O pewnych aspektach teorii równań. Materia ly pomocnicze do wyk ladu dla Studium Doktoranckiego Matematyki

Transkrypt

1 O pewnych aspektach teorii równań różniczkowych Materia ly pomocnicze do wyk ladu dla Studium Doktoranckiego Matematyki Bogdan Przeradzki 18 października 2004 Przedstawimy tutaj dwa nurty badań zwiazanych z teoria równań różniczkowych. Ich wybór wynika wy l acznie z zainteresowań naukowych autora niniejszego opracowania, choć należy zaznaczyć, że sa to nurty niezwykle szybko rozwijajace sie w ostatnich latach. 1 Uk lady dynamiczne Rozważmy zagadnienie poczatkowe dla równania różniczkowego zwyczajnego: x = f (x), x (0) = x 0, gdzie f :R k U R k jest funkcja lipschitzowsko ciag l a w otwartym zbiorze U, x 0 U, a x oznacza różniczkowanie wzgledem zmiennej niezależnej t R. Zagadnienie to posiada jedyne rozwiazanie ϕ x0 określone w pewnym otoczeniu 0 R na mocy podstawowego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności. Przypuśćmy, że rozwiazanie to przed luża sie na ca l a prosta R dla dowolnego x 0 U. Wtedy funkcja U określona wzorem π (t, x) = ϕ x (t) 1

2 jest ciag la i ma dwie w lasności π (0, x) = x dla x U, π (t, π (s, x)) = π (t + s, x) dla t, s R, x U. Jeśli U zastapimy przez dowolna przestrzeń metryczna X i π : R X X ma powyższe w lasności, to mówimy, że w przestrzeni X określony jest uk lad dynamiczny. Na uk lad dynamiczny π : R X X możemy spojrzeć inaczej. Odwzorowania π t : X X, π t (x) = π (t, x) sa ciag le, π 0 = id x i (π t ) 1 = π t, wiec mamy ciag ly homomorfizm grupy (R, +) w grupe homeomorfizmów przestrzeni X (Homeo (X), ) t π t. Przez trajektorie punktu x w uk ladzie dynamicznym π rozumiemy zbiór O(x) = {π (t, x) : t R}. Nietrudno zauważyć, że przestrzeń X rozpada sie na rodzine parami roz l acznych trajektorii jeśli y O (x), to O(y) = O(x). Sa trzy rodzaje trajektorii: punkty sta le O(x) = {x}, trajektorie okresowe, gdy π(t, x) = x dla pewnego T > 0 jeśli T jest minimalna liczba o tej w lasności, to π(, x) jest homeomorfizmem odcinka [0, T ] ze sklejonymi końcami (czyli okregu w sensie topologicznym) na trajektorie O(x). Trzeci rodzaj trajektorii, to obrazy homeomorficzne prostej. Jeżeli rozwiazania równania x = f(x) nie sa przed lużalne na ca l a prosta, to równanie to możemy zastapić przez równanie postaci x = α(x)f(x), gdzie α : U (0, ), którego rozwiazania sa już przed lużalne, a trajektorie sa identyczne, jak dla wyjściowego równania. Fizycznie możemy to zinterpretować w ten sposób, że pierwsze równanie opisuje ruch punktów, które w skończonym czasie moga uciec do brzegu zbioru U lub do, a po przeskalowaniu ruch odbywa sie po tych samych torach, ale ze zmodyfikowana w ten sposób predkości a, że ucieczka jest niemożliwa. Abstrakcyjna teoria uk ladów dynamicznych stosuje sie także do równań różniczkowych czastkowych parabolicznych i hiperbolicznych. Przyk ladowo równanie reakcji-dyfuzji: u t = u + f (x, u), z warunkiem brzegowym u Ω = 0 i poczatkowym u (x, 0) = ϕ (x) prowadzi do uk ladu dynamicznego w przestrzeni Sobolewa H0 2 (Ω) : π (t, ϕ) (x) = u (x, t). Jest to już uk lad dynamiczny w przestrzeni nieskończenie wymiarowej. Do nieskończenie wymiarowych uk ladów dynamicznych prowadza też 2

