ZASTOSOWANIE MEDIANY KEMENY EGO DO WYZNACZANIA OCENY GRUPOWEJ DLA PORZ DKÓW CZ CIOWYCH

Transkrypt

1 ZASTSWANIE MEDIANY KEMENY EG D WYZNACZANIA CENY GRUWEJ DLA RZDKÓW CZCIWYCH HANNA BURY DARIUSZ WAGNER Istytut Bada Systemowych AN Streszczee W pracy przeaalzowao zagadee wyzaczea ocey grupowe w sytuac, gdy ocey podae przez espertów ma charater porzdów czcowych oraz gdy dopuszcza s molwo wystpowaa obetów rówowaych zarówo w oceach espertów, a w ocee grupowe. rzyto, e zostae zastosowaa metoda meday Kemey ego polegaca a mmalzac odległoc szuaego uporzdowaa od zboru uporzdowa podaych przez espertów. Słowa luczowe: Decyze grupowe, porzde czcowy, odległo mdzy oceam, medaa Kemey ego. Wprowadzee rzy wyzaczau ocey grupowe, w celu uproszczea rozwaa, wprowadza s pewe załoea dotyczce postac zarówo oce espertów, a rówe ocey grupowe. Zazwycza załada s, e esperc ocea wszyste obety, poadto przymue s, e zarówo w oceach espertów, a w ocee grupowe e wystpu obety rówowae. Załoea te w stoty sposób zawa las rozwzywaych problemów. W esze pracy przyto, e esperc mog uza, e etóre obety s eporówywale bd erozróale (rówowae). Naley zauway, e s to róe sytuace. oadto przyto, e obety rówowae mog wystpowa w ocee grupowe. roblem rówowaoc obetów w oceach espertów był rozwaay m.. w pracach Cooa Seforda (978), Armstroga. (98), Bury Wagera (8a)). Aalza molwoc wystpowaa obetów rówowaych w ocee grupowe est bardze złooa. Bury Wager (8a, b) zastosowal ułamowy zaps pozyc obetów zapropooway przez Cooa Seforda (978) w celu uwzgldea obetów rówowaych w ocee grupowe wyzaczae za pomoc algorytmów Bordy oraz meda Kemey ego, Ltvaa Cooa-Seforda. Rchards. (6) przedstawl zastosowae metody Bordy do wyzaczaa ocey grupowe dla porzdów czcowych. Coo. (986) zapropoowal zastosowae dwóch zero-edyowych macerzy azywaych macerzam formac preferec - do opsu trzech rozwaaych waratów op podawaych przez espertów: csłe preferec (porzde lowy bez rówowaoc), słabe preferec (porzde lowy z rówowaocam) oraz eporówywaloc obetów (porzde czcowy). rzyl o, e ocea grupowa wyzaczaa est ao uporzdowae, tórego odległo sformułowaa za pomoc macerzy formac oraz preferec od zboru op podaych espertów est amesza. odece to przedstawoo w puce.

2 8 Haa Bury, Darusz Wager Zastosowae meday Kemey ego do wyzaczaa ocey grupowe dla porzdów czcowych W pracy przeaalzowao zagadee wyzaczaa ocey grupowe w sytuac, gdy załada s, e esperc e s w stae porówa ze sob etórych obetów oraz gdy dopuszcza s molwo wystpowaa obetów rówowaych zarówo w oceach espertów, a w ocee grupowe. rzyto, e zostae zastosowaa metoda meday Kemey ego polegaca a mmalzac odległoc szuaego uporzdowaa od zboru uporzdowa podaych przez espertów. (Zagadee wyzaczaa odległoc przedstawoo w pracy Bury, Wager (9)). odao przyłady umerycze oraz porówao otrzymae wy z uzysaym dla odległoc defowae za pomoc macerzy porówa param.. zaczea defce Nech ozacza zbór obetów,, =,..., oraz = {,..., K} zbór espertów dooucych ocey. rzyto, e ocey espertów ma charater porzdów czcowych. Załadamy, e wszyste rozwaae relace mdzy obetam odosz s do przytego ryterum (ryterów) ch porówywaa. Dla uproszczea zapsu w dalszych rozwaaach to zało- ee est pomae. Wprowadzamy astpuce ozaczea:, eel zdaem esperta obet est lepszy od,, eel zdaem esperta obety s rówowae,, eel zdaem esperta obet est lepszy od obetu,, eel zdaem esperta obetu e moa porówywa z obetem. W przypadu wystpowaa obetów eporówywalych (esperc poda porzde czcowy) macerz porówa param ma astpuc posta. Defca Ltva (98) A = [a ], gdze a = gdze est pew lczb całowt. eel eel eel eel, () W celu ułatwea badaa przechodoc op espertów w pracy (Bury, Wager (9)) zapropoowao wprowadzee macerzy bare B, bdce przeształceem macerzy porówa param A. Elemety macerzy B s oreloe astpuco (dla uproszczea zapsu des ozaczacy umer esperta został pomty).

