Metoda macierzowych ułamków łańcuchowych w badaniu ewolucji stochastycznych układów dynamicznych

Transkrypt

1 Metoda macierzowych ułamków łańcuchowych w badaniu ewolucji stochastycznych układów dynamicznych projekt pracy magisterskiej Jan Iwaniszewski Instytut Fizyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 1//

2 Abstrakt W wielu problemach fizycznych istotn a rolȩ odgrywaj a fluktuacje wynikaj ace ze statystycznej natury problemu (np. ruch dużej cz astki w płynie), losowych zaburzeń zewnȩtrznych (np. losowe zmiany parametrów steruj acych prac a lasera), czy też z natury kwantowej zagadnienia (np. emisja spontaniczna w atomach). Z uwagi na zależność od czasu fluktuacji oraz ich statystyczny charakter opis zagadnień tego rodzaju jest dużo bardziej złożony niż układów deterministycznych, czasem wrȩcz niemożliwy. Istotnym narzȩdziem dla badania stochastycznych układów dynamicznych s a wiȩc różnego rodzaju symulacje i obliczenia numeryczne. Od ponad trzydziestu lat bardzo owocn a metod a, stosowan a zwłaszcza w badaniu ewolucji i innych zależności czasowych, jest metoda macierzowych ułamków łańcuchowych. Korzysta ona z przedstawienia równań ewolucji badanego układu w postaci rekurencyjnych równań algebraicznych, których rozwi azanie sprowadza siȩ do prostego algorytmu wyrażonego przez macierzowe ułamki łancuchowe. Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 2//

3 Plan wykładu Dynamika stochastyczna: podstawowe równania, stan stacjonarny bistabilność. Numeryczne badanie ewolucji: rozwiniȩcie w zadanej bazie, metoda macierzowych ułamków łańcuchowych. Tematyka pracy: ewolucja ze stanu niestabilnego, przejściowa wielomodalność, rozpad stanu metastabilnego. Praca magisterska: cel pracy i wymagane umiejȩtności, plan pracy. Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 3//

4 Cz astka Browna punkt materialny o masie m i współrzȩdnej x ruch w polu siłyf det (x,t) mẍ=f det (x,t)= x U(x,t) U (x,t) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 4//

5 Cz astka Browna punkt materialny o masie m i współrzȩdnej x ruch w polu siłyf det (x,t) mẍ=f det (x,t)= x U(x,t) U (x,t) oddziaływanie z otoczeniem mẍ= F det (x,t) + F dys (x,t) + F flukt (x,t) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 4//

6 Cz astka Browna punkt materialny o masie m i współrzȩdnej x ruch w polu siłyf det (x,t) mẍ=f det (x,t)= x U(x,t) U (x,t) oddziaływanie z otoczeniem mẍ= F det (x,t) + F dys (x,t) + F flukt (x,t) siła deterministyczna F det (x,t)= U (x,t) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 4//

7 Cz astka Browna punkt materialny o masie m i współrzȩdnej x ruch w polu siłyf det (x,t) mẍ=f det (x,t)= x U(x,t) U (x,t) oddziaływanie z otoczeniem mẍ= F det (x,t) + F dys (x,t) + F flukt (x,t) siła deterministyczna F det (x,t)= U (x,t) siła tłumi aca (dysypatywna) F dys (x,t)= Γẋ(Γ γm) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 4//

8 Cz astka Browna punkt materialny o masie m i współrzȩdnej x ruch w polu siłyf det (x,t) mẍ=f det (x,t)= x U(x,t) U (x,t) oddziaływanie z otoczeniem mẍ= F det (x,t) + F dys (x,t) + F flukt (x,t) siła deterministyczna F det (x,t)= U (x,t) siła tłumi aca (dysypatywna) F dys (x,t)= Γẋ(Γ γm) siła losowa (stochastyczna) - fluktuacje F flukt (x,t)=f flukt (t) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 4//

9 Równanie Langevina siła stochastyczna założenia upraszczaj ace: nie zależy od położeniaf flukt (x,t) mξ(t) rozkład Gaussowski wartości, średnia znika ξ(t) = 0 nieskończenie szybkie zmiany jej wartości brak korelacji wartości w różnych chwilach czasu ξ(t)ξ(t ) =2kTγ/mδ(t t ), intensywność szumu T Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 5//

