Klasyczne modele rozprzestrzeniania się wirusów komputerowych w ujęciu dynamiki systemowej

Transkrypt

1 omual Hoffmann 1, Tomasz Protasowicki 2 Klasyczne moele rozprzestrzeniania się wirusów komputerowych w ujęciu ynamiki systemowej 1. Wstęp Globalizacja oraz ciągły postępujący rozwój technologii ICT spowoowały lawinowy wzrost użycia wszelkiego rozaju urzązeń komputerowych. Jako ich użytkownicy, biznesowi czy inywiualni, staliśmy się o nich uzależnieni. W tej sytuacji wszelkiego rozaju oprogramowanie złośliwe, w tym wirusy komputerowe, jest już nie potencjalnym, ale rzeczywistym i kluczowym ryzykiem biznesowym funkcjonowania nie tylko organizacji owolnej wielkości, ale również przeciętnego użytkownika omowego komputera lub urzązenia przenośnego. Stą też o wielu lat baacze poszukują moeli opisujących ynamikę rozprzestrzeniania się wirusów komputerowych teoretycznych i praktycznych. W konsekwencji w literaturze zaproponowano zaaaptowanie moeli epiemiologicznych o moelowania rozprzestrzeniania się wirusów w sieciach komputerowych. W. H. Murray 3 jako pierwszy zasugerował związek pomięzy epiemiologią a wirusami komputerowymi, wskazując na fakt, że wirusy komputerowe są pewną analogią wirusa biologicznego. J. O. Kephart i S.. White 4 byli pierwszymi autorami, którzy zaproponowali przyjęcie moelu SIS (ang. susceptible, infecte, susceptible) jako moelu rozprzestrzeniania się wirusów komputerowych. O tego czasu moele epiemii były szeroko stosowane o moelowania ynamiki rozprzestrzenia się wirusów komputerowych. 1 Wojskowa Akaemia Techniczna w Warszawie, Wyział Cybernetyki. 2 Wojskowa Akaemia Techniczna w Warszawie, Wyział Cybernetyki. 3 W. H. Murray, The application of epiemiology to computer viruses, Computer an Security 1988, vol. 7, s J. O. Kephart, S.. White, Directe-graph epiemiological moels of computer viruses, w: Proceeings of IEEE Computer Society Symposium on esearch in Security an Privacy, 1991, s ; J. O. Kephart, S.. White, Measuring an moeling computer virus prevalence, w: Proceeings of IEEE Computer Society Symposium on esearch in Security an Privacy, 1993, s

2 19 omual Hoffmann, Tomasz Protasowicki Ogólnie rzecz ujmując, moele epiemii można pozielić na wie kategorie moele eterministyczne, oparte na równaniach różniczkowych, i moele stochastyczne, wykorzystujące w większości łańcuchy Markowa, procesy gałązkowe i procesy yfuzji. W niniejszej pracy bazujemy na eterministycznych moelach epiemii. Niemniej warto wspomnieć tutaj, że stochastyczny moel SIS został wprowazony przez G. H. Weissa i M. Dishona 5, którzy zastosowali ciągły proces narozin i śmierci o moelowania epiemii. Porównanie eterministycznych oraz stochastycznych moeli SIS i SI (ang. susceptible, infecte, recovere) można znaleźć w wybranych publikacjach 6. Należy tutaj zaznaczyć, że zarówno eterministyczne, jak i stochastyczne moele ogrywają znaczącą rolę w moelowaniu ynamiki zjawisk epiemii. Wskazuje na to istniejąca bogata literatura, w większości otycząca eterministycznych moeli epiemiologicznych rozprzestrzeniania się wirusów komputerowych. Oprócz klasycznych moeli SIS i SI, bazujących na moelu W. O. Kermacka i A. G. McKenricka 7, w ostatnich latach zostało sformułowanych wiele nowych, takich jak np.: SEIS 8, SEIQS 9 i SIA 1. Należy onotować, że moele omawiane w literaturze przemiotu, które zostały zaczerpnięte z bogatego wachlarza moeli epiemiologicznych 11, w większości są oparte na równaniach różniczkowych. Moele te stanowią zatem naturalną bazę la moeli w ujęciu ynamiki systemowej. Moele postawowe SIS, SI, SIS w ujęciu ynamiki systemowej, bazujące na moelach eterministycznych, są przemiotem rozważań zawartych w niniejszym artykule. Doatkowo wskazano na moel SAI (ang. susceptible, 5 G. H. Weiss, M. Dishon, On the asymptotic behavior of the stochastic an eterministic moels of an epiemic, Mathematical iosciences 1971, vol. 11, issues 3 4, s L. J. S. Allen, An introuction to stochastic epiemic moels, w: Lecture Notes in Mathematics, t. 1945, Springer, erlin 28, s ; L. J. S. Allen, A. M. urgin, Comparison of eterministic an stochastic SIS an SI moels in iscrete time, Mathematical iosciences 2, vol. 163, s. 1 33; T. ritton, Stochastic epiemic moels: a survey, Mathematical iosciences 21, vol. 225, s ; M. J. Keeling, J. V. oss, On methos for stuying stochastic isease ynamics, Journal of oyal Society Interface 28, vol. 5, s W. O. Kermack, A. G. McKenrick, A Contribution to the Mathematical Theory of Epiemics, Proceeings of The oyal Society 1927, vol. 115, s K. Mishra, D. K. Saini, SEIS epiemic moel with elay for transmission of malicious objects in computer network, Applie Mathematics an Computation 27, vol. 188, s K. Mishra, N. Jha, SEIQS moel for the transmission of malicious objects in computer network, Applie Mathematical Moelling 21, vol. 34, s J.. C. Piqueira, V. O. Araujo, A moifie epiemiological moel for computer viruses, Applie Mathematics an Computation 29, vol. 213, s J. D. Murray, Wprowazenie o biomatematyki, Wyawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 26.