3 równania z opóźnionym argumentem: x = f (x t ), x [ r,0] = ϕ C ( [ r, 0],R k), gdzie x t (s) = x (t + s). Tutaj π :R C ( [ r, 0],R k) C ( [ r, 0],R k). W uk ladach dynamicznych szczególna role odgrywaja zbiory niezmiennicze czyli takie zbiory domkniete A X, że π(t, A) A dla każdego t R. Zbiory takie wraz z każdym punktem x zawieraja ca l a trajektorie O(x), można wiec zamiast ca lego uk ladu π rozpatrywać jego redukcje do podzbioru A π R A : R A A. Zbiór niezmienniczy A może być przyciagaj acy tzn. posiadać pewne otoczenie U takie, że odleg lość d(π(t, x), A) daży do 0 przy t + i x U, może być też odpychajacy tzn. ta sama w lasność zachodzi dla t. Zbiór niezmienniczy przyciagaj acy (odp. odpychajacy) nie zawierajacy podzbiorów w laściwych o tej samej w lasności nazywany jest atraktorem (odp. repellerem). Szczególnym przyk ladem atraktora jest przyciagaj acy punkt sta ly x 0 : lim t d (π (t, x), x 0 ) = 0 dla x dostatecznie bliskich x 0 lub przyciagaj aca trajektoria okresowa. Dla równań różniczkowych x = f(x) taka w lasność punktu x 0 (tu f(x 0 ) = 0) przy f C 1 latwo sprawdzić; wystarczy znaleźć wartości w lasne macierzy f (x 0 ) jeśli ich cześci rzeczywiste sa ujemne, to punkt x 0 jest przyciagaj acy. Dla rozwiazania okresowego równania x = f(x) sytuacja jest nieco bardziej skomplikowana, ale również zbadana do końca. Od dawna jednak wiadomo (już Henri Poincaré, twórca jakościowej teorii równań różniczkowych o tym pisa l w 1989 r.), że pewne uk lady dynamiczne dane przez równania różniczkowe moga posiadać atraktory inne niż przyciagaj ace punkty sta le i trajektorie okresowe. Atraktor taki od razu musi mieć skomplikowana strukture topologiczna dlatego czesto nazywany jest dziwnym. W czasach Poincaré i poźniej znalezienie dziwnego atraktora by lo niemożliwe, bo środki teoretyczne zawodzi ly: czesto można by lo wykazać istnienie przyciagaj acego zbioru niezmienniczego A, ale udowodnienie, że nie jest on trajektoria okresowa o, być może bardzo dużym okresie, wykracza lo poza możliwości teorii topologicznej i analitycznej. Gdy pojawi ly sie komputery, możliwe sta lo sie rysowanie przybliżonych trajektorii równań różniczkowych ale nadal b l ad przybliżenia, zawsze obecny, pozostawia l możliwość, że trajektorie te zbliżaja sie do pewnej trajektorii okresowej o okresie wiekszym niż zakres obliczeń. Eksperymenty numeryczne wskaza ly jednak uk lady, w których takie atraktory sie pojawiaja. 3