3 LSKIE STWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały, r, 9 9 Defca (Bury, Wager (9)) Jeel, to b b b b =, b =, b =, b =, b = =. () = dległo mdzy zborem op espertów () = {,, K } da op moe by defowaa za pomoc macerzy porówa param A oraz macerzy bare B. Defca (Ltva (98)) Jeel załoymy, ze w opach espertów mog wystpowa obety rówowae lub tae, tórych e moa porówa, to odległo mdzy par obetów (, ) w op par obetów (, ) w op daa est zaleoc gdze d przy czym (, ) d(, ) + d(, ) + d(, ) (, ) I =, () (, ) I (, ) I = I zbór par desów (, ) tach, e w op lub, I zbór par desów (, ) tach, e w op, I zbór par desów (, ) tach, e w op, eel w op d(, ) =, ω >. () (, ) I w przecwym przypadu ω W aalogczy sposób moa zdefowa odległo mdzy opam espertów za pomoc macerzy B. Defca (Bury, Wager (9)) dległo d dae op od zboru op podaych przez espertów () = {,,, K } daa est zaleoc K = K = = = () d (, ) = d(, ) = d (, ) = b b. (). Wyzaczae meday Kemey ego K = = = Medaa Kemey ego est to uporzdowae ame odległe, w sese przyte odległoc, od zboru op podaych przez espertów. Zadae wyzaczaa meday Kemey ego moa sformułowa ao zadae optymalzac m d(, () ) ^. (6)

4 Haa Bury, Darusz Wager Zastosowae meday Kemey ego do wyzaczaa ocey grupowe dla porzdów czcowych Defuc pewe pomoccze macerze, tzw. macerze strat [r ] (Ltva (98), Bury, Wager (8b), rozpatrywae zagadee moa przedstaw ao problem optymalzac całowtolczbowe (bdcy uogóloym zagadeem przydzału). m d(, () ) = m x r x = =, (7) eel gdze x =. (8) w przecwym raze Zadae to wymaga sformułowaa dodatowych waruów zapewacych przechodo uzysaych rozwza, co staow stote utrudee. Ia molwo wyzaczea uporzdowaa ^ polega a przeszuau zboru wszystch molwych uporzdowa (metoda przegldu zupełego). Zagadee to zostało opsae m.. w pracy Bury, Wager (8b). Zadae zadowaa uporzdowaa ^ w zborze porzdów czcowych est bardze zło- oe (ze wzgldu a lczb molwych postac op espertów) wymaga rozwaea racoalo- c poszuwaa ocey grupowe dopuszczace wystpowae obetów eporówywalych. W dalszych rozwaaach załadamy, e szuamy ocey grupowe ( ^ ) w zborze porzdów lowych (obety rówowae s dopuszczale). Lczoc zborów molwych postac op espertów dla róych porzdów w zaleoc od lczby obetów przedstawoo w tabel (Bogart (97), Guzc, Zarzews ()). Tabela. Lczoc zborów molwych postac op espertów dla róych porzdów w zaleoc od lczby obetów bez obetów rówowaych porzde lowy z obetam rówowaym porzde czcowy (bez obetów rówowaych) = 6 9 = 7 9 = = = Na rysuu przedstawoo wszyste molwe porzd czcowe dla trzech obetów (bez obetów rówowaych).

5 LSKIE STWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały, r, 9 Rys.. Wszyste molwe porzd czcowe dla trzech obetów Lczo rozpatrywaych zborów roe szybo ze wzrostem lczby obetów. słabae załoe dotyczcych charateru op espertów (lowe, lowe z rówowaocam, czcowe) powodue bardzo zaczy wzrost lczby op, ae aleałoby rozpatrze, co w stoty sposób ogracza stosowae metody przegldu zupełego.. rzyłady oblczeowe Rozpatrzymy zadaa wyzaczaa ocey grupowe metod meday Kemey ego z zastosowaem macerzy porówa param oraz odpowadace e macerzy bare w sytuac, gdy esperc mog porówa wszyste obety oraz gdy esperc e mog porówa ze sob etórych obetów. Wyorzystao metod przegldu zupełego. rzyład 6. Rozwamy uporzdowaa czterech obetów podae przez pcu espertów. Załadamy, e wszyste obety s porówywale, obety rówowae s ute w awasach. :,,, :,,, : (,, ), :,,, : (, ), (, ) W zborze lowych porzdów z rówowaocam rozwzaem zadaa (6) est uporzdowae {, (,, )}. Jego odległo od zboru { () } wyos, zarówo dla odległoc wyzaczae za pomoc macerzy porówa param A (), a macerzy barych B (). W zborze lowych porzdów bez rówowaoc rozwzaam zadaa (6) s astpuce uporzdowaa,,,,,,

