanowić za kilka miesięcy idealny maeriał dla ekonomeryków do zbadania powiązań makroekonomicznych. Już dziś naomias są ineresującym obszarem do rozwijania narzędzi badawczych dla ych celów. Celem niniejszego arykułu jes zbadanie relacji między giełdami papierów warościowych, kóre wcześniej zosały pogrupowane meodami aksonomerycznymi w rozdzielne klasy. Praca jes konynuacją wcześniejszych badań auora nad klasyfikacją giełd na świecie, kóre obecnie będą analizowane pod względem wzajemnego oddziaływania. Narzędziami badawczymi zasosowanymi w ym celu są wielowymiarowe modele klasy GARCH (Mulivariae GARCH Models). Klasyfikacja giełd Przysępując do analizy wzajemnego wpływu gospodarek lub samych giełd papierów warościowych (jako ich reprezenanów), waro wcześniej zbadać, czy porównywane kraje są do siebie podobne, czy pochodzą z zupełnie odległych sobie obszarów ekonomicznych. Inną warość będzie bowiem miała informacja, że dwie, rzy podobne giełdy europejskie silnie ze sobą korelują w zakresie sóp zwrou, a inną gdy wpływ zmian kursu Nasdaq z wczorajszego dnia będzie isonie regulował kszałowanie indeksu małej giełdy w Azji. W celu usysemayzowania powiązań międzygiełdowych pomocne sały się meody aksonomeryczne, kóre posłużyły do pogrupowania największych parkieów w rozłączne klasy. Wśród nich dużą efekywnością wykazały się meody aglomeracyjne i podziałowe, pozwalające w przejrzysy sposób zaprezenować wyniki klasyfikacji, dlaego w niniejszej pracy zdecydowano się przyoczyć wyniki jednej z nich meody głównych składowych. Na rysunkach 1 i 2 zaprezenowano podział 50 największych giełd papierów warościowych. (przyjęe do badania giełdy sanowią ponad 80% kapializacji świaowego rynku papierów warościowych liczącego około 330 parkieów) na kilka grup w przesrzeni dwóch składowych, agregujących najważniejsze kryeria porównawcze: kapializację giełdy, liczbę noowanych spółek, liczbę ransakcji, warość obrou akcjami, sopy zwrou na głównych indeksach giełdowych ip. Szczegóły przeprowadzonych klasyfikacji znajdują się w cyowanych pracach [Chruściński 2007 i 2008]. Zamieszczone wyniki analiz aksonomerycznych mają posłużyć jako podsawa do zbadania kierunku przepływu informacji pomiędzy poszczególnymi grupami parkieów.

3 Wykorzysanie wielowymiarowych Rysunek 1. Rozkład giełd w przesrzeni dwóch głównych składowych dla danych od sycznia do grudnia 2007 roku 2,00 F2 1,00 London SE Nasdaq NYSE F1 0,00-1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00-1,00 Cyprus SE -2,00-3,00 Shenzhen SE Shanghai SE Lima SE -4,00-5,00 Źródło: T. Chruściński, Analiza wielowymiarowa giełd papierów warościowych na świecie, Wiadomości Saysyczne, GUS, Warszawa 2008, nr 9, s. 53. Rysunek 2. Rozkład giełd w przesrzeni dwóch głównych składowych dla danych od sycznia do grudnia 2006 roku 6 F1 5 NYSE 4 3 Nasdaq 2 1 F Shanghai SE -1 Shenzhez SE Cyprus SE Lima SE -2 Źródło: T. Chruściński, Klasyfikacja giełd papierów warościowych z wykorzysaniem meod aksonomerycznych, [w:] Meody ilościowe w badaniach ekonomicznych, pod red. B. Borkowskiego, Wyd. SGGW, Warszawa 2007, s. 42.

