WYZNACZANIE MEDIANY LITVAKA W PRZYPADKU WYST POWANIA OBIEKTÓW RÓWNOWA NYCH W OCENIE GRUPOWEJ

Transkrypt

1 WYZNACZANIE MEDIANY LITVAKA W PRZYPADKU WYSTPOWANIA OBIEKTÓW RÓWNOWANYCH W OCENIE GRUPOWEJ HANNA BURY, DARIUSZ WAGNER Istytut Bada Systemowych Streszczee Wele metod wyzaczaa ocey grupowej moa stosowa w sytuacjach, kedy w oceach ekspertów wystpuj obekty rówowae. Uwzgldee molwoc wystpowaa obektów rówowaych w ocee grupowej jest trudejszym zagadeem w welu metodach wyklucza s tak ewetualo, co w stoty sposób ogracza zakres dopuszczalych rozwza. Jest to szczególe stote w przypadku metod wyzaczaa ocey grupowej, których podstaw staow mmalzowae stosowe zdefowaej odległoc mdzy uporzdkowaam obektów. Przyjce załoea o wystpowau obektów rówowaych w ocee grupowej wyzaczaej a podstawe odległoc mdzy uporzdkowaam we s z koeczoc uwzgldea wszelkch molwych postac uporzdkowa przyjmowaych jako ocea grupowa. Zadae to moa rozwza przeszukujc wszystke molwe uporzdkowaa. Molwo zastosowaa tego podejca ogracza lczba uporzdkowa, które aley uwzgld, szybko rosca ze wzrostem lczby obektów. Racjoalym podej- cem wydaje s próba wyzaczea ocey grupowej poprzez rozwzae odpowedego zadaa optymalzacj. W pracy przedstawoo sformułowae tego zadaa. Podao rówe przykłady umerycze. Słowa kluczowe: decyzje grupowe, ocey ekspertów, obekty rówowae, medaa Ltvaka. Wprowadzee W praktyce stosowaa oce grupowych czsto zdarza s, e eksperc e s w stae jedozacze okrel czy w sese przyjtego kryterum lub zboru kryterów - day obekt jest lepszy, czy te gorszy od drugego. Wele metod wyzaczaa ocey grupowej moa stosowa w sytuacjach, kedy w oceach ekspertów wystpuj obekty rówowae. Uwzgldee molwoc wystpowaa obektów rówowaych w ocee grupowej jest ju zacze trudejszym zagadeem w welu metodach wyklucza s tak ewetualo. Przyjce tego załoea w stoty sposób ogracza zakres dopuszczalych rozwza. Jest to szczególe stote w przypadku metod wyzaczaa ocey grupowej, których podstaw staow mmalzowae stosowe zdefowaej odległoc mdzy uporzdkowaam obektów. W metodach tych wyzaczee ocey grupowej sprowadza s do zalezea uporzdkowaa, które w sese przyjtej odległoc jest ajmej oddaloe od uporzdkowa podaych przez ekspertów. Do grupy tych metod ale p. medaa Kemey ego (Kemey (959), Kemey, Sell (960)), metoda Cooka-Seforda (Armstrog, Cook, Seford (982), Cook, Seford (978), Cook, Kress, Seford (997), Cook (2006)) medaa Ltwaka (Ltvak (982)), róce s przyjt defcj odległoc. Zakładajc brak obektów rówowaych w ocee grupowej wymeoe metody moa łatwo oprogramowa - powstały lcze algorytmy heurystycze; moa te wyzaczee ocey grupowej sprowadz do