10 Równanie Langevina siła stochastyczna założenia upraszczaj ace: nie zależy od położeniaf flukt (x,t) mξ(t) rozkład Gaussowski wartości, średnia znika ξ(t) = 0 nieskończenie szybkie zmiany jej wartości brak korelacji wartości w różnych chwilach czasu ξ(t)ξ(t ) =2kTγ/mδ(t t ), intensywność szumu T ξ(t) biały szum Gaussa Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 5//

11 Równanie Langevina siła stochastyczna założenia upraszczaj ace: nie zależy od położeniaf flukt (x,t) mξ(t) rozkład Gaussowski wartości, średnia znika ξ(t) = 0 nieskończenie szybkie zmiany jej wartości brak korelacji wartości w różnych chwilach czasu ξ(t)ξ(t ) =2kTγ/mδ(t t ), intensywność szumu T ξ(t) biały szum Gaussa mẍ= U (x,t) γmẋ+mξ(t) równanie Langevina Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 5//

12 Równanie Langevina siła stochastyczna założenia upraszczaj ace: nie zależy od położeniaf flukt (x,t) mξ(t) rozkład Gaussowski wartości, średnia znika ξ(t) = 0 nieskończenie szybkie zmiany jej wartości brak korelacji wartości w różnych chwilach czasu ξ(t)ξ(t ) =2kTγ/mδ(t t ), intensywność szumu T ξ(t) biały szum Gaussa mẍ= U (x,t) γmẋ+mξ(t) równanie Langevina ẋ=v v= γv U (x,t)/m+ξ(t) γ 1(ruch przetłumiony) v=0 ẋ= U (x,t)/γm+ξ(t)/γ Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 5//

13 Równanie Langevina siła stochastyczna założenia upraszczaj ace: nie zależy od położeniaf flukt (x,t) mξ(t) rozkład Gaussowski wartości, średnia znika ξ(t) = 0 nieskończenie szybkie zmiany jej wartości brak korelacji wartości w różnych chwilach czasu ξ(t)ξ(t ) =2kTγ/mδ(t t ), intensywność szumu T ξ(t) biały szum Gaussa mẍ= U (x,t) γmẋ+mξ(t) równanie Langevina ẋ=v v= γv U (x,t)/m+ξ(t) przeskalowanie czasu t=γm t γ 1(ruch przetłumiony) v=0 ẋ= U (x,t)/γm+ξ(t)/γ ẋ= Ũ (x, t)+ ξ( t) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 5//

14 Równanie Fokkera-Plancka x, v zmienne losowe = opis w jȩzyku teorii prawdopodobieństwa Prob{x x(t)<x+dx,v v(t)<v+dv}=p(x,v,t)dxdv rozkład prawdopodobieństwa P(x, v, t) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 6//

15 Równanie Fokkera-Plancka x, v zmienne losowe = opis w jȩzyku teorii prawdopodobieństwa Prob{x x(t)<x+dx,v v(t)<v+dv}=p(x,v,t)dxdv rozkład prawdopodobieństwa P(x, v, t) ewolucja P(x, v, t) równanie Fokkera-Plancka Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 6//

16 Równanie Fokkera-Plancka x, v zmienne losowe = opis w jȩzyku teorii prawdopodobieństwa Prob{x x(t)<x+dx,v v(t)<v+dv}=p(x,v,t)dxdv rozkład prawdopodobieństwa P(x, v, t) ewolucja P(x, v, t) równanie Fokkera-Plancka P(x,v,t) t = { x [ v]+ v [γv+u (x,t)/m]+ γkt m 2 } v 2 P(x,v,t) równanie Kramersa ( r. Langevinamẍ= U (x,t) γmẋ+mξ(t) ) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 6//

