Prędkośd rozchodzenia się sprężystych fal podłużnych w ciałach stałych, cieczach i

Transkrypt

1 1 S t r o n a 6. Prędkośd rozchodzenia się sprężystych fal podłużnych w ciałach stałych, cieczach i gazach. Prawo Hooke a: Siła sprężystości: F Xsp = k. 0) Co do wartości bezwzględnej jest ona równa (lub siła równoważąca siłę sprężystości) F X = k. F X Rysunek 1 W Energia potencjalna sprężystości: E spr = W = F d = 1 0 k 1) i jak widad (Rysunek 1) jest ona równa polu pod krzywą. Prawo Hooke a: σ = F S = E l l 0 σ - naprężenie, E moduł Younga ) (Rysunek ) S - pole przekroju poprzecznego pręta, l 0 - długośd początkowa pręta, Δl wydłużenie po przyłożeniu siły F X równoważącej siłę sprężystości F Xsp. ε = l l 0 l 0 - wydłużenie względne. Δl F X Rysunek Prawo Hooke a jeszcze raz: σ = Δp = Eε 3)

2 S t r o n a Jak widad (porównując wzory 0 i - współczynnik k = SE ) energię potencjalną sprężystości odkształconego elementu można zapisad: E P = SEl 0 ε. 4) Również ciecze i gazy można poddawad odkształceniom sprężystym i stosowad prawo Hooke a. Wtedy odpowiednikiem naprężenia w ciele stałym jest dodatkowe ciśnienie Δp wywierane na rozpatrywany element płynu. W przypadku cieczy i gazów prawo Hooke a można zapisad w postaci: l 0 σ = Δp = K ΔV V 5) gdzie ΔV jest zmianą objętości, K nazywa się modułem ściśliwości. Znak - oznacza, że jeżeli zwiększa się objętośd (ΔV > 0), to ciśnienie gazu maleje (Δp < 0), a gdy gaz ulega sprężaniu (ΔV < 0), to ciśnienie gazu wzrasta (Δp > 0). Prędkośd rozchodzenia się fali podłużnej w ciele stałym. Rozpatrzmy metalowy pręt o przekroju S, w którym rozchodzi się wzdłuż niego podłużna fala płaska: ψ(, t) = Asin(ωt k), jak zostało to pokazane na rysunku 3a) Rysunek 3a + Rozpatrzmy niewielki (w granicy nieskooczenie krótki) wycinek pręta posiadający masę Δm, w którym rozchodzi się fala podłużna. Niech w pewnej chwili t wychylenie cząstek w położeniu jest równe Δψ, a na drugim koocu tego odcinka + niech będzie równe Δψ +. W wyniku tego na oba kooce wycinka będą działały siły sprężystości: F i F +,jak widad to na rysunku 3b): Δψ Δψ + Δm F F + + Rysunek 3b Siły te zgodnie ze wzorem 3 będą równe: SEε i SEε + lub korzystając ze wzoru : F X = SE ψ X i F X+ΔX = SE ψ X +Δ X Zatem wypadkowa siła działająca na ten element pręta jest równa: F wyp = F + F = SE ψ X +Δ X SE ψ X = SE ψ X +Δ X ψ X 6)

3 3 S t r o n a Kiedy przechodzimy od rozpatrywania elementu o skooczonej długości do elementu o nieskooczenie małego odpowiednie przyrosty musimy zastąpid różniczkami (przyrostami nieskooczenie małymi). Zatem równanie 6) musimy przepisad w postaci: F wyp = SE ψ + ψ 7) Zgodnie z drugą zasadą dynamiki, jeżeli na element Δm działa wypadkowa siła F wyp, to masa uzyskuje przyspieszenie a = d ψ d t, w tym wypadku ψ jest wychyleniem masy Δm z położenia równowagi: F wyp =Δm ψ t 8) Uwaga: Symbol - oznacza pochodną cząstkową i podkreśla, że dana funkcja (w naszym wypadku ψ) zależy od kilku zmiennych (w naszym wypadku zarówno od czasu t jak i położenia ). Gęstośd ciała to : ρ = Δm ΔV = Δm S Podstawiając 8) do 7) otrzymujemy: ρ S ψ t ψ = SE + ψ lub ρ ψ ψ = E t +Δ ψ 9) Wyrażenie po prawej stronie równania 9) możemy traktowad jako pochodną funkcji ψ gdy dąży do zera. A zatem to wyrażenie jest drugą pochodną wychylenia ψ po czasie t: ρ ψ t lub ρ ψ t po w przypadku = E ψ 10) E ψ = 0 lub ψ E ψ t ρ = 0 lub ψ 1 E ρ ψ t = 0 11) Jak widad, ostatnie wyrażenie ma postad równania falowego: ψ ψ v t = 0 1) Porównując 11) i 1) mamy: v = E ρ 13)