4 Pierwszy by l atraktor w uk ladzie Lorenza (1963) [11] x = σ (y x), σ = 10 y = rx y xz, r > 24, 74 z = βz + xy, β = 8 3 (przybliżony opis równań czastkowych modelujacych konwekcje w atmosferze). Później uk lady o podobnym zachowaniu w eksperymentach numerycznych zaobserwowano wielokrotnie (Rössler, Chua, nieautonomiczne równanie Duffinga itp., a także w uk ladach nieskończenie wymiarowych). Wszystkie te uk lady wykazywa ly wspólne cechy: by ly nieliniowe, conajmniej 3-wymiarowe, a atraktor, którego istnienie można by lo wykazać mia l miare Lebesque a (µ 3 dla uk ladów 3-wymiarowych) równa 0. Badano wymiar tego atraktora: Hausdorffa, fraktalny, pojemnościowy i inne, i za każdym razem by l on mniejszy od wymiaru otaczajacej przestrzeni. Te w lasności maja jednak również trajektorie okresowe, nie można by lo wiec wykluczyć, że atraktor A jest taka trajektoria. Aby zaatakować problem dziwności atraktora teoretycznie dokonano pewnych uproszczeń. Po pierwsze zamiast czasu ciag lego t R ograniczono sie do czasu dyskretnego t Z. Uk lad dyskretny π : Z X X by l zadany przez podanie jednego homeomorfizmu f = π(1, ). Wtedy f n = π (n, ) - n-krotne z lożenie f z samym soba, f 1 = π ( 1, ) - odwzorowanie odwrotne. Możemy ewentualnie pójść dalej i opuścić za lożenie, że f : X X jest homeomorfizmem, pozostawiajac jedynie jego ciag lość. W takim przypadku można nadal mówić o trajektoriach O(x) = {f n (x) : n N}, punktach sta lych f (x 0 ) = x 0, trajektoriach okresowych f n 0 (x) = x dla pewnego n 0 > 1, o przyciaganiu, atraktorach itd. Zachowania podobne do uk ladów ciag lych typu Lorenza można zaobserwować już dla f µ :R Rdanego wzorem f µ (x) = µx(1 x) gdzie µ > 4. Uk lad taki posiada repeller A [0, 1], który jest zbiorem homeomoficznym ze zbiorem Cantora. Opis trajektorii leżacych w zbiorze A (sa to jedyne trajektorie ograniczone) jest zreszta zadziwiajacy. Po pierwsze f A : A A jest topologicznie tranzytywne tzn. z dowolnie ma lego otoczenia jednego punktu x można dojść dowolnie blisko drugiego punktu y i to dla każdych dwóch punktów x, y A. Po drugie f A jest wrażliwe na warunki poczatkowe tzn. trajektorie dwóch dowolnie bliskich punktów x, y A po pewnym czasie oddalaja sie na odleg lość wieksz a od pewnej liczby dodatniej d (f n (x), f n (y)) > ε 0 > 0. Po trzecie wreszcie w zbiorze A trajektorie okresowe tworza zbiór gesty. Wystepowanie tych trzech zjawisk w uk ladzie dynamicznym uznano za definicyjna w lasność 4

5 uk ladów chaotycznych. Wspó lcześnie przyjmowana definicja uk ladów chaotycznych jest nieco bardziej restrykcyjna, ale też jest prostsza do weryfikacji (uk lad chaotyczny to uk lad semisprzeżony z przesunieciem Bernoulliego - wyjaśnienie tych pojeć wykracza loby poza ramy tego opracowania). Także uk lad dyskretny f µ : [0, 1] [0, 1] dla µ = 4 jest chaotyczny (Misiurewicz [13]). Uk lad dynamiczny z czasem ciag lym możemy zdyskretyzować przyjmujac f = π (τ, ), gdzie τ > 0 jest ustalone. Uk lad z czasem ciag lym uważamy za chaotyczny, jeśli dla pewnego τ > 0 ten uk lad dyskretny jest taki. W ostatnich latach nastapi l prze lom w badaniu uk ladów z czasem ciag lym: Mrozek i Mischaikov (1996) [14] wykazali, że uk lad Lorenza posiada atraktor, po obcieciu do którego otrzymujemy uk lad chaotyczny. Atraktor ten jest wiec dziwny. Metoda przez nich zastosowana znajduje teraz szerokie zastosowanie w badaniu skomplikowanych uk ladów dynamicznych. Polega ona, najogólniej mówiac, na znajdowaniu pewnego niezmiennika topologicznego uk ladu zwanego indeksem Conleya. Znajduje sie go z pomoca komputera uwzgledniaj ac b l ad obliczeń numerycznych ewoluuje nie punkt startu trajektorii, a ca la kostka o środku w tym punkcie. Dowód Mrozka i Mischaikova jest wiec nastepnym w serii ważnych rezultatów otrzymanych z asysta komputera. Wprowadzenie do teorii równań różniczkowych zwyczajnych z punktu widzenia uk ladów dynamicznych por. [20]; wprowadzenie do dyskretnych uk ladów dynamicznych [3]; bogata w zastosowania i szczegó lowa analiza uk ladów dynamicznych [7, 18, 21]; atraktory w uk ladach dynamicznych zadanych przez równania czastkowe [19]. 2 Nieliniowe zagadnienia brzegowe Jak wiadomo równania różniczkowe i to zarówno zwyczajne jak czastkowe, maja na ogó l wiele rozwiazań, a wybór jednego z nich odbywa sie przez podanie dodatkowych warunków. Jeśli równanie modeluje jakiś proces fizyczny, chemiczny czy biologiczny, wówczas warunki te w naturalny sposób pochodza z tych realiów. Dla przyk ladu opisujac ugiecie belki o d lugości l zamocowanej w dwóch końcach pod dzia laniem pewnej si ly f, mamy do czynienia z równaniem różniczkowym postaci (1) u (x) + au (x) = f (x) 5

