OCENA GRUPOWA DLA PORZ DKÓW CZ CIOWYCH. WYZNACZANIE ODLEGŁO CI

Transkrypt

1 CENA GRUPWA DLA PRZDÓW CZCIWYCH. WYZNACZANIE DLEGŁCI HANNA BURY DARIUSZ WAGNER Istytut Bada Systemowych PAN Streszczee Przy wyzaczau ocey grupowe zazwycza przymowae s pewe załoea upraszczace. Z reguły załada s e esperc ocea wszyste obety oraz e zarówo w oceach espertów a w ocee grupowe e wystpu obety rówowae. Załoea te w odeseu do rzeczywstych problemów s dosy restrycye warto pod prób ch osłabea. W pracy przeaalzowao zagadee wyzaczea odległoc mdzy oceam w sytuac gdy załada s e esperc e s w stae porówa ze sob etórych obetów oraz gdy dopuszcza s molwo wystpowaa obetów rówowaych zarówo w oceach espertów a w ocee grupowe. Rozpatrzoo rówe problem przechodoc op espertów. Załooo e ope podawae przez espertów moa przedstaw w postac pewe relac bare tóre elemetam s wszyste pary obetów ze zboru wsazae przez espertów. Słowa luczowe: decyze grupowe porzde czcowy macerze porówa param odległoc mdzy opam espertów. Wprowadzee Wyzaczae ocey grupowe we s z problemem agregac formac uzysae od espertów. Moe to by oeczo ustalea zwyczcy w wyborach wyzaczea oleoc oceaych obetów ze wzgldu a przyte ryterum (rytera) bd podca decyz w spore west. Zazwycza przymowae s pewe załoea upraszczace problem wyzaczaa ocey grupowe. Po perwsze z reguły załada s e esperc ocea wszyste obety po druge czsto przymue s e zarówo w oceach espertów a w ocee grupowe e wystpu obety rówowae. bydwa załoea w odeseu do rzeczywstych problemów s dosy restrycye warto pod prób ch osłabea. Problem rówowaoc obetów w oceach espertów był rozwaay w welu pracach (p. Coo Seford (978) Armstrog. (98) Bury Wager (8a b)). Warto zauway e z putu wdzea esperta przypade rówowaoc obetów est zasadczo róy od przypadu eporówywaloc obetów. Sytuaca w tóre espert e ocea tych obetów do ocey tórych e czue s ompetety bd uwaa e daych obetów e moa ze sob porówywa ze wzgldu a przyte ryterum (rytera) est róa od przypadu edy espert doouc ocey obetów uwaa e e ró s oe od sebe ze wzgldu a przyte ryterum (rytera). W etórych pracach (Bogart (97)) te dwe sytuace s utosa-