3 Klasyczne moele rozprzestrzeniania się wirusów komputerowych w ujęciu ynamiki antiotal, infecte) jako uproszczoną wersję moelu SIA 12 (ang. susceptible, infecte, remove, antiotal). 2. Krótka charakterystyka metoy ynamiki systemowej Metoa ynamiki systemowej (ang. system ynamics) jest metoą buowy moeli symulacji ciągłej, która umożliwia moelowanie struktury oraz ynamiki złożonych systemów i procesów w nich zachozących. Została zaproponowana w latach 6. XX w. przez J. Forrestera, który opracował jej postawowe zasay poczas swojej pracy w Sloan School of Management i przestawił je w licznych publikacjach 13. Metoa ynamiki systemowej jest przeznaczona o moelowania złożonych systemów, w których występują tzw. sprzężenia zwrotne opisujące zależności przyczynowo-skutkowe pomięzy elementami systemu 14. W moelach matematycznych zbuowanych z wykorzystaniem metoy ynamiki systemowej wyróżniamy równania: poziomów (opisane równaniami różniczkowymi pierwszego rzęu), przepływów (ane równaniami algebraicznymi) i zmiennych pomocniczych (określone jako równania algebraiczne). Z równań tych otrzymujemy ukła równań różniczkowo-algebraicznych, stanowiący opis matematyczny związków przyczynowo-skutkowych występujących w moelowanym systemie. W metozie ynamiki systemowej są stosowane równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzęu wyprowazone z ogólnej postaci zaganienia Cauchy ego 15. arzo obrym wprowazeniem o meto ynamiki systemowej jest praca J. D. Stermana J.. C. Piqueira, V. O. Araujo, A moifie epiemiological moel for computer viruses, Applie Mathematics an Computation 29, vol. 213, s J. W. Forrester, Inustrial Dynamics, MIT Press, Cambrige 1961; J. W. Forrester, The collecte papers of Jay W. Forrester, Wright-Allen Press, Cambrige 1975; J. W. Forrester, Urban Dynamics, MIT Press, Cambrige Hoffmann, T. Protasowicki, Metoa ynamiki systemowej w moelowaniu złożonych systemów i procesów, iuletyn Instytutu Systemów Informatycznych 213, nr 12, s ;. Hoffmann, T. Protasowicki, Moelowanie pola walki z zastosowaniem koncepcji ynamiki systemowej, iuletyn Instytutu Systemów Informatycznych 213, nr 12, s E. Kasperska, Dynamika systemowa. Symulacja i optymalizacja, Wyawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice J. D. Sterman, usiness Dynamics: Systems Thinking an Moeling for a Complex Worl, McGraw-Hill, NewYork 2.