6 Haa Bury, Darusz Wager Zastosowae meday Kemey ego do wyzaczaa ocey grupowe dla porzdów czcowych,,,,,,. Zgode z oczewaem ch odległoc od zboru { () } defowae przy uycu macerzy A, a B s rówe wyosz. rzyład 7. Rozwamy ocey czterech obetów podae przez pcu espertów. cey podae przez perwszych czterech espertów zostały zapsae w postac uporzdowa, obety rówowae ute s w awasach. stat espert podał porzde czcowy. :,,, :, (, ), :,,, : (,, ), : Macerze A B (dla op podae przez ptego esperta) ma posta A = B = (9) W zborze lowych porzdów z rówowaocam zadae (6) ma trzy rozwzaa. S oe tae same dla odległoc wyzaczae z zastosowaem zarówo macerzy A, a B: (, ),,,, (, ),, (,, ),. dległoc podaych uporzdowa od zboru op espertów s oczywce róe; d m,a = (dla = -), d m,b =. W zborze lowych porzdów bez rówowaoc rozwzaam zadaa (6) s astpuce uporzdowaa, tae same dla odległoc wyzaczae z zastosowaem zarówo macerzy A a B:,,,,,,,,,,, Ich odległo od zboru op espertów { () } wyos w przypadu zastosowaa macerzy B oraz w przypadu zastosowaa macerzy A. Nastpy przyład poazue, e ocey grupowe otrzymae przy uycu macerzy B lub A mog s ró.

7 LSKIE STWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały, r, 9 rzyład 8 Rozwamy ocey pcu obetów podae przez pcu espertów. stat espert podał porzde czcowy, a w przyładze. Dla wygody, ocey podae przez pozostałych espertów zostały zapsae w postac uporzdowa, obety rówowae ute s w awasach. :,,,, : (,, ),, :, (, ), (, ) :, (, ),, : Macerze A B (dla op podae przez ptego esperta) ma posta A = B = () W zborze lowych porzdów z rówowaocam zadae (6) ma dwa rozwzaa dla odległoc wyzaczae z zastosowaem macerzy A: (, ),,, oraz (, ),, (, ), przy czym d m,a = 8 (dla =-) oraz edo rozwzae dla odległoc wyzaczae z zastosowaem macerzy B: (, ),,,, d m,b =. W zborze lowych porzdów bez rówowaoc rozwzaem zadaa (6) est uporzdowae, tae samo dla odległoc wyzaczae z zastosowaem zarówo macerzy A, a B:,,,,, przy czym d m,a = 9 (dla = -), d m,b =.. odece dwumacerzowe Coo. (986) zapropoowal wyzaczae meday Kemey ego w przypadu wystpowaa rówowaoc lub eporówywaloc obetów w opach espertów przy uycu dwóch

8 Haa Bury, Darusz Wager Zastosowae meday Kemey ego do wyzaczaa ocey grupowe dla porzdów czcowych macerzy macerzy formac F oraz macerzy preferec G zastosowaych do zapsu op espertów. eel s porówywae (cle preferowae lub rówowae) f = () w przecwym raze eel g =. () w przecwym raze rzyład 9 Dla op podae przez ptego esperta z przyładu 7 mamy F = G = () Defca (Coo. (986)) dległo mdzy opam ma posta FG d ( =, ) f f + g g. () = = W pracy (Coo. (986)) wyazao, e ta zdefowaa odległo speła asomaty odległo- c sformułowae przez Kemey ego Sella (96). cea grupowa (medaa) ^ est defowaa ao opa, tóra mmalzue odległo K = d FG (, ) = K = = = f f + g w zborze wszystch porzdów czcowych. g, () FG Wartoc odległoc d (, ) dla molwych ombac połoea obetów oraz w opach oraz przedstawoo w tabel.