17 Równanie Fokkera-Plancka x, v zmienne losowe = opis w jȩzyku teorii prawdopodobieństwa Prob{x x(t)<x+dx,v v(t)<v+dv}=p(x,v,t)dxdv rozkład prawdopodobieństwa P(x, v, t) ewolucja P(x, v, t) równanie Fokkera-Plancka P(x,v,t) t = { x [ v]+ v [γv+u (x,t)/m]+ γkt m 2 } v 2 P(x,v,t) równanie Kramersa ( r. Langevinamẍ= U (x,t) γmẋ+mξ(t) ) P(x,t) t = 1 γm { } x U (x,t)+kt 2 x 2 P(x,t), t=γm t równanie Smoluchowskiego ( r. Langevinaẋ= Ũ (x, t)+ ξ( t) ) dalej pominiȩto "tyldȩ" Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 6//

18 Stan stacjonarny P(x,t) t = { } x U (x)+q 2 x 2 P(x,t) L(x)P(x,t) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 7//

19 Stan stacjonarny P(x,t) t = { } x U (x)+q 2 x 2 P(x,t) L(x)P(x,t) potencjał U(x) ogranicza ruch cz astki np:u(x)= 1 2 x2,u(x)= 1 4 x4 ± 1 2 x2 rozwi azanie stacjonarne P(x,t)/ t=0 P st (x)=nexp( U(x)/q) P(x) U(x)=x 4 /4+x 2 / U(x) U(x)=x 2 / U(x)=x 4 /4 x 2 /2+1/ x Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 7//

20 Stan stacjonarny P(x,t) t = { } x U (x)+q 2 x 2 P(x,t) L(x)P(x,t) potencjał U(x) ogranicza ruch cz astki np:u(x)= 1 2 x2,u(x)= 1 4 x4 ± 1 2 x2 rozwi azanie stacjonarne P(x,t)/ t=0 P st (x)=nexp( U(x)/q) P(x) U(x)=x 4 /4+x 2 / U(x) U(x)=x 2 / U(x)=x 4 /4 x 2 /2+1/ x monostabilność bistabilność Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 7//

21 Ewolucja metody rozwi azań rozwi azanie ścisłe oscylator harmonicznyu(x)=x 2 /2 rozwi azania przybliżone algorytmy numeryczne Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 8//

22 Ewolucja metody rozwi azań rozwi azanie ścisłe oscylator harmonicznyu(x)=x 2 /2 rozwi azania przybliżone algorytmy numeryczne równanie Schrödingera i t ψ(x,t)=h(x)ψ(x,t) ψ(x,t)=e i/ Et ϕ(x) H(x)ϕ(x) = Eϕ(x) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 8//

23 Ewolucja metody rozwi azań rozwi azanie ścisłe oscylator harmonicznyu(x)=x 2 /2 rozwi azania przybliżone algorytmy numeryczne równanie Schrödingera i t ψ(x,t)=h(x)ψ(x,t) ψ(x,t)=e i/ Et ϕ(x) H(x)ϕ(x) = Eϕ(x) równanie Fokkera Plancka t P(x,t)=L(x)P(x,t) P(x,t)=e λt ϕ(x) L(x)ϕ(x) = λϕ(x) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 8//

24 Ewolucja metody rozwi azań rozwi azanie ścisłe oscylator harmonicznyu(x)=x 2 /2 rozwi azania przybliżone algorytmy numeryczne równanie Schrödingera i t ψ(x,t)=h(x)ψ(x,t) ψ(x,t)=e i/ Et ϕ(x) H(x)ϕ(x) = Eϕ(x) równanie Fokkera Plancka t P(x,t)=L(x)P(x,t) P(x,t)=e λt ϕ(x) L(x)ϕ(x) = λϕ(x) 1. zagadnienie własne Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 8//

25 Ewolucja metody rozwi azań rozwi azanie ścisłe oscylator harmonicznyu(x)=x 2 /2 rozwi azania przybliżone algorytmy numeryczne równanie Schrödingera i t ψ(x,t)=h(x)ψ(x,t) ψ(x,t)=e i/ Et ϕ(x) H(x)ϕ(x) = Eϕ(x) równanie Fokkera Plancka t P(x,t)=L(x)P(x,t) P(x,t)=e λt ϕ(x) L(x)ϕ(x) = λϕ(x) 1. zagadnienie własne 2. dyskretyzacja zmiennych Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 8//