2 20 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały, r 0, 2007 rozwzaa zadaa optymalzacj całkowtolczbowej (Bury, Wager (999), (2000), (2007), Hwag, L (987), Ltvak (982), Nurm (987)). Przyjce załoea o molwoc wystpowaa obektów rówowaych w ocee grupowej wyzaczaej a podstawe odległoc mdzy uporzdkowaam we s z koeczoc uwzgldea wszelkch molwych postac uporzdkowa przyjmowaych jako ocea grupowa. Zadae to moa rozwza przeszukujc wszystke molwe uporzdkowaa wyberajc to (lub te), które w sese przyjtej odległoc zajduje s (zajduj s) ajblej zboru uporzdkowa podaych przez ekspertów. Molwo zastosowaa tego podejca ogracza lczba uporzdkowa, które aley uwzgld, szybko rosca ze wzrostem lczby obektów. Dla trzech obektów mamy 3 molwych uporzdkowa (w tym 6 uporzdkowa bez rówowaoc), dla czterech obektów 75 (w tym 24 bez rówowaoc), dla pcu 54 (w tym 20 bez rówowaoc), dla szecu obektów 4683 (w tym 720 bez rówowaoc) td. Racjoalym podejcem wydaje s zatem próba wyzaczea ocey grupowej poprzez rozwzae odpowedego zadaa optymalzacj. Zdaem autorów sformułowae tego zadaa moa uproc stosujc zapropooway przez Armstroga, Cooka Seforda (982) zaps pozycj zajmowaych przez obekty rówowae w uporzdkowaach oraz posługujc s wprowadzoym w pracy Bury, Wager (2007) pojcem struktury. W pracy podjto prób sformułowaa tego zadaa. Podao rówe przykłady umerycze. 2. Zaps pozycj zajmowaych przez obekty struktury obektów Załómy, e mamy zbór obektów O = {O,, O } oraz K ekspertów, których zadaem jest uporzdkowae zboru obektów zgode z przyjtym kryterum (zborem kryterów). Eksperc podaj swoje ope w postac uporzdkowa P k = O,..., O, k=,, K, () gdze obekt uwaay za ajlepszy zajmuje perwsz pozycj a obekt uwaay za ajgorszy ostat. Zakłada s rówe, e zarówo w opach ekspertów, jak w ocee grupowej, a jedej pozycj moe zajdowa s wcej jede obekt. Najczcej stosoway zaps uporzdkowa, w których wystpuj obekty rówowae ma po- O,..., O,...,O,..., O, gdze w awase jest ujta grupa obektów rówowaych. Zaps + sta ( ) p p r te bdzemy azywa tradycyjym. W dalszych rozwaaach przyjmujemy, e umer pozycj w uporzdkowau (w zapse tradycyjym) jest ozaczoy lter j, lczo grupy obektów rówowaych wyos r. Przy tym zapse lczba pozycj, a których s rozmeszczoe obekty e jest stała; zaley bowem od lczby grup obektów rówowaych oraz od lczoc kadej z tych grup. W przypadku braku obektów rówowaych lczba pozycj zajmowaych przez obekty w ch dowolym uporzdkowau jest rówa lczbe obektów. Armstrog, Cook Seford (982) (dalej cytowa jako ACS) zapropoowal astpujcy sposób zapsu uporzdkowa, w których wystpuj obekty rówowae. Przyjmujemy, e grupa obektów rówowaych o lczoc r zajmuje w uporzdkowau mejsca rozpoczyajc od pozycj j = p. Według propozycj ACS obekty O,..., O umeszczoe s a pozycj bdcej red- + okrelo jak astpuje: p p r