4 4 S t r o n a Jest to prędkośd rozchodzenia się fali podłużnej w ciele stałym. Jak widad prędkośd ta zależy od tego, na ile sprężyste jest ciało (im większy moduł Younga tym ciało bardziej sprężyste). Widzimy również, że prędkośd fazowa maleje wraz ze wzrostem gęstości ośrodka. Dla metali v = m/s. Na przykład dla miedzi v = 3560m/s, dla stali 4990m/s, a dla ołowiu który ma bardzo mały moduł Younga v = 100m/s. Prędkośd rozchodzenia się fali podłużnej w cieczach i gazach. Jak było powiedziane na początku wykładu prawo Hooke a dla cieczy i gazów możemy zapisad w postaci: σ = Δp = F S = K ΔV V Ponieważ ΔV i V można zapisad odpowiednio jako V = S ψ i V = S (patrz rysunek b) wyżej), to otrzymamy F Δψ = K i dalej równanie falowe dla fali rozchodzącej się w cieczy lub gazie możemy wyprowadzad S analogicznie jak wyżej. W szczególności prędkośd fali płaskiej możemy zapisad w postaci: v = K ρ 17) K jest modułem ściśliwości, a ρ jest gęstością cieczy lub gazu. Przykładowo dla wody w temperaturze 00C prędkośd rozchodzenia się fali wynosi: v = 1450m/s. Prędkośd fali dźwiękowej. Falę dźwiękową możemy traktowad jako ciąg zagęszczeo i rozrzedzeo gazu zachodzących pod wpływem zmian ciśnienia. W przypadku fal akustycznych (częstości od 16Hz do 0000Hz) rozchodzących się w gazach (w tym w powietrzu) zmiany objętości (zagęszczeo i rozrzedzeo) wybranego obszaru zachodzą tak szybko, że przepływ ciepła do i od tego obszaru możemy zaniedbad (proces transportu ciepła jest znacznie wolniejszy). Wtedy proces zmiany objętości wybranego obszaru gazu pod wpływem zmian ciśnienia możemy traktowad jako przemianę adiabatyczną. Jak wiemy prawo Hooke a dla odkształceo postaci można zapisad w postaci: Δp = K ΔV V 18) Zależnośd tę możemy przepisad w postaci: K = V dp dv 19) Równanie adiabaty ma postad pv κ = const 0) Po zróżniczkowaniu otrzymujemy:

5 5 S t r o n a dp V κ + p κ V κ 1 dv = 0 lub dp + p κ Vκ 1 V κ dv = 0 lub dp dv = pκ 1 V 1) Porównując 19) i 1) widzimy, że K = V pκ 1 V = pκ Podstawiając otrzymane wyrażenie na moduł ściśliwości K do wzoru 17) otrzymujemy: v = pκ ρ ) Jest to wzór na prędkośd fali akustycznej rozchodzącej się w ośrodku gazowym. Skorzystajmy z równania Clapeyrona: pv = m RT μ Podstawiając za m = ρv otrzymamy: p = RT ρ μ 3) Podstawiając 3) do ) otrzymujemy: v = RT μ κ 4) Dla powietrza w temperaturze kg C (T = 93K) mamy (µ = 9 10, μ= 1,4,R = 8,31J/mol): mol v = 8,31J /molk 93K kg mol 1,4 = 343m/s. Ta wielkośd pokrywa się z prędkością dźwięku zmierzoną eksperymentalnie. Prędkości fal akustycznych w powietrzu, jak widad ze wzoru 4), zależą od temperatury powietrza i od masy cząsteczkowej powietrza, a ta ostatnia zmienia się wraz ze zmianą wilgotności. Ogólnie prędkośd dźwięku w powietrzu waha się w granicach od 330m/s do 350m/s. Zależności energetyczne dla fal sprężystych: gęstośd objętościowa energii, strumieo energii, natężenie fali. Jak dobrze wiemy z codziennego doświadczenia każda fala niesie z sobą pewną energię. (Zastanów się nad przykładami). W celu opisania skutków oddziaływania energii niesionej przez falę na otoczenie wprowadza się pewne wielkości takie jak w, Φ lub J fali. Przyjrzyjmy się tym wielkościom: Gęstośd objętościową energii w jaką niesie z sobą fala definiujemy następująco:

6 6 S t r o n a w = Energia fali objętość = W V 5) gdzie ΔW jest pracą potrzebną do wytworzenia energii o takiej samej wartości. Jak widad gęstośd energii określa nam ilośd energii zawartej w jednostce objętości. Strumieo energii Φ określa szybkośd z jaką energia jest przekazywana z jednego miejsca do drugiego i zdefiniowana jest jako: Φ = P = W t gdzie P jest mocą. 6) Natężenie fali. Natężenie jest średnią gęstością powierzchniową strumienia energii. I = Φ S 7) gdzie S określa powierzchnię prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali (Rysunek 4). Tym samym natężenie fali I określa nam jaka jest średnia energia niesiona przez falę, która w ciągu jednostki czasu pada na jednostkową płaszczyznę prostopadłą do kierunku propagacji fali. S S vδt S v ΔV v Rysunek 4 Rysunek 5 Natężenie fali I można zapisad w postaci (Rysunek 5): I = Φ S = P S = W = w V = w v S t = w v 8) S t S t S t W równaniu powyższym uwzględniliśmy, że W = w ΔV W tym wypadku ΔV jest objętością fali która przepływa przez poprzeczny przekrój w czasie t (Rysunek 5). Jak widad jest ona równa objętości cylindra o podstawie S i wysokości v t. Natężenie fali można przedstawid również jako wektor: I = w v 9) Weźmy pod uwagę pręt, w którym wzbudzamy falę podłużną w punkcie 0 (Rysunek 6):