6 z warunkami (2) u(0) = 0 = u(l). Liczba u(x) opisuje odchylenie punktu x od po lożenia równowagi. Rozwiazaniem jest tu funkcja klasy C 2 (0, l), ciag la na [0, l]. Zauważmy, że charakter uk ladu obu równań jest inny niż zagadnienia poczatkowego, w którym do równania (1) dodajemy warunek poczatkowy (3) u(0) = u 0, u (0) = u 1, w tym sensie, że rozwiazanie uk ladu (1), (2) jest zadane na z góry określonym przedziale [0, l], podczas gdy rozwiazanie uk ladu (1), (3) jest zdefiniowane w pewnym, być może bardzo ma lym, otoczeniu x = 0. Uk lady takie, jak (1), (2) nosza nazwe zagadnień brzegowych i spotykane sa jeszcze cześciej dla równań różniczkowych czastkowych np. zagadnienie Dirichleta: u = f (x) w Ω R n, u Ω = ϕ opisujace np. potencja l pola elektrycznego generowanego w zbiorze Ω przez ladunek o gestości f, gdy na brzegu tego obszaru potencja l ten jest z góry zadany - ze wzgledów fizycznych n = 3. Przedstawione równania różniczkowe sa liniowe, ale nieco bardziej realistyczne modele prowadza do równań nieliniowych, dla których przypadek czastkowy jest nieporównanie bardziej skomplikowany od zwyczajnego. Dlatego w tym opracowaniu ograniczymy sie do przypadku zagadnień brzegowych dla równań różniczkowych zwyczajnych. Zacznijmy od równania nieliniowego rzedu pierwszego w R k : (4) x + A (t) x = f (t, x) z warunkiem brzegowym (5) B 1 x (a) + B 2 x (b) = c, gdzie x R k, t [a, b], f : [a, b] R k R k jest funkcja ciag l a, A : [a, b] L ( R k) - zbiór operatorów liniowych R k R k, B 1, B 2 L ( R k), c R k. Jeśli przez U : [a, b] 2 L ( R k) oznaczymy rezolwente równania liniowego x + A (t) x = 0 tzn. funkcje o w lasnościach U(t, s) + A(t)U(t, s) = 0, t, s [a, b] t 6