3 Haa Bury, Darusz Wager Wyzaczae meday Ltvaka w przypadku wystpowaa obektów rówowaych w ocee grupowej 2 p + (p + ) (p + r ) 2p + (r ) r t= = r= p+. (2) r 2r 2 Jeel lczo grupy obektów rówowaych jest lczb parzyst (przyjmjmy, e wyos 2b, b /2), to grupe tej bdze przyporzdkowaa pozycja t = (p + b) / 2. Jeel za jest to lczba eparzysta (przyjmjmy 2b+, gdze b < /2) to t = (p + b). Pozycje t, w odróeu od tradycyjych, bd azywae połówkowym. A zatem w zaleoc od tego czy r jest lczb parzyst, czy te e, bd wystpowa pozycje opsae przez lczby całkowte bd ułamkowe. Przy lczbe obektów rówej, obektom mog by przyporzdkowae astpujce pozycje w uporzdkowau: T = {, ½, 2, 2½, 3, 3½,.., -, -½, }. (3) Lczba molwych pozycj wyos 2-. Naley podkrel, e w zapse ACS suma pozycj obektów w uporzdkowau jest stała. Przykład. Załómy, e pcu ekspertów przedstawło uporzdkowaa pcu obektów (w awasach ujto obekty rówowae): zaps tradycyjy Tabela. suma pozycj zaps połówkowy suma pozycj P : O 4, O 5, (O 2, O 3 ),O 4, 3, 3,, 2 3 5, 3.5, 3.5,, 2 5 P 2 : O 2, O, O 4, O 5, O 3 2,, 5, 3, 4 5 2,, 5, 3, 4 5 P 3 : O 2, (O, O 3, O 5 ), O 4 2,, 2, 3, 2 0 3,, 3, 5, 3 5 P 4 : (O 2,O 3 ), O 4, (O, O 5 ) 3,,, 2, ,.5,.5, 3, P 5 : (O,O 2 ), (O 3, O 4, O 5 ),, 2, 2, 2 8.5,.5, 4, 4, 4 5 Uredoy zaps pozycj zajmowaych przez obekty umolwa utworzee macerzy zawerajcej wszystke molwe struktury uporzdkowa obektów, w tym uporzdkowa zawerajcych grupy obektów rówowaych. Naley zazaczy, e sam umer pozycj e przesdza, le obektów rówowaych zajduje s a daej pozycj. Warukem jedozaczego okrelea lczby obektów rówowaych zajdujcych s a daej pozycj jest wykorzystae dodatkowej formacj o pozycj (w zapse tradycyjym) zajmowaej przez perwszy z grupy obektów rówowaych. Pozycj t azwemy pozomem bdzemy dalej ozacza lter, =,...,. Pozom = wyzacza te grupy obektów rówowaych, w których perwszy obekt zajduje s a perwszej pozycj w uporzdkowau. Pozom =2 okrela te grupy obektów rówowaych, w których perwszy obekt sto a drugej pozycj w uporzdkowau td. t Grup pozycj rówowaych azwemy struktur ozaczymy przez S ; jest oa zalea zarów-

4 22 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały, r 0, 2007 o od pozycj t, t T, jak od pozomu. Lczb elemetów daej struktury, to zaczy lczb pozycj rówowaych odpowadajcych daej pozycj połówkowej t oraz pozomow ozaczymy przez s t, s t Bury, Wager (2007).. Szczegółowe omówee macerzy struktur S zostało podae w pracy t W werszach macerzy struktur S s umeszczoe struktury S odpowadajce daemu pozomow a w kolumach te, które s zwzae z da pozycj połówkow t (J ozacza pozycj podwojo, J=2t). Tabela 2. J t,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 = (,2) (,2,3) (,2,3,4) (,2,3,4,5) (,2,3,4,5,6) (,2,3,4,5,6,7) (,2,3,4,5,6,7,8) = 2 2 (2,3) (2,3,4) (2,3,4,5) (2,3,4,5,6) (2,3,4,5,6,7) = 3 3 (3,4) (3,4,5) (3,4,5,6) = 4 4 (4,5) = 5 Wartoc współczyków s t dla =5 podao w tabel 3. Tabela 3. J t,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 = = =3 2 3 =4 2 =5 3. Wyzaczae ocey grupowej za pomoc meday Ltwaka B.G. Ltvak (982) zapropoował, aby odległo mdzy uporzdkowaam wyzacza a podstawe tzw. wektorów preferecj. Defcja (Ltvak (982)). Daemu uporzdkowau P k moa przypsa wektor preferecj k k k = {,..., }, k =,..., K (4) k gdze jest rówe lczbe obektów poprzedzajcych -ty obekt w rozwaaym uporzdkowau, K lczba uporzdkowa podaych przez ekspertów.

