ODPOWIEDZI LICZBY RZECZYWISTE. 4. r Niedziela cm. 8. { 14, 19 }.

Transkrypt

1

2 ODPOWIEDZI LICZBY RZECZYWISTE b) 80 x nn4n6n8 8n8 4 r Niedziel 7 70 cm 8 { 4, 9 } 9 { 4,, 0,, 4 } 0 ) { 9, 7,, }; b) { 08, 06, 04, 0 } {0, } 4 6, 6 6, NW, b W ) 8; b) ; c) 9; d) 8 0 ) ; b) ) Tk; b) tk ) ; b) ) 00; b) 6 4 b c b) ( ) 6 6k, k N n n n n n n n n ( ) ( ) 0( 7 ) 0k 7 06 ( ) 06 ( 06 ) Kod ; b) 6 kn n, n, n, n N kolejne liczby nturlne, ( n) ( n) ( n) 4n 4n4n n94n 0n n 6n ( n n) k, k N 0 n 9 n n 6 n n ( ) ( ) ( n ) k, k N 6 ( 76) 7 ) x 4 ; b) x ) x ; b) x 4 ) 9; b) ; c) ) ; b) 9; c) 6 ) b; b) b; c) b 7 ) 8 9 ; b) 9 8 ) x 7; b) x ; c) x 0; d) x 4 9 ) 7; b) ; c) 0,; d) ; e) 7, ) L log 0 log0 0 6log 0log 0 log 0 P; b) L log log( ) log log 8 log log 000 log 0 P 4 L log log log log (log log ) (log 0) P 4 b 44 4 ) m 7; b) m 8 46 B³¹d bezwzglêdny r p 0, b³¹d wzglêdny r p r 9 47 Brtek 80

3 48 ) X: r p 4000, Y: r p 000; b) X: 0,4%, Y: 0,% Y pope³ni³ mniejszy b³¹d r p 49 ) Z ndmirem; b),% 0 Nie wystrczy, r p 70 z³, 00%, 8 % r ) x 4, 8; b) x 7, A ; 6, B ; ), C ; 0), D ( ; 7 ) AB 4 ; ; b) AB ( ;7 ; c) A\ B ( 4; 7 ; d) B\ A ( ; ) 4 ) ( ; ); b) ( ; ) ( ; ) ; c) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ; d) ( ; 4) ( 0; 7) ( 7 ; ) ) ; b) 4; c) {, 4,, 6, 7} 6 ) {0,,,, 4,, 6}; b) 6; c) 7 ) x ; b) x % x 9 O4z³ z³, 96 z³ 6 ) 48,0 z³; b) 06, z³; c) 7,9 z³ 6 4,6% 6 Pn Kowlski, ró nic 644, 64 Jest wy sz o,6% 6 ) 69 z³; b) po ltch 66 IV rt 840 z³, V rt 9 90 z³ Pn Kowlski odd³ z³, 4,4% 67 ) Wzrost o 0,7 punktów procentowych; b),% 68 O % 69 ) Obni y³o siê o, punktów procentowych; b) o,% 70 ) p 0; b) p 664, 98 z³; c) p 6 90, 06 z³; d) p 6, 06 z³ WYRA ENIA ALGEBRAICZNE ) 4x 4x ; b) x 8 x 6; c) x 8xy 8y ; d) x 7; e) x 6y ) 0 x 44 x 7, 99; b) 8 6; c) 0 x 0 x 7, ) ; b) 4 ; c) 7 4 ) ( )( ) C; ( )( ) b) 6( )( ) ( ) C ( )( ) 8 9 x 0 lub x 6 Kolejne liczby niepodzielne przez, to n, n, n N ( n) ( n) 9n n49n 6n8n 8n ( 6n 6n) k 7 xyx y 0 :( ) x, yr, x y xy 0, ( x) ( y) 0 Sum kwdrtów dwóch liczb rzeczywistych jest nieujemn, ztem nierównoœæ jest zwsze prwdziw 9 Z z³o eni y x,tox ( x),tox 0 xx, 0 x 60 x 6, y, tox y 6 kn 8