4 64 Tomasz Chruściński Pomimo różnych okresów analiz oraz różnych zasosowanych zmiennych grupujących, e same giełdy zosały podzielone, jak wynika z rysunków 1. i 2., na podobne grupy. Fak en pozwala sformułować wniosek, że z pewną olerancją przedsawiona klasyfikacja dość obiekywnie rakuje odrębność analizowanych grup parkieów. W obu badaniach osobną klasę worzą giełdy o słabej informacyjnie efekywności inwesycji (wyższe od średniej sopy zwrou), osobną giełdy najbogasze w walory i kapiał oraz osobną (największą) parkiey o umiarkowanym rozwoju gospodarczym. Wielowymiarowy model klasy GARCH Dysponując mapą podziału giełd, wynikającą z poprzednich analiz auora, podjęo próbę określenia, w jakim kierunku przepływają informacje pomiędzy wyodrębnionymi grupami, a ym samym zbadania, jaki jes wzajemny wpływ ich oddziaływania. W badaniu posłużono się wielowymiarowym modelem MGARCH, opierając się na dziennych sopach zwrou z głównych indeksów. Ponieważ rudnością byłoby przeanalizowanie zmian wszyskich indeksów, zdecydowano się na wybór reprezenanów grup i do specyfikacji równań modelu przyjęo prose sopy zwrou (1) z indeksów: Nasdaq, Dow Jones, S&P500, DAX, CAC40, FTSE100, SSE Comp. oraz WIG20. Punkem wyjścia analizy są pojęcia warunkowych warości oczekiwanych, warunkowej macierzy wariancji-kowariancji oraz warunkowego rozkładu sandaryzowanych resz modelu, danego równaniem: ( ln P ln P 1) = µ ε = h z r = 100 µ, (1) gdzie P warość indeksu w okresie, P 1 warość indeksu w okresie -1, µ warunkowa warość oczekiwana sopy zwrou r w chwili ( µ = Ε[ r I 1 ]), ε resza modelu, h warunkowa wariancja sopy zwrou w chwili ( h = var[ r I 1 ]), z niezależne reszy modelu o zerowej średniej i jednoskowej wariancji, I -1 informacja dosępna w chwili. Więcej informacji meodologicznych na ema modelowania procesów sochasycznych można znaleźć w lieraurze [Kośko, Osińska, Sempińska 2007; Osińska 2006]. W niniejszym arykule skupiono uwagę na najważniejszych kwesiach konsrukcji modelu MGARCH. Chociaż od zaproponowania przez Engla [5] w 1982 roku i Bollersleva [2] w 1986 roku jednorównaniowych modeli ARCH i GARCH minęło ponad 20 la, ich podejście do zmiennych w czasie wariancji sóp zwrou jes wciąż akualne i rozwijane. Nauralnym rozszerzeniem modeli GARCH na porzeby analiz rynków finansowych sał się wprowadzony przez Bollersleva

5 Wykorzysanie wielowymiarowych w 1988 roku model wielowymiarowy MGARCH (Mulivariae GARCH). W części empirycznej niniejszej pracy en właśnie model posłuży do opisania wzajemnego wpływu giełd na świecie. Ogólna posać modelu wielowymiarowego, kóry jes odpowiednikiem jednorównaniowego modelu GARCH(1,1) określona w pracy [1] nazwą VECH-GARCH dana jes równaniem: vech T ( H ) vech( W ) Avech( ε ) Bvech( H ) = ε, (2) gdzie operaor vech () jes operaorem wekoryzacji symerycznej. Aby esymacja modelu (2) była poprawnie przeprowadzona, konieczne jes spełnienie szeregu warunków. Należy zapewnić dodanią określoność i sacjonarność macierzy H dla każdej chwili, co wymaga dodaniej określoności macierzy A oraz B i jes związane