5 Haa Bury, Darusz Wager Wyzaczae meday Ltvaka w przypadku wystpowaa obektów rówowaych w ocee grupowej 23 Przykład 2. Dla uporzdkowa podaych w Przykładze wektory preferecj s, jak astpuje: Tabela 4. wektory preferecj P : O 4, O 5, (O 2, O 3 ),O 4, 2, 2, 0, P 2 : O 2, O, O 4, O 5, O 3, 0, 4, 2, 3 P 3 : O 2, (O, O 3, O 5 ), O 4, 0,, 4, P 4 : (O 2,O 3 ), O 4, (O, O 5 ) 3, 0, 0, 2, 3 P 5 : (O,O 2 ), (O 3, O 4, O 5 ) 0, 0, 2, 2, 2 k k2 Defcja 2 (Ltvak (982)). Dae s dwa wektory preferecj. Odległo mdzy tym wektoram zdefowaa jest astpujco (, k2 ) = = d k k k2 (5) Moa wykaza, e tak zdefowaa odległo speła wszystke aksjomaty jedozacze okrelajce mar "blskoc" (Ltvak (982)). Defcja 3 (Ltvak (982)). Day jest zbór uporzdkowa {P k }. Odległo uporzdkowaa P od tego zboru wyraoa jest astpujc zaleoc K (k) (, ) = k= = P k d. (6) Defcja 4 (Ltvak (982)). Uporzdkowae M M K (k) ( P,...,P ) = arg md (, ) K azywae jest meda Ltvaka zboru (,...,P ) P. Wyk uzyskae przez Ltvaka (982) zostały uogóloe w pracy Bury, Wager (2003), dzk czemu oblczae odległoc (6) zostało zacze ułatwoe. Rozwaymy dwa przypadk: w medae e wystpuj elemety rówowae; w tym przypadku lczba obektów oraz lczba zajmowaych przez e pozycj s rówe, w medae mog wystpowa elemety rówowae; w tym przypadku aley uwzgld dodatkowe ograczea wykajce z macerzy struktury obektów S. 3.. W ocee grupowej e wystpuj rówowaoc Wprowadmy astpujce ozaczea (j ozacza pozycj obektu w zapse tradycyjym) (7)

6 24 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały, r 0, 2007 k( h gdze j) P( j) = =,...,; k=,...k, j=,...,; j=,, (8) k P( j) jest lczb obektów poprzedzajcych -ty obekt w przypadku, gdy zajmuje o j-t pozycj w uporzdkowau P. Sumujc współczyk k( j) h po k (k=,...,k) otrzymujemy h ( j) K ( j) k( j) h = h. (9) k= ( j) Macerz współczyków h ozaczamy jako H. Współczyk ( j) h wyraaj zagregowa róc mdzy pozycj -tego obektu w uporzdkowau P a jego pozycj w uporzdkowaach P k (k=,...k). gdze x j Odległo (6) moa zapsa astpujco K = j= k= j) k ( j) d = P( x = h x (0) = 0 j = j= jeel w uporzdkowau P obekt O zajmuje j-t pozycj w przecwym raze Kres doly odległoc (0) wyos (Ltvak (982)) h m = j () () G =, gdze h m = m[h,...,h ] (2) j W rozwaaym przypadku problem wyzaczea meday Ltvaka moa sformułowa jako astpujce zero-jedykowe zadae programowaa matematyczego (Ltvak (982), Bury, Wager (2000)) = j= z ograczeam ( j) h x m, (3) =,..., j= j x =, (4) j ograczee to ozacza, e day obekt moe zajmowa tylko jed pozycj oraz ()

7 Haa Bury, Darusz Wager Wyzaczae meday Ltvaka w przypadku wystpowaa obektów rówowaych w ocee grupowej 25 j=,..., = x =, (5) j ograczee to ozacza - zgode z przyjtym załoeem - e a jedej pozycj moa umec tylko jede obekt W ocee grupowej wystpuj rówowaoc W tym przypadku wyzaczee uporzdkowaa ajmej odległego od zboru uporzdkowa podaych przez ekspertów wymaga zmodyfkowaa zadaa optymalzacj (3) - (5). Modyfkacja polega a wprowadzeu dodatkowych ogracze uwzgldajcych molwo wystpea w ocee grupowej obektów rówowaych. Ozacza to, e aley uwzgld molwo wystpea róych struktur S t. Do zapsu pozycj obektów wykorzystujemy zaps połówkowy ACS. Przy okrelau wektora preferecj przydate jest spostrzeee, e lczba obektów poprzedzajcych -ty obekt w uporzdkowau bezporedo wyka z pozomu, a którym te obekt wystpuje w macerzy struktur S wyos (-), co ozacza, e obekty wystpujce a pozome = poprzedza 0 obektów, obekty z pozomu =2 poprzedza jede obekt td. Wektory preferecj e zale od rodzaju zastosowaego zapsu pozycj obektów. Składowe wektora preferecj dla uporzdkowaa P s astpujce: P( ) = ( ) λ, =,,, (6) jeel w uporzdkowau P obekt O wystpuje a pozome, gdze λ = 0 jeel struktura z pozomu wystpuje w uporzdkowau P w przecwym raze Ozaczea wystpujce we wzorze (0) modyfkujemy w astpujcy sposób: h k( ) = P( ) k (7) =,...,, k=,...k, =,...,. (8) k( ) Sumujc współczyk h po k (k=,...,k) otrzymujemy ( ) K h = h k= k( ) ( ) h. (9) Macerz współczyków h ozaczamy jako H. ( ) Ze sposobu wyzaczaa elemetów macerzy H wyka, e H = H. Ozaczee góra kreska wskazuje a y sposób ustalaa składowych wektorów preferecj.