4 192 omual Hoffmann, Tomasz Protasowicki 3. Moele SI (susceptible, infecte, recovere) W moelach SI przyjęto założenie, że rozprzestrzenianie się kou złośliwego prowazi o poziału populacji komputerów na trzy grupy urzązeń: poatne (S(t), t ) takie, które mogą zostać zainfekowane; zainfekowane (I(t), t ) oraz wyleczone ((t), t ). Do grupy wyleczonych zaliczamy takie komputery, z których ko złośliwy został usunięty i oprogramowanie zostało zaktualizowane i zyskało tym samym oporność na infekcję. Do tej grupy zaliczają się również urzązenia, które są jeszcze zainfekowane, ale zostały ołączone o sieci lub wyłączone z eksploatacji. Postawowym moelem tutaj jest klasyczny moel Kermacka McKenricka, opisany poniższym ukłaem zwykłych równań różniczkowych: S(t) = a S(t) I(t), t I(t) = a S(t) I(t) b I(t), t (t) = b I(t), t gzie ane są warunki początkowe: S() = S >, I() = I > oraz () = ; a > oznacza współczynnik (tempo) rozprzestrzeniania się wirusa komputerowego, b > jest współczynnikiem (tempem) usuwania kou złośliwego. Zauważmy, że założenie stałej wielkości populacji komputerów jest już wbuowane w ukła równań (1), tzn. S(t) I(t) (t) = const = N. (1) Początkowa liczba zarażonych Io S I S - Częstotliwość kontaktu c N Zarażalność i Śreni czas trwania infekcji ysunek 1. Moel SI opisany równaniami (1) w języku ynamiki systemowej Źróło: opracowanie własne na postawie: J. D. Sterman, usiness Dynamics: Systems Thinking an Moeling for a Complex Worl, McGraw-Hill, oston 2, s. 34.

5 Klasyczne moele rozprzestrzeniania się wirusów komputerowych w ujęciu ynamiki W tym miejscu rozważań przyjmiemy, że w moelu SI w języku ynamiki systemowej bęziemy S(t), I(t), (t) oznaczać opowienio S, I,. Konwencja ta bęzie onosić się również o pozostałych moeli. 1, Selecte Variables 4, Selecte Variables 7,5 3, Host 5, Host/Day 2, 2,5 1, I : current : current S : current : current S : current ysunek 2. Moel SI wynik symulacji: liczba komputerów N = 1 ; czas symulacji 3; c = 6; = 2; i = 25/1; I = 1 Źróło: opracowanie własne. Wszystkie moele przestawione w niniejszym artykule zostały zaimplementowane przy pomocy pakietu Vensim ver. 5, autorstwa Ventana Systems Inc. Na rysunku 1 przestawiono moel SI w języku ynamiki systemowej opowiaający równaniom (1). W moelu przyjęto następujące parametry: a = c i / N >, b = 1 / >. Wyniki przykłaowej symulacji la moelu SIS w języku ynamiki systemowej przestawiono na rysunku Moel SIS (susceptible, infecte, susceptible) Moel SIS opisuje następujący ukła równań różniczkowych: S(t) = a S(t) I(t) b I(t), t I(t) = a S(t) I(t) b I(t), t gzie, poobnie jak w moelu SI, przyjęto następujące oznaczenia: S(t), t, oznacza populację urzązeń poatnych na infekcję w chwili t oraz I(t), t, oznacza populację urzązeń zainfekowanych w chwili t. (2)

6 194 omual Hoffmann, Tomasz Protasowicki Ponato ane są warunki początkowe: S() = S >, I() = I >. Parametry a > i b > przyjęto tak jak w moelu SI. b I Śreni czas naprawy S I asi - Początkowa liczba zarażonych Io Częstotliwość kontaktu c N Zarażalność i ysunek 3. Moel SIS opisany równaniami (2) w języku ynamiki systemowej Źróło: opracowanie własne. Na rysunkach 3 i 4 przestawiono opowienio moel SIS w języku ynamiki systemowej i wyniki przykłaowej symulacji. Selecte Variables Selecte Variables 1, 8, 7,5 6, Host 5, Host/Day 4, 2,5 2, I : Current S : Current asi : Current b I : Current ysunek 4. Moel SIS wynik symulacji: liczba komputerów N = 1 ; czas symulacji 3; c = 6; = 2; i =,5; I = 1 Źróło: opracowanie własne.

7 Klasyczne moele rozprzestrzeniania się wirusów komputerowych w ujęciu ynamiki Moel SIS (susceptible, infecte, recovere, susceptible) Moyfikacją moelu SI jest moel SIS, którego opis w języku ynamiki systemowej przestawiono na rysunku 5. Poobnie jak w moelu SIS zakłaa się, że urzązenia po usunięciu kou złośliwego i aktualizacji lub ponownej instalacji (onowy) oprogramowania wracają o puli komputerów poatnych. Jak zauważymy, w moelu tym występuje oatkowy przepływ opisany jako g = t on, oznaczający liczbę komputerów powracających o puli komputerów poatnych. g Początkowa liczba zarażonych Io Śreni czas onowy t on S asi - I bi - Częstotliwość kontaktu c N Zarażalność i Śreni czas trwania infekcji ysunek 5. Moel SIS w języku ynamiki systemowej Źróło: opracowanie własne. Formalnie moel SIS, z przyjętymi warunkami początkowymi jak w moelu SI, jest opisany następującymi równaniami różniczkowymi: S(t) = a S(t) I(t) g (t), t I(t) = a S(t) I(t) b I(t), t (t) = b I(t) g (t), t gzie ane są warunki początkowe: S() = S >, I() = I > oraz () =. Pozostałe parametry przyjęto analogicznie jak w moelu SI: a = c i / N >, b = 1 / >.