2 Haa Bury Darusz Wager cea grupowa dla porzdów czcowych. Wyzaczae odległoc mae bd wylucza s oce załadac rówowao obetów. W pracy przeaalzowao zagadee wyzaczaa odległoc szuaego uporzdowaa (ocey grupowe) od zboru op podaych przez espertów w sytuac gdy załada s e esperc e s w stae porówa ze sob etórych obetów oraz gdy dopuszcza s molwo wystpowaa obetów rówowaych zarówo w oceach espertów a w ocee grupowe. Załooo e ope podawae przez espertów moa przedstaw w postac pewe relac bare tóre elemetam s wszyste pary obetów ze zboru wsazae przez espertów. W pracy zapropoowao sformułowae macerzy bare orelace t relac weryfac własoc te macerzy oraz zastosowae e do badaa własoc op podawaych przez espertów (zwłaszcza własoc przechodoc) wyzaczaa odległoc zdefowae za pomoc rozwaae macerzy. Przymuemy astpuce orelea: espert podae porzde lowy eel oceae s wszyste obety (molwo wystpowaa obetów rówowaych est dopuszczaa lub e) uporzdowae obetów porzde lowy obetów eel espert e est w stae porówa etórych obetów podae porzde czcowy (molwo wystpowaa obetów rówowaych est dopuszczaa lub e) opa poday przez esperta porzde czcowy (p. w postac grafcze ao dagram Hassego).. Posta oce podawaych przez espertów Nech ozacza zbór obetów... oraz {... } zbór espertów dooucych ocey. pe espertów mog by podawae w sal porzdu lub w sal lczbowe. W pracy ograczamy rozwaaa do te perwsze molwoc. cey podawae w sal porzdu mog me dwoa posta. Po perwsze mog to by uporzdowaa obetów przy czym zazwycza przymue s e obet uwaay za alepszy (w sese wybraego ryterum/ ryterów) est umeszczoy a perwszym mescu za uwaay za agorszy a ostatm. bety rówowae umowae w awasy umeszczae s a te same pozyc p. P { ( ) }. () Te zaps est wygody przy zapse porzdów lowych. Po druge esperc mog porówywa obety param podac tzw. macerze porówa param. Załadamy e wszyste rozwaae relace mdzy obetam odosz s do przytego ryterum (ryterów) ch porówywaa. Dla uproszczea zapsu w dalszych rozwaaach to załoee est pomae. Wprowadzamy astpuce ozaczea: eel zdaem esperta obet est lepszy od eel zdaem esperta obety s rówowae eel zdaem esperta obet est lepszy od obetu

3 PLSIE STWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały r 9 eel zdaem esperta obetu e moa porówywa z obetem. Jeel załadamy e wszyste obety ze zboru s porówywale wówczas elemety macerzy porówa param podawae przez esperta o umerze defowae s astpuco (emey Sell 96) eel A [a ] gdze a eel. () eel Ltva (98) zapropoował rozszerzee te defc a przypade obetów eporówywalych (esperc poda porzde czcowy) eel eel A [a ] gdze a () eel eel gdze est pew lczb całowt. Przyładem porzdu czcowego est relaca ( ) a zborze obetów. Jeel ocey podawae przez espertów ma charater porzdów czcowych wygode est zapsywa op esperta w postac zboru par obetów lub macerzy porówa param bd grafcze ao dagramy Hassego. Przyład Rozwamy astpuc op poda przez esperta: P {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}. () Zaps te ozacza e zdaem tego esperta obet est lepszy od wszystch pozostałych obetów obety s rówowae lepsze od za obet e est porówywaly z. Macerz porówa param ma posta

4 6 Haa Bury Darusz Wager cea grupowa dla porzdów czcowych. Wyzaczae odległoc A. (). Badae przechodoc op espertów W przypadu gdy opa esperta est podawaa w postac macerzy porówa param lub zboru par obetów moe zdarzy s e bdze eprzechoda. Przyład. Rozwamy macerz porówa param dla pcu obetów: A. (6) dpowada oa astpuce op esperta Podaa opa est eprzechoda ze wzgldu a cyl:. Sprawdzae przechodoc op espertów est stotym elemetem procesu wyzaczaa ocey grupowe. Bezporede badae przechodoc op espertów a podstawe macerzy porówa param moe bymude. Jest oo łatwesze eel zostae zastosowaa pewa macerz bara B bdca przeształceem macerzy porówa param A. Elemety macerzy B s oreloe astpuco (dla uproszczea zapsu des ozaczacy umer esperta został pomty). b b b b Jeel to. (7) b b b b Wprowadzamy fuc boole ows B(x) orelo a astpue