4 0 x, y, z, k R Podnosz¹c wyr eni po obu stronch do kwdrtu otrzymmy ( xz)( yk) xy xyzk zk, po przekszt³cenich otrzymmy xyxk zyzk xy xyzk zk, xk zy xyzk, po podniesieniu obu stron nierównoœci do kwdrtu mmy ( xk) xyzk ( zy) 4xyzk, korzystj¹c ze wzoru skróconego mno eni otrzymmy ( xk zy) 0 nierównoœæ to smoœciow D: xy( x y) ( x y )( x y) ( x y)( x y xy) 0 ( x y 0 x x y y 0) ( x y( x y) 0) ( x y x y) D: xy 0, x y x y x y x y x x y y 0 ( x y) 0 y x xy nierównoœæ to smoœciow, dl xy 0, lub II metod Z³o enie: xy 0, to ( x y) x xy y x y xy x y x y 0 0 xy xy y x D: Z z³o eni xy 0, to( x y) x y x y 4 x y y x y x RÓWNANIA I NIERÓWNOŒCI ) x jest rozwi¹zniem równni; b) 7, 7 nie s¹ rozwi¹zniem równni; c) x jest rozwi¹zniem równni ) x { 0, 4 }; b) 0 nie nle y do zbioru rozwi¹zñ; c) x { 0, }; d) 0 ) Uk³d oznczony Rozwi¹zniem jest pr liczb (x, y); b) uk³d sprzeczny; c) uk³d nieoznczony M nieskoñczenie wiele rozwi¹zñ x; x 7, x R 4 ) Np y x; b) np y x; c) np y x ) x y ; b) x 4 6 x 7 y 94 7 ) x 0, x ; 0 ; b) x, x ( ; ); c) x 9, x 9 ; ); d) x, x ( ; ) ; e) x, x ( ; 8 ) x 4; liczb c³kowitych; b) x ; 0 liczb c³kowitych 4 9 ) x { 0, }; b) x e) x ; c) x ; d) x ; {, } 0, ; f) x {, }; g) x, ; h) x { } 8

5 0 ) x ( ; 4 4 ; ) ; b) x ( 0; ); c) x R; d) x ; ; e) x 0; ; f) x R \ ; g) x ; h) x ( ; ) ( ; ) ; i) x 4 ; ) x ; b) x ) x ) x, 0, ; b) x ; b) x { }, : c) x {,, }; d) x {, } 4 ) x { 4 }; b) x { }; c) x ; d) x ; e) x ; f) x 4 { ( )}; g) x { 6, 6 }; h) x {, }; i) x {, } FUNKCJE ) Zgodnie z definicj¹ funkcji: k demu rgumentowi x jest przyporz¹dkown dok³dnie jedn wrtoœæ y; b) y 8 dl x lub x ; c) zbiór wrtoœci jest szeœcioelementowy; d) f ( ) 8 Zw { 4996, 46, 4,, 4 } ) f( x) 0 ( x x ); b) f( x) 0 x( ; ) ) f( x) x 4, x R; b) f( x) x 7x, x R; c) f( x) x, x R \{} 0 ; d) f( x) 7, x R \{} 0 x 4 f( x) x4x N x ) f( x) 0 x, b) f( x) 0 x 0, Zw f 4;, Zw f 4; 4, funkcj st³ w przedzi³ch: funkcj st³ w przedzi³ch: x ( ;, 4; ), x ( ; 4, 4; ), funkcj mlej¹c funkcj rosn¹c w przedzile ; 4; w przedzi³ch: 4;, ; 4, funkcj rosn¹c w przedzile ; 4 Y X X ) Y b) Zw g 4; 0; c) g( x) 0 x; y f( x) y g( x) X 4 Y 4 8