7 7 S t r o n a 0 + Rysunek 6 Obliczmy następnie energię kinetyczną E K jaką posiada bardzo mały element (w granicy nieskooczenie krótki) pręta, gdy rozchodzi się w nim fala płaska. E K = mv = ρ S ψ t 30) gdzie ψ t = v jest prędkością cząstek w elemencie. Na podstawie wiadomości z poprzedniego wykładu, wiemy, że: ψ t = Aωcos ωt k 31) Podstawiając 31) do 30) otrzymujemy wyrażenie na energię kinetyczną zgromadzoną w elemencie pręta o długości : E K = ρ S A ω cos ωt k 3) Odpowiednio gęstośd energii kinetycznej w K w pręcie: w K = W V = E K V = E K = ρa ω S cos ωt k 33) l 0 Δl 0 Δψ ψ Rysunek 7 F Obliczmy energię potencjalną E P zgromadzoną w odcinku pręta o długości (Rysunek 7). Zgodnie ze wzorem 4 z początku wykładu, można ją zapisad w postaci: E P = SEl 0 ε 34) A po uwzględnieniu oznaczeo z rysunku 6 wzór 34) możemy przepisad w postaci: E P = SE ψ 35)

8 8 S t r o n a Pochodna ψ jest równa: ψ = Akcos ωt k 36) Ostatecznie podstawiając 36) do 35) otrzymujemy: E P = SE cos ωt k 37) W rezultacie gęstośd energii potencjalnej zgromadzonej w pręcie wyniesie: w P = W V = E P V = E P S = Ek cos ωt k 38) Ponieważ E = ρv - patrz wzór 13) i v = ω k (poprzedni wykład), to: Ek = ρω 39) Podstawiając 39) do 38) otrzymujemy: w P = ρa ω cos ωt k 40) Porównując wzory 33) i 40) widzimy, że energia kinetyczna i energia potencjalna w fali mają takie same gęstości. w P = w K 41) Zatem całkowita gęstośd energii w C w pręcie, gdy rozprzestrzenia się w nim fala płaska dana jest wyrażeniem: w C = ρa ω cos ωt k 4) Z powyższych wzorów widad, ze obliczone energie ulegają zmianom w zależności od czasu jak i położenia. Jednak, jak łatwo pokazad średnia po czasie wartośd cos ωt k w danym miejscu jest równa 1. Zatem w C = 1 ρa ω 43) Ze wzoru 43) wynika, że średnia gęstośd energii w każdym punkcie fali jest taka sama. Podstawiając 43) do 8) możemy obliczyd natężenie fali: I = 1 ρa ω v 44) Widzimy, że natężenie fali jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy i do kwadratu częstości. Oczywiście zależy również liniowo od prędkości. Ostatnie wnioski możemy rozszerzyd na przypadek dowolnej fali. Amplituda fali kulistej.

9 9 S t r o n a Załóżmy, że fala jest emitowana przez punktowe źródło fal O (Rysunek 7). Niech moc źródła będzie stała. Tym samym średni strumieo energii przepływający przez powierzchnię ΔS 1 i średni strumieo przepływający przez powierzchnię ΔS muszą byd jednakowe. Φ 1 = Φ Zgodnie ze wzorem 7) Φ 1 = I 1 S 1 i Φ = I S czyli: I 1 S 1 = I S 45) S S 1 r 1 P O I 1 I r Ze względu na symetrię zjawiska, wszędzie na powierzchniach sfer natężenie fali będzie jednakowe i prostopadłe do tych sfer. W związku z tym równanie 45) możemy przepisad w postaci: I 1 4πr 1 = I 4πr 46) Czyli Rysunek 7 I 1 r 1 = I r a to oznacza, że Ir = costans 47) Wcześniej pokazaliśmy, że natężenie fali jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy: I = aa 48) gdzie a współczynnik proporcjonalności. Porównując 47) i 48) widzimy, że aa r = costans 49) Lub A = A r 50)

10 10 S t r o n a gdzie A wielkośd stała. Równanie fali kulistej możemy zatem zapisad w postaci: ψ(, t) = A sin(ωt kr) 51) r Z ostatniego równania wynika, że amplituda fali kulistej maleje odwrotnie proporcjonalnie z odległością r. Jak widzieliśmy, jest to bezpośrednią konsekwencją faktu, iż energia całkowita układu musi byd zachowana.