5 PLSIE STWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały r 9 7 < x dla x dla (x) B. (8) Jeel załoymy e w macerzy porówa param współczy <- oraz e J est macerz tóre wszyste elemety s rówe wówczas macerz B moa wyraz ao B B(A+J) przy czym b B(a +). (9) Przyład. Dla uporzdowaa z przyładu macerz B (ozaczoa przez B ) est astpuca B. () Macerz B (7) orela relac bar ( ) a zborze obetów. Własoc te relac wygode est sprawdza a podstawe własoc macerzy B (Ross Wrght (999)). Relaca est przechoda wtedy tylo wtedy gdy e macerz bara speła warue B*B B gdze * ozacza loczy boole ows macerzy () B*B B(B B) tz. wyraz o współrzdych ( ) macerzy B*B b b ] B*B)[ ( B (B*B)[] b dla. () Przyład. Dla relac opsywae macerz B z przyładu mamy: B * * B B. () Poewa macerz B speła warue () opa esperta przedstawoa za pomoc te macerzy est przechoda. A zatem zamast sprawdza bezporedo własoc macerzy porówa param moa bada własoc odpowadace e macerzy bare B a te podstawe wosowa o własocach op podawaych przez espertów.

6 Haa Bury Darusz Wager cea grupowa dla porzdów czcowych. Wyzaczae odległoc 8 Przyład. Macerz B dla op przedstawoe za pomoc macerzy A z przyładu ma posta B. () Iloczy boole ows B * B wyos B * B B. () Zgode z oczewaem (stee cylu ) opa esperta przedstawoa za pomoc macerzy B e est przechoda.. Wyzaczae odległoc mdzy uporzdowaam dległo mdzy uporzdowaam P P moe by defowaa za pomoc macerzy porówa param. Defca (emey Sell (96)) dległo mdzy par obetów ( ) w uporzdowau P par obetów ( ) w uporzdowau P daa est zaleoc a a ) P d. (6) Defca (emey Sell (96)) dległo mdzy uporzdowaam P P daa est zaleoc > > a a ) P d ) P d. (7) Defca (emey Sell (96)) dległo daego uporzdowaa P od zboru uporzdowa podaych przez espertów P () {P P P } daa est zaleoc > > () a a P) d P) d P) d. (8) Defca (Ltva (98)) Jeel załoymy ze w opach espertów mog wystpowa obety rówowae lub tae

7 PLSIE STWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały r 9 9 tórych e moa porówa to odległo mdzy par obetów ( ) w op P par obetów ( ) w op P daa est zaleoc d P) d P) + d P) + d P) ( ) I (9) ( ) I ( ) I gdze I zbór par desów ( ) tach e w op P lub I zbór par desów ( ) tach e w op P I zbór par desów ( ) tach e w op P. Przymuemy e eel w op P d P) ( ) I w przecwym przypadu ω ω >. () W zaleoc od wzaemego połoea obetów oraz w opach P oraz P odległo d P) moe przybera wartoc ze zboru { ω} (Ltva (98)). Wartoc odległoc d P) dla molwych ombac połoea obetów oraz w opach P oraz P przedstawoo w tabel. Tabela opa P d P) pa P ω ω ω ω ω ω W aalogczy sposób moa zdefowa odległo mdzy opam espertów za pomoc macerzy B. Defca dległo mdzy par obetów ( ) w dae op P par obetów ( ) w op P wyraoa przy uycu macerzy B ma posta d P ) b b + b b. () Defca 6 dległo mdzy opam P P defowaa przy uycu macerzy bare B ma posta

8 Haa Bury Darusz Wager cea grupowa dla porzdów czcowych. Wyzaczae odległoc > > d P ) d P ) b b + b b b b. Ze wzgldu a bra symetr macerzy B odległo d P ) ozaczoa ao d P ) est sumowaa dla wszystch par ( ) a e tylo dla >. Defca 7 dległo d dae op P od zboru op podaych przez espertów P () {P P P } daa est zaleoc () d P) d P) d P) b b. () W zaleoc od wzaemego połoea obetów oraz w opach P oraz P odległo d P) moe przybera wartoc ze zboru { }. Wartoc odległoc d P) dla molwych ombac połoea obetów oraz w opach P oraz P przedstawoo w tabel. opa P d P) ( b ( b ( b ( b b ) b ) b ) b ) (b b ) Tabela pa P (b b ) (b b ) () (b b ) Moa poaza e ta zdefowaa odległo d P) () speła asomaty odległoc (Ltva (98)):. d P) d P) eel wzaeme połoea obetów oraz w opach P oraz P s tae same.. d P) d P ) z z. d P) d P ) + d P).. Jeel P est permutac op P oraz P est ta sam permutac op P to d P ) d P).