z wprowadzeniem bardzo skomplikowanych nieliniowych warunków ograniczających. Podsawową konsekwencją pełnej posaci równania VECH jes konieczność oszacowania dużej liczby paramerów, kóra już modelu dwuwymiarowym wynosi 21. Problemy e powodują, że model znalazł małe zasosowanie w prakyce. Rozwiązaniem okazały się modele z diagonalnymi macierzami A i B, kóre zredukowały liczbę szacowanych paramerów i wyeliminowały zw. efek przenikania wariancji poprzez uzależnienie elemenów macierzy H od swoich przeszłych warości h, i oraz iloczynów j błędów z chwili ( ε ε i, j, ). Ogólna posać diagonalnego modelu VECH (DVECH) jes nasępująca: T ( ε 1 1) B H H = W A ε A = ivech( diag( A ) B = ivech( diag( B ) (3) gdzie iloczyn Y ivech jes operaorem odwronym do vech (). Po sprowadzeniu macierzy A i B do ich posaci diagonalnych orzymujemy osaeczną posać modelu DVECH (4), kóra jes rozszerzeniem modelu GARCH(1,1) [por. 9]. 2 h ω a ε b h h h X o iloczyn Hadamarda, a () = 11, , , 1 12, = 12 a121, ε 1ε 2, 1 b2212 h, 1 ω (4) = 2 22, ω22 a22 ε 2, 1 b22 h22, 1 Szczególną odmianą modelu VECH jes model BEKK, kóry w prosy sposób rozwiązuje problem braku dodaniej macierzy kowariancji. Ponieważ

6 66 Tomasz Chruściński jednak rudno uzyskać sacjonarność macierzy H oraz małą liczbę szacowanych paramerów [por. 8], podobnie sosuje się diagonalne macierze A i B uzyskując model DBEKK (2): H T T T = W W A ε ε A B H B. (5) Dzięki zasosowaniu posaci diagonalnych można zasosować esymację każdego z równań modeli (3) i (5) osobno, unikając w en sposób szeregu problemów opymalizacyjnych meody największej wiarygodności dla kilku równań jednocześnie. W przykładzie empirycznym zasosowano maksymalizację funkcji największej wiarygodności określoną wzorem: 1 LLF = 2 T ' 1 [ ln H H ε ] = 1 ε. (6) Badanie zależności między wybranymi indeksami giełdowymi za pomocą modelu MGARCH Do badania wykorzysano dzienne sopy zwrou na głównych indeksach giełdowych z wybranych krajów pochodzących z klasyfikacji na rysunkach 1 i 2. Szeregi czasowe dososowano do porównywalności poprzez usunięcie sóp zwrou dla okresów, w kórych brakowało danych choćby dla jednego okresu. Osaecznie orzymano 2122 obserwacji z okresu od sycznia 2001 roku do września 2008 roku. Dla ak przygoowanych danych zbudowano modele klasy diagonal VECH, diagonal BEKK oraz dla porównania model sałej korelacji warunkowej CCC w celu oceny, kóry z nich będzie najlepiej dopasowany do rzeczywisości. Po oszacowaniu kilkudziesięciu modeli zdecydowano się na wykorzysanie warunkowego rozkładu -Sudena, kóry dał lepsze rezulay oszacowań paramerów niż rozkład normalny. Wszyskie obliczenia dokonano w programie EViews. Celem badania było określenie kierunku wpływu giełdy reprezenującej jedną grupę na reprezenana innej, dlaego, mając do dyspozycji sopy zwrou z 8 indeksów, próbowano 136 wielowymiarowych kombinacji. Osaecznie zdecydowano się na zaprezenowanie wyników 20 z oszacowanych modeli z zaznaczeniem, kóra meoda esymacji dała najlepsze rezulay. Kryerium wyboru była warość AIC. Wyniki porównań przedsawia abela.