8 26 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały, r 0, 2007 = = 2 = () (2) () O h h h () (2) () O 2 = h 2 h h 2. (20) H () (2) () O h h h Zadae mmalzacj odległoc (0) przybera posta: gdze y J 2 J ( ) h yj, (2) yj J= 2 = = J m = 0 jeel w uporzdkowau P obekt O zajmuje J-t pozycj (J=2t ozacza pozycj podwojo) a pozome w przecwym raze = max(,j ), [J / 2]. (23) J J = Wartoc, J J zale od lczby obektów oraz od umeru pozycj J w macerzy struktur S. Przykładowe wartoc współczyków, J J dla struktury pcu obektów z tabel 3 podao w tabel 5. (22) Tabela 5. J t,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 = = =3 2 3 =4 2 =5 J J Ograczea dla zadaa optymalzacj (2) (23) s astpujce: () J =,..., J= 2,...,2 = J y J = x J, gdze (24) x J = 0 jeel w uporzdkowau P obekt O zajmuje J-t pozycj w przecwym raze. (25)

9 Haa Bury, Darusz Wager Wyzaczae meday Ltvaka w przypadku wystpowaa obektów rówowaych w ocee grupowej 27 Ograczee to ozacza, e dla ustaloej pozycj J day obekt moe by umeszczoy co ajwy- ej a jedym pozome. () J= 2,...,2 = J,..., J = y J = s γ J J, gdze (26) γ J = 0 jeel struktura w przecwym raze J S wystpuje w uporzdkowau P (27) Ograczee to ozacza, e a pozycj J oraz a pozome (struktura J S ) moa umec zero lub s obektów, s J = J 2 +. (28) () J =,..., 2 J= 2 x =. (29) J Ograczee to - aalogcze do (4) - ozacza, e day obekt moe zajmowa tylko jed pozycj. (v) + γ J =,..., J= 2 = λ, (30) gdze λ jest zdefowae zaleoc (7). Ograczee to ozacza, e a ustaloym pozome obekty moa umec co ajwyej a jedej pozycj. Naley zauway, e λ = (w uporzdkowau P mus wystp jeda ze struktur z pozomu =) oraz, e (v) = 2,..., λ = m= γ m, + m dla =2,,. (3) Ograczee to ozacza, e wystpowae struktury z pozomu zaley od tego, jake struktury wystpły a pozomach poprzedzajcych. Warto podkrel, e ogóla posta zadaa optymalzacj z uwzgldeem molwoc wystpowaa obektów rówowaych w ocee grupowej, w której jako odległo przyjto meda Cooka-Seforda została podaa w pracy ACS oraz w pracach Cooka Seforda (978), Cooka, Kressa Seforda (997) oraz Cooka (2006). W przedstawoym powyej sformułowau zadaa optymalzacj posłuoo s ym zmeym, uwzgldajcym wprowadzoe przez autorów pojce struktury oraz arzucoo e ograczea. Opsae zadae optymalzacj całkowtolczbowej (2) (3) zostało rozwzae za pomoc paketu CPLEX dla <5,0> obektów.