6 7 Y ) D g 8; ); b) Zw g 4; 8; c) funkcj jest mlej¹c y f( x) w przedzi³ch 8; 4, ; ; y g( x) d) f mx 8; e) 8; ) ; 4 X 8 Wykres funkcji y g( x)otrzymmy z wykresu funkcji y f( x)w przesuniêciu o jednostki w lewo i jednostki w dó³ Y ) D g ( ; ; y f( x) b) Zw g ( ; 4 ; c) g( 0) ; d) funkcj g jest rosn¹c w przedzi³ch X ( ;, ;, funkcj g jest mlej¹c w przedzile ; y g( x) 9 Y ) D g 7; 6; b) Zw g 6; ; y f( x) c) g( 0) ; d) funkcj rosn¹c w przedzile 4; 0; X e) M, m 6 y g( x) 0 Y ) D g 4; 6); y f( x) b) gx ( ) 0 x ; c) gx ( ) 0 x4; ); d) g( ) g() g() 4 g( ) y g( x) X ) D g 00; 0), Zw g ( 6; 8 ; b) D g ( 0; 00, Zw g 8; 6) ) D g 9; ), Zw g 8; 06; b) D g 0; ), Zw g 9; 6; c) D g 00; ), Zw g ; 06 f( x) x0 4 f( x) x f( x) 9 x7, x

7 6 x 6( 7 ), f( x) 6 ( 7 ) N 7 4, b 6 8 y x4 4 9 y x 0 A ( 0, 4 ), B ( 4, 0 ), P 8 y x f( x) x7 ) ; b) ; c) 4 ; d) x 4 y x ) s 4, km; b) t, h 6 ) 40; b) f( x) 48 x, x N 7 f( x) 8 x, x 0,,40 z³ 8 Y ) f( x) 0 x{, 0, 6 }; 9 b) funkcj jest mlej¹c dl x ( ; ; ; ); c) m, M 9, m njmniejsz wrtoœæ funkcji, M njwiêksz wrtoœæ funkcji X 6 9 f( x) ( x6)( x4) x x 0 f( x) 4x x48 Zw f 80; ), x k 6, x ( ; 6 ; ) f( x) ( x4) 4 ) x 4, x ; b) f( x) x 9 x 6 f( x) x 0x f ( ) ( )( ) 9 f ( 7) ( 7 )( 7 ) 7 9 ; c) x 0 x 7 p x x, q 4, f( x) 4x 4x, f( x) 4( x)( x4 ) 8 Np x ; 9 Px ( ) x 0x40, x ( 0; 0 ) 40 Równnie kwdrtowe m co njmniej jedno rozwi¹znie, gdy 0 ( mk) 4( mk p ) ( mk) 4 p Dl dowolnego m, k, p R, 0, to równnie m co njmniej jedno rozwi¹znie 4 b 4 ) b 4 b 4; b) b 4 Px ( ) x 8x40, x ( 0; 0 ); b) P 44 x y 6, x, y N lub y 6, x, y N x x y

8 4 x y 4, x, y N x y Y 4 46 ) f 8; b) x ; c) funkcj jest rosn¹c w k dym z przedzi³ów x ( ; 0 ), x ( 0 ; ) ; d) f( x) f( x4) 4 4 x x x 4 x [, ] x 47 f( x) g( x), Zw g ( ; ), g( 0) 6, P (, 0 6 ) X x gx ( ) 4 Y f( x) X x 48 Zw f ( 0 ; ), Zw g ( ; ), x [, ] f( x) g( x) 0, P ( 4, ) nie nle y do wykresu funkcji gx ( ) gx ( ) 0 x x gx ( ) x Y f( x) X x 49 f () ) f () 8400 z³; b) Pn Kowlski korzyst 4 lt z smochodu CI GI 7 9 n ,, , S n, 0 n 00, n , b, c r 0 6 n 9 n 7 D: Sn 4n 6n, n, Sn 4( n) 6( n) 4n n, S S 4n 6n( 4n n) 8n, 86 n n n