26 Ewolucja metody rozwi azań rozwi azanie ścisłe oscylator harmonicznyu(x)=x 2 /2 rozwi azania przybliżone algorytmy numeryczne równanie Schrödingera i t ψ(x,t)=h(x)ψ(x,t) ψ(x,t)=e i/ Et ϕ(x) H(x)ϕ(x) = Eϕ(x) równanie Fokkera Plancka t P(x,t)=L(x)P(x,t) P(x,t)=e λt ϕ(x) L(x)ϕ(x) = λϕ(x) 1. zagadnienie własne 2. dyskretyzacja zmiennych 3. rozkład w bazie funkcji ortogonalnych P(x,t)= n c n (t)ϕ n (x) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 8//

27 Rozwiniȩcie w bazie funkcji Hermite a { } P(x,t) = t x U (x)+q 2 x 2 P(x,t) U(x)=a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +a 4 x 4... P(x,t)= n=0 c n (t)e α2 x 2 2 H n (αx), c n (t)=? (α- skalowanie) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 9//

28 Rozwiniȩcie w bazie funkcji Hermite a { } P(x,t) = t x U (x)+q 2 x 2 P(x,t) U(x)=a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +a 4 x 4... P(x,t)= n=0 c n (t)e α2 x 2 2 H n (αx), c n (t)=? (α- skalowanie) problem na całej osi rzeczywistej wielomiany Hermita H n(x) 2xH n(x)+2nh n (x)=0 H n(x)=2nh n 1 (x) xh n (x)= 1 2 H n+1(x)+nh n 1 (x) dxh m (x)h n (x)e x2 =δ m,n π2 n n! Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 9//

29 Rozwiniȩcie w bazie funkcji Hermite a { } / P(x,t) = t x U (x)+q 2 x 2 P(x,t) dxh m (αx)e α2 x 2 2 U(x)=a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +a 4 x 4... P(x,t)= c n (t)e α2 x 2 2 H n (αx), c n (t)=? (α- skalowanie) n=0 problem na całej osi rzeczywistej wielomiany Hermita H n(x) 2xH n(x)+2nh n (x)=0 H n(x)=2nh n 1 (x) xh n (x)= 1 2 H n+1(x)+nh n 1 (x) dxh m (x)h n (x)e x2 =δ m,n π2 n n! Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 9//

30 Rozwiniȩcie w bazie funkcji Hermite a { } / P(x,t) = t x U (x)+q 2 x 2 P(x,t) dxh m (αx)e α2 x 2 2 U(x)=a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +a 4 x 4... P(x,t)= c n (t)e α2 x 2 2 H n (αx), c n (t)=? (α- skalowanie) n=0 problem na całej osi rzeczywistej wielomiany Hermita H n(x) 2xH n(x)+2nh n (x)=0 H n(x)=2nh n 1 (x) xh n (x)= 1 2 H n+1(x)+nh n 1 (x) dxh m (x)h n (x)e x2 =δ m,n π2 n n! 2 P(x,t) c n, x 2P(x,t) {c n 2,c n,c n+2 } x xk P(x,t) {c n k 1,...,c n,...,c n+k+1 } Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 9//

31 Formuły rekurencyjne ċ n (t)= +L k= L A n+k n c n+k (t) L stopień wielomianuu(x) A macierz pasmowa o szerokości2l+1 Jeśli wu(x) nie ma nieparzystych potȩgx, toc 2m ic 2m+1 separuj a siȩ. Np. dlau(x)=x 2 /2 dwa ukł. z macierzami trójdiagonalnymi, dlau(x)=x 4 /4 x 2 /2 dwa ukł. z macierzami piȩciodiagonalnymi. Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 10//

32 Formuły rekurencyjne ċ n (t)= +L k= L A n+k n c n+k (t) L stopień wielomianuu(x) A macierz pasmowa o szerokości2l+1 Jeśli wu(x) nie ma nieparzystych potȩgx, toc 2m ic 2m+1 separuj a siȩ. Np. dlau(x)=x 2 /2 dwa ukł. z macierzami trójdiagonalnymi, dlau(x)=x 4 /4 x 2 /2 dwa ukł. z macierzami piȩciodiagonalnymi. wektorl-elementowy C m (t)= c ml c ml+1. c ml+l 1 Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 10//