7 U(t, t) = idrk, t [a, b], to ze wzoru na uzmiennienie sta lych rozwiazaniem zagadnienia poczatkowego jest funkcja x + A (t) x = r (t), x (a) = x 0, ϕ (t) = U (t, a) x 0 + Aby znaleźć rozwiazanie zagadnienia brzegowego t a U (t, s) r (s) ds. (6) x + A (t) x = r (t), B 1 x (a) + B 2 x (b) = c, musimy wybrać taki punkt startu x 0, aby B 1 x 0 + B 2 ϕ (b) = c. Prowadzi to do równania [B 1 + B 2 U (b, a)] x 0 = c B 2 b a U (b, s) r (s) ds. Jest to algebraiczne równanie liniowe w R k, które posiada rozwiazanie przy każdym wyborze c i r wtedy i tylko wtedy, gdy B 1 + B 2 U (b, a) jest izomorfizmem przestrzeni R k. W tym przypadku zagadnienie brzegowe (6) posiada dok ladnie jedno rozwiazanie dane wzorem (wystarczy obliczyć x 0 ) ϕ (t) = U (t, a) [B 1 + B 2 U (b, a)] 1 c B 2 b U (b, s) r (s) ds + t U (t, s) r (s) ds. a a Nieliniowe zagadnienie brzegowe (4), (5) możemy rozwiazywać w oparciu o powyższe rozważanie. Mianowicie najpierw rozwiazujemy zagadnienie liniowe x + A (t) x = 0, B 1 x (a) + B 2 x (b) = c 7

8 - rozwiazaniem jest funkcja ϕ 0 (t) = U (t, a) [B 1 + B 2 U (b, a)] 1 c, a nastepnie szukamy rozwiazania ϕ 1 zagadnienia (7) x + A (t) x = f (t, x), B 1 x (a) + B 2 x (b) = 0 Funkcja ϕ 0 + ϕ 1 jest wtedy rozwiazaniem (4), (5). Poprzednie obliczenia pokazuja, że funkcja ϕ 1 bed aca rozwiazaniem zagadnienia (7) musi spe lniać równanie ca lkowe ϕ (t) = U (t, a) [B 1 + B 2 U (b, a)] 1 B 2 U (b, s) f (s, ϕ (s)) ds b + t U (t, s) f (s, ϕ (s)) ds; a a wystarczy wziać r (t) = f (t, ϕ (t)). W odróżnieniu od przypadku liniowego tutaj niewiadoma ϕ wystepuje także po prawej stronie pod ca lka i istnienie funkcji ϕ C ( [a, b],r k) spe lniajacej to równanie nie jest wcale zagwarantowane. Jeśli wprowadzimy oznaczenie { U (t, a) [B1 + B G(t, s) = 2 U (b, a)] 1 B 2 U (b, s) + U (t, s), s < t U (t, a) [B 1 + B 2 U (b, a)] 1 B 2 U (b, s), s > t, to równanie ca lkowe przyjmie postać (8) ϕ (t) = b G (t, s) f (s, ϕ (s)) ds. a Funkcje G : [a, b] 2 L ( R k) nazywamy funkcja Greena zagadnienia (4), (5) i jej znajdowanie wymaga jedynie znajomości uk ladu fundamentalnego rozwiazań równania liniowego x + A (t) x = 0. Prawa strone równania (8) możemy uważać za definicje pewnego operatora nieliniowego S dzia lajacego w przestrzeni funkcji ciag lych C ( [a, b],r k), która jest przestrzenia Banacha z norma ϕ = sup ϕ (t) t [a,b] 8