9 8 Sn nn, Sn ( n) ( n) nn 6n n 7n4 n Sn Sn ( nn ) ( n 7n4) nn n 7n4 6n4, n 6n4 D: n 6n4, n 6( n) 4 6n, n n 6n( 6n4) 6n6n4 6 r 9 x 0 x x 6 7, ( ) ( ) ( 7 )( 7 ) , n n n, n ( n) n n nn n n, n n n nn n n r, ( n ) nie jest ci¹giem rytmetycznym q q 6 q q q q 96 4 q ( q ) 0 4 q ( q ) 96 q ( q )( q ) 0 4 q ( q ) 96 q 4 q q 6,, 4 lub,, 4 7 8, ( 8 7)( 8 7) ( ) ( ) ( 8 7) ( 8 7)( 8 7)

10 4 4 9 q q S 8 00 lub S x 9, ; ( 49, ;, ; 09, ) S 79 q Wskzówk: q n, n 4 ( q q), q 6( q) q, q n 7 4 x, y 8, b, c, d R (, b, c) s¹ kolejnymi wyrzmi ci¹gu rytmetycznego, to b c c b, (, b, c) s¹ kolejnymi wyrzmi ci¹gu geometrycznego, to d c Wyrzy i c s¹ równe, ztem nle y porównæ wyrzy b i d Z w³snoœci œredniej rytmetycznej i geometrycznej wynik, e c c, ztem sum wyrzów ci¹gu rtmetycznego jest wiêksz b¹dÿ równ sumie wyrzów ci¹gu geometrycznego c c /, c c podnosz¹c obie strony nierównoœci do kwdrtu otrzymmy cc 4c, cc 0, ( c) 0 nierównoœæ to smoœciow dl, c R 6 W ci¹gu 0 dni TRYGONOMETRIA ) sin 4, cos, tg 4 ; b) sin, cos, tg ; c) sin, cos 4, tg 4 ; d) sin x z, cos y z, tg x y ) h 4 8 ; b) h ; c) h ; d) h 6 ) y 8, 668, x 4, ; b) y 68,, x 9, 0; c) x 4, 9, y 8, 60 ; d) x 9, 8, y 4, 6 4 ) ; b) 9 ; c) 4 6 ) 4 ; b) ; c) 9 4 ; d)

11 L=tg cos sin ( ) ( ) P 0 sin, cos 6, tg ; tg, sin, cos sin ; cos ; sin Tk; tk L tg sin cos sin P cos cos cos 4 ) L ( ); b) L ( ); c) L 8( ) ) L 46 ( ), P 8( 4 ); b) L 6 ( ), P 8( ); c) L ( ), P 6( ); d) L 0 6, P d 4 8 d 9 sin sin 0, 6 L 4( ), P 4 P 4sin sin P sin, sin 60 h h 4 P 44 cm 4 ) MN 9, cm; b) tg 4 ) h 9, cm; b) sin 4 6 P 648 cm, L 44 cm 7 f( x) x ) 60 ; b) A ( 0, ), B 8 ) 6 ; b) CD 7, 0; c) P 6 ; d) L 9 x, x 0, x,, b 0, c 0 P 4, h 4 P 6 9 sin 7 sin P x ( 0; 80) 0 sin L 0 cm PLANIMETRIA ) 0, 60; b) 80, 60; c) 6, 89