33 Formuły rekurencyjne ċ n (t)= +L k= L A n+k n c n+k (t) L stopień wielomianuu(x) A macierz pasmowa o szerokości2l+1 Jeśli wu(x) nie ma nieparzystych potȩgx, toc 2m ic 2m+1 separuj a siȩ. Np. dlau(x)=x 2 /2 dwa ukł. z macierzami trójdiagonalnymi, dlau(x)=x 4 /4 x 2 /2 dwa ukł. z macierzami piȩciodiagonalnymi. wektorl-elementowy równanie ewolucji C m (t)= c ml c ml+1. c ml+l 1 Ċ m (t)=q mc m 1 (t)+q m C m (t)+q + mc m+1 (t) trójdiagonalna wektorowa relacja rekurencyjna (Q i m - macierzel L) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 10//

34 Zagadnienie pocz atkowe Ċ n (t)=q nc n 1 (t)+q n C n (t)+q + nc n+1 (t), war. pocz.c n (0)=C 0 n Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 11//

35 Zagadnienie pocz atkowe Ċ n (t)=q nc n 1 (t)+q n C n (t)+q + nc n+1 (t), war. pocz.c n (0)=C 0 n transformata Laplace a 0 dtc n (t)e st =C n (s), 0 dtċ n (t)e st = C 0 n+sc n (s) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 11//

36 Zagadnienie pocz atkowe Ċ n (t)=q nc n 1 (t)+q n C n (t)+q + nc n+1 (t), war. pocz.c n (0)=C 0 n transformata Laplace a 0 dtc n (t)e st =C n (s), 0 dtċ n (t)e st = C 0 n+sc n (s) Q nc n 1 (s)+(q n si)c n (s)+q + nc n+1 (s)= C 0 n Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 11//

37 Zagadnienie pocz atkowe Ċ n (t)=q nc n 1 (t)+q n C n (t)+q + nc n+1 (t), war. pocz.c n (0)=C 0 n transformata Laplace a 0 dtc n (t)e st =C n (s), 0 dtċ n (t)e st = C 0 n+sc n (s) Q nc n 1 (s)+(q n si)c n (s)+q + nc n+1 (s)= C 0 n obciȩcie dlan>n= C N+1 (s) 0 Q N C N 1(s)+(Q N si)c N (s)= C 0 N C N (s)=(si Q N ) 1 Q N C N 1(s)+(sI Q N ) 1 C 0 N Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 11//

38 Zagadnienie pocz atkowe Ċ n (t)=q nc n 1 (t)+q n C n (t)+q + nc n+1 (t), war. pocz.c n (0)=C 0 n transformata Laplace a 0 dtc n (t)e st =C n (s), 0 dtċ n (t)e st = C 0 n+sc n (s) Q nc n 1 (s)+(q n si)c n (s)+q + nc n+1 (s)= C 0 n obciȩcie dlan>n= C N+1 (s) 0 Q N C N 1(s)+(Q N si)c N (s)= C 0 N C N (s)=(si Q N ) 1 Q N C N 1(s)+(sI Q N ) 1 C 0 N C n (s)=s n (s)c n 1 (s)+a n (s) S n (s)=[si Q n Q + n S n+1(s)] 1 Q n A n (s)=[si Q n Q + n S n+1(s)] 1[ Q + na n+1 (s)+c 0 ] n dlan=0: Q 0 =0 S 0(s)=0 C 0 (s)=a 0 (s) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 11//

39 Ułamki łańcuchowe Np. przetłumiony oscylator harmoniczny:u(x)= 1 2 x2 ip(x,0)=p( x,) tylko parzyste indeksy; n=2m,c 2m d m,q 2m R m d m =R + md m+1 +R m d m +R md m 1 Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 12//

40 Ułamki łańcuchowe Np. przetłumiony oscylator harmoniczny:u(x)= 1 2 x2 ip(x,0)=p( x,) tylko parzyste indeksy; n=2m,c 2m d m,q 2m R m d m =R + md m+1 +R m d m +R md m 1 S m (s) = [ s R m R + m S m+1(s) ] 1 R m = = = R m s R m R + ms m+1 (s) R m R m+1 s R m R m + s R m+1 R + m+1 S m+2(s) r m + p m p m+1 r m+1 + p m+2 r m ułamek łańcuchowy Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 12//