9 ( oznacza tu norme euklidesowa wr k ). Poszukujemy wiec punktów sta lych operatora S. Do tego celu możemy stosować metode kolejnych przybliżeń, gdy S spe lnia warunek Lipschitza ze sta l a < 1, ale udaje sie to rzadko, bo wymaga za lożenia, by funkcja f spe lnia la ten warunek wzgledem x z dostatecznie ma l a sta l a. Z drugiej strony operator S jest pe lnociag ly tzn. przekszta lca zbiory ograniczone na zbiory wzglednie zwarte, wiec można stosować twierdzenie Schaudera o punkcie sta lym, o ile uda sie znaleźć kule, która operator S przekszta lca w siebie. Tak bedzie np. gdy f jest globalnie ograniczona, bowiem wtedy S przekszta lca ca l a przestrzeń C ( [a, b],r k) w pewna kule. W pozosta lych przypadkach można stosować teorie stopnia topologicznego Leray a-schaudera. Najcześciej sprowadza sie to do użycia nastepuj acego Twierdzenie kontynuacyjne. Jeżeli na brzegu pewnego zbioru otwartego i ograniczonego Ω C ( [a, b],r k) zagadnienia brzegowe (9) x + A (t) x = λf (t, x), B 1 x (a) + B 2 x (b) = 0 dla λ [0, 1] nie posiadaja rozwiazania, to zagadnienie (4), (5) posiada rozwiazanie ϕ Ω. Zagadnienie (9) jest bowiem równoważne równaniu (I λs) ϕ = 0, z za lożenia homotopia H (λ, ) = I λs nie znika na brzegu Ω, wiec stopień Leray a-schaudera wszystkich odwzorowań H (λ, ) jest taki sam. W szczególności deg (I S, Ω) = deg (H (0, ), Ω) = deg (I, Ω) = 1, a wiec S ma punkt sta ly w Ω. Wszystko sprowadza sie wiec do poszukiwania za lożeń na funkcje f, przy których warunki tego twierdzenia sa spe lnione. Przyk ladowo, jeśli A jest dodatnio określona i (f (t, x), x) 0 dla x = M, t [a, b] dla pewnego dostatecznie dużego M > 0, to zagadnienie brzegowe x Ax = f (t, x), B 1 x (a) + B 2 x (b) = 0 posiada rozwiazanie ϕ takie, że ϕ (t) < M dla t [a, b]. Powyższe rozważania można stosować do wielu zagadnień brzegowych. Dla przyk ladu do zagadnienia Dirichleta: do zagadnienia okresowego x = f (t, x, x ), x (a) = 0 = x (b), x + A (t) x = f (t, x), x (0) = x (T ) gdzie A : R L ( R k) jest T - okresowa, f : R R k R k jest T - okresowa wzgl edem t pod warunkiem, że x + A (t) x = 0 nie ma nietrywialnych 9

10 rozwiazań T - okresowych. Dla wszystkich tych zagadnień jednorodne zagadnienie liniowe nie posiada niezerowych rozwiazań; w rozważanym zagadnieniu oznacza lo to izomorficzność operatora B 1 + B 2 U (b, a). Zagadnienie nieliniowe, dla których cześć liniowa ma te w lasność nazywamy nierezonansowymi. Ale już na przyk lad zagadnienie okresowe x = f (t, x), x (0) = x (T ), jest rezonansowe, bowiem funkcje sta le sa nietrywialnymi rozwiazaniami x = 0, x (0) = x (T ). Podobna uwaga dotyczy zagadnienia Neumanna x = f (t, x, x ), x (a) = 0 = x (b). Zagadnień rezonansowych nie można zamienić na pytanie o punkt sta ly pewnego operatora. Aby udowodnić istnienie rozwiazania zagadnienia rezonansowego stosuje sie stopień koincydencji wprowadzony 30 lat temu przez J. Mawhina [12]. W ujeciu abstrakcyjnym pozwala on badać równanie Lx = N(x) w przestrzeniach Banacha, gdzie N jest ciag lym operatorem nieliniowym, a L fredholmowskim operatorem liniowym indeksu 0 tzn. dim ker L = codim iml <. Taka sytuacja ma miejsce dla wszystkich rezonansowych zagadnień dla równań różniczkowych zwyczajnych i dla wiekszości zagadnień dla równań czastkowych. Zachodzi mianowicie Twierdzenie kontynuacyjne Mawhina. Jeżeli na brzegu zbioru otwartego i ograniczonego Ω X (p. Banacha) równania nie maja rozwiazań przy λ [0, 1) i Lx = λn (x) deg (N ker L, Ω ker L) 0, 10