10 28 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały, r 0, Przykłady oblczeowe 4.. Uporzdkowaa pcu obektów podae przez pcu ekspertów Dla zboru uporzdkowa podaych przez ekspertów w Przykładze mamy =5, J=2,, 0. Fukcja celu jest oblczaa przy uycu współczyków [ h ] macerzy odległoc H. Macerz H ma posta: (wersze odpowadaj obektom O,, O 5, kolumy odpowadaj kolejym pozomom w macerzy struktur S): H = (32) () () Elemety h m m[h,...,h ] Wartoc = zostały zaceowae. Kres doly odległoc (2) wyos 2. J oraz j J dla J=2,, 0 podao w tabel 4. Fukcja celu ma posta sumy składowych dla J=2,..., 0: J=2: 9y 2 +2y 22 +9y 32 +0y 42 +0y 52 J=3: 9y 3 +2y 23 +9y 33 +0y 43 +0y 53 J=4: 9y 4 +6y y 24 +5y y 34 +6y y 44 +7y y y 54 J=5: 9y 5 +6y y 25 +5y y 35 +6y y 45 +7y y y 55 J=6: 9y 6 +6y y y 26 +5y y y 36 +6y y y 46 + (33) 7y y y 56 +5y y 56 J=7: 6y y y y y y y y y y 57 3 J=8: 7y y y y y y y y y y 58 J=9: 8y y y y y 59 J=0: y y y y y 50 5 Ograczea (24) (3) maj posta: () () () J =,...,5 J= 2,...,0 = J J= 2,...,0 = J,..., J =,...,5 0 J= 2 y 5 J = = x y J J = s γ J J x = (36) J ( ) (34) (35)

11 Haa Bury, Darusz Wager Wyzaczae meday Ltvaka w przypadku wystpowaa obektów rówowaych w ocee grupowej (v) λ = γ. (v) =,...,5 = 2,...,5 λ = J= 2 m= γ Wszystke zmee J m, + m y J, J x, γj oraz λ przyjmuj wartoc 0 lub. Rozwzae zadaa mmalzacj odległoc (33) z ograczeam (34) (38) jest astpujce: y 22 y 4 2 y 38 3 y 48 3 y 58 3 Tabela 6. x 22 γ 2 x 4 γ 42 x 38 x 48 x 58 γ 83 λ 2 λ 3 Pozostałe 40 zmeych przyjmuje wartoc zerowe. Ozacza to, e uporzdkowae ajmej odległe w sese odległoc (2) od zboru uporzdkowa podaych przez ekspertów ma posta: O 2, O, (O 3, O 4, O 5 ). (39) Fukcja celu ma warto 2 jest to ajmejsza odległo od daego zboru uporzdkowa ekspertów. Kolejo obektów w ocee grupowej zazaczoo obramowaem odpowedch elemetów macerzy H (32). Struktur uporzdkowaa wykowego przedstawoo w tabel 7. Tabela 7. J t,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 = O 2 =2 O =3 O 3, O 4, O 5 =4 =5 Warto zauway, e w przedstawoym przykładze posta ocey grupowej moa wyzaczy bezporedo a podstawe aalzy macerzy H (32). Umeszczajc obekt O 2 a pozome perwszym, obekt O a pozome drugm oraz obekty (O 3, O 4, O 5 ) jako grup obektów rówowaych a pozome trzecm otrzymamy rozwzae rozpatrywaego zadaa. Naley podkrel, e w przypadku wkszej lczby obektów (wkszy wymar macerzy H ) oraz wystpowaa w werszach macerzy H klku elemetów o ajmejszej wartoc, zalezee rozwzaa a drodze bezporedej aalzy postac macerzy H e wydaje s by molwe. (37) (38)

12 30 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały, r 0, Uporzdkowaa sedmu obektów podae przez jedeastu ekspertów Tabela 8. P : (O 3, O 4 ), O 2, (O, O 7 ), O 6, O 5 P 2 : O 6, O 3, O 5, O, O 2, O 7, O 4 P 3 : (O 2, O 4, O 5, O 6 ), (O, O 3 ), O 7 P 4 : O 3, O 4, O 2, O, O 7, O 6, O 5 P 5 : (O 3, O 6 ), O 4, (O, O 5, O 7 ), O 2 P 6 : O 4, O 2, O 6, O 5, O 3, O, O 7 P 7 : O 2, O, O 6, O 3, (O 5, O 7 ), O 4 P 8 : O 6, O 3, O 4, O 5, O, O 7, O 2 P 9 : O 6, (O 2, O 4 ), (O, O 3, O 7 ), O 5 Macerz H ma posta P 0 : O 2, O, O 6, O 3, O 5, O 7, O 4 P : O 3, O 2, (O, O 4 ), O 5, (O 6,O 7 ) H = (40) Elemety h m zostały zaceowae. Rozwzae zadaa optymalzacj (2)- (3) jest astpujce: y 62 y 34 2 y 27 3 Tabela 9. y 47 3 y 2 5 y 52 5 y 72 5 x 62 γ 2 x 34 γ 24 x 27 x 47 γ 37 x 2 x 52 x 72 γ 52 λ 2 λ 3 l 5 Wykowe uporzdkowae ma posta: O 6, O 3, (O 2, O 4 ), (O, O 5, O 7 ). (4) Kolejo obektów w ocee grupowej zazaczoo obramowaem odpowedch elemetów