41 Ułamki łańcuchowe Np. przetłumiony oscylator harmoniczny:u(x)= 1 2 x2 ip(x,0)=p( x,) tylko parzyste indeksy; n=2m,c 2m d m,q 2m R m d m =R + md m+1 +R m d m +R md m 1 S m (s) = [ s R m R + m S m+1(s) ] 1 R m = = = R m s R m R + ms m+1 (s) R m R m+1 s R m R m + s R m+1 R + m+1 S m+2(s) r m + p m p m+1 r m+1 + p m+2 r m ułamek łańcuchowy dla innych potencjałów macierzowy ułamek łańcuchowy Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 12//

42 Ewolucja ze stanu niestabilnego Np.U(x)= 1 4 x4 1 2 ax2 ekstrema potencjału: U (x)=x(x 2 a)=0 {}}{ x=0, a<0; x=0,± a, a> x 2 3 U(x) U(x)=x 4 /4+x 2 /2 P(x) U(x)=x 4 /4 x 2 /2 Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 13//

43 Ewolucja ze stanu niestabilnego bifurkacja Np.U(x)= 1 4 x4 1 2 ax2 ekstrema potencjału: U (x)=x(x 2 a)=0 {}}{ x=0, a<0; x=0,± a, a> x 2 3 U(x) U(x)=x 4 /4+x 2 /2 P(x) U(x)=x 4 /4 x 2 /2 2 X ekstr minimum 1 0 minimum maksimum 1 minimum a 4 Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 13//

44 Ewolucja ze stanu niestabilnego Np.U(x)= 1 4 x4 1 2 ax2 ekstrema potencjału: U (x)=x(x 2 a)=0 {}}{ x=0, a<0; x=0,± a, a> x 2 3 U(x) U(x)=x 4 /4+x 2 /2 P(x) U(x)=x 4 /4 x 2 /2 bifurkacja nagłe przeł aczenie, np.a= 1 naa=+1 x=0 stan niestabilny,p(x,t=0) δ(x) 2 X ekstr minimum 1 0 minimum maksimum 1 minimum a 4 Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 13//

45 Ewolucja ze stanu niestabilnego Np.U(x)= 1 4 x4 1 2 ax2 ekstrema potencjału: U (x)=x(x 2 a)=0 {}}{ x=0, a<0; x=0,± a, a> x 2 3 U(x) U(x)=x 4 /4+x 2 /2 P(x) U(x)=x 4 /4 x 2 /2 bifurkacja nagłe przeł aczenie, np.a= 1 naa=+1 x=0 stan niestabilny,p(x,t=0) δ(x) 2 X ekstr minimum 1 0 minimum maksimum 1 minimum a 4 M.Suzuki, Progr. Theor. Phys. 56, 77 (1976) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 13//

46 Przejściowa wielomodalność Ale... czy zawsze taki scenariusz? Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 14//

47 Przejściowa wielomodalność Ale... czy zawsze taki scenariusz? Np.U(x)= 1 6 x bx4 1 2 ax2 dlaa>0 potencjał bistabilny dlab<0inna forma ewolucji!!! Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 14//

48 Przejściowa wielomodalność Ale... czy zawsze taki scenariusz? Np.U(x)= 1 6 x bx4 1 2 ax2 dlaa>0 potencjał bistabilny dlab<0inna forma ewolucji!!! J.Iwaniszewski, Phys. Rev. A 45, 8436 (1992) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 14//

49 Przejściowa wielomodalność Ale... czy zawsze taki scenariusz? Np.U(x)= 1 6 x bx4 1 2 ax2 dlaa>0 potencjał bistabilny dlab<0inna forma ewolucji!!! przejściowa wielomodalność J.Iwaniszewski, Phys. Rev. A 45, 8436 (1992) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 14//