8 196 omual Hoffmann, Tomasz Protasowicki Selecte Variables Selecte Variables 1, 4, 7,5 3, Host 5, Host/Day 2, 2,5 1, I : current : current S : current asi : current bi : current ysunek 6. Moel SIS wynik symulacji: liczba komputerów N = 1 ; czas symulacji 3; c = 6; = 2; i =,25; I = 1, t on = 1,5 Źróło: opracowanie własne. Moel SIS w języku ynamiki systemowej przestawiono na rysunku 5, natomiast wyniki przykłaowej symulacji na rysunku Moel SAI (susceptible, antiotal, infecte) Moel SAI 17 jest opisany następującym ukłaem równań różniczkowych: S(t) = a S(t) I(t) δ S(t) A(t), t I(t) = a S(t) I(t) b I(t) A(t), (3) t A(t) = δ S(t) A(t) b I(t) A(t), t gzie przyjęto oznaczenia: S(t), I(t), t jak w moelu SI, A(t) populacja komputerów uopornionych w wyniku usunięcia poatności i aktualizacji oprogramowania. Wymagane warunki początkowe: S() = S >, I() = I >. Parametry a > i b > przyjęto tak jak w moelu SI. Parametr δ > oznacza współczynnik skuteczności usunięcia poatności lub aktualizacji oprogramowania. Na rysunku 7 przestawiono moel SAI w języku ynamiki systemowej. 17 J.. C. Piqueira, A. A. e Vasconcelos, C. E. C. J. Gabriel, V. O. Araujo, Dynamic moels for computer viruses, Computers an Security 28, vol. 27, s

9 Klasyczne moele rozprzestrzeniania się wirusów komputerowych w ujęciu ynamiki W moelu tym przyjęto δ = u k / N, pozostałe parametry jak w moelu SI. Wyniki przykłaowej symulacji moelu SAI zostały przestawione na rysunku 8. <N> Częstotliwość aktualizacji u Skuteczność aktualizacji k eltasa Początkowa liczba opornych Ao S A Początkowa liczba zarażonych Io I asi - bia Częstotliwość kontaktu c N Zarażalność i <N> Śreni czas trwania infekcji ysunek 7. Moel SAI opisany ukłaem równań (3) w języku ynamiki systemowej Źróło: opracowanie własne. 1, Selecte Variables 4, Selecte Variables 7,5 3, Host 5, Host/Day 2, 2,5 1, A : current I : current S : current asi : current bia : current eltasa : current ysunek 8. Moel SAI wynik symulacji: liczba komputerów N = 1 ; czas symulacji 3; c = 6; = 2; i =,25; u = 2; k =,65; I = 1; A = 1 Źróło: opracowanie własne.

10 198 omual Hoffmann, Tomasz Protasowicki 7. Posumowanie i kierunki alszych baań Przestawione ujęcie klasycznych moeli rozprzestrzeniania się kou złośliwego w języku ynamiki systemowej stanowi przykła transformowania zapisu formalizmu matematycznego w graficzny język symulacji numerycznej. W artykule zachowano oznaczenia formalne, aby wskazać związek zapisu ukłau równań różniczkowych z językiem ynamiki systemowej. Oczywiście w praktyce opisy poziomów, przepływów i zmiennych mogą przyjmować formę samookumentującą znacznie obiegającą o zapisu symbolicznego. uowa rozbuowanych i skomplikowanych moeli zatem praktycznie nie sprawia większych problemów. Opisane w niniejszym artykule moele ynamiki systemowej są tylko moelami generycznymi, a ich praktyczne wykorzystanie wymaga kalibracji na anych rzeczywistych. Niemniej jenak mogą stanowić bazę o buowy barziej złożonych moeli, np. SIC 18, SEIS 19, SEIQS 2, uwzglęniających złożoność śroowiska informatycznego współczesnej organizacji, wynikającą z wykorzystywania różnorakich urzązeń: począwszy o telefonów komórkowych i smartfonów, poprzez otwarzacze mp 3, tablety, laptopy, PC, na użych centrach anych skończywszy. Połączenie nakreślonych tutaj moeli z ynamicznymi moelami cyklu życia oprogramowania, opisanymi w książce Software Process Dynamics 21, oraz moelami zarzązania bezpieczeństwem anych i informacji może stanowić skuteczną metoę preykcji kosztów, a także skutków niezachowania właściwych zasa i polityk bezpieczeństwa. 18 Q. Zhu, X. Yang, L. X. Yang et al., A mixing propagation moel of computer viruses an countermeasures, Nonlinear Dynamics 213, vol. 73, issue 3, s K. Mishra, D. K. Saini, SEIS epiemic moel with elay for transmission of malicious objects in computer network, Applie Mathematics an Computation 27, vol. 188, s K. Mishra, N. Jha, SEIQS moel for the transmission of malicious objects in computer network, Applie Mathematical Moelling 21, vol. 34, s J. Maachy, Software Process Dynamics, IEEE Press, Wiley, Hoboken 27.