13 Haa Bury, Darusz Wager Wyzaczae meday Ltvaka w przypadku wystpowaa obektów rówowaych w ocee grupowej 3 macerzy H. Naley zauway, e uporzdkowae O 6, O 2, O 4, (O, O 3 ), (O 5, O 7 ) daje tak sam warto fukcj celu. Elemety tego uporzdkowaa zazaczoo podwój ramk w macerzy H. Warto podkrel, e a podstawe aalzy macerzy H (40) trudo byłoby bezporedo wyzaczy posta ocey grupowej. W ocee grupowej e wszystke obekty zajmuj pozycje odpowadajce mmalym wartocom ( ) h, co powoduje, e warto fukcj celu dla ocey grupowej (4) jest wksza od kresu dolego wyos 6 (kres doly odległoc (2) wyos 07). Struktur uporzdkowaa wykowego przedstawoo w tabel 0. Tabela 0. J t,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 = O 6 =2 O 3 =3 O 2,O 4 =4 =5 O,O 5,O 7 =6 = Uporzdkowaa dzewcu obektów podae przez jedeastu ekspertów Macerz H ma posta Tabela. P (O 2, O 3, O 5 ), O, O 8, (O 7, O 9 ), O 4, O 6 P 2 O 5, (O, O 2 ), O 3, O 8, O 4, O 6, O 7, O 9 P 3 (O 2, O 3, O 5 ), O, (O 4, O 7, O 9 ), O 8, O 6 P 4 O 3, O 2, O, O 5, O 8, O 7, O 6, O 4, O 9 P 5 O, (O 2, O 3, O 5 ), (O 6, O 8, O 9 ), (O 4, O 7 ) P 6 O 2, O 3, (O, O 5 ), O 4, O 7, O 9, O 6, O 8 P 7 O 3, (O 2, O 5 ), O, O 7, O 8, O 6, O 4, O 9 P 8 O 2, O 3, O, O 5, O 4, O 8, O 6, O 9, O 7 P 9 (O, O 5 ), (O 2, O 3 ), O 4, O 9, O 6, (O 7, O 8 ) P 0 O 2, O 5, O, O 3, O 8, O 4, O 6, O 7, O 9 P O 2, (O, O 3, O 5 ), O 4, (O 6, O 8 ), (O 7, O 9 )

14 32 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały, r 0, H = (42) Elemety h m zostały zaceowae. Kres doly odległoc (2) wyos 94, fukcja celu jest rówa 98. Rozwzae zadaa optymalzacj jest astpujce: y 22 y 6 2 y 36 2 y 56 2 y 40 5 y 82 6 Tabela 2. γ 2 γ 26 γ 50 γ 62 γ 62 y 64 7 y 77 8 y 97 8 γ 74 γ 87 x 22 x 6 x 36 x 56 x 40 x 82 x 64 x 77 x 97 λ 2 λ 5 λ 6 λ 7 λ 8 Wykowe uporzdkowae ma posta: O 2, (O, O 3, O 5 ), O 4, O 8, O 6, (O 7, O 9 ). (43) Kolejo obektów w ocee grupowej zazaczoo obramowaem odpowedch elemetów macerzy H. Model (2) - (3) moa zastosowa rówe do wyzaczea obektów, które zajmuj trzy perwsze pozycje w uporzdkowau wykowym. Zbór ogracze aley wówczas uzupeł astpujcym zaleocam: γ 2 =, co ozacza, e arzucamy struktur jedoelemetow a pozome a pozycj podwojoej J=2, γ 24 =, co ozacza, e arzucamy struktur jedoelemetow a pozome 2 a pozycj podwojoej J=4, γ 36 =, co ozacza, e arzucamy struktur jedoelemetow a pozome 3 a pozycj podwojoej J=6. Warto fukcj celu wyos wówczas 05 a uporzdkowae wykowe ma posta: O 2, O 3, O 5, O, O 8, O 4, O 6, (O 7, O 9 ). (44)]