7 Wykorzysanie wielowymiarowych Tabela. Porównanie wyników esymacji modeli według kryerium AIC Model Warości kryerium AIC DVECH DBEKK CCC Opymalny model =f(, ); =f(, ); =f( ) -18, , ,58341 DBEKK =f(, ); =f(, ); =f(,, ) -19, , ,51832 CCC =f(, ); =f(,, ); =f( ) -18, , DBEKK =f(, ); =f(,, ); =f( ) -18, , ,75357 DBEKK =f(, ); =f(,, ); =f( ) -18, , ,80498 DBEKK =f(, ); =f(, ); =f( ) -17, , ,93182 DBEKK =f(, ); =f(, ); =f( ) -18, , ,62517 DBEKK =f(, ); =f(, ); =f( ) -18, , ,67265 DBEKK =f(, ); =f(, ); =f( ) -18, , ,68123 DBEKK =f(, ); =f(, ); =f( ) -19, , ,35255 DBEKK =f(, ); =f(, ); =f( ) -19, , ,41151 DBEKK =f(, ); =f(, ); =f(, ) -18, , ,31225 DBEKK =f(, ); =f(, ); =f(, ) -18, , ,30554 DBEKK =f(, ); =f(, ); =f(, ) -18, , ,31547 DBEKK =f(,, ); =f(, ); =f(, ) -21, , ,29213 CCC =f(,, ); =f( ); =f(, ) -20, , ,47969 CCC =f(,, ); =f( ); =f(, ) -20, , ,47782 DBEKK =f(, ); =f(,, ); =f( ) -20, , ,47969 CCC =f(, ); =f(,, ); =f(, ) -21, , ,29213 CCC =f(, ); =f(,, ); =f( ) -20, , ,47782 DBEKK Objaśnienie: z uwagi na ograniczoną objęość arykułu w zapisie modeli wielorównaniowych posłużono się symboliką opisującą sopy zwrou: r (WIG20), r (NASDAQ), r (S&P500), r (DJIA), r (CAC40), r (DAX), r (FTSE250), r (SSE Comp.). Źródło: obliczenia własne w programie EViews 6.0 Zakończenie Przeprowadzone badanie z wykorzysaniem 8 indeksów jako reprezenanów grup giełd papierów warościowych wyznaczonych meodami aksonomerycznymi pozwoliło na określenie kierunku oddziaływania na siebie poszczególnych gospodarek. I ak, najbogasze i najbardziej rozwinięe parkiey, kóre sanowią zbiory 1-, 2-elemenowe (NYSE, Nasdaq), zależą ylko od siebie wzajemnie, zn. nie reagują na zmiany kursowe innych indeksów. Giełdy z najliczniejszej grupy umiarkowanych, do kórych zaliczono

8 68 Tomasz Chruściński niemiecką, francuską, londyńską oraz polską, silnie zależą szczególnie od amerykańskich zmian indeksu S&P500, a ponado od siebie (FTSE100, CAC40, DAX) z pominięciem WIG20. Warszawska giełda ma jednak swój współudział (łącznie z giełdą londyńską) w kszałowaniu się syuacji na parkieach w Chinach (SSE Comp.). Widoczny jes zaem świaowy przepływ informacji z dnia poprzedniego od niezależnych giełd amerykańskich w kierunku większych parkieów europejskich, a nasępnie w sronę Wschodu. Zasosowane modele powierdziły inuicyjne przypuszczenia o przewadze bogaszych gospodarek nad biedniejszymi, a ich kolejne aplikacje na większym zbiorze giełd mogą pomóc ujawnić mniej wyraźne finansowe powiązania między krajami. W zakresie badania wzajemnego oddziaływania rynków kapiałowych najlepsze wyniki zwracał diagonalny model BEKK. Lieraura Bollerslev T., Engle R., Wooldridge J., A Capial Asse Pricing Model wih Time- Varying Covariance, Universiy of Chicago Press, Journal of Poliical Economy 96 (1) Bollerslev T., Generalized auoregressive condiional heeroskedasiciy, Journal of Economerics 31/1986, s Chruściński T., Analiza wielowymiarowa giełd papierów warościowych na świecie, Wiadomości saysyczne 9, GUS, Warszawa Chruściński T., Klasyfikacja giełd papierów warościowych z wykorzysaniem meod aksonomerycznych, [w:] Meody ilościowe w badaniach Ekonomicznych, Wyd. SGGW, Warszawa, Engle R., Auoregressive condiional heeroskedasiciy wih esimaes of he variance of UK inflaion, Economerica 50/1982, s Kośko M., Osińska M., Sempińska J., Ekonomeria współczesna, TNOIK, Toruń Osińska M., Ekonomeria finansowa, PWE, Warszawa Pionek K., Wyzwania prakyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH, PN AE Wrocław, Taksonomia 13, Yang W., M-GARCH Hedge Raios and Hedging Effeciveness in Ausralian Fuures Markes, Edih Cowan Universiy, An Applicaion of Mulivariae GARCH Models for he Research Purposes of he Ineracions of he Financial Markes Summary The aricle presens informaion abou axonomeric mehods of sock-markes classificaion and seleced Mulivariae GARCH models. The main emphasis is laid on hose markes (counries), which influence ohers. So far, research has been geared owards hree kinds of measuremens: diagonal VECH models, diagonal BEKK models, and Consan Condiional Correlaion. According o he resuls obained, he DBEKK model is opimal for mos daa-ses.