12 ECD EBD, BCA BDA, CEB CAB, ACE EBD DAC CEB BDA ACE ECD DAC CAB BCA BCD DAB 80 DAB DAB 80 40, 60, 80 4 ) 00, 0; b) 70, 0; c) 40, 40; d) 60, 0 AOA AOA AOA 4 AOA 4 AOA 6 AOA 6 7 AOA 7 8 AOA 8, 860, 4, AAB 6 AAA 6 AA 4 A, A6AB A6AA A6AA4, ABA 80 A AB A AB ABA jest prostok¹tny Z k¹tów wpisnych ACB AOB 80 90, nlogicznie CBD BDA DAC 90czworkok¹t ABCD jest prostok¹tem 7 DBA 90, ACD 80 DBA 90, ACD CDA KLA KOA 90, KLB KOB 90, ALB KLA KLB 80punkty A, L, B s¹ wspó³liniowe 9 ) r 6, r ; b) SP 0 KLP 90 LPS PLS LSP 80, LKP 90, KPS PKS KSP 80 S K L KLS LSS SSK KPL 80 PKL PLK L 6 cm ) Tk, bo m boki tej smej d³ugoœci; b) nie, bo bok o d³ugoœci 6 le y miêdzy k¹tmi ró nej miry; c) tk, bo boki o tej smej d³ugoœci le ¹ miêdzy k¹tmi jednkowej miry; d) nie, bo boki trójk¹tów mj¹ ró ne miry 4 EAB DBA kbk EBA 90 EAB 90 DBA DAB ABE DBA BE AD AB wspólny bok MKL CBA k, b, k ACB CBA 90 MKL MLK MKL KLM CB KL 90

13 ) c(b, k, b); b) c(k, k, k); c) c(k, k, k); d) c (k, k, k); e) c(k, k, k); f) c(k, k, k) k, k, k AB AC 6 ADB ~ ACE, AD AE AE AB, AB AC AD z tw Tles DB BE 7 ) DE AB DE AC CB AB BE AB ED wspólny bok ADE DEB ; AED DEB 90 b) AC cm, BC 0 cm, AB 6 cm 8 ) L, cm; b) R, cm; c) r =cm; d) d 9 r 6 0 tg tg 4 ) d 8 cm; b) P 9 cm ; c) P P ko kw 6 64 cm; e) sin 8 ; f) h cm L 8, 8 cm, P 4, 6 cm P 48 7 cm, P k 44 7 cm 4 P 0 [j ] Z w³snoœci wysokoœci poprowdzonej z k¹t prostego w trójk¹cie prostok¹tnym wynik: x y 6 y 8, 6 x 0 x 4 x, P P 9 cm, L cm AB AC 04, m, BC 04, 0 m 8 L ( ) 9 r ( ) kkk,, 0 BDE ~ ACB DE AC EB b x,, EB AB x, bx b x b x b ( ), x ( b ) b, x b b AB ( x) ( y) 4x 4y AC ( x) y BC x ( y) ( AC BC ) x y / 4 4 ( AC BC ) 4x 4y AB 9

14 BAP DAP, DP AB DPA PAB DAB jest równormienny DP AD, nlogicznie EP EB, DE DP PE AD BE L 6 cm 4 ES DS DES jest równormienny, EBD SBD EBA 0, DSB , ESD 80 DSB 80600, 80 ESD 800 BED EDS SED 60 0 SBD EDB 80 EBD BED ESD EDS kkk,, ~ EDB DBA BDA BAD 0, , ACD 80 CDA CAD CBA BAC ABC jest równoboczny 6 AE cm, ES 4 7 cm 7 L 48 cm, P 64 cm 8 P ABCD 96 cm, P A B C D 9 P 7 ( )cm 40 P 80 cm 4 P 08 cm 4 P ADB AB h, PCAB AB h P, ADB PDPA PDBA PPAB, P P P P P P CBP CAB PAB DBA PAB DPA 4 Z tw Pitgors d b h, d h, d d b h h b 44 L 4 7 cm, P 08 cm APB PAB PBA 80 APB 80 ( ) L 48 cm 47 P sin 096, 49 KL MN LM NK 4 cm 0 P P r k 8 4 cm 9