9 PLSIE STWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały r 9. Namesza dodata odległo d m (co wya z tabel ). Warto zauway e dla porzdów lowych odległoc defowae za pomoc macerzy A B s edaowe.. Uwag ocowe Uogólee metod wyzaczaa ocey grupowe a przypad gdy esperc e mog rozró obetów bd ch porówa est stote dla pratyczych zastosowa tych metod. W szczególoc uwzgldee tych sytuac w ocee grupowe zaczco rozszerza las zada ae mog by rozwzywae. Podece zapropoowae przez Ltvaa () umolwa rozwaae porzdów czcowych podawaych przez espertów. Zapropoowaa przez autorów modyfaca tego podeca (7) ułatwa badae przechodoc op espertów oraz oblczae odległoc mdzy oceam staowce podstaw do wyzaczaa ocey grupowe a podstawe mmalzac odległoc szuaego uporzdowaa od zboru op espertów. Bblografa. Armstrog R.D. Coo W.D. Seford L.M. (98) Prorty rag ad cosesus formato: The case of tes Maagemet Scece 8 o. 6 pp Bogart.P. (97) Preferece structures I: Dstaces betwee trastve preferece relatos Joural of Mathematcal Socology pp Bury H. Wager D. (8a) Wyzaczae ocey grupowe a podstawe podeca Cooa-Seforda z uwzgldeem molwoc wystpowaa obetów rówowaych w ocee grupowe. W: Trzasal T. (Red.): Modelowae preferec a ryzyo'8. Aadema Eoomcza w atowcach atowce ss. -.. Bury H. Wager D. (8b) Group Judgemet Wth Tes. Dstace-Based Methods. I: Aschema H. (Ed.): New Approaches Automato ad Robotcs. I-Tech Educato ad Publshg Vea Austra ss Coo W.D. Seford L.M. (978) Prorty rag ad cosesus formato Maagemet Scece o. 6 pp emey J.G. Sell L.J. (96) Preferece Rag: A Axomatc Approach. I J.G. emey ad L.J. Sell Mathematcal Models the Socal Sceces New Yor G. 7. Ltva B.G. (98) Espertaa formaca. Metody połuczea aalza Rado Swaz Moswa. 8. Ross.A. Wrght C.R.B. (999) Matematya dysreta PWN Warszawa wyd..

10 Haa Bury Darusz Wager cea grupowa dla porzdów czcowych. Wyzaczae odległoc GRUP JUDGEMENT FR PARTIAL PREFERENCE RDERS. DISTANCE-BASED APPRACH Summary Usually to determe group udgemet oe has to troduce some smplfyg assumptos. Geerally t s assumed that the experts are a posto to compare all the alteratves cosdered ad there are o ted alteratves experts opos as well as group udgemet. These assumptos are rather restrctve ad t s worth to weae them. I the paper the problem of determg the dstace betwee preferece orders for the case whe experts may ot be able to compare all of the alteratves as well as whe ted alteratves ca occur s cosdered. The trastvty of experts opos s also dscussed. It s assumed that experts opos ca be expressed as bary relatos defed over a set of all the pars of elemets uder cosderato. ey words: group decsos partal order of alteratves parwse comparsos matrx dstace betwee preferece orders Haa Bury Darusz Wager Istytut Bada Systemowych Polsa Aadema Nau -7 Warszawa Newelsa 6 e-mal: bury@bspa.waw.pl d.wager@bspa.waw.pl