11 Klasyczne moele rozprzestrzeniania się wirusów komputerowych w ujęciu ynamiki ibliografia Allen L. J. S., urgin A. M., Comparison of eterministic an stochastic SIS an SI moels in iscrete time, Mathematical iosciences 2, vol. 163, s Forrester J. W., Inustrial Dynamics, MIT Press, Cambrige Forrester J. W., Urban Dynamics, MIT Press, Cambrige Forrester J. W., The collecte papers of Jay W. Forrester, Wright-Allen Press, Cambrige Hanbook of Software eliability Engineering, re. M.. Lyu, McGraw-Hill, New York Hoffmann., Protasowicki T., Metoa ynamiki systemowej w moelowaniu złożonych systemów i procesów, iuletyn Instytutu Systemów Informatycznych 213, nr 12, s Hoffmann., Protasowicki T., Moelowanie pola walki z zastosowaniem koncepcji ynamiki systemowej, iuletyn Instytutu Systemów Informatycznych 213, vol. 12, s Kasperska E., Dynamika systemowa. Symulacja i optymalizacja, Wyawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 25. Kephart J. O., White S.., Directe-graph epiemiological moels of computer viruses, w: Proceeings of IEEE Computer Society Symposium on esearch in Security an Privacy, 1991, s Kephart J. O., White S.., Measuring an moeling computer virus prevalence, w: Proceeings of IEEE Computer Society Symposium on esearch in Security an Privacy, 1993, s Kermack W. O., McKenrick A. G., A Contribution to the Mathematical Theory of Epiemics, Proceeings of The oyal Society 1927, vol. 115, s Maachy. J., Software Process Dynamics, IEEE Press, Wiley, Hoboken 27. Mishra. K., Jha N., SEIQS moel for the transmission of malicious objects in computer network, Applie Mathematical Moeling 21, vol. 34, s Mishra. K., Saini D. K., SEIS epiemic moel with elay for transmission of malicious objects in computer network, Applie Mathematics an Computation 27, vol. 188, s Murray W. H., The application of epiemiology to computer viruses, Computer an Security 1988, vol. 7, s Piqueira J.. C., Araujo V. O., A moifie epiemiological moel for computer viruses, Applie Mathematics an Computation 29, vol. 213, s Piqueira J.. C., Vasconcelos A. A. e, Gabriel C. E. C. J., Araujo V. O., Dynamic moels for computer viruses, Computers an Security 28, vol. 27, s Sterman J. D., usiness Dynamics. Systems Thinking an Moeling for a Complex Worl, McGraw-Hill, oston 2.

12 2 omual Hoffmann, Tomasz Protasowicki Weiss G. H., Dishon M., On the asymptotic behavior of the stochastic an eterministic moels of an epiemic, Mathematical iosciences 1971, vol. 11, issues 3 4, s Zhu Q., Yang X., Yang L. X. et al., A mixing propagation moel of computer viruses an countermeasures, Nonlinear Dynamics 213, vol. 73, issue 3, s * * * Classical Propagation Moels of Computer Viruses in Terms of System Dynamics Abstract Computer viruses are an important risk to computational systems of all size corporations or of personal computers use for omestic applications. Classical epiemiological moels for computer virus propagation such as SI, SIS, SIS are presente in terms of system ynamics. SAI moels (Susceptible, Antiotal, Infectious) are shown as a system ynamic moel as well. Keywors: computer virus, system ynamics, computer virus propagation moel, SI, SIS, SIS an SAI moels, system ynamics moel