15 GEOMETRIA NA P ASZCZYNIE KARTEZJAÑSJKIEJ ) 4 ; b) 0 ; c) 0 ; d) b) y x4 ; b) y x6 ) y x lub x y 0; b) y x 6 6 lub x6y ) AB 0, S AB ( 6, ); b) AB, S AB, ) Np y x, y x00, y x ; b) np y x, y x, y x 6 ) y x6; b) y x6; c) y x 7 ) y x; b) y x; c) y x 7 8 y x6 9 0 ) m 8; b) m p 7 p 4 4 y 6x8 n, m 6 y 6 x6 7 k: y x lub n, m 8 y x 9 BD 0 y x y S, 0 ) P 4 ; b) r 4 ; c) R 4 ) Trójk¹t jest prostok¹tny; b) P 4 [j ] y x 4 6 ) D ( 0, ); b) równoleg³obok ABCD jest rombem, bo d³ugoœci boków s¹ równe AB BC CD AD 0 7 Proste s¹ równoleg³e i ró ne, to nie mj¹ punktów wspólnych m k 6, lm 8 8 ) y x4; b) y x4; c) C (, ) C ( 6, ) 9 C (, 0) lub C ( 6, 6 ) 0 A (, 8 ), B ( 6, 4 ), C (, 4 ) B ( 4, 6 ), D ( 8, ; 6, ) ) P (, 8 ); b) P (, 8 ); c) P (, 8 ) ) A (, ), B (, ), C (, ); b) A (, ), B (, ), C (, ); c) A (, ), B (, ), C (, ) 9

16 4 A ( 0, ), B ( 40, 64 ) ) y x4; b) y x4; c) y x4 6 y 0, x 0, y x, y x 7 A ( 0, 0 ) 8 A ( 8, 0 ) STEREOMETRIA ) 60 ; b) 4 ; c) 60 ) 60 ; b) 60 ; c) 7 ; d) 78 ; e) 8 ; f) 9 ) b) c) 4 ) k¹t ; b) k¹t ; d) k¹t ) b) c) d) 6 ) x 7; b) x 9; c) x 7 ) x 4 ; b) x 4 ; c) x 6 94

17 8 Grnistos³upy Liczb œcin 0 n Liczb krwêdzi n Liczb wierzcho³ków n Ostros³upy Liczb œcin n Liczb krwêdzi 4 4 n Liczb wierzcho³ków n 9 d 0 60 V V ) cos ; b) d ; c) Wskzówk: d, d A D d B C ) P 6( ), V 60 ; b) P c 6( 0), V 40 ; c) P c 48( 6), V 88 4 ) V 8, P c 9( ); b) V 88 4, P c 44( ); c) V 4, P c 4( ) 8, b 0 9, b 7 6 V 467 8, P c 7 P c 7 cm, V cm, tg sin, sin 9 H 0 V 8, 8 tg h,, V 67, P c V 44 cm, P c 7( 4 )cm 4 cos 6 74 V 6 P c 04 cm 4 7 tg 7 9

18 8 cos BD b, d d cos AD c, d d cos BC b c, d d ( cos cos cos b c b c b c d d d d ) d d 9 V V 64 6, P c 6( 4 6) ) b) c) d) ) M b) M c) K K K M L D C D C D C A L B A=L B A B ) P ; b) P ; c) P 4 4, V 78 cm, P c 864 cm, sin x, 4, h, 4, P 40 6 ) V 70 cm ; b) BA C jest prostok¹tny, P 7 0, V 7 0 d 7 V 44, P b ) P b 6 ; b) V ; c) cos 9 V 4608 cm, P c cm 40 sin 7 4 V 400 cm, P c 40 cm 4 P b 6 4, sin 7 4, sin H tg, P b cos 96

19 44 P b ( ), V 6, cos 4 V tg 6 46 AB 0, BC 6, V 0 0, S cos 6 6, cos 6 49 V 7 0 P b tg 4 ) P b 9 9; b) cos 7 9 ) P b ; b) S sin 6 V 6 x 6 V 8, P c 7 P 4 FIGURY OBROTOWE ) V, Pc 7; b) V 7, P c 08; c) V 04, Pc 88 ; d) V l sin cos, Pc l l sin sin l sin sin 60 P b 4 4 V 79 8 V 7 cm, P c 6 cm 6 P b 7, V 8 7 7, sin 8 P 7 r I P, r R II, R PI PII rr, R R r r R, R rr R 8 V 9 V b, V b, V b, V b V b V 97