11 to równanie Lx = N(x) posiada rozwiazanie x Ω. Do zagadnień rezonansowych prościej jednak zastosować metode perturbacyjna. Wybierajac ciag λ n 0 w ten sposób, by L λ n I by l operatorem odwracalnym, otrzymujemy ciag równań Lx λ n x = N (x) lub równoważnie x = (L λ n I) 1 N (x). Istnienie punktu sta lego x n dla n N dostajemy metodami wspomnianymi poprzednio dla zagadnień nierezonansowych. Na ogó l ciag (x n ) może być nieograniczony. Jednak spe lnienie pewnego prostego warunku zwanego warunkiem Landesmana-Lazera gwarantuje ograniczoność tego ciagu. Z ciagu (x n ) można wtedy wybrać podciag zbieżny do rozwiazania równania Lx = N(x). Rozpatrzmy te metode na przyk ladzie zagadnienia okresowego x = f(t, x), x(0) = x(t ). Za lóżmy, że istnieja jednostajne granice lim f (t, λd) := g (t, d) λ + dla t [0, T ] i d = 1. Wprowadźmy,,uśredniona funkcje g 0 dla d R k, d = 1 g 0 (d) = T 0 g (t, d) dt. Wtedy zachodzi Twierdzenie [17]. Jeżeli (d, g 0 (d)) 0 dla wszystkich d = 1, to zagadnienie okresowe posiada rozwiazanie. Dla dowodu wystarczy rozważyć ciag zagadnień x 1 x = f(t, x), x(0) = x(t ), n które sa nierezonansowe, wiec z ograniczoności funkcji f i twierdzenia Schaudera posiadaja rozwiazania ϕ n. Ciag (ϕ n ) nie może być nieograniczony, bowiem w przeciwnym razie pewien jego podciag po unormowaniu ϕn(t) ϕ n zbiega lby do wektora sta lego o normie 1. Oznaczajac go przez d mielibyśmy f (t, ϕ n (t)) g (t, d) i stad ϕ n (t) ϕ n g 0 (d) g 0 (d), 11

12 co przeczy za lożeniu (d, g 0 (d)) 0. To ono nazywamy w tym wypadku warunkiem Landesmana-Lazera. Poza naszymi dotychczasowymi rozważaniami pozosta ly zagadnienia brzegowe na zbiorach nieograniczonych takie, jak: x = f(t, x), x(0) = a, lim t x(t) = 0, x = f(t, x), x ograniczona na R, i analogiczne zagadnienia dla równania rzedu drugiego. Drugie z nich jest rezonansowe, a pierwsze nie, ale nie to stanowi zasadnicza trudność w obu przypadkach. Problemem jest niezwartość operatora S w przestrzeni funkcji ciag lych i ograniczonych na [0, ), w pierwszym przypadku i niefredholmowskość operatora Lx = x w drugim - (im L jest niedomkniet a podprzestrzenia przy każdym sensownym wyborze przestrzeni Banacha. Nie możemy wiec stosować stopnia Leray a-schaudera w pierwszym przypadku i stopnia koincydencji w drugim. W pierwszym przypadku stosuje sie zwykle metode polegajac a na badaniu ciagu zagadnień x n = f(t, x n ), x n (0) = a, x n (n) = 0, które sa nierezonansowymi zagadnieniami brzegowymi na zbiorze ograniczonym [0, n]. Ich rozwiazania ϕ n dostajemy przy użyciu wcześniej opisanych metod, funkcje ϕ n przed lużamy na [0, ), k ladac ϕ n (t) = 0 dla t > n i jedynym problemem( jest udowodnienie wzglednej zwartości ciagu (ϕ n ) w przestrzeni funkcji C 0 [0, ),R k) ciag lych i znikajacych w nieskończoności. W przypadku zagadnienia rezonansowego możemy zastosować wcześniej opisana metode perturbacyjna. Jedyne trudności, jakie napotykamy sa natury technicznej i zosta ly pokonane w serii prac W. Karpińskiej uwieńczonych rozprawa doktorska. Ta metoda zosta la też z powodzeniem zastosowana do zewnetrznego zagadnienia brzegowego Dirichleta dla równania czastkowego u = f(x, u) dla x R n \Ω, u Ω = 0, u ograniczona na R n \Ω, Ω - kula o środku 0 w R n, przez R. Stańczego. Operatory ca lkowe, które sie pojawiaja dla równań różniczkowych czastkowych, w naturalny sposób dzia laja jednak w przestrzeniach Sobolewa dla naszych celów niewygodnych (wygodna jest przestrzeń 12