50 Przejściowa wielomodalność Ale... czy zawsze taki scenariusz? Np.U(x)= 1 6 x bx4 1 2 ax2 dlaa>0 potencjał bistabilny dlab<0inna forma ewolucji!!! laser przejściowa wielomodalność J.Iwaniszewski, Phys. Rev. A 45, 8436 (1992) układ elektroniczny J.Iwaniszewski et al., Phys. Rev. E 50, 3538 (1994) E.Arimondo et al., Europhys. Lett. 4, 287 (1987) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 14//

51 Praca magisterska Celem pracy jest zbadanie ewolucji ze stanu niestabilego w obecności fluktuacji parametrów kontrolnych, np. dla U(x)= 1 4 x4 1 2 (a 0+a 1 η(t))x 2,η(t) inny biały szum Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 15//

52 Praca magisterska Celem pracy jest zbadanie ewolucji ze stanu niestabilego w obecności fluktuacji parametrów kontrolnych, np. dla U(x)= 1 4 x4 1 2 (a 0+a 1 η(t))x 2,η(t) inny biały szum Praca polega na napisaniu programu komputerowego dla metody macierzowych ułamków łańcuchowych i zastosowaniu go w analizie powyższego problemu Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 15//

53 Praca magisterska Celem pracy jest zbadanie ewolucji ze stanu niestabilego w obecności fluktuacji parametrów kontrolnych, np. dla U(x)= 1 4 x4 1 2 (a 0+a 1 η(t))x 2,η(t) inny biały szum Praca polega na napisaniu programu komputerowego dla metody macierzowych ułamków łańcuchowych i zastosowaniu go w analizie powyższego problemu Od kandydata wymagana jest znajomość podstawowych pojȩć i zasad mechaniki i termodynamiki (na poziomie wykładów z Fizyki Ogólnej), elementarna znajomość algebry i rachunku prawdopodobieństwa, podstawowe umiejȩtności dotycz ace rachunku różniczkowego i całkowego (wykłady z analizy, algebry i MMF-u) oraz umiejȩtność programowania w Matlabie, Fortranie lub C. Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 15//

54 ewentualny inny temat pracy Ewolucja ze stanu metastabilnego dlat=0układ w minimum potencjału stan metastabilny k k Problem: Jak szybko układ opuszcza stan pocz atkowy? T T Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 16//

55 ewentualny inny temat pracy Ewolucja ze stanu metastabilnego dlat=0układ w minimum potencjału stan metastabilny T k T k Problem: Jak szybko układ opuszcza stan pocz atkowy? prawdop. przebywania w lewej jamiep L (t)= max dxp(x,t) dp L (t) k stała rozpadu, stała szybkości reakcji kp L (t) dt k 1 czas życia stanu metastabilnego Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 16//

56 ewentualny inny temat pracy Ewolucja ze stanu metastabilnego dlat=0układ w minimum potencjału stan metastabilny T k T k Problem: Jak szybko układ opuszcza stan pocz atkowy? prawdop. przebywania w lewej jamiep L (t)= max dxp(x,t) dp L (t) k stała rozpadu, stała szybkości reakcji kp L (t) dt k 1 czas życia stanu metastabilnego aktywacja termiczna prawo Arrheniusa (1889) k = A exp( U/kT) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 16//

57 ewentualny inny temat pracy Ewolucja ze stanu metastabilnego dlat=0układ w minimum potencjału stan metastabilny T k T k Problem: Jak szybko układ opuszcza stan pocz atkowy? prawdop. przebywania w lewej jamiep L (t)= max dxp(x,t) dp L (t) k stała rozpadu, stała szybkości reakcji kp L (t) dt k 1 czas życia stanu metastabilnego aktywacja termiczna prawo Arrheniusa (1889) k = A exp( U/kT) problem do zbadania w pracy magisterskiej: gigantyczne tłumienie aktywacji przez skorelowane z białym szumem ξ(t) fluktuacje parametrów kontrolnych układu A.J.R. Madureira, P. Hänggi, H.S. Wio, Phys. Lett. A217, 248 (1996) Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 16//

58 Plan pracy Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 17//

59 Plan pracy II 2006 (lub wcześniej) rozpoczȩcie, Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 17//

60 Plan pracy II 2006 (lub wcześniej) rozpoczȩcie, do IV 2006 ewolucja przetłumionego oscylatora harmonicznego (macierze1 1) wzory i program, Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 17//

