PLANIMETRIA. Poziom podstawowy

Transkrypt

1 LANIMETRIA oziom podstawowy Zadanie ( pkt) W prostokątnym trójkącie ABC dana jest długość przyprostokątnej AC = Na przeciwprostokątnej AB wybrano punkt D, a na przyprostokątnej BC punkt E w taki sposób, że DE AC oraz BE = EC = Wykonaj rysunek ilustrujący sytuację opisaną w zadaniu i wyznacz tangens kąta EDC Zadanie ( pkt) W prostokątnym trójkącie ABC dana jest długość przyprostokątnej AC = Na przeciwprostokątnej AB wybrano punkt D, a na przyprostokątnej BC punkt E w taki sposób, że DE AC oraz BE =, EC = Wykonaj rysunek ilustrujący sytuację opisaną w zadaniu i wyznacz tangens kąta ECD Zadanie ( pkt) Dany jest trójkąt ABC, w którym kąta ABC jest równa o Oblicz pole trójkąt ABC BC =, miara kąta CAB jest równa o, a miara Zadanie ( pkt) W wycinek koła o promieniu cm wpisano koło o promieniu cm Oblicz pole danego wycinka koła Zadanie ( pkt) Znajdź długość promienia koła wpisanego w romb o polu S i kącie ostrym α Zadanie 6 ( pkt) Na trójkącie równobocznym opisano okrąg i wpisano weń okrąg ole powstałego pierścienia kołowego jest równe π Oblicz pole trójkąta Zadanie ( pkt) romień okręgu wpisanego w trapez prostokątny ma długość r Kąt ostry trapezu jest równy α Oblicz obwód i pole trapezu Zadanie 8 ( pkt) Wykaż, że trójkąt ABC, w którym kąt przy wierzchołku B jest dwa razy większy od kąta przy wierzchołku A, kąt przy wierzchołku C jest trzy razy większy od kąta przy wierzchołku A, jest trójkątem prostokątnym Zadanie 9 ( pkt) W celu oszacowania wysokości drzewa uczeń o wzroście 8 cm ustawił się tak, że koniec jego cienia pokrywał się z końcem drzewa Wiedząc, że odległość ucznia od źródła światła wynosi, m i odległość ucznia od pnia drzewa wynosi 6,6 m, oblicz wysokość drzewa

2 Zadanie (6 pkt) W trapezie równoramiennym dane jest ramię długości a i kąt ostryα rzekątna trapezu jest prostopadła do ramienia Oblicz pole trapezu Zadanie (6 pkt) Ze skrawka materiału w kształcie trójkąta o długościach boków cm, cm, cm wycięto koło weń wpisane Ile cm materiału zostało? Wynik podaj z dokładnością, oziom rozszerzony Zadanie ( pkt) Dany jest trójkąt ABC, w którym AB = 6, a wysokość opuszczona z wierzchołka C ma długość Na boku AC wybrano punkt E taki, że CE =, natomiast na boku BC CA wybrano punkt F taki, że CF = Oblicz pole trójkąta CEF CB Zadanie ( pkt) W trapezie równoramiennym ABCD, o podstawach AB i CD, kąt ostry ma miarę o rzekątna AC o długości 6 tworzy z ramieniem trapezu kąt o mierze o Oblicz pole trapezu ABCD Zadanie ( pkt) W równoległoboku przekątne mają długości równe cm i 6 cm, a kąt między nimi ma miarę równą o Oblicz długości boków tego równoległoboku Zadanie ( pkt) W trójkącie ABC dane są długości boków AC = 6, BC = 8 i miara kąta ACB, która jest równa 6 o W trójkącie DEF dane są długości boków DF = 8, FE = 6 oraz cos DFE = 6 Wykaż że trójkąty ABC i DEF są podobne Zadanie (6 pkt) Dany jest trójkąt ABC, w którym BC = 8, CA =, a miara kąta ACB jest równa o unkt D jest punktem wspólnym dwusiecznej kąta ACB i boku AB Oblicz długość odcinka CD Zadanie 6 ( pkt) Długości ramion trapezu są równe cm i cm Odcinek łączący środki tych ramion dzieli trapez na dwie części w ten sposób, że stosunek ich pól równy jest Oblicz pole danego trapezu, wiedząc, że można wpisać w niego okrąg Zadanie ( pkt) Oblicz pole trójkąta mając dane: a = α β cm, =, = 6 odaj dokładny wynik

3 SCHEMAT UNKTOWANIA - LANIMETRIA oziom podstawowy Numer 6 Wykonanie rysunku i przyjęcie potrzebnych oznaczeń Obliczenie długości odcinka ED: ED = Obliczenie tangensa kąta EDC: tg EDC = Wykonanie rysunku i przyjęcie potrzebnych oznaczeń 6 Obliczenie długości odcinka ED: ED = 6 Obliczenie tangensa kąta ECD: tg ECD = Wykonanie rysunku i przyjęcie potrzebnych oznaczeń CD wysokość trójkąta opuszczona na bok AB Obliczenie długości odcinka CD: CD = CB sin = Obliczenie długości odcinka DB: DB = CB cos = Obliczenie długości odcinka AD: AD = CD ctg = 6 Obliczenie długości odcinka AB: = ( 6) = ( + ) AB i pole trójkąta: Sporządzenie rysunku i przyjęcie oznaczeń o Wyznaczenia miary kąta danego wycinka α = 6 Obliczenie pola wycinka =,π cm Sporządzenie rysunku i przyjęcie oznaczeń h Obliczenie długości boku rombu (podstawy) a= sinα Obliczenie długości promienia r =, S sinα Sporządzenie rysunku i przyjęcie oznaczeń Określenie długości promienia okręgu wpisanego i opisanego w zależności od wysokości trójkąta r = h, R= h Wyznaczenie wysokości trójkąta z tw itagorasa h = Wyznaczenie długości boku trójkąta a = oraz obliczenie pola trójkąta = Sporządzenie rysunku i przyjęcie oznaczeń Wyznaczenie długości ramienia trapezu r c= sinα