13 funkcji ciag lych i ograniczonych BC (R n \Ω), bo przynależność do niej gwarantuje spe lnienie ostatniego warunku brzegowego). Nawet pobieżny opis pokonania tego problemu wykracza poza ramy tego opracowania. Inny przyk lad omawianej metody można znaleźć w niedawno przygotowanej pracy K. Szymańskiej dotyczacej zagadnień: x = f(t, x, x ), x(0) = 0, lim t x (t) = 0, x = f(t, x, x ), x (0) = 0, lim t x (t) = 0. Drugie z nich jest rezonansowe ale zaburzenie dokonane w samym równaniu różniczkowym nic nie daje,a należy go dokonać w warunku brzegowym x (0) = λx(0). Metody topologiczne i inne w rozwiazywaniu równań nieliniowych [2]; teoria stopnia topologicznego odwzorowań [10]; bardziej zaawansowane metody rozwiazywania zagadnień brzegowych [1, 5, 6, 15]; wprowadzenie opisanych metod perturbacyjnych [16]. Bibliografia [1] L. Cesari, Functional analysis, nonlinear differential equations and the alternative method w Nonlinear Analysis and Differential Equations, edited by L. Cesari, R. Kennan, J. Schuur, Marcel Dekker Inc., New York [2] K. Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer-Verlag, Berlin- Heidelberg-New York [3] R. Devaney, Chaotic Dynamical Systems, Addison-Wesley Publ. Co., New York [4] J. Dugundji, A. Granas, Fixed Point Theory I, PWN, Warszawa [5] S. Fučik, Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems, D. Reidel Publ. Co., Dordrecht [6] A. Granas, R. Guenther, J. Lee, Nonlinear boundary value problems for ordinary differential equations, Dissertationes Math. 244 (1985). 13

14 [7] J. Guckenheimer, P. Holmes, Nonlineary Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer-Verlag, Berlin- Heidelberg-New York [8] J. Hale, Theory of Functional Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York [9] E.M. Landesman, A.C. Lazer, Nonlinear perturbations of linear elliptic boundary value problems at resonance, J. Math. Mech. 19 (1970), [10] N.G. Lloyd, Degree Theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge [11] E.N. Lorenz, Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos, Sci. 20 (1963), [12] J. Mawhin, Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems, CBMS Reg. Conf. Ser. in Math. 40, Amer. Math. Soc., Providence RI [13] M. Misiurewicz, Absolutely continuons measures for certain maps of an interval, Publ. Math. I.H.E.S. 53 (1981), [14] M. Mrozek, K. Mischaikov, Chaos in the Lorenz equations, a computer assisted proof, Bull. Amer. Math. Soc. 32, 1 (1995), [15] L. Nirenberg, Topics in Nonlinear Functional Analysis, Lecture Notes Courant Inst., New York [16] B. Przeradzki, Badanie rozwiazalności równań nieliniowych z nieodwracalna cześci a liniowa, Wyd. U L, Lódź [17] B. Przeradzki, Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych, Wyd. U L, Lódź [18] C. Robinson, Dynamical Systems, Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos, CRS Press, Boca Raton-London-New York [19] R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York

15 [20] F. Verhulst, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin-Hedelberg-New York [21] S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer-Verlag, New York