20 0 ) V 4, Pc ; b) V r tg, Pc r r tg ; c) r h, r h, V h 4, P h h c tg V V, Pc P c V h r, V r h, V V, hr rh, h r prostok¹t ABCD jest kwdrtem 4 Pc b, Pc b b, Pc P c, b b b, b b dny prostok¹t jest kwdrtem r cm, r 0 cm 6 ) r r ; b) P c P c 7 h 8 7 cm ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ x, M e ) x 8; b) M e 4 9 4,8 ),; b) ; c) Obóz pi³krski lub obóz tenisowy Koszt wg (0,) Termin wg (0,) Atrkcyjnoœæ wg (0,) Towrzystwo wg (0,) Œredni w on Obóz pi³krski 7 8 4,9 Obó eglrski 4 7 Obó rowerowy 6 4 4, Obóz tenisowy 8 6,9 7 Wynik procentowy uczni Procent uczniów Liczb uczniów 0 9% 0 9% 40 49% 0 69% 70 79% 80 00% Sum 0% ) 96; b) 0,6 8 ) 08; b) 000; c) 0,8 9 00, 0 Œredni,, M e, 6, ) 8; b), 98

21 ELEMENTY KOMBINATORYKI ) 6; b) ) 9; b) 9 ) 6; b) 0 0 ) 7 4; b) 7; c) ) 4 ; b) 4 )!; b) 6!! 4 )!; b) 6! 6! ; c) 6! 6! ) 0 4 ; b) 4 6 ) 6!; b)!! ) 44 96; b) 4 7 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEÑSTWA ) 8 ; b) 8 4; c) 8 4 ) P ( A ) 64 9 ; b) PB ) P( A) , PA ( ) 8 ; b) PB ( ) ( ) , PB ( ) 8 4 P( A) 8 Wszyscy mj¹ jednkow¹ sznsê P ( A ) 0, 6 P( A) P A 8 P( A) 9 9 P A ( ) ( ) P( A) P( A) 04, 90 P( A) 4 7 P( A) P( A) 0 ) P( A) ) P( A) 040 ; b) PB ( ) P( A) 8 8 P( A) ; b) PB ( ) 4 ; c) PC ( )

22 9 ) P( A) ; b) PB ( ) 0 ) P A 9 ( ) ; b) PB 4 ( ) 6 6, A 4, P( A) 4 6 6, A 6, P( A) 6 6, A 6, P( A) 4 ) P( A) 4 ; b) PB ( ) P( A) 6 P( A) 0, 76 UDOWODNIJ, E 0 ( 0 00) Liczb podzieln przez ( n) ( n) 9n n49n 6n 6n ( n) k, k C x 4 ( x y)( x y) 49, 7( x y) 49 x y 7x y 7 y 7 0 x y 0 x ( 6 x) x 6 x x x x6 [( x6) 64] ( x 6) 8, dl k dego x R wyr enie ( x 6) 0, ztem ( x 6) ( 7 4 ) ( 4 ) ( )( ) ( 7 )( 7 )( ) ( 7 )( 7 ) k, k N 7 Z wrunków zdni wynik, e BE BD i AD AH DBE 60 ( ) 0 DAH 60 ( ) 0 Ztem DBE jest przystj¹cy do DAH, wiêc DE DH BDE ADH HDE 60090, wobec tego HDE jest prostok¹tny równormienny H G A C F B E D 8 Z z³o eni AD BC DBC CAD k¹ty wpisne oprte n tym smym ³uku CAB ABD k¹ty oprte n tym smym ³uku, bo ciêciwy równej d³ugoœci DBC CAD k¹ty oprte n tym smym ³uku ACB BDA AC BD A D C B 9 Z wrunku, e jeden k¹t czworok¹t jest prosty i okr¹g jest opisny n czworok¹cie wynik, e przeciwleg³y k¹t jest prosty Trójk¹ty ABC i ADC s¹ prostok¹tne Stosuj¹c twierdzenie Pitgors otrzymmy: b 4r b c d 8 r c d 4r A D d b r c B C 00