9 LSKIE STWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały, r, 9 FG Tabela. Wartoc odległoc d (, ) dla molwych ombac połoea obetów oraz w opach oraz opa opa d FG ( ( ( ( (, ) (f =, g =) (f =, g =) (f =, g =) (f =, g =) f =, g =) ½ f =, g =) ½ f =, g =) ½ f =, g =) ½ ½ ½ rzyta przez Cooa. (986) defca odległoc () ró s od odległoc zdefowaych za pomoc zaleoc () (). Zadae () było rozwzywae w zborze porzdów lowych metod przegldu zupełego. Dla op espertów przedstawoych w przyładach 6 7 rozwzaa uzysae dla odległo- c d FG były zgode z otrzymaym dla odległoc defowae za pomoc macerzy A B. Dla op z przyładu 8 ocea grupowa w sese odległoc d FG mała posta:,,,, przy załoeu brau obetów rówowaych, d FG = oraz przy załoeu rówowaoc obetów (, ),, (, ) (, ), (,, ), d FG =. ratycza mplemetaca zadaa () w zborze porzdów czcowych (e rozwaaa w omawae pracy) est złooym problemem optymalzac dysrete. Naley w m uwzgld zarówo przechodo op espertów, a rówe otrzymywaych rozwza (ocey grupowe). 6. Uwag ocowe Uogólee metod wyzaczaa ocey grupowe a przypad, gdy esperc e mog rozró obetów, bd ch porówa est stote dla pratyczych zastosowa. W szczególoc uwzgldee tych sytuac w ocee grupowe zaczco rozszerza las zada, ae mog by rozwzywae. odece zapropoowae przez Ltvaa () umolwa rozwaae porzdów czcowych podawaych przez espertów. Zapropoowaa przez autorów modyfaca tego podeca () ułatwa wyzaczae ocey grupowe (w zborze porzdów lowych) a podstawe mmalzac odległoc od zboru op espertów metod przegldu zupełego. Rozwzae zadaa mmalzac (7) (8), tóre umolwłoby wyzaczae ocey grupowe w przypadu wsze lczby obetów, pozostae spraw otwart.

10 6 Haa Bury, Darusz Wager Zastosowae meday Kemey ego do wyzaczaa ocey grupowe dla porzdów czcowych Bblografa. Armstrog R.D., Coo W.D., Seford L.M., (98), rorty rag ad cosesus formato: The case of tes, Maagemet Scece, 8, o. 6, pp Bogart K.., (97), referece structures I: Dstaces betwee trastve preferece relatos, Joural of Mathematcal Socology,, pp Bury H., Wager D., (8a), Group Judgemet Wth Tes. Dstace-Based Methods. I: Aschema H. (Ed.): New Approaches Automato ad Robotcs. I-Tech Educato ad ublshg, Vea, Austra, ss Bury H., Wager D., (8b), ozycye ocey grupowe dla obetów rówowaych. W: wss J.W., Nahors Z., Szapro T. (Red.): Badaa operacye systemowe: decyze, gospodara, aptał ludz ao. Istytut Bada Systemowych AN, olse Towarzystwo Badaperacyych Systemowych, Warszawa, ss Bury H., Wager D., (9), cea grupowa dla porzdów czcowych. Wyzaczae odległoc. 6. Coo W.D., Seford L.M., (978), rorty rag ad cosesus formato, Maagemet Scece,, o. 6, pp Coo W.D., Kress M., Seford L.M., (986), Iformato ad preferece partal orders: a bmatrx represetato, sychometra, vol., o., pp Guzc W., Zarzews., (), Wyłady ze wstpu do matematy. Wprowadzee do teor mogoc, WN Warszawa. 9. Kemey J.G., Sell L.J., (96), referece Rag: A Axomatc Approach. I J.G. Kemey ad L.J. Sell, Mathematcal Models the Socal Sceces, New Yor, G.. Ltva B.G., (98), Espertaa formaca. Metody połuczea aalza, Rado Swaz, Moswa.. Rchards W., Seug H.S., ccard G., (6), Neural votg maches, Neural Networs, vol. 9, ssue 8, pp.6-67.

11 LSKIE STWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materały, r, 9 7 THE KEMENY MEDIAN FR ARTIAL RDERS Summary The paper s cocered wth determg group udgemet for the case whe experts opos are gve the form of partal orders ad ted alteratves ca occur experts opos as well as group udgemet. The Kemey meda method s appled to solve the problem of mmzato of the dstace betwee preferece orders. Keywords: group decsos, partal order of alteratves, dstace betwee preferece orders, the Kemey meda method Haa Bury Darusz Wager Istytut Bada Systemowych olsa Aadema Nau -7 Warszawa, Newelsa 6 e-mal: bury@bspa.waw.pl d.wager@bspa.waw.pl