61 Plan pracy II 2006 (lub wcześniej) rozpoczȩcie, do IV 2006 ewolucja przetłumionego oscylatora harmonicznego (macierze1 1) wzory i program, do VI 2006 ewolucja dla innych potencjałów (macierzowe ułamki łańcuchowe) uruchomienie programu, Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 17//

62 Plan pracy II 2006 (lub wcześniej) rozpoczȩcie, do IV 2006 ewolucja przetłumionego oscylatora harmonicznego (macierze1 1) wzory i program, do VI 2006 ewolucja dla innych potencjałów (macierzowe ułamki łańcuchowe) uruchomienie programu, do XI 2006 analiza przejściowej wielomodalności (lub aktywacji termicznej) z szumem addytywnym, Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 17//

63 Plan pracy II 2006 (lub wcześniej) rozpoczȩcie, do IV 2006 ewolucja przetłumionego oscylatora harmonicznego (macierze1 1) wzory i program, do VI 2006 ewolucja dla innych potencjałów (macierzowe ułamki łańcuchowe) uruchomienie programu, do XI 2006 analiza przejściowej wielomodalności (lub aktywacji termicznej) z szumem addytywnym, do II 2007 analiza przejściowej wielomodalności (lub aktywacji termicznej) z dwoma szumami: addytywnym i multyplikatywnym, Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 17//

64 Plan pracy II 2006 (lub wcześniej) rozpoczȩcie, do IV 2006 ewolucja przetłumionego oscylatora harmonicznego (macierze1 1) wzory i program, do VI 2006 ewolucja dla innych potencjałów (macierzowe ułamki łańcuchowe) uruchomienie programu, do XI 2006 analiza przejściowej wielomodalności (lub aktywacji termicznej) z szumem addytywnym, do II 2007 analiza przejściowej wielomodalności (lub aktywacji termicznej) z dwoma szumami: addytywnym i multyplikatywnym, do IV 2007 ewentualne rozszerzenie tematyki, Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 17//

65 Plan pracy II 2006 (lub wcześniej) rozpoczȩcie, do IV 2006 ewolucja przetłumionego oscylatora harmonicznego (macierze1 1) wzory i program, do VI 2006 ewolucja dla innych potencjałów (macierzowe ułamki łańcuchowe) uruchomienie programu, do XI 2006 analiza przejściowej wielomodalności (lub aktywacji termicznej) z szumem addytywnym, do II 2007 analiza przejściowej wielomodalności (lub aktywacji termicznej) z dwoma szumami: addytywnym i multyplikatywnym, do IV 2007 ewentualne rozszerzenie tematyki, do VI 2007 pisanie pracy magisterskiej, Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 17//

66 Plan pracy II 2006 (lub wcześniej) rozpoczȩcie, do IV 2006 ewolucja przetłumionego oscylatora harmonicznego (macierze1 1) wzory i program, do VI 2006 ewolucja dla innych potencjałów (macierzowe ułamki łańcuchowe) uruchomienie programu, do XI 2006 analiza przejściowej wielomodalności (lub aktywacji termicznej) z szumem addytywnym, do II 2007 analiza przejściowej wielomodalności (lub aktywacji termicznej) z dwoma szumami: addytywnym i multyplikatywnym, do IV 2007 ewentualne rozszerzenie tematyki, do VI 2007 pisanie pracy magisterskiej, VI 2007 Egzamin magisterski Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 17//

67 Plan pracy II 2006 (lub wcześniej) rozpoczȩcie, do IV 2006 ewolucja przetłumionego oscylatora harmonicznego (macierze1 1) wzory i program, do VI 2006 ewolucja dla innych potencjałów (macierzowe ułamki łańcuchowe) uruchomienie programu, do XI 2006 analiza przejściowej wielomodalności (lub aktywacji termicznej) z szumem addytywnym, do II 2007 analiza przejściowej wielomodalności (lub aktywacji termicznej) z dwoma szumami: addytywnym i multyplikatywnym, do IV 2007 ewentualne rozszerzenie tematyki, do VI 2007 pisanie pracy magisterskiej, VI 2007 Egzamin magisterski Zastosowania Komputerów w Fizyce 2005/6 17//