23 0 Z wrunku, e okr¹g jest wpisny w trójk¹t prostok¹tny wynik: br r c c R b r R P r bc ( ) r( r RR) Rr r r r r Z z³o eni AE AD D jest œrodkiem odcink AE i AB CD,to DC AB E Z z³o eni AM MB MB AB MBD BDC k¹ty nprzeminleg³e DPN MPB k¹ty wierzcho³kowe BMP = DNP DN MP kbk BMP DPN BP PD kbk A D N P M C B D: P CDE xdsin( 80) xdsin, PABCD P CDB xdsin xdsin, P P CDE ABCD Z: ABC ostrok¹tny, BCE równoboczny, ACD równoboczny Mir k¹t wewnêtrznego w k dym trójk¹cie równobocznym jest równ 60 D: CFE 60, CFE k¹t wpisny oprty n tym smym ³uku, co CBE AFD 60, AFD oprty n tym smym ³uku, co ACD DFC 60 Ztem AFD DFC CFE 80, st¹d punkty AFE s¹ wspó³liniowe, nle ¹ do jednej prostej ARKUSZ I ZADANIA ZAMKNIÊTE B C C 4 A C 6 B 7 C 8 B 9 C 0 D D B C 4 A B 6 A 7 C 8 D 9 C 0 A ZADANIA OTWARTE x ; f( x) x x4 y x8 4 n 6 9 0

24 7 D: ( xz)( yk) xy zk podnosz¹c nierównoœæ obustronnie do kwdrtu otrzymmy: ( xz)( yk) xyzk xyzk xyxk zyzk xyzk xyzk xk zk xyzk podnosz¹c nierównoœæ obustronnie do kwdrtu otrzymmy: ( xk) ( zy) xyzk 4xyzk ( xk zy) 0 nierównoœæ to smoœciow 8 Z z³o eni CD jest œrodkow¹, to AD DB CD ADC jest równormienny i BDC jest równormienny Sum mir k¹tów w trójk¹cie jest równ 80, ztem 80,to 90, wiêc ACB 90 Trójk¹t ACB jest prostok¹tny A C D B 9 d 4 0 P 4 V 6 cm, P c 6 7 cm (Rysunek obok) C D h h B 70 P( A) 6 4 A ARKUSZ II ZADANIA ZAMKNIÊTE D A B 4 B B 6 D 7 C 8 D 9 B 0 C A B B 4 A D 6 C 7 D 8 B 9 B 0 A ZADANIA OTWARTE 0,088 n n n n n n n n n 9 ( 9) ( ) 6 ( n n ) k, k N x ( ; ) 4 ( ) Wskzówk: Dziel¹c licznik i minownik wyr eni przez cos otrzymny: cos 4 sin cos cos 4 cos sin cos 6 P 66 cos 0

25 kkk BD AB 7 D: ADB ~ CEB AB BD BC (rysunek obok) AB BC 8 x 6 S 48 y S 6 9 ABC jest prostok¹tny, bo AC AB BC BD: xy4 0 0 sin 6 ) P( A) 8 ; b) PB ( ) 8 ARKUSZ III ZADANIA ZAMKNIÊTE B A D 4 B A 6 B 7 A 8 C 9 B 0 D C A B 4 A A 6 C 7 B 8 A 9 D 0 C ZADANIA OTWARTE x D: 0 0 ( 0 ) 06 cnd 7 4 0,9 Ci¹g n jest geometryczny q n n n n n bn q q q ( q) n n b q q q ( q) n n bn q ( q) q b n n q ( q) ilorz kolejnych wyrzów ci¹gu b n jest st³y, czyli jest to ci¹g geometryczny 6 AD 7 tg sin 8 S V 40,, P c 60, 7 0 P( A) 8 AC BD, P ABCD 96 0

26