4 Numer 8 9 Wyznaczenie sumy długości podstaw z warunku r a + b= h+ c czyli a+ b= r+ sinα Obliczenie pola trapezu = r + sinα Obliczenie obwodu trapezu Ob = r + sinα Sporządzenie rysunku i przyjęcie oznaczeń Wyznaczenie miary kąta α, α = Wyznaczenie miary pozostałych kątów trójkąta: α= 6, α = 9 i udzielenia odpowiedzi Sporządzenie rysunku i przyjęcie oznaczeń Zapisanie odpowiedniej proporcji z podobieństwa trójkątów Obliczenie wysokości drzewa h, 9 m Sporządzenie rysunku i przyjęcie oznaczeń: a - ramię, b - krótsza podstawa, c - dłuższa podstawa, h - wysokość Wyznaczenie wzoru na wysokość trapezu z trójkąta prostokątnego h= a sinα a Obliczenie długości dłuższej podstawy c= cosα Obliczenie długości krótszej podstawy a a cos α b= cosα Obliczenie pola trapezu = a sin α tgα Sporządzenie rysunku i przyjęcie oznaczeń Wykazanie, że trójkąt jest prostokątny Obliczenie pola trójkąta prostokątnego Obliczenie długości promienia Obliczenie pola pozostałego materiału t = 8 cm r = cm i pola koła 9π cm k = 8 9, cm = t k = π

5 oziom rozszerzony Numer Wykonanie rysunku i przyjęcie potrzebnych oznaczeń Obliczenie pola trójkąta ABC: ABC = Zapisanie związku ABC = CB CA sin ACB zależności CB CA sin ACB = i wyprowadzenie Wyprowadzenie zależności: CE = CA, CF = CB Obliczenie pola trójkąta CEF: CEF = CE CF sin ACB = Wykonanie rysunku i przyjęcie potrzebnych oznaczeń CE wysokość trójkąta ABC opuszczona na bok AB trapezu AC AB Ze związku = obliczenie długości odcinka AB: sin sin AB = 6 (w tym pkt za wzory redukcyjne) Z trójkąta ACE obliczenie długości odcinka CE: CE = AC cos ACE = 6cos Obliczenie długości krótszej podstawy trapezu onieważ wynika, że DC = AB EB = 6 cos CE = Obliczenie pola trapezu (w tym pkt za obliczenie cos lub za obliczenia z pierwiastkami) Wykonanie rysunku i przyjęcie potrzebnych oznaczeń Obliczenie długości dłuższego boku równoległoboku ( w tym pkt za zapisanie twierdzenia cosinusów i zastosowanie wzoru redukcyjnego): a = + 6 Obliczenie długości krótszego boku równoległoboku: b = 6 Obliczenie długości boku AB: AB = Obliczenie długości boku DE: DE = 6 Wykazanie, że trójkąty ABC i DEF są podobne, bo mają proporcjonalne boki Wykonanie rysunku i przyjęcie potrzebnych oznaczeń h wysokość trójkąta opuszczona na bok AB Obliczenie długości boku AB: AB = ( w tym pkt za zapisanie twierdzenia cosinusów i zastosowanie wzoru redukcyjnego) EB

6 Numer 6 Z twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie AD DB = obliczenie AC CB 8 długości odcinka DB: DB = Z zastosowania twierdzenia sinusów w trójkącie ABC obliczenie sin ABC : sin ABC = Z zastosowania twierdzenia sinusów w trójkącie DBC obliczenie długości odcinka CD: 8 CD = Sporządzenie rysunku i przyjęcie oznaczeń: a - dłuższa podstawa, b - krótsza, h wysokość, r - promień, x - odległość wysokości h od początku podstawy a Wykorzystanie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu: a + b= + Wykorzystanie twierdzenia o odcinku łączącym środki ramion trapezu a+ b = Wyznaczenie wzorów na pola obu trapezów a+ b a+ b b+ a+ r, = = r a+ b= 8 Zapisanie układu równań = Rozwiązanie układu równań a =, b= Zapisanie układu równań do obliczenia wysokości trapezu h z trójkątów h + ( 6 x) = prostokątnych h + x = Rozwiązanie układu równań x =, h= 8 Obliczenie pola trapezu = cm Sporządzenie rysunku i przyjęcie oznaczeń Wyznaczenie miary trzeciego kąta γ = Obliczenie długości boku Obliczenie wartości b= cm z tw sinusów 6+ sin = = 6+ cm Obliczenie pola trójkąta ( )