15 Haa Bury, Darusz Wager Wyzaczae meday Ltvaka w przypadku wystpowaa obektów rówowaych w ocee grupowej Podsumowae W pracy Bury, Wager (2003) podao algorytmy heurystycze pozwalajce wyzaczy meda Ltvaka w przypadku, gdy e moa zastosowa prostego algorytmu rozwzywaa zadaa przydzału. Uogólee tych algorytmów a przypadek wystpowaa obektów rówowaych w ocee grupowej - zdaem autorów stoty z puktu wdzea zastosowa praktyczych byłoby trude. Przedstawoe w podrozdzale 3.2 sformułowae zadaa wyzaczaa meday Ltvaka przy załoeu, e w ocee grupowej mog wystpowa obekty rówowae w stoty t sposób rozszerza molwoc stosowaa tej meday. Kocepcja struktury obektów S wprowadzoa w pracy Bury, Wager (2007) umolwa łatwe dopasowae modelu do wymagaej postac ocey grupowej. Przypadek braku obektów rówowaych w ocee grupowej moa uwzgld wprowadzajc ograczea a zmee zero-jedykowe γ J. Jeel ze wzgldów praktyczych (p. przy zastosowau metody meday Ltvaka do wyłoea csłego zarzdu daego gremum) byłoby koecze zalezee uporzdkowaa, w którym stote byłyby jedye obekty zajmujce m perwszych bd ostatch mejsc, wówczas take ograczea bez trudu moa wprowadz do rozpatrywaego zadaa optymalzacj. Przedstawoe podejce moe by stosowae rówe w przypadku ych defcj odległo- c mdzy uporzdkowaam. Bblografa. Armstrog R.D., Cook W.D., Seford L.M.: (982) Prorty rakg ad cosesus formato: The case of tes, Maagemet Scece, 28, o Bury H., Wager D. (999) Wyzaczae ocey grupowej metod meday Kemey go, w: Modelowae preferecj a ryzyko 99, cz.2, 3. Bury H., Wager D.(2000) The use of Kemey meda for group decso makg. Iteger programmg approach, proceedgs of MMAR 2000 coferece. 4. Bury H., Wager D. (2003) Use of preferece vectors group judgemet. The meda of Ltvak. I: Group decsos ad votg, EXIT, Warszawa 5. Bury H., Wager D. (2007): Determg the group judgemet whe tes ca occur, w przygotowau 6. Cook W.D., Seford L.M. (978) Prorty rakg ad cosesus formato, Maagemet Scece, 24, o. 6, 7. Cook W.D., Kress M., Seford L.M. (997) A geeral framework for dstace-based cosesus ordal rakg models, Europea Joural of Operatoal Research, 96, ssue 2 8. Cook W.D. (2006) Dstace-based ad ad hoc cosesus models ordal preferece rakg, Europea Joural of Operatoal Research, Hwag C.-L., L M.-J. (987) Group decso makg uder multple crtera, Sprger Verlag, Berl, Hedelberg 0. Kemey J. (959) Mathematcs wthout umbers, Daedalus 88. Kemey J., Sell L. (960) Mathematcal Models the Socal Sceces. G. Bosto 2. Ltvak B.G. (982) Ekspertaja formacja. Metody połuczeja aalza, Rado Swjaz, Moskwa 3. Nurm H. (987) Comparg votg systems, Kluwer, Dordrecht/ Bosto/ Lacaster, Toko

16 34 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały, r 0, 2007 DETERMINING LITVAK MEDIANWHEN TIES CAN OCCUR Summary May methods of determg group judgmet are based o the assumpto that there are o equvalet alteratves ths judgmet eve f ted alteratves appear expert judgemest. Ths assumpto seems to be restrctve, especally the case of dstace-based methods. Whe ted alteratves are allowed group judgmet t s ecessary to cosder all the possble forms of preferece orders to be group judgemet. Ths approach s lmted by the umber of preferece orders to be cosdered growg fast wth the umber of alteratves.. The soluto of the problem may be obtaed by meas of teger optmzato. I the paper the formulato of a teger programmg task for Ltvak meda s preseted as well as some umercal examples. Keywords: group decsos, experts judgmets, tes, Ltvak meda Haa BURY, Darusz WAGNER Istytut Bada Systemowych, Polska Akadema Nauk bury@bspa.waw.pl, D.Wager